(江苏专用)高三数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算课时跟踪检测文
高考数学一轮复习 1.1 集合的概念与运算
2.如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子集,2n-1 个真子集. 3.正确理解交、并、补集的含义是解决集合的运算问题的关键.数轴和 Venn 图是进行集合交、并、补运算的有力工具.
12
核心考点
(4)空集: 不含任何元素的集合
叫做空集,记作: ⌀
.
规定:空集是 任何集合的子集 .
4
知识梳理
双击自测
知识梳理
-5-
3.集合的基本运算
并集
符号 表示
A∪B
图形 表示
交集 A∩B
补集
设全集为 U,集合 A 的 补集∁UA
含义
A∪
B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B={x|x∈A,且 x∈B}
∁UA={x|x∈U,且 x∉ A}
-13-
考点一
考点二
考点三
考点一集合的基本概念
1.设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的
个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
关闭
由题意知 x=a+b,a∈A,b∈B,则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此,集合 M 共有 4 个元素.故选 B.
关闭
B
13 解析 答案
核心考点
-14-
考点一
考点二
考点三
2.若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则 a=( )
(6)设全集为 R,函数 y= 1-������2的定义域为 M,则∁RM={x|x>1,或 x<1}.( )
高三数学第一轮复习1.1 集合的概念与运算
B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}. ∵C={x∈R|-1≤x≤5}, ∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
B解析-21-关闭 关闭答案第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
≥ <
2������, -1
或
������ + 3 2������ >
≥ 4,
2������,解得
a<-4
或
2<a≤3.
综上可得,实数 a 的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
(-∞,-4)∪(2,+∞)
图(1) 图(2)
关闭
解析 答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-19-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合, 从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各 个集合,从元素(或图形)中寻找关系.
2.解决集合间的基本关系的常用技巧:(1)若给定的集合是不等式 的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求 解;(3)若给定的集合是抽象集合,则常用Venn图求解.
()
A.A=B
B.A∩B=⌀
C.A⊆B
D.B⊆A
思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系
的常用技巧有哪些? 关闭
∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x>-3}.
又B={x|x≥2},∴B⊆A.
江苏2020版高考数学第一章集合与常用逻辑用语1第1讲集合的概念与运算课件
答案：{x∈R|x<4}
{x∈R|0<x<4}
{x∈R|x≥3}
集合中的新定义问题
m A (1)定义集合的商集运算为B＝x|x＝ n ，m∈A，n∈B，
已知集合
k B A＝{2，4，6}，B＝ x|x＝2－1，k∈A ，则集合A∪B
1．已知集合 A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且 1∈A，则实数 a＝________．
解析：由题意可知：a＋2＝1 或(a＋1)2＝1 或 a2＋3a＋3＝1，解 得： a＝－1 或 a＝－2 或 a＝0.据元素的互异性可排除－1 和－2， 所以 a＝0.
答案：0
2. 已知集合 M＝{y|y＝x2＋1， x∈R}， N＝{x|y＝x＋1}， 则 M∩N ＝________．
(2)因为 a2＋3≥3，所以由 A∩B＝{1}，得 a＝1，即实数 a 的值 为 1.
【答案】 (1){1，8} (2)1
集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助 Venn 图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解； (3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或 Venn 图求解； (4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然 后适时应用数形结合求解．
解析：因为 A＝{0，－4}，A∩B＝B，所以 B⊆A，分以下三种 情况： ①当 B＝A 时，B＝{0，－4}，由此可知，0 和－4 是方程 x2＋ 2(a ＋ 1)x ＋ a2 － 1 ＝ 0 的 两 个 根 ， 由 根 与 系 数 的 关 系 ， 得 Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＞0， －2（a＋1）＝－4， 解得 a＝1； a2－1＝0，
答案：(－∞，3)
高三数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念与运算精品课件
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度 不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统 计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是 考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不 同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集 合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有 实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1， 也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量 词、 基本 逻辑 联结 词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号 结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1课
第1课集合的概念及运算1．集合的含义与表示①集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．②集合中元素与集合的关系意义符号表示a属于集合A a是集合A的元素a∈Aa不属于集合A a不是集合A的元素a∉A③集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图．④常用数集的表示集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示N N*Z Q R2．集合间的基本关系①子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B．②真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则AÜB．③相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3.集合的基本运算4．集合A元素的个数为n则n-．①A的子集个数为2n．②A的真子集个数为215. 集合的运算及性质A B A A B =⇔⊆I ，A B A B A =⇔⊆U ．【例1】（2013延庆一模）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =U ，则m =（ ）A ．0或．0或3 C ．1．1或3【答案】B【解析】∵A B A =Y ，∴A B ⊆，∴3=m 或m m =．若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ，满足A B A =Y ． 若m m =，解得0=m 或1=m ．若0=m ，则{1,3,0},{1,0}A B ==，满足A B A =Y ．若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上：0=m 或3=m ．【变式】（2014黑龙江质检）设集合223|144x y A x ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，2{}B y y x ==,则A B =I （ ）A ．[2,2]-B ．[0,2]C ．[0,4]D ．[0,8]【答案】B 【解析】∵2223|1|1444x y x A x x ⎧⎫⎧⎫=+==≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}{}2|4|22[2,2]x x x x =≤=-≤≤=- 2{}{0}[0,)B y y x y y ===≥=+∞，∴[0,2]A B =I ．【例2】(2013惠州调研）已知集合{1,1}A =-，{10}B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为（ ）A ．{1}-B ．{1}C ．{1,1}-D ．{1,0,1}-【答案】D【解析】(1)若0a =时，得B =∅，满足B A ⊆；（2）若0a ≠时，得1B a ⎧⎫=-⎨⎬⎭⎩．B A ⊆，∴11a -=-或11a -=，解得1a =，或1a =-． 故所求实数a 的值为0，或1，或1-．【变式】已知集合A ={|25}x x -<≤，}121|{-≤≤+=m x m x B 且A B A =U ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(,3]-∞D ．(2,)+∞【答案】C【解析】 ∵ A B A =U ，∴ B A ⊆．（1）当B =∅时，则121m m +>-，解得2m <．（2）当B ≠∅时，则12121512m m m m +≤-⎧⎪-≤ ⎨⎪+>-⎩，解得23m ≤≤． ∴实数m 的取值范围是3m ≤．【例3】（2013揭阳一模）已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，集合1{|(),0}2x B y y x ==>，则A B =I （ ）A ．(1,)+∞B ．(1,1)-C ．(0,)+∞D ．(0,1)【答案】D【解析】∵{|1}(1,)A x x =>-=-+∞， {|01}(0,1)B y y =<<=，∴(0,1)A B =I ．【变式】（2013山东高考）已知集合A 、B 均为全集{1,2,3,4}U =的子集，且U (){4}A A B =U ð，{1,2}B =，则U ()A B =I ð（ ）A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅【答案】A【解析】∵U (){4}A B =U ð，∴4A ∉且4B ∉，∵{1,2}B =，∴3B ∉，3A ∈，∴{3}A =，或{1,3}A =，或{2,3}A =，或{1,2,3}A =，∴U {3,4}B =ð，U ()A B =I ð{3}．【例4】(2013珠海一模）设U 为全集，对集合X Y 、，定义运算“⊕”，满足U ()X Y X Y ⊕=U ð，则对于任意集合X Y Z 、、，()X Y Z ⊕⊕=（ ）A ．U ()()X Y Z U U ðB ．U ()()X Y Z I U ðC ．U U [()()]X Y Z U I 痧D ．U U ()()X Y Z U U 痧【答案】D【解析】()[()]()()U U U X Y Z X Y Z X Y Z ⊕⊕=⊕=U U U 痧?．【变式】设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合{,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，则P Q +中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】B 【解析】∵{,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，∴当0a =时，a b +的值为1,2,6；当2a =时，a b +的值为3,4,8；当5a =时，a b +的值为6,7,11，∴{1,2,3,4,6,7,8,11}P Q +=，∴P Q +中有8个元素．第1课 集合的概念及运算的课后作业1．（2013福建高考）若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，则B A I 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．16【答案】C【解析】∵{1,3}A B =I ，∴A B I 的子集为,{1},{3},{1,3}∅．2．（2014惠州调研）已知集合{1,2,3}M =，{14}N x Z x =∈<<,则（ ）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N M ID ．)4,1(=N M Y【答案】C 【解析】{14}{2,3}N x Z x =∈<<=，故{2,3}M N =I ．3．（2013全国高考）设集合{}{}1,2,3,4,5,A B =={}|,,,M x x a b a A b B ==+∈∈则M 中的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】{5,6,7,8}M =，M 有4个元素．4．(2014中山质检）设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,8【答案】B 【解析】阴影部分表示U ()A B I ð，故选B ．5.(2013·惠州一模)若集合2450{|}A x x x =--= ，21{|}B x x == ，则A∩B＝( )A ．－1B ．{－1}C ．{－1,5}D ．{1，－1}【答案】B【解析】由集合A 中的方程2450x x --=，解得：5x = 或1x =-，所以集合,5{}1A =- ，由集合B 中的方程21x =，解得：1x = 或1x =-，所以集合,1{}1B =- ，则1{}A B =-I ．故选B.6. (2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合{}1,2,3,4A = ，2{|}B x x n n A ==∈，，则A B =I ( )A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}【答案】A【解析】因为2x n n A =∈，，所以1,4,9,16x = .所以{}1,4,9,16B = ． 所以{}1,4A B =I ，故选A.7．(2013·梅州二模)已知集合2{}3,A a = ，集合1{}0,,B b a =-，且A∩B＝{1}，则A∪B＝( )A ．{0,1,3}B ．{1,2,4}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2,3,4}【答案】C【解析】因为2{}3,A a =，集合1{}0,,B b a =- ，且A∩B＝{1}，所以21a =，解得：1a = 或1a =- ，当1a = 时，1110a -=-= ，不合题意，舍去；当1a =- 时，(1112)a ---== ，此时1b =，所以{}3,1A = ，集合{}0,1,2B = ，则{}0,1,2,3A B U ＝ ．故选C.8．若全集U R ＝ ，集合{|}{|}10A x x x x =≥≤U ，则U A ＝ð ________.【答案】{x|0＜x<1}9．(2012·上海卷)若集合1{}0|2A x x =-> ，{|1}B x x =< ，则A∩B＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜x ＜1 【解析】解得集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12，集合B ＝{x|－1＜x ＜1}，求得A∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜x ＜1. 10．(2013·河南调研)设全集22,3{,23}I a a +-＝ ，{|21|}A a =，＋ ，{}I 5A =ð，|2{}M x x log a == ，则集合M 的所有子集是________________．【答案】∅ 、{1}、{2}、{1,2}【解析】因为I ()I A A =U ð，所以2{}{2,3,232,5,|1|}a a a +-=＋，所以|a ＋1|＝3，且2235a a +-= ，解得4a =- 或2a = .所以{}22,241|2|,{}M log log -== ． 11．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 6x ＋1≥1，x∈R ，220{|}B x x x m =--< ，若{|}14A B x x -=<<I ，求实数m 的值．【解析】由6x ＋1＞1，得x －5x ＋1≤0，所以－1＜x≤5，即A ＝{x|－1＜x≤5}， 又A∩B＝{x|－1＜x ＜4}，所以4是方程220x x m --= 的根，于是24240m -⨯-=，解得m ＝8.此时24{|}B x x =<<- ，符合题意，故实数m 的值为8.12．设全集I R =，已知集合2{|()}30M x x =+≤ ，2}6{|0N x x x =+-= ．(1)求I ()M N I ð；(2)记集合I ()A M N =I ð，已知集合{|}15,B x a x a a R =-≤≤-∈，若B∪A＝A ， 求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵2{|()30}{3}M x x =+=-≤ ，26{|}{32}0,N x x x =+-==-， ∴I |}3{M x x R x =∈≠-且ð ，{}I ()2M N ∴=I ð ．(2){}I 2()A M N =I ＝ð ，∵A B A U =，B A ∴⊆ ，∴B =∅ 或{}2B = ，当B =∅时，15a a ->- ，∴3a > ；当{}2B =时，1252a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =从而3a ≥，综上所述，所求a 的取值范围为[3,)+∞．。
(江苏专版)高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合讲义-人教版高三全册数学试题
§1.1 集 合命题探究考纲解读考点 内容解读要求 五年高考统计常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.集合的含义与表示 1.表示集合2.元素个数问题 A填空题 ★☆☆2.集合的关系 1.集合关系判断2.集合关系的运用A4题5分填空题 ★★★3.集合的运算 集合的交并补运算A1题5分1题5分 填空题 ★★☆分析解读 高考考查集合的试题可以分为两大类:一类是集合概念题,另一类是集合运算题,考查重点为集合的运算.为容易题,若以集合为载体与其他知识交汇考查,则可能为中档题.五年高考考点一 集合的含义与表示1.(2017课标全国Ⅱ理改编,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x 2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=. 答案 {1,3}2.(2016某某改编,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=. 答案 {1,3}3.(2016,14,5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种;②这三天售出的商品最少有种.答案①16②29考点二集合的关系(2013某某,4,5分)集合{-1,0,1}共有个子集.答案8考点三集合的运算1.(2017某某理改编,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=.答案{1,2,4}2.(2016某某,1,5分)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.答案{-1,2}3.(2016改编,1,5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=.答案{x|2<x<3}4.(2016课标全国Ⅱ改编,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=.答案{1,2}5.(2016课标全国Ⅲ改编,1,5分)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁A B=.答案{0,2,6,10}6.(2016课标全国Ⅱ理改编,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=.答案{0,1,2,3}7.(2016某某改编,1,5分)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=.答案{2,6}8.(2015课标Ⅱ改编,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=.答案{-1,0}9.(2015某某改编,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁U B=.答案{2,5}10.(2015某某改编,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q=.答案(1,2)11.(2015某某改编,1,5分)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=.答案[0,1]12.(2015某某改编,1,5分)设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=.答案{x|-1<x<3}13.(2015某某改编,1,5分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于.答案{1,-1}14.(2015某某改编,9,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为.答案4515.(2014某某改编,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=.答案{x|0<x<1}16.(2014某某改编,1,5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=.答案[0,1)教师用书专用(17—22)17.(2014某某改编,1,5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=.答案{2}18.(2014某某改编,2,5分)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=.答案[1,3)19.(2014某某,11,5分)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B=.答案{7,9}20.(2013某某理改编,2,5分)设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(∁R S)∪T=.答案(-∞,1]21.(2013某某理改编,2,5分)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=.答案(1,2]22.(2013某某理改编,2,5分)已知全集为R,集合A=,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩∁R B=.答案{x|0≤x<2或x>4}三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一集合的含义与表示1.(苏教必1,一,1,变式)有下列四个集合:①{x2-1};②{x2-1=0};③{x|x2-1=0};④{x∈N|x2-1=0}.其中恰有2个元素的是.答案③2.(苏教必1,一,1,变式)下列各组中M,P表示同一集合的序号是.①M={3,-1},P={(3,-1)};②M={(3,1)},P={(1,3)};③M={y|y=x2-1,x∈R},P={x|x=t2-1,t∈R};④M={y|y=x-1,x∈R},P={(x,y)|y=x-1,x∈R}.答案③3.(苏教必1,一,1,变式)集合A=的元素个数为.答案 34.(苏教必1,一,1,变式)已知集合A=, 则集合A用列举法表示为.答案{0,2,3,4,5}5.(2018某某某某中学月考)已知集合A={x|x2-2x-a<0},且1∉A,则实数a的取值X围是.答案a≤-1考点二集合的关系6.(苏教必1,一,2,变式)已知全集为R,集合A={x|x<1或x≥5},则∁R A=.答案{x|1≤x<5}7.(苏教必1,一,2,变式)已知⌀⫋{x|x2-x+a=0},则实数a的取值X围是.答案a≤8.(2018某某某某期中)已知集合A={0,1,2},集合B=,且B⊆A,则实数x=.答案9.(2017某某某某运河中学开学考试,1)设集合M={2,0,x},集合N={0,1},若N⊆M,则x=.答案 1考点三集合的运算10.(苏教必1,一,3,变式)已知集合M={0,2,4},N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=.答案{0,4}11.(苏教必1,一,3,变式)若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a},且满足A∩B={2},则实数a=.答案 212.(2018某某金陵中学月考)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=.答案{4}13.(2018某某海安测试)设集合A={1,2,3,4},B={x|x2-2x-3=0},则A∩B=.答案{3}14.(2017某某某某中学摸底,1)已知集合A={x|x>0},B={-1,0,1,2},则A∩B等于.答案{1,2}15.(2017某某某某高淳模拟,1)已知集合A={x|y=lg(x+1)},B={x|x≥2},则A∪B=.答案{x|x>-1}16.(2017某某某某学情调研,1)已知集合A={0,1,2},B={x|x2-x≤0},则A∩B=.答案{0,1}17.(2017某某某某自测,1)设集合M={-1,0,1},N={x|x2+x≤0},则M∩N=.答案{-1,0}18.(2017苏锡常镇四市调研)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2-6x+5≤0,x∈Z},则∁U M=. 答案{6,7}B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(2017某某某某期中)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=.答案{1,4}二、解答题(共20分)2.(2018某某金陵中学月考)已知A=,B={x|x2-4x+4-m2≤0,m>0}.(1)若m=3,求A∩B;(2)若A∪B=B,某某数m的取值X围.解析(1)易知A=(2,7),若m=3,则B=[-1,5],∴A∩B=(2,5].(2)∵m>0,∴B=[2-m,2+m].又A∪B=B,∴A⊆B,∴∴m≥5,故实数m的取值X围为[5,+∞).3.(2016某某启东中学阶段检测,15)已知集合A={x||2x-1|<3},B={x|x2-(a+2)x+2a≤0}.(1)若a=1,求A∩B;(2)若A∩B=A,某某数a的取值X围.解析(1)A={x||2x-1|<3}=(-1,2).当a=1时,B=[1,2],∴A∩B=[1,2).(2)B={x|x2-(a+2)x+2a≤0}={x|(x-a)·(x-2)≤0},∵A∩B=A,∴A⊆B.①当a=2时,B={2},不符合题意;②当a<2时,B=[a,2],由A⊆B得a≤-1;③当a>2时,B=[2,a],此时A⊈B,不符合题意.综上所述,实数a的取值X围为(-∞,-1].C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 集合中的参数问题1.(2016某某某某、某某、某某二调,3)设集合A={-1,0,1},B=,A∩B={0},则实数a的值为.答案 1方法2 集合的基本关系及应用2.(2016某某四地六校联考,5)已知集合A=,B={x|≤2,x∈Z},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为.答案8方法3 集合中综合运算问题3.(2016某某如东中学阶段检测,9)已知函数f(x)=x2+2x-3,集合M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},则集合M∩N表示的区域的面积是.答案4π方法4 集合中的新概念、新运算问题4.设A是自然数集的一个非空子集,如果k∈A,k2∉A,且∉A,那么k是A的一个“酷元”.给定集合S={x∈N|y=lg(36-x2)},设M⊆S,且集合M中的两个元素都是集合M的“酷元”,那么这样的集合M有个.答案 5。
(江苏专版)2019届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算课件文
3．已知集合 A＝{3，4}，集合 B 满足 A∪B＝{3，4}，则满
4 足条件的集合 B 的个数为________ ．
[解析] 因为 A＝{3，4}，B∪A＝{3，4}， 所以 B⊆A，故满足条件的集合 B 的个数为 22＝4 个．
4．A、B 是非空集合，定义 A×B＝{x|x∈A∪B，且 x∉A∩ B} ． 若 A ＝ {x|y ＝ x2－3x } ， B ＝ {y|y ＝ 3x} ， 则 A×B ＝
确定性 、__________ 互异性 、无序性． (1)集合元素的特性：__________ a∈A ；若 b (2)集合与元素的关系：若 a 属于 A，记作__________ b∉A ． 不属于 A，记作__________ 列举法 、__________ 描述法 、图示法． (3)集合的表示方法：__________
第一章 集合与常用逻辑用语
要 内 容 A 集合及其表示 1．集 合 子集 交集、并集、补集 √ B
求 C
√ √
第一章 集合与常用逻辑用语
内
容
要
A √ B
求
C
命题的四种形式 充分条件、必要条件、
2．常用逻
辑用语
充分必要条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√
简单的逻辑联结词
全称量词与存在量词
√
√
第一章 集合与常用逻辑用语
要 内 容 A B
2. 已知集合 M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{x|y＝x＋1}，则 {y|y≥1} ． M∩N＝________ [解析] M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}， N＝{x|y＝x＋1}＝{x|x∈R}，所以 M∩N＝M＝{y|y≥1}．
【精选】江苏专版版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合课件
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.1 集 合
知识清单
1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:① 确定性、互异性、无序性 . (2)常用数集及其表示符号
名称 非负整数集 (自然数集)
符号
N
正整数集 ② N*或N+
整数集 有理数集
③Z
Q
实数集 R
2.集合间的基本关系
定义
记法
集合 间的 基本 关系
1},则A∩B所表示的平面图形的面积为
.
解析 如图,A∩B所表示的平面图形为图中阴影部分,由对称性知S1与S3 面积相等,S2与S4面积相等.
故S阴影= 1 π·12= .
2
2
答案
2
方法 4 集合中的新概念、新运算问题
解决集合中的新概念、新运算问题时,要关注以下几点:
(1)要具有一定的阅读能力,耐心细致读题,理解透题意是解题的关键.
表示的集合,要紧紧抓住代表元素及其属性,可将元素列举出来直观发
现,或通过元素特征定性分析.应做到意义化(分清集合的种类)、具体化
(具体求出相关的集合并化简)、直观化(借助数轴、Venn图、函数图象
等). 例2 已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3}.若C∩A=C,则a的取值
范围为
2
由①②,得a≤-1.
答案 a≤-1
评析 (1)要注意“⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集” 在解题中的应用.在解决含有参数的方程或不等式的问题时,经常容易 漏掉对空集的讨论. (2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件,一定要把端 点值代入进行验证,否则易出现增解或漏解的现象.
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高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲 集合的概念与运算课件 文
4a≤－12，
－8≤a<0，
则 －1a>2， 所以－12<a<0.
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又因为 a<0，所以－12<a<0. 当 a>0 时，若 B⊆A，如图，
则 －1a≤－12，所以0<a≤2，
a4≥2，
0<a≤2.
又因为 a>0，所以 0<a≤2.
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综上知，当 B⊆A 时，－12<a≤2. (3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时，A＝B. 由(1)、(2)知，a＝2.
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(2)利用 Venn 图分析集合间的关系 如图，利用 Venn 图分析集合间的关系，进行集合间的运算 更加直观．
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1．已知集合 A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且 1∈A，则实 数 a＝____0____． [解析] 由题意可知：a＋2＝1 或(a＋1)2＝1 或 a2＋3a＋3＝1， 解得：a＝－1 或 a＝－2 或 a＝0.据元素的互异性可排除－1 和－2，所以 a＝0.
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2．已知 P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合 P 中恰有 3 个元素， 则 k 的取值范围为__(5_，__6_]__． [解析] 因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P＝{3，4，5}，故 k 的 取值范围为 5<k≤6.
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集合与集合的基本关系 (2018·南通调研)已知集合 A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合 B＝x|－12<x≤2. (1)若 A⊆B，求实数 a 的取值范围； (2)若 B⊆A，求实数 a 的取值范围； (3)A、B 能否相等？若能，求出 a 的值；若不能，试说明理 由．
高考新创新一轮复习理数江苏专版教师用书：第一章+集合与常用逻辑用语
第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合本节主要包括3个知识点：1.集合的基本概念；2.集合间的基本关系；3.集合的基本运算.基础联通抓主干知识的“源”与“流”(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． 2．常用数集及记法 数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 记法NN *或N ＋ZQR考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求元素(个数)或已知元素个数求参数[例________．(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.[解析] (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素．(2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.故a ＝0或98.[答案] (1)5 (2)0或98[方法技巧]求元素(个数)的方法一般给定一个新定义集合，如“已知集合A ，B ，求集合C ＝{z |z ＝x *y ，x ∈A ，y ∈B }(或集合C 的元素个数)，其中‘*’表示题目设定的某一种运算”．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*”，一一列举x ，y 的可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，从而得出z 的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．元素与集合的关系[例2] (1)a 的取值集合为________．(2)(2018·苏州模拟)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． [解析] (1)逐一验证可得a 可以取2,3,4，即a 的取值集合为{2,3,4}． (2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.[答案] (1){2,3,4} (2)－32[方法技巧]利用元素的性质求参数的方法已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法： (1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值． (2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]设集合P ＝{x |x 2－2x ≤0}，m ＝30.5，则下列关系中正确的序号是________． ①m P ；②m ∈P ；③m ∉P ；④m ⊆P .解析：易知P ＝{x |0≤x ≤2}，而m ＝30.5＝3＞2，∴m ∉P . 答案：③2.[考点一]已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为________．解析：集合B 中的元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．答案：93.[考点二](2018·徐州模拟)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.解析：因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.答案：24.[考点一]已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5＜k ≤6. 答案：(5,6]5.[考点二](2018·如东中学高三月考)已知x 2∈{0,1，x }，则实数x 的值为________． 解析：由集合中元素的互异性可知x ≠0，x ≠1，所以x 2＝1解得x ＝－1或x ＝1(舍去)． 答案：－1突破点(二) 集合间的基本关系A B 或B A∅B 且B ≠∅含有n 除集合本身)；非空真子集的个数为2n －2(除空集和集合本身，此时n ≥1)．[例1] 已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．[解析] 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C 为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．[答案] 4 [易错提醒](1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记．集合间的关系考法(一) [例2] (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则集合A ，B 之间的关系是________．(2)(2018·无锡期初测试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2π＋π3，k ∈N ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2π－π6，k ∈N ，则集合A ，B 的关系是________．[解析] (1)由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A .(2)法一：由已知得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π6，4π3，11π6，…，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，π3，5π6，4π3，11π6，…，所以A B .法二：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2π＋π3，k ∈N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π6(3k ＋2)，k ∈N ， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k 2π－π6，k ∈N ＝⎩⎨⎧x | x ＝π6(3k －1)，k ∈N .对任意x 0∈A ，设x 0＝π6(3k ＋2)，k ∈N ，则x 0＝π6[3(k ＋1)－1]．∵k ∈N ，∴k ＋1∈N ，∴x 0∈B ，A ⊆B .对于集合B ，由k ＝0得－π6∈B ，但－π6∉A ，∴A B .[答案] (1)B A (2)A B [方法技巧]判断集合间关系的三种方法(1)列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(2)结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(3)数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．[提醒] 在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．考法(二) 根据集合间的关系求参数[例3] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[解析] ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅， 则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [答案] (－∞，3] [易错提醒](1)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．(2)对于含有参数的集合，需思考参数对集合的影响，尤其注意该集合是否为空集．能力练通抓应用体验的“得”与“失”解析：因为A ＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7. 答案：72.[考点二·考法(一)](2018·南通模拟)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，有下列四个关系：①P ⊆Q ；②Q ⊆P ；③∁R P ⊆Q ；④Q ⊆∁R P . 其中正确关系的序号是________．解析：因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，所以∁R P ＝{y |y ＞1}，又Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}，所以∁R P ⊆Q .答案：③3.[考点二·考法(二)]已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a ＝________.解析：∵A ⊆B ，∴a ＋3＝1，解得a ＝－2. 答案：－24.[考点二·考法(二)]已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]突破点(三) 集合的基本运算(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A . (2)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅. (4)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )，∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．[例1] x ＜3}，则A ∩B ＝________.(2)(2018·南京溧水高三第一次检测)设集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2}，则A ∪B ＝________. (3)(2017·北京高考改编)已知U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，则∁U A ＝________. [解析] (1)在集合A 中满足集合B 中条件的元素有－1，2两个，故A ∩B ＝{－1,2}． (2)由A ＝{2,3}，B ＝{1,2}，得A ∪B ＝{1,2,3}． (3)根据补集的定义并结合数轴可得∁U A ＝[－2,2]． [答案] (1){－1,2} (2){1,2,3} (3)[－2,2][方法技巧] 求集合交集、并集或补集的方法步骤集合运算的综合应用[例2] (1)B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝________.(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝____________. (3)(2018·常州月考)已知集合M ＝(－3，－1)，N ＝{x |2x ＋a ≤0}，若M ∩N ＝M ，求实数a 的取值范围是________．[解析] (1)因为∁U B ＝{2,5,8}，所以A ∩(∁U B )＝{2,3，5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}． (2)∵A ∪B ＝{x |x ≤0}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≤0或x ≥1}， ∴∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．(3)因为集合N ＝⎝⎛⎦⎤－∞，－a 2，而M ∩N ＝M 得M ⊆N ，所以－a2≥－1，即a ≤2. [答案] (1){2,5} (2){x |0＜x ＜1} (3)(－∞，2] [方法技巧]集合运算综合应用问题的解题策略(1)进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合用不等式形式表示时，可借助数轴求解，对于端点值的取舍，应单独检验．(2)注意灵活地将集合的运算性质转化为集合间的关系，再利用集合间关系解决问题．集合的新定义问题[例3] (2018·x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R }，则A ⊕B ＝____________________.[解析] 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥－94，B ＝{y |y ＜0}， 所以A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＜－94， A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥0或y ＜－94. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥0或y ＜－94[方法技巧]解决集合新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．能力练通抓应用体验的“得”与“失”解析：集合A＝{x|－2＜x＜2}，集合B＝{－1,0,1,2,3}，所以A∩B＝{－1,0,1}．答案：{－1,0,1}2.[考点一](2018·南通模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝________.解析：∵A＝(0，＋∞)，B＝(－1,1)，∴A∪B＝(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞)3.[考点二](2018·淮安模拟)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝________.解析：由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x＜－1或x＞3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3＜x＜4}．答案：{x|3＜x＜4}4.[考点三]定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素之和为________．解析：∵A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，且A＝{1,2}，B＝{1,2}，∴A*B＝{1,2,4}，故A*B中的所有元素之和为1＋2＋4＝7.答案：75.[考点二]设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)＜0}，B＝{x|x＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A＝{x|x(x＋3)＜0}＝{x|－3＜x＜0}，∁U B＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩(∁U B)，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x＜0}．答案：{x|－1≤x＜0}为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.答案：12．(2017·全国卷Ⅲ改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B 中元素的个数为________．解析：因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y ＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.答案：23．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝________.解析：M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝{x|0≤x≤1}．答案：{x|0≤x≤1}4．(2017·全国卷Ⅱ改编)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________.解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．答案：{1,3}5．(2018·镇江中学高三模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－1＜0}，则图中的阴影部分表示的集合为________．解析：因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|－1＜x＜1}，所以A∪B＝{x|－1＜x≤2}，A∩B＝{x|0≤x＜1}．故图中阴影部分表示的集合为∁(A∪B)(A∩B)＝(－1,0)∪[1,2]．答案：(－1,0)∪[1,2]6．(2018·扬州月考)已知集合A＝{x|x2－2x－a＜0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．解析：由A＝{x|x2－2x－a＜0},1∉A得12－2×1－a≥0，解得a≤－1.答案：(－∞，－1]7．(2018·如东高三第一次检测)已知全集U＝N(N是自然数集)，集合A＝{x|x－2＞0}，则∁U A＝________.解析：由U＝N，A＝{x|x－2＞0}得∁U A＝{x|x≤2，x∈N}＝{0,1,2}．答案：{0,1,2}8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝________.解析：由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，则A ∪B ＝{－1，2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．故A ∪B ＝{－1,2,3,5}．答案：{－1,2,3,5}9．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪(∁R B )＝________.解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∪(∁R B )＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)10．(2018·盐城模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则实数m 的值构成的集合为________．解析：由题可知A ＝{－1,2}，又B ∩(∁U A )＝∅，所以B ＝∅或{－1}或{2}．若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{－1}，则m ＝1；若B ＝{2}，则m ＝－12.故实数m 的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－1211．(2018·常熟高三月考)若非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的实数a 的集合是________．解析：借助数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥3，3a －5≤22，解得6≤a ≤9.答案：{a |6≤a ≤9}12．(2018·启东市一中月考)定义：满足任意元素x ∈A ，则|4－x |∈A 的集合称为优集，若集合A ＝{1，a,7}是优集，则实数a 的值为________．解析：依题意，当x ＝1时，|4－x |＝3∈A ，当x ＝7时，|4－x |＝3∈A ，所以，a ＝3时符合条件．答案：313．(2018·南通模拟)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素的个数是________．解析：由定义可知A ×B 中的元素为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)．其中使log x y ∈N 的有(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)，共4个．答案：414．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝yy ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________________．解析：A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2， ∴3≤a ≤2或a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[3，2]．答案：(－∞，－ 3 ]∪[3，2](1)能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)命题都可以写成“若p 则q ”的形式．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.命题的真假判断[例1](2018·个命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．其中是假命题的有________．(填写所有假命题的序号)[解析]垂直于同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，①为假命题；平行于同一平面的两条直线可以相交，平行或异面，②为假命题；α与β相交，只要在α内平行于两平面交线的直线必平行于另一个平面，③为假命题；垂直于同一平面的两条直线一定平行，④为真命题．[答案]①②③[方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系1.将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．四种命题间具有相对性，一旦将一个命题确定为原命题，相应的也就确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．[例2](1)命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是____________________．(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．(3)(2018·无锡月考)给出命题：函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在R上为减函数，若a＋b＞0则f(a)＋f(b)＜0，则该命题的逆否命题是________命题．(选填“真”或“假”) [解析](1)根据否命题的定义可知，命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．(3)因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a.因为f(x)在R上为减函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．因为函数f(x)为定义在R上奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，f(－a)＝－f(a)，所以f(a)＋f(b)＜－f(b)－f(a)，所以f(a)＋f(b)＜0，即原命题为真，所以该命题的逆否命题为真命题．[答案](1)若a≤b，则a－1≤b－1(2)1(3)真[方法技巧]1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]下列四个命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．其中真命题的个数为________．解析：①中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；②中，当Δ＝4＋4a＜0，即a＜－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；③是真命题；④中，空集不是本身的真子集，故是假命题．答案：12.[考点二](2018·徐州模拟)命题“对于函数f(x)＝x3－3ax2，若a≤0，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数”的逆否命题是________________________________________________．解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可，故原命题的逆否命题是“对于函数f(x)＝x3－3ax2，若f(x)在(0，＋∞)上不是增函数，则a ＞0”．答案：对于函数f (x )＝x 3－3ax 2，若f (x )在(0，＋∞)上不是增函数，则a ＞03.[考点二]命题“若△ABC 有一个内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题为________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 解析：将原命题的条件和结论互换位置，得原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC 有一个内角为π3”． 答案：若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC 有一个内角为π34.[考点一、二]有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③突破点(二) 充分条件与必要条件p 是q 的必要条件 B ⊆A p 是q 的充分不必要条件 A B p 是q 的必要不充分条件B A p 是q 的充要条件A ＝B考点贯通抓高考命题的“形”与“神” 充分条件与必要条件的判断 [例1] (1)y ＞2，则q 是p 的____________条件．(2)(2017·天津高考改编)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)[解析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，∴x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ⇒/ p ．故q 是p 的必要不充分条件．(2)法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，得0＜θ＜π6， 故sin θ＜12.由sin θ＜12，得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分不必要条件． [答案] (1)必要不充分 (2)充分不必要[方法技巧]充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——A ：“若p ，则q ”与B ：“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确确定p 与q 之间的关系．(2)集合法：利用满足两个条件的参数取值集合之间的关系判断充要条件，主要解决两个相似的条件难于进行区分或判断的问题，根据p ，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件． 充分条件与必要条件的应用[例2] (1)(2018·扬州四校联考)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是________．(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[解析] (1) ∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1，∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．[答案] (1)(2，＋∞) (2)[0,3][方法技巧]根据充分、必要条件求参数的思路方法根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”2选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析：由log 2(x －1)＜0得0＜x －1＜1，即1＜x ＜2，故“x ＞1”是“log 2(x －1)＜0”的必要不充分条件．答案：必要不充分2.[考点二](2018·南通模拟)已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ，命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4或m ≥1，故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)3.[考点一](2018·江南十校联考)△ABC中，“a＞b”是“cos A＜cos B”的____________条件．解析：由余弦函数在(0，π)上为减函数得，在△ABC中“a＞b⇔cos A＞cos B”，所以“a＞b”是“cos A＜cos B”的充要条件．答案：充要4.[考点二]已知p：x＞1或x＜－3，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：设P＝{x|x＞1或x＜－3}，Q＝{x|x＞a}，因为q是p的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1.答案：[1，＋∞)5.[考点一](2017·浙江高考改编)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的___________条件．解析：因为{a n}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d＞0⇔S4＋S6＞2S5.答案：充要______________________________．解析：根据逆否命题的定义，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤02．已知命题p：“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法中正确的序号是________．①命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”；②命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”；③命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”；④命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”．解析：命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故①②都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故③正确，④错误．答案：③3．(2017·北京高考改编)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n ＜0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析：对于非零向量m，n，若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ，n 互为相反向量，则m ·n ＜0，满足充分性；而m ·n ＜0包含向量m ，n 互为相反向量或者其夹角为钝角两种情况，故由m ·n ＜0推不出m ，n 互为相反向量，所以不满足必要性．所以“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2017·泰州模拟)原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．答案：25．(2018·河南模拟)“⎝⎛⎭⎫13x ＜1”是“1x ＞1”的___________________________条件．解析：由⎝⎛⎭⎫13x ＜1得x ＞0，由1x ＞1得0＜x ＜1，因此“⎝⎛⎭⎫13x ＜1”是“1x＞1”的必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的____________条件． 解析：因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1，或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1，且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要7．(2018·金陵中学月考)设函数f (x )＝a sin(x ＋α)＋b sin(x ＋β)＋c sin(x ＋γ)，则p ：“f ⎝⎛⎭⎫π2＝0”是q ：“f (x )为偶函数”的____________条件．解析：f (x )可化为f (x )＝A sin(x ＋φ)的形式，由f ⎝⎛⎫π2＝0可得sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝0，即cos φ＝0.易知cos φ＝0⇔f (x )为偶函数，所以p 是q 成立的充要条件．答案：充要8．(2017·烟台诊断)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：p ：|x |≤2等价于－2≤x ≤2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以有[－2,2]⊆(－∞，a ]，即a ≥2.答案：[2，＋∞)9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中真命题的序号是________．解析：只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．答案：②④10．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB的面积为12”的____________条件． 解析：当k ＝1时，l ：y ＝x ＋1，由题意不妨令A (－1,0)，B (0，1)，则S △AOB ＝12×1×1＝12，所以充分性成立；当k ＝－1时，l ：y ＝－x ＋1，也有S △AOB ＝12，所以必要性不成立． 答案：充分不必要11．(2018·无锡摸底考试)命题“单调函数不是周期函数”的否命题是________________________________________________________________________．解析：先将命题改写为“若一个函数为单调函数，则该函数为周期函数”．所以该命题的否命题为“若一个函数不是单调函数，则该函数是周期函数”．答案：若一个函数不是单调函数，则该函数是周期函数12．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则1a ＞1b ”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b ”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题为真命题，故其逆否命题为真命题．答案：②③13．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8.故实数m的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)14．(2018·江苏木渎中学月考)已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[1,2]上的减函数”的____________条件．解析：若当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．当x∈[1,2]时，x－2∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－2)．故x∈[1,2]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之，若x∈[1,2]时，f(x)是减函数，此时x－2∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－2)，则当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性也成立．故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[1,2]上的减函数”的充要条件．答案：充要突破点(一)简单的逻辑联结词简记为“p∧q綈p与p真假相反”．[方法技巧]判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．(2)判断复合命题真假的步骤根据复合命题的真假求参数[例2] 22a ＞0；q ：实数x 满足x －3x －2＜0. (1)若a ＝1，且p ∨q 为真，则实数x 的取值范围是________．(2)若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －3a )(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ， 当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3.q 为真时，x －3x －2＜0等价于(x －2)(x －3)＜0，得2＜x ＜3， 即q 为真时，实数x 的取值范围是2＜x ＜3.若p ∨q 为真，则实数x 的取值范围是1＜x ＜3.(2)p 是q 的必要不充分条件，等价于q ⇒p 且p ⇒/ q ，设A ＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |2＜x ＜3}，则B A ；则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ≤2，3a ≥3，a ＝2与3a ＝3不同时取等号，所以实数a 的取值范围是1≤a ≤2.[答案] (1)(1,3) (2)[1,2][方法技巧]根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则下列结论： ①p ∧q 是真命题；②p ∨q 是假命题；③綈p 是真命题；④綈q 是真命题．其中正确的序号是________．解析：因为函数y ＝x 2－2x 在[1，＋∞)上是增函数，所以其单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题．答案：④2.[考点一](2018·浙江月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0，m －x 2，x ≥0，命题p ：存在m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有实数解，命题q ：当m ＝14时，f [f (－1)]＝0，则下列命题为真命题的序号是________．①p ∨q ；②p ∧綈q ；③綈p ∧q ；④綈p ∧綈q .解析：当x ＜0时，f (x )＝2x ∈(0,1)；当x ≥0时，由f (x )＝0得m ＝x 2∈[0，＋∞)，故命题p 为假命题．∵f [f (－1)]＝f ⎝⎛⎭⎫12＝14－⎝⎛⎭⎫122＝0，∴命题q 为真命题．所以真命题的序号为①③.答案：①③3.[考点二]设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x ＞2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：对于命题p ：Δ＜0且a ＞0，故a ＞2；对于命题q ：a ＞2x －2x ＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x ＋1为增函数，所以⎝⎛⎭⎫2x －2x ＋1＜1，故a ≥1.命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞2，a ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≥1，故1≤a ≤2.答案：[1,2]4.[考点二]已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q 是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a 4≤3，即a ≥－12.因为p ∨q 是真命题，所以a ∈R .答案：R突破点(二)全称量词与存在量词基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃名称全称命题存在性命题形式结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”全称(存在性)命题的否定[例1]f(x)”的否定是______________________．(2)(2017·连云港模拟)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln 2”的否定是______________．[解析](1)原命题是存在性命题，“∃”的否定是“∀”，“＝”的否定是“≠”，因此该命题的否定是“∀x∈M，f(－x)≠－f(x)”．(2)按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，原命题的否定应该为：存在x∈R，使得x2＜ln 2.[答案](1)∀x∈M，f(－x)≠－f(x)(2)存在x∈R，使得x2＜ln 2[方法技巧]对全称(存在性)命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．[提醒]对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．全称(存在性)命题的真假判断[例2]。
高三数学一轮复习 第1章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算精品 理
心尺引州丑巴孔市中潭学校第1章 第1课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．集合U ＝{x |0≤x ≤6，x ∈Z }，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，那么A ∩(∁U B )＝( )A ．{1}B ．{3,6}C ．{4,5}D ．{1,3,4,5,6}解析： U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，所以∁U B ＝{0,2,3,6}，那么A ∩(∁U B )＝{3,6}，应选B. 答案： B2．设全集为R ，集合M ＝{x |y ＝2x ＋1}，N ＝{y |y ＝－x 2}，那么( ) A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．N ＝MD ．M ∩N ＝{(－1，－1)}解析： 从代表元素入手，认识集合的意义，M 为一次函数的定义域，N 为二次函数的值域，化简判断，M ＝R ，N ＝(－∞，0]，即N ⊆M ，应选B.答案： B3．集合M ＝{1，a 2}，P ＝{－a ，－1}，假设M ∪P 有三个元素，那么M ∩P 等于( ) A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{0}D ．{－1} 解析： 根据题意只能a 2＝－a ，解得a ＝0或a ＝－1，检验知只能a ＝0，此时M ∩P ＝{0}．应选C.答案： C4．集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，假设B ⊆A ，那么实数a 的所有可能取值的集合为( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1} 解析： 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，x ＝－1a ，令－1a ＝1或－1a＝－1，得a ＝－1或a ＝1，应选D.答案： D5．(2021·卷)全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．假设A ∩B 非空，那么A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：∵(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素，如右图所示阴影局部，又∵U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．答案：D6．如下列图的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影局部的集合．假设x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，那么A*B为( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}解析：A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由图可得A*B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}，应选D.答案：D二、填空题7．集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，假设A∪B＝{0,1,2,4}，那么实数a的值为________．解析：假设a＝4，那么a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求，假设a2＝4，那么a＝±2，又－2∉(A ∪B)，∴a＝2.答案：28．集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，那么实数a的取值范围是________．解析：∵A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，如图，故当a答案：a≤19．集合A满足条件：当p∈A时，总有－1p＋1∈A(p≠0且p≠－1)，2∈A，那么集合A中所有元素的积等于________．解析：依题意，2∈A，所以－12＋1＝－13∈A，从而－1－13＋1＝－32∈A，－1－32＋1＝2∈A，故A中只有2，－13，－32三个元素，它们的积为2×⎝⎛⎭⎫－13×⎝⎛⎭⎫－32＝1.答案：1三、解答题10．设A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x、y的值．解析：∵A∩B＝C＝{－1,7}，∴必有7∈A,7∈B ，－1∈B .即有x 2－x ＋1＝7⇒x ＝－2或x ＝3. ①当x ＝－2时，x ＋4＝2，又2∈A ，∴2∈A ∩B ，但2∉C ，∴不满足A ∩B ＝C ，∴x ＝－2不符合题意．②当x ＝3时，x ＋4＝7，∴2y ＝－1⇒y ＝－12. 因此，x ＝3，y ＝－12. 11．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)假设B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数．【解析方法代码108001001】解析： (1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立， 需⎩⎨⎧ m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3，综上，m ≤3时有B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 所以A 的非空真子集个数为28－2＝254. 12．R 为实数集，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，假设B ∪(∁R A )＝R ，B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}，求集合B .【解析方法代码108001002】解析： ∵A ＝{x |1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ＜1或x ＞2}．又B ∪(∁R A )＝R ，A ∪(∁R A )＝R ，可得A ⊆B .而B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}，∴{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}⊆B .借助于数轴可得B＝A∪{x|0＜x＜1或2＜x＜3}＝{x|0＜x＜3}．。
2017届高三数学一轮总复习(江苏专用)课件：第一章第一节 集合的概念与运算
2．已知集合 M＝{x|y＝x2＋2x＋4}，N＝{y|y＝2x2＋2x＋3}， 则 M∩N＝________. 解 析 ： 因 为 M＝ R， N ＝ 52，＋∞ ， 所 以 M∩N＝ 52，＋∞. 答案：52，＋∞
第十三页，编辑于星期六：一点 十分。
3．集合 A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为 ________． 解析：当 y＝0 时，x＝6；当 y＝1 时，x＝5；当 y＝2 时，x＝2；当 y≥3 时，x∉N，故集合 A＝{2,5,6}，共含 有 3 个元素，故其真子集的个数为 23－1＝7. 答案：7
3－6 x∈N，x∈N
，用列举法表
示为________．
解析：用列举法可知 x 可取 0,1,2. 答案：{0,1,2}
第九页，编辑于星期六：一点 十分。
3．已知全集 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}， 则 A∩(∁UB)＝________. 答案：{2,4}
第七页，编辑于星期六：一点 十分。
1．(教材习题改编)下列关系中正确的序号为________． ①{0}＝∅；②0∈{0}；③∅ {0}；④{0,1}⊆{(0,1)}；⑤{(a， b)}＝{(b，a)}． 解析：由集合的有关概念易知②③正确． 答案：②③
第八页，编辑于星期六：一点 十分。
2．(教材习题改编)集合x
2．(2016·兰州诊断)已知集合 A＝{x||x|<1}，B＝{x|2x>1}，则 A∩B＝________，A∪B＝________. 解析：由|x|<1，得－1<x<1，所以 A＝{x|－1<x<1}． 又由 2x>1，解得 x>0，所以 B＝{x|x>0}． 所以 A∩B＝{x|0<x<1}，A∪B＝{x|x>－1}． 答案：{x|0<x<1} {x|x>－1}
(江苏专用)高考数学总复习 第一篇 集合与常用逻辑用语《第1讲 集合的概念和运算》课件 理 苏教版
在近几年的江苏高考中，集合知识主要考查集合与集合之间的 运算，考查中常与其他知识相结合，比如不等式、方程以及函 数的性质．常用逻辑用语重点考查四种命题及其相互关系、充 要条件，主要出现在填空题、解答题的证明或求解的语言叙述 中，简单逻辑联结词、新增加的量词近几年没有在小题中出 现，它们只是以语言叙述的方式出现在题目中，说明这些了解 性知识只是考查其最基本的含义． 从考纲要求及近几年的试卷分析，特提出以下几点备考策略：
1．集合主要以小题形式考查，涉及集合的表示方法、集合之 间的关系和运算，常与其他知识交汇(如方程、不等式、函数 等)，要学会不同数学语言之间的转换． 2．对于充要条件，要理解其概念，要会从“充分”和“必 要”两个方面判断，对于充要条件，复习时要给已足够的重 视． 3．其他知识只要求了解其含义，会处理最基本的问题，无需 提高要求．
2n－1 2n
个，A 的非空子
个．
(5)集合相等：若 A⊆B，且 B⊆A，则 A＝B.
3．集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 (1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B (2)交集：A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} (3)补集：∁UA＝{x| }． ． }，U为全集，∁UA表示A
x∈U，且x∉A
第1讲 集合的概念和运算
基础梳理
1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性 、 互异性 、 无序性 ． (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 关系， 用符号∈ 或 ∉ 表示． (3)集合的表示法：列举法 、 描述法 、 图示法 、区间法．
(4)常用数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N＋)；整数集 Z；有 理数集 Q；实数集 R. (5) 集 合 的 分 类 ： 按 集 合 中 元 素 个 数 划 分 ， 集 合 可 以 分 为有限集 、 空集 、 无限集 ．
高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 第1讲 集合的概念与运算课件
12/11/2021
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[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)集合{x|y＝ x－1}与集合{y|y＝ x－1}是同一个集 合．( × ) (2)已知集合 A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且 A⊆B，则实数
m＝1 或 m＝12.( × )
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3．[课本改编]已知集合 A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝
{x|0<x≤4}，则 A∪B＝( )
A．[－1,4]
B．(0,3]
C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]
解析 A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故 A∪B
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【变式训练 2】 设 A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax －1＝0}．
(1)若 a＝15，试判定集合 A 与 B 的关系； (2)若 B A，求实数 a 组成的集合 C. 解 (1)由 x2－8x＋15＝0， 得 x＝3 或 x＝5，∴A＝{3,5}． 若 a＝15，由 ax－1＝0，得15x－1＝0，即 x＝5. 12∴/11/2B021＝{5}．∴B A.
解析 解不等式 x2－9x<0 可得 0<x<9，所以 A＝ {x|0<x<9，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y∈N*，y∈N*，所 以 y 可以为 1,2,4，所以 B＝{1,2,4}，所以 A∩B＝B，A∩B 中元素的个数为 3.
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＝{0,1}，故 A∩(∁RB)的真子集的个数为 3.故选 B.
高中数学一轮复习(含答案)1.1 集合
第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B .(2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A .(4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .考点一 集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98. 3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为_____________ 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6.答案：（5，6］ 考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C. (2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三 集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．(2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A. [答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100B.⎝⎛⎭⎫12，2C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100. 3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. [课时跟踪检测]1．(2019·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 答案：{－1,0}解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________． 解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素． 法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．。
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算课件理
那么 A∩B＝________. 答案：{1,8} 2．已知全集 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}， 则∁U(M∪N)＝________. 答案：{1,6}
3．设集合 A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，B＝{x|0≤x≤3}，则 A∩B ＝________. 答案：{x|0≤x＜2}
角度二：利用集合运算求参数 3．(2019·苏州模拟)已知全集 U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，
∁UA＝{5}，则实数 a＝________. 解析：由题意知，a2＋2a－3＝5，解得 a＝－4 或 a＝2.当 a＝ －4 时，|2a－1|＝9，而 9∉U，所以 a＝－4 不满足题意，舍去； 当 a＝2 时，|2a－1|＝3,3∈U，满足题意．故实数 a 的值为 2. 答案：2
系 相等 集合 A，B 的元素完全相同 A⊆B， B⊆A
_A_＝__B__
不含任何元素的集合．空集 空集 是任何集合 A 的 子集 ，是 ∀x，x∉∅， ∅
∅⊆A，∅ B 任何非空集合 B 的真子集
3．集合的基本运算
表示 运算
文字语言
符号语言 图形语言 记法
所有属于集合 A 且 属于集 {x|x∈A， 交集
考点三 集合的基本运算 题点多变型考点——多角探明
[锁定考向]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联 系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽 象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
(江苏专用)高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算 文-人教版高三全
【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算文1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)(6)含有n个元素的集合有2n个真子集．( ×)1．(2015·某某)设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝____________. 答案(－1,3)解析借助数轴知A∪B＝{x|－1＜x＜3}．2．已知A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|1<x<a}，若A⊆B，则实数a的取值X围是________．答案a≥2解析因为A＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}⊆B，所以a≥2.3．(2015·某某改编)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝________.答案[0,1]解析由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]．4．(教材改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________.答案{x|x≤2或x≥10}解析∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．5．已知集合A＝{(x，y)| x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B 的元素的个数为______．答案 2解析集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素．题型一集合的含义例1 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．答案 (1)5 (2)－32解析 (1)当x ＝0，y ＝0时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1； 当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时， x －y ＝1； 当x ＝1，y ＝1时，x －y ＝0；当x ＝1，y ＝2时， x －y ＝－1； 当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；当x ＝2，y ＝1时， x －y ＝1；当x ＝2，y ＝2时，x －y ＝0.根据集合中元素的互异性知，B 中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．(2)由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时， m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32. 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为_________________________________．(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.答案 (1)4 (2)2解析 (1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4时，a ＝1,2,3，此时x ＝5,6,7.当b ＝5时，a ＝1,2,3，此时x ＝6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知，x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．(2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，得ba＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合间的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是________．答案 (1)4 (2)[2 016，＋∞)解析 (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}．∴满足A ⊆C ⊆B 的集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个． (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016，故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，得a ≥2 016.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．(1)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则集合A ，B 之间的关系是________．(2)(2015·某某七校上学期期末联考)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－x ，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为________．答案 (1)B A (2)2解析 (1)A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得B A .(2)由题意，若x ∈A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2－2，x ≥0，x 2－2≥0，解得x ＝2.由A ⊆B ，得x ∈B ，所以m ＝2.题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)设全集U ＝{x ∈N *|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )＝________. (2)已知集合A ＝{x |x －2≥0}，B ＝{x |0<log 2x <2}，则∁R (A ∩B )＝____________. 答案 (1){2,4} (2){x |x <2或x ≥4}解析 (1)由题意可知U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．(2)∵A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝{x |x ≥2}∩{x |1<x <4}＝{x |2≤x <4}，∁R (A ∩B )＝{x |x <2或x ≥4}．命题点2 利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________.(2)(2015·西城区一模)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值X 围是________________________________________________________________________．答案 (1)0或3 (2)a ≥1解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，有m ∈A ，所以有m ＝m 或m ＝3，即m ＝3或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1. (2)由A ∩B ＝∅可得，0∉B,1∉B ，则a ≥1.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)(2015·某某)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝________.(2)已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝_________________________________. 答案 (1){2,5} (2)－4解析 (1)由题意知，∁U B ＝{2,5,8}， 则A ∩(∁U B )＝{2,5}．(2)由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a ＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 题型四 集合的新定义问题 例5 若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题中： (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A . 其中正确的个数是________． 答案 2解析 (1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q,1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A . 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示) 答案 {a 2，a 3}解析 假设a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，与题意不符，∴假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，且a 1∉A ，与题意不符，∴假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}(经检验知符合题意)．1．遗忘空集致误典例 设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值X 围是________．易错分析 集合B 为方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的实数根所构成的集合，由B ⊆A ，可知集合B 中的元素都在集合A 中，在解题中容易忽视方程无解，即B ＝∅的情况，导致漏解． 解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1. 综上所述，所某某数a 的取值X 围是a ≤－1或a ＝1. 答案 (－∞，－1]∪{1}温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)已知集合B ，若已知A ⊆B 或A ∩B ＝∅，则考生很容易忽视A ＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A 分三种情况进行讨论．[方法与技巧]1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值X围时，要注意单独考察等号能否取到．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．[失误与防X]1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)．对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________.答案0解析若a＋2＝1，则a＝－1，此时(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，与集合元素的互异性矛盾；若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2.当a＝0时，a＋2＝2，a2＋3a＋3＝3，A＝{1,2,3}；当a＝－2时，a＋2＝0，a2＋3a＋3＝1，与集合元素的互异性矛盾；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2.当a＝－1时，a＋2＝1，与集合元素的互异性矛盾，当a＝－2时，a＋2＝0，(a＋1)2＝1，与集合元素的互异性矛盾．综上可知，只有a＝0符合要求．2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为_____________________________________．答案 6解析 ∵a ∈A ，b ∈A ，x ＝a ＋b ，∴x ＝2,3,4,5,6,8. ∴B 中共有6个元素．3．(2015·课标全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 A ＝{…，5,8,11,14,17，…}，B ＝{6,8,10,12,14}，故集合A ∩B 中有两个元素． 4．已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝{－y ，－y2，y ＋1}．若A＝B ，则x 2＋y 2的值为________． 答案 5解析 由x ∈R ，y >0，可知x 2＋x ＋1>0，－y <0，－y 2<0，y ＋1>0，且－x －1<－x ，－y <－y2.因为A ＝B .所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1＝y ＋1，－x －1＝－y ，－x ＝－y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以A ＝{3，－1，－2}，B ＝{－2，－1,3}，符合条件． 故x 2＋y 2＝12＋22＝5.5．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁U B )＝________. 答案 {3}解析 ∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}， ∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}， 又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}．6．设集合A ＝{3，x 2}，B ＝{x ，y }，若A ∩B ＝{2}，则y 的值为____个． 答案 2解析 由A ∩B ＝{2}得x 2＝2，∴x ＝±2，故y ＝2.7．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有________个． 答案 4解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}， ∴M ∩N ＝{1,3}．∴M ∩N 的子集共有22＝4个．8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值X 围为__________．答案 [0，＋∞)解析 用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B 得a ≥0.9．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，1]解析 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.10．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m 的可能取值组成的集合为________． 答案 {0,1，－12}解析 A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.11．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________.答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．12．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x }，则A ∩B 的元素有________个． 答案 2解析 在同一直角坐标系下画出函数y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象，如图所示：由图可知y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 图象有两个交点， 则A ∩B 的元素有2个．14．全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值X 围是__________． 答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，B ＝{x |x ≤a }，则∁U B ＝(a ，＋∞)． ∵(a ，＋∞)⊆(－∞，1)∪(2，＋∞)，∴a ≥2. 15．定义在R 上的运算：xy ＝x －52－y.若关于x 的不等式x (x ＋3－a )>0的解集为A ，B＝[－3,3]，若A ∩B ＝∅，则a 的取值X 围是________． 答案 [4，＋∞) 解析 x(x ＋3－a )>0⇔x －5x ＋1－a<0.由A ∩B ＝∅得，当x ∈[－3,3]时，x －5x ＋1－a≥0或x ＋1－a ＝0，由于在[－3,3]上，x －5<0，所以x ＋1－a ≤0，即a ≥x ＋1在[－3，3]上恒成立，所以a ≥4.16．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________. 答案 {0}解析 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ， 当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}．17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－1]解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；word11 / 11 ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，a 的取值X 围是(－∞，－1]． 18．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值X 围是________．答案 (1，＋∞)解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值X 围是(1，＋∞)．。
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课时跟踪检测（一） 集合的概念与运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合M ＝{x |x ＋1>0}，N ＝{x |x －2<0}，则M ∩N ＝________.解析：因为M ＝{x |x ＋1>0}＝{x |x >－1}，N ＝{x |x －2<0}＝{x |x <2}，所以M ∩N ＝(－1,2)．答案：(－1,2)2．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3,4}，N ＝{4,5}，则∁U (M ∪N )＝________. 解析：∵M ＝{2,3,4}，N ＝{4,5}， ∴M ∪N ＝{2,3,4,5}，则∁U (M ∪N )＝{1,6}． 答案：{1,6}3．(2015·陕西高考改编)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝________. 解析：M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]． 答案：[0,1]4．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R}，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R}，则A ∩B 中的元素个数为________．解析：由题意联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中的元素个数为3.答案：35．(2016·海安实验中学检测)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁R B )＝________.解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}＝{x |0<x <2}，∴A ∪(∁R B )＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为________． 解析：∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1， 故集合A 中的元素个数为4. 答案：42．(2016·南通中学月考)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为________．解析：由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 答案：43．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝______________.解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 答案：{x |－3＜x ≤－1}4．已知集合A ＝{x |x 2<3x ＋4，x ∈R}，则A ∩Z 中元素的个数为________． 解析：由x 2<3x ＋4，得－1<x <4.所以A ＝{x |－1<x <4}，故A ∩Z＝{0,1,2,3}． 答案：45.设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：由2x (x －2)<1得x (x －2)<0，解得0<x <2，由1－x >0，得x <1.图中阴影部分表示的集合为A ∩∁U B .因为∁U B ＝[1，＋∞)，画出数轴，如图所示，所以A ∩∁U B ＝[1,2)．答案：[1,2)6．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋2x ＋4}，N ＝{(x ，y )|y ＝2x 2＋2x ＋3}，则M ∩N ＝________.解析：由题可知，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2x ＋4，y ＝2x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3.所以M ∩N ＝{(1,7)，(－1,3)}． 答案：{(1,7)，(－1,3)}7．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值为________． 解析：由题意A ＝{1,2}，当B ≠∅时， ∵B ⊆A ，∴B ＝{1}或{2}，当B ＝{1}时，a ·1－2＝0，解得a ＝2； 当B ＝{2}时，a ·2－2＝0，解得a ＝1. 当B ＝∅时，a ＝0.故a 的值为0或1或2. 答案：0或1或28．(2016·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}9．已知集合A ＝{}y |y ＝－2x，x ∈[2，3]，B ＝{x |x 2＋3x －a 2－3a >0}．(1)当a ＝4时，求A ∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意可知A ＝[－8，－4]， 当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)， 由数轴图得：A ∩B ＝[－8，－7)．(2)方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3，①当a ＝－a －3，即a ＝－32时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞，满足A ⊆B ； ②当a <－32时，a <－a －3，B ＝(－∞，a )∪(－a －3，＋∞)，则a >－4或－a －3<－8，得－4<a <－32；③当a >－32时，a >－a －3，B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)，则a <－8或－a －3>－4得－32<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是(－4,1)．10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， 因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1， 即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 015x ＋2 014<0，解得1<x <2 014，故A ＝{x |1<x <2 014}．由log 2x <m ，解得0<x <2m ，故B ＝{x |0<x <2m }．由A ⊆B ，可得2m ≥2 014，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：112．(2016·无锡一中月考)设集合M ＝{x |－2≤x ≤5}，N ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是________．解析：当N ＝∅时，a ＋1>2a －1，解得a <2；当N ≠∅时，由N ⊆M 得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤2a －1，a ＋1≥－2，2a －1≤5，解得2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]． 答案：(－∞，3]3．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围；(3)若全集U ＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，求实数a 的取值范围． 解：由题意知A ＝{1,2}．(1)因为A ∩B ＝{2}，所以2∈B ，所以4＋4(a ＋1)＋(a 2－5)＝0，整理得a 2＋4a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－3.经检验，均符合题意，所以a ＝－1或a ＝－3. (2)由A ∪B ＝A 知，B ⊆A .若集合B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)<0. 即2a ＋6<0，解得a <－3；若集合B 中只有一个元素，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝0，整理得2a ＋6＝0，解得a ＝－3.此时B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}．满足；若集合B 中有两个元素，则B ＝{1,2}．所以a >－3，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －2＝0，a 2＋4a ＋3＝0，无解．综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－3]． (3)由A ∩(∁U B )＝A 可知，A ∩B ＝∅.所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋1＋a 2－5≠0，4＋4a ＋1＋a 2－5≠0，解得a ≠－1，a ≠－3，a ≠－1＋3，a ≠－1－ 3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－1－3)∪(－1－3，－1)∪(－1，－1＋3)∪(－1＋3，＋∞)．。