量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
(01) 第一章 量子力学基础3
+
n=2
n=1
+
-
E2 E1
n=1
ψ22(x)
ψ12(x)
一维势箱中粒子的波函数、能级和概率率密度
势箱中自由粒子的波函数是正弦函数，基态 时， l长度势箱中只包含正弦函数半个周期，随着能 级升高，第一激发态包含一个周期，第二激发态包 含正弦波一个半周期……。随着能级升高，波函数 的节点越来越多。而概率分布函数告诉我们自由粒 l x 子在势箱中出现的概率大小。例如：基态时，粒子 2 在 处出现概率最大。而第一激发态，粒子在 l x 2 处出现几率为0，在 x l , 3l 处出现几率最大。
l nπ 1 nπ 2
2 l c 2 1 2
c 2
2 l
2 nx 箱中粒子的波函数 n ( x) sin l l
讨论：
ψ4(x)
+
n=4
n=4
-
+
+
E4
ψ42(x)
n=3
ψ32(x)
n=3
ψ3(x)
+
E3
n=2
ψ2(x)
一维无限深势阱中看不到的一种量子现象是隧道效 应. 当势垒为有限高度(V0) 和厚度时，入射到势垒上的粒 子能量E即使小于V0，也仍有一定的概率穿透势垒，似乎 是从隧道中钻出来的:
这种奇妙的量子现象是经典物理无法解释的. 量子力学 隧道效应是许多物理现象和物理器件的核心，如隧道二极 管、超导Josophson结、α衰变现象. 某些质子转移反应也 与隧道效应有关. 对于化学来讲，意义最大的恐怕是基于
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
大学物理 第16章量子力学基本原理-例题及练习题
∴ n = 2,6,10...... 时概率密度最大
nhπ 6 × 10 = =1时 (3) n=1时： E = =1 2mL L
2 2 2 2 2 −38
A 例题3 例题3 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ψ ( x ) = 方向运动， 1 + ix
( n = 1,2,3,...)
E n=4
p2 E = 2m p= nπh nh 2 mE = = a 2a
n=3 n=2 n=1
h 2a λ= = p n
二者是一致的。 二者是一致的。
( n = 1, 2, 3,...)
o a
x
例题2 粒子质量为m, 在宽度为L的一维无限 的一维无限深势 例题2 P516例1：粒子质量为m, 在宽度为 的一维无限深势 中运动，试求( 粒子在0 阱中运动，试求(1)粒子在0≤x≤L/4区间出现的概率。并 ≤ / 区间出现的概率。 求粒子处于n=1 状态的概率。 在哪些量子态上， 求粒子处于 1和n=∞状态的概率。(2)在哪些量子态上， 状态的概率 (2)在哪些量子态上 Ｌ/4处的概率密度最大？(3)求n=1时粒子的能量 补充 。 /4处的概率密度最大 (3)求 =1时粒子的能量(补充 处的概率密度最大？ =1时粒子的能量 补充)。 2 nπ x 由题得： 解:(1) 由题得： 概率密度 |ψ | = sin
2 2 2 2 0
2
2
2
2
0
0
k
0
2
2
2 k
0
k
k
k
0
h ∴λ = = p
hc 2E m c + E
2 k 0
6-波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
P. 18 / 33 .
即：对非自由粒子
d 2
dx 2
8 2m
h2 (E
E p )
0
称为一维定态薛定谔方程。
三维定态薛定谔方程：
2
8 2m
h2
(E
E p )
0
其中， 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
称为拉普拉斯算符。
薛定谔 (Erwin Schrödinger， 1887-1961) 奥 地利著名理论 物理学家，量 子力学的重要奠基人，同 时在固体比热、统计热力 学、原子光谱及镭的放射 性等方面的研究都有很大 成就。1933年与物理学家 狄拉克共同荣获诺贝尔物 理学奖。薛定谔还是现代 分子生物学的奠基人。
量子物作理者：杨§茂波田函数Of薛fic定eX谔p方版程 一维无限深势阱
P. 19 / 33 .
三、一维无限深势阱
设：一粒子被约束在 (o, a) 一维空间，其势能函数为
0 (0 x a)
E p ( x 0或 x a)
ψ(x) (0 x a)
0 (x 0或 x a)
概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |2 粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) |2dv
量子物作理者：杨§茂波田函数Off薛ic定eX谔p 方版程 一维无限深势阱
P. 8 / 33 .
若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
d 2
dx 2
( i2
量子力学 一维无限深势阱
５５§2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。
一、写出本征问题 势场为：⎩⎨⎧≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dxd 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h (2) 其中∞=0U 。
波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ (3)二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h−μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ a x <(5)５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h 的解为:x 'x'II e 'B e 'A )x (αα−+=ψ a x ≥ (6)x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα−+=ψ a x −≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即：x 'II e 'A )x (α−=ψ a x ≥x 'III e ''B )x (α=ψ a x −≤又由于∞=0U ，则：∞=−μ=α20)E U (2'h于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ；x i xi I Be Ae )x (αα−+=ψ则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i ai a i (9)于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i ai ai =α−ααα−， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π=α，,....2,1,0n ±±= (10)将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i a i ai ，得：0Be Ae 2/in 2/in =+ππ−即:B )1(A 1n +−=代入x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ中，得：５７ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n ,x a 2n cos D ,...6,4,2n ,x a 2n sin C )x (I a x < (11)其中0n =，()0x =Ψ为平凡解，无意义；,...2,1n −−=不给出新的解。
23薛定谔方程习题解答
2. 在有心引力势场k/r中运动的粒子的定态薛定谔方程为
2 2m k ( E ) 0 。 2 r
3.粒子在一维无限深势阱中运动，其基态波函数(x, t)为
Ψ ( x, t ) 2 a sin πx a e
2 2 2 = x , t U x , t x , t 2x 2 1 x, t U x, t ( x, t ) 2m x 2 m U ( x, t ) 2 2x 2 1 m
令上两式相等，得势函数
1
第二十三章
薛定谔方程
一 选择题 1. 已知粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为
x
1 a cos 3πx 2a
a ≤ x ≤ a
那么粒子在x=5a/6处出现的概率密度为 （ A ） A. 1/(2a) B. 1/a C. 1 / 2a D. 1 / a 2. 关于量子力学中的定态，下面表述中错误的是 （ B ） A. 系统的势函数一定与时间无关 B. 系统的波函数一定与时间无关 C. 定态具有确定的能量 D. 粒子在空间各点出现的概率不随时间变化 二 填空题 1. 设粒子的定态波函数为(x,y,z)，则在x(x+dx)范围内找到粒子的概率表达式 为 wx dx
t 2 2 x, t U x, t x, t ，势 2m x 2
2
解：将波函数为 x, t A exp( x 2 i t ) 代入方程的左边，得到
i x, t x, t t
将波函数为 x, t A exp( x 2 i t ) 代入方程的右边，得到
4. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：
n x 2 a sin nπx a
第12章薛定谔方程一维无限深方势阱中的粒子
狄拉克(1928)提出了相对论性的狄拉克方程，它们是量 子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖。
§12.6.1 自由粒子薛定谔方程
粒子在 x 方向匀速直线运动，E、px 不变
i p x x E t Y x , t Y0e p2 2Y x , t x 2 Y x , t 2
x 2Y x , t 2
2 p xY x , t
算符(operator) —— 对波函数的运算、变换或操作。
例如
Y x，t ：算符 代表对波函数关于 t 求导； t t Y x，t ：算符 代表对波函数关于 x 求导； x x
ˆ ˆ xY x，t xY x，t ：算符 x 代表用 x 乘波函数；
§12.7.1 无限深方势阱中的粒子
一、一维无限深势阱 金属中自由电子的运动，是被限制在 一个有限的范围 —— 称为束缚态。 作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势 阱中运动，即它的势能函数为
问题的提出：
德拜：问他的学生薛定谔能不 能讲一讲 De Broglie 的 那篇学位论文呢？ 一月以后：薛定谔向大 家介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程”。 由于经典力学根本没有涉及波粒二象性，微观粒子运动 遵循的方程肯定不能由经典力学导出，它必须根据实验现象 重新建立。 薛定谔(1926)提出了描述微观粒子运动规律的非相对论 性的薛定谔方程.。
由上面可以看出：
Y ( x, t ) ~
2
2 i t ( x )e
( x)
2
即此时，概率密度也可以用 |(x) |2 来表示，即在定态下概率分 布不随时间改变，这正是定态这一名称的由来。(x) 称为定态 波函数。
量子力学解答(3章)
后
ˆ ψ ( x, t ) = −ih ( p (t ) = (ψ ( x, t ), p
案
网
=
3 x 0 −iωt 3 x 0 iωt 3 e + e = x 0 cos ωt 4 2 4 2 2 2
3 1 d 3 d 1 ψ 0 ( x)e −iωt / 2 + ψ 1 ( x)e −i 3ωt / 2 , ψ 0 ( x)e −iωt / 2 + ψ 1 ( x)e −i 3ωt / 2 ) 2 2 dx 2 dx 2
a −a
1 32a π π x cos x sin xdx = 2a a a 9π 2
所以，有
x (t ) =
E − E1 1 32a −i ( E2 − E1 ) t / h 32a [e + e i ( E2 − E1 ) t / h ] = cos 2 t 2 2 2 9π h 9π
3-2 粒子在一维无限深势阱（0<x<a）中运动，已知初始波函数，ψ ( x,0) = cx(a − x) ，c为 归一化常数，请确定c，并计算各能量本征值(En)的测量概率以及 E , ΔE. 解:
ψ n ( x) =
3π
ww
∴ψ ( x,0) = 2 =
于是：
1
sin 2 x = 2
e iϕ − e − iϕ 2 2 ) = 2i 3π 2 3 1 (
w.
3
1 inϕ e 2π
kh
1 2π (2 − e i 2ϕ − e −i 2ϕ )
=
由E =
课
后
2 1 1 − 3 2π 6
2
答
ψ ( x, t ) =
课
后
372第三十七讲一维无限深势阱
解：(1) 已知 ( x) 2 sin n x
aa
sin2 xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
粒子出现在 0 x a/4 区间中的概率为：
P
a 4
(x)
2
dx
2
0
a
a
4 sin2
0
n xdx
a
1 4
1
2 n
sin
n
2
n 1 时， P 1 1 9% 4 2
n 时， P1 4
例1：（P269例21-13） 设质量为 m 的微观粒子处在宽 度为 a 的一维无限深势阱中，试求：(1) 粒子在 0 x a/4 区间中出现的几率，并对 n = 1 和 n = 的情况算出 概率值。(2) 在哪些量子态上，a/4 处的概率密度最大？
(2) ( x) 2 2 sin2 n x
2
2m
d 2 ( x)
dx 2
(x)
E
(x)
e 0 这样就把粒
边界条件： (0) (a) 0
子限制在 0→a 范围内。
由标准条件，波函数在阱内外不能突变。
3、解方程：
阱内： (0 x a)
2
2m
d 2 i ( x)
dx 2
E i ( x)
即为：d
2 i
En
n2
(1.054 1034 )2 3.142 2 1.67 1027 (1014 )2
=2 106 n2 (eV )
E1＝2（MeV）， E2＝8（MeV）
一粒子在一维无限深势阱中动量在基态平均值
一、背景介绍量子力学是描述微观世界的理论体系，它与经典力学有着本质的区别。
在量子力学中，粒子的性质通常通过波函数来描述，而不再是经典力学中的位置和动量。
一维无限深势阱是量子力学中简单而重要的模型之一，它可以帮助我们理解粒子在有限范围内运动的行为。
二、基态与概率分布在一维无限深势阱中，粒子的波函数必须满足边界条件，因此只能存在离散的能量本征态，即量子力学中的基态、一级激发态、二级激发态等。
基态对应能量最低的状态，它的波函数形式通常为正弦函数。
具体来说，一维无限深势阱中粒子的基态波函数为：\[\Psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\]其中，L为无限深势阱的长度。
基态波函数的平均动量可以通过其动量算符的期望值来计算。
动量算符为\(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\)，基态波函数的平均动量可以表示为：\[\langle p \rangle = \int_{-L/2}^{L/2}\Psi^*(x)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi(x)dx\]通过对波函数进行数值计算，我们可以得到基态波函数中动量的平均值。
三、动量平均值的物理解释在一维无限深势阱中，粒子受到势阱的束缚，因此其动量不会是一个确定的值，而是存在一定的不确定性。
基态波函数中动量的平均值表征了粒子运动的一种特定方式。
从物理学角度来看，动量的平均值可以被解释为粒子在基态波函数对应的空间范围内运动的动量加权平均值。
由于基态波函数对应的是粒子能量最低的状态，因此动量的平均值也会相对较小。
四、动量平均值的计算结果经过数值计算，我们可以得到一维无限深势阱中基态波函数的动量平均值。
以长度L为1为例进行计算，基态波函数的动量平均值为0。
这意味着，在基态下，粒子的运动状态呈现出较小的动量。
量子力学3
V ( x) ,
x 0, x a
V (x)
粒子在势阱内受力为零，势能为零。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为一维无限深势阱。 其定态薛定谔方程：
2 d 2 ( x ) V ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
o
a
x
波函数 薛定谔方程 在阱外粒子势能为无穷大，满足：
nx ( x ) A sin( ), a
由归一化条件
n 1,2,3,
A 2 a
0
a
n x A sin ( )dx 1 a
2
波函数 薛定谔方程
量子物理学基础
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数： n ( x) 0, x 0, x a
nx n ( x) A sin( ), n 1,2,3, 0 x a a E 称 n为量子数； n (x ) 为本征态； n 为本征能量。 讨论
波函数 薛定谔方程 二、薛定谔方程 1、薛定谔方程建立应满足的条件
量子物理学基础
（1）波函数应满足含有时间微商的微分方程 （2）要建立的方程是线性的，即如果1 、2是方 程的解，则1 和2的线性叠加 a1+b2 也 应是方程的解。（量子力学态的叠加原理） （3）这个方程的系数不应含有状态参量（动量、 能量等） （4）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非 相对论关系）E=p2/2m在量子力学中仍成立。
2
2 x 2
p
2
( x , t ) 而i E ( x , t ) 一维自由运动粒子的薛定谔方程 t
i 0 2 2m x t
2 2
波函数 薛定谔方程
一维无限深势阱
2008.5
25
对奇宇称态则不同，只当
2 2 mV0a2 / 22 2 / 4
即
V0a2
2h2
2m
，或
V0
2h2
2ma2
时
才可能出现最低的奇宇称能级。
2008.5
26
3、束缚态与分立谱的讨论
由以上分析可知，束缚态能量是分立的。
相应动量也是分立的。 这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。
En
π 22 2ma 2
n2
(n 1,2,3, )
2008.5
8
❖ 由波函数的归一性质定常数 B
a
(x) *(x)dx 1
0
a
B2sin 2kxdx 1
0
得
B 2 a
本征函数
n(x)
2 sin nπ x aa
( n 1,2,3,)
这组函数构成本征函数系。
2008.5
9
⑥定态波函数
n
n
2008.5
16
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
2008.5
17
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
Be
x
1(x)
Aex
A, B为待定常数.
0时， ' ' 0，
取极小值 向上弯曲
0时， ' ' 0，
取极大值 向下弯曲（见右图）
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程
自由粒子 的波函数
(r,
t)
i
0e
( EtPr )
,
可以看出：
E (r,t) i (r,t),
t
P
x
(r,
t
)
i
x
(r,
t
),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
y
(r,
t
)
i
y
(r,
t
),
2 2m
2
V
(r)
(r,
t)
i
t
(r,
t)
分离变量法：设 (r,t) (r) f (t)
i
则：
f (t)
df (t) dt
1 (r)
2 2m
2
V
(r)
(r)
7
i f (t)
df (t) dt
1 (r )
电子，当 E 1eV , V 0 2eV ,
o
a 2 A时 , T 0.51;
o
a 5A时 , T 0.006
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现 16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏” 17
例：质量为 m的粒子处于一维
对称势场
V (x)
0 , 0 x L;
V
(
x)
V0
,
x 0, x
大学物理教程12.4 一维无限深势阱中的粒子
解 由波函数可知，粒子处在宽度为L的势阱中，将波 函数代入薛定谔方程
（1）当n=1时，对应基态的能量为 E1 2 2mL 25 E5 5 E1 2 2mL
2
第12章 量子力学基础
2
当n=5时为第4激发态，对应的能量为
2
12.4 一维无限深势阱中的粒子
（2）波函数的模平方即粒子的几率密度为
12.4 一维无限深势阱中的粒子
步骤： 确定粒子的哈密顿量；
在全空间写出粒子的能量本征方程； 利用波函数的自然条件确定确定能量本征值 和波函数。
处理的问题：
势阱中的粒子——粒子被束缚在某势场中；
势垒对粒子的散射——自由粒子入射到某势 场中。
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
0
V=0
∞
L
该方程的解只能是： x
e ( x) 0
（2）
无限深方势阱
波函数在阱壁上的连续条件、本征能量
i (0) e (0) 0 i ( L) e ( L) 0
（3） （4）
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
Φi ( x) C sin(kx ) i (0) e (0) 0
( x)dx
( x) dx 1
2
( x) dx 1
2
C
2 L
定态波函数为
2 nπ sin x, ( x) L L 0,
第12章 量子力学基础
0xL 0 x, x L
12.4 一维无限深势阱中的粒子
求一维无限深势阱(势箱)中粒子的坐标和动量在能量表
∴ψ n 也为 e iA 的本征函数，对应的本征值为 e ia
3. 在一组正交归一的基矢 1 ， 2 ， 3 所张成的矢量空间里， 定义了
1 0 0 1 0 0 H = hw 0 − 1 0 ， B = b 0 0 1 0 0 1 0 1 0
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E1 = hw
1 0 0 ， E 2 = E3 = −hw ，三个归一化本征矢为 0 ， 1 ， 0 0 0 1
p x = − ih N
∞ 2 n
−∞
−α 2 x 2 2
∫e
−α 2 x 2 2
d H n (αx ) e dx
−α 2 x 2 2
H n (αx ) dx = 0
因为函数 e
H n (αx ) 的一 阶导 数的 奇偶性与其自身 的 奇偶性
相反，故被积函数为奇函数。因此
n
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证明： ∵ A 为厄米矩阵， ∴ A + ∵ e iA = ∑ i
n n
=A (−i ) n n + (−i ) n n (A ) = ∑ A = e −iA n! n ! n
e iA 为么正矩阵
n!
An ，
ˆ 的矩阵表示 ∴在 A 表象中， A
1 0 0 − 1
b11 b12 B = 设 B 在 A 的表象中的矩阵表示为 b b 21 22
1 ˆ2 = B ˆB ˆ = 1得 B = 2 ˆ 2 = 1 ，且 A ˆ +B ˆA 由A 3 −iδ e 2 3 iδ e 2 1 − 2
量子力学01一维无限深方势阱中的粒子
定态方程
2 2 [ V (r )] E (r ) E E (r ) 2m
V ( r ) 不显含t时的形式，是我们后
面讨论大多数物理问题的情况，为 方便，通常将略去 E (r ) 中的下标E。
4
简短回顾（3）
力学量算符
动量算符
动能算符
ˆ i p
2 1
e
a 2 x 2 / 2
E1 3 / 2 1 ( x) 2a axea x 1/ 4 E2 5 / 2 2 ( x)
1
0
/2
2 2
n
0
x
1/ 4
a 2 2 a 2 x 2 / 2 (2a x 1)e 2
20
四、方势垒的反射与透射(1)
经典粒子
2 ˆ T 2 , 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
2 2 ˆ T ˆ V 哈密顿算符 H V (r ) 2m ˆ 能量算符 E i t
角动量算符
ˆ ˆ l r p ir
18
三、一维谐振子(4)
2
4、能量本征态（1） n d / 2 H n ( ) (1) n e e , n 0,1,2, . 因为 ( ) Ae H ( ) ， n d A 要根据 ( )的归一化条件确定，即 其中， * 2 2 ( ) ( ) d | A | H ( ) e d 1 n 1, m n n 由于 H m ( )H n ( )e d 2 n! mn mn 0, m n 得到 A An [a /( 2n n!)]1 2 a m 能量本征态 a x / 2
一维势阱
， n = 1, 2, 3, …
试计算n = 1时，在 x1 = a/4 →x2 = 3a/4 区间找到粒子的 概率．
解：找到粒子的概率为
3a / 4
2 2 x ( x) 1 ( x) d x sin d x a a a/4 a/4
* 1
3a / 4
2 x ) 3 a 1 cos( 1 1 a 4 a dx a 2 π 4
0,
讨论：
2 k 2 22n2 ① 粒子的能量 E n , n 1,2,3, 2 2 2 a
粒子的最低能量状态称为基态，则一维无限深方势 阱的基态能量为：
E1 2 0 2 a
2 2
————零点能
与零点能相对应的，应存在零点运动。这与经典粒 子的运动是相矛盾的。零点能是微观粒子波动性的表 现，因为“静止的波”是没有意义的。
3 n 3
4
n4
x a
a x
第k激发态(n=k+1)有k个节点。
（2）一维无限深势阱的粒子位置概率密度分 布 2
1
n 1
0 2
2
x a n2 x a
a x
0 n3 3
2
0 4 0
2
n4
x a
n时
量子经典
|n | 2
n很大
En
0
a
一维无限深势阱
En n
n ( x)
h 2 En ( x ) n 2 8ma
2 n n ( x) sin x a a
2ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 n n ( x ) sin ( x ) a a
0
a
x
例1: 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数 具有正交性：
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较单淑萍;蔡荔清【摘要】In this paper, we get the ground state energy of the electron in one dimensional infinite deep potential well within two different methods. First, using the wave function continuity characteristics, we derive the ground state energy of the electron according to the boundary conditions. Then, we obtain the expected values of the energy by using opera-tor average value method. The results show that we get the same conclusionby using two methods. Finally, the two methods are compared in others.%本文给出了量子力学一维无限深势阱中求解自由电子基态能量的两种解题方法，法一：利用波函数具有连续性的特点，根据边界条件求解；法二：根据求算符平均值的方法求解，求出能量的期待值。
通过求解我们得到两种解题方法所得的结论一致，并对两种解题方法进行了对比。
【期刊名称】《内蒙古民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】3页(P504-506)【关键词】量子力学;问题;方法;比较【作者】单淑萍;蔡荔清【作者单位】福建省龙岩学院物理与机电工程学院，福建龙岩 364012;福建省龙岩学院物理与机电工程学院，福建龙岩 364012【正文语种】中文【中图分类】O413.1《量子力学》是现代物理学最重要的分支学科，是物理学专业必修的“四大力学”之一.量子力学是将物质的波动性与粒子性统一起来的动力学理论，反映了微观粒子的运动规律.在这门课程的教学过程中，一些教师根据自己的实践教学过程提出了一系列的教学改革方案.邹艳〔1〕根据创新型应用人才培养的实际问题，结合量子力学的课程特点，介绍了在教学内容、教学方法和教学手段等方面所做的一些有益的改革尝试；廖文虎〔2〕等从教学内容、教学方法、教学模式以及教学手段等方面探讨了高等量子力学课程的教学改革，并给出该课程的建设措施以及建设成效；李丽〔3〕等从量子力学课程的性质和特点出发，通过采取研究型教学方式，科研促教学等措施，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的创新思维；韩萍〔4〕等结合量子力学的课程特点，通过讨论式教学，与学科前沿知识密切结合等措施对量子力学在教学方法方面进行了教学改革.平时多见的教改论文一般都是教师根据自己的实践教学对教学过程提出的一系列的改革方案，但对于在教学解题过程中采用不同方法的比较的文章并不多见.本文是对量子力学中一维无限深势阱问题的两种解题方法进行比较，建立了物理模型，并给出了两种解题方法的详细解题过程，并对之加以比较.在微观领域中，有一些反映某一类微观现象共同特征的微观的理想模型，如：谐振子模型、势阱模型、势垒模型等.在教学过程中，穿插这部分知识，使学生对相关内容有更透彻的理解.量子力学中一维无限深势阱的基本概念和基本理论，包括在一维空间中运动的粒子的势能在不同区域内的取值及与其相应的定态薛定谔方程的形式等.考虑一个被限制在宽度为L无限高势垒的一维无限深势阱中的电子，它的势能在一定区域内为零，而在此区域外势能为无穷大，即求体系的基态能量.法一：忽略电子-声子之间的相互作用，在阱内体系所满足的定态薛定谔方程为在阱外（||z＞a）体系所满足的定态薛定谔方程为由⑴知，⑶式中的势能U→∞,根据波函数应该满足的连续性和有限性条件，只有当ψ=0时，⑶式才成立，所以有这是解方程⑵时需要用到的边界条件.为了使问题简化，引入⑵式简化为它的解为根据波函数ψ的连续性，由⑷知将⑺式代入式⑹，得由此得到A和B不能同时为零，否则ψ处处为零，没意义.所以我们得到两组解：由⑼式可求得结合（5）式和（7）式，得到体系的能量为当n=1时，得到体系的基态能量：以上是量子力学教材中〔6〕求解一维无限深势阱中自由电子的能量的解题方法.接下来我们再用另外一种方法求解相同的问题.法二：我们仍然选择同样的模型，在不加任何外场的情况下，在阱内电子做自由运动，体系的哈密顿量表示为在阱内U(z)=0，选择体系的尝试波函数为其中|0〉是零声子态，φn(z)描述无限深势阱中电子沿z方向运动的波函数，其表示为其中则体系的能量的期望值为：当n=1时，电子的基态能量为由以上推导我们可以看出，两种解题方法所得到的结论一致.法一的解题过程利用到了波函数的连续性，进而应用边界条件求解问题；法二是根据算符求平均值法求解.从以上推导过程我们还可以看出，对于求解一维无限深势阱中自由电子基态能量问题，法二计算过程较简单，但法二用到了体系的尝试波函数，而波函数是根据法一中的边界条件求得的，所以只有在系统的尝试波函数已知的情况下，才能利用法二解题.如果考虑电子-声子之间的相互作用〔6〕，即使对体系加上外场，如果在已知体系尝试波函数的情况下，根据法二也能求解此体系的基态能量，而根据法一求解比较困难.〔1〕邹艳.“量子力学”教学改革的探索与实践〔J〕.高等理科教育，2009（3）：118-120.〔2〕廖文虎.高等量子力学课程教学改革与建设措施研究〔J〕.中国西部科技，2012（11）：89.〔3〕李丽.工科专业量子力学教学改革〔J〕.科技创新导报，2011（30）：164-165.〔4〕韩萍.量子力学课程教学改革与实践〔J〕.渤海大学学报，2010（4）：350-352.〔5〕周世勋.量子力学教程（第二版）〔M〕.北京高等教育出版.〔6〕单淑萍.电场对量子阱中弱耦合磁极化子性质的影响〔J〕.内蒙古民族大学学报，2007，22（1）：5-8.。
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如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。ψ(x) = Asinkx
在x = a处也有ψ(a) = 0，所以Asinka = 0， ∞
∞
由于A不恒为零，所以ka = nπ。
k只能取不连续的值，用kn表示，则 kn = nπ/a (n = 1，2，3，…) n称为量子数。
可 得
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
n2
(n = 1，2，3，…)O
要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值，
或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。
n能=量1最状低态的称状为态基，态最，低也能就量是为粒子E1
2h 2 2ma2
h2 8ma2
x a 其他态称
为激发态， E2称为第 一激发态。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
ψ(x) = Asinkx，
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
∞
由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，
所以定态波函数ψ(x) = 0 (x > a，x < 0)。
粒子在阱内定戊波函 数的薛定谔方程为
h2 2m
d2
dx2
E
0(0
≤
x
≤
a)
设 k
2mE / h
方程可 简化为
d2
dx2
k 2
0
O
x a
其通解为ψ(x) = Asinkx + Bcoskx， 波函数为ψ(x) = Asinkx。
0
a
02
a
2
因此
可见：波函数的归一化常数与能级的级
A 2 / a 次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。
波函 数为
n (x)
2 sin nπ x aa
概率密 度为
|
n (x)
|2
2 a
sin2
nπ a
x
可见：粒子在势阱中出现 的概率因地而异，在阱壁 处的概率为零；概率密度 分布还随量子数改变。
当量子数n = 1时，中间出现粒子的概 率密度最大；当量子数n = 2时，有两 个，3，…)
能量En对应 的波函数为
n (x) Asin kn x
Asin nπ x a
(0 ≤ x ≤ a)
不同的能级 具有不同的 波函数。
根据归一化条件 可得
| n |2 dx 1
A2 a sin2 nπ xdx A2 a 1 (1 cos 2n x)dx A2 a 1
这些结果与经典力学根本 不同，按照经典力学的观 点，粒子在势阱内各处出 现的概率应该相等。
能级个 数不妨 取4。
一维无限深势阱中粒子的波函数是正弦函数。 在两壁处，波函数恒为零。
量子数n也是波腹的个数， 波腹之间有n - 1个波节。
粒子的波函数的模方就是概 率密度，其高度表示能级。
在两壁处，概率密度恒为零， 表示此处不会出现粒子。