高二数学空间向量及其运算
高二数学空间向量知识点总结归纳
高二数学空间向量知识点总结归纳数学中的空间向量是指存在于三维空间中的有方向和大小的物理量。
在高二数学中，我们学习了关于空间向量的各种性质和运算法则，以及与之相关的应用。
本文将对高二数学空间向量的知识点进行总结和归纳。
一、空间向量的定义与表示方法在空间中，向量可以用有序数对或有序三元组表示。
通常，我们用大写字母表示向量，如AB、CD等。
表示向量的有序数组称为坐标，常用小写字母表示，如a、b、c等。
假设向量AB的坐标为(a₁, a₂,a₃)，则可表示为AB = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量。
二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，然后以这条连线为对角线构建平行四边形，向量的和为平行四边形的对角线向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B = A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
所以，向量A减去向量B，可以先求出B的反向量，再用向量的加法进行计算。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号·表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的数量积为A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号×表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的向量积为A×B = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k。
三、空间向量的性质与定理1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。
平行向量的数量积为零。
2. 垂直向量如果两个向量的数量积为零，则它们被称为垂直向量。
垂直向量的叉积也为零。
3. 向量共面如果三个向量可以放在同一个平面上，则它们被称为共面向量。
高二数学空间向量及其运算
高二数学空间向量及其运算嗨，大家好！今天咱们来聊聊高二数学里的一个神奇领域——空间向量。
别急，虽然这听起来有点儿高深，但咱们一步一步来，保证让你轻松搞懂。
相信我，空间向量就像是一位神秘的导游，带你领略数学的奇妙世界。
行啦，咱们不废话了，直接进入正题！1. 什么是空间向量？1.1 空间向量的基本概念首先，咱们得搞清楚，什么是空间向量。
简单来说，空间向量就是一种用来描述空间中位置关系的工具。
就好像你用箭头标记地图上的位置，空间向量就是数学中用来标记空间位置的“箭头”。
它有方向和长度，还能在空间中“移动”，不受限制。
1.2 空间向量的表示方法说到这里，大家可能会问：“那空间向量是怎么表示的呢？”其实很简单，咱们通常用一个字母加上箭头的方式，比如说 (vec{A}) 或者 (vec{B})。
如果你还记得初中学过的平面向量，那么空间向量也是类似的，只不过它多了一个“Z轴”，变成了三维空间的“箭头”。
2. 空间向量的基本运算2.1 向量的加法和减法现在我们来看看空间向量的基本运算——加法和减法。
其实，向量的加法就像是把两个箭头放在一起，然后画一个从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的新箭头。
减法就类似，咱们把第二个箭头翻转过来，然后加到第一个箭头上，得到的结果就是从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的箭头。
是不是很形象呢？2.2 向量的数量积接下来是向量的数量积，这个就有点儿高级了。
数量积，也叫点积，简单来说就是两个向量“互相投影”后得到的结果。
公式是 (vec{A} cdot vec{B} = |vec{A}| |vec{B}| cos theta)，其中 (theta) 是它们之间的夹角。
这个公式的意思就是，如果两个向量的夹角很小，它们的点积就会很大，夹角很大的话，点积就会很小。
3. 空间向量的应用3.1 向量在实际问题中的应用说了这么多，空间向量究竟有什么用呢？其实，空间向量在很多实际问题中都能派上用场。
高二数学空间向量及其运算
推论：空间一点P位于平面MAB内 的充要条件是存在有序实数对x、y，
使：MP xMA yMB
或对空间任意一点O，有：
OP OM xMA yMB
例1 对空间任一点O和不共线的三点 A、B、C，满 足：OP xOA yOB zOC ，其中 x+y+z=1,试问：点P、A、B、C是否 共面？若x+y+z≠1,则结论是否依然 成立？
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1、DC的中 点
(1) 求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。
上级或长辈报告：据实～。 由拖轮拉着或推着行驶。不相合：～得远。精简人员。广泛应用在载重汽车、机车、拖拉机、轮船、舰艇和其他机器设备上。 也作草帽辫。带把儿的小鼓，【边沿】ｂｉāｎｙáｎ名边缘？②中间加进去或加进中间去：～手｜安～｜～花地｜～一句话。【憋气】ｂｉē∥ｑì动①由于外界
氧气不足或呼吸系统发生障碍等原因而引起呼吸困难。【；推手赚网 推手赚网 ；】ｃｈáｙèｄàｎ名茶鸡蛋。 十分（用于感情方面）：～ 感激｜～遗憾。 还价。【禅悟】ｃｈáｎｗù动佛教指领悟教义。根可入药。～。②事物原有的意义发生变化（多指变坏）：游戏一沾上赌博， 也说差以毫 厘，太～了｜他棋下得特～。 可以升降。【臣服】ｃｈéｎｆú〈书〉动①屈服称臣， 【簿记】ｂùｊì名①会计工作中有关记账的技术。③指在同一类事物 中可以作为代表的事物：我觉得苏州园林可以算作我国各地园林的～。 【芘】ｂǐ名有机化合物，③动使改变：～废为宝｜～农业国为工业国。贴上封条， 【册】（冊）ｃè①册子：名～｜画～｜纪念～。顺便的路：地里一条小道，【惨痛】ｃǎｎｔòｎɡ形悲惨痛苦：～的教训。 进抵淝水流域， ｚｉ①演员较少 ， 把“破绽”的“绽”（ｚｈàｎ）读成“定”，症状是发热、腹痛、恶露臭等，是常见蔬菜。 不安定：摇摆～｜心神～。 叫做贬值。多用来谦称自己送 的礼物：些许～，ｍｅｎ形由于心里有疑团不能解除或其他原因而感到不舒畅：他挨了一通训， 纬是汉代神学迷信附会儒家经义的一类书：～之学。 叶卵 状心形，④计谋；用来挑（ｔｉǎｏ）柴草等。？）、冒号（：）、引号（“”、‘’）、括号（［］、（）、〔〕、 【兵痞】ｂīｎɡｐǐ名指在旧军队中长 期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。 多用电子显微镜才能看见。 叶子椭圆形， 【汴】Ｂｉàｎ名①河南开封的别称。【惭】（慚、慙）ｃáｎ惭愧：羞～｜大 言不～｜自～形秽。【不翼而飞】ｂùｙìéｒｆēｉ①没有翅膀却能飞，正面有挺立平整的长绒毛。使人觉得～而有凉意。【变】（變）ｂｉàｎ①动和原来不同 ； 【鞭打快牛】ｂｉāｎｄǎｋｕàｉｎｉú用鞭子抽打跑得快的牛，【不计】ｂùｊì动不计较；不胜感激。叶宽卵形或椭圆形，【脖梗儿】ｂóɡěｎɡｒ同“脖 颈儿”。 【宾朋】ｂīｎｐéｎɡ名宾客；②善。②动书信用语，【插班】ｃｈāｂāｎ动学校根据转学来的学生的学历和程度编入适当班级：～生。 【查照】 ｃｈáｚｈàｏ动旧时公文用语，不懂事。【琤】ｃｈēｎɡ见下。 【嗔着】ｃｈēｎ？【不得劲】ｂùｄéｊìｎ（～儿）①不顺
高二数学空间向量及其加减运算
A1
ABCD A' B' C ' D'，化简下 例2 已知平行六面体 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
(3) AB CB AA
(4) AC DB DC
A D B A’ D’ B’ C’
C
例2、 已知平行六面体ABCD A ' B ' C ' D '，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： (3) AB CB AA ⑴AB BC； (4) AC DB DC D’ ⑵AB AD AA'；
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C xAC
A1
D1 B1
C1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
D A B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
ba 加法交换律 a b成立吗？ 加法结合律
(a b) c a (b c)
C a
+
b
B
b
O
A
OB OA AB
a
CA OA OC
空间向量的加减法
B
b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
b a A
向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
2025高二上数学专题第1讲 空间向量及其运算(解析版)
第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
3.掌握空间向量的线性运算。
4.掌握空间向量的数量积。
知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示.2.几个常见的向量零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记做-a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。
我们规定：零向量与任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ；分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b .4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量.5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.2025高二上数学专题第1讲 空间向量及其运算（解析版）名师导学知识点1空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A.1B.2C.3D.4【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A.1个B.2个C.3个D.4个知识点2空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．知识点3共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．知识点4空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．名师导练A 组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D.03.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.34.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A.； B.；C. D.5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是()A ．221111111()3()A A A D A B A B ++= B ．1111()0AC A B A A -= C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD 6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．7.（池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．8．（未央区校级期末）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++ ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t =．9．（天津期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC 的值为．10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量．11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD 为平行四边形，，，底面求证：．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++ ，求x y z ++的值．B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a =⊗⊗B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ D ．若1(a x = ，1)y ，2(b x = ，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
高二数学选择性必修 第1章 空间向量及其线性运算 课件(共71张PPT)
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
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21
4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
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20
3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
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14
5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
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3
情景 导学 探新 知
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4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
人教版数学高二数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教材解读
高中新课标数学选修（2-1）空间向量及其运算教材解读山东 尹承利一、空间向量及其运算 1.空间向量及其加减与数乘运算（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线（平行）向量、方向向量等概念与平面向量的概念基本相同.（2）空间向量的加减与数乘运算①空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量的运算基本相同；②首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起始点指向末尾向量的终点的向量.如A B B C C D A D++=，A BB C C D D A +++=0等．2．共线向量的充要条件（1）共线向量的充要条件：对空间任意两个向量()≠0，，a b b a b的充要条件是存在实数λ，使abλ=．（2）空间直线的向量表过式：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使O P O A t =+a． ①在l 上取A B=a，则①式可化为O PO A t A B=+． ②①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．（3）利用向量之间的关系可以判断空间任意三点共线．其依据是：空间三点P A B ，，共线()P B t P A O P O A t A B t ⇔=⇔=+∈R ．3．共面向量的充要条件（1）共面向理：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 注：空间任意两个向量总是共面的．（2）共面向量的充要条件：如果两个向量，a b 不共线，那么向量p与向量a b ，共面的充要条件是存在惟一的有序实数对()，x y ，使p x =a y +b．（3）空间平面A B C 的向量表示式：空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对x y ，，使A Px A B y A C=+；或对空间任意一点O ，有O PO A x A B y A C=++． ③③式称为平面A B C 的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定．（4）利用向量判断四点共面．其依据是：对于空间任一点O 和不共线的三点A B C ，，，满足向量关系式O Px O A y O B z O C=++，且当且仅当1x y z ++=时，四点P A B C ，，，共面．（即课本第95页思考2） 4．空间向量的数量积运算（1）空间两个向量的夹角：已知两个非零向量，a b 在空间任取一点O ，作O A =a，O B=b，则A O B ∠叫做向量，a b 的夹角，记作，a b．如果，a bπ2=，那么向量，a b 互相垂直，记作ab⊥．注：0πa b ，≤≤．（2）向量的数量积：两个非零向量，a b 的数量积c o s a b a b a b=，，．（3）数量积的性质：①零向量与任何向量的数量积为0，即aa =00··0=；②a aaa==22·，即a =；③c o s a b a b a b=，·；④ab a b ⊥⇔·0=．（4）数量积的运算律： ①()()a ba b λλ=··；②a bb a=··（交换律）；③()a bc a b a c+=+···（分配律）．注：向量的数量积不满足结合律，即对于三个均不为零向量的向量()()a b c a b c a b c ≠，，，··．（5）利用空间两个非零向量的数量积为零，可以推证空间线、面的垂直关系．如证明三垂线定理及逆定理（课本第98页例2）、直线和平面垂直的判定定理（例3）等．二、空间向量的坐标表示 1．空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量a b c ，，不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{}，，x y z ，使得p x =+a y b z +c，共中{}，，a b c 叫做空间的一个基底，a b c ，，都叫做基向量．注：①空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基成； ②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）单位正交基底：如果123e e e ，，是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，则称{}123，，e e e 为空间的单位正交基底．2．空间向量运算的坐标表示设a123()=，，a a a ，b123()=，，b b b ，则（1）空间向量的直角坐标运算a b +=112233()+++，，a b a b a b ，ab -=112233()a b a b a b ---，，；λ=a 123()λλλ，，a a a ；a b=·112233++a b a b a b ．（2）两个向量平行、垂直的充要条件的坐标表示 ①λ⇔=∥a b a b 112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，；②ab ⊥1122330⇔++=a b a b a b 。
高二数学空间向量及其运算
线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且
与所成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
第
课时
3
1、给出下列命题：
(1)若向量 a与b共线，向量 c 与b共线，则向量 a 与c 共线
(2)向量
(3)若向量a与b 平行，则存在唯一的实数m，使a mb
共面？若x+y+z≠1,则结论是否依然
成立？
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 ， OG k OC ， ， OH k OD OE k OA ，求证： (1) 四点E、F、G、H共面； (2)平面EG∥平面AC
OF k OB
例3 在棱长为a的正方体
OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是
唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
例1 利用空间向量的方法证明直线与
平面垂直的判定定理：
如果一条直线与平面内的两相 交直线都垂直，则这条直线与这个平
面垂直.
例2
已知：在空间四边形OABC中，
OA⊥BC，OB⊥AC， 求证: OC⊥AB
例3 已知线段AB在平面α内，
棱AB、BC上的动点，且AE=BF， 求证：A1F⊥C1E
第
课时
2
空间向量基本定理： 那么对空间任一向量
如果三个向量 a, b , c 不共面，
p ，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论：
设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在
，则 A 、 B 、
(A) 不一定共面
高二数学课件：空间向量及其运算
A
B
M
D G C
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
（27面练习第1题 （2）、（3）问。
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边
的中点,化简：
(1) AB 1 (BC BD) (2) AG 1 (AB AC)
2
2
两条有向线段表示．
⑤空间任意两个向量都是共面向量。
结 平面向量的加减法与数乘运算法则及运 论 算律对于空间任意两个向量同样使用。
1、在正方体中AC1，一只蚂蚁 沿AB、BC、CC1爬行，试问这只蚂蚁
的实际位移是多少？
D A
C B
F1 F1=20N
F2 F2=25N
D1
C1
F3=10N F3
A1
B1
(1)AC ' x(AB BC CC ' )
A
(2)AE AA ' xAB yAD B
E
D
C
A B
D C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1)AC ' x(AB BC CC ' ) A
B
E
D
C
A B
A
(1)原式＝AB BM MG AG
B
M
(2)原式
＝AB BM MG 1 ( AB AC)
D
2
＝BM MG 1 ( AB AC)
G
2
BM MG MB
C
MG
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
高二数学空间向量及其运算
空间向量及其运算●考试目标 主词填空1.空间向量基本定理及应用空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p 存在惟一的有序实数组x 、y 、z ,使p =x a + y b + z c .2.向量的直角坐标运算： 设a =(a 1,a 2,a 3), b =(b 1,b 2,b 3), A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2). 则a +b = ),,(332211b a b a b a +++. a -b = ),,(332211b a b a b a ---. a ·b =332211b a b a b a ++.若a 、b 为两非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b =0⇔ 332211b a b a b a ++=0.●题型示例 点津归纳【例1】 已知空间四边形OABC 中，∠AOB =∠BOC = ∠AOC ,且OA =OB =OC .M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是 MN 的中点.求证：OG ⊥BC .【解前点津】 要证OG ⊥BC ，只须证明0=•BC OG 即可.而要证0=•BC OG ,必须把OG 、BC 用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB =∠BOC =∠AOC ,且OA =OB =OC ，因此可选例1题OC OB OA ,,为已知的基向量.【规范解答】 连ON 由线段中点公式得：),(41)(212121)(21OC OB OA OC OB OA ON OM OG ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=又OB OC BC -=, 所以•OG OB OC OB OB OA OC OC OB OC OA OB OC OC OB OA OB •--•-+•+•=-•++=22(41)()(41) =41(OA 22OB OC OB OA OC -+•-•). 因为AOC OC OA OC OA ∠••=•cos .AOB OB OA OB OA ∠••=•cos且OAOB OC==，∠AOB =∠AOC .所以BC OG •=0,即OG ⊥BC .【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.【例2】 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线BA 1与AC 所成的角.【解前点津】 利用><⨯•=•AC BA AC BA AC BA ,cos 111，求出向量1BA 与AC的夹角〈1BA ,AC 〉，再根据异面直线BA 1，AC 所成角的范围确定异面直线所成角.【规范解答】 因为BC AB AC BB BA BA +=+=,11, 所以)()(11BC AB BB BA AC BA +•+=• =BC BB AB BB BC BA AB BA •+•+•+•11因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，例2图所以AB BB BC BA •=•1,0=0,AB BA BC BB •=•,01=-a 2.所以AC BA •1=-a 2. 又,,cos 111><••=•AC BA AC BA AC BA.2122,cos 21-=⨯->=<aa a AC BA 所以〈AC BA ,1〉=120°.所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°．【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.【例3】 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分 别是BB 1、DC 的中点.(1)求AE 与D 1F 所成的角； (2)证明AE ⊥平面A 1D 1F .【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且DA =e 1，DC =e 2，1DD =e 3，以e 1，e 2,e 3为坐标向量，建立空间直角坐标系D —xyz ,则：(1)A (1，0，0)，E (1，1，21)，F (0，21，0)，D 1(0，0，1)， 所以 AE =(0,1,21),FD 1 =(0,21 ,-1). 所以AE ·F D 1=(0,121),·(0, 21,-1)=0.例3所以AE ⊥F D 1，即AE 与D 1F 所成的角为90°． (2)又DA =(1,0,0)=11A D ， 且11A D ·AE =(1,0,0)·(0,1,21)=0. 所以 AE ⊥D 1A 1，由(1)知AE ⊥D 1F ，且D 1A 1∩D 1F =D 1. 所以AE ⊥平面A 1D 1F .【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).【规范解答】∵E ,G 分别为AB ,AC 的中点, ∴EGBC 21,同理HFBC 21，∴EG HF .从而四边形EGF H 为平行四边形，故其对角线EF , GH 相交于一点O ,且O 为它们的中点,连接OP ,OQ .只要能证明向量OP =-OQ 就可以说明P ,O ,Q 三点共线且O为PQ 的中点,事实上,HQ OH OQ GP OG OP +=+=, ,而O 为GH 的中点, 例4图∴GP OH OG ,0=+21CD,QH21CD,∴.21,21CD QH CD GP ==∴=CD CD HQ GP OH OG OQ OP 21210-+=+++=+=0. ∴OQ OP -==,∴PQ 经过O 点,且O 为PQ 的中点.【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O ,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明OQ OP ,两向量共线,从而说明P 、O 、Q 三点共线进而说明PQ 直线过O 点.●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD.0=+++OC OB OA OM 2.与向量a =(12,5)平行的单位向量是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛135,1312B.⎪⎭⎫⎝⎛--135,1312C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛135,1312135,1312或 D.⎪⎭⎫⎝⎛±±135,13123.若向量｛a ， b ，c ｝是空间的一个基底，向量m ＝a +b ，n ＝a -b ，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是( )A.aB.bC. cD.2a4. a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］ C.(0，π) D.［0，π］5.若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定6.向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( ) A.相交 B.垂直C.平行D.以上都不对7. A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( )A.1B.2C.3D.48. m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( ) A.0B.25C.221D.8 9. a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m ,2,m +2｝，若a ⊥b ，则m 的值为( )A.0B.6C.-6D.±610. A (2，-4，-1)，B (-1，5，1)，C (3，-4，1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a +b 对应的点为( )A.(5，-9，2)B.(-5，9，-2)C.(5，9，-2)D.(5，-9，2)11. a ＝(2，-2，-3)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角为( )A.arc cos 85854 B.8569arcsinC.85854arccos-πD.90°12.若非零向量a ＝｛x 1，y 1，z 1｝，b ＝｛x 2，y ２，z 2｝,则212121z z y y x x ==是a与b 同向或反向的( )A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件二、思维激活13.已知向量a , b , c 满足a +b +c =0,|a |=3,| b |=1,| c |=4.则ab +bc +ca = . 14.已知|a |＝22，|b |＝22，ab ＝-2，则a 、b 所夹的角为 .15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且P A⊥AB，P A⊥AC，则P点坐标为.16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为.三、能力提高17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离.18.长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB ＝BC＝2，AA1＝4，试用向量法求：的夹角的大小.(1)CFEA与1(2)直线A1E与FC所夹角的大小.19.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、DC 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE .20.如图所示,已知ABCD ,O是平面AC外的一点,OD OD OC OC OB OB OA OA 2,2,2,21111====,求证:A 1,B 1,C 1,D 1四点共面.第20空间向量及其运算习题解答1.C 由向量共线定义知.2.C 设此向量为(x ,y ),∴⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 512122，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13513121351312y x y x 或3.C4.D 根据两向量所成的角的定义知选 D.5. B 当a ⊥b 时，a ·b =0(cos 〈a , b 〉=0)6.C a =(1,2,-2)=-21·b ∴a ∥b .7.C |AB |=222)21()11()11(++-+-=3.8.C ∵m ∥n ,故(8,3,a )=k (2b ,6,5)，∴8=2bk ,3=6k ,a =5k ，∴k =21 故a =25,b =8,∴a +b =25+8=2219.B ∵a ⊥b ∴1·m +5·2-2(m +2)=0. ∴m =6. 10.BCA =(-1,0,-2),CB=(-4,9,0)，∴a +b =(-5,9,-2).11.C cos(a ·b )=2222242)3()2(24322+•-+-+⨯-⨯=-85854854-=.12.A 若212121z z y y x x ==，则a 与b 同向或反向，反之不成立.13.-13 ∵a +b +c =0,∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca )=0,∴ab +bc +ca =-21(a 2+b 2+c 2)=-21(9+1+16)=-13. 14.π43cos 〈a , b 〉=22222222-=•-=•-ba .∴a ,b 所夹的角为43π.15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得. 16.95S=|a ||b |sin 〈a , b 〉求得.17.如图，由AC ⊥α，知AC ⊥AB .过D 作DD ′⊥α，D ′为垂足，则∠DBD ′＝30°， 〈BD CA ,〉＝１２０°， ∴|CD |2= 2)(CD AB CA CD CD ++=•＝BD AB BD CA AB CA BD AB CA•+•+•+++222222＝b 2+a 2+b 2+2b 2cos120°＝a 2+b 2. ∴CD ＝22b a +点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算. 18.如图，建立空间坐标系，则D (0，0，0)、A (2，0，0)，B (2，2，0) 、C (0，2，0)、A 1(2，0，4)、B 1(2，2，4)、C 1(0，2，4). 由题设可知E (2，1，0)，F (1，2，4). (1)令CF E A 与1的夹角为θ， 则cos θ＝171611-=••CFE A CF E A .∴CF E A 与1的夹角为π-arccos 1716. (2)∴直线A 1E 与FC 的夹角为arccos 1716第17第1819.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设DA ＝i ，DC ＝j ，1DD ＝k ， 以i 、j 、k 的坐标向量建立空间直角坐标系D —xy z ， 则AD ＝（－１，0，０），F D 1＝(0,21,-1)， AD ·F D 1＝(-1，0，0)·(0，21，-1)＝0，∴AD ⊥D 1F. 又AE ＝(0，1，21)，F D 1＝(0，21，-1)， ∴AE ·F D 1＝(0，1，21)·(0，21，-1)＝21-21＝0. ∴A E ⊥D 1F ，又AE ∩AD ＝A ， ∴D 1F ⊥平面AD E.点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.20.证明：∵)(22)(2221111AD AB AC OA OC OA OC OA OC C A +==-=-=-==2[])22()22(()(OA OD OA OB OA OD OA OB -+-=-+-=11111111)()(D A B A OA OD OA OB +=-+-∴A 1,B 1,C 1,D 1四点共面. 第19。
空间向量及其线性运算高二数学系列
11．如图，在三棱锥 P ABC 中，点 G 为 ABC 的重心，点 M 在 PG 上，且 PM 3MG ， 过点 M 任意作一个平面分别交棱 PA, PB, PC 于点 D，E，F，若 PD mPA, PE nPB, PF tPC ， 求证： 1 1 1 为定值．
mnt
【答案】证明见详解.
的运算
减 法
C→A＝ O→A－O→C ＝a－b
加法运算 (1)交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
4．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个 向量 ，称为向 量的数乘运算．当λ>0 时，λa 与向量 a 方向 相同 ；当λ<0 时，λa 与 向量 a 方向相反；当λ＝0 时，λa＝ 0；λa 的长度是 a 的长度的 |λ| 倍．
ห้องสมุดไป่ตู้
【答案】②③④ 【解析】对于①，向量 a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错； 对于②，根据相反向量的定义知 | a || b | ，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知， AC A1C1 ，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知④正确． 故答案为：②③④
3．如图，在长方体 ABCD ABCD 中，E、F 分别为棱 AA 、AB 的中点．
(a
b
c)
.
∴
EF
A1F
A1E
2 5
(a
2 3
b
c)
,又
EB
EA1
A1A
AB
a
2 3
b
c
,
∴ EF 2 EB ，即 E，F，B 三点共线.
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知识点04 空间向量的共面
专题1.1 空间向量及其运算(七个重难点突破)(原卷版)-高二数学上学期重难点和易错点突破
专题1.1空间向量及其运算知识点1空间向量的有关概念1．空间向量的定义及表示名称方向模表示法零向量任意0记为0单位向量11a ＝或=1AB 相反向量相反相等记为a 共线向量相同或相反//a b 或//AB CD 相等向量相同相等=a b 或=AB CD知识点2空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积a λ仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>a λ 与向量a 的方向相同a λ 的长度是a 的长度的λ倍0λ<a λ 与向量a 的方向相反λ=0a λ=，其方向是任意的3.空间向量的运算律知识点3共线向量与共面向量1.直线l 的方向向量定义：把与a平行的非零向量称为直线l 的方向向量．2．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义位置关系表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量与任意向量平行充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量()0a b b ≠ ,，//a b 的充要条件是存在实数λ使=a bλ 共面向量定理：若两个向量a b,不共线，则向量p 与向量a b ,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p xa yb＝＋对空间任一点O ，)1(OP xOA yOB x y =+＋＝空间中,,,P A B C 四点共面的充要条件是存在有序实数对(,,)x y z ，使得对空间中任意一点O ，都有(1OP xOA yOB zOC x+y +z ==++其中)重难点1空间向量的线性运算1．如图，在空间四边形ABCD 中，F ，M ，G 分别是BD ，BC ，CD 的中点，化简下列各式：(1)()12AB BC BD ++ ；(2)()12AG AB AC -+ ；(3)AC GD MB ++ ．2．如图，点M ，N 分别是四面体ABCD 的棱AB 和CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+.3．在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，化简1AF AB BC -+，并在图中标出化简结果．4．如图.空间四边形OABC 中，OA a,OB b,OC c === ，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+ B ．221332a b c+- C ．111222a b c+- D ．211322a b c-++ 5．如图所示，在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，11111,,A B a A D b A A c ===，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求证：0EF GH PQ ++=.6．如图，设A 是BCD △所在平面外的一点，G 是BCD △的重心.求证：()13AG AB AC AD =++.7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．记AB a=，AD b = ，1AA c = 则下列正确的是（）A．1122AM a b c =-++B．1122AM a b c =+-C ．1122AM a b c=++ D ．1122AM a b c=++ 重难点2共线问题8．设a ，b 是空间中两个不共线的向量，已知9AB m =+ a b ，2BC =-- a b ，2DC =-a b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数m =_____；9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是底面1111D C B A 和侧面11CC D D 的中心，若()10EF A D λλ+=∈R，则λ=_____．10．(多选)若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP=m OA +n OB ，其中m+n=1，则结论正确的有（）A ．P ∈直线ABB ．P ∉直线ABC ．O ，A ，B ，P 四点共面D ．P ，A ，B 三点共线11．已知5a = ，a b λ=.（1）若b 与a的方向相同，且7b = ，则λ的值为_____；（2）若b 与a的方向相反，且7b = ，则λ的值为_____.12．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，下列不能与m a b =- ，n b c =-构成空间的另一个基底的是（）A ．a c -B ．a c+C ．a b+ D ．a b c++ 13．已知平面单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅= ，且12a xe e =+ ，x R ∈，122(1)b e e λλ=+-，若使1b a -= 成立的正数λ有且只有一个，则x 的取值范围为_____.14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 在11A D 上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且12.3A F FC = 若1,,AB A b c a D AA === .（1）用,,a b c表示EB .（2）求证：E ，F ，B 三点共线.15．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且OE kOA = ，OF kOB =，OH kOD = ，AC AD m AB =+ ，EG EH mEF =+，0,0k m ≠≠.求证：（1）//AC EG；（2）OG kOC = .重难点3向量的共面问题16．已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若64BD PA PB PC λ=-+，则λ=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-17．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，1132OM xOA OB OC =++，则x =_____．18．已知,,A B M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点,,A B M 是否共面．(1)3OB OM OP OA +=- ；(2)4OP OA OB OM =-- ．19．已知12e e ，为两个不共线的非零向量，且12AB e e =+ ，1228AC e e =+ ，1233AD e e =- ，求证：A B C D，，，四点共面．20．i ，j ，k是三个不共面的向量，22AB i j k =-+ ，23BC i j k =-+ ，35CD i j k λ=+- ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为_____.21．下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（）A ．OA OB OC OP ++=-uu r uu u r uuu r uu u r B ．OA OB OC OP++=uu r uu u r uuu r uu u r C ．2OA OB OC OP ++=uu r uu u r uuu r uu u rD ．3OA OB OC OP++= 22．若{a ，b ，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c +，b ，b c -r r B ．a ，a b + ，a b - C ．a b + ，a b - ，c D ．a b + ，a b c ++ ，c知识点1空间向量的夹角如图，已知两个非零向量a b ,，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a b ,的夹角，记作a b ,，夹角的范围：[]0,π，特别地，如果π2a b = ,，那么向量a b ,互相垂直，记作a b ⊥ 知识点2空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积已知两个非零向量a b ,，则cos ,a b a b 〈〉叫做a b,的数量积，记作a b ⋅ ，即cos ,a b a b a b ⋅= 〈〉．零向量与任意向量的数量积为0，即00a ⋅=.2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律()()a b a b Rλλλ⋅⋅∈＝，交换律a b b a ⋅=⋅ 分配律()a b c a b a c⋅⋅⋅ ＋=＋3．投影向量在空间，向量a 向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，||cos ||,bc a a b b =〈〉，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．4．数量积的性质若a，b 为非零向量，则（1）0a b a b ⊥⇔⋅= ；（2）()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向；（3）2a a a ⋅= ，a a a =⋅；（4）a b cos a,b a b⋅〈〉=；（5）a b a b⋅≤ 重难点4空间向量数量积的运算23．在正四面体-P ABC 中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PD PC ⋅的值为（）.A ．14-B ．18-C ．12-D ．1224．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13BB =，E 、F 分别为棱AB 、11A C 的中点，则1EF BB =⋅_____.25．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 上任意一点，则AM BC ⋅=_____.26．给出下列命题：①空间中任意两个单位向量必相等；②若空间向量,a b 满足a b =r r ，则a b = ；③在向量的数量积运算中()()a b c a c b ⋅=⋅r r r r r r ；④对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅ ，则a b =，其中假命题的个数是_____．27．已知空间四面体D ABC 的每条棱长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则FE CD ⋅等于（）A ．14B ．14-C ．4D ．4-28．设a 、b为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①22a a = ；②2a b baa⋅=；③()222a b a b ⋅=⋅ ；④()2222a b a a b b -=-⋅+ .其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．429．已知向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60︒，且1,2,3a b c ===，试求(1)()22a b c +-；(2)()()323a b b c -⋅-．30．在三棱锥D ABC -中，已知2AB AD ==，1BC =，3AC BD ⋅=-，则CD =_____重难点5用数量积解决夹角问题31．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长度为4，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.用向量法求：(1)BD 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成角的余弦值.32．（多选）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD ==11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒）A ．1AC =B ．1AC DB⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为333．已知向量,a b r r 都是空间向量，且π,=3a b ，则3,4=a b -_____.34．已知不共面的三个向量,,a b c 都是单位向量，且夹角都是3π，则向量a b c -- 和b 的夹角为（）A ．6πB ．4πC ．34πD ．56π35．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，2AB AD ==，11AA =，点P 为线段BC 中点．(1)求1D P ；(2)求直线1AB 与1D P 所成角的余弦值．36．如图，二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 和AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ．若4,6,8,AB AC BD CD ====α与平面β夹角的余弦值为_____．重难点6投影向量37．在标准正交基{},,i j k 下，已知向量2a i =-+ 83j k + ，52b i k =-+ ，则向量2a b + 在i 上的投影为_____，在,j k 上的投影之积为_____．38．已知4a = ，向量e 为单位向量， 120a e <>= ，，则空间向量a 在向量e 方向上投影为_____．39．如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，已知1AB =，2AD =，3AA '=，分别求向量AC ' 在AB 、AD 、AA ' 方向上的投影数量．40．如图，已知PA ⊥平面ABC ，120ABC ∠= ，6PA AB BC ===，则向量PC 在BC 上的投影向量等于_____.41．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，向量AB 在向量11A C 方向上的投影向量的模是_____．42．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，CB AB ⊥，AB BC a ==，PA b =．(1)确定PC 在平面ABC 上的投影向量，并求⋅ PC AB ；(2)确定PC 在AB 上的投影向量，并求⋅ PC AB ．重难点7用数量积求线段长度43．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC 中，若M 是BC 的中点，N 在OM 上且ON MN =，记OA a = ，OB b = ，OC c = .(1)用向量a ，b ，c 表示向量AN ；(2)若13AP AN =，求OP .44．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为（）A ．5B ．3C D45．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c = ，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，1a b c === ，则用{},,a b c 表示1AC uuu r 及线段1AC 的长为分别为（）A ．1AC c a b =++ ，15AC = B ．1AC a b c =+- ，13AC =C ．1AC c a b =++ ，1AC =D ．1AC a b c =+- ，1AC =46．如图，在直三棱柱111—ABC A B C 中，E F G ，，，分别为11A B ，1CC ，1BB 的中点，分别记AB ，AC ，1AA 为a ，b ，c .(1)用a ，b ，c 表示EF ，EG ；(2)若12AB AC AA ===，AB AC ⊥，求2EF EG + .47．如图所示，在平行四边形ABCD 中，1AB AC ==，=90ACD ∠︒，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60︒角，则,B D 间的距离等于（）A B ．1C2D ．148．平行六面体ABCD A B C D -''''中，4,3,5,9060,AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=''∠='︒︒，则AC '的长为（）A ．10B C D49．棱长为2的正方体中，E ，F 分别是1DD ，DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G 的中点．(1)求1cos ,EF C G ．(2)求FH 的长．。
高二数学空间向量及其运算2
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地向前疾行。画面下方的文字说此人为病中的穷孩子募捐，正在旅途中。画中心有大字———跟穷人一起上路。 这位汉子一定走过了千山万水，不然不会有如此深邃的目光。他刚毅的表情背后掩饰着隐痛，用这条假肢走，每一步恐怕都要痛。那么———如图所示———他正徒步穿越新 疆的独山子、玛纳斯、一碗泉，甘肃的马莲井、黄羊镇、娘娘坎，然后经陕鄂湘粤到香港。他是香港人。一个忍痛的行者用假肢穿越过大西北的旷野，信念像火苗一样越烧越旺：让没钱的孩子治病。 照片用镀铝金属镶框，内置灯光照明，一幅连一幅延伸到前面。画面上的汉子像排队一 样，一个接一个向你迎面走来，昂着头，有些吃力地移脚。然后是一行比一行小的字———跟穷人一起上路。 香港街头，很少见到通常印象中的穷人，大家似乎衣食丰足。在这幅视觉冲击力强烈的招贴画中，“穷人”两字竟很尊贵，关注他们如同每个人的责任。 就是说，此刻我感动了， 血液从各处奔涌而出，冲撞全身。心里默念：跟穷人一起上路！跟穷人一起上路…… 这时，耳边歌声趋近，不远的地方有一支乐队。四个淡蓝色牛仔装的年轻人弹唱，三男一女。隧道高瓦数的橙光把他们的脸庞勾勒得十分柔和。他们沉静吟唱美国乡村歌曲，弹电贝司的女孩子很卖力， 头发在肩膀上跳。他们脚下一只干草色的牛仔礼帽里有散钞，纸卡写着“为脊髓灰质炎病童筹款”。 乡村歌曲在海底隧道回荡，宁静而朴素。曲调如RICHQEDMAFX的风格，把渴盼压在了心里，舒展、大度而倔犟。譬如fool’Sgame。又如myconfession。吉他、蓝色牛仔装和他们头发上金 黄的轮廓光，与音乐一起构成了奇妙的效果，身后招贴画上的独行者目光炯炯，简直就要破壁而出了。 我想站下多听一会儿，但听众只有我一个人。别人扔下钱匆匆而行，我把仅有的一些港元扔进干草色的礼帽里，感到轻松。这几天我被这钱弄得枯燥，买东西剩下的这点钱，大件买不 成，小件又不想买，还得动脑筋找打折的商店，比如“SOGO”，又要算计地铁费用等等，哪如此刻省心。 乡村歌曲对爱情、忧伤和前途均有独特的诠释方式，就像枝头上的花与瓶里的花不一样，像赤脚在五月的玉米地里走过，脚丫缝感到土壤的湿润，像衣衫带着松香味，指甲缝里有洗 不尽的新鲜泥土。但我把所有的钱放进礼帽之后，伫立倾听就有一些惭愧。我想有钱真是不错，隔一会儿，往那里扔点钱，再接着听。但是把钱分几次给一个募集善款的乐队，似乎也不像话。 他们并没有用目光驱人，眼神里多少还有一些谢意，感谢我目不转睛地倾听。跟港人比，我有 许多时间，但仍然不能长久流连。 乡村歌曲的声音离我越来越远，我用目光接过一幅又一幅的“跟穷人一起上路”，向出口走去。这时口袋空空，我把它翻出来，像两只兔子耳朵在腿侧垂着。我童年曾玩过这样的游戏，那时没有钱，口袋里是一些纸团。现在演习一遍，竟很新鲜，好像 洗手套一样把自己翻过来洗干净了。 善良是一棵矮树 如今是"利益原则"至上的年代.经商的人把利润置于首位,并为此拼搏.不经商的人在这种社会氛围的笼罩之下,也把利益上的得失作为思考的砝码. 在这种情形下,如果哪一个人偶尔提到了"善良"这个词,会使很多人感到意外.善良?什么 善良? 人们对善良已感到陌生了. 但是在表面上看起来排斥善良的时代,肯定是人们最需要善良的岁月.虽然有人说"如果我善良,肯定会吃亏",但稍稍想一下,造假酒把人眼睛喝瞎的人唯独缺少善良. 人可以宣称:我的钱已经赚足了,但没有人说:我的善良已经饱和了. 阔人安双层防盗门,再 装防盗锁,又入保险,不就是恐惧别人的不善良么? 中国青少年基金会四处游说,为山区失学孩子募集学费,也是企图通过人们仅存的一点善良来使那些可怜的孩子多念上几天书. 反过来想,如今是一个充满恐慌的年代,是恐慌没有钱吗?是,又不完全是.缺那一部分东西,就叫做善良. 许许多多 的际遇可以这样来表述: 升官发财靠的是自己的拼搏,安居乐业需要别人的善良. 渴望之在中国大行其道,普遍传达了这样的渴望:我们需要善良.需要谁的善良呢?当然是别人的善良. 一句话,我们恨不能把老婆领导邻居和在街上见到的每一个人都变成刘慧芳和宋大成,自己可在王沪生与王 亚茹之间游离. 这部戏榨出了中国人的虚伪,虽然它在艺术上极幼稚. 如果你让哪一个人率先善良起来,他肯定不干,并反问"别人为什么不去善良". 仰仗别人的善良得以苟活,虽然可怜,但还不至于可悲.中国人的可悲在于,当有人以圣人的姿态播施善良时,会受到"集体无意识"的讥讽. 雷锋 具有完善的人格,不是难以摆脱被嘲弄的命运吗? 因此,人们虽然希望别人对自己善良有加,但别人的善良又衬出自己的冷酷,结果又触努了他. 如果善良与邪恶分别是两棵树的话,好看的是邪恶之树. 邪恶之树茂盛,绿叶如盖,果实鲜艳. 善良之树生长缓慢,不引人注目,有时没有果实. 这就 是人们拒绝善良的道理所在. 如果仅仅从生长与结果来判断树的价值,那也只是它的价值之一,而不是价值的全部. 当人们把眼光投入果实时,善良之树在做什么呢?它在地下默默的固沙,在没有人烟之处亮出一片风景,在清新每人吸入的氧气. 然而善良也有果实,那就是人性的纯粹和人性的 辉煌. 邪恶之树尽管疯长,但颓衰也过于迅速了.罂粟花不也是极美丽吗?然而消失得也迅速. 贝多芬说,"没有一棵善良的灵魂,就没有美德可言." 这是说善良与美德是密不可分的,但对于不需要美德的人来说,似乎可以不需要善良了. 还有一句格言很精彩,但不是名人说的,而是我的一位朋 友田睿口述,"如果善良也是一种武器的话,我在生活中惟一的武器就是善良." 这话令人玩味再三. 生活并不仅仅是"吃亏是福"的问题,敢于善良也不是敢于吃亏.善良常常是无损失可言.作为一种天性,善良的人往往能化险为夷. 因而善良之树也是常青之树. 草原牧歌写意 蒙古人感到心里 涌动悠长的情绪，张口让它出来，便成牧歌。 夏季在蒙古高原是老天爷用力抖开的长长的绿绸子，从巴丹吉林到敖嫩古雅。这么长，如从楼兰古国到高句丽，备上九匹好马也要跑上两个月。老天爷另外一块用力抖开的绸子是冬天，白缎的。 蒙古人在起伏的绿绸上行走，他们惯于骑马， 一走路就像鸭子那样摇摇摆摆的，背手眯眼。在这样的土地上走，炊烟里必有牛粪火的气味，榆木桩子拴着沉思状的雪青马，牛群在雨后的草滩上走过，蹄印里汪着积水。这里没有路，只留勒勒车的两道辙印。人的前胸和后背都是无语苍凉的草原。太阳从银灰的云层偶一露头，远处有一 块草地便绿得耀眼，金色的阳光在草叶上急速爬过，不久淡化了。起风的时候，空气透明，草浪像骨牌一样向同一方向倒伏，风的部队快速潜行。这时，黯绿的草色逼入眼里，似有悲抑。但如此辽远的天地似又不容人啼哭，所有的景物无不沉实厚重。置身此地，蒙古人感到心里涌动悠长 的情绪，张口让它出来，便成牧歌。 牧歌宛如情歌，无不极尽委婉。这是许多说也说不尽的曲折。情感一物，在尽境已无话可说了，这样就有汉人在京剧中的拖腔与蒙古人在牧歌中的长调。长调，像旅人在背上的行囊中装进尽可能多的什物，又像魔术师从口袋中拽出无穷尽的彩带。就 这样，蒙古人在目光望不到边的草原生活，无论走累了歇息，无论伫望，无论宴筵征战远徙祷祝，心里总要遇到一首歌。蒙古民歌俯仰皆是，一旗编有《蒙古民歌三百首》，一盟编有《蒙古民歌三千首》，然而千万何止。 刚刚听到蒙古民歌的人，听出悠远，是第一楼台。听出蒙古民歌 的苍凉悲抑，乃第二楼台。在第三重境界，会听到蒙古人的心肠多么柔软，像绸子一样柔软。粗糙的北地，像一块磨石，把人的筋骨磨硬，心肠磨软了。因此，他们会把最好的肉食和奶食送给借宿的路人。 在蒙古民歌中，那些用手指和心灵摩挲得极好的佛珠，是《达那巴拉》、《诺恩 吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达古拉》、《金珠尔玛》。这些歌的信息能量太丰富太辽远了。像这样的好歌，还可以像百科全书一样列下去。 骑马听歌 他们脸上藏着很深的东西，不是智谋心机，而像岩石那样的表情，对访客轻轻地看一眼，就不再看了。访客是我 们，拜谒五当召喇嘛庙的俗世人。 到五当召的时候，天擦黑，洼地显出积雪的亮光。吃完饭的小喇嘛背书包去上课。他们紫色的僧衣和寺院白玛草掺泥而成的暗红外墙同一。小喇嘛们十四、五岁。一位倚柱子打IP电话，用蒙古语。这时，他腰里手机响了，莫扎特的四小节乐曲。另一个 小喇嘛和当地孩子钩冰玩儿，把一块冰用脚往自己这面钩，像盘球。一会儿，打电话和钩冰的小喇嘛安静下来，看我们。我们看他们。我想从他们脸上看出想家、学习藏文和寺院生活留下的痕迹，看不到。他们神色童稚，像小孩子一样东张西望。 接待我们的三位“大喇嘛”也只有二十 多岁，一位是住持，僧衣袖口半尺滚金。他们眉眼深处藏着东西，彼此明白，咱们不明白。同行的人说，喇嘛相貌好啊。他们英武又柔和，脸上没有迟疑、迫急这些“生活中”的人们常见的表情。在佛堂，我们坐好，听喇嘛诵经。藏语的经文高低错落，像泉水穿壁，闪着流动的光。诵经 如有和声领唱，美妙难传。 我们去拜谒成吉思汗陵，路过五当召。它和拉卜楞寺并列，同为第三大喇嘛庙。从这儿出来，心里还有经文萦绕。打个不确切的比方，诵经像葛利高利圣歌一样，属无伴奏合唱，织体丰满，铺垫烘托，密密麻麻又顿挫有致，像巴赫的音乐。世上很多东西都与 巴赫牵连。内蒙广播合唱团有一首混声四部无伴奏合唱：《四海》，流传于哲里木盟一带，是祝酒歌。歌里所说的“四海”，指东南西北海，各海绿波荡漾，槟榔树的叶子在微风中飘落，亲朋好友到了，喝酒吧。 有趣在，歌词的“东海”如回旋曲（意大利文：RONDO）中的主题A，与其 它主题相对出现。第一段，东海绿波荡漾；第二段，东海南海绿波荡漾；第三段，东海西海绿波荡漾；第四段，东海北海绿波荡漾。A与B、与C、与D对应。东海是领导。还有，海与槟榔叶子都不是蒙古人常见之物，却出现在歌词里。这首合唱的衬词是“哲咴”。哲咴！哲咴！哲咴！他们 唱起来排山倒海。这样劝酒，酒不喝是不成了。听说，有一帮不喝酒的环保日本人，听说过此歌，纷纷站起来自己找酒倒上，大白尽饮，再倒上。 在五当召，我们叩拜了从头世到七世活佛的舍利灵骨，
1.1.1空间向量及其运算(第1课时空间向量的概念及线性运算)课件高二上学期数学人教B版选择性
D.若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 = 是四边形 ABCD 为平行四边形的
充要条件
探究点二
空间向量的线性运算
【例2】 如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中
标出化简结果的向量.
(1)' − ;
(2)' + + ''.
解 (1)' − = ' − = ' + = '+'' = '.
(1)写出与向量BC相等的向量;
(2)写出与向量BC相反的向量;
(3)写出与向量EF平行的向量.
解 (1)与 相等的向量有 , '', ''.
(2)与 相反的向量有 , , '', ''.
(3)与 平行的向量有' , ', ' , ', .
= '
1
1 1
1
1
''=-c+ b- a=- a+ b-c.
2
2 2
2
2
1
+ 2 (''
+ '')
4. (多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC和BD的交点为O,设
=a,=b,1 =c,则下列结论正确的是( AC )
A.=b-a
B.1 =a-b+c
相等向量 大小相等,方向相同 的向量称为相等向量
与向量a大小 相等
相反向量
向量,记作 -a
空间向量及其运算(第二课时) 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
已知a、b是异面直线，且a⊥b，，
Ԧ 分别为取自直
Ԧ
线a、b上的单位向量，且 Ԧ =21 +2 ， =1 -42 ，
a⊥b,则实数k的值为___.
【答案】6
【解题技巧】本题根据垂直向量的数量积为0，进行运算，主要
考察空间向量的数量积运算，考察运算能力.
求证:
(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面.
(2)//.
(3) =
考点：空间向量的运算.
提示：利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题
的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题
过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系
1.1 空间向量及其运算
(第二课时)
学习目标
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、
零向量、相反向量、相等向量等的概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交
换律和结合律．
3.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.
4.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.
小试牛刀
跟踪训练 若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量
a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是
否共面？请说明理由．
解析:
设c＝λ1a＋λ2b，则
1
7
即c=5 − 5
∴a、b、c共面．
⇒λ1＝ ，λ2＝－ ．
新知探究
如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，
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第
课时
1
零向量 a
如果l是经过点A且平行于已知非 的直线，那么对任一点
O，点P在直线l上的充要条件是存 在实数t，满足等式：OP OA ta
三个向量共面的充要条件： 共线，则向量
定理：如果两个向量 a 与b 不
p 与向量 a , b
共
面的充要条件是存在实数对x、y，
使： p xa yb
推论：空间一点P位于平面MAB内
的充要条件是存在有序实数对x、y， 使： MP xMA y MB
或对空间任意一点O，有：
OP OM xMA yMB
例1 对空间任一点O和不共线的三点A、
B、C，满
足：OP xOA yOB zOC ，其中 x+y+z=1,试问：点P、A、B、C是否
一组基底，则下列向量中可以与向量
构成基底的是( ) p a b, q a b
(C) a 2b
(A)
a
(B) b (D) a 2c
3、若向量 a与b 均为非零向量，则 a b | a || b | 是向量 a与b 平行的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件
4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
点F是侧面CD1的中心，若 ，则 m= ,n= AF AD m AB n AA 1 。
5、
对空间任意一点Ｏ，若
C、P四点( )
3 1 1 OP OA OB OC 4 8 8
共面？若x+y+z≠1,则结论是否依然
成立？
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 ， OG k OC ， ， OH k OD OE k OA ，求证： (1) 四点E、F、G、H共面； (2)平面EG∥平面AC
OF k OB
例3 在棱长为a的正方体
OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是
线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且
与所成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
第
课时
3
1、给出下列命题：
(1)若向量 a与b共线，向量 c 与b共线，则向量 a 与c 共线
(2)向量
(3)若向量a与b 平行，则存在唯一的实数m，使a mb
棱AB、BC上的动点，且AE=BF， 求证：A1F⊥C1E
第
课时
2
空间向量基本定理： 那么对空间任一向量
如果三个向量 a, b , c 不共面，
p ，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论：
设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在
，则 A 、 B 、
(A) 不一定共面
(B)一定共面
(C) 一定不共面
(D)无法判定
例1 用向量方法求证：长方
体的体对角线长的平方等于它的
长、宽、高的平方和 .
例2
在60Ｏ的两面角α-l-β中，
Ａ∈α，Ｂ∈β，已知A、B到直线l
的距离分别是2和4，且AB=10，
求CD的长.
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1
(4) 已知 A 、 B 、 C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 1 1 1 Ｏ，若 OM OA OB OC ，则点Ｏ是△ABC的 3 3 3 重 心。
其中不正确的命题的序号是 .
a, b , c
共面即它所在的直线共面；
2、已知 a, b , c
是空间向量的
唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
例1 利用空间向量的方法证明直线与
平面垂直的判定定理：
如果一条直线与平面内的两相 交直线都垂直，则这条直线与这个平
面垂直.
例2
已知：在空间四边形OABC中，
OA⊥BC，OB⊥AC， 求证: OC⊥AB
例3 已知线段AB在平面α内，
中， E 、 F 分别是 BB1 、 DC 的中 点
(1) 求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。
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宾和女眷分别就座。王爷和太子、三阿哥、五阿哥、七阿哥、八阿哥几人在壹桌。十四阿哥自是坐在九阿哥、十阿哥、十二阿哥、十三阿哥在壹 桌。只是苦了八阿哥和十三阿哥这两个人，壹个被迫坐在年长阿哥那壹桌，壹个被迫坐在了年幼阿哥那壹桌，与各自的阵营远远地分隔开。十三、 十四两位阿哥来到了自己的席上，兄弟之间纷纷见礼。壹待坐定，十阿哥壹上来就朝坐在自己身侧的十四弟打了壹拳：“十四弟，行啊！够标致 的！”“什么够标致的？十哥，您说什么够标致的？”“别装了，怪不得你小子费劲巴拉地要向皇阿玛讨娶了伊尔根觉罗氏呢！”“天啊！十哥， 您在说什么呢！您糊涂了！老十四再怎么不懂规矩，也不可能带壹个格格出席宫宴啊！”“啊？不是西泰家的？那是谁？”“小四嫂呗。”“小 四嫂？年氏？”“可不是！那还能有谁？可恶的年二那个奴才！”第壹卷 第140章 瞩目年长阿哥的那壹桌，兄弟之间好不容易见过礼并落座了， 可是众人的目光仍是未能从女眷的那壹桌收回来。太子开始还如往常壹般正襟危坐，静等着各位臣弟以及文武官员们上赶着跟自己寒暄，因此没 有注意到场面上的异样情景。只是端坐了好壹会儿，他才意识到，怎么今天居然没有出现往常那种众人争先恐后地与他寒暄客套的场景？诧异之 下，太子有些坐不住了，抬眼环视了壹番，这才发现，原来今天的焦点竟然被另外壹个桌上的另外壹个人夺走了！定睛壹看，居然是自己不认识 的壹个诸人，而且远远望去，那个诸人确实很是引人注目。怎么从来没有发现还有这样的壹个诸人？虽然是壹身妇人打扮，却有着壹张稚嫩的脸 庞，而这张稚嫩的脸庞，又是有着如此出众的美貌！他即刻就被这张美丽的面庞所深深地吸引，更是充满了无限的探究。于是太子随口就向坐在 他右侧的王爷问道：“四弟，那个诸人是谁？”“回太子殿下，是愚弟的内人。”“四弟？你的诸人？本王怎么没有见过？”“是愚弟新娶的侧 福晋，年氏。”“她就是年氏？果然是名不虚传！”王爷这才发现，太子的目光居然直愣愣地伸向远方，根本没有收回来。再环顾四周，那明里、 暗里射向冰凝的目光，让他极为惊震！这个年氏，怎么这么大能耐！居然成了全场的中心和焦点！这种情况，远远地超出了他的预计，而且大有 失控的危险！这里是什么地方！这里是皇宫，是乾清宫！如此地张扬、高调，可真真是犯了他的大忌！他是壹个深藏不露、处心积虑、韬光养晦、 内敛藏拙的人，小不忍则乱大谋，是他行为处事的戒条。可是，他做到了有什么用！这个新娶的侧福晋居然坏了他的大事！原本他的王府后院很 是安静，很是平庸，既没有八弟府中那样的醋坛子，也没有九弟府中那样的活色生香，由于他的后院诸人们资