推荐中考数学二轮专题复习专题9三角形(含等腰三角形)、多边形问题
中考数学——等腰三角形问题解题思路与攻略
中考数学——等腰三角形问题解题思路与攻略等腰三角形是中考数学中常见的一个题型，掌握解题思路和攻略对于中考数学的顺利通过非常重要。
本文将介绍等腰三角形问题的解题思路和攻略，希望能帮助同学们更好地应对这类问题。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指两条边相等的三角形，其性质有以下几点：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（底边所对的角）相等。
2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（顶边所对的角）平分底边。
二、解题思路解等腰三角形问题的关键在于利用等腰三角形的性质，找到已知条件和需要求解的未知量之间的关系。
下面将介绍几种常见的解题思路。
1. 使用底角性质解题：如果已知等腰三角形的两个底角相等，可以利用这一性质来解题。
通过已知条件和底角性质，可以建立方程或找到相应的关系式，从而求解未知量。
2. 利用顶角平分底边性质解题：如果已知等腰三角形的顶角平分底边，可以利用这一性质来解题。
可以通过已知条件和顶角平分底边性质，建立方程或找到相应的关系式，进而求解未知量。
3. 利用勾股定理解题：有时候，等腰三角形问题中可能会涉及到与直角三角形相关的内容。
此时，可以尝试利用勾股定理和等腰三角形的性质进行解题。
三、解题攻略除了解题思路外，下面还列举了一些常见的解题攻略，帮助同学们更好地解决等腰三角形问题。
1. 注意题目中给出的条件：在解题时，要仔细阅读题目，将已知条件和需要求解的未知量提取出来，明确问题的要求。
2. 利用图形性质：画图是解决等腰三角形问题的有效方法之一。
合理利用等腰三角形的性质和图形的特点，可以更好地理解和解决问题。
3. 运用代数方法：当图形给出的信息较少或者不便于直接利用几何性质时，可以尝试使用代数方法，建立方程或者列举可能的条件，以求解未知量。
4. 反证法解题：有时候，可以运用反证法来解决等腰三角形问题。
假设某个结论不成立，通过推理推导出矛盾，从而得出正确结论。
四、总结通过上述的解题思路和攻略，相信同学们对于中考数学中的等腰三角形问题能够有更清晰的认识和更高的解题能力。
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析双等腰直角三角形问题前解法分析一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1.如图1,已知ACB ?和ECD ?都是等腰直角三角形，90,ACB ECD D ∠=∠=°为AB 边上一点.(1)求证: ACE BCD ;(2)求证: 2222CD AD DB =+.分析当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一.例2.如图2，在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结,,,AG BG CG DG ，且AGD BGC ∠=∠.(1)求证: AD BC =;(2)求证: AGD EGF ??:;(3)如图3，若,AD BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值.分析初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现，DGC ?和AGB ?均为等腰三角形，当四边形ABCD 中AD BC ⊥时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例3.如图4, ,A B 分别在射线,OM ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段,OA OB 为斜边向MON ∠外侧作等腰直角三角形，分别是,OAP OBQ ??，点,,C D E 分别是,,OA OB AB 的中点.(1)求证: PCE EDQ ;(2)延长,PC QD 交于点R .①如图5，若150MON ∠=°，求证:ABR ?为等边三角形;②如图6，若ARB PEQ ??:，求MON ∠的大小和AB PQ的值.分析本题中两等腰直角三角形OAP ?与OBQ ?中的一底角顶点O 重合，通过OAP ?绕点O 旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC )过度，利用线段中垂线证线段相等;第(2)②问，需要对(2)①问逆向思考，通过证PE EQ ⊥这一中间环节，得出PEQ ?与ARB ?为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近.例4.已知两个共顶点的等腰三角形Rt ABC ?和Rt CEF ?,90ABC CEF ∠=∠=°，连结,AF M 是AF 的中点，连结,MB ME .(1)如图7，当CB 与CE 在同一直线上时，求证: //MB CF ;(2)如图7，若,2CB a CE a ==，求BM ,ME 的长;(3)如图8，当45BCE ∠=°时，求证: BM ME =.分析两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第(1)问利用这个性质结合M 点为中点直接证全等;(2)问在(1)问的基础上，证明BEM ?为等腰直角三角形;第(3)问研究在CEF ?绕点C 旋转45°时，BME ?的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明.三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例5.如图9，在Rt ABC ?中，90,BAC AB AD ∠=°=，点D 是AC 的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与,A D 重合，连结,BE EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想.分析等腰直角ADE ?的底角顶点A 与等腰直角ABD ?的直角顶点A 重合，借助BAE EDC 证明BEC ?为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形ADE ?与BEC ?旋转问题的逆问题.例6 如图10 , ABC ?和ACD ?是两个等腰直角三角形，90ACB ADC ∠=∠=°，延长DA 至点E ，使AE AD =，连结,,EB EC BD .(1)求证: BDA BEA ;(2)若BC =BE 的长.分析本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直.第(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第(2)问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长.四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例7如图11，在等腰直角ABC ?中，90,ACB CO AB ∠=°⊥于点O ，点,D E 分别在边,AC BC 上，且AD CE =,连结DE 交CO 于点P ，给出以上结论:①DOE ?是等腰直角三角形;②CDE COE ∠=∠;③1AC =，则四边形CEOD 的面积为14; ④22222AD BE OP DP PE +?=?. 其中所有正确结论正确的序号是 .分析本题表面上看，是一个等腰直角三角形通过作出斜边上的高探究相关结论的问题，实质上是等腰直角DOE ?的直角顶点O 在等腰直角ABC ?斜边中点O 处的结论探究问题.对于选项④利用“四点共圆”，并借助“共角共边的母子”相似三角形，能起到事半攻倍的效果，五、一底角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例8 如图12，等腰直角三角形ABC ?和ODE ?，点O 为BC 中点，90,BAC ODE OD ∠=∠=°交BA 于,M OE 交AC 于N ，试求,,BM NM NA 的关系，并说明理由.分析 DOE ?绕等腰直角ABC ?的底边中点O 旋转，在图12~图14三种情况中，对应的线段和差关系分别是,BM MN NA MN BM NA =+=+.此时DOE ?为等腰直角三角形并不是必备条件，本质上45MON ∠=°才是这一模型的必备条件，其基本的解题途径是，构造共直角顶点的两个等腰直角三角形，通过截长补短解决线段的和差问题.等腰直角三角形底边中点具有独特的性质，以双等腰直角三角形为背景的几何图形，常常具有中点(隐含中点)这一条件，并且图形中常常包含全等三角形，发现其中的全等三角形往往是解题的突破口，而基本的辅助线便是借助中点构造新的等腰直角三角形.。
培优专题等腰三角形(含答案)
9、等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解读】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
三角形与多边形的概念及性质-2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)
【中考高分指南】数学（选择+填空）【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用）三角形与多边形的有关概念及性质一、三角形有关概念及性质1．三角形的分类（1）三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.（2）三角形按边分类：①一般三角形：三边都不等的三角形；②等腰三角形：两边相等的三角形；③等边三角形：三边都相等的三角形2．三角形的边的关系（1）三角形任意两边之和大于第三边.（2）三角形任意两边之差小于第三边3．三角形的角的关系（1）三角形三个内角的和等于180°；特别地，当有一个内角是90° 时，其余的两个内角互余.（2）三角形的外角和等于360°.（3）三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角4．三角形的中线（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.（2）一个三角形有三条中线，都在三角形的内部，三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心.（3）三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两部分5．三角形的高（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高.（2）一个三角形有三条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部6．三角形的角平分线（1）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 它区别于一个角的平分线在于它是线段，而一个角的平分线是射线.（2）三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心.这个点也是这个三角形内切圆的圆心.三角形的内心到三角形三条边的距离相等7．三角形的中位线（1）连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.（2）一个三角形有3条中位线，都在三角形的内部.（3）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半二、多边形1．多边形的内角和、外角和n边形的内角和为(n-2)·180°，外角和为360°.2．正多边形：在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫做正多边形.3．多边形的对角线：在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段.【考点1】三角形的相关概念与计算【例1】（2024·山东模拟）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】A.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意B.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意C.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意D.不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意【例2】（2024·山东模拟）下列图形中具备稳定性的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解：A、图形不具备稳定性，不符合题意；B、图形具备稳定性，符合题意；C、图形不具备稳定性，不符合题意；D、图形不具备稳定性，不符合题意；故选：B．根据三角形具有稳定性解答即可．本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．【例3】（2023·湖南）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A. 1，3，4B. 2，2，7C. 4，5，7D. 3，3，6【答案】C【解析】解：∵1+3=4，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意；∵2+2<7，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意；∵4+5>7，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意；∵3+3=6，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，故选：C．根据三角形的三边关系分别判断即可．本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．【例4】（2023·天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是( )A. BCB. CEC. ADD. AC【答案】B【分析】连接PC，由已知可得AD垂直平分BC，所以PB=PC，从而BP+EP=PC+PE，显然E，P，C三点共线时取得最小值．【解析】解：如图，连接PC，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴当P、C、E三点共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE，故选B．【例5】（2024·四川模拟）如图，△ABC≌△ADE，∠BAC=40°，∠E=115°，则∠B的度数是( )A. 40°B. 30°C. 45°D. 25°【答案】D【分析】【分析】由全等三角形的性质可得∠C=∠E=115°，再利用三角形的内角和定理即可求解．【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠E=115°，∴∠C=∠E=115°，∵∠BAC=40°，∴∠B=180°−∠C−∠BAC=25°．故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的应用（1）在实际应用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.（2）在实际应用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和.（3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.1.（2023·湖南）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )A. 1cm，2cm，3cmB. 3cm，8cm，5cmC. 4cm，5cm，10cmD. 4cm，5cm，6cm【答案】D【解析】解：A、∵1+2=3，∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5=8，∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+5<10，∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；D、∵4+5>6，∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；故选：D．根据两边之和大于第三边判断即可．本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．2.（2024·全国模拟）已知a，b为等腰三角形的两边长，且a，b满足√ 2a−3b+5+(2a+3b−13)2=0，则此等腰三角形的周长为( )A. 8B. 6或8C. 7D. 7或8【答案】D【解析】解：∵√ 2a−3b+5+(2a+3b−13)2=0，∴{2a−3b+5=02a+3b−13=0，解得：{a=2b=3，当b 为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，∴等腰三角形的周长为7或8，故选：D ．首先根据√ 2a −3b +5+(2a +3b −13)2=0，并根据非负数的性质列方程求得a 、b 的值，然后求得等腰三角形的周长即可．本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．3.（2024·河北模拟）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为( )A. 15B. 20C. 25D. 20或25【答案】C【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【解析】解：分两种情况：当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形;当腰为10时，5+10>10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25．故选C ．【考点2】三角形的角平分线、中线、高【例1】（2023·四川）如图，在△ABC 中，∠CAD =90°，AD =3，AC =4，BD =DE =EC ，点F 是AB 边的中点，则DF =( )A. 54B. 52C. 2D. 1【答案】A【解析】解：∵∠CAD =90°，AD =3，AC =4，∴DC =√ AD 2+AC 2=√ 32+42=5，∵DE =EC ，DE +EC =DC =5，∴DE =EC =AE =52，∵BD =DE ，点F 是AB 边的中点，∴DF =12AE =54．故选：A ．先在直角△CAD中利用勾股定理求出DC=5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=52，最后利用三角形的中位线定理求出DF=12AE=54．本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线定理，准确识图并且熟记相关定理与性质是解题的关键．【例2】（2024·陕西模拟）如图，AD是△ABC的中线，AB=5，AC=4.若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为( )A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【分析】本题考查了三角形的中线，解题关键是求出AD+DC的长.根据三角形的中线的定义可得BD=CD，先求得AD+DC=6，然后求出△ABD的周长为AB+AD+DC，进而即可得到答案．【解析】解：△ACD的周长=AD+DC+AC=AD+DC+4=10，∴AD+DC=6，∵AD是ΔABC的中线，∴BD=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=5+6=11．故选：D．【例3】（2024·河南模拟）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )A. 线段CD是△ABC的AC边上的高线B. 线段CD是△ABC的AB边上的高线C. 线段AD是△ABC的BC边上的高线D. 线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的概念判断即可．【解析】解：A.线段CD 是△ABC 的AB 边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B .线段CD 是△ABC 的AB 边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C .线段AD 不是△ABC 的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D .线段AD 不是△ABC 的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选B ．【例4】（2024·全国模拟）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线，若AB =AC ，∠CAD =20∘，则∠ACE 的度数是( )A. 20∘B. 35∘C. 40∘D. 70∘【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB =70°是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB =2∠CAD =40°，∠B =∠ACB =12(180°−∠CAB)=70°.再利用角平分线定义即可得出∠ACE =12∠ACB =35°．【解析】解：∵AD 是△ABC 的中线，AB =AC ，∠CAD =20°，∴∠CAB =2∠CAD =40°，∠B =∠ACB =12(180°−∠CAB)=70°．∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE =12∠ACB =35°．故选B ．三角形中的重要线段∠CAD ∠BAC EC=½BC∠AFC=90°1.（2024·河南模拟）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则( )A. AM>ANB. AM≥C. AM<AND. AM≤AN 【答案】D【分析】此题考查垂线段问题，关键是根据垂线段最短解答．【解析】解：因为线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，所以AM≤AN，故选：D．2.（2024·河北模拟）如图，将△ABC折叠，使点C落在BC边上C′处，展开后得到折痕l，则l是△ABC的( )A. 高B. 中线C. 中位线D. 角平分线【答案】A【解析】解：∵将△ABC折叠，使点C落在BC边上C′处，展开后得到折痕l，∴l⊥BC，即l是△ABC的高，故选：A．根据折叠性质可知，l⊥BC，由三角形高的定义即可得到答案．本题考查折叠性质及三角形高的定义，熟记相关性质及定义是解决问题的关键．3.（2024·广东模拟）如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是( )A. 3cmB. 6cmC. 12cmD. 无法确定【答案】B【解析】解：∵CD是AB边上的中线，∴AD=DB，∴△ACD的周长−△BCD的周长=(AC+CD+AD)−(BC+CD+BD)=AC−BC=9−3=6(cm)，故选：B．根据三角形的中线的概念得到AD=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．4.（2024·福建模拟）如图所示，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 的度数为( )A. 20°B. 18°C. 38°D. 40°【答案】A【分析】此题主要考查了高线以及角平分线的定义，得出∠BAE的度数是解题关键．根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠BAE=34°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．【解析】解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=68°，∠BAD=90°−76°=14°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°，∴∠DAE=34°−14°=20°．故选A．【考点3】三角形的内心、外心【例1】（2024·河南模拟）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕AD，再将△ABC折叠，使BC边落在AB边上，展开后得到折痕BE，若AD与BE的交点为O，则点O是( )A. △ABC的外心B. △ABC的内心C. △ABC的重心D. △ABC的中心【答案】B【解析】解：由题意得：∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，∴O为角平分线的交点，则点O是△ABC的内心．故选：B．根据折叠的性质可知点O为角平分线的交点，可得结论．本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，解题的关键是根据翻折变换的性质得出O为角平分线的交点．【例2】（2024·全国模拟）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为( )A. 6B. 9C. 12D. 13.5【答案】C【解析】解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB=2OE，∴S△BOD=2S△DOE=2×1=2，∴S△BDE=3，∵AD=BD，∴S△ABE=2S△BDE=6，∵AE=CE，∴S△ABC=2S△ABE=2×6=12．故选C．利用O点为△ABC的重心得到OB=2OE，利用三角形面积公式得到S△BOD=2S△DOE=2，再利用AD=BD得到S△ABE=2S△BDE=6，然后利用AE=CE得到S△ABC=2S△ABE=12．本题考查了三角形的重心的性质的运用，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．由△的三线组成的几个“心”：△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；1.（2024·河北模拟）如图，在4×4的正方形格纸中，△ABC的顶点均在格点上，BC边与网格线交于点D，AC边过格点E，连接AD，BE相交于点O，则点O为△ABC的( )A. 重心B. 外心C. 内心D. 以上结果均不对【答案】A【解析】解：由图可知，点D、E是BC、AC的中点，∴AD、BE是△ABC的中线，∴点O是△ABC的重心，故选：A．根据三角形三条中线的交点是三角形的重心进行判断即可．本题考查了三角形的重心，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键．2.（2024·山东模拟）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC.小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的( )A. 中心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】解：按如图作图痕迹可知，AD为∠BAC的角平分线，∵AB=AC，∴AD也是BC边的中线、高线，即BC边的垂直平分线，∵另一痕迹是AB边的垂直平分线，∴点O为边的垂直平分线的交点，∴点O为外心，故选：C．根据等腰三角形的“三线合一”定理可得，AD是垂直平分线，由另一痕迹是AB边的垂直平分线得点O为外心．本题考查了外心的判断，由痕迹判断尺规作图是解题关键．3.（2024·安徽模拟）下列说法中正确的是( )①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一A. ①③④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④【答案】A【解析】解：①等边三角形三条高的交点既是它的垂心，也是重心，故正确；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一，故正确；如图，O为重心，过点O和点A分别作BC的垂线，垂足为E，F，则OE//AF，则△ODE∽△ADF，∴ODAD =OEAF=13，即三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一，故②错误，④正确；故选：A．根据三角形重心的性质分别判断，利用相似三角形的判定和性质判断相应推论．本题考查了三角形的重心，掌握相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．【考点4】三角形的中位线定理【例1】（2023·云南）如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设AC，BC的中点分别为M，N.若MN=3米，则AB=( )A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米【答案】B【解析】解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，∴AB=2MN=6(m)，故选：B．根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【例2】（2023·四川）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=( )A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，∵AC=6，BD=8，∴OC=3，OB=4，∴CB=√ OB2+OC2=5，∵E为边BC的中点，∴OE=12BC=52．故选：B．由菱形的性质得到OC=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．【例3】（2023·辽宁）如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C=45°，则DG的长为( )A. 2B. √ 3C. 32D. √ 2【答案】D【解析】解：如图，连接AO、BO、AB，∵∠C=45°，∴∠AOB=2∠C=90°，∵⊙O的半径为2，∴AO=BO=2，∴AB=2√ 2，∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE=12AB=√ 2．故选：D．先根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得AB=2√ 2，再根据三角形的中位线定理可得DE=√ 2．此题主要考查了三角形的中位线定理，以及勾股定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半1.（2023·四川）如图，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC=1：2，则四边形DFEG的面积为( )A. 2cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 8cm2【答案】B【解析】解：连接DE，如图：∵D、E分别为AC、BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB=3cm，DE//AB，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEF S△ABF =(DEAB)2=14，EFAF=DEAB=12，∴S△BEF S△ABF =EFAF=12，∴S△ABF=23S△ABE=23×12AB⋅BE=23×12×6×12×8=8(cm2)，∴S△DEF=14S△ABF=2(cm2)，∵S△DEC=12DE⋅CE=12×3×4=6(cm2)，DG：GC=1：2，∴S△DEG=13S△DEC=2(cm2)，∴S四边形DFGE=S△DEF+S△DEG=4(cm2)，∴四边形DFEG 的面积为4cm 2， 故选：B ．连接DE ，由D 、E 分别为AC 、BC 中点，可得DE =12AB =3cm ，DE//AB ，即得△DEF ∽△BAF ，故S△DEF S △ABF=(DE AB)2=14，EF AF=DE AB=12，可得S △ABF =23S △ABE =23×12AB ⋅BE =8(cm 2)，故S △DEF =14S △ABF =2(cm 2)，又S △DEC =12DE ⋅CE =6(cm 2)，DG ：GC =1：2，可得S △DEG =13S △DEC =2(cm 2)，从而S 四边形DFGE =S △DEF +S △DEG =4(cm 2)，本题考查相似三角形判定与性质，三角形中位线及应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质及应用． 2.（2023·内蒙古）如图，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC.垂足分别为D ，E ，F ，连接DE ，EF ，FD.若DE +DF =6.5，△ABC 的周长为21，则EF 的长为( ) A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3 【答案】B【解析】解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， ∴AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ， ∴DE ，DF ，EF 是△ABC 的中位线， ∴DE =12AC,DF =12BC,EF =12AB ，∴DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5， ∵DE +DF =6.5， ∴EF =10.5−6.5=4， 故选：B ．根据垂径定理得到AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ，根据三角形的中位线定理得到DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5，于是得到结论．本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．【考点5】多边形的内角和与外角和【例1】（2023·湖南）七边形的内角和为( ) A. 540°B. 720°C. 900°D. 1 080°【答案】C【分析】本题考查了多边形的内角和定理．熟记“n边形的内角和为(n−2)·180°”是解题的关键．利用多边形的内角和=(n−2)·180°即可解决问题．【解析】解：根据多边形的内角和可得：(7−2)×180°=900°．故选C．【例2】（2023·甘肃）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=( )A. 45°B. 60°C. 110°D. 135°【答案】A【解析】解：∵正八边形的外角和为360°，∴每一个外角为360°÷8=45°．故选：A．由多边形的外角和定理直接可求出结论．本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．【例3】（2023·北京）若正多边形的一个外角是60∘，则该正多边形的内角和为( )A. 360∘B. 540∘C. 720∘D. 900∘【答案】C【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和定理的有关知识，根据多边形的外角和等于360°，先求出这个多边形的边数，然后再利用多边形的内角和公式进行求解即可．【解析】解：由多边形的外角和为360∘可知，这个正多边形的边数为360∘÷60∘=6，由多边形内角和公式可知内角和为180∘×(6−2)=720∘．故选C．（1）多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°;（2）多边形的外角和：360°.1.（2023·湖北）五边形的外角和为( )A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【答案】B【分析】此题考查了多边形内角与外角，比较简单，只要识记多边形的外角和是360°即可．多边形外角和都等于360°，则四边形的外角和为360度．【解析】解：∵多边形外角和=360°，∴四边形的外角和为360°．故选：B．2.（2023·广东）如图，直线AB//CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．【答案】40°【解析】如图，延长PM、EG K，PM延长线交AB于点L．∵AB//CD，∴∠ALM=∠LND=∠CNP=50°，∴∠MKG=∠BFG+∠ALM=80°．∵∠HMN=30°，∴∠HMK=150°∵∠FGH=90°，∴∠KGH=90°，∴∠GHM=360°−∠HMK−∠MKG−∠KGH=360°−150°−80°−90°=40°．3.（2023·江苏）如图，五边形ABCDE是正五边形，l1//l2，若∠1=20°，则∠2=_____°．【答案】56【分析】本题主要考查了平行线的性质以及多边形的内角与外角，解题的关键是连接AC，利用内错角相等建立等量关系．连接AC，依据平行线的性质，即可得到等式∠2+∠ACB=∠1+∠CAE，据此可得∠2的度数．【解析】解：如图所示，连接AC，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=∠BAE=108°，∠ACB=∠CAB=36°，∴∠CAE=108°−36°=72°，∵l1//l2，∴∠2+∠ACB=∠1+∠CAE，即∠2+36°=20°+72°，解得∠2=56°，故答案为56．4.（2023·山东）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．【答案】五【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键.根据多边形的内角和公式求出边数即可．【解析】解：设多边形的边数是n，则(n−2)·180°=540°，解得n=5，故答案为五．。
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。
两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。
2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。
（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。
两年中考模拟2020年中考数学：等腰三角形与直角三角形(学生版)
第四篇图形的性质专题18等腰三角形与直角三角形知识点名师点晴等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质,并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法,会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法,会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法,会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理归纳1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°．2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角）,但顶角可为钝角（或直角）． ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ,底边长为b ,则2b ＜a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ,底角为∠B 、∠C ,则∠A =180°—2∠B ,∠B =∠C =2180A ∠-︒ 注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题,并证明角相等的问题．【例1】（2019内蒙古包头市,第10题,3分）已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4,且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根,则m 的值是（ ）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或36归纳 2：等边三角形基础知识归纳：1．定义三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°3．判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例2】（2019四川省宜宾市,第7题,3分）如图,∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心,∠EOF 的两边与△ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．32B．235C．33D．34归纳3：直角三角形基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余．（2）在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半．基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定,在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,它的逆命题不能直接使用．【例3】（2019山东省东营市,第14题,3分）已知等腰三角形的底角是30°,腰长为23,则它的周长是．归纳4：勾股定理基础知识归纳：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即：a2+b2=c2；基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法,通常与直角三角形的性质结合起来考查．【例4】（2019北京,第12题,2分）如图所示的网格是正方形网格,则∠P AB+∠PBA= °（点A,B,P是网格线交点）．【2019年题组】一、选择题1．（2019四川省内江市,第9题,3分）一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一根,则此三角形的周长是（）A．16B．12C．14D．12或162．（2019宁夏,第5题,3分）如图,在△ABC中AC=BC,点D和E分别在AB和AC上,且AD=AE．连接DE,过点A的直线GH与DE平行,若∠C=40°,则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°3．（2019山西省,第5题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC与点E,若∠1=145°,则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．（2019衢州,第7题,3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°5．（2019湖北省荆州市,第5题,3分）如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE 平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角,②矩形的对角线互相平分,③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．（2019湖南省常德市,第7题,3分）如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．267．（2019湖南省长沙市,第12题,3分）如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD55BD的最小值是（）A．25B．45C．53D．108．（2019辽宁省丹东市,第7题,3分）等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,则k的值是（）A．8B．9C．8或9D．129．（2019台湾,第4题,3分）图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成,其中正三角形面积为a,矩形面积为b．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱,则图2中直角柱的表面积为何？（）A．4a+2b B．4a+4b C．8a+6b D．8a+12b10．（2019甘肃省天水市,第8题,4分）如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为（）A．（1,1）B．（3C．3,1）D．33）11．（2019内蒙古赤峰市,第14题,3分）如图,小聪用一张面积为1的正方形纸片,按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作,当完成第2019次操作时,余下纸片的面积为（）A ．22019B ．201812C ．201912 D ．20201212．（2019台湾,第9题,3分）公园内有一矩形步道,其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式,其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？（ ）A ．84B ．86C ．160D ．16213．（2019四川省内江市,第10题,3分）如图,在△ABC 中,AB =2,BC =3.6,∠B =60°,将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ,当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时,则CD 的长为（ ）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.614．（2019四川省成都市,第5题,3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起,若∠1=30°,则∠2的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°15．（2019四川省眉山市,第11题,3分）如图,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则DE 的长是（ ）A．1B．74C．2D．12516．（2019四川省绵阳市,第10题,3分）公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125,小正方形面积是25,则（sinθ﹣cosθ）2=（）A．15B．55C．355D．9517．（2019滨州,第10题,3分）满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为（）A．AB41=,BC=4,AC=5B．AB：B C：A C=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=3：4：5D．|cosA12-|+（tanB33-）2=018．（2019聊城,第11题,3分）如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是（）A．AE+AF=AC B．∠BEO+∠OFC=180°C．OE+OF2=BC D．S四边形AEOF12=S△ABC19．（2019江苏省苏州市,第10题,3分）如图,在△ABC中,点D为BC边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB．过点D作DE⊥AD,DE交AC于点E．若DE=1,则△ABC的面积为（）A．42B．4C．25D．820．（2019浙江省宁波市,第9题,4分）已知直线m∥n,将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置,其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°,则∠2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°21．（2019浙江省宁波市,第12题,4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和22．（2019浙江省湖州市,第9题,3分）在数学拓展课上,小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形,P是其中4个小正方形的公共顶点,小强在小明的启发下,将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是（）A．22B．5C．352D．1023．（2019海南,第12题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4．点P是边AC上一动点,过点P 作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为（）A．813B．1513C．2513D．321324．（2019湖北省咸宁市,第2题,3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．25．（2019湖北省黄石市,第8题,3分）如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=（）A．125°B．145°C．175°D．190°26．（2019辽宁省朝阳市,第7题,3分）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是（）A．83°B．57°C．54°D．33°27．（2019辽宁省锦州市,第7题,2分）在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,M是对角线BD上的动点,过点M作ME ⊥BC于点E,连接AM,当△ADM是等腰三角形时,ME的长为（）A．32B．65C．32或35D．32或65二、填空题28．（2019四川省宜宾市,第16题,3分）如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在同一直线上,AD 与BE、BC分别交于点F、M,BE与CD交于点N．下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．①AM=BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC=180°；④111 MN AC CE=+29．（2019自贡,第18题,4分）如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos（α+β）= ．30．（2019江苏省连云港市,第15题,3分）如图,将一等边三角形的三条边各8等分,按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来,这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内,每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始,按顺时针方向）,如点A的坐标可表示为（1,2,5）,点B的坐标可表示为（4,1,3）,按此方法,则点C的坐标可表示为．31．（2019江苏省镇江市,第8题,2分）如图,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形,∠A=20°,则∠1= °．32．（2019浙江省温州市,第16题,5分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时,点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处,则B'E'﹣BE为分米．33．（2019湖北省荆门市,第15题,3分）如图,在平面直角坐标系中,函数ykx（k＞0,x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为．34．（2019湖北省黄冈市,第16题,3分）如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8,点M为AB的中点,若∠CMD=120°,则CD的最大值是．35．（2019辽宁省锦州市,第16题,3分）如图,边长为4的等边△ABC,AC边在x轴上,点B在y轴的正半轴上,以OB为边作等边△OBA1,边OA1与AB交于点O1,以O1B为边作等边△O1BA2,边O1A2与A1B交于点O2,以O2B为边作等边△O2BA3,边O2A3与A2B交于点O3,…,依此规律继续作等边△O n﹣1BA n,记△OO1A的面积为S1,△O1O2A1的面积为S2,△O2O3A2的面积为S3,…,△O n﹣1O n A n﹣1的面积为S n,则S n=．（n≥2,且n为整数）36．（2019广安,第13题,3分）等腰三角形的两边长分别为6cm,13cm,其周长为cm．37．（2019四川省成都市,第12题,4分）如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为．38．（2019广西桂林市,第17题,3分）如图,在平面直角坐标系中,反比例ykx=（k＞0）的图象和△ABC都在第一象限内,AB=AC52=,BC∥x轴,且BC=4,点A的坐标为（3,5）．若将△ABC向下平移m个单位长度,A,C两点同时落在反比例函数图象上,则m的值为．39．（2019新疆,第14题,5分）如图,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°,得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为．40．（2019江苏省徐州市,第18题,3分）函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有个．41．（2019湖南省常德市,第14题,3分）如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD',且点D'、D、B三点在同一条直线上,则∠ABD的度数是．42．（2019甘肃省白银市,第17题,4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= ．43．（2019贵州省毕节市,第17题,5分）如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD．若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为度．44．（2019内蒙古通辽市,第15题,3分）腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为．45．（2019四川省巴中市,第15题,4分）如图,等边三角形ABC内有一点P,分別连结AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10．则S△ABP+S△BPC=．46．（2019四川省广元市,第13题,3分）如图,△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是．47．（2019四川省泸州市,第16题,3分）如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,点E在边CB上,CE=2EB,点D在边AB上,CD⊥AE,垂足为F,则AD的长为．48．（2019山东省威海市,第13题,3分）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1=23°,则∠2=°．49．（2019山东省威海市,第17题,3分）如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接AC,BD．若∠ACB=90°,AC=BC,AB=BD,则∠ADC=°．50．（2019枣庄,第17题,4分）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上．若AB=2,则CD= ．51．（2019山东省淄博市,第17题,4分）如图,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将B角折起,使点B落在AC边上的点D（不与点A,C重合）处,折痕是EF．如图1,当CD12=AC时,tanα134=；如图2,当CD13=AC时,tanα2512=；如图3,当CD14=AC时,tanα3724=；……依此类推,当CD11n=+AC（n为正整数）时,tanαn= ．52．（2019山西省,第15题,3分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接BD,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为cm．53．（2019广西,第18题,3分）如图,AB与CD相交于点O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,则线段AB,AC,BD之间的等量关系式为．54．（2019江苏省宿迁市,第17题,3分）如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C 在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是．55．（2019湖北省鄂州市,第15题,3分）如图,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,则BP= ．56．（2019湖南省株洲市,第13题,3分）如图所示．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E、F分别为MB、BC的中点,若EF=1,则AB= ．57．（2019湖南省株洲市,第18题,3分）如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在直线x=1处放置反光镜Ⅰ,在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ,缺口为线段AB,其中点A（0,1）,点B在点A上方,且AB=1,在直线x=﹣1处放置一个挡板Ⅲ,从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后,通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上,则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．58．（2019湖南省邵阳市,第17题,3分）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是．59．（2019西藏,第15题,3分）若实数m 、n 满足|m ﹣3|4n +-=0,且m 、n 恰好是直角三角形的两条边,则该直角三角形的斜边长为 ．60．（2019贵州省毕节市,第19题,5分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,点B 在ED 上,AB ∥CF ,∠F =∠ACB =90°,∠E =45°,∠A =60°,AC =10,则CD 的长度是 ．61．（2019贵州省铜仁市,第16题,4分）如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,且BD ⊥AC ,ED ∥BC ,ED 交AB 于点E ,BC =7cm ,AC =6cm ,则△AED 的周长等于 cm ．62．（2019辽宁省丹东市,第13题,3分）如图,在△ABC 中,∠C =90°,DE 是AB 的垂直平分线,AD 恰好平分∠BAC ．若DE =1,则BC 的长是 ．63．（2019辽宁省大连市,第13题,3分）如图,△ABC 是等边三角形,延长BC 到点D ,使CD =AC ,连接AD ．若AB =2,则AD 的长为 ．64．（2019辽宁省抚顺市,第17题,3分）如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CA =CB =2,D 是△ABC 所在平面内一点,以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形,则BD 的长为 ．65．（2019黑龙江省鸡西市,第9题,3分）一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点D为BC边上的任一点,沿过点D的直线折叠,使直角顶点C落在斜边AB上的点E处,当△BDE是直角三角形时,则CD的长为．66．（2019黑龙江省齐齐哈尔市,第16题,3分）等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD12=AC,则等腰△ABC底角的度数为．三、解答题67．（2019内蒙古呼和浩特市,第18题,6分）如图,在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若()12a b caa b c c++=-+,求证：△ABC是直角三角形．68．（2019四川省巴中市,第18题,8分）如图,等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上,分别过点A、B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D．（1）求证：EC=BD；（2）若设△AEC三边分别为a、b、c,利用此图证明勾股定理．69．（2019四川省达州市,第20题,7分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3．（1）尺规作图：不写作法,保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线,垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中,求DE的长．70．（2019山东省菏泽市,第23题,10分）如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图1,连接BE,CD,BE的廷长线交AC于点F,交CD于点P,求证：B P⊥CD；（2）如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=62,AD=3,求△PDE的面积．【2018年题组】一、选择题1．（2018浙江省湖州市,第5题,3分）如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°2．（2018兰州,第5题,4分）如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=65°,则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°3．（2018贵州省安顺市,第6题,3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是（）A．12B．9C．13D．12或94．（2018辽宁省丹东市,第5题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB与点E,已知△BCE的周长为10,且BC=4,则AB的长为（）A．3B．4C．5D．65．（2018辽宁省营口市,第6题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,在同一平面内,将△ABC绕点A 顺时针旋转到△AB1C1的位置,连接BB1,若BB1∥AC1,则∠CAC1的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．（2018台湾省,第11题,3分）如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何？（）A．115B．120C．125D．1307．（2018山东省德州市,第12题,4分）如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点,连接DE,给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2018四川省达州市,第8题,3分）如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）A．32B．2C．52D．39．（2018广西梧州市,第7题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,△AB'C'与△ABC关于直线EF对称,∠CAF=10°,连接BB',则∠ABB'的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°10．（2018江苏省宿迁市,第6题,3分）若实数m、n满足等式|m﹣4n =0,且m、n恰好是等腰△ABC 的两条边的边长,则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．611．（2018广西玉林市,第9题,3分）如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC 为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直12．（2018浙江省台州市,第10题,4分）如图,等边三角形ABC边长是定值,点O是它的外心,过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E．将△BDE沿直线DE折叠,得到△B'DE,若B'D,B'E分别交AC于点F,G,连接OF,OG,则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B'FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值13．（2018兰州,第7题,4分）如图,边长为4的等边△ABC中,D、E分别为AB,AC的中点,则△ADE的面积是（）A3333B C24 ． ．D．314．（2018福建省A,第5题,4分）如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°15．（2018辽宁省鞍山市,第7题,3分）如图,在等边三角形ABC中,AE=CD,CE与BD相交于点G,EF⊥BD于点F,若EF=2,则EG的长为（）A．334B．433C．332D．416．（2018内蒙古包头市,第8题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE．若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°17．（2018吉林省长春市,第8题,3分）如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=kx（x＞0）的图象上,若AB=2,则k的值为（）A．4B．22C．2D．218．（2018四川省内江市,第12题,3分）如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标分别为（2,1）,（6,1）,∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交y轴于点P,若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为（）A．（﹣4,﹣5）B．（﹣5,﹣4）C．（﹣3,﹣4）D．（﹣4,﹣3）19．（2018四川省凉山州,第3题,4分）如图,数轴上点A对应的数为2,AB⊥OA于A,且AB=1,以O为圆心,OB 长为半径作弧,交数轴于点C,则OC长为（）A．3B．2C．3D．520．（2018四川省南充市,第8题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD 的中点,若BC=2,则EF的长度为（）A．12B．1C．32D321．（2018四川省攀枝花市,第4题,3分）如图,等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上,若a∥b,∠1=30°,则∠2的度数为（）A ．30°B ．15°C ．10°D ．20°22．（2018四川省泸州市,第8题,3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ．若ab =8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．323．（2018四川省绵阳市,第11题,3分）如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,CA =CB ,CE =CD ,△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上,若AE 2=,AD 6=,则两个三角形重叠部分的面积为（ ）A ．2B ．32-C ．31-D ．33-24．（2018山东省东营市,第10题,3分）如图,点E 在△DBC 的边DB 上,点A 在△DBC 内部,∠DAE =∠BAC =90°,AD =AE ,AB =AC ．给出下列结论：①BD =CE ；②∠ABD +∠ECB =45°；③BD ⊥CE ；④BE 2=2（AD 2+AB 2）﹣CD 2．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④25．（2018山东省枣庄市,第10题,3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB 的端点都在小矩形的顶点上,如果点P 是某个小矩形的顶点,连接P A 、PB ,那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个26．（2018山东省枣庄市,第12题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F．若AC=3,AB=5,则CE的长为（）A．32B．43C．53D．8527．（2018山东省淄博市,第11题,4分）如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为（）A．4B．6C．43D．828．（2018山东省淄博市,第12题,4分）如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为（）A．25394+B．25392+C．18253+D．3182+29．（2018山东省滨州市,第1题,3分）在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为（）A．5B．6C．7D．830．（2018山东省莱芜市,第8题,3分）在平面直角坐标系中,已知△ABC为等腰直角三角形,CB=CA=5,点C（0,3）,点B在x轴正半轴上,点A在第三象限,且在反比例函数y=kx的图象上,则k=（）A．3B．4C．6D．1231．（2018山东省菏泽市,第3题,3分）如图,直线a∥b,等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上,若∠1=30°,则∠2的度数是（）A．45°B．30°C．15°D．10°32．（2018山东省青岛市,第6题,3分）如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点．沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F．已知EF=32,则BC的长是（）A．322B．32C．3D．3333．（2018山西省,第8题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为（）A．12B．6C．62D．6334．（2018广西贺州市,第10题,3分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为（）A．32B．33C．6D．6235．（2018江苏省南通市,第5题,3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3,4,5B．2,3,4C．4,6,7D．5,11,1236．（2018江苏省扬州市,第7题,3分）在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC37．（2018江苏省扬州市,第8题,3分）如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③38．（2018浙江省温州市,第10题,4分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为（）A．20B．24C．994D．53239．（2018海南省,第12题,3分）如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,∠BAC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1,连接BC1,则BC1的长为（）A．6B．8C．10D．1240．（2018湖北省孝感市,第10题,3分）如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE ⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（3﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5B．4C．3D．241．（2018湖北省荆州市,第4题,3分）如图,两条直线l1∥l2,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,顶点A、B分别在l1和l2上,∠1=20°,则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°42．（2018湖北省荆门市,第11题,3分）如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为（）。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）1．在平面直角坐标系中，由两条与x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线1C 与抛物线2C ：()24120y mx mx m m =+->组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M ，N （点M 在点N 的左侧），与y 轴的交点分别为A ，B ，且点A 的坐标为()0,1-．(1)求M ，N 两点的坐标及抛物线1C 的解析式；(2)若抛物线2C 的顶点为D ，当34m =时，试判断三角形MND 的形状，并说明理由；(3)在（2）的条件下，点5,4P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭是抛物线1C 上一点，抛物线2C 第三象限上是否存在一点Q ，使得32APM ONQ S S =△△，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别是y 轴正半轴，x 轴正半轴上两动点，2OA k =，23OB k =+，以AO ，BO 为邻边构造矩形AOBC ，抛物线2334y x x k =-++交y 轴于点D ，P 为顶点，PM x ⊥轴于点M ．(1)求OD ，PM 的长（结果均用含k 的代数式表示）． (2)当PM BM =时，求该抛物线的表达式．(3)在点A 在整个运动过程中，若存在ADP △是等腰三角形，请求出所有满足条件的k 的值．3．如图1，抛物线211384y x x =--与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点D 在y轴正半轴上，直线AD ：y x b =+与抛物线交于点E ．(1)求线段BC 的长度；(2)如图2，点Р是线段AE 上的动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求PQCD的最大值； (3)如图3，将抛物线211384y x x =--向左平移4个单位长度，将DCA △沿直线BC 平移，平移后的DCA △记为D C A '''△，在新抛物线的对称轴上找一点M ，当A C M ''△是以点A '为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．4．如图1，抛物线2y ax 2x c =++经过点(1,0)A -、(0,3)C ，并交x 轴于另一点B ，点(,)P x y 在第一象限的抛物线上，AP 交直线BC 于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，当点P 的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP 的面积； (3)请利用备用图，若点Q 也是抛物线上的一点， ①当PDAD的值最大时，求此时点P 的坐标； ②当PDAD的值最大且APQ △是直角三角形时，求点Q 的横坐标．5．如图，抛物线22y ax bx =++经过点()()1040A B -，，，，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)点D 为抛物线上一点，是否存在点D 使23ABCABDS S =，若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求直线BE 的解析式．6．已知抛物线2y x bx c =-++经过()1,0A -、()0,3B 两点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F ．(1)求b 和c 的值及点C 的坐标； (2)求证∶BOF BDF ∠=∠(3)是否存在点M ，使MDF △为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长．7．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴上，顶点B 在x 轴上，OA 、OB 的长分别是一元二次方程214480x x -+=的两个根（OA OB >）．(1)求A 、B 两点坐标；(2)二次函数2y x bx c =++经过点A 和点D ，求此二次函数解析式；(3)在直线BC 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．如图①，抛物线2169y ax x c =++，与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于C 点，顶点为E ，其中，点A 坐标为(1,0)-，对称轴为2x =．(1)求此抛物线解析式；(2)在第四象限的抛物线上找一点F ，使FBC ACB S S =△△，求点F 的坐标；(3)如图②，点P 是x 轴上一点，点E 与点H 关于点P 成中心对称，点B 与点Q 关于点P 成中心对称，当以点Q ，H ，E 为顶点三角形是直角三角形时，求P 的坐标．9．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -、()3,0B 、()0,3C 三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式：(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求点P 的坐标：(3)在直线l 上是否存在点M ，使MAC △为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以B ，C ，E ，F 为顶点且以BC 为一边的平行四边形？若存在，求点F 的坐标：若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，二次函数()230y ax bx a a =+-<的图象与x 轴交于A 、B （点A 在点B 左侧）两点，与y 轴交于点C ，已知点()3,0B ，P 点为抛物线的顶点，连接PC ，作直线BC ．(1)点A 的坐标为 ；(2)若射线CB 平分PCO ∠，求二次函数的表达式；(3)在（2）的条件下，如果点(),0D m 是线段AB （含A 、B ）上一个动点，过点D 作x 轴的垂线，分别交直线BC 和抛物线于E 、F 两点，当m 为何值时，CEF △为直角三角形？11．如图，已知抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()10A -，，()03C ，．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．12．如图，抛物线y＝ax2＋bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；(3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．(1)求这个抛物线的表达式．(2)点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)①点M 在平面内，当△CDM 是以CM 为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M 的坐标； ②在①的条件下，点N 在抛物线对称轴上，当∠MNC ＝45°时，求出满足条件的所有点N 的坐标． 14．如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ．M 是抛物线任意一点，过点M 作直线l ⊥x 轴，交x 轴于点E ，设M 的横坐标为m （0＜m ＜3）．(1)求抛物线的解析式及tan ∠OBC 的值；(2)当m ＝1时，P 是直线l 上的点且在第一象限内，若△ACP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，连接BC ，连接AM 交y 轴于点N ，交BC 于点D ，连接BM ，设△BDM 的面积为S 1，△CDN 的面积为S 2，求S 1﹣S 2的最大值．15．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，已知抛物线的对称轴是直线=1x -，2OA OC ==．P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在第三象限内，且14PE OD=，求PBE∆的面积．(3)在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，是否存在点M，使BDM∆为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；(2)连接BD，当t32=时，求△DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；(4)当t54=时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．17．如图1，抛物线y2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO ＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．(1)求k、b、c的值；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求1AM+OM的最小值．218．如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴正方向上．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线第三象限的图象上，且到x轴、y轴的距离相等，①证明：POB≌POC；②直接写出OP的长；(3)若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．参考答案：1．(1)(6,0),(2,0)M N -，21(412)12y x x =+- (2)MND 是等腰三角形(3)存在，5(2,)6-或3(2,)2-2．(1)OD k =，3PM k =+ (2)23324y x x =-++(3)136k =或6k =或k =3．(1)(2)8156(3)()3,3-或(3,2)--4．(1)223y x x =-++ (2)152(3)①35,24P ⎛⎫⎪⎝⎭②113或1或52或765．(1)（32，258）(2)存在，共四个点，()13，或()23，或()23--，或()53-， (3)312y x =-+6．(1)2b =，3c =，()3,0C(3)存在，2或27．(1)()0,8A ，()6,0B (2)22984y x x =-+ (3)存在，()6,0P 或()22,128．(1)抛物线的解析式为241620999y x x =-++ (2)F 坐标为286,9⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)点P 坐标为5,06⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭9．(1)223y x x =-++(2)()1,2(3)存在，点M 的坐标为(或(1,或()1,1或()1,0(4)存在，点F 的坐标为()2,3或)1,3-或()1,3-10．(1)()1,0-(2)2=+y x (3)当2m =或1-时，CEF △为直角三角形11．(1)223y x x =-++(2)存在；()1,6，(，(1, (3)518，33,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．(1)y ＝﹣x 2+4x(2)3(3)存在，N 点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）13．(1)224233y x x =--+ (2)174(3)点N 的坐标为（﹣111，5）14．(1)y ＝﹣x 2+2x +3，1(2)（1，1）或（1，2）或（1，83） (3)813215．(1)211242y x x =+- (2)38(3)71,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或⎝⎭或⎝⎭或124,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．(1)y 12=-x 232+x +2(2)2(3)D (1，3)或D (3，2)(4)Q 点坐标分别为(32，52-)，(32，52)17．(1)k ＝﹣2，b 2，c ＝﹣(2)存在，点P 的坐标为（﹣1，）或（﹣111，﹣(3)12AM +OM 18．(1)223y x x ++＝﹣(2)②OP =(3)Q (0，3.5)或Q (0，﹣1.5)或Q (0，1)或Q (0，3)。
2021年中考数学 二轮专题汇编：等腰三角形(含答案)
2021中考数学 二轮专题汇编：等腰三角形一、选择题 1. 如图，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于 ( )A .15°B .30°C .45°D .60°2. 如K19-6，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F .若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE 的度数为 ( )A .35°B .40°C .45°D .50°3. 如图，∠AOB ＝50°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA于点A ，MB ⊥OB 于点B ，则∠MAB 等于( )A ．50°B ．40°C ．25°4. (2019•广西)如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为A．40︒B．45︒C．50︒D．60︒5. （2020·玉林）如图，A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形6. （2020·绍兴）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC 绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠P AH的度数（）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. （2020·烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9. 若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为________ cm .10. （2020·襄阳）如图，在△ABC 中，AB ＝AD ＝DC ，∠BAD ＝20°，则∠C ＝__________°．DCB A11. 如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD ＝∠ACD ②∠BAD ＝∠CAD③ AB ＋BD ＝AC ＋CD ④ AB －BD ＝AC －CD12. （2020·营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为 ．EFA13. 如图，BO 平分∠CBA ，CO 平分∠ACB ，MN 过点O 且MN ∥BC ，设AB ＝12，AC ＝18，则△AMN 的周长为________．14. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．15. (2019•哈尔滨)在ABC△中，50A∠=︒，30B∠=︒，点D在AB边上，连接CD，若ACD△为直角三角形，则BCD∠的度数为__________．16. （2020·聊城）如图，在直角坐标系中，点A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为．三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.18. 已知：如图，B，E，F，C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B ＝∠C.求证：OA＝OD.ODABCxy19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.21. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．22. 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．23. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD 的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断.AB，AD，DC之间的等量关系为;(2)问题探究:如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.①②24. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t ＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．2021中考数学二轮专题汇编：等腰三角形-答案一、选择题1. 【答案】A[解析]∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ECA=60°-45°=15°.2. 【答案】C[解析]因为BD平分∠ABC，AE⊥BD，BF=BF，所以△ABF≌△EBF，易得BD是线段AE的垂直平分线，∠BAF=∠BEF，所以AD=ED，所以∠DEA=∠DAE，所以∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°，所以∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45°，故选C.3. 【答案】C[解析] ∵OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，∴∠AOM＝∠BOM＝25°，MA＝MB.∴∠OMA＝∠OMB＝65°.∴∠AMB＝130°.∴∠MAB＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.4. 【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ．5. 【答案】A【解析】如图所示：∵C 岛在A 岛的北偏东35°方向，∴∠CAD ＝35°， ∵B 岛在A 岛的北偏东80°方向，∴∠BAD ＝80°，∴∠CAB ＝∠BAD －∠CAD ＝45°，∵C 岛在B 岛北偏西55°方向，∴∠CBE ＝55°，又∵DA ∥EB ，∴∠ABE ＋∠BAD ＝180°，∴∠ABE ＝100°， ∵∠CBE ＝55°，∴∠CBA ＝100°－55°＝45°，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴CA ＝CB ， 在△ABC 中，∴∠C ＝180°－∠ABC －∠CAB ＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选：C ． 6. 【答案】C【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，旋转的性质．由旋转得BC=BP=BA ，∴△BCP 和△ABP 均是等腰三角形.在△BCP 中，∠CBP=θ，BC=BP ，∴∠BPC=90°-12θ.在△ABP 中，∠ABP=90°-θ，同理得∠APB=45°+12θ，∴∠APC=∠BPC +∠APB =135°，又∵∠AHC=90°，∴∠PAH=45°，即其度数是个定值，不变．因此本题选C ．7. 【答案】B 【解析】连接DE ，过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，过E 作EG ⊥BC ，垂足为G .∵AB ＝AC ，AF ⊥BC ，BC ＝12，∴BF ＝FC ＝6，又∵E 是AC 的中点，EG ⊥BC ，∴EG ∥AF ，∴CG ＝FG ＝12CF ＝3，∵在Rt △CEG 中，tan C ＝EGCG ，∴EG ＝CG×tan C ＝3y ；∴DG ＝BF ＋FG －BD ＝6＋3－x ＝9－x ，∵HD 是BE 的垂直平分线，∴BD ＝DE ＝x ，∵在Rt △EGD 中，由勾股定理得，ED 2＝DG 2＋EG 2，∴x 2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x －y 2＝9.8. 【答案】最小的等腰直角三角形的面积42＝1（cm 2），平行四边形面积为2cm 2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm 2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．故选：D．二、填空题9. 【答案】23【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝12(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴底边长为：BC＝2BD＝2AB·cos30°＝23(cm)．10. 【答案】40．【解析】∵AB＝AD＝DC，∴∠ABD＝∠ADB，∠DAC＝∠C．∵∠BAD＝20°，∴∠ADB＝180202︒-︒＝80°．又∵∠ADB＝∠DAC＋∠C，∴∠C＝12∠ADB＝40°．故答案为40．序号正误逐项分析①×△BAD与△ACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的角和边，所以不能判定两三角形全等，因而也就不能得出AB＝AC②√∠BAD＝∠CAD结合AD是△ABC的边BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形③√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD ，得AB－BD＝AC－CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形④√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD ，得AB＋BD＝AC＋CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形12. 【答案】33【解析】如图1，根据两点之间线段最短，可得CE+EF≥CF，又根据垂线段最短可得，当CF⊥AB时，CF有最小值，此时CF与AD的交点即为点E（如图2），在R t △AFC 中，AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°，∴FC=AC·sin 60°=6×32=33．13. 【答案】30[解析] ∵MN ∥BC ，∴∠MOB ＝∠OBC.∵∠OBM ＝∠OBC ， ∴∠MOB ＝∠OBM. ∴MO ＝MB.同理NO ＝NC. ∴△AMN 的周长＝AM ＋MO ＋AN ＋NO ＝AM ＋MB ＋AN ＋NC＝AB ＋AC＝30.14. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.15. 【答案】60︒或10︒【解析】分两种情况： ①如图1，当90ADC ∠=︒时，∵30B ∠=︒，∴903060BCD ∠=︒-︒=︒； ②如图2，当90ACD ∠=︒时，DEFAFE D图1图2∵50A ∠=︒，30B ∠=︒，∴1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1009010BCD ∠=︒-︒=︒，综上，则BCD ∠的度数为60︒或10︒．故答案为：60︒或10︒．16. 【答案】4＋25【解析】先求点C 的坐标，再利用最短路径知识确定D 点位置，最后求四边形ACBD 的最小周长即可．由点A 与点C 的纵坐标均为1，可知AC ∥x 轴，又点A ，B 是第一象限角平分线上的两点，∴∠BAC ＝45°，又∵CA ＝CB ，∴∠CBA ＝45°，∴AC ⊥BC ，∴C(3，1)，则AC ＝BC ＝2．如图，作点A 关于y 轴的对称点E ，连接BE 交y 轴于点D ，此时AD ＋BD 的值最小，为线段BE 的长．由轴对称性可知AE=2，则EC=4．在R t △BCE 中，根据勾股定理，得BE ＝22EC BC +＝2242+＝25．∴四边形ACBD 的最小周长为2＋2＋25＝4＋25． 三、解答题17. 【答案】解:(1)(方法一):∵AB=AC ，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°-∠B -∠C=180°-42°-42°=96°.∵AD ⊥BC ，OD A BC xyE∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°.(方法二):∵AB=AC ，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°.∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.(2)证明:∵EF ∥AC ，∴∠CAF=∠F ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAF=∠BAF ，∴∠F=∠BAF ，∴AE=FE.18. 【答案】证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，⎩⎨⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，∴△ABF ≌△DCE.∴AF ＝DE ，∠AFB ＝∠DEC.∴OF ＝OE.∴AF －OF ＝DE －OE ，即OA ＝OD.19. 【答案】解:(1)证明:∵CF ∥AB ，∴∠B=∠FCD ，∠BED=∠F .∵AD 是BC 边上的中线，∴BD=CD ，∴△BDE ≌△CDF .(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE=CF=2，∴AB=AE +BE=1+2=3.∵AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴AC=AB=3.20. 【答案】证明:(1)如图，连接DE.∵CD 是AB 边上的高，∴CD ⊥AB.∴∠ADC=90°.∵AE=CE ，∴DE=AC=CE=AE.∵BD=CE ，∴DE=BD.∴点D 在线段BE 的垂直平分线上.(2)∵BD=DE ，∴∠ADE=2∠ABE.∵DE=AE ，∴∠A=∠ADE=2∠ABE.∴∠BEC=∠ABE +∠A=3∠ABE.21. 【答案】解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°.∵CE ⊥BD ，∴∠BCE ＋∠DBC ＝90°.∴∠ABD ＝∠BCE.在△DAB 和△EBC 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠BCE ，AB ＝BC ，∠DAB ＝∠EBC ＝90°，∴△DAB ≌△EBC(ASA)．∴AD ＝BE.(2)证明：∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE.∵BE ＝AD ，∴AE ＝AD.∴点A 在线段ED 的垂直平分线上．∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°.∵∠BAD ＝90°，∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°.在△EAC 和△DAC 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠EAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△EAC ≌△DAC(SAS)．∴CE ＝CD.∴点C 在线段ED 的垂直平分线上．∴AC 是线段ED 的垂直平分线．(3)△DBC 是等腰三角形．理由：由(1)知△DAB ≌△EBC ，∴BD ＝CE.由(2)知CE ＝CD.∴BD ＝CD.∴△DBC 是等腰三角形．22. 【答案】【思路分析】(1)因为PE 是直径，所以∠PAE ＝90°，要证△PAE 是等腰直角三角形，只要证PA ＝EA ，由已知得∠PBA ＝45°，而∠PEA 与∠PBA 是同弧所对的圆周角，所以∠PEA ＝∠PBA ，问题得证；(2)由(1)得△PAC ≌△EAB ，所以PC ＝BE ，因为PE 是直径，所以∠PBE ＝90°，所以PC 2＋PB 2＝BE 2＋PB 2＝PE 2＝4.解图(1)证明：如解图，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC ＝AB ，∠CAB ＝90°，∠PBA ＝45°，∵在⊙O 中，∠PEA 与∠PBA 都是AP ︵所对的圆周角，∴∠PEA ＝∠PBA ＝45°，∵PE 为⊙O 的直径，∴∠PAE ＝90°，(4分)∴△PAE 为等腰直角三角形且AP ＝AE ；(5分)(2)∵∠PAE ＝∠CAB ＝90°，∴∠CAB －∠PAB ＝∠PAE －∠PAB ，∴∠CAP ＝∠BAE ，∴△CAP ≌△BAE(SAS )，(8分)∠C ＝∠ABE ＝45°，∠PBE ＝∠PBA ＋∠ABE ＝90°(10分)在Rt △PBE 中，PC 2＋PB 2＝PE 2＝4.(12分)23. 【答案】解:(1)AD=AB +DC[解析]延长AE 交DC 的延长线于点F ，∵AB ∥DC ，∴∠BAF=∠F .∵E 是BC 的中点，∴CE=BE.在△AEB 和△FEC 中，∴△AEB ≌△FEC ，∴AB=FC.∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAF=∠BAF ，∴∠DAF=∠F ，∴DF=AD ，∴AD=DC +CF=DC +AB.故答案为:AD=AB +DC.(2)AB=AF +CF .证明:如图，延长AE 交DF 的延长线于点G ，∵E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∵AB ∥DC ，∴∠BAE=∠G .在△AEB 和△GEC 中， ∴△AEB ≌△GEC ，∴AB=GC.∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG=∠F AG ，∴∠F AG=∠G ，∴F A=FG ，∴AB=CG=AF +CF .24. 【答案】(1)如解图①，连接DF ，解图①∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3， 在Rt △ABD 中AD ＝52－32＝4，∵EF //BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AQ AD ，∴EF 6＝4－t 4，∴EF ＝32(4－t )，∵EF //BD ，∴当EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形， ∴32(4－t )＝3， ∴t ＝2，∴当t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形；(2)如解图②，作PN ⊥AD 于N ，解图②∵PN //DC ，∴PN DC ＝AP AC ，∴PN 3＝5－t 5，∴PN ＝35(5－t )，∴y ＝12DC ·AD －12AQ ·PN＝6－12(4－t ) ·35(5－t )＝6－(310t 2－2710t ＋6)＝－310t 2＋2710t (0＜t ＜4)；(3)存在．理由如下：如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H .解图③∵当QN 为AP 的垂直平分线时QA ＝QP ，QN ⊥AP ，∴AN ＝NP ＝12AP ＝12(5－t )，由题意cos ∠CAD ＝AD AC ＝AN AQ ，∴12（5－t ）4－t＝45，∴t ＝73， ∴当t ＝73s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上．∵sin ∠FPH ＝FH PF ＝sin ∠CAD ＝35，∵P A ＝5－73＝83，AF ＝AQ ÷45＝2512， ∴PF ＝712，∴FH ＝720.∴点F 到直线PQ 的距离h ＝720(cm)．。
(名师整理)最新数学中考二轮复习《三角形》专题冲刺精练(含答案)
最新模考分类冲刺小卷20：《三角形》一．选择题1．（2020•烟台一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交点的连线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若∠A＝40°，则∠DBC＝（）A．40°B．30°C．20°D．10°2．（2020•宿松县模拟）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有多少个？（）A．10 B．8 C．6 D．43．（2020•雁塔区校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE 为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（）A．19°B．33°C．34°D．43°4．（2020•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F；再分别以E，F为圆心，以大于EF为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；作射线BP，交边AC于点G，若AG＝，则△GBC的面积为（）A．3B．6C．2D．5．（2020•碑林区校级三模）一副三角板按如图所示的位置摆放，△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC的斜边AC中点M，且BE交AC于点F，已知AB＝1，则FM＝（）A．B．﹣1 C．D．6．（2020•长春模拟）如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（）A．4cm2B．2cm2C．4cm2D．2cm27．（2020•河北模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个8．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA＝10，AB＝12，则点B到AC的距离为（）A．B．C．10 D．129．（2020•陕西模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD并延长至点E，使DE＝CD．连接AE，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，若BF＝7，则AB的长为（）A．3.5 B．7 C．10 D．1410．（2020•陕西模拟）如图，已知△ABC的面积为8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC，则△BPC的面积为（）A．2 B．4 C．5 D．611．（2020•哈尔滨模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝2∠B，F是BC 的中点，EF∥AD交AB于点E，且BE＝4AE，若CD＝4，则AB的长为（）A．10 B．9 C．8 D．612．（2020•上城区模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（）A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝813．（2019秋•无棣县期末）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．38°14．（2020•武汉模拟）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB为（）A．100寸B．101寸C．102寸D．103寸15．（2020•郑州模拟）如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18二．填空题16．（2020•丰台区模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C均在格点上，则∠BAC+∠BCA＝°．17．（2020•武昌区模拟）如图，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝54°，AB ＝AC，AD＝AE，连接BD，CE交于F，连接AF，则∠AFE的度数是．18．（2020•哈尔滨模拟）如图，在△ABC中，BD为△ABC的中线，∠DBA＝2∠CAB，BD＝25，CB＝38，则AB的长为．19．（2020•江西模拟）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是．20．（2020•闵行区一模）如果三角形的两个内角∠α与∠β满足2α+β＝90°，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4（如图所示），点D在AC边上，联结BD．如果△ABD为“准互余三角形”，那么线段AD的长为（写出一个答案即可）．21．（2020•长春模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于点E，若图中阴影部分面积为2，则B′E的长为．22．（2020•新疆模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC 中点，点E在边AB上，连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F．连接EF．下列结论：①BE+CF＝BC；②AD≥EF；③S四边形AEDF＝AD2；④S△AEF≤，其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．三．解答题23．（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．24．（2020•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，＝nM为BC上的一点，连接BM．（1）如图1，若n＝1，①当M为AC的中点，当BM⊥CD于H，连接AH，求∠AHD的度数；②如图2，当H为CD的中点，∠AHD＝45°，求的值和∠CAH的度数；（2）如图3，CH⊥AM于H，连接CH并延长交AC于Q，M为AC中点，直接写出tan∠BHQ的值（用含n的式子表示）．25．（2020•江西模拟）如图，有一时钟，时针OA长为6cm，分针OB长为8cm，△OAB随着时间的变化不停地改变形状．求：（1）13点时，△OAB的面积是多少？（2）14点时，△OAB的面积比13点时增大了还是减少了？为什么？（3）问多少整点时，△OAB的面积最大？最大面积是多少？请说明理由．（4）设∠BOA＝α（0°≤α≤180°），试归纳α变化时△OAB的面积有何变化规律（不证明）26．（2020•长春模拟）思维启迪：（1）如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B 间的距离，但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC＝4，AE＝DE＝，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图②，当△ADE在起始位置时，求证：PC⊥PE，PC＝PE．②如图③，当α＝90°时，点D落在AB边上，PC与PE的数量关系和位置关系分别为．③当α＝135°时，直接写出PC的值．27．（2020•哈尔滨模拟）已知，等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD ＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P．（1）如图1，求证：∠APD＝∠ACD；（2）如图2，若∠DCA＝60°，请直接写出图2中为60°的角（等边三角形内角除外）．28．（2020•于都县模拟）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例相互唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝．（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是．（3）如图②，已知∠C＝90°，sin A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．29．（2020•武汉模拟）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE ＝90°，M为CE中点．（1）如图1，若D点在BA延长线上，直接写出BM与DM的数量关系与位置关系不必证明．（2）如图2，当C，E，D在同直线上，连BE，探究BE与AB的的数量关系，并加以证明．（3）在（2）的条件下，若AB＝AE＝2．求BD的长．30．（2020•虹口区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．参考答案一．选择题1．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，故选：B．2．解：如图所示，共有4种情况，∠C的度数有3个，分别为40°，35°，20°．①当AB＝AP，BQ＝PQ，CP＝CQ时；②当AB＝AP，BP＝BQ，PQ＝QC时，③当APB，PB＝BQ，PQ＝CQ时；④AP＝PB，PB＝PQ，PQ＝QC时．故选：D．3．解：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE＝AC＝AE＝CE，∴∠EBC＝∠C＝52°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC＝19°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝52°+19°＝71°，∵BF⊥AD，∴∠BFD＝90°，∴∠FBD＝90°﹣∠ADB＝19°，∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBD＝52°﹣19°＝33°；故选：B．4．解：作GH⊥BC于H，如图，由作法得BP平分∠ABC，∴GA＝GH＝，∵∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝60°，∠C＝30°，在Rt△ABG，∵∠ABG＝∠ABC＝30°，∴AB＝AG＝3，在Rt△ABC中，BC＝2AB＝6，∴S△BCG＝×6×＝3．故选：A．5．解：过F作FH⊥BD于H，∵∠FBH＝45°，∴FH＝BH，∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1，∴AC＝2AB＝2，∵点M是AC的中点，∴BM＝CM＝AC＝1，∴∠MBC＝∠C＝30°，∴∠FMH＝60°，∴FM＝FM，FH＝BH＝FM，∴FM+FM＝1，∴FM＝﹣1，故选：B．6．解：由题意可知OB是∠MON的角平分线，∵∠MON＝60°，∴∠BON＝30°，作BD⊥ON于D，∵OC＝BC＝2，∴∠BOC＝∠OBC＝30°，∴∠BCN＝60°，∴BD＝BC＝，∴S△BOC＝OC×BD＝＝，∴四边形OABC的面积＝2S△BOC＝2，故选：B．7．解：∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴△ABD为等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC为等腰三角形．故选：D．8．解：作AH⊥OB于H，连接AB交OC于D，如图，由作法得OC平分∠AOB，而OA＝OB＝10，∴OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝6，在Rt△AOD中，OD＝＝8，∵AH•OB＝OD•AB，∴AH＝＝，∵AO＝AC，∴∠AOC＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BOC，∴AC∥OB，∴点B到AC的距离为．故选：A．9．解：∵D为AB边的中点，∴AD＝BD，在△BCD和△AED中，∵，∴△BCD≌△AED（SAS），∴∠CBD＝∠EAD，∴BC∥AE，即BC∥EF，又∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形，∴CE＝BF＝7，∴CD＝CE＝3.5，故选：A．10．解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线，∴AP＝PD，∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，∴S△BPC＝S△BPD+S△CPD＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∵△ABC的面积为8，∴S△BPC＝×8＝4．故选：B．11．解：如图作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，在AB上截取AM＝AC，∵DA平分∠BAC，∴DG＝DH，∴＝＝＝，设BF＝FC＝4a，∵EF∥AD，∴＝＝4，∴FD＝a，CD＝3a＝4，∴a＝，BD＝5a＝，在△ADM和△ADC中，，∴△DAM≌△DAC（SAS），∴DM＝DC，∠AMD＝∠C，∵∠C＝2∠B，∴∠AMD＝∠B+∠MDB＝2∠B，∴∠B＝∠MDB，∴BM＝MD＝CD＝4，设AC＝AM＝x，则有＝，∴x＝6，∴AB＝BM+AC＝4+6＝10，故选：A．12．解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2，＝CG2+DG2+2CG•DG，＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2＝12，∴GF2＝4，∴S2＝4，∵S1+S2+S3＝12，∴S1+S3＝8，故选：D．13．解：∵∠ABC＝36°，∠C＝44°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣44°＝100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝18°，∵AE⊥BD，∴∠BFA＝90°，∴∠BAF＝90°﹣18°＝72°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF＝100°﹣72°＝28°，故选：B．14．解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1．在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得2r＝101．故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．故选：B．15．解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故选：C．二．填空题（共7小题）16．解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D，则AD＝BD，∵∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠BAC+∠BCA＝∠ABD＝45°，故答案为：45．17．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ADF＝∠AEF，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠AFE＝∠ADE，∵∠DAE＝54°，AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣54°）＝63°，∴∠AFE＝63°，故答案为：63°．18．解：延长BD至E，使DE＝DB，作∠ADF＝∠CAB交AB于F，连接AE、DF，如图所示：则DF＝AF，∠DFB＝∠CAB+∠ADF＝2∠CAB，∵∠DBA＝2∠CAB，∴AF＝DF＝DB＝25＝DE＝BE，∴∠BFE＝90°，∴∠AFE＝90°，∵BD为△ABC的中线，∴AD＝CD，在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE＝CB＝38，∴EF＝＝＝3，∴BF＝＝＝41，∴AB＝AF+BF＝66；故答案为：66．19．解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝70°，∴∠EDB＝20°，∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，当点P在AB上，∵DE＝DP1，∴∠DP1E＝∠AED＝70°，∴∠EDP1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，当点P在AC上，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴DG＝DH，在Rt△DEG与Rt△DP2H中，，∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），∴∠AP2D＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°，∴∠EDP2＝140°，故答案为：40°或140°．20．解：过点D作DM⊥AB于M．设∠ABD＝α，∠A＝β．①当2α+β＝90°时，∵α+β+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠DBA，∵DM⊥AB，DC⊥BC，∴DM＝DC，∵∠DMB＝∠C＝90°，DM＝DC，BD＝BD，∴Rt△BDC≌Rt△BDM（HL），∴BM＝BC＝3，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝5，∴AM＝5﹣3＝2，设AD＝x，则CD＝DM＝4﹣x，在Rt△ADM中，则有x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝．∴AD＝．②当α+2β＝90°时，∵α+β+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝β＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴BC2＝CD•CA，∴CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣＝．故答案为或．21．解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，∴△ACB≌△AC′B′，∴AC＝AC′，CB＝C′B′，∠CAB＝∠C′AB′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∵∠CAC′＝15°，∴∠C′AE＝30°，∴AE＝2C′E，AC′＝C′E，∵阴影部分面积为2，∴×C′E×C′E＝2，∴C′E＝2，∴C′B′＝AC'＝C′E＝2，∴B′E＝2﹣2，故答案为：2﹣2．22．解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC中点，∴BD＝CD＝AD＝BC，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，BC＝AB，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠BAD＝∠C，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∴BE+CF＝BE+AE＝AB，且BC＝AB，∴BE+CF＝BC，故①正确；∵AE+AF≥EF，∴AF+CF≥EF，∴AC≥EF，∴AD≥EF，故②错误；∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△CDF＝S△ADC＝×AD2，故③正确；∵S△AEF＝×AE×AF，且AE+AF＝AC，∴当AE＝AF时，S△AEF的最大值＝S△ABC，∴S△AEF≤，故④正确，故答案为：①③④三．解答题（共8小题）23．解：（1）CM＝AN+MN，理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OA＝OC，在△CDO和△ANO中，，∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∵∠MON＝60°，∴∠COD+∠AOM＝60°，∵∠AOC＝120°，∴∠DOM＝60°，在△DMO和△NMO中，，∴△DMO≌△NMO，∴DM＝MN，∴CM＝CD+DM＝AN+MN；（2）补全图形如图2所示：CM＝MN﹣AN，理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，在△CDO和△ANO中，，∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∴∠DOM＝∠NOM，在△DMO和△NMO中，，∴△DMO≌△NMO（SAS）∴MN＝DM，∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．24．解：（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB＝90°，∴∠CHB＝∠K＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠ACK＝90°，∴∠CBH＝∠ACK，∵CB＝CA，∴△CHB≌△AKC（AAS），∴AK＝CH，∵∠CHM＝∠K＝90°，∴MH∥AK，∵AM＝BM，∴CH＝KH，∴AK＝KH，∵∠K＝90°，∴∠AHD＝45°．②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AHD＝45°，∠AHD＝∠ACH+∠CAH，∴∠ACH+∠CAH＝∠CAH+∠DAH，∴∠DAH＝∠ACD，∵∠ADH＝∠CAD，∴△ADH∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AD＝a，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴AM＝BM，∴CM＝AM＝BM，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，∵CM2＝DM2+CD2，∴x2+（x﹣a）2＝4a2，解得x＝a（负根已经舍弃）．∴BD＝AB﹣AD＝（+）a﹣a＝a，∴＝＝．∵△ADH∽△CDA，∴＝＝，设AH＝m，则AC＝m，AK＝KH＝m，∴tan∠ACK＝＝，∴∠ACH＝30°，∴∠CAH＝∠AHD﹣∠ACH＝45°﹣30°＝15°．（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．∵CH⊥BM，BM＝＝＝•y，∴CH＝＝＝•y，∴HM＝＝•y，∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ，∴∠J＝∠CHM＝90°，∵∠AMJ＝∠CMH，AM＝CM，∴△AMJ≌△CMH（AAS），∴AJ＝CH＝•y，HM＝JM＝•y，∵∠BHQ＝∠AHJ，∴tan∠BHQ＝tan∠AHJ＝＝＝n．25．解：（1）如图①，过点B作BE⊥OA于点E．在13点时，∠BOA＝30°，∴BE＝OB＝4（cm），∴S△OAB＝OA•BE＝×6×4＝12（cm2）；（2）如图②，过点B作BE⊥DA于点E．在14点时，∠BOA＝60°，＝sin60°，BE＝8×＝4（cm），∴S△OAB＝×4×6＝12（cm2）．∵12＞12，∴14点时比13点时△OAB的面积增大了；（3）3点时（即15时）或9点时（即21时）时△OAB的面积最大，如图③④．∵此时BE最长，BE＝OB＝8 cm，而OA不变，∴S＝OA•OB＝×6×8＝24（cm2）；（4）当α＝0°、180°时不构成三角形；当0°＜α≤90°时，S△OAB的值随α增大而增大；当90°＜α＜180°时，S△OAB的值随α增大而减小．26．（1）解：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠C，∵P是BC的中点，∴PB＝PC，在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（ASA），∴AB＝CD＝200米；故答案为：200；（2）①证明：延长EP交BC于F，如图②所示：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDP＝∠FBP，∠DEP＝∠BFP，∵点P是线段BD的中点，∴PB＝PD，在△FBP和△EDP中，，∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵PE＝PF，∴PC⊥EF，PC＝EF＝PE；②解：PC⊥PE，PC＝PE；理由如下：延长ED交BC于H，如图③所示：由旋转的性质得：∠CAE＝90°，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴四边形ACHE是矩形，∴∠BHE＝∠CHE＝90°，AE＝CH，∵AE＝DE，∴CH＝DE，∠ADE＝45°，∴∠EDP＝135°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠BHE＝90°，点P是线段BD的中点，∴PH⊥BD，PH＝BD＝PD，△BPH是等腰直角三角形，∴∠BHP＝45°，∴∠CHP＝135°＝∠EDP，在△CPH和△EPD中，，∴△CPH≌△EPD（SAS），∴PC＝PE，∠CPH＝∠EPD，∴∠CPE＝∠HPD＝90°，∴PC⊥PE；故答案为：PC⊥PE，PC＝PE；③解：当α＝135°时，AD⊥AC，过点D作DF⊥BC于F，连接CD，过点C作CN⊥BD于N，如图④所示：则四边形ACFD是矩形，∴CF＝AD＝AE＝2，DF＝AC＝4，∴CD＝＝＝2，BF＝BC﹣CF＝4﹣2＝2，∴BD＝＝＝2，∵DF•BC＝CN•BD，∴CN＝＝＝，BN＝＝＝，∴PN＝BD﹣BN＝×2﹣＝，∴PC＝＝＝．27．（1）证明：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，又∵CA＝CD，CE＝CB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠CAM＝∠PDM，∵∠AMC＝∠DMP，∴∠ACM＝∠DPM，即∠AMD＝∠APD．（2）解：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，由（1）可知∠APD＝∠ACD＝60°，∴∠EPB＝∠APD＝60°，∴图中60°角为∠DCE，∠APD，∠EPB．28．解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°＝＝1．故答案为：1．（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为：0＜sadA＜2．（3）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，如图．∵在Rt△ADE中，＝sin A＝，设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x．∴CE＝x．∴在Rt△CDE中，CD＝＝x．∴sad A＝＝＝．29．解：（1）BM＝DM，BM⊥DM；如图1，连接AM，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAE＝90°，∵M为CE中点．∴CM＝AM，∵BM＝BM，BC＝BA，∴△BCM≌△BAM（SSS），∴∠CBM＝∠MBA＝45°，同理可得∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM，BM⊥DM；（2）如图2，延长BM到N，使BM＝MN，连EN，DN，BD，BE，∵∠CMB＝∠EMN，CM＝ME，∴△CBM≌△ENM（SAS），∴BC＝EN，∠BCM＝∠MEN，∴EN＝AB，∵∠CBA＝∠ADE＝90°，∴∠BCM+∠BAD＝180°，∵∠NED+∠MEN＝180°，∴∠NED＝∠BAD，又∵AD＝DE，∴△END≌△ABD（SAS），∴DB＝DN，∠NDE＝∠BDA，∵∠BDA+∠BDE＝90°，∴∠NDE+∠BDE＝90°，∴∠NDB＝90°，∴DB⊥DN，∴DM⊥BN，∴BE＝EN＝BC＝AB；（3）如图3，连BE，BD交AE于N，在（2）的条件下，CM＝ME，DM⊥BM，∴BE＝BC＝AE＝AB＝2，DE＝DA＝2，∴BD为AE的垂直平分线，∴EN＝DN＝AN＝，∴BN＝＝，∴BD＝+．30．解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴（3x）2+16＝（5x）2，∴x＝1，即AC＝3，∵BE⊥AD，∴∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠FBC，∴tan∠FBC＝tan∠DAC＝＝；（2）∵AG∥BD，∴∠AGF＝∠CBF，∴tan∠AGF＝tan∠CBF，∴，，∴，∴．∴＝．∵∠EAF＝∠CBF，∴，∴，∴S△DAF＝＝；（3）①当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AG＝8，BC＝4，AG∥BD，∴，∴AF＝2CF，∵AC＝3，∴AF＝2，CF＝1，∴，∴，设AE＝x，GE＝4x，∴x2+16x2＝82，解得x＝，即AE＝．同理tan∠DAC＝tan∠CBF，∴，∴DC＝，∴AD＝＝＝．∴＝．②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴，∴，同理，∴，∴．∴DE＝AE﹣AD＝．综合以上可得DE的长为或．。
中考总复习之等腰三角形与直角三角形
中考总复习之等腰三角形与直角三角形在中考数学的复习中，等腰三角形和直角三角形是两个非常重要的知识点。
它们不仅在几何题目中经常出现，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
接下来，让我们系统地复习一下这两个重要的三角形类型。
一、等腰三角形（一）定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（二）性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
例如，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，那么∠B ＝∠C。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
若 AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，则 AD 也是底边 BC 上的中线和高；反之亦然。
（三）判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（四）常见题型1、计算角度：利用等腰三角形的性质，求出顶角或底角的度数。
例如，已知等腰三角形的一个底角为 70°，则顶角为 180° 70°× 2 ＝40°。
2、证明线段相等：通过证明三角形是等腰三角形，得出两条线段相等。
3、求边长：根据等腰三角形的性质和已知条件，计算出三角形的边长。
二、直角三角形（一）定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。
（二）性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
若直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，则 a²＋ b²＝c²。
2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，D 是斜边 AB 的中点，则 CD ＝ 1/2 AB 。
3、直角三角形的两个锐角互余。
中考数学专题特训 等腰三角形与直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【赵老师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【赵老师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【赵老师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=12AC=12×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=43；（3）当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=433；故答案为：433或43或4。
2023年中考数学试题分类汇编知识点三角形含多边形及其内角和
三角形（含多边形及其内角和）一、选择题1. （2023湖南长沙，4题，3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cmD.6cm,7cm,14cm【答案】B【解析】三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
A选项中4+5=9，两边之和等于第三边，故A 错误；C选项5+5=10，两边之和等于第三边，故C错误；D选项6+7=13<14，两边之和小于第三边，故D错误；B选项8+8=16>15，故B对的。
【知识点】三角形三边关系2. （2023山东省济宁市，8，3）如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E=300°.DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是( )A.50°B.55°C.60°D.65°【答案】D【解析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°-300°=240°，∵∠BCD 、∠CDE 的平分线在五边形内相交于点P ，∴∠PDC+∠PCD=12（∠BCD+∠CDE ）=120°， ∴∠P=180°-120°=60°，因此，本题应当选D.【知识点】多边形的内角和公式 角平分线的定义3. （2023浙江杭州，5，3分） 若线段AM ，AN 分别是△ABC 的BC 边上的高线和中线，则（ ）A. AM AN >B. AM AN ≥C. AM AN <D. AM AN ≤【答案】D【解析】AM 和AN 可以当作是直线为一定点到直线上两定点的距离，由垂线段最短，则AM AN <，再考虑特殊情况，当AB=AC 的时候AM=AN【知识点】垂线段最短4. （2023宁波市，5题，4分） 已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】运用正多边形的每个外角都相等，外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数解：360°÷40°=9【知识点】多边形外角和1. （2023湖北鄂州，5，3分）一副三角板如图放置，则∠AOD 的度数为（ ）A ． 75°B ． 100°C ． 105°D ．120°【答案】C【解析】如下图（1），由题意可知，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，∴∠ABO＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°，又∵∠BOC是△AOB的一个外角，∴∠BOC＝∠ABO＋∠A＝15°＋90°＝105°，∴∠AOD＝∠BOC＝105°．【知识点】三角形的外角；对顶角2. （2023内蒙古呼和浩特，3，3分）已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（）A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形答案B【解析】设这个多边形为n边形，则（n-2） 180=1080，解得n=8，故选B.【知识点】多边形的内角和3. （2023河北省，1，3）下列图形具有稳定性的是( )【答案】A【解析】三角形是具有稳定性的图形，故选A．【知识点】三角形的稳定性4. （2023福建A卷，3，4）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )A．1，1，2 B.1，2，4C. 2，3，4D.2，3，5【答案】C【解析】三数中，若最小的两数和大于第三数，符合三角形的三边关系，则能成为一个三角形三边长，否则不也许．解：∵1＋1=2 ，∴选项A不能；∵1＋2＜4，∴选项B不也许；∵2＋3＞4，∴选项C能；∵2＋3=5，∴选项D不能．故选C．【知识点】三角形三边的关系5. （2023福建A卷，4，4）一个n边形的内角和是360°，则n等于( )A．3 B.4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】先拟定该多边形的内角和是360゜，根据多边形的内角和公式，列式计算即可求解．解：∵多边形的内角和是360゜，∴多边形的边数是：360゜=(n-2)×180°，n=4.【知识点】多边形；多边形的内角和6.（2023福建B卷，3，4）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )A．1，1，2 B.1，2，4C. 2，3，4D.2，3，5【答案】C【解析】三数中，若最小的两数和大于第三数，符合三角形的三边关系，则能成为一个三角形三边长，否则不也许．解：∵1＋1=2 ，∴选项A不能；∵1＋2＜4，∴选项B不也许；∵2＋3＞4，∴选项C能；∵2＋3=5，∴选项D不能．故选C．【知识点】三角形三边的关系7. （2023福建B卷，4，4）一个n边形的内角和是360°，则n等于( )A．3 B.4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】先拟定该多边形的内角和是360゜，根据多边形的内角和公式，列式计算即可求解．解：∵多边形的内角和是360゜，∴多边形的边数是：360゜=(n-2)×180°，n=4.【知识点】多边形；多边形的内角和8. （2023四川雅安，5题，3分）已知n边形的每个外角都等于60°，则它的内角和是A.180°B.270°C.360°D.720°【答案】D【解析】n边形的外角和为360°，由于每个外角都等于60°，所以这个多边形是六边形，所以内角和=(6-2)×180°=720°，故选D【知识点】多边形的内角和、外角和9.（2023浙江省台州市，7，3分）正十边形的每一个内角的度数为（ ）A ．120B ．135C ．140D ．144【答案】D【解析】要计算正十边形的内角，一方面运用内角和公式计算出正十边形的内角和，然后再计算每一个内角.∵（10-2）×180°=1440°，∴1440°÷10=144°，尚有1种解法，运用正多边形的外角和是360°进行计算，360°÷10=36°，180°-36°=144°，故选D.【知识点】正多边形的内角和公式，外角和是360°；邻补角的定义；10. （2023·北京，5，2）若正多边形的一个外角为60°，则该多边形的内角和为 （ ）A ．360°B ．540°C ．720°D ．900°【答案】C ．【解析】∵正多边形的一个外角为60°，∴该正多边形的边数n ＝36060＝6．∴正多边形的的内角和＝(6－2)×180°＝720°．故选C ．【知识点】多边形的内角和；正多边形11. （2023江苏省宿迁市，6，3）若实数m 、n 满足等式∣m －2∣＋4 n ＝0，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】B【解析】根据两个非负数的和为0，则各自为0．∴m －2＝0，n －4＝0．∴m ＝2，n ＝4．根据三角形中两边之和大于第三边，则三条边长分别是2，4，4，∴周长是10．故选B ．【知识点】非负数的性质，三角形的三边关系二、填空题1. （2023山东滨州，13，5分）在△ ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝50°，则∠C ＝___________．【答案】100°【解析】∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠C ＝100°【知识点】三角形内角和定理。
2020年中考数学二轮复习压轴专题：三角形(解析版)
2020年中考数学二轮复习压轴专题：《三角形》1．在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM＝135°，CN＝CM，如图①（1）求证：∠ACN＝∠AMC（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：（3）延长线段AB到点P，使BP＝BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN＝CP始终成立？（写出探究过程）解：（1）∵∠BAC＝45°，∴∠AMC＝180°﹣45°﹣∠ACM＝135°﹣∠ACM，∵∠NCM＝135°，∴∠ACN＝135°﹣∠ACM，∴∠ACN＝∠AMC；（2）过点N作NE⊥AC于E，∵∠CEN＝∠CDM＝90°，∠ACN＝∠AMC，CM＝CN，∴△NEC≌△CDM（AAS）∴NE＝CD，CE＝DM；∵S1＝AC•NE，S2＝AB•CD，∴＝；（3）当AC＝2BD时，对于满足条件的任意点N，AN＝CP始终成立，理由如下：过点N作NE⊥AC于E，由（2）可得NE＝CD，CE＝DM，∵AC＝2BD，BP＝BM，CE＝DM，∴AC﹣CE＝BD+BD﹣DM∴AE＝BD+BP＝DP，∵NE＝CD，∠NEA＝∠CDP＝90°，AE＝DP，∴△NEA≌△CDP（SAS）∴AN＝PC．2．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），故答案为（﹣6，﹣2）；（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则四边形OEDQ是矩形，∴DE＝OQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO＝PQ＝2，∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，∴∠HFS＝∠GFT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），∴OT═OS＝4，∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，∴﹣4﹣m＝n+4，∴m+n＝﹣8．3．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为AE＝BD．②∠APC的度数为60°．（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为AE＝BD，AE⊥BD．解：（1）观察猜想：①如图1，设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE ＝S△BCD，∵∠AOC＝∠DOP，∴∠DPO＝∠ACO＝60°，∴∠APB＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴CP平分∠APB，∴∠APC＝60°，故答案为AE＝BD，60°．（2）数学思考：：①成立，②不成立，理由：设AC交BD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，∵∠AOP＝∠DOC，∴∠APO＝∠DCO＝60°，∴∠DPE＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴CP平分∠DPE，∴∠DPC＝60°，∴∠APC＝120°，∴①成立，②不成立；拓展应用：设AC交BD于点O．∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，∴∠ACE＝∠DCB∴△AEC≌△DBC（SAS），∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE，∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE，∴∠DCO＝∠APO＝90°，∴AE⊥BD，故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．4．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．5．△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，0°＜∠PBC＜180°，DB平分∠PBC，且DB＝DA．（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD平分∠PBC，∴∠PBD＝∠CBD＝30°，∵DB＝DA，∴∠PBD＝∠BPD＝30°；（2）如图2，连接CD，∵点D在∠PBC的平分线上，∴∠PBD＝∠CBD，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC＝AC，∠ACB＝60°，∵BP＝BA，∴BP＝BC，∵BD＝BD，∴△PBD≌△CBD（SAS），∴∠BPD＝∠BCD，∵DB＝DA，BC＝AC，CD＝CD，∴△BCD≌△ACD（SSS），∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝30°，∴∠BPD＝30°；（3）如图3，连接CD，∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，∴△ACD≌△BCD（SSS）∴∠ACD＝∠BCD＝30°，∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，∴△PBD≌△CBD（SAS）∴∠BPD＝∠BCD＝30°，如图4，连接CD，∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，∴△ACD≌△BCD（SSS）∴∠ACD＝∠BCD＝30°，∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，∴△PBD≌△CBD（SAS）∴∠BPD＝∠BCD＝30°，如图5，连接CD，∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，∴△ACD≌△BCD（SSS）∴∠ACD＝∠BCD＝＝150°，∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，∴△PBD≌△CBD（SAS）∴∠BPD＝∠BCD＝150°，6．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF +S△CEF＝S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF +S△CEF＝S△ABC，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系；（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF +S△CEF＝S△ABC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF ，S△CEF，S△ABC之间的数量关系．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形DECF是矩形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∵D 为AB 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝BC ，AC ＝2CE ，同理：DF ＝AC ，∵AC ＝BC ，∴DE ＝DF ，∴四边形DECF 是正方形，∴CE ＝DF ＝CF ＝DE ，∵S △DEF ＝S △CEF ＝2＝DE •DF ＝DF 2，∴DF ＝2，∴CE ＝2，∴AC ＝2CE ＝4；（2）S △DEF +S △CEF ＝S △ABC 成立，理由如下：连接CD ；如图2所示：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴∠B ＝45°，∠DCE ＝∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝AB ＝BD ，∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，S △ABC ＝2S △BCD ，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDE ＝∠BDF ，在△CDE 和△BDF 中，，∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴DE ＝DF ．S △CDE ＝S △BDF ．∴S △DEF +S △CEF ＝S △CDE +S △CDF ＝S △BCD ＝S △ABC ；（3）不成立；S △DEF ﹣S △CEF ＝S △ABC ；理由如下：连接CD，如图3所示：同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，∴S△DEF ＝S五边形DBFEC，＝S△CFE +S△DBC，＝S△CFE +S△ABC，∴S△DEF ﹣S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF 、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°， AC＝15，则DE的长为 5 ．解：定理证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∵直线n是边AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OA＝OB∵OH⊥AB，∴AH＝BH；（2）如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，∴DE＝5，故答案为：5．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为直角边作等腰Rt△BCD，∠CBD＝90°，斜边CD交AB于点E．（1）如图1，若∠ABC＝60°，BE＝4，作EH⊥BC于H，求线段BC的长；（2）如图2，作CF⊥AC，且CF＝AC，连接BF，且E为AB中点，求证：CD＝2BF．解：（1）∵∠ABC＝60°，EH⊥BC，∴∠BEH＝30°，∴BE＝2BH＝4，EH＝BH，∴BH＝2，EH＝2，∵∠CBD＝90°，BD＝BC，∴∠BCD＝45°，且EH⊥BC，∴∠BCD＝∠BEC＝45°，∴EH＝CH＝2，∴BC＝BH+HC＝2+2；（2）如图，过点A作AM⊥BC，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝MC＝BC＝DB，∵∠DCB＝45°，AM⊥BC，∴∠DCB＝∠MNC＝45°，∴MN＝MC＝BD，∵AM∥DB，∴△CNM∽△CBD∴，∴CD＝2CN，AN＝BD，∵CF⊥AC，∠BCD＝45°，∴∠ACD+∠BCF＝45°，且∠ACD+∠MAC＝45°，∴∠BCF＝∠MAC，且AC＝CF，BC＝AN，∴△ACN≌△CFB（SAS）∴BF＝CN，∴CD＝2BF9．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．【探究发现】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DP＝DB；【数学思考】证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，在△CDP和△GDB中，，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DP＝DB．10．已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足（m﹣n）2+|m﹣5|＝0．C 为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E．（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，则PE与AB的数量关系为AB＝2PE（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由！（3）设AB＝5，若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．解：（1）∵（m﹣n）2+|m﹣5|＝0，∴m﹣n＝0，m﹣5＝0，∴m＝n＝5，∴A（5，0）、B（0，5），∴AC＝BC＝5，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，∵PO＝PD，∴∠POD＝∠PDO，∵D是x轴正半轴上一点，∴点P在BC上，∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，∴∠POC＝∠DPE，在△POC和△DPE中，，∴△POC≌△DPE（AAS），∴OC＝PE，∵C为AB的中点，∴AB＝2OC，∴AB＝2PE．故答案为：AB＝2PE．（2）成立，理由如下：∵点C为AB中点，∴∠AO C＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，∵PO＝PD，∴∠POD＝∠PDO，∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，∴∠POC＝∠DPE，在△POC和△DPE中，，∴△POC≌△DPE（AAS），∴OC＝PE，又∠AOC＝∠BAO＝45°∴OC＝AC＝AB∴AB＝2PE；（3）∵AB＝5，∴OA＝OB＝5，∵OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°，∴∠APD＝∠BOP，在△POB和△DPA中，，∴△POB≌△DPA（SAS），∴PA＝OB＝5，DA＝PB，∴DA＝PB＝5﹣5，∴OD＝OA﹣DA＝5﹣（5﹣5）＝10﹣5，∴点D的坐标为（10﹣5，0）．11．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．12．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．13．小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．小明同学对以上结论作了进一步探究．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，则：∠ABC＝30°．探究结论：（1）如图1，CE是AB边上的中线，易得结论：△ACE为等边三角形．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，CP是AB边上的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD，在AB边上方作等边△ADE，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想加以证明．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当点C在第一象内，且B（2，0）时，求点C 的坐标．解：探究结论（1）∵CE是AB边上的中线，∴CE＝AE＝AB，∵AC＝AB，∴AC＝CE＝AE，∴△ACE是等边三角形．故答案为：等边；（2）如图2中，结论：ED＝EB．理由：取AB的中点P，连接CP、PE．∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC＝AP＝PC，AD＝AE＝DE，∠CAP＝∠DAE＝60°，∴∠CAD＝∠PAE，∴△CAD≌△PAE（SAS），∴∠ACD＝∠APE＝90°，∴EP⊥AB，∵PA＝PB，∴EA＝EB，∵DE＝AE，∴ED＝EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣，1），∴∠AOH＝30°，由（2）可知，CO＝CB，∵CF⊥OB，∴OF＝FB＝1，∴可以假设C（1，n），∵OC＝BC＝AB，∴1+n2＝1+（+2）2，∴n＝2+，∴C（1，2+）．14．如图，等边△ABC外有一点D，连接DA，DB，DC．（1）如图1，若∠DAB+∠DCB＝180°，求证：BD平分∠ADC；（2）如图2，若∠BDC＝60°，求证：BD﹣CD＝AD；（3）如图3，延长AD交BC的延长线于点F，以BF为边向下作等边△BEF，若点D，C，E 在同一直线上，且∠ABD＝α，直接写出∠CEF的度数为60°﹣α（结果用含α的式子表示）．（1）证明：过点B作BM⊥CD于点M，BN⊥AD于点N，∴∠ANB＝∠CMB＝90°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∵∠DAB+∠DCB＝180°，∠DCB+∠BCM＝180°，∴∠OAB＝∠BCM，∴△ABN≌△CBM（AAS），∴BM＝BN，∴BD平分∠ADC；（2）证明：在BD上取点E，使DE＝CD，∵∠BD C＝60°∴△CDE为等边三角形，∴∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE，∴BD﹣CD＝AD；（3）解：∵△ABC，△BEF为等边三角形，∴AB＝CB，BF＝BE，∠ABF＝∠CBE∴△ABF≌CBE（SAS），∴∠DFB＝∠CEB，∵∠CEB+∠CEF＝60°，∠EFB＝60°∴∠FDE＝180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF＝60°∴∠ADC＝120°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，由（1）得BD平分∠ADC∴∠BDE＝60°，∴∠FDB＝120°，∴∠FDB+∠FEB＝180°，∴F，E，B，D四点共圆，∴∠CEF＝∠DBF∵∠DBF＝60°﹣α．∴∠CEF＝60°﹣α．故答案为：60°﹣α．15．已知，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，m），过B点作直线a与x轴互相垂直，C为x轴上的一个动点，且∠BAC＝90°．（1）如图1，若点B是第二象限内的一个点，且m＞2时，求点C的坐标；（用m的代数式表示）（2）如图2，若点B是第三象限内的一个点，设C点的坐标（x，0），求x的取值范围：（3）如图3，连接BC，作∠ABC的平分线BD，点E、F分别是射线BD与边BC上的两个动点，连接CE、EF，当m＝3时，试求CE+EF的最小值．解：（1）如图1，过B点作BH⊥y轴于点H，∴∠BHA＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠BHA＝∠AOC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ABH＝∠CAO，∵点A（0，2），B（﹣2，m），∴AO＝BH＝2，OH＝m，∵AO＝BH，∠ABH＝∠CAO，∠BHA＝∠AOC＝90°，∴△BHA≌△AOC（ASA）∴CO＝AH＝OH﹣AO＝m﹣2，∵m＞2，点C在x轴负半轴，∴点C（2﹣m，0）；（2）如图2，过B点作BK⊥y轴于点K，则∠AKB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAK+∠CAK＝90°，且∠BAK+∠ABK＝90°，∴∠CAK＝∠ABK，∵点A（0，2），B（﹣2，m），∴AO＝BK＝2，OH＝m，∵AO＝BK，∠CAK＝∠ABK，∠AOC＝∠AKB＝90°，∴△ABK≌△CAO（AAS）∴CO＝AK＝2﹣m，∵C点的坐标（x，0），∴CO＝x＝2﹣m，∵点B是第三象限内的一个点，∴m＜0，∴2﹣m＞2，∴x＞2；（3）如图3，在AB上截取BN＝BF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，且BE＝BE，BF＝BN，∴△BEF≌△BEN（SAS）∴EF＝EN，∴CE+EF＝CE+EN，∴当C，E，F三点共线，且N与点A重合时，CE+EF有最小值，此时最小值为AC，由（1）可知：点C（2﹣m，0）；且m＝3，∴点C（﹣1，0），∴CO＝1，∴AC＝＝＝，∴CE+EF的最小值为．。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题9二次函数综合之等腰直角三角形和等边三角形的判定
等边三角形的判定【经典例题1】如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O ，矩形ABCD 的顶点A ，D 在抛物线上，且AD 平行x 轴，交y 轴于点F ，AB 的中点E 在x 轴上，B 点的坐标为（2，1），点P （a ，b ）在抛物线上运动．（点P 异于点O ）(1)求此抛物线的解析式．(2)过点P 作CB 所在直线的垂线，垂足为点R ，①求证：PF=PR ；②是否存在点P ，使得△PFR 为等边三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；③延长PF 交抛物线于另一点Q ，过Q 作BC 所在直线的垂线，垂足为S ，试判断 △RSF 的形状．【解析】(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，∴A 、D 关于抛物线的对称轴对称；∵E 是AB 的中点，∴O 是矩形ABCD 对角线的交点，又B(2，1)∴A(2，−1)、D(−2，−1)；由于抛物线的顶点为(0，0)，可设其解析式为：y=ax 2，则有：4a =−1，a =−41 ∴抛物线的解析式为：y=−41x 2.(2)①证明：由抛物线的解析式知：P(a ，−41a 2)，而R(a ，1)、F(0，−1)， 则：PF=222)141()0(+-+-a a ，PR=1−(−41a 2)=41a 2+1. ∴PF=PR.②由①得：RF=42+a ；若△PFR 为等边三角形，则RF=PF=PR ，得：42+a =41a 2+1，即：161a 4−21a 2−3=0，得： a 2=−4(舍去)，a 2=12；∴a =±23，−41a 2=−3； ∴存在符合条件的P 点，坐标为(23，−3)、(−23，−3).③同①可证得：QF=QS ；在等腰△SQF 中，∠1=21(180°−∠SQF)； 同理，在等腰△RPF 中，∠2=21(180°−∠RPF)； ∵QS ⊥BC 、PR ⊥BC ，∴QS ∥PR ，∠SQP+∠RPF=180°∴∠1+∠2=21(360°−∠SQF−∠RPF)=90° ∴∠SFR=180°−∠1−∠2=90°，即△SFR 是直角三角形。
中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型(含答案)
中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型（含答案）知识点一：等腰和等边三角形1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；注意：1.实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1）、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。
2）、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。
3）、用“垂直平分线”构造等腰三角形；4）、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。
2.当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.变式练习1：如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.3.三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.变式练习2：如右图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.变式练习3：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为( ) A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17【解析】A ①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3＋3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3＋7＋7＝17，故这个等腰三角形的周长是17.变式练习4：如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 __7__．变式练习5：一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( C )A．12 B．16 C．20 D．16或202.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.变式练习1：△ABC中，∠B=60°，AB=A C，BC=3，则△ABC的周长为9.变式练习2：在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D 作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2，在Rt△DEF，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∴DF＝2DE＝4，∴EF＝DF2－DE2＝42－22＝2 3.变式练习3：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝__2__.知识点二：角平分线和垂直平分线1.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．21P C OBAPCO B A注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.变式练习：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.知识点三：直角三角形的判定与性质1.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .2.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.3.直角三角形相似判定定理1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
九年级数学中考复习直角三角形和等腰三角形 课件
在△BPP′中，∵PP′＝5，BP＝12，BP′＝13， ∴PP′2＋BP2＝BP′2. ∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′＝90°. ∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′＝60°＋90°＝150°. 故点 P 与点 P′之间的距离为 5，∠APB 的度数为 150°.
4、勾股定理. 1、有一个角为90°的三角形是直角三角形； 判 2、如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形； 定 3、一条边上的中线等于这条边的一半的三角形； 4、勾股定理的逆定理.
面 积
知识点4：等腰直角三角形
1、两直角边相等； 性 2、两锐角相等且都等于45°； 质 3、斜边中线将三角形分为两个全等的等腰直角三角形；
知识点2：等边三角形
1、三边相等，三个角相等，且每个角都等于60°； 性 2、三线合一； 质 3、等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.
1、三条边相等的三角形是等边三角形； 判
2、三个角相等的三角形是等边三角形； 定
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
面 积
知识点3：直角三角形
1、直角三角形的两个锐角互余； 性 2、斜边上的中线等于斜边的一半； 质 3、30°角所对的直角边等于斜边的一半；
4、是轴对称图形，有1条对称轴. 1、有一个角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形； 判 2、有两边相等的直角三角形是等腰直角三角形； 定 3、有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形； 4、有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形.
面 积
拓展知识
勾股定理的拓展应用：若直角三角形的三边分别记为a、b、c，分别
例 3 如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA＝5，PB＝12，PC＝13， 若将△PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到△P′AB，求点 P 与点 P′之间的距 离及∠APB 的度数．
2024成都中考数学二轮重点专题研究 微专题 等腰三角形存在性问题(课件)
∴10＝9＋g2，
解得 g＝1 或 g＝－1(舍去)，
∴G(1，0)，
例题图④
将 G(1，0)，C(0，3)代入 y＝mx＋b 中，得bm＝＋3b＝0，解得mb＝＝3－3，
∴y＝－3x＋3，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴当△ACG 是一个以 AG 为底边的等腰三角形时，CG 的解析式为 y＝－
3x＋3；
③以 CG 为底边，则 AC＝AG，∴10＝(1＋g)2，
例题图②
∴BC 的垂直平分线 l 的解析式为 y＝x，
联立抛物线与直线 l 的解析式可得yy＝ ＝－ x，x2＋2x＋3.
解得yx11＝＝11＋＋22
1133，，或yx22＝＝11－－22
13， 13，
例题图②
∴点 J 的坐标为(1＋2 13，1＋2 13)或(1－2 13，1－2 13)；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点 M 使△BCM 为等腰三角形？若存在， 求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；
－ 17)或(1，1)；
(4)连接 AC，在 x 轴上是否存在一点 G 使△ACG 是等腰三角形？若存在， 求出直线 CG 的解析式；若不存在，请说明理由；
例题图④
【思维教练】设出点 G 坐标，然后表示出 AC、CG、AG，当△ACG 是等 腰三角形时，可以分为三种情况，分别以三条边作为底边，令其他两边 相等列关系式求解，若有解，则存在，将点 C、G 的坐标代入直线解析式 即可求解，若无解，则不存在；
例题图④
(4)存在． 设直线 CG 的解析式为 y＝mx＋b，点 G 的坐标为(g，0)，则 AG2＝(1＋ g)2，AC2＝10， ∵在 Rt△COG 中，CO＝3，OG＝g， ∴由勾股定理得 CG2＝CO2＋OG2＝9＋g2， 当△ACG 为等腰三角形时，分为以下三种情况：
山东省临沂市中考数学二轮专题复习 专题9 三角形(含等腰三角形)、多边形问题-人教版初中九年级全册数
专题九、三角形（含等腰三角形）、多边形问题【近3年某某市中考试题】1．(2014•某某)将一个n边形变成n+1边形，内角和将（A）减少180°．（B）增加90°．（C）增加180°．（D）增加360°．2．(2013年某某)如图，在平面直角坐标系中,点A1 ，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以A1A2B1B2其中的任意两点与点．．O．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A） 34. (B)13. (C)23.(D)12.3．一个正多边形内角和等于540°，则这个正多边形的每一外角等于(A) 108°. (B) 90°. (C) 72°. (D) 60°.【知识点】三角形的概念，边的关系、内角和定理、外角定理、内心、外心.等腰三角形的性质定理及推论：即等边对等角、“三线合一”、等边三角形的各角都相等，并且都是60°；等腰三角形的判定定理及推论：即等角对等边、三个角都相等的三角形是等边三角形、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。
多边形内角和：（n-2）180°；多边形的外角和是360°；各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
【规律方法】1．等腰三角形是复杂几何图形的基本构成部分，要学会将其分离出来。
2．“等边对等角”常用于证明两角相等，“等角对等边”是证明线段相等比较常用的方法。
3．重视“三线合一”这一性质的运用，常根据“三线合一”做底边上的高线（中线、顶角的平分线）。
4．在运用多边形的内角和公式与外角和的性质求值时，常与方程思想相结合。
在解正多边形问题时，通常转化为等腰三角形或直角三角形来解决。
中考复习《多边形》三角形和等腰三角形
(1)等腰三角形的两个底角⑨__相__等_____(简写成“等边 对等角”)． 性质 (2)等腰三角形的顶角⑩_平__分__线_、底边上的⑪ __中__线__、 底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)． (3)等腰三角形是轴对称图形，有⑫ ___1___条对称轴.
考点5 等边三角形性质与判定的相关计算 例5如图4，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°， 且AD＝AE，则∠EDC等于( C ) A．10° B．12.5° C．15° D．20°
图4
例6 如图5，在四边形ABCD中，AD平分∠BAC，AD⊥BD.过 点D作DE∥AC交AB于E，且∠CAD＝30°.求证：△BDE 是等边三角形．
由不在同一条直线上的三条线段①__首__尾__顺__次____相 接所组成的图形叫做三角形．三角形有3条边、3个 顶点和3个内角．三角形具有稳定性．
2．分类 (1)按角分：三角形锐 直角 角三 三角 角形 形
钝角三角形 三边都不相等的三角形 (2)按边分：三角形等腰三角形底 等边边和三腰角不形相等的等腰三角形
角形.
02 考点突破
·考点1 三角形的三边关系 ·考点2 三角形内外角关系 ·考点3 三角形中与重要线段有关的计算 ·考点4 等腰三角形性质与判定的相关计算 ·考点5 等边三角形性质与判定的相关计算
考点1 三角形的三边关系
例1 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的 是( B ) A．2，3，6 B．10，10，1 C．4，5，1 D．4，6，11
D．2，3，5
3．【2018·福建·4 分】如图，等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，垂
足为 D，点 E 在线段 AD 上，∠EBC＝45°，则∠ACE 等于
2021年九年级数学中考二轮复习基于问题探究的三角形全等培优专题
2021年九年级数学中考二轮复习基于问题探究的三角形全等培优专题1.如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．问题探究与发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD 的面积及AD的长．2.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．3.问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，.ABCD 90B C ∠=∠=︒P BC PA PD =90APD ∠=︒求证：.AB CD BC +=问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，.ABCD 45B C ∠=∠=︒P BC PA PD =90APD ∠=︒求的值.AB CCD B +4.问题：如图，在△ABD 中，BA =BD ．在BD 的延长线上取点E ，C ，作△AEC ，使EA =EC ，若∠BAE =90°，∠B =45°，求∠DAC 的度数．答案：∠DAC =45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B =45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B =45°”去掉，再将“∠BAE =90°”改为“∠BAE =n °”，其余条件不变，求∠DAC 的度数．5．性质探究如图（1），在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，则底边AB 与腰AC 的长度之比为________．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4＋，则它的面积为________；3（2）如图（2），在四边形EFGH 中，EF ＝EG ＝EH ．在边FG ，GH 上分别取中点M ，N ，连接MN ．若∠FGH ＝120°，EF ＝20，求线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________．（用含α的式子表示）6.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个；321S S S =+②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为，直角三角形面积为，请判断的关系并证明；21S S 、3S 321S S S 、、(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m 的式子表示)① ；=+++2222d c b a ②b 与c 的关系为，a 与d 的关系为 .7. 如图，AB∥CD,以点A 为圆心，以小于AC 长为半径作圆弧，分别交AC 、AB 于E 、F 两点，再分别以点E 、F 为圆心，以大于EF 长为半径作圆弧，两条圆12弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M.（1）若∠ACD=124°,求∠MAB 的度数；（2）若CN⊥AM，垂足为N ，求证：△CAN≌△MCN.8. 如图①，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2，宽为1的矩形CEFD 拼在一起，构成一个大的矩形ABEF 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题九、三角形（含等腰三角形）、多边形问题
【近3年临沂市中考试题】
1．(2014•临沂)将一个n边形变成n+1边形，内角和将
（A）减少180°．（B）增加90°．
（C）增加180°．（D）增加360°．
2．(2013年临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A1 ，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以A1A2B1B2其中的任意两点与点
．．O．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是
（A） 3
4
. (B)
1
3
. (C) .(D)
1
2
.
3．一个正多边形内角和等于540°，则这个正多边形的每一外角等于
(A) 108°. (B) 90°. (C) 72°. (D) 60°.
【知识点】
三角形的概念，边的关系、内角和定理、外角定理、内心、外心.
等腰三角形的性质定理及推论：即等边对等角、“三线合一”、等边三角形的各角都相等，并且都是60°；
等腰三角形的判定定理及推论：即等角对等边、三个角都相等的三角形是等边三角形、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。
多边形内角和：（n-2）180°；多边形的外角和是360°；各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
【规律方法】
1．等腰三角形是复杂几何图形的基本构成部分，要学会将其分离出来。
2．“等边对等角”常用于证明两角相等，“等角对等边”是证明线段相等比较常用的方法。
3．重视“三线合一”这一性质的运用，常根据“三线合一”做底边上的高线（中线、顶角的平分线）。
4．在运用多边形的内角和公式与外角和的性质求值时，常与方程思想相结合。
在解正多边形问题时，通常转化
为等腰三角形或直角三角形来解决。
【中考集锦】
一、选择题
1．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形
则∠DBC的度数是（）
A．18° B．24° C．30° D．36°
3．（2013四川南充）△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（）
A.70°
B. 55°
C. 50°
D. 40°
4．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的
延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，
5．（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA
6．(2015年湖南衡阳，7，3分)已知等腰三角形的两边长分别为5和６，则这个等腰三角形的周长为
A.11
B.16
C.17
D.16或17
二、填空题
1．（2013•滨州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=．
2．（2013•雅安）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角
形的周长为
3．（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数
是．
4．（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，
使CE=CD=1，连接DE，则DE=．
5．（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xoy中，A(0，2)，
B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形
是等腰三角形，则点C的个数是。
6. (2015浙江省绍兴市，13，5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。
小敏设计了一种
衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。
如图1，
衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时
A，B两点之间的距离是cm。
三、解答题
1.（2015•广东）如图，已知△AB C．按如下步骤作图：①以A为圆心，
AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连结BD，与AC交于点E，连结AD，C D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．
2.（2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：
△AEF≌△BCF．
3.（2012吉林长春）如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，求弧所对的圆周角∠FPG 的度数。
4、（2013•绥化压轴题）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．。