自控课件 第3章
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自动控制理论课件自控课件(第三章)
China Agriculture University-East
二阶系统单位阶跃响应曲线
China Agriculture University-East
三. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
C(S) 1 TS 1
系统的输出称为脉冲响应，其表达式为：
c(t) L[C(S)] 1 et T , T
t0
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单位脉冲响应曲线：
h(t)
3
2T
1
初始斜率 0.368 T
T 1
c(t) 1 et T T
2T
t 0 T 2T 3T 4T
1. 动态性能
2. 稳态性能
二. 典型输入信号
所谓的典型输入信号是指根据系统常遇到的输 入信号形式，在数学上加以理想化的一些基本输入 函数。
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名称
单位阶跃函数
单位斜坡 （速度）函数
单位加速度 （抛物线）函数
单位脉冲函数
正弦函数
典型输入函数
系统的跟踪误差为：
t0
e(t) r(t) c(t) Tt T 2 (1 et T )
跟踪误差随时间推移而增大，直至无穷大。因此， 一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
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六. 四种典型输入信号响应的对比
输入信号
j s1 n 0
s2
s1 n
j n 1 2
0
s2
n 1 2
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自控第三章
自控第三章Mp 超调量允许误差10.90.50.1t rt pt s图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp 和ts 的单位阶跃响应曲线t dh(t)0.02或0.05)(∞h (∞h (∞h )(∞h %100)()()(%⨯∞∞-=h h t h p σ第三章：1、一阶系统对典型输入信号的输出响应。
（单位）阶跃函数（Step function ）0,)(1≥t t ;（单位）斜坡函数（Ramp function ）速度,≥t t ;（单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线0,212≥t t ;（单位）脉冲函数（Impulsefunction ）0,)(=t t δ;正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。
2、动态性能指标： 1.延迟时间dt ：（Delay Time ）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。
2.上升时间:rt （Rise Time ）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。
〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。
3.峰值时间p t （Peak Time ）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
4.调节时间:st （Settling Time ）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。
5.最大超调量:pM （Maximum Overshoot ）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值)(∞h 之差的百分比，即%σ13- rt 或p t 评价系统的响应速度；st 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
%σ评价系统的阻尼程度。
163.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T 3T4T5T0.632tc (t)=1-ec (t)2222)(nn nw s w s w s ++=ξφ0<ξdt3、一阶系统的时域分析单位阶跃响应 单位阶跃函数的拉氏变换为S s R 1)(=，则系统的输出由式为 111111)()()(+-=⋅+==TS S S TS s R s s C φ 对上式取拉氏反变换，得Tt et c --=1)( 0≥t （3-4）注：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。
自控(第六版 胡寿松)第三章
3.1
时间响应性能指标
3.2
3.3
一阶系统的时域响应
二阶系统的时域响应
3.4
3.5
系统的稳定性分析
系统稳态性能分析
2
3.1
时间响应性能指标
工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系 统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输 入量是如何变化的（如随动系统）。
因此，为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一 个进行比较的统一的基础，需要选择一些典型试验信号作 为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。
11
y(t) p
1 0.5 0
稳态误差
td tr t p
ts
t
峰值时间tp：响应超过其稳态值到达第一个峰值所需时间。 调节时间ts：响应到达并保持在稳态值内所需时间。 超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与稳态值h(∞)之差的百 分比，即 h( t p ) h() % 100% h() 稳态性能：由稳态误差ess描述。
17
3.2.2 单位斜坡响应
设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t，其拉氏变换为 R( s ) 1 / s 2 则输出的拉氏变换为
C ( s) 1 1 1 T T 2 2 Ts 1 s s s s 1
t T
T
t T
r(t)=t
C ( t ) t T Te
R( s ) L[ r ( t )] A ( t )e st dt
0
A ( t )e dt A ( t )e st dt A
st 0 0
0
单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。
自动控制原理第三章ppt课件
自动控制原理
.
1
第三章 线性系统的时域分析法
线性系统的时域分析法
引言 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算
.
3
自动控制系统好？差? 系统分析
典型的输入信号
时域分 析
复域分 单位析脉冲 频阶域跃分
斜析坡 正余弦
时域性能指标
稳态性能 指标
稳定性
动态性能 指标
2
0
1.8 0.4
0.1
1.6 0.5
0.2
1.4 0.6
0.3
1.2 0.7
1 0.8
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
0.9 1.0 1.5
246
阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。
2
nt
8 10 12
阻尼比取0.40.8时，超调 量适宜，调节
时间短
可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有
能
指
标
稳态性能指标
1.动态性能指标
通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。
一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。 如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那 么系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也是令 人满意的。
描述稳定的系统在单位阶跃函数下，动态过程 随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。
评价系统的阻尼程度。（稳）
稳定性能指标和抗干扰能力。越小， 系统精度越高。（准）
§3.3 典型一阶系统时域分析
一、典型一阶系统的数学模型 以一阶微分方程为运动方程的系 统 (s)C(s) 1 R(s) TS1
②
ui
.
1
第三章 线性系统的时域分析法
线性系统的时域分析法
引言 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算
.
3
自动控制系统好？差? 系统分析
典型的输入信号
时域分 析
复域分 单位析脉冲 频阶域跃分
斜析坡 正余弦
时域性能指标
稳态性能 指标
稳定性
动态性能 指标
2
0
1.8 0.4
0.1
1.6 0.5
0.2
1.4 0.6
0.3
1.2 0.7
1 0.8
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
0.9 1.0 1.5
246
阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。
2
nt
8 10 12
阻尼比取0.40.8时，超调 量适宜，调节
时间短
可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有
能
指
标
稳态性能指标
1.动态性能指标
通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。
一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。 如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那 么系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也是令 人满意的。
描述稳定的系统在单位阶跃函数下，动态过程 随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。
评价系统的阻尼程度。（稳）
稳定性能指标和抗干扰能力。越小， 系统精度越高。（准）
§3.3 典型一阶系统时域分析
一、典型一阶系统的数学模型 以一阶微分方程为运动方程的系 统 (s)C(s) 1 R(s) TS1
②
ui
《自动控制原理教学课件》第3章-1共16页
G开 (s)G(s)H(s) →开环传递函数
(s) C (s) R(s)
→闭环传递函数
通信技术研究所
第三章 时域分析法
3.1 引言
一.时域分析法
根据系统的微分方程，以拉式变换为工具，在时间 域内研究控制系统在各种典型信号作用下，系统响应随 时间变化规律的方法。
二.时间域内数学模型
微分方程－解
暂 （ 动 ） 态 性 能 － － 动 态 分 量 － － 快 速 性
:阻尼角
arctan12arccosarcsin12
c(t)1
1
12
ent
sin(dt),
d n 12
d :阻尼自然振荡频率
e(t)r(t)c(t)1 12entsin(dt)
e() 0
通信技术研究所
二. 0 ，无阻尼状态
s1,2 jn
c (t ) 2
c(t)1cosnt 1
0 t
三. 1 ，临界阻尼状态
通信技术研究所
一.单位阶跃响应
r(t)=1,R(s)=1/s
C(s)= 1 11 T Ts+1s s Ts+1
-1t
c(t)=1-e T
这是一条指数曲线，t=0
c(t) 斜率=1/T
处斜率最大，其值为1/T， 若系统保持此变化速度，
1
在 t=T 时，输出将达到
稳态值。而实际系统只
0.632
86.5% 95% 98.2% 99.3%
e(∞) →∞ 一阶系统不能跟踪抛物线信号
通信技术研究所
<练>温度计是一阶系统，
(s)
1 Ts
1
，用其测量容
器内的水温，1分钟才能显示出该温度的98％的
(s) C (s) R(s)
→闭环传递函数
通信技术研究所
第三章 时域分析法
3.1 引言
一.时域分析法
根据系统的微分方程，以拉式变换为工具，在时间 域内研究控制系统在各种典型信号作用下，系统响应随 时间变化规律的方法。
二.时间域内数学模型
微分方程－解
暂 （ 动 ） 态 性 能 － － 动 态 分 量 － － 快 速 性
:阻尼角
arctan12arccosarcsin12
c(t)1
1
12
ent
sin(dt),
d n 12
d :阻尼自然振荡频率
e(t)r(t)c(t)1 12entsin(dt)
e() 0
通信技术研究所
二. 0 ，无阻尼状态
s1,2 jn
c (t ) 2
c(t)1cosnt 1
0 t
三. 1 ，临界阻尼状态
通信技术研究所
一.单位阶跃响应
r(t)=1,R(s)=1/s
C(s)= 1 11 T Ts+1s s Ts+1
-1t
c(t)=1-e T
这是一条指数曲线，t=0
c(t) 斜率=1/T
处斜率最大，其值为1/T， 若系统保持此变化速度，
1
在 t=T 时，输出将达到
稳态值。而实际系统只
0.632
86.5% 95% 98.2% 99.3%
e(∞) →∞ 一阶系统不能跟踪抛物线信号
通信技术研究所
<练>温度计是一阶系统，
(s)
1 Ts
1
，用其测量容
器内的水温，1分钟才能显示出该温度的98％的
自控第三章
10.90.50.1图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp 和ts 的单位阶跃响应曲线h(t)(∞h (∞h (∞h )(∞h %100)()()(%⨯∞∞-=h h t h p σt2222)(nn nw s w s w s ++=ξφ0<ξt 第三章：1、一阶系统对典型输入信号的输出响应。
（单位）阶跃函数（Step function ）0,)(1≥t t ;（单位）斜坡函数（Ramp function ）速度 0,≥t t ;（单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线0,212≥t t ;（单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ;正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。
2、动态性能指标： 1.延迟时间d t ：（Delay Time ）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。
2.上升时间:r t （Rise Time ）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。
〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。
3.峰值时间p t （Peak Time ）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
4.调节时间:s t （Settling Time ）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。
5.最大超调量:p M （Maximum Overshoot ）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值)(∞h 之差的百分比，即%σ13- r t 或p t 评价系统的响应速度；s t 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
%σ评价系统的阻尼程度。
最新自动控制原理第三章-3.1ppt课件
可得系统调节时间
3T 0.05
ts
4T
0.02
1 1/T斜 率
0.632
h(t)1et/T
0
T
t
显然，峰值时间tp和超调量σp%都不存在，所以一
阶系统的单位阶跃响应的主要性能指标就是其调
节时间ts，它表征了系统过渡过程的快慢。一阶
系统的时间常数T越小，调节时间ts 越短，响应
曲线越快接近稳态值。
自动控制原理第三章-3.1
主要内容
1. 什么是时域分析法 2. 时域分析法的条件 3. 一阶系统的时域分析
一. 什么是时域分析法
分析控制系统的方法 1.建立系统的数学模型 2.采用相应的分析方法
• 时域分析法
• 根轨迹方法 经典控制理论 • 频域分析法
时域分析法定义
根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换作为数学工具， 直接解出控制系统的时间响应，然后根据响应的表达式 以及时间响应曲线来分析系统的控制性能，并找出系统 结构，参数与这些性能之间的关系的方法。
2.典型时间响应
动态过程——动态性能 （又叫瞬态过程或过渡过程） 稳态过程——稳态性能
➢ 动态性能指标 定义：描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动 态过 程随时间t变化的指标，称为动态性能指标。
•延迟时间 •上升时间 •峰值时间 •调节时间 •超调量
典型单位阶跃响应
h(t)
1.0
td 0.5
误差带5%或2%
1. 可以用时间常数去度量 系统输出量的数值
t T时 , c(t ) 1 e 1 0.632 63 .2%
t 2T时 , c(t ) 1 e 2 0.865 86 .5%
t 3T时 , c(t ) 1 e 3 0.95 95 %
精品课件-自动控制原理与应-第3章
6
第3章 线性系统的时域分析法
(5) 超调量σ%：指响应曲线超过稳态值的最大偏移量占稳 态值的百分比，即
% c(t p ) c() 100%
c()
(6) 稳态误差ess：当时间趋于无穷时，系统的稳定输出值与 期望输出值之差。
7
第3章 线性系统的时域分析法
延迟时间td、 上升时间tr、 峰值时间tp均反映系统响应调 节初始段的快慢；调节时间ts表示系统总体上动态过渡过程的快 慢；超调量σ%反映系统响应过程的平稳性；稳态误差ess反映系 统复现输入信号的最终精度。
由一阶微分方程作为运动方程的控制系统称为一阶系统， 其在工程中极为常见，有些高阶系统的特性也常用一阶系统来近 似分析。
9
第3章 线性系统的时域分析法
1. 一阶系统的数学模型 一阶系统微分方程的形式一般为
Tc'(t) c(t) r(t)
其中c(t)为输出信号，r(t)为输入信号。当系统的初始条件为零 时，上式对应的传递函数为
1
et
/T
(t≥0)
T
一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零，以指数规律上
升到终值c(∞)=1的曲线，如图3-2所示。
11
第3章 线性系统的时域分析法
图3-2 一阶系统的单位阶跃响应
12
第3章 线性系统的时域分析法
一阶系统的响应具有以下特点： (1) 可以用惯性时间常数T来度量系统的输出。当t=T时， c(t)=0.632；当t=2T，3T，4T时，c(t)分别等于0.865，0.95， 0.982。根据这一特点，可以用实验方法测定一阶系统的时间常 数，或测定系统是否属于一阶系统。 (2) 曲线初始段的斜率为1/T。根据这一特点，也可以确定 一阶系统的时间常数。
第3章 线性系统的时域分析法
(5) 超调量σ%：指响应曲线超过稳态值的最大偏移量占稳 态值的百分比，即
% c(t p ) c() 100%
c()
(6) 稳态误差ess：当时间趋于无穷时，系统的稳定输出值与 期望输出值之差。
7
第3章 线性系统的时域分析法
延迟时间td、 上升时间tr、 峰值时间tp均反映系统响应调 节初始段的快慢；调节时间ts表示系统总体上动态过渡过程的快 慢；超调量σ%反映系统响应过程的平稳性；稳态误差ess反映系 统复现输入信号的最终精度。
由一阶微分方程作为运动方程的控制系统称为一阶系统， 其在工程中极为常见，有些高阶系统的特性也常用一阶系统来近 似分析。
9
第3章 线性系统的时域分析法
1. 一阶系统的数学模型 一阶系统微分方程的形式一般为
Tc'(t) c(t) r(t)
其中c(t)为输出信号，r(t)为输入信号。当系统的初始条件为零 时，上式对应的传递函数为
1
et
/T
(t≥0)
T
一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零，以指数规律上
升到终值c(∞)=1的曲线，如图3-2所示。
11
第3章 线性系统的时域分析法
图3-2 一阶系统的单位阶跃响应
12
第3章 线性系统的时域分析法
一阶系统的响应具有以下特点： (1) 可以用惯性时间常数T来度量系统的输出。当t=T时， c(t)=0.632；当t=2T，3T，4T时，c(t)分别等于0.865，0.95， 0.982。根据这一特点，可以用实验方法测定一阶系统的时间常 数，或测定系统是否属于一阶系统。 (2) 曲线初始段的斜率为1/T。根据这一特点，也可以确定 一阶系统的时间常数。
自动控制原理(胡寿松) 第三章PPT课件
r (t) δ（t） 1（t）
t 1 t2 2
c(t)
1
1t
eT
T
1t
1e T
1t
t T (1 e T )
1
t2
Tt
T
2
(1
1
eT
t
)
2
25
2. 结论
➢一阶系统只有一个特征参数T，即其时间常数。在一定的输入 信号作用下，其时间响应c(t)由其时间常数惟一确定。 ➢从表可以看出：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输 入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应等于系统对该 输入信号响应的积分。这一重要特性适用于任何阶次的线性定 常系统——线性定常系统的重要特性。 ➢利用这一特点，在测试系统时，可以用一种信号输入推断出 几种相应信号的响应结果，带来很大方便。而线性时变系统和 非线性系统都不具备这种特性。
c(t)
响应无振荡
0
t 33
4.当ξ>1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼 状态。
s1,2 n n 2 1
s2
s1
1 T2
1 0 T1
T1
1 s1
, T2
1 s2
c(t) 1
1
1 t
e T1
1
1 t
e T2
(T2 / T1) 1
(T1 / T2 ) 1
c(t)
响应无振荡 0
t 34
8
5. 正弦函数
r(t) Asin t
正弦函数的拉普拉斯变换为
L[ Asin t]
A s2 2
9
3.1.2 动态过程与稳态过程
1. 动态过程：又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输 入信号作用下，系统输出量从初始状态到接近最终状态的响 应过程。动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。一个 实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说， 系统必须是稳定的。动态过程的其他信息用动态性能描述。
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et ,
tet , t q 1et
lim t r et 0
t
(r 0,1,2, q 1)
( 0)
电子信息工程学院 7
2013-9-9
结论：
线性控制系统稳定的充分必要条件是：它的特征方程的全部根都是 负实数或实部为负的复数，亦即：全部根都位于复平面的左半平面。
数学模型 系统分析 系统综合校正和设计 系统分析 ： 在给定系统的条件下，将物理系统抽象成数学模型，以其数学 模型为依据，用成熟的数学方法和先进的计算工具对表征系统 特性的性能指标进行分析、研究和评价。 时域分析 系统分析 频域分析 根轨迹分析 时域分析： 以微分方程或传递函数为数学模型，直接在时间域中研究 线性定常系统的时间响应，并对系统进行分析及评价。 特点： 直观、准确、物理概念清楚 。 局限性： 不适合高阶复杂系统的分析
证明： 设特征方程的根分别为 s1 , s2 sn
D( s) an s n an1s n1 ... a1s a0 =(s-s1 )(s-s2 )(s-sn )a n an [ s si s
n i 1 n n 1
si s j s
i , j 1 i j
an－2 si s j an i , j 1
i j
n
在上述关系式中，所有比值必 须大于零，否则系统至少有一 个正实部根。然而，这一条件 是非充分的，因为各项系数为 正数的系统特征方程完全可能 拥有正实部的根。
an3 si s j sk an i , j , k＝1
n
i j k
相应的齐次方程的通解（暂态） 原方程的特解（稳态）
lim y (t ) y * (t )
t
稳定系统
电子信息工程学院 9
2013-9-9
例3-5
在上例中把比例系数增大10倍，不改变其它参数。
特征方程变为： 0.0025s 4 0.055s3 0.15s 2 0.1s 1 0
试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。 由于劳斯表的第一列有两次 变号，故该系统不稳定，且有 两个正实部根。
为了简化数值计算，可以用任意正 数去乘（或除）劳斯表中的任意一 行元素不影响其判定结果。
2013-9-9
s4
1
2
(2 3) (1 4) 1 2
(1 4) (2 5) 6 1
平衡状态
不稳定的平衡工作状态 大范围（全局）稳定
2013-9-9
小范围稳定的平衡工作状态
小范围（局部）稳定
电子信息工程学院 4
线性系统的平衡状态
• 描述线性系统运动的微分方程如下
d nc d n1c dc d mr d m1r dr an n an1 n1 a1 a0c bm m bm1 m1 b1 b0 r dt dt dt dt dt dt
原方程的特解（稳态） 不稳定系统
t
稳定的运动
2013-9-9
不稳定的运动
电子信息工程学院 10
四、 线性系统稳定的必要条件 设线性系统的特征方程为
D( s) an s n an 1s n 1 ... a1s a0 0
(an 0)
线性系统稳定的必要条件是：在特征方程中各项系数均为正数（同号）。
如果特征方程在复平面的右半平面没有根，但在虚轴上有根
临界稳定
2013-9-9
电子信息工程学院
8
例3-4
例2-4中随动系统中适当取其参数，得描述系统运动的微分方程 如下： 4 3 2
0.025 d y d y d y dy 0.55 3 1.5 2 y dt 4 dt dt dt d 2M L dM L (0.00025 0.0055 0.01M L ) 2 dt dt
其特征根为： s1 18.87
s2 4.13
s3,4 0.501 j 2.21
y(t ) Ae18.87t Be4.13t Ce0.501t sin(2.21t ) y *(t )
相应的齐次方程的通解（暂态） 正幂指数函数(增幅振荡)
y 0 t y 0
构造如下辅助多项式： F ( s) 2s 4＋8
dF ( s ) 8s 3 ds 设： F ( s) 2s 4＋8＝0
s6 s5 s4 s3 s2 s
Re
1
1
3 2 （0）8
2
0 0 （0）0 8
4
12 8
8
可以求出以原点对称的根为
1 j ， 1 j
×
64
1
Im
×
1 -1
1
-2
-7
-4
1
1 4 -1.5 -16.7 -4
-3
-3 -6 -4
-4
-4
2 ， j
Im 2
×
s3 s2
2
×
×
s1
Re
－2
×－2
s0
第一列数值有一次符号变化，故本例系 统不稳定，且有一个正实部根 。
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例3-10
系统特征方程为 D( s) s 6 3s5＋2s 4＋4s 2＋ s＋8 0 12 试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。
其特征方程为
0.025s 4 0.55s3 1.5s 2 s 1 0
s2 2.62
s3,4 0.221 j 0.889
特征方程的根： s1 18.94
y(t ) Ae18.94t Be2.62t Ce0.221t sin(0.889t ) y* (t )
s0
2
行劳斯表的列写，然后进行稳定性判定。
第一列有两次符号变化，故系统不稳定， 且有两个正实部根。
1 1 3 2 3 2
D( s) s3 3s 2 ( s 1)2 ( s 2) 0
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确有两个正实部根 -1
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如果上面一行和下面一行的首列符号相同，则表明有 一对纯虚根存在 。
★快速性： 对过渡过程的形式和快慢提出要求，一般由动态性能描述。
★准确性： 在参考输入信号作用下，当系统达到稳态后，其稳态输出与参 考输入所要求的期望输出之差叫做给定的稳态误差。显然，这种误 差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高，准确性用稳态 误差来表示。 ★稳 ★准 ★快
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• 在系统输入为0时，自由运动 c(t ) A1e1t A2e2t An ent • 0是系统唯一的平衡点。
对于线性控制系统，系统仅有唯一的平衡工作点0。因此平衡 工作点的稳定性将直接称其为系统的稳定性。 系统受到扰动大小（初始状态）只影响自由运动中各个模态 前的系数，不会影响系统的稳定性。
3
4
5
s3 s2
s1
5
s0
5
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3、劳斯稳定判据的特殊情况 （1）劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各元素不为零，或 不全为零。 例3-7
s3 s2
s1
3 某系统特征方程为 D( s) s 3s 2 0
1
-3
s3
s2
1
－3 2
0
∞
2
2
s1
3
-∞
用一个无限小的正数 取代０，继续进
n a0 n (1) si an i 1
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3.3劳斯—赫尔维茨稳定判据
系统稳定的代数判据
一 、劳斯稳定判据 劳斯稳定判据是根据劳斯 表中元素的正负号判断特征 根的分布情况。
1、劳斯表的构造
s n an n 1 an1 s
s n2
a 31
an2
a n 3
×
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s0
8
-1
×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
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二、劳斯稳定判据的应用 1、系统参数对稳定性的影响
例3-11
系统的结构如图所示，试确定使系统稳定时的取值范围。
R(s)
系统的闭环传递函数为
C ( s) K R( s ) s ( s 1)( s 2) K
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s1 s0
a n ,1
a n 1,1
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2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。
如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 2s3 3s .2 线性系统的稳定性
一 、稳定性的基本概念 例3-1 单摆的运动 例3-2 倒摆的运动 例3-3 光滑轨道
a
θ
d
b
c
a
平衡状态
a
a
平衡状态
a
平衡状态 稳定
a
平衡状态 b ， 不稳定
c
大范围稳定的平衡工作状态 稳定的平衡工作状态 稳定的平衡状态 不稳定平衡状态
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s1
s0
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（2）劳斯表中出现全零行 表明特征方程中存在有关于原点对称的根 例3-9 系统特征方程为 D( s) s 6 s5 2s 4 3s 3 7s 2 4s 4 0 试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。 用全零行的上一行系数 构造如下辅助多项式：