2020浙江新中考数学一轮复习第23讲 图形与变换 第2课时
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描述旋转三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角 度．
类型一 识别(画)图形的平移、旋转变换
例1 (1)(2018·温州)如图，已知一个直角三角板的
直角顶点与原点重合，另两个顶点 A，B 的坐标分别为
(－1，0)，(0， 3)．现将该三角板向右平移使点 A
与点 O 重合，得到△OCB′，则点 B 的对应点 B′的坐
角形沿 x 轴向右平移得到 Rt△O′A′B′，此时点 B′的坐
标为(2 2，2 2)，则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图
形面积为 4 ．
【经验积累题】 【提出问题】 (1)如图 1，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点(不含 端点 B、C)，连结 AM，以 AM 为边作等边△AMN，连结 CN.求 证：∠ABC＝∠ACN； 【类比探究】 (2)如图 2，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一 点(不含端点 C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN 还成立吗？请说明理由；
(2)(2018·山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆 时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边 上，则点B′与点B之间的距离为________．
【思路分析】(1)根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形， 再根据等腰直角三角形的性质，设 AA′＝x，则阴影部分的底长 为 x，高 A′D＝12－x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程 求解．(2)连结 B′B，利用旋转的性质和直角三角形的性质即可． 【答案】(1)4 或 8 (2)6 3
【解后感悟】图形的平移、旋转只改变图形的位置，而不改变图 形的形状和大小．求图中的阴影部分的面积时，如果不能直接求 可以转化为规则图形来求．
1．(2018·长兴模拟)如图，直角△ABC 中，AC＝3，BC＝4，
AB＝5，则内部五个小直角三角形的周长为12 ．
2．(2018·株洲)如图，O 为坐标原点，△OAB 是等腰直角 三角形，∠OAB＝90°，点 B 的坐标为(0，2 2)，将该三
【答案】(1)如图所示：△A1B1C 即为所求； (2)如图所示：△A2B2C2 即为所求； (3)旋转中心坐标(0，－2)．
【解后感悟】本题是旋转的性质以及图形的 平移等知识运用，根据题意得出对应点坐标 是解题关键．
类型三 平移、旋转变换解决路径、面积等问题
例3 (1)(2017·丽水模拟)如图，将边长为12的正方 形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠的面 积为32时，它移动的距离AA′等于________．
【拓展延伸】 (3)如图 3，在等腰△ABC 中，BA＝BC，点 M 是 BC 上的任意 一点(不含端点 B、C)，连结 AM，以 AM 为边作等腰△AMN， 使顶角∠AMN＝∠ABC.连结 CN.试探究∠ABC 与∠ACN 的数 量关系，并说明理由．
【分析与解】(1)利用 SAS 可证明△BAM≌△CAN，继而得 出结论． 证明：∵△ABC、△AMN 是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN，
标是( C )
A．(1，0)
B．( 3， 3)
C．(1， 3)
D．(－1， 3)
(2)(2018·湖州模拟)两个全等的三角尺重叠放在△
ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方
向旋转至△DCE 的位置，使点 A 恰好落在边 DE 上，AB
与 CE 相交于点 F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝
图1
图2
②当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部时，如图 2，∵正方
形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，BE＝DF，AB＝AD，AE
＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD，∵∠EAF＝
60°，∴2∠BAE－∠EAF＋90°＝360°，∴∠BAE＝165°.
∵在△BAM 和△CAN 中，A∠B＝ BAAMC＝，∠CAN， AM＝AN，
∴△BAM≌△CAN(SAS)， ∴∠ABC＝∠ACN.
(3)首先得出∠BAC＝∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得 AB AC
到AM＝AN， 根据∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，得 到∠BAM＝∠CAN， 从而判定△BAM∽△CAN，得出结论． 结论：∠ABC＝∠ACN. 理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN， ∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴AABM＝AACN， 又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC， ∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.
∵在△BAM 和△CAN 中，A∠B＝ BAAMC＝，∠CAN， AM＝AN，
∴△BAM≌△CAN(SAS)， ∴∠ABC＝∠ACN.
(2)可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和(1)的思 路完全一样． 结论∠ABC＝∠ACN 仍成立． 理由如下：∵△ABC、△AMN 是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN，
【方法与对策】这是一道从特殊到一般设置的题型，通过基 础图形等边三角形到等腰三角形，步步深入设置问题，其实 解决问题的策略也是从简单到复杂，即全等三角形到相似三 角形解决问题，通过前面方法来解决后面问题，在学习上是 经验积累．这是中考热门题型．
警示点 30：旋转时考虑不全，出现漏解
如图，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，将 △AEF 绕其顶点 A 旋转，在旋转过程中，当 BE＝DF 时，
【答案】(1)如图所示，△A1B1C1 即为所求；
(2)∵点 A′坐标为(－2，2)，由图可知，平移 4 个单 位和 6 个单位时，刚好落在△A1B1C1 的边界上，∴若要使 向右平移后的 A′落在△A1B1C1 的内部，即 4＜a＜6.
【提示】课后请完成作业本BP31－32练习．
30°，AB＝8cm，则 CF＝__2___3___cm.
【解后感悟】 (1)此题是坐标与图形变化，通过分析找到各部分 的变化规律后直接利用规律求解． (2)此题是旋转的性质以及直角三角形的性质相结 合，正确得出∠AFC的度数是解题关键．
类型二 网格、平面直角坐标系中的图形变换
例2 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，
∠BAE 的大小是 15°或165° ．
①当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的内部时，如图 1，∵正方 形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，BE＝DF，∵AB＝AD， AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD.∵∠EAF ＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝30°，∴∠BAE＝∠FAD＝15°.
【解析】(1)平移后的三角形如图 1；
(2)如图 2，旋转后的三角形如图所示．
(3)画平移图形，必须找出平移的方向、距离；画旋转图形， 必须找出旋转中心、方向、角度．运用图形的平移和旋转， 要根据已知得出对应点坐标是解题关键．
【知识梳理】 1．平移性质：对应点的连线段相等且平行(或在同 一直线上)；对应线段相等且平行(或在同一直线 上)；平移不改变图形的形状和大小． 描述平移二要素：平移方向，平移距离． 2．旋转性质：对应点到旋转中心的距离相等；任 意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋 转角；旋转前后的图形全等．
故答案为 15°或 165°.
1．(2019·孝感)如图，在平面直角坐标系中，将点
P(2，3)绕原点 O 顺时针旋转 90°得到点 P′，则 P′
的坐标为( D )
A．(3，2)
B．(3，－1)
C．(2，－3)
D．(3，－2)
2．(2019·滨州)在平面直角坐标系中，将点 A(1，－2)
向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得
第23讲 图形与变换
第2课时 图形平移与旋转
【问题】如图，在方格纸中，△ABC 的三个顶点和点 P 都在小方 格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点 上．
(1)将△ABC 平移，使点 P 落在平移后的三角形内部，在图甲中 画出示意图；
(2)以点 C 为旋转中心，将△ABC 旋转，使点 P 落在旋转后的三 角形内部，在图乙中画出示意图； (3)通过(1)、(2)作图，你认为利用旋转变换、平移变换作图要 注意哪些？
到点 B，则点 B 的坐标是( A )
A．(－1，1)
B．(3，1)
C．(4，－4)
D．(4，0)
3．如图，直径为 2cm 的圆 O1 平移 3cm 到圆 O2，则图中 阴影部分的面积为 6 cm2.
4．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝
BC. 把 △ABC 绕 点 A 按 顺 时 针 方 向 旋 转 45 ° 后 得 到
△AB′C′，若 AB＝2，则线段 BC 在上述旋转过程中所扫
π
过部分(阴影部分)的面积是__4__．(结果保留π )
5．(2017·金华)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各 顶点的坐标分别为 A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4， －4)． (1)作出△ABC 关于原点 O 成中心对称的△A1B1C1； (2)作出点 A 关于 x 轴的对称点 A′，若把点 A′向右平 移 a 个单位长度后落在△A1B1C1 的内部(不包括顶点和边 界)，求 a 的取值范围．
Rt△ABC 的三个顶点 A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．
(1)将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°，得到△A1B1C，请画 出△A1B1C 的图形； (2)平移△ABC，使点 A 的对应点 A2 坐 标为(－2，－6)，请画出平移后对应 的△A2B2C2 的图形； (3)若将△A1B1C 绕某一点旋转可得到 △A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
类型一 识别(画)图形的平移、旋转变换
例1 (1)(2018·温州)如图，已知一个直角三角板的
直角顶点与原点重合，另两个顶点 A，B 的坐标分别为
(－1，0)，(0， 3)．现将该三角板向右平移使点 A
与点 O 重合，得到△OCB′，则点 B 的对应点 B′的坐
角形沿 x 轴向右平移得到 Rt△O′A′B′，此时点 B′的坐
标为(2 2，2 2)，则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图
形面积为 4 ．
【经验积累题】 【提出问题】 (1)如图 1，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点(不含 端点 B、C)，连结 AM，以 AM 为边作等边△AMN，连结 CN.求 证：∠ABC＝∠ACN； 【类比探究】 (2)如图 2，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一 点(不含端点 C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN 还成立吗？请说明理由；
(2)(2018·山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆 时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边 上，则点B′与点B之间的距离为________．
【思路分析】(1)根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形， 再根据等腰直角三角形的性质，设 AA′＝x，则阴影部分的底长 为 x，高 A′D＝12－x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程 求解．(2)连结 B′B，利用旋转的性质和直角三角形的性质即可． 【答案】(1)4 或 8 (2)6 3
【解后感悟】图形的平移、旋转只改变图形的位置，而不改变图 形的形状和大小．求图中的阴影部分的面积时，如果不能直接求 可以转化为规则图形来求．
1．(2018·长兴模拟)如图，直角△ABC 中，AC＝3，BC＝4，
AB＝5，则内部五个小直角三角形的周长为12 ．
2．(2018·株洲)如图，O 为坐标原点，△OAB 是等腰直角 三角形，∠OAB＝90°，点 B 的坐标为(0，2 2)，将该三
【答案】(1)如图所示：△A1B1C 即为所求； (2)如图所示：△A2B2C2 即为所求； (3)旋转中心坐标(0，－2)．
【解后感悟】本题是旋转的性质以及图形的 平移等知识运用，根据题意得出对应点坐标 是解题关键．
类型三 平移、旋转变换解决路径、面积等问题
例3 (1)(2017·丽水模拟)如图，将边长为12的正方 形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠的面 积为32时，它移动的距离AA′等于________．
【拓展延伸】 (3)如图 3，在等腰△ABC 中，BA＝BC，点 M 是 BC 上的任意 一点(不含端点 B、C)，连结 AM，以 AM 为边作等腰△AMN， 使顶角∠AMN＝∠ABC.连结 CN.试探究∠ABC 与∠ACN 的数 量关系，并说明理由．
【分析与解】(1)利用 SAS 可证明△BAM≌△CAN，继而得 出结论． 证明：∵△ABC、△AMN 是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN，
标是( C )
A．(1，0)
B．( 3， 3)
C．(1， 3)
D．(－1， 3)
(2)(2018·湖州模拟)两个全等的三角尺重叠放在△
ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方
向旋转至△DCE 的位置，使点 A 恰好落在边 DE 上，AB
与 CE 相交于点 F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝
图1
图2
②当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部时，如图 2，∵正方
形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，BE＝DF，AB＝AD，AE
＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD，∵∠EAF＝
60°，∴2∠BAE－∠EAF＋90°＝360°，∴∠BAE＝165°.
∵在△BAM 和△CAN 中，A∠B＝ BAAMC＝，∠CAN， AM＝AN，
∴△BAM≌△CAN(SAS)， ∴∠ABC＝∠ACN.
(3)首先得出∠BAC＝∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得 AB AC
到AM＝AN， 根据∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，得 到∠BAM＝∠CAN， 从而判定△BAM∽△CAN，得出结论． 结论：∠ABC＝∠ACN. 理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN， ∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴AABM＝AACN， 又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC， ∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.
∵在△BAM 和△CAN 中，A∠B＝ BAAMC＝，∠CAN， AM＝AN，
∴△BAM≌△CAN(SAS)， ∴∠ABC＝∠ACN.
(2)可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和(1)的思 路完全一样． 结论∠ABC＝∠ACN 仍成立． 理由如下：∵△ABC、△AMN 是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN，
【方法与对策】这是一道从特殊到一般设置的题型，通过基 础图形等边三角形到等腰三角形，步步深入设置问题，其实 解决问题的策略也是从简单到复杂，即全等三角形到相似三 角形解决问题，通过前面方法来解决后面问题，在学习上是 经验积累．这是中考热门题型．
警示点 30：旋转时考虑不全，出现漏解
如图，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，将 △AEF 绕其顶点 A 旋转，在旋转过程中，当 BE＝DF 时，
【答案】(1)如图所示，△A1B1C1 即为所求；
(2)∵点 A′坐标为(－2，2)，由图可知，平移 4 个单 位和 6 个单位时，刚好落在△A1B1C1 的边界上，∴若要使 向右平移后的 A′落在△A1B1C1 的内部，即 4＜a＜6.
【提示】课后请完成作业本BP31－32练习．
30°，AB＝8cm，则 CF＝__2___3___cm.
【解后感悟】 (1)此题是坐标与图形变化，通过分析找到各部分 的变化规律后直接利用规律求解． (2)此题是旋转的性质以及直角三角形的性质相结 合，正确得出∠AFC的度数是解题关键．
类型二 网格、平面直角坐标系中的图形变换
例2 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，
∠BAE 的大小是 15°或165° ．
①当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的内部时，如图 1，∵正方 形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，BE＝DF，∵AB＝AD， AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD.∵∠EAF ＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝30°，∴∠BAE＝∠FAD＝15°.
【解析】(1)平移后的三角形如图 1；
(2)如图 2，旋转后的三角形如图所示．
(3)画平移图形，必须找出平移的方向、距离；画旋转图形， 必须找出旋转中心、方向、角度．运用图形的平移和旋转， 要根据已知得出对应点坐标是解题关键．
【知识梳理】 1．平移性质：对应点的连线段相等且平行(或在同 一直线上)；对应线段相等且平行(或在同一直线 上)；平移不改变图形的形状和大小． 描述平移二要素：平移方向，平移距离． 2．旋转性质：对应点到旋转中心的距离相等；任 意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋 转角；旋转前后的图形全等．
故答案为 15°或 165°.
1．(2019·孝感)如图，在平面直角坐标系中，将点
P(2，3)绕原点 O 顺时针旋转 90°得到点 P′，则 P′
的坐标为( D )
A．(3，2)
B．(3，－1)
C．(2，－3)
D．(3，－2)
2．(2019·滨州)在平面直角坐标系中，将点 A(1，－2)
向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得
第23讲 图形与变换
第2课时 图形平移与旋转
【问题】如图，在方格纸中，△ABC 的三个顶点和点 P 都在小方 格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点 上．
(1)将△ABC 平移，使点 P 落在平移后的三角形内部，在图甲中 画出示意图；
(2)以点 C 为旋转中心，将△ABC 旋转，使点 P 落在旋转后的三 角形内部，在图乙中画出示意图； (3)通过(1)、(2)作图，你认为利用旋转变换、平移变换作图要 注意哪些？
到点 B，则点 B 的坐标是( A )
A．(－1，1)
B．(3，1)
C．(4，－4)
D．(4，0)
3．如图，直径为 2cm 的圆 O1 平移 3cm 到圆 O2，则图中 阴影部分的面积为 6 cm2.
4．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝
BC. 把 △ABC 绕 点 A 按 顺 时 针 方 向 旋 转 45 ° 后 得 到
△AB′C′，若 AB＝2，则线段 BC 在上述旋转过程中所扫
π
过部分(阴影部分)的面积是__4__．(结果保留π )
5．(2017·金华)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各 顶点的坐标分别为 A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4， －4)． (1)作出△ABC 关于原点 O 成中心对称的△A1B1C1； (2)作出点 A 关于 x 轴的对称点 A′，若把点 A′向右平 移 a 个单位长度后落在△A1B1C1 的内部(不包括顶点和边 界)，求 a 的取值范围．
Rt△ABC 的三个顶点 A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．
(1)将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°，得到△A1B1C，请画 出△A1B1C 的图形； (2)平移△ABC，使点 A 的对应点 A2 坐 标为(－2，－6)，请画出平移后对应 的△A2B2C2 的图形； (3)若将△A1B1C 绕某一点旋转可得到 △A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．