北京大学量子力学课件 第26讲
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《量子力学》课件
贝尔不等式实验
总结词
验证量子纠缠的非局域性
详细描述
贝尔不等式实验是用来验证量子纠缠特性的重要实验。通过测量纠缠光子的偏 振状态，实验结果违背了贝尔不等式，证明了量子纠缠的非局域性，即两个纠 缠的粒子之间存在着超光速的相互作用。
原子干涉仪实验
总结词
验证原子波函数的存在
详细描述
原子干涉仪实验通过让原子通过双缝，观察到干涉现象，证明了原子的波函数存在。这个实验进一步 证实了量子力学的预言，也加深了我们对微观世界的理解。
量子力学的意义与价值
推动物理学的发展
量子力学是现代物理学的基础之一，对物理学的发展产生了深远 的影响。
促进科技的创新
量子力学的发展催生了一系列高科技产品，如电子显微镜、晶体 管、激光器等。
拓展人类的认知边界
量子力学揭示了微观世界的奥秘，拓展了人类的认知边界。
量子力学对人类世界观的影响
01 颠覆了经典物理学的观念
量子力学在固体物理中的应用
量子力学解释了固体材料的电子 结构和热学性质，为半导体技术 和超导理论的发现和应用提供了
基础。
量子力学揭示了固体材料的磁性 和光学性质，为磁存储器和光电 子器件的发展提供了理论支持。
量子力学还解释了固体材料的相 变和晶体结构，为材料科学和晶
体学的发展提供了理论基础。
量子力学在光学中的应用
复数与复变函数基础
01
复数
复数是实数的扩展，包含实部和虚部，是量子力 学中描述波函数的必备工具。
02
复变函数
复变函数是定义在复数域上的函数，其性质与实 数域上的函数类似，但更为丰富。
泛函分析基础
函数空间
泛函分析是研究函数空间的数学分支，函数空间中的元素称为函数或算子。
量子力学基础知识PPT讲稿
Plank
The Nobel Prize in Physics 1918
"for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions"
Max Karl Ernst Ludwig Planck
(3).光子具有一定的动量(p)
P = mc = h /c = h／λ
光子有动量在光压实验中得到了证实。 (4).光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。
将频率为的光照射到金属上，当金属中的一个电子受到一个光子撞击时， 产生光电效应，光子消失，并把它的能量h转移给电子。电子吸收的能量，一 部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子的动能。
Germany Berlin University Berlin, Germany
1858在金属表面上，金属发射出电子的现象。
.1 只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电
子，不同金属的临阈频率不同。 2.随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。 3.增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
“光子说”表明——光不仅有波动性，且有微粒性，这就是光的波粒 二象性思想。
Einstein
The Nobel Prize in Physics 1921
"for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions"
第一节.微观粒子的运动特征
电子、原子、分子和光子等微观粒子，具有波粒二象 性的运动特征。这一特征体现在以下的现象中，而这些现 象均不能用经典物理理论来解释，由此人们提出了量子力 学理论，这一理论就是本课程的一个重要基础。
量子力学课件(完整版)
Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)
2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)
2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；
北京大学量子力学课件 第27讲
(1) l 0 (1) lkalk k 1 fl ( 0 ) (1) ' l all l
其中
（注意：l 是代表 l l 的所有态）
0 将 lm 与
0 (1) El a lm
一次幂的1) 1 ( 0) lm H1 lk a lk El a lm El a lm
1
ˆ 0 , L2 , J 2 , J z ) 选力学量完全集 ( H ˆ ˆ
则
ˆ 0nljm E0 nljm H nl j j
0 与 j, m 无关。 能量 E j nl 2 由于 (r )l s 与 J , J z 对易，所以，可用非 简并微扰论的公式去求近似解。 一级微扰
1 Enlj nljm j (r )l s nljm j
j l 1 2 j l 1 2
所以，当放入弱磁场中，能级由
2l 2 mj 0 0 2l 1 Enlj Enlj L 2l mj 2l 1 eB L 2
根据偶极跃迁选择定则
j l 1 2 j l 1 2
l 1
j 0,1
m j 0,1
0 0 当 E n E0 （即与 0 简并的态）则分母为零。
ˆ (H1)n 0 0 'n 0 0 E0 E n n
另外二级微扰的能量
2 E0 ' 0 0 n E0 E n
ˆ ( H1 ) n 0
2
也存在这一问题。 事实上，由于零级是简并的，我们不知应从 那一个态出发是正确的。所以，对简并能级的 微扰问题的处理与非简并问题的处理，实质的 不同在于零级波函数的选取。即要正确选取零 级波函数。
所以近似不好。 1 0 (1 0 ) 0 出发，则一级微扰 如从 2 2 ˆ 0 H1 0 V 这近似就等于精确解。而 (1) 0 2 ( 2)
其中
（注意：l 是代表 l l 的所有态）
0 将 lm 与
0 (1) El a lm
一次幂的1) 1 ( 0) lm H1 lk a lk El a lm El a lm
1
ˆ 0 , L2 , J 2 , J z ) 选力学量完全集 ( H ˆ ˆ
则
ˆ 0nljm E0 nljm H nl j j
0 与 j, m 无关。 能量 E j nl 2 由于 (r )l s 与 J , J z 对易，所以，可用非 简并微扰论的公式去求近似解。 一级微扰
1 Enlj nljm j (r )l s nljm j
j l 1 2 j l 1 2
所以，当放入弱磁场中，能级由
2l 2 mj 0 0 2l 1 Enlj Enlj L 2l mj 2l 1 eB L 2
根据偶极跃迁选择定则
j l 1 2 j l 1 2
l 1
j 0,1
m j 0,1
0 0 当 E n E0 （即与 0 简并的态）则分母为零。
ˆ (H1)n 0 0 'n 0 0 E0 E n n
另外二级微扰的能量
2 E0 ' 0 0 n E0 E n
ˆ ( H1 ) n 0
2
也存在这一问题。 事实上，由于零级是简并的，我们不知应从 那一个态出发是正确的。所以，对简并能级的 微扰问题的处理与非简并问题的处理，实质的 不同在于零级波函数的选取。即要正确选取零 级波函数。
所以近似不好。 1 0 (1 0 ) 0 出发，则一级微扰 如从 2 2 ˆ 0 H1 0 V 这近似就等于精确解。而 (1) 0 2 ( 2)
北京大学量子力学课件
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。 (2) 光的波动性在1803年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦 克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动 性置于更加坚实的基础之上。
（2）光电效应
光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1. 临界频率 v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。 •2. 电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光 强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典 理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定 于光的强度而与频率无关。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
8h 3 kT 8 2 d d kTd C 3 h C3
Rayleigh Jeans
公式
d
8 kT 2 d 3 C
对 Planck 辐射定律的 三点讨论：
和光电效应理论
（ 1） （ 2） （ 3）
光子概念 光电效应理论 光子的动量
(1) 光子概念
第一个肯定光具有微粒性的是 Einstein，他认 为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。 根 据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能 量 hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间 以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。 由相对论光的动量和能量关系 p = E/C = hv/C = h/λ提出了光子动量 p 与辐射波长λ（=C/v）的关系。
量子力学ppt
详细描述
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
[练习]北京大学量子力学课件 自旋与全同粒子
![[练习]北京大学量子力学课件 自旋与全同粒子](https://img.taocdn.com/s3/m/fbc86bfc581b6bd97e19ea1d.png)
令
Sˆˆ
2
分量 形式
进
S
x
S
y
2
2
x y
S
z
2
z
对S ˆ 易 S ˆ i S ˆ 关 ˆ ˆ 系 2 i ˆ ：
分 量 形 式 ： ˆˆx y ˆˆzy ˆˆzyˆˆyx22iiˆˆxz ˆzˆx ˆxˆz 2iˆy
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是 ± /2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1 ；
电子波函 数表示成
12((rr,,tt))
矩阵形 式后，
波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标
积分，即
d
* 1
* 2
1 2 ( (r r ,,tt) ) d[ |1|2|2|2]d1
（2）几率密
度
(r ,t) |1|2|2|2
1 ( r ,t) 2 ( r ,t)
（1） SZ的矩阵形式 电子自旋算符（如SZ）是
a b
作用与电子自旋波函数上的
Sz 2c d
，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电
因为Φ1/2 描写的态，SZ有子确自定旋值算符/2的，矩所阵以表Φ1示/2应是该SZ
的本Sz征12态，2本12征值矩为阵形式/2，是即2×有 2 a c 2：矩d b 阵 。1(0 r ,t) 2 1(0 r ,t)
求：自旋波函数
SχZ(S的z本) 征方程 Sˆz(Sz)2(Sz)
令
212和 (Sz )2和的自 12 (S旋 z )分波别函为数本，征即值 SSˆˆ zz
1
2
(Sz
)
2
1
2
1 2
(Sz
)
2
北京大学量子力学课件_第26讲
1 Eg N 2
每个粒子平均能量为
1 2
f ( ) f ( ) [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 3
2
1 2 *
*
B. 费米子（自旋 1 2 ） 自旋为 1 2 的费米子非极化的散射几率
1 23 2 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 4 4
2 r 22 1 r l 1 a e r P (cos )( ) d cos dr ] 2 l 2 r r l 0 2 2 r 0 1
由于
2 P (cos ) P (cos ) d cos (cos ) 1 P l l l l 0 2 l 1
2 2 a 2 5 5 5 8 e a a a 6( ) 64 32 8 a 2 5e 8a
4 r 2 r 1 1 2 3 3 2 8 e a2 a a a a r dr [( r r ) e r e ] 1 1 1 1 1 6 2
2
所以，准至一级的能量为
A. 一级微扰近似
( 1 ) ˆ0 0 0 ( 1 ) 1 0 0 ˆ H ' a H E ' a E 0 1 k i ik k k i ik k
0 以 k 标积 1 0 * 0 0 0 ˆ ˆ E H d r H k 1 1 k k k k
( 2 )ˆ 0 ( 1 ) 00 ( 2 ) 10 ( 1 ) 2 0 0 ˆ H ' a H ' a E ' a E ' a E 0 1 k k i ik i ik k i ik i ik k i i i i
北京大学量子力学
⋆ Aˆ 的本征函数不简并，则
Bˆ ua bua
⋆ 当 Aˆ 的本征值是两重简并。那问题就不
一样了。
测量 Aˆ 取值 a 时，并不知处于那一态，
可能为
α
1u
(1) a
α
2
u
(2) a
尽管
Bˆ u
(1) a
也是
Aˆ
的本征态。但一般而言
Bˆ u(a1) b11u(a1) b21u(a2)
Bˆ u
(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量
子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系 测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定 状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将 状态描述完全确定呢？
设：Aˆ ,Bˆ 是力学量所对应的算符，并且对易
如 u a (x) 是 Aˆ 的本征函数。
第十四讲
算符的共同本征函数 (1) Schwartz不等式
如果，1 ,2 是任意两个平方可积的波函
数，则
1, 12, 2 1, 2 2
(2) 算符“涨落”之间的关系－测不准关 系：
如令
1 (Aˆ A)
2 (Bˆ B)
i[Aˆ , Bˆ ] A B
2
例1 Aˆ x ， Bˆ pˆ x
(2) a
b12u
(1) a
b 22u (a2)
Bˆ (uu(a(a12))
)
(b11 b12
b21 b22
)(uu(a(a12))
)
Bˆ v
(b1 a
)
b1v
(b1 a
)
Bˆ v(ab2 )
b
2
v
(b a
2
)
量子力学课件
量子力学彭斌地址：微固楼211电话：83201475Email: bpeng@引言牛顿力学质点运动牛顿力学（F、p、a）22dtvdmmaF==牛顿力学成功应用到从天体到地上各种尺度的力学客体的运动中。
引言牛顿力学热力学●统计物理Ludwig Boltzmann Willard Gibbs引言牛顿力学热力学●统计力学 电动力学电磁现象——Maxwell方程组¾统一电磁理论¾光─> 电磁波1600170018001900时间t力学电磁学热学物理世界（力、光、电磁、热…）经典热力学（加上统计力学）经典电动力学（Maxwell 方程组）经典力学（牛顿力学）迈克尔逊－莫雷实验黑体辐射动力学理论断言，热和光都是运动的方式。
但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……——开尔文（1900年）引言什么是量子力学？什么是量子力学？——研究微观实物粒子（原子、电子等）运动变化规律的一门科学。
相对论量子力学量子电动力学量子场论高能物理相对论力学经典电动力学V~C量子力学（非相对论）经典力学v<<C微观宏观量子力学的重要应用量子力学的重要应用¾自从量子力学诞生以来，它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和促发人类物质文明的大飞跃。
¾百年（1901－2002）来总颁发Nobel Prize 97次单就物理奖而言：——直接由量子理论得奖25次——直接由量子理论得奖＋与量子理论密切相关而得奖57次¾量子力学成为整个近代物理学的共同理论基础。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." -Niels Bohr 任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it."-Niels Bohr 我想我可以相当有把握地说，没有人理解量子力学。
大学普通物理课件 第26章 - 波粒二象性
U
UC
O
dNe im dt dt
装置图
单位时间里逸出的电子数
iS
I im
dNe dt
且 iS I
装置图
对截止电压和红限的解释：
光电效应方程：
1 2 h m vm A 2
mv 2 e
2 m
截止电压与光频率的关系
1 2 m vm h A 2
与实验结果对比，有
(1014 Hz)
装置图
当 0 时，有光电子逸出；
由材料本身决定 当 0 时，不可能有光电子逸出。 与光强大小无关 要使某金属产生光电效应，无论光强多小，只需使入 射光频率不小于相应的红限频率即可。
延迟时间
实验表明：光电子的逸出，几乎是在光照到金属表 面上的同时发生的。延迟时间为
§26-2 光电效应
Photoelectric Effect
光电效应及其实验装置
光电效应 光照射到金属表面时，金 属表面会有电子逸出的现象称 为光电效应。 光电子 光电流 i 光电效应中从金属表面逸 出的电子称为光电子。 光电子在电场的加速作用 下形成的电流称为光电流。
i
– +
G
V
返回
10 9 s
装置图
实验结果与经典理论的冲突
经典理论
光电子最大动 能（eUC） 光电子逸出 的条件 延迟时间 很小，与光强有关，与 光频率无关 取决于入射光强和光照 时间 光强小时需积累能量， 有明显延迟
光的波动理论
经典理论认为：光是电磁波，其能量是连续分布的。 实验结果
较大，与光强无关，取 决于光频率 查看 光频率不低于红限0 ， 无论光强多小 查看
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N为奇 N为偶
N为偶
N Eg 4
2
N为奇
N2 1 Eg 4
所以，每个粒子平均能量为
N 4
Ⅱ.定态微扰论 ˆ 这里讨论的是 H 与 t 无关 ˆ ˆ ˆ 设：H H( r, P) ，要求其本征值和本征函数
ˆ H E
ˆ ˆ ˆ H H 0 H1
ˆ ˆ ˆ 其中 H 0 很接近 H ，且有解析解。而 H 1是小量， 为易于表达其大小的量级
1 2 2 m x V( x ) 2
由 H F 定理可证得
1 n (n ) En 2
例2．求氦原子的基态能量
2 2e2 e2 2 ˆ (1 2 ) 2e H 2 2 r1 r2 r12
2
ˆ ˆ H 0 H1
e ˆ1 e H 2 2 r12 ( r1 r2 2r1r2 cos )1 2
0 Ek 0 Ei
(1) 0 0 ˆ 0 0 ˆ E k k H1 k k H1 k
(1) 0 ˆ 0 k H k k
0 ˆ 0 i H1 k 0 0 k N{ k ' i 0 0 E k Ei i
e
2
( a3 )
以
dr1 2
2 (r1 r2 ) r 2 sin d d dr 2 2 2 2 2 e a
r12
r1
方向为 Z 方向 ,所以
2
r2 l 1 Pl (cos θ)( ) 1 r1 l 0 r1 r12 1 P (cos θ)( r1 ) l l r2 l 0 r2
5e 8a
2
a 2 2 r1 dr1[( r1 6 2
2
2
a r1 2
3
4r1 )e a
a 2
3
2r1 r1e a
]
所以，准至一级的能量为
0 E0 E0
1 E0
2e 5e 11e 2 2a 8a 8a 4πε 0
2 2 2
0
1 a
E1 0
2 2 r1 r2 2e r 2 dr1 e a [ 01 e a r2 3 2 2
r1 r2 r1 r2
( a )
1 r2 l 0 Pl (cos )( ) d cos dr2 r1 l 0 r1
2 r2 1 r1 l a r2 e Pl (cos )( ) d cos dr2 ] 2 r2 0 l 0 r2 r1
从这可以看到微扰论的应用限度。 如 E n 准到一级，可以看出， E n 完全是分立 能级。但事实上，当
1 2 2 E m a 2
时，粒子是自由的。因此，能级是连续的，可 取任何值。所以，要一级修正比较精确，则必须
1 2 2 ε n mω a 2
即
1 1 2 2 ( n ) m a 2 2
2 2 r2 dr2 ] r2
2 2 r1 r1 2e dr1 e a [ar1e a 6 2
πa
2 r1 a 2e a
a 2r1
3
2 r1 (e a
2 r1 1) ae a (r1
a )] 2
8e
a 2 5 5 5 8e a a a 6 ( ) 64 32 8 a
0 ( 2) 0 ˆ 0 (1) 0 ( 2) 1 (1) E j a jk ' j H1 i a ik Eka jk Eka jk i 0 0 (2) ( Ek E j )a jk
0 ˆ 0 ' j H1 i i 0 ˆ 0 i H1 k 0 ˆ 0 k k E0 E0 k j
第 二 十 六 讲
Ⅰ. 全同粒子的交换不变性的后果 (1) 两全同粒子的波函数 若两全同粒子，它们的相互作用是变量可 分离型的，即
( r1, s1z , r2 , s2z ) u( r1, r2 )SmS
可以证明：若粒子自旋为 s ，则 Sm S 在 2s S 两粒子自旋交换时的对称性为 ( 1) 。若两 粒子都处于 R nlYlm 态，而总角动量为 L ，其交 ( 1) 2l L ，则 u Lm L SmS 应满足 换对称性为
1 * f () f ( ) [f ()f ( ) f ()f * ( )] 2
2 2
但对 N 基态是二个处于 n 0
N 1 最后1个处于 2 N2 最后2个处于 2
1 个无相互作用的费米子（ s 2
,
）。 二个处于n 1 … ,
ˆ 设： H 0 的基态为 0
2
2
即
s, sz , r1, r2 0 u100( r1 )u100( r2 )00
1 1 a ( r1 r2 ) e 00 3
a
2
0 E0 2
2e e 2 2a 40 40a
2
于是
1 ˆ E0 0 H1 0
i i i i
0 以 k 进行标积得
2 Ek
'
i
0 k
ˆ H1 0 i
a(1) ik
'
i
ˆ ˆ ( H1 )ki ( H1 )ik
0 Ek E 0 i
2 Ek
'
i
0 i
ˆ 0 H1 k
2
0 Ek E0 i
(1) 0 ˆ k H1 k
以 0 ( j k) 进行标积得 j
f ( )
2
A. 玻色子（自旋为0） 散射几率为
f () f ( )
2
S （即 1 ②， 2 ①分不出。由于， 0 , L 为偶） 如自旋为1，非极化散射几率为
1 2 3 2 5 2 f () f ( ) f () f ( ) f () f ( ) 9 9 9
0 ˆ H1 1 2 2 2 m ( x a ) 2
1 En
x a x a
ˆ n H1 n 1 m2 2 (x 2 a 2 )u 2dx n a
2
准至一级修正的能量为
1 2 2 2 2 En (n ) m a (x a ) u n dx 2
A. 一级微扰近似 ˆ 0 ' 0a (1) H10 E0 ' 0a (1) E1 0 ˆ H k k i ik k k i ik i i 0 以 k 标积
1 0* ˆ 0 0 ˆ 0 E k k H1 k d r k H1 k 0 以 i（ i k ）标积
0 (1) 0 ˆ 0 0 (1) E i a ik i H1 k E k a ik
0 ˆ 0 i H1 k ˆ ( H1 )ik (1) a ik 0 0 0 0 E k Ei E k Ei
因此，在一级近似下
0 ˆ 1 ) kk 0 H 0 H1 0 ˆ ˆ Ek Ek (H k k
ˆ (1) 0 0 0 ( H1 )ik k k k k ' i 0 0 E k Ei i
(归一化 N 1 准至一级) 0 所以，在 E k 这条能级为非简并时，其能 ˆ 1 在无微扰状态 0 量的一级修正恰等于微扰项 H k 的平均值。
例1：考虑一个粒子在位势
1 E g N 2
每个粒子平均能量为
1 2
1 * f () f ( ) [f ()f ( ) f ()f * ( )] 3
2 2
B. 费米子（自旋 1 2 ） 自旋为 1 2 的费米子非极化的散射几率
1 2 3 2 f () f ( ) f () f ( ) 4 4
（1）非简并能级的微扰论 H 0 的本征值和本征函数为 E 0 ， 0 设：ˆ k k ˆ 00 E0 0 H k k k
0 构成一正交，归一完备组。 k
现求解 即
ˆ H k E k k
ˆ ˆ ( H 0 H1 ) k E k k
求 E k ， k 的步骤是通过逐级逼近来求 ˆ 精确解，即将 E k ， k 对 展开（即对 H1 矩阵元展开）。 0 0 从 E k ， k 出发求 E k ， k 。当 0 ， ˆ 1 0 k 0 ， E 0 ， 即 H Ek k k 非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简 并的（或即使有简并，但相应的简并态并不影响 处理的结果）。
所以
( 2) a jk
1
0 0 Ek E j i
[ '
ˆ ˆ ( H1 ) ji ( H1 )ik
0 0 E k Ei
ˆ ˆ ( H1 ) jk ( H1 ) kk
0 0 Ek E j
]
准至二级的能量和波函数
0 ˆ Ek Ek ( H1 )kk ' i
ˆ ) 2 ( H1 ik
3
e
( r1 r2 ) a
00
B．二级微扰：当微扰较大时，或一级微 扰为零时，则二级微扰就变得重要了。 由 2 项得
ˆ ˆ H0 ' 0a (2) H1 ' 0a (1) E0 ' 0a (2) E1 ' 0a (1) E2 0 k k k i ik i ik k i ik i ik
由于
2 Pl (cos )Pl (cos )d cos 2l 1 ll P0 (cos) 1
E1 0
2 2 r1 r 2e r1 a 2 dr1 e a [0 e 6 2