线性规划地常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)

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例谈线性规划的常见题型及其解法

线性规划是高考数学必考的内容，侧重于考查同学们的数学建模、数学运算、数学分析等能力.线性规划问题的类型有很多，在本文中笔者总结了几类常见的线性规划题型及其解法，以帮助同学们加深对线性规划题型及其解法的了解.类型一：求目标函数的最值求目标函数的最值是线性规划中的一类常见题型，主要有两种形式：（1）求线性目标函数的最值；（2）求非线性目标函数的最值.无论是哪一种，解题的基本思路都是：（1）画出约束条件所确定的平面区域；（2）将目标函数变形为斜截式直线方程、两点间的距离、直线的斜率等；（3）在可行域内寻找取得最优解的对应点的位置；（4）解方程组求出对应点的坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.例1.已知x、y满足以下约束条件ìíîïï2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y -3≤0,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是_____.解：作出如图1所示的可行域，将z=x2+y2可以看作点()x,y到原点的距离的平方，由图可知，在可行域内点A到原点的距离的平方最大，即||AO2=13,直线2x+y-2=0到原点的距离的平方最小，为d2=æèççöø÷÷||0-222+122=45，所以z=x2+y2的最大值和最小值分别是13和45.在求目标函数的最值时，同学们要注意将目标函数进行适当的变形，深入挖掘其几何意义，将其看作直线的斜率、截距、两点间的距离等，然后在可行域内寻找取得最值的点.类型二：求可行域的面积求可行域的面积的关键在于根据约束条件画出正确的图形，然后将可行域拆分、补充为规则的几何图形，如三角形、平行四边形、矩形等，再利用三角形、平行四边形、矩形等的面积公式进行求解.例2.已知不等式组ìíîïï2x+y-6≥0,x+y-3≤0,y≤2,则该不等式表示的平面区域的面积为_____.解：根据所给的不等式组作出可行域，如图2所示，由图2可知△ABC的面积即为所求.显然S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC，S梯形OMBC=12×()2+3×2=5，S梯形OMAC=12×()1+3×2=4，所以S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC=5-4=1.本题中的可行域为三角形，而该三角形的面积很难直接求得，于是将其看作梯形OMAB的一部分，将梯形OMAB的面积减去梯形OMAC的面积，便可得到三角形ABC的面积.类型三：求参数的取值或者范围很多线性规划问题中含有参数，要求其参数的取值或范围，首先要确定可行域，然后结合题意寻找符号条件的最优解，建立相对应的关系式，便可求得参数的取值或者范围.例3.已知x、y满足以下约束条件ìíîïïx+y≥5,x-y+5≤0,x≤3,使z=x+ay()a>0取得最小值的最优解有无数个，则a的值为_____.解：根据约束条件作出可行域，如图3所示，作出直线l:x+ay=0，要使目标函数z=x+ay()a>0取得最小值的最优解有无数个，可将直线l向右上方平移，使之与直线x+y=5重合，故a=1.通常含有参数的目标函数图象是不确定的，因此正确绘制出可行域十分关键，只有对问题中的所给条件进行正确的分析，才能快速找到正确的解题思路.通过对上述三类题型的分析，同学们可以发现线性规划问题都比较简单，按照基本的解题步骤：画图—变形目标函数—寻找最优解对应的点—求值便能得到答案.同学们在解答线性规划问题时还需重点关注特殊点、直线，这些特殊的点、位置常常是取得最优解的点或者位置.（作者单位：江苏省江阴市第一中学）承小华图1图2图３方法集锦45。

线性规划问题求解例题和知识点总结

线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。

下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。

一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。

其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。

二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。

1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。

步骤如下：画出直角坐标系。

画出约束条件所对应的直线。

确定可行域（满足所有约束条件的区域）。

画出目标函数的等值线。

移动等值线，找出最优解。

例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。

高考数学线性规划常见题型及解法

高考数学线性规划常见题型及解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。

现就常见题型及解决方法总结如下：一、求线性目标函数的最值；例题：(20XX 年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 B.1 C.-5 D.-6解析:利用线性规划知识求解。

可行域如图阴影所示，先画出直线0:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想及运算求解能力，难度适中。

二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是 3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. []1,6- C. 36,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得Bmax min 133206,3322z z ∴=⨯-==⨯-=-，33-62z x y ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦的取值范围是，探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2xy =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（）-A.1 B.1 32C. D.2解析：在同一直角坐标系中函数2xy =的图像及30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。

线性规划常见题型及解法例析

品有直接限制因素的是资金和劳动力,通过调查,得
到这两种产品的有关数据如表２．
资金
成本
劳动力(工资)
单位利润
单位产品所需资金/百元
月资金供应
电子琴(架) 洗衣机(台)
量/百元
３０
２０
６
８
５
１０
３００
１１０
试问:怎样确定这两种产品的月供应量,才能使
故选:
B．
思路与方法:本题运用数形结合思想,采用了图
组作出可行域,如图３所示．
由
图３可知,△ABC 的面积即为
所求．
易得
S梯形OMBC ＝
１
×(
２＋３)×２＝５,
２
图３
１
S梯形OMAC ＝ × (
１＋３)×２＝４．
２
所以 S△ABC ＝S梯形OMBC －S梯形OMAC ＝５－４＝１．
思路与方法:本题中的可行域是三角形,而这个
不规则的三角形面积很难直接求解,于是将它看作梯
解法求最值,先在平面直角坐标系中画出可行域,然
形 OMBC 的一部分,利用梯形 OMBC 与梯形 OMAC
后平行移动直线 z＝３x＋４y 即可求出最大值．
ï
,
且当
b≥０
b为
íy≥０, 时,恒有ax＋by≤１,求以a,
ï
îx＋y≤１
坐标的点 P (
a,
b)所构成的平面区域的面积．
解析:设 z＝ax ＋by,根据题意可知,想要 ax ＋

专题复习：八种经典线性规划例题(教师用)

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是（）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y xy+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩ ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（）A 、13，1B 、13，2C 、13，45 D、5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1）则m 的取值范围是（） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

线性规划典型例题(老师)

二元一次不等式与简单的线性规划问题典型例题一例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+-∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．典型例题二例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ．解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示．容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．典型例题三例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ；不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ．在平面直角坐标系内作出四条射线)1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直，所以平面区域是一个矩形．根据两条平行线之间的距离公式两平行直线距离公式d=|C1-C2|/根号(A^2+B^2)可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23．典型例题四例4 若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为21-，纵截距为2z的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max =⨯+=z ∴ 2222min =⨯+-=z说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．典型例题五例5 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。

线性规划全部题型和解析

线性规划什么是线性规划？线性规划的题一般都是大括号下面三个式子，把三条线画出来，然后找到一个区域，然后再找到一条直线，去平移，求一个点的坐标，带进去，求最值。

那么，大括号里面的式子我们叫做约束条件，在高中阶段学习的线性的约束条件，也就是所有的约束条件都是一次的，都是直线。

形成的区域叫做可行域。

Z=几x+几y 叫做目标函数，一般线性规划问题都是线性目标函数。

要解决目标函数的最大值和最小值，就是最值问题。

所以线性规划问题的完成表述就是线性规划条件形成可行域内目标函数的最值问题。

取到最值得x 和y 叫做最优解。

考点1：典型的线性规划问题（可行域和目标函数都是线性的）关键：如何把一个不等式转化为可行域上的一个区域。

方法一：把直线转化为斜截式处理。

3260x y +-≥，化成斜截式，332y x ≥-+，直线画出来大于等于，可行域取直线上面。

缺点：转化为斜截式比较麻烦。

优点：大于等于在上面小于等于在下面不会错方法二：一般式（截距）直线。

3260x y +-≥，与x 轴y 轴的交点分别是(2,0)和(0,3)。

然后判断（0,0）是不是满足不等式，判断可行域取直线上面还是下面。

分析目标函数：目标函数得到的直线靠上好还是靠下好。

例如222x zz x y y =+⇒=-+，截距越大，z 越大，条直线越靠上越好。

如果222x zz x y y =-+⇒=+，还是越靠上越好。

所以直线靠上还是靠下，取决于y 前面的正负。

例题1：若变量,x y ，满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=？解析：正常可以画出可行域，通过直线的平移来解决此类问题。

但是针对这道题有简单的方法计算，这三条直线围成的区域围成的是三角形，如果是三角形的话那么一定在三个顶点的位置取得最大值和最小值。

所以只需要求出三个顶点的值最大的是最大值，最小的是最小值。

1）y x =和1x y +=的交点(0.5,0.5)， 1.5z =。

高考数学线性规划题型总结

高考数学线性规划题型总结文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]线性规划常见题型及解法一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。

数形结合是数学思想的重要手段之一。

习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是（）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .22x y +解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。

22x y +的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（） A 、13，1 B 、13，2C 、13，45D 、13，25图2x y O22 x=2y =2 x + y =2BA2x + y - 2= 0x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0OyxA解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 练习2、已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________． 2，0三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例3、在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形。

线性规划常见题型及解法

z= | Ax+By+C| 的目标函数，可化为 z=
ay （ b ac ≠ 0）的目标函数，可先 cx d
A2 B 2
Ax By C A2 B 2
形式，
求可行域内的点（ x ， y）到直线 Ax+By+C =0 距离的 A2 B 2 倍的最值。 3、参数的取值范围（ 1）、求线性目标函数中参数的取值范围
2 x y m 3 0 解： |2 x － y ＋ m| ＜ 3 等价于 2 x y m 3 0
O m 3 3 由右图可知 , 故 0＜ m＜ 3，选 C m 3 0 x-y+5≥0 ※ 备选 5: 已知 x、y、z ，满足 x+y+k≥0 ，且 z=2x+4y 的最小值 x≤3 为 -6 ，则常数 k= （ D ） A、 2 二、综合篇线性规划是数学规划中理论较完整、方法教成熟的、应用较广泛的一个分支。它不单单是对直线内容的深化，而且更多的是与解析几何、向量、不等式、概率等其它知识的交汇。近年高考的分值在逐年增加，这类问题的综合命题就更加令人注目。 1、与函数交汇
C x 2x + y – 6= 0 =5
4 所表示的平面区域的面积为 ___. 3
说明：如图，作出可行域， △ ABC 的面积即为所求，由 △ADC 的面积加上 △ BDC 的面积即可。（ 3）、求可行域中整点个数例 3 、满足 |x| ＋ |y| ≤ 2 的点（ x ，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个 y

高考线性规划必考题型(非常全)

线性规划专题一、命题规律讲解1、求线性（非线性）目标函数最值题2、求可行域的面积题3、求目标函数中参数取值范围题4、求约束条件中参数取值范围题5、利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简洁线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简洁线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y即简洁线性规划的最优解。

例1 已知4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y=+，求z的最大值和最小值例2已知,x y满意124126x yx yx y+=⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩，求z=5x y-的最大值和最小值二、非线性约束条件下线性函数的最值问题中学数学中的最值问题许多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。

它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y即最优解。

例3已知,x y满意，224x y+=，求32x y+的最大值和最小值例4 求函数4y x x=+[]()1,5x ∈的最大值和最小值。

三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是中学数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。

它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。

例5 已知实数,x y 满意不等式组10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，求22448x y x y +--+的最小值。

线性规划题型总结

线性规划题型总结一、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x 【类型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题】例1.求y x z 32+=的最大值.【类型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题】例2.求112++=y x z 的取值范围.【类型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题】例3.求22)2(-+=y x z 的最值，以及此时对应点的坐标.【类型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题】例4.试求所围区域的面积与周长.【类型五：已知最优解，探求目标函数参数问题】例5.已知目标函数z ax y =+（其中0<a ）仅在（3,4）取得最大值，求a 的取值范围.【类型六：已知最优解，探求约束条件参数问题】例6.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤-122y x m y x y x ，目标函数y x z 32+=在（4,6）取得最大值，求m .二、线性规划的实际应用线性规划的实际应用题型大体有两类，一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力物力完成任务；另一类是在人力物力一定的条件下，如何安排使得最大化的发挥效益.两类题型是同一个问题的两面，主要依据以下步骤：1.认真分析实际问题的数学背景，将对象间的生产关系列成表格；2.根据问题设未知量，并结合表格将生产关系写出约束条件；3.结合图形求出最优解.例1.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?例2. 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？针对练习一、选择题1.下列四个命题中真命题是（）A .经过点P (x o ,y o )的直线都可以用方程y －y o =k (x －x o )表示；B .经过任意两不同点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)=(x －x 1)(y 2－y 1)表示；C .不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示； D .经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示2.设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（）.A 1=+b a .B 1=-b a .C 0=+b a .D 0=-b a3.下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（）Ａ.(02)，Ｂ.(20)-，Ｃ.(02)-，Ｄ.(20)， 4.若变量x 、y 满足约束条件 1.0.20.y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则z ＝x-2y 的最大值为A.4B.3C.2D.15.在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]6.在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）A. B.4C. D.27.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是( )A.80B.85C. 90D.958.已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（）.A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59 .B [)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，.C (][)36-∞+∞，， .D [36]，二、填空题 9.已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是；10.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为；11.已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)

之老阳三干创作创作时间：课题线性规划的罕见题型及其解法谜底线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起,使数学问题的解答变得更加新颖新颖．归纳起来罕见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的罕见基础类题型．【母题一】已知变量x ,y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y≥3x －y≥－12x －y≤3则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7,23]B ．[8,23]C ．[7,8]D ．[7,25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ,通过求直线的截距zb的最值,间接求出z的最值．【解析】画出不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥3x －y≥－12x －y≤3暗示的平面区域如图中阴影部份所示,由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3,平移直线y ＝－23x 知在点B处目标函数取到最小值,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1所以B (2,1),z min ＝2×2＋3×1＝7,在点A 处目标函数取到最年夜值,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－12x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝5所以A (4,5),z max＝2×4＋3×5＝23．【谜底】A【母题二】变量x ,y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x≥1(1)设z ＝y2x －1,求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2,求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13,求z 的取值范围．(x ,y )在不等式组暗示的平面区域内,y2x －1＝12·y －0⎝⎛⎭⎪⎫x －12暗示点(x ,y )和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120连线的斜率；x 2＋y 2暗示点(x ,y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2暗示点(x ,y )和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x≥1作出(x ,y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ＋5y －25＝0解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1225．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x －4y ＋3＝0解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0解得B (5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120连线的斜率,观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29．(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min＝|OC|＝2,d max＝|OB|＝29．∴2≤z≤29．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是：可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知,可行域上的点到(－3,2)的距离中,d min＝1－(－3)＝4,d max＝－3－52＋2－22＝8∴16≤z≤64．1．求目标函数的最值的一般步伐为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义．2．罕见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by．求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb,通过求直线的截距zb的最值,间接求出z的最值．(2)距离型：形一：如z＝,z＝,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二：z＝(x－a)2＋(y－b)2,z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z＝yx,z＝ay－bcx－d,z＝ycx－d,z＝ay－bx,此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤03x －y －5≥0则z ＝2x －y 的最年夜值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部份所示,由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ,作出直线y ＝2x ,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点A (5,2)时,对应的z 值最年夜．故z max ＝2×5－2＝8．【谜底】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2≥0x －y ＋3≥02x ＋y －3≤0则目标函数z ＝x ＋6y 的最年夜值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ,当目标函数经过点(0,3)时,z 取得最年夜值18．【谜底】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ,y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域,则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图,曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部份,令z ＝2x －y ,则y ＝2x －z ,作直线y ＝2x ,在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ,当经过点(－2,2)时,z 取得最小值,此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【谜底】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎨⎧2x －y －2≥0x ＋2y －1≥03x ＋y －8≤0所暗示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组暗示的平面区域如图中阴影所示, 显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小,由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0,解得A (3,－1),故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2y≤2x ≤2y 则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围．【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部份所示, 目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ,y )与(1,－1)所在直线的斜率加上2的取值范围,由图形知,A 点坐标为(2,1),则点(1,－1)与(2,1)所在直线的斜率为22＋2,点(0,0)与(1,－1)所在直线的斜率为－1,所以z 的取值范围为(－∞,1]∪[22＋4,＋∞)．【谜底】(－∞,1]∪[22＋4,＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ,y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2y －x ≤2y ≥1则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2,2]D ．[2,4] 【解析】如图所示,不等式组暗示的平面区域是△ABC 的内部(含鸿沟),x 2＋y 2暗示的是此区域内的点(x ,y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离,其值为1；最远的距离为AO ,其值为2,故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【谜底】B7．(2013·高考北京卷)设D为不等式组⎩⎨⎧x ≥02x －y ≤0x ＋y －3≤0所暗示的平面区域,区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域,如图中阴影部份所示,则根据图形可知,点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小,d ＝|2×1－0|22＋1＝255,故最小距离为255．【谜底】2558．设不等式组⎩⎨⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x所暗示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ,|AB |的最小值即是( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1x －2y ＋3≥0y≥x ,所暗示的平面区域如图所示,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝x,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2,则|AB |的最小值为4．【谜底】B角度三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎨⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所暗示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部份,则k 的值是( )A ．73B ．37C ．43D ．34【解析】不等式组暗示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫043．因此只有直线过AB 中点时,直线y＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1),B (0,4),所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1252．当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1252时,52＝k 2＋43,所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ,y满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4,则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0y ≥0的可行域．当k ＞0时,如图①所示,此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域,显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时,z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时,z ＝y －x 取得最小值－2,均不符合题意．当－1＜k ＜0时,如图②所示,此时可行域为点A (2,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 0,C (0,2)所围成的三角形区域,当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 0时,有最小值,即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【谜底】D11．(2014·高考安徽卷)x ,y满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最年夜值的最优解不惟一,则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部份所示,可知A (0,2),B (2,0),C (－2,－2),则z A ＝2,z B ＝－2a ,z C ＝2a －2,要使目标函数取得最年夜值的最优解不惟一,只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A ,解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ,令l 0：y ＝ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a ＝－1或a ＝2．【谜底】D12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥0x ＋y ≤s y ＋2x ≤4.下,当3≤s ≤5时,目标函数z ＝3x ＋2y 的最年夜值的取值范围是( ) A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s y ＋2x ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4－s y ＝2s －4,则交点为B (4－s,2s －4),y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0),与y 轴的交点为C ′(0,4),x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0,s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件暗示的平面区域,即可行域,如图(1)(2)中阴影部份所示．(1) (2)当3≤s ＜4时,可行域是四边形OABC 及其内部,此时,7≤z max ＜8；当4≤s ≤5时,可行域是△OAC ′及其内部,此时,z max ＝8．综上所述,可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最年夜值的取值范围是[7,8]．【谜底】D13．(2015·通化一模)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥0x 3a ＋y 4a≤1若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32,则a 的值为________．【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1,而y ＋1x ＋1暗示过点(x ,y )与(－1,－1)连线的斜率,易知a ＞0, ∴可作出可行域,由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14,即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－13a －－1＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．【谜底】1角度四：线性规划的实际应用14．A ,B 两种规格的产物需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才华成为制品．已知A 产物需要在甲机器上加工3小时,在乙机器上加工1小时；B 产物需要在甲机器上加工1小时,在乙机器上加工3小时．在一个工作日内,甲机器至多只能使用11小时,乙机器至多只能使用9小时．A 产物每件利润300元,B 产物每件利润400元,则这两台机器在一个工作日内缔造的最年夜利润是________元．【解析】设生产A 产物x 件,B 产物y 件,则x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ≤11x ＋3y ≤9x ∈N y ∈N 生产利润为z ＝300x ＋400y ．画出可行域,如图中阴影部份(包括鸿沟)内的整点,显然z ＝300x ＋400y 在点A处取得最年夜值,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11x ＋3y ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝2则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最年夜利润是 1 700元．【谜底】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超越10小时．若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 暗示每天的利润w (元)；(2)怎样分配生产任务才华使每天的利润最年夜,最年夜利润是几多？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ,所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600100－x －y ≥0x ≥0y ≥0x y ∈N .整理得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ＋3y ≤200x ＋y ≤100x ≥0y ≥0x y ∈N. 目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300．作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0,平移初始直线经过点A 时,w 有最年夜值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200x ＋y ＝100得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝50y ＝50.最优解为A (50,50),所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最年夜,最年夜利润为550元．一、选择题1．已知点(－3,－1)和点(4,－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧,则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞,－7)∪(24,＋∞) D．(－∞,－24)∪(7,＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0,解得－7＜a ＜24．【谜底】B2．(2015·临沂检测)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0x ＋2y ≥32x ＋y ≤3则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3 【解析】作出不等式组⎩⎨⎧ x ≥0x ＋2y ≥32x ＋y ≤3暗示的可行域(如图所示的△ABC 的鸿沟及内部)．平移直线z ＝x －y ,易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时,目标函数z ＝x －y 取得最小值,即z min ＝－3．【谜底】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋|y|≤1x≥0则z ＝OA →·OP →的最年夜值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域,z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ,显然在B (0,1)处z max ＝2．【谜底】D4．已知实数x ,y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0x<2x ＋y －1≥0则z ＝2x －2y －1的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤535B ．[0,5] C ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫535D ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－535 【解析】画出不等式组所暗示的区域,如图阴影部份所示,作直线l ：2x －2y －1＝0,平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1,即z 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－535．【谜底】D5．如果点(1,b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间,则b 应取的整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0,即⎝⎛⎭⎪⎫b －78(b －2)＜0,∴78＜b ＜2,∴b 应取的整数为1．【谜底】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的极点A (1,1),B (1,3),极点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部,则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3,2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)【解析】如图,根据题意得C (1＋3,2)．作直线－x ＋y ＝0,并向左上或右下平移,过点B (1,3)和C (1＋3,2)时,z ＝－x ＋y 取范围的鸿沟值,即－(1＋3)＋2<z <－1＋3,∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3,2)．【谜底】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中,P 为不等式组⎩⎨⎧ y≤1x ＋y －2≥0x －y －1≤0所暗示的平面区域上一动点,则直线OP 斜率的最年夜值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1 【解析】作出可行域如图所示,当点P位于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2y ＝1的交点(1,1)时,(k OP )max ＝1．【谜底】D8．在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A ＝{(x ,y )|x ＋y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B ＝{(x ＋y ,x －y )|(x ,y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】不等式⎩⎨⎧ x ＋y≤1x≥0y≥0所暗示的可行域如图所示,设a ＝x ＋y ,b ＝x －y ,则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1],b ＝x －y ∈[－1,1],又a ＋b ＝2x ∈[0,2],a －b ＝2y ∈[0,2],∴点坐标(x ＋y ,x －y ),即点(a ,b )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a≤1－1≤b≤10≤a＋b≤20≤a－b≤2作出该不等式组所暗示的可行域如图所示,由图示可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积S ＝12×2×1＝1．【谜底】B9．设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －2≤0x －y≥0x≥0y≥0若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0,b ＞0)的最年夜值为4,则ab 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(0,4]C ．[4,＋∞) D．(4,＋∞) 【解析】作出不等式组暗示的区域如图阴影部份所示,由图可知,z ＝ax ＋by (a >0,b >0)过点A (1,1)时取最年夜值,∴a ＋b ＝4,ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4,∵a ＞0,b ＞0,∴ab ∈(0,4]．【谜底】B10．设动点P (x ,y )在区域Ω：⎩⎨⎧ x ≥0y ≥xx ＋y ≤4上,过点P 任作直线l ,设直线l 与区域Ω的公共部份为线段AB ,则以AB 为直径的圆的面积的最年夜值为( )A ．π B．2πC ．3π D．4π 【解析】作出不等式组所暗示的可行域如图中阴影部份所示, 则根据图形可知,以AB 为直径的圆的面积的最年夜值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．【谜底】D11．(2015·西南三校联考)变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧ y ≥－1x －y ≥23x ＋y ≤14若使z ＝ax ＋y 取得最年夜值的最优解有无穷多个,则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所暗示的平面区域,如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最年夜值的最优解有无穷多个,即－a ＝1或－a ＝－3,∴a ＝－1或a ＝3．【谜底】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥a x －y ≤－1且z ＝x ＋ay 的最小值为7,则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝a x －y ＝－1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12y ＝a ＋12代入x ＋ay ＝7中,解得a ＝3或－5,当a ＝－5时,z ＝x ＋ay 的最年夜值是7；当a ＝3时,z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域,然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时,作出不等式组暗示的可行域,如图(1)(阴影部份)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝－5得交点A (－3,－2),则目标函数z ＝x －5y过A 点时取得最年夜值．z max ＝－3－5×(－2)＝7,不满足题意,排除A,C 选项．当a ＝3时,作出不等式组暗示的可行域,如图(2)(阴影部份)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝3得交点B (1,2),则目标函数z ＝x ＋3y 过B点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7,满足题意．【谜底】B13．若a ≥0,b ≥0,且当⎩⎨⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1时,恒有ax ＋by ≤1,则由点P (a ,b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立,则当x ＝0时,by ≤1恒成立,可得y ≤1b(b ≠0)恒成立,所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ,b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形,面积为1．【谜底】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ,y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0x ＋m<0y －m>0暗示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－23D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－53【解析】当m ≥0时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不成能存在点P (x 0,y 0)满足x 0－2y 0＝2,因此m ＜0．如图所示的阴影部份为不等式组暗示的平面区域．要使可行域内包括y ＝12x －1上的点,只需可行域鸿沟点(－m ,m )在直线y ＝12x －1的下方即可,即m ＜－12m －1,解得m ＜－23．【谜底】C15．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥03x －y ＋3≥05x －3y ＋9≤0暗示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是 ( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3,＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点,所以1＜a ≤3．【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1,平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0x －y ＋3≥0y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2＋b 2的最年夜值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及鸿沟．∵圆C 与x 轴相切,∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时,a max ＝6．∴a 2＋b 2的最年夜值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中,若不等式组⎩⎨⎧y ≥0y ≤x y ≤kx －1－1暗示一个三角形区域,则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞,－1)B ．(1,＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1,－1),画出不等式组暗示的可行域示意图,如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时,暗示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞,－1),即实数k 的取值范围是(－∞,－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形,不服行时,由题意可得k ＞1时,也可形成三角形,综上可知k ＜－1或k ＞1．【谜底】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0|x|－y －1≤0则z ＝2x ＋y 的最年夜值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示,目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最年夜值,最年夜值为8．【谜底】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时,z ＝x －3y 的最年夜值为8,则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示,目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3,当直线过点C 时,z 取到最年夜值, 又C (m ,m ),所以8＝m －3m ,解得m ＝－4．【谜底】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点,A ,B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0x ＋y －3≤0x －1≥0则tan ∠AOB 的最年夜值即是( )A ．94B ．47C ．34D ．12【解析】如图阴影部份为不等式组暗示的平面区域,观察图形可知当A 为(1,2),B 为(2,1)时,tan ∠AOB 取得最年夜值,此时由于tan α＝k BO ＝12,tan β＝k AO ＝2,故tan ∠AOB ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34．【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎨⎧x ＋y －2≥0x ＋2y －4≤0x ＋3y －2≥0暗示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组暗示的平面区域如图中阴影部份所示,可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4．【谜底】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ,y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0x －y －1≤0x ≥1则x ＋y 的取值范围是________．【解析】作出可行域,如图,作直线x ＋y ＝0,向右上平移,过点B 时,x ＋y 取得最小值,过点A 时取得最年夜值．由B (1,0),A (2,1)得(x ＋y )min ＝1,(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3．【谜底】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1x ＋y －4≤0x －3y ＋4≤0则目标函数z ＝3x －y 的最年夜值为____．【解析】根据约束条件作出可行域,如图中阴影部份所示, ∵z ＝3x －y ,∴y ＝3x －z ,当该直线经过点A (2,2)时,z 取得最年夜值,即z max ＝3×2－2＝4．【谜底】424．已知实数x ,y满足⎩⎨⎧x ＋y －1≤0x －y ＋1≥0y≥－1则w ＝x 2＋y 2－4x－4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ,y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部份所示,由图可知,点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又|2＋2－1|2＝322,所以w min ＝92．【谜底】9225．在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎨⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所暗示的区域上一动点,则|OM |的最小值是________．【解析】如图所示阴影部份为可行域,数形结合可知,原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值,∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝2．【谜底】226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产物,已知生产每吨甲产物要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产物要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产物可获得利润5万元,销售每吨乙产物可获得利润3万元,若该企业在一个生产周期内消耗水不超越13吨,煤不超越18吨,则该企业可获得的最年夜利润是______万元．【解析】设生产甲产物x 吨,生产乙产物y 吨,由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥03x ＋y≤132x ＋3y≤18利润z ＝5x ＋3y ,作出可行域如图中阴影部份所示,求出可行域鸿沟上各端点的坐标,经验证知当x ＝3,y ＝4,即生产甲产物3吨,乙产物4吨时可获得最年夜利润27万元．【谜底】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超越50亩,投入资金不超越54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、本钱和售价如下表：)最年夜,则黄瓜的种植面积应为________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩,y 亩,总利润为z 万元,则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y ．线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤≤54x ≥0y ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤504x ＋3y ≤180x ≥0y ≥0.画出可行域,如图所示．作出直线l 0：x ＋0．9y ＝0,向上平移至过点A 时,z 取得最年夜值,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝504x ＋3y ＝180解得A (30,20)．【谜底】3028．(2015·日照调研)若A为不等式组⎩⎨⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2暗示的平面区域,则当a 从－2连续变动到1时,动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部份区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示,所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【谜底】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ,y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0x －y －1≤0x ≥1时,1≤ax ＋y ≤4恒成立,则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示,设目标函数z ＝ax ＋y ,即y ＝－ax ＋z ,要使1≤z ≤4恒成立,则a >0,数形结合知,满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤41≤a ≤4即可,解得1≤a ≤32．所以a 的取值范围是1≤a ≤32．【谜底】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13230．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ,y )在正六边形的阴影部份(含鸿沟)内运动,如图,正六边形的边长为2,若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最年夜值的最优解有无穷多个,则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最年夜值的最优解有无穷多个,结合图形分析可知,直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°,于是有－k ＝tan 120°＝－3,所以k ＝3．【谜底】331．设m ＞1,在约束条件⎩⎨⎧y ≥xy ≤mxx ＋y ≤1下,目标函数z ＝x ＋my 的最年夜值小于2,则m 的取值范围．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ,由于m >1,所以－1<－1m <0,不等式组暗示的平面区域如图中的阴影部份所示,根据目标函数的几何意义,只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最年夜时,目标函数取得最年夜值．显然在点A 处取得最年夜值,由y ＝mx ,x ＋y ＝1,得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11＋m m 1＋m ,所以目标函数的最年夜值z max ＝11＋m ＋m21＋m <2,所以m 2－2m －1<0,解得1－2<m <1＋2,故m 的取值范围是(1,1＋2)．【谜底】(1,1＋2)32．已知实数x ,y 满足⎩⎨⎧y ≥1y ≤2x －1x ＋y ≤m若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2,－1],则目标函数的最年夜值的取值范围是________．【解析】不等式组暗示的可行域如图中阴影部份(包括鸿沟)所示,目标函数可变形为y ＝x －z ,当z 最小时,直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最年夜．当z 的最小值为－1,即直线为y ＝x ＋1时,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1可得此时点A 的坐标为(2,3),此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2,即直线为y ＝x ＋2时,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2y ＝2x －1可得此时点A 的坐标是(3,5),此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最年夜值在点B (m －1,1)处取得,即z max＝m －1－1＝m －2,故目标函数的最年夜值的取值范围是[3,6]．【谜底】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎨⎧ x ＋4y ≥4x ＋y ≤4x ≥0.令点集T ＝{(x 0,y 0)∈D |x 0,y 0∈Z ,(x 0,y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最年夜值或最小值的点},则T 中的点共确定________条分歧的直线．【解析】线性区域为图中阴影部份,取得最小值时点为(0,1),最年夜值时点为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),点(0,1)与(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线,共有5条 ,又(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)都在直线x ＋y ＝4上,故T 中的点共确定6条分歧的直线．【谜底】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3),b ＝(2,y －z ),且a ⊥b ．若x ,y 满足不等式|x |＋|y |≤1,则z 的取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3),b ＝(2,y －z ),且a ⊥b ,∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0,即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1暗示的区域为图中阴影部份,∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0,－1)时,z min ＝－3,当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时,z min ＝3．∴z ∈[－3,3]．【谜底】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ,y )使目标函数z ＝x ＋my取得最小值,则m ＝________．【解析】作出线性约束条件暗示的平面区域,如图中阴影部份所示．若m ＝0,则z ＝x ,目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个,不符合题意．若m ≠0,则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m的动直线y ＝－1m x ＋z m, 若m ＜0,则－1m＞0,由数形结合知,使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不成能有无穷多个；若m ＞0,则－1m＜0,数形结合可知,当动直线与直线AB 重合时,有无穷多个点(x ,y )在线段AB 上,使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值,即－1m＝－1,则m ＝1．综上可知,m ＝1．【谜底】1。

线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)

线性规划的常见题型及其解法答案■書步趋绍丹祈・・・・・线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题探究角度有： 1.求线性目标函数的最值. 2 .求非线性目标函数的最值. 3 .求线性规划中的参数. 4 .线性规划的实际应用.本节主要讲解线性规划的常见基础类题型.x + y > 3,【母题一】已知变量x ,y 满足约束条件 x -y >- 1, 则目标函数z = 2x + 3y 的取值范围为（）2x — y w 3,A. [7 , 23]B. [8 , 23]C. [7 , 8]D. [7 , 25]aI ' i I 」求这类目标函数的最值常将函数z = ax + by 转化为直线的斜截式：y = — bx + b ，通过求直线的截距£的最值，间接求出z 的最值.bx + y > 3,【解析】画出不等式组 x — y >— 1,表示的平面区域如图中阴影部分所示,2x — y w 3,由目标函数z = 2x + 3y 得y =— |x + £,平移直线y = — /知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组x + y= 3, x = 2,得所以B(2,1) , Z min= 2X 2+ 3X 1= 7,在点A处目标函数取到最大值，解方程2x—y = 3, y = 1,9°1 z == X _2x — 11 2⑵z = x 2 + y 2的几何意义是可行域上的点到原点0的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min = | 0C = _'2 , d max = | 0B =29.• 2< z <29.(3) z = x 2 + y 2 + 6x — 4y + 13= (x + 3)2+ ( y — 2)2的几何意义是:x - y = —1,x yx = 4,得y = 5,所以 A (4,5) , Z max = 2X 4+ 3X 5= 23.【答案】Ax — 4y + 3< 0,【母题二】变量x , y 满足3x + 5y — 25W 0,x > 1,(1) 设z =^7，求z 的最小值；(2) 设z = x 2 + y 2,求z 的取值范围；2 2(3) 设z = x + y + 6x — 4y + 13,求z 的取值范围.I '■ i 7」点(x , y )在不等式组表示的平面区域内,y 1 y — 01=2 •Y 表示点(x , y )和夕连线 x — 2的斜率；x 2+ y 2表示点(x , y )和原点距离的平方; x 2 + y 2 + 6x — 4y + 13= (x + 3)2+ (y — 2)2表示点(x , y )和点(一3,2)的距离的平方.x — 4y + 3< 0,【解析】(1)由约束条件 3x + 5y — 25W 0,作出(x , y )的可行域如图所示.x > 1,x = 1,由3x + 5y — 25= 0, 由 x = 1,x — 4y + 3 = 0,22解得A 1,-.解得Q1,1).x — 4y + 3 = 0,由解得B (5,2)3x + 5y — 25= 0, ••• z 的值即是可行域中的点与2 0连线的斜率，观察图形可知Z min =2 - 0 1X -=1 2 5—2可行域上的点到点(一3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(一3,2)的距离中, d min = 1 —( —3) = 4,d max=一3 —5 + 2 —2 = 8••• 16W z w 64.=75:5 •技15============== = ========= i•求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求•其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义.2 .常见的目标函数有：⑴截距型：形如z= ax+ by.求这类目标函数的最值常将函数z = ax+ by转化为直线的斜截式：y=—器+乍，通过求直线的截距乍的最值，间接求出z的最值.(2) 距离型：形一：如z = ''(x —a)2+ (y —b)2,z = ；X + y2+ Dx+ Ey+ F,此类目标函数常转化为点(x,y) 与定点的距离；2 2 2 2形二：z = (x—a) + (y—b) , z= x + y + Dx+ Ey+ F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方.(3) 斜率型：形如z= y, z = _b, z= J, z = ay_b，此类目标函数常转化为点(x, y)与定点所在x cx —d cx—d x直线的斜率.【提醒】注意转化的等价性及几何意义.■题里丹斫■■■■■角度一：求线性目标函数的最值1. (2014 •新课标全国n卷)设x ,y满足约束条件A. 10B. 8C. 3D. 2 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，x+y —7w 0,x —3y + 1w 0, 则z = 2x—y的最大值为（）由z = 2x —y 得y = 2x — z ,作出直线y = 2x ,平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点时，对应的Z 值最大.故 Z max = 2X 5— 2= &【答案】B3. （2013 •高考陕西卷）若点（x , y ）位于曲线y = | x |与y = 2所围成的封闭区域，贝U 2x — y 的最小值为 ( )A .— 6C. 0【解析】如图，曲线 y = |x |与y = 2所围成的封闭区域如图中阴影部分, 令z = 2x — y ，则y = 2x — z ,作直线y = 2x ，在封闭区域内平行移动直线 y = 2x ，当经过点（一2,2）时,z 取得最小值，此时 z = 2X ( — 2) — 2 = — 6.A (5,2)2. (2015 ••高考天津卷）设变里x , y满足约束条件 x — y + 3> 0, 2x + y — 3< 0,值为（)A . 3B. 4C. 18D. 40则目标函数Z = X + 6y 的最大B.— 2D. 2X + 2>0,【答案】C（0,3）时，z 取得最大值18.【答案】A角度二：求非线性目标的最值上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A. 21C—3【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,显然当点M与点A重合时直线—1），故OM斗率的最小值为一1.【解析】COM勺斜率最小，由直线方程x+ 2y—1 = 0和3x + y—8= 0，解得A（3 ,0< x w 25•已知实数x, y满足y w2,x w ；'2y,2x + y—1则z=P-的取值范围【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示,d® M 4 5.目标函数z=空芒!二=2+片的取值范围可转化为点（x, y）与（1 , —1）所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为（.2 , 1），则点（1 , —1）与（2,1）所在直线的斜率为 2 2 + 2,点（0,0）与（1 , —1）所在直线的斜率为—1,所以z的取值范围为（—R,1] U [2 , 2+ 4,+^).【答案】(―汽1] U [2,2+ 4 ,+^°)4. （2013 •高考山东卷）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x—y—2>0,x + 2y—1> 0,3x+ y—8W0所表示的区域B.D.28 5x +y <26. （2015 •郑州质检）设实数x , y 满足不等式组 y — x < 2,y > 1,A . [1，2] C. [ '2, 2]【解析】如图所示,的平方.从图中可知最短距离为原点到直线 BC 的距离，其值为1;最远的距离为 AO 其值为2，故x 2+ y 2 的取值范围是[1,4]【答案】Bx > 0,7. （2013 •高考北京卷）设D 为不等式组 2x — y < 0,x +y —3<0之间的距离的最小值为【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示,不等式组表示的平面区域是△ ABC 的内部（含边界），x 2+ y 2表示的是此区域内的点（x , y ）到原点距离则根据图形可知，点耳1,0）到直线2x — y = 0的距离最小，d =|2% 1- 0|— 巒22+ 1，故最小距离为2-^. 5 5【答案】2 ,5 5x > 1,&设不等式组 x — 2y + 3> 0, y > x 所表示的平面区域是 Q 1,平面区域 Q 2与Q 1关于直线3x — 4y —9= 0对称.对于 Q 1中的任意点A 与Q 2中的任意点B, |AB 的最小值等于（） A.B. 4则x 2+ y 2的取值范围是（）B. [1 , 4] D [2 , 4]所表示的平面区域，区域D 上的点与点（1,0）x>1【解析】不等式组x—2y+ 3>0y> x解方程组X 1，得X 1.点A(I,I)到直线3x —4y—9= 0的距离d= |3—：—9| = 2,则| AEB的最小y= x y = 1 5值为4.【答案】B角度三：求线性规划中的参数【解析】不等式组表示的平面区域如图所示.1 5 4 1 5 5 k 4 7甌,4)，所以AB中点D^, 2 •当y=kx+3过点2，2时，2= 2+3所以k=3•【解析】A12D. 2，所表示的平面区域如图所示,9.若不等式组x > 0,x + 3y > 4,3x+ y <4值是（)7A.34C.34所表示的平面区域被直线y = kx + 3分为面积相等的两部分，则k的B.D.由于直线y = kx + 4过定点0,3 •因此只有直线过AB中点时，直线y= kx + £能平分平面区域.因为A(1,1),x+y —2> 0,10. (2014 •咼考北京卷)若x, y满足kx —y + 2》0,y> 0,且z = y —x的最小值为一4,贝U k的值为A.B.—2C.x + y —2> 0,【解析】D作出线性约束条件kx—y + 2>0, 的可行域.当k > 0时,图②^-2=0 (- £昭直线x + y —2= 0的右上方、直线kx —y+ 2= 0的右下方的区域，显然此时z= y —x无最小值.当k v—1时，z= y —x取得最小值2；当k=—1时，z= y—x取得最小值—2,均不符合题意.当一1v k v 0时，如图②所示，此时可行域为点A（2,0）, B —£ 0 , qo,2）所围成的三角形区域，当直线z = y—x经过点B —£ 0时，有最小值，即——k =—4?【答案】Dx + y —2<0,11. (2014 •高考安徽卷)x, y满足约束条件x —2y —2<0,2x —y+ 2> 0.若z = y—ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（） 1A. §或—11 B.2 或C. 2 或1D. 2 或一1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2) , B(2,0) , C —2, —2),则Z A= 2, Z B=— 2a, z c= 2a—2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要Z A=Z B>Z C或Z A=Z C>Z B 或Z B= z c>Z A,解得a=— 1 或a= 2.意，故a =- 1或a = 2.【答案】D当4W s <5时，可行域是△ OAC 及其内部，此时，z max = &【答案】Dy > 0,13. (2015 •通化一模)设x , y 满足约束条件x y+ 丄< 1, 3a 4a '法二：目标函数 z = y — ax 可化为 y = ax + z ,令 I o ： y = ax ,平移I o ,则当I 。

高考线性规划必考题型非常全

高考线性规划必考题型非常全YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020线性规划专题一、命题规律讲解1、求线性（非线性）目标函数最值题2、求可行域的面积题3、求目标函数中参数取值范围题4、求约束条件中参数取值范围题5、利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即简单线性规划的最优解。

例1 已知4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y =+，求z 的最大值和最小值例2已知,x y 满足124126x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩，求z=5x y -的最大值和最小值二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。

它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。

例3 已知,x y 满足，224x y +=，求32x y +的最大值和最小值例4 求函数4y x x=+[]()1,5x ∈的最大值和最小值。

三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。

高考线性规划题型归纳

线性规划常见题型及解法一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题2x-y<2<x-y>-1，则z=2x+3y 的最大值为x+y>1解析：如图1,画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。

数形结合是数学思想的重要手段之一。

例1、设变量x 、y 满足约束条件习题1、若x 、y 满足约束条件 /则z=x+2y 的取值范围是()A 、[2,6]B 、[2,5]C 、 [3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l :x+2y 二0，将By=21向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故选A。

'勺・、Ix=2 x+y ■=2二已知线性约束条件，探相嵐性目标关系最值问题例2、已知 x >1,<x -y +1<0,则x 2+y 2的最小值是2x —y —2<0解析：如图2,只要画出满足约束条件的可行域，而示可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A (1,2)-z o件的最优解。

x 2+y 2的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关V-2A 是满足条图2x 2+y 2表系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

值分别是(即|AO12=13，最小值为原点到直线2x +y -2=0的距离的平方，即为4，选C，最小值为x +y 一2W0<x 一y +2>0表示的平面区域是一个三角形。

y >0易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2),B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：S =-\BC I -1AO1=1X 4X2=4.从而选B 。

22点评：有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

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线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z 的最值．【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．【答案】A【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝⎛⎭⎫x －12表示点(x ，y )和⎝⎛⎭⎫12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝y2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝⎛⎭⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29． ∴2≤z ≤29．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是：可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8 ∴16≤z ≤64．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．【答案】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值18．【答案】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围．【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【答案】B7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255．【答案】2558．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎨⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2，则|AB |的最小值为4．【答案】B角度三：求线性规划中的参数 9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．73B ．37C ．43D ．34【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52．当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【答案】D11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A ，解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2．【答案】D12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，，则交点为B (4－s,2s －4)，y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为C ′(0,4)，x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0，s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．(1) (2)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤z max ＜8；当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′及其内部，此时，z max ＝8．综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是[7，8]．【答案】D13．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0，∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min＝0－(－1)3a －(－1)＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．【答案】1角度四：线性规划的实际应用14．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z＝300x ＋400y ．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300．作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24．【答案】B2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3．【答案】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP→的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2．【答案】D4．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，5．【答案】D5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即⎝⎛⎭⎫b －78(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1．【答案】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)【解析】如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．【答案】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1．【答案】D8．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x∈[0,2]，a －b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，－1≤b ≤1，0≤a ＋b ≤2，0≤a －b ≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12×2×1＝1．【答案】B9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0，4]．【答案】B10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝⎛⎭⎫422＝4π．【答案】D11．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3．【答案】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．【答案】B13．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立，则当x ＝0时，by ≤1恒成立，可得y ≤1b (b ≠0)恒成立，所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ，b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．【答案】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m＜－12m －1，解得m ＜－23．【答案】C15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，所以1＜a ≤3．【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6．∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k ＞1时，也可形成三角形，综上可知k ＜－1或k ＞1．【答案】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最大值，最大值为8．【答案】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3，当直线过点C 时，z 取到最大值，又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4．【答案】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝12，tan β＝k AO＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34．【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4．【答案】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．【解析】作出可行域，如图，作直线x ＋y ＝0，向右上平移，过点B 时，x ＋y 取得最小值，过点A 时取得最大值．由B (1,0)，A (2,1)得(x ＋y )min ＝1，(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3．【答案】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4．【答案】424．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92．【答案】9225．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值，∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝2．【答案】 226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x－1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y ．线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0．9y ＝0，向上平移至过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，解得A (30,20)．【答案】3028．(2015·日照调研)若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示，所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【答案】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎨⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32．所以a 的取值范围是1≤a ≤32．【答案】⎣⎡⎦⎤1，3230．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝3．【答案】 331．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m <0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋m ，m 1＋m ，所以目标函数的最大值z max ＝11＋m ＋m 21＋m<2，所以m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．【答案】(1,1＋2)32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y ＝x －z ，当z 最小时，直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线为y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标为(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线为y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．【答案】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线．【答案】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时，z min ＝3． ∴z ∈[－3,3]．【答案】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m ＜0，则－1m ＞0，由数形结合知，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m ＞0，则－1m ＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1．综上可知，m ＝1．【答案】1。