上海市青浦高级中学TI数理实验班选拔测试数学试卷

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上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷(含答案)

上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．直线的倾斜角大小为__________．2．在的展开式中，含项的系数为__________．3．已知集合，集合，则__________．4．若关于x ，y 的方程组有唯一解，则实数a 满足的条件是__________．5．已知x ，，则“”是“”的____________________条件．6．已知，的最小值为__________．7．从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为__________．8．已知函数，且，则方程的解是__________．9．已知集合，，若，则m 的取值范围是__________．10．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点且，则直线OM 斜率的取值范围是__________．12．对于定义在D 上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数10x +=51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 211x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭{1,0,1,2,3}B =-A B = 2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩y ∈R ||||||x y x y -=+0xy <1ab =2249a b +()21xf x -=+2log (1),0()(),0x x g x f x x +≥⎧=⎨-<⎩()2g x =5322A x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭{13,}B x m x m m =+≤≤∈R ∣A B A = 1222(0)y px p =>4PM MF = ()y f x =x D ∈()()0f x f x -+=1x D ∈2x D ∈21x x ≠-()()1122f x x x f x -=-()y f x =为“等均”函数．下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的序号是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．若实数a ，b 满足，则下列不等式中恒成立的是（）A ．B．C ．D ．14．在2022北京冬奥会单板滑雪U 型场地技巧比赛中，6名评委给A 选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分，则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差15．如图所示，在正方体中，M 是棱上一点，若平面与棱交于点N ，则下列说法中正确的是（）A ．存在平面与直线垂直B ．四边形可能是正方形C ．不存在平面与直线平行D ．任意平面与平面垂直16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前n 项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（）A ．，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列B ．，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列C ．，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列D ．，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，，，()f x x =1()1x f x x -=+2()f x x =()sin f x x =0a b >>22a b +>22a b +<a b +>a b +<1111ABCD A B C D -1AA 1MBD 1CC 1MBND 1BB 1MBND 1MBND 11A C 1MBND 1ACB {}n a n S 2024k >1k k S S +>1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a P ABCD -PD ⊥//AB CD 60BAD ∠=︒，．（1）在侧面PBC 中能否作出一条线段，使其与AD 平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；（2）若四棱锥的体积是，求直线BP 与平面PCD 所成角的大小．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）记为数列的前n 项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、．当车速为v （米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒2AD AB ==4CD =P ABCD -n S {}n a 11a =n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13{}n a 121112na a a +++< 0t 1t 2t 3t 0d 1d 2d 3d [0,33.3]v ∈[0.5,0.9]k ∈0t 10.8t =20.2t =3t距离米米（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆的左、右焦点分别为、、点在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若，O 为坐标原点，求直线l 的方程；（3）点P 、Q 为椭圆上的两个动点，O 为坐标原点，若直线OP 、OQ 的斜率之积为，求证：为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设函数，直线l 是曲线在点处的切线．（1）当，求单调区间；（2）求证：l 不经过；（3）当时，设点，，，B 为l 与y 轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点A 使得成立？若存在，这样的点A 有几个？020d =1d 2d 23120d v k=()d v 0.9k =2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝124TF TF +=Γ(1,0)Γ35OM ON ⋅=- Γ14-22||||OP OQ +()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()y f x =(,())(0)t f t t >1k =-()f x (0,0)1k =(,())(0)A t f t t >(0,())C f t (0,0)O ACO S △ABO S △ACO △ABO △215ACO ABO S S =△△上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2．53．4．5．必要不充分6．127．8．39．10．1112．①③二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．C 14．D 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）不能．因为梯形ABCD 中，，，，所以AD 不平行于BC ，则AD 与BC 必相交于一点，设为M ，面，在侧面PBC 中不能作AD 的平行线．（2）过点B 作于H ，连接PH ，因为平面ABCD ，平面ABCD ，所以，所以平面PCD ，所以PH 是BE 在平面PCD 内的射影，所以是直线BP 与平面PCD 所成角，因为中，，，所以是等边三角形，所以，，又因为，所以，所以，所以中，，又因为四棱锥的体积是所以，解得，所以中，，，直线BP 与平面PCD 所成角大小是18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）π6{1,0}-6a ≠2543m ≤58//AB CD 2AB =4CD =AD ∴ PBC M =∴BH CD ⊥PD ⊥BH ⊂PD PH ⊥BH ⊥BPH ∠ABD △2AB AD ==60BAD ∠=︒ABD △60ADB ∠=︒2BD =//AB CD 120ADC ∠=︒60BDC ∠=︒Rt BDH △BH =1DH =P ABCD -111(2332V Sh h ==⋅+=2h =Rt BPH △PH ==BH =tan BH BPH PH ∠===arctan解：（1），当时，，作差，累加得，满足，．（2），．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）由题意得，，当时，，（秒）．（2）根据题意，要求对于任意，恒成立，即对于任意，，即恒成立，由得，，即，解得，（米/秒），（千米/小时），汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，且．，椭圆的方程．（2）设，，2233n n n n S n n S a a ++=⇒=2n ≥1113n n n S a --+=111n n a n a n -+=-1(1)2n a n n a +=1a n a (1)2n n n a +∴=11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1211112121na a a n ⎛⎫∴+++=-< ⎪+⎝⎭ 0123()d v d d d d =+++21()2020d v v v k ∴=++0.9k =2()2018v d v v =++20()1112 3.118v t v v =++≥+=+=[0.5,0.9]k ∈()80d v <[0.5,0.9]k ∈21208020v v k ++<2160120k v v <-[0.5,0.9]k ∈111,201810k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2160110v v ∴<-2106000v v +-<3020v -<<020v ∴≤<360020721000⨯=∴ 2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝Γ124TF TF +=21a b =⎧⎨=⎩∴2214x y +=()11,M x y ()22,N x y根据题意得，，与联立，整理可得，根据韦达定理可得①②将①代入②，解得，即直线l 的方程为或．（3）证明：设直线，联立方程组，得，，又直线，同理可得，为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）当时，，得的单调增区间是，单调减区间是．（2），，，整理得，假设l 过原点，，设，，(1)y k x =-2214x y +=22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222148440k x k x k +-+-=212221228144414k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()()()()22212121212121231115OM ON x x y y x x k x k x k x x k x x k ⋅=+=+--=+-++=- 1k =±1y x =-1y x =-+:OP y kx =2244y kx x y =⎧⎨+=⎩22414x k =+()()222222241||114k OP x y k x k +∴=+=+=+1:4OQ y x k=-222161||41k OQ k +=+2222222244161205||||5414141k k k OP OQ k k k +++∴+=+==+++1k =-()(1)1x f x x x'=>-+()f x (0,)+∞(1,0)-()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()11k f x x∴'=++:[ln(1)]1()1k l y t k t x t t ⎛⎫∴-++=+- ⎪+⎝⎭1ln(1)(0)11k kt y x k t k t t⎛⎫=+-++≠ ⎪++⎝⎭ln(1)0*1t t t -⇒++=+()ln(1)1t F t t t=+-+2211()01(1)(1)t F t t t t '=-=>+++所以在上严格增，，与*式矛盾．所以l 不经过原点．（3），，由（2）知时，，，，，设，，，极大值，极小值，又，所以在上有两个零点．存在点A 使得且点A 有两个．()F t (0,)+∞()0F t ∴>ln(1)1t t t∴+>+(,ln(1))A t t t ++(0,ln(1))C t t ++1k =0,ln(1)1t B t t ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭215ACO ABO S S = △△112||||15||||22OC AC OB AC ∴⨯⋅=⨯2||15||OC OB ∴=15()213ln(1)1t g t t t t =-+++(0)t >222294(21)(4)()(1)(1)t t t t g t t t -+--'==++13613ln 022g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭(4)2013ln 50g =-<40(8)1613ln 903g =-+>()g t (0,)+∞∴215ACO ABO S S =△△。

上海市青浦高级中学2022届高三4月质检数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（）A ．77B ．76C ．75D ．742. 高为5的圆锥的顶点和底面圆都在球的表面上，若球的体积为，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．3. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（）A．B．C．D．4. ( ).A．B．C．D．5.设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，则有.根据地理知识，某地区的纬度值约为北纬，当太阳直射南回归线(此时的太阳直射纬度为)时物体的影子最长，如果在当地某高度为的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡(如图所示)，两楼的距离应至少约为的（）倍.(注意)A ．0.5倍B ．0.8倍C ．1倍D ．1.25倍6. 某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台剧，爵士舞，要求歌唱与民族舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目．则不同的演出安排方案共有（）A ．720种B ．3168种C ．1296种D ．5040种7. 双曲线－＝1的渐近线方程是（）A ．y ＝±xB ．y ＝±xC ．y ＝±xD ．y ＝±x8. 若，则（）.A．B ．C．D．9. 若实数，满足，则（）A．B．C．D．10. 已知，，则（）A ．若，则B ．若，则C ．的最小值为5D ．若向量与向量的夹角为钝角，则上海市青浦高级中学2022届高三4月质检数学试题(1)上海市青浦高级中学2022届高三4月质检数学试题(1)三、填空题四、解答题11. 在三棱锥中，，，且，则（）A．当为等边三角形时，，B．当，时，平面平面C ．的周长等于的周长D．三棱锥体积最大为12.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A．B．若，则的最小值为C．取最小值时D ．设，则13. 过双曲线的右焦点F 引一条渐近线的垂线，垂足为点A ､在第二象限交另一条渐近线于点B ，且，则双曲线的离心率的取值范围是___________．14. 已知向量，，若，则______15. 已知公比不为等于1的无穷等比数列各项均为整数,且有连续四项在集合中,请写出数列的一个通项公式:________（写出一个正确的即可）．16. 某公众号根据统计局统计公报提供的数据，对我国2015—2021年的国内生产总值GDP 进行统计研究，做出如下2015—2021年GDP 和GDP 实际增长率的统计图表．通过统计数据可以发现，GDP 呈现逐年递增趋势．2020年，GDP 增长率出现较明显降幅，但GDP 却首次突破100万亿．现统计人员选择线性回归模型，对年份代码x 和年度实际GDP 增长率进行回归分析．年份2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年年度GDP （亿元）688858.2746395.1832035.9919281.1986515.21015986.21143669.7年份代码x1234567GDP 实际增长率7.06.86.96.76.02.38.1(1)用第1到第7年的数据得到年度实际GDP增长率关于年份代码x 的回归方程近似为：，对该回归方程进行残差分析，得到下表，视残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据．年份代码x 1234567GDP实际增长率7.06.86.96.76.02.38.1GDP增长率估计值 6.98 6.50 6.26 6.02 5.54残差0.020.400.74-0.02 2.56将以上表格补充完整，指出GDP增长率出现异常数据的年份及异常现象，并根据所学统计学知识，结合生活实际，推测GDP增长率出现异常的可能原因；(2)剔除（1）中的异常数据，用最小二乘法求出回归方程：，并据此预测数据异常年份的GDP增长率．附：，17. 如图，在三棱柱中，，．(1)证明：；(2)若，，，求二面角的余弦值．18.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．(1)证明：；(2)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求与所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．19. A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负的概率如下表：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率对对对现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设，分别表示A队、B队最后所得总分．求：(1)，的分布列；(2)，．20. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，得到如下列联表：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200(1)根据小概率值的独立性检验，判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和均值．附：，．21. 已知函数．(1)当时，讨论函数的极值；(2)已知，函数存在两个极值点，，证明：．。

2018-2019学年上海市青浦区青浦高级中学TI数理实验班选拔测试-解析版

2018年上海市青浦高级中学TI数理实验班选拔测试物理试卷一、单选题（以下各题的答案中只有一个是正确的，每题3分，共30分）1、冬天开车时，轿车前车窗玻璃出现的雾气影响了驾驶员的视线，驾驶员采用的最好方法是（）A、启动雨刷B、用毛巾擦拭车窗C、打开空调通风对车窗吹风D、打开轿车车窗通风【答案】C【解析】考察汽化液化现象2、我国宋代诗人陈与义在《襄邑道中》写道“飞花两岸照船红，百里榆堤半日风。

卧看满天云不动，不知云与我俱东。

”诗中描述“我”运动时选取的参照物是（）A、风B、船C、云D、岸【答案】D【解析】考察参考系3、某一天，下着均匀的雨水，小明同学拿了个塑料桶在青中的广场上去收集雨水，经过一段时间收集到了一定量的雨水。

过了一会儿，突然吹来了一阵水平方向的风，经过相同的时间，小明同学收集到的雨水与原来相比，（）A、收集到的雨水与水平风速无关，与原来相同。

B、收集到的雨水与水平风速有关，风速越大，收集到的雨水越少。

C、收集到的雨水与水平风速有关，风速越小，收集到的雨水越多。

D、收集到的雨水与水平风速有关，风速越大，收集到的雨水越多。

【答案】A【解析】考察平抛运动的分运动4、我国已经成功发射了载人飞船和绕月卫星，登月将是中国人的一个新的梦想。

下列说法中错误的是（）A、“白天”，在地球上看到天空是亮的，而在月球上看到天空是暗的。

B、宇航员在月球上看到天空中星星是闪烁的。

C、由于没有空气，所以月球表面是寂静的。

D、宇航员登月时必须穿宇航服，因为宇航服具有防止辐射、调节温度和提供氧气等功能。

【答案】B【解析】考察光的反射与光的折射5、如图所示为高速摄影机拍摄到的子弹穿过苹果瞬间的两幅照片。

该两幅照片拍摄的时间间隔为4×10-4s，由此判断子弹的飞行速度约为（）A、5×10m/sB、5×102m/sC、5×103m/sD、5×104m/s【答案】B【解析】考察v=x/t的公式运用6、如图所示，一个小球停靠在与水平地面互相垂直的墙角处，则小球受到几个力的作用（）A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】B【解析】考察受力分析7、如图所示，水池的宽度为L，在水池右侧距离池底高度H处有一激光束，水池内无水时恰好在水池的左下角产生一个光斑。

2020-2021学年上海市青浦高级中学高一上学期10月质量检测数学试题(解析版)公开课

2020-2021学年上海市青浦高级中学高一上学期10月质量检测数学试题一、单选题1. 下列表示图形中的阴影部分的是（）A.B.C. D. 【答案】A【解析】由韦恩图可以看出, 阴影部分中的元素满足“是的元素且是的元素, 或是的元素”, 由韦恩图与集合之间的关系易得答案.【详解】解: 由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是的元素且是的元素, 或是的元素”,故阴影部分所表示的集合是()()()CA B A C B C =故选:【点睛】本题考查利用韦恩图求集合、考查韦恩图在解决集合间的关系时是重要的工具. 2. 一元二次方程有解是一元二次不等式有解的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】D【解析】根据充要条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解: 对于方程 , 当 , 方程有解, 此时的解集为空集, 故充分性不成立；若对于当时不等式的解集为 , 此时方程无解, 故必要性也不成立,故一元二次方程20ax bx c ++=有解是一元二次不等式20ax bx c ++>有解的既非充分又非必要条件故选: D【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断, 属于基础题.3．已知 , , 若 , 则对此不等式描述正确的是（）A. 若 , 则至少存在一个以为边长的等边三角形B. 若 , 则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形C. 若 , 则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形D ．若 , 则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形【答案】B【解析】本题可用排除法, 由 ,对于 , 若 , 可得 , 故不存在这样的错误, 排除；对于时, 成立, 而以为边的三角形不存在, 错误, 排除；对于时, 成立, 存在以为边的三角形为直角三角形, 故错误, 排除故选B.【方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.二、填空题4. 设全集 , 集合 , , 则 ___________【答案】{1,3,4}【解析】根据集合交补含义可得.【详解】因为 , ,{}134A B =，，.故答案为: {1,3,4}【点睛】此题为基础题, 考查集合的运算.5. 被4除余2的所有自然数组成的集合 ___________【答案】{}42,xx k k Z =+∈∣ 【解析】用集合描述法表示.【详解】被4除余2的所有自然数组成的集合{}42,B x x k k Z ==+∈ 故答案为: {}42,xx k k Z =+∈∣ 【点睛】此题为基础题, 考查集合表示方法及整数与整除的相关知识.6. 满足的集合有___________个【答案】7【解析】依题意且且至少有一个属于集合 , 再一一列举出来即可；【详解】解: 因为 , 所以且且至少有一个属于集合 , 可能有 , , , , , , 共个,故答案为: 7【点睛】本题考查集合的包含关系, 求集合的子集, 属于基础题.7. 集合用列举法表示为_________.【答案】{1,2,3,4}【解析】因为 , 所以可取 , 分别列方程解出的值, 结合 , 可得 , 即 , 故答案为 .8．已知集合 , , 则 _________ 【答案】3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由于集合A, B 表示二次函数的值域, 所以先利用配方法求出集合A, B, 再求交集【详解】解: 因为 , 所以 ,所以 ,因为 , 所以 ,所以 ,所以 ,故答案为:【点睛】此题考查集合的交集运算, 考查二次函数值域的求法, 属于基础题9．已知一元二次方程的两个实根分别为 , , 且 , 则实数 _________【答案】1-【解析】利用根的判定式求出参数的取值范围, 再利用韦达定理计算可得；【详解】解: 因为一元二次方程的两个实根分别为 , ,所以 , 解得或所以pp αβαβ+=-⎧⎨=⎩又因为 , 所以 , 即 , 解得或（舍去）故答案为:【点睛】本题考查根与系数的关系的应用, 属于基础题.10．若关于的不等式的解集为 , 则 _________【答案】1-【解析】依题意可得与是方程的两根, 利用韦达定理计算可得；【详解】解: 因为关于的不等式的解集为 , 所以与是方程的两根, 所以 , 解得所以1a b +=-故答案为:【点睛】本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程的关系, 属于基础题.11．已知等式对恒成立, 则 _________【答案】3-【解析】化简方程为 , 根据恒成立即可求解.【详解】因为对恒成立,所以对恒成立,所以,解得,所以,故答案为:【点睛】本题主要考查了方程的恒成立问题, 考查了运算能力, 属于中档题.12．若实数满足, 且, 则的最小值为______.【答案】【解析】利用基本不等式可得, , 再验证等号成立的条件即可.【详解】∵, , 当且仅当时等号成立.故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用, 运用基本不等式求最值时要注意验证等号成立的条件, 属基础题.13．设, 一元二次方程有整数根的充要条件是__________【答案】3或4【解析】由一元二次方程有实数根△得；又, 则分别讨论为1, 2, 3, 4时的情况即可.【详解】解: 一元二次方程有实数根；又, 则时, 方程, 有整数根2；时, 方程, 有整数根1, 3；时, 方程, 无整数根；时, 方程, 无整数根．所以或.故答案为：3或4.【点睛】本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略, 属于基础题.14．定义, 设集合, , , 则集合__________【答案】{}0,8,10【解析】根据新定义依次求集合元素即可.【详解】{}{}{}()0,4,510,8,10A B C ∇∇=∇=故答案为: {}0,8,10【点睛】新定义题关键在于审题, 是高考常见题型.15．若 , 则 , 则称是“对偶关系”集合, 若集合的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个, 则实数的取值集合为__________【答案】{}1,5-【解析】根据定义, 列举集合 , , , 0, 2, 4, 6, 的所有的“对偶关系”的集合, 再去考查实数的取值即可.【详解】解: 集合 , , , 0, 2, 4, 6, 的所有的“对偶关系”有与6, 与4, 2与0, 则与7,这些组合的“对偶关系”有4对, 集合有个.那么 , 可得 .当时, 则 , 也满足“对偶关系”．可得实数的取值集合为 .故答案为： .【点睛】本类问题通常以选择和填空出现, 考查集合和元素之间的关系, 有时也出现在以其他知识为背景的综合题中, 渗透集合的思想, 体现基础性与应用性. 属于基础题三、解答题16. 设 , 求关于与的二元一次方程组的解集.【答案】分类讨论, 答案见解析.【解析】消元得 , 再对参数分类讨论, 计算可得；【详解】解: 由得 , 即（）,当时, 无解, 解集为 ,当时, , , 解集为．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法, 考查分类讨论思想, 属于基础题.17．已知命题方程有两个不相等的负根；命题方程无实根若命题与一真一假, 求实数的取值范围．【答案】44,1,33⎛⎤⎡⎫-∞-⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】先由已知条件求出为真时, 有, 为真时, 有, 再由命题与一真一假, 分情况求解即可【详解】解: 若为真, 则, 解得,若为真, 则, 解得,而命题与一真一假, 共有两种情况,①真假, 则或, 所以；②假真, 则, 所以；综上, 实数的取值范围是．【点睛】此题考查由命题的真假求参数范围, 考查一元二次不等式的解法, 考查计算能力, 属于基础题18．距码头南偏东的400千米处有一个台风中心．已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动, 距台风中心350千米以内都受台风影响．问：从现在起多少时间后, 码头将受台风影响？码头受台风影响的时间有多长？【答案】小时后, 码头将受台风影响, 影响时间为小时.【解析】首先设台风到达处时, 码头开始受台风影响, 离开处时, 码头不再受台风影响, 再利用余弦定理即可得到答案.【详解】设台风到达处时, 码头开始受台风影响, 离开处时, 码头不再受台风影响,如图所示:所以, , ,设, 根据余弦定理得:解得或（舍去）, 所以, .因为, ,所以从现在起个小时后, 码头将受台风影响, 码头受台风影响的时间为小时. 【点睛】本题主要考查余弦定理得实际应用, 考查学生分析问题的能力, 属于中档题.19. （1）已知, 用比较法证明；（2）已知, 用反证法证明: ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用作差法比较大小即可；（2）假设, 则, 结合（1）中的结论, 得到矛盾, 即可得证；【详解】解: （1）,因为, 取等号的条件为而, 故等号无法取得, 即又, 所以,所以33；a b（2）假设, 则, 所以由（1）得,所以,又, 所以,即矛盾, 所以假设错误,所以.【点睛】本题考查作差法比较大小以及反证法证明, 属于基础题.20. 设为正整数, 集合（）, 对于集合中的任意元素和, 记.（1）当时, 若, , 求和的值；（2）当时, 设是的子集, 且满足: 对于中的任意元素、, 当、相同时, 是奇数, 当、不同时, 是偶数, 求集合中元素个数的最大值.【答案】（1） , ；（2）4.【解析】（1）利用的定义, 求得和的值.（2）当时, 根据、相同时, 是奇数, 求得此时集合中元素所有可能取值, 然后验证、不同时, 是偶数, 由此确定集合中元素个数的最大值.【详解】（1）依题意(,)M αα()()()111011000022=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦； (,)M αβ()()()110111001112=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦. （2）当时, 依题意当、相同时, 为奇数, 则中有“ 个和个 ”或者“ 个和个 ”.当、不同时:①当中有“ 个和个 ”时, 元素为 , 经验证可知是偶数, 符合题意, 集合最多有个元素 .②当中有“ 个和个 ”时, 元素为 , 经验证可知是偶数, 符合题意, 集合最多有个元素 .综上所述, 不管是①还是②, 集合中元素个数的最大值为 .【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用, 考查分析、思考与解决问题的能力, 属于中档题.。

2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期12月质量检测数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期12月质量检测数学试题一、填空题1．直线3250x y -+=的一个法向量为___________.【答案】()3,2-(答案不唯一)【分析】根据方程直接写出即可.【详解】直线0Ax By C ++=的一个法向量为(),A B所以直线3250x y -+=的一个法向量为()3,2-.故答案为：()3,2-.(答案不唯一)2．抛物线24y x =的焦点坐标是______．【答案】(1,0)【详解】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12p p =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.3．点()9,7,1-关于xOy 平面对称点是___________.【答案】()9,7,1--【分析】根据关于什么对称什么不变来得答案.【详解】点()9,7,1-关于xOy 平面对称点是()9,7,1--故答案为：()9,7,1--4．若事件A 发生的概率为t ，则它的对立事件发生的概率为___________.【答案】1t -##1t -+【分析】直接根据互为对立事件的概率和为1得答案.【详解】若事件A 发生的概率为t ，则它的对立事件发生的概率为1t -故答案为：1t -5．空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点,,E F G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG AB ⋅的值为___________.【答案】14##0.25 【分析】由题意，四面体是正四面体，每个三角形都是等边三角形，利用向量的数量积的定义解答．【详解】11111cos60224FG AB AC AB ︒⋅=⋅=⨯⨯⨯= 故答案为：14.6．已知点P 和点Q 的坐标分别为()1,1-和()1,2，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则m 的取值范围是_____【答案】11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，点,P Q 在直线l 两侧或在直线l 上，即(12)(13)0m m -+⋅+≤，求解即可.【详解】若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则点,P Q 在直线l 两侧或在直线l 上，则有(12)(13)0m m -+⋅+≤，解得：1132x -≤≤，所以m 的取值范围是11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 7．已知方程221410x y k k+=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为___________. 【答案】{4k k <或}10k >【分析】根据双曲线的22,x y 项的系数异号列不等式求解.【详解】方程221410x y k k+=--表示双曲线，则()()4100k k --<，解得4k <或10k >故答案为：{4k k <或}10k >8．已知△ABC 的顶点()()3,06,0A B -、，若顶点C 在抛物线2yx 上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程为_______.【答案】()231,1y x x =-≠ 【解析】设ABC 的重心()G x y ,，(,),0C x y x '''≠，由重心的性质可得333x x y y ''=-⎧⎨=⎩，代入抛物线方程化简即可得解.【详解】设ABC 的重心()G x y ,，(,),0C x y x '''≠，则有363333x x x y y -''++⎧==⎪⎨='⎪⎪⎪⎩，即333x x y y ''=-⎧⎨=⎩，所以1x ≠，因为点C 在曲线2y x 上，所以有()2333y x =-，即()231,1y x x =-≠，故答案为：()231,1y x x =-≠.9．若随机事件,A B 互斥，,A B 发生的概率均不等于0，且分别为()32P A a =-，()56P B a =-，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】6453a <≤ 【分析】由随机事件,A B 互斥，根据互斥事件概率的性质列不等式组求解.【详解】因为随机事件,A B 互斥，,A B 发生的概率均不等于0，且分别为()32P A a =-，()56P B a =- 则0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+≤⎩，即03210561331a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-≤⎩，解得6453a <≤ 故答案为：6453a <≤ 10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c，且c ，若椭圆E 经过,A B 两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为_________.【答案】240x y -+=【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB 的中点M ，求出直线斜率，即可得到直线方程.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y , 代入椭圆方程可得：2211221x y a b +=①，2222221x y a b +=②， ②-①得：2212122121()()y y b x x x x a y y -+=--+，由3=c b 可得22223a b c b -==，即2214b a =，又AB 的中点M (2,1)-，所以2212122121()11(2)()42AB y y b x x k x x a y y -+==-=-⨯-=-+ 所以直线AB 的方程为11(2)2y x -=+，即240x y -+=.故答案为：240x y -+=【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，代入曲线方程后做差，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.11．设,x y 满足22220x y x y +--=，则+1+25+2y x +的取值范围为_______. 【答案】[0,1]【解析】由题意，得到22(||1)(||1)2x y -+-=，根据对称性，作出方程对应的图像，根据+1+25+2y x +表示点(,)x y 与点()52,12M ----连线的斜率，结合图像，即可得出结果.【详解】由22220x y x y +--=可得 22(||1)(||1)2x y -+-=，根据对称性，作出此方程对应的图象，表示点(,)x y与点(51M --连线的斜率，由图像可得，直线4y x =+与圆22(1)(1)2x y ++-=显然相切，且4y x =+过点(51M --，1≤；直线1y =-22(1)(1)2x y +++=相切，且1y =-(51M --，所以0≥，[0,1]. 故答案为：[0,1].【点睛】思路点睛：非线性目标函数的常见类型及解题思路：1.斜率型：()0by ay b a a z ac d cx d c x c ++==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线所在直线的斜率的a c倍； 2.距离型：（1）()()22z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方；（2）z Ax By C =++=(),x y 到直线0Ax By C ++=的.12．空间中到正方体1111ABCD A B C D -棱11A D ，AB ，1CC 距离相等的点有___________个.【答案】无数【分析】由于点1,D B 显然满足要求，猜想线段1DB 上任一点都满足要求，然后证明结论．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接1DB ，并在1DB 上任取一点P ，因为1(1,1,1)DB =所以设(),,P a a a ，其中01a ≤≤，作PE ⊥平面11A ADD ，垂足为E ，再作11EF A D ⊥，垂足为F ，则1111,,,A D PE A D EF PE EF E ⊥⊥=,PE EF ⊂面EFP ，11A D ∴⊥面EFP ，又FP ⊂面EFP ，11A D FP ∴⊥，则PF 是点P 到直线11A D 的距离，所以22(1)PF a a =+-，同理点P 到直线AB 、1CC 的距离也是22(1)a a +-，所以1DB 上任一点与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱11A D ，AB ，1CC 所在直线的距离都相等，所以与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱11A D ，AB ，1CC 所在直线的距离相等的点有无数个．故答案为：无数二、单选题13．已知空间任意一点О和不共线的三点A ，B ，C ，若(),,OD mOA nOB pOC m n p R =++∈，则“A ，B ，C ，D 四点共面”是“32m =，12n =，1p =-”的（） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据空间向量的共面定量，结合充要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，空间中四点A ，B ，C ，D ，若(),,OD mOA nOB pOC m n p R =++∈若A ，B ，C ，D 四点共面，根据空间向量的共面定量，只需1m n p ++=，又由32m =，12n =，1p =-，可得1m n p ++=，所以“32m =，12n =，1p =-”时，A ，B ，C ，D 四点共面，即必要性成立，反之不一定成立，即充分性不成立，所以“A ，B ，C ，D 四点共面”是“32m =，12n =，1p =-”的必要不充分条件. 故选：A.14．直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)(5,)⋃+∞D ．[1,)+∞【答案】C 【解析】由于直线:10l y kx --=恒过点(0,1)，所以要使直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，只要点(0,1)椭圆上或椭圆内即可，从而可求得m 的取值范围【详解】解：直线:10l y kx --=恒过点(0,1)，因为直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m +=恒有公共点，所以点(0,1)椭圆上或椭圆内即可，所以050115m m m⎧⎪>⎪≠⎨⎪⎪+≤⎩，解得m 1≥且5m ≠，所以m 的取值范围是[1,5)(5,)⋃+∞，故选：C15．已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++，向量b OA OB OC =+-，则与,a b 不能构成空间基底的向量是( )A ．OAB ．OBC ．OCD ．OA 或OB【答案】C 【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．【详解】111()()()222OC a b OA OB OC OA OB OC =-=++-+-， ∴OC 与a 、b 不能构成空间基底；故选：C ．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点M 在侧面11BCC B 上运动（包括边界），且12MB MB =，则1D M 与平面11ADD A 所成角的正切值的取值范围为（）A ．3,13⎡⎤⎣⎦B ．3,11313⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎣⎦【答案】B 【分析】找到点M 在平面11ADD A 的投影为点N ，在平面平面11ADD A 上，建立平面直角坐标系，求出点N 的轨迹方程，进而数形结合求出13,13D N ∈⎡⎤⎣⎦，从而求出答案.【详解】设点M 在平面11ADD A 的投影为点N ，则3MN =，所求线面角为θ，则113tan MN D N D N θ==，因为12MB MB =，所以12NA NA =，在平面11ADD A 上，以A 为坐标原点，AD 为x 轴，1AA 为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()10,3A ，设(),N x y ，()22223x y x y +-=+化简得：()2214x y ++=，()0,0x y ≥≥，故点N 的轨迹为以()0,1H -为圆心，半径为2的且位于第一象限的圆弧ST ，如图所示，连接1HD ，与圆弧ST 相交于点N '，此时11D N D N '=取得最小值，由勾股定理得：19165HD =+=，所以1523D N '=-=，当点N 与S 重合时，11D N D S =取得最大值，由勾股定理得：19413D S +则113D N∈⎡⎣，1313tanMND Nθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦．故选：B．【点睛】立体几何中轨迹问题，建立合适的坐标系，求出轨迹方程是解决问题的重要方法，将几何问题代数化，数形结合解决问题.三、解答题17．从甲､乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作(1)设5名同学为：甲､乙､a b c､､，写出这一事件的样本空间；(2)求甲､乙都入选的概率．【答案】(1)答案见解析(2)3 10【分析】（1）直接5个里面选3个即可写出样本空间；（2）根据古典概型的概率公式可得答案.【详解】（1）5名同学为：甲､乙､a b c､､，从中随机选3名参加社区服务工作这一事件的样本空间为：{甲乙a，甲乙b，甲乙c，甲a b，甲a c，甲b c，乙a b，乙a c，乙b c，a b c}；（2）甲、乙都入选的基本事件有3个：甲乙a ，甲乙b ，甲乙c ，故甲､乙都入选的概率为310. 18．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点.（1）化简：11122AO AB AD --；（2）设E 是棱1DD 上的点，且123DE DD =，若1EO xAB yAD zAA =++，试求实数x ，y ，z 的值. 【答案】（1）1A A ；（2）12x =、12y =-、23z =-. 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解；（2）用基底1,,AB AD AA 表示出EO 后可得,,x y z 的值．【详解】（1）11111()2AO AB AD AO AO OA OA A A -+=-=-+= （2）112()23EO AO AE AB AD AD AA =-=+-- 1112223AB AD AA =--， ∴12x =、12y =-、23z =-. 19．在长方体ABCD －1111D C B A 中，11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 上的点，2AE EB =.(1)求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；(2)求点C 到平面1D DE 的距离．【答案】(1)π3(2)355 【分析】（1）先作出异面直线1AD 与EC 所成角，再去求其大小即可（2）依据三棱锥等体积法去求点C 到平面1D DE 的距离．【详解】（1）在平面ABCD 内作//AE CE '交CD 于E '，连接1D E '，则1D AE '∠为异面直线1AD 与EC 所成角或其补角.因为3,2AB AE EB ==，所以1EB ，所以1DE '=，因为11AD DD ==，所以12,AE D E ''==而12AD =，所以△1AD E '为正三角形，1π3D AE '∠=，从而异面直线1AD 与EC 所成角的大小为π3. （2）设点C 到平面1DED 的距离为h ，1111515222DED S D D DE =⋅=⨯⨯=，133122DEC S =⨯⨯=，由11C DED D DEC V V --=得151313232h ⨯=⨯⨯，所以355h =． 20．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸.（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4π的直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1）22143x y +=；（2）247. 【分析】（1）建立直角坐标系后，由椭圆的定义即可得解；（2）联立方程组，由韦达定理结合弦长公式即可得解.【详解】（1）如图，以FO 所在的直线为x 轴，FO 的中点M 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知+==4PF PO AO 且=2FO ，所以P 点轨迹以F ，O 为左右焦点，长轴长24a =的椭圆，因为22,24c a ==，所以1,2c a ==，2223b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）如图，不妨令过()1,0F -的直线交椭圆于C ，D 且倾斜角45︒，所以直线:1CD y x =+，设()()1122,,,C x y D x y ，联立2234121x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消元得27880x x +-=，0∆>，所以121288,77x x x x +=-=-，所以()221212882411424777CD x x x x ⎛⎫=+⋅+-=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭. 21．在梯形ABCD 中，AB CD ，π3BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）.将ACD 沿AC 折起到ACD '△位置，使得平面D AC '⊥平面BAC （如图2）.(1)求证：BC 平面POD '；(2)求二面角A BC D '--的大小；(3)线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '6若存在，求出PQ PD '的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)6π (3)存在，13PQ PD '=【分析】（1）由线面平行的判定定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，（3）设出PQ PD '得Q 点坐标，由空间向量列式求解，【详解】（1）在梯形ABCD 中，AB CD ，π3BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，可得ADP △为等边三角形，四边形DPBC 为菱形，故//BC OP ，而OP ⊂平面POD '，BC ⊄平面POD '，∴BC 平面POD '，（2）由（1）得2BC =，3ABC π∠=，4AB =，故AC BC ⊥，AC DP ⊥，而平面D AC '⊥平面BAC ，平面D AC '平面BAC AC =，D O '⊂平面D AC '，D O AC '⊥， ∴D O '⊥平面BAC ，,,OA OP OD '∴两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D '，(3,0,0)C -，(3,2,0)B -， (3,0,1)D C '=--，(0,2,0)CB =，设平面BCD '的一个法向量为(,,)n x y z =，则3020x z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩取1x =得(1,0,3)n =-，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =，故||3cos 2||||m n m n θ⋅==⋅，二面角A BC D '--的大小为6π，（3）设PQ t PD ='，则PQ tPD '=，(0,1,0)P ,(0,1,1)PD '=-, 的(0,1,)Q t t -，(3,1,)CQ t t =-，设平面BCD '的一个法向量为(1,0,3)n =-CQ 与平面BCD '22|33|63(1)13t t t -=+-+⨯+ 化简得23720t t -+=，解得13t =（2t =舍去）故存在13PQ PD '=，使得CQ 与平面BCD '6。

2006-2008年上海市青浦高级中学TI数理实验班选拔数学试卷

2006年上海市青浦高级中学 TI 数理实验班选拔数学试卷、填空题(本大题共 12小题，每小题4分，满分48分) 1、某商品的标价为 2200元，打七折出售，仍可获利 10%，则此商品的进价是元.2、将一条线段黄金分割后，得其中一段长为 4cm ，则另一段长为 cm .3、按一定规律排列的100个数：2, 2, 6, 22, 10,…，200,其中最大的有理数是它是这一列数中的第个数.4、右 x , y 为正整数，且 x2+y2+4y-96=0，贝U xy=或 .5、若 x/(x2+x+1)=a , (0),则 x3/(x6+x3+1)的值为.6、如图，梯形 ABCD 中，AD // BC , EF 是中位线，对角线 BD 、AC 分别与EF 相交于 G 、&如图，梯形 ABCD 中，AD // BC ,对角线 AC 、BD 交于 O , S A AOD=3 , S A BOC=8 ,9、将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕. (图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得7条折痕，那么对折四次可以得到条折痕，如果对折 n 次，可以得到条折痕.亠扯用巒 ■二衣対曲事三决対箭10、如图，一个面积为1的正三角形被分成四个全等的正三角形，挖去中间一个，将剩下的三个正三角形再分别一分为四，同样各自挖去中间的一个正三角形，如此进行了三次，那么11、设x , y 为任意实数，定义运算： x*y= (x+1) (y+1 ) -1，得到下列五个命题：① x*y=y*x :② x* (y+z ) =x*y+x*z ;3( x+1) * (x-1) = (x*x ) -1 :④ x*0=0 ;⑤(x+1 ) *(x+1 ) =x*x+2*x+1 ; 其中正确的命题的序号是H ，若 GH : BC=1 : 3，贝U AD : BC 的值是.7、抛物线y=-x2+2 (m-1 ) x+m+1与x 轴交于在x 轴的负半轴上，贝U m 的取值范围是.A 、B 两点，且点 A 在x 轴的正半轴上，点 B剩余部分的面积为12、如图是居民小区道路图，小明每天由家（A点）到学校（B点），他只沿道路向上或向右行走，那么他最多有天走不同的线路.13、如果△ ABC的三个外角的度数之比是3: 4: 5，那么这个三角形是（）A、钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、等腰三角形14、如图，Rt△ ABC 中，/ C=90。

上海市青浦高级中学TI数理实验班选拔测试数学试卷

上海市2016青浦高级中学TI 数理实验班选拔测试数学试卷（满分100分考试时间90分钟）一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分）1、若不等式组112x x a -≤≤⎧⎨<⎩有解，那么a 必须满足2、在实数范围内分解因式：233+-x x =．3、213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为． 4、函数321+++++=x x x y ，当x =时，y 有最小值，最小值等于．5、某百货商店的一种商品营业额，即商品的售价乘以该商品的销售量，商品在促销月定的售价比上个月下降10%，该月销售量较上月增长60%，则促销月的营业额比上月的营业额上升%．6、一个正方体的表面展开图如图1所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么a =，b =．7、如图2矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B （20,53-），D 是AB 边上的一点.将△ADO OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是．8、面积等于30平方厘米的长方形ABCD 内，如图3所示放置有四个面积相等的圆和一个正方形（正方形的边长等于圆的直径），则中间正方形的面积是平方厘米． 9、边长为整数，周长为20的三角形个数是个．10、某种规律排列一组数：K ,54,53,52,51,43,42,41,32,31,21,1，那么第50个数是．11、如图4，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于_____________．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）（每题列出的四个答案中，只有一个是正确的，把正确答案的代号填入括号内）A B CEFO（图4） B CD（图1）（图2）（图3）12、如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M 、N .则线段BM 、DN 的大小关系是()．（A ）DN BM > （B ）DN BM < （C ）DN BM =（D ）无法确定13．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB =14cm ，BC =12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 的距离为（）（A ）4cm（B ）8cm（C ）10cm（D ）12cm14．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.下列说法中正确的是()（A ）这组数据的中位数是40，众数是39 （B ）这组数据的中位数与众数一定相等（C ）这组数据的平均数P 满足39＜P ＜40 （D ）以上说法都不对15.当x 分别取值20081，20071，20061，…，21，1，2，…，2006，2007，2008时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于（）（A ）－1. （B ）0 （C ）1 （D ）2008.三、解答题（本大题共4小题，满分44分）16、（8分）、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30的斜坡前进400米到D 处（即米400,30=︒=∠CD DCB），测得A 的仰角为︒60，求山的高度AB 。

上海市青浦高级中学2023-2024学年高二上学期12月质量检测数学试卷

上海市青浦高级中学2023-2024学年高二上学期12月质
量检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、单选题
13．已知直线1
:10l ax y ++=与直线2:20l x ay +-=，则“12l l //”是“1a =”的（）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
14．设a ，b 表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
（1）若//a b 且b a Ì，则//a a
（2）若//a a 且b a Ì，则//a b
（3）若//a b 且//a a ，则//b a
（4）若//a a 且//b a ，则//a b
其中不正确的个数是（）
A ．1
B ．2个
C ．3个
D ．4个
15．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以线段PQ 为直径的圆过点2F ，求直线l 的方程；
(3)若AQ AP l =uuu r uuu r ，求实数l 的取值范围．。

上海市青浦高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷(解析版)

上海市青浦高级中学2023学年第二学期期中质量检测高二数学试卷考试时间120分钟满分150分一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分；第7-12题每题5分）1. 与的等差中项是________.【答案】-5【解析】【分析】根据等差中项的定义计算即可.【详解】设等差中项为，则，故答案为：-52. 乘积的展开式中共有______项.【答案】24【解析】【分析】根据分步乘法计数原理可得答案.【详解】由中取一项共3种不同取法，从中取一项有2种不同取法，从中取一项共4种不同取法，由分步乘法计数原理知，该展开式共3×2×4＝24(项)故答案为：24．3. 已知事件A 与事件B 互斥，如果，，那么_____________．【答案】0.2##【解析】【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算．【详解】由题意．故答案为：0.2.4. 某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______．【答案】152-8-x ()2285x x =-+-⇒=-()()()123121234a a a b b c c c c ++++++123,,a a a 12,b b 1234,,,c c c c ()0.3P A =()0.5P B =()P A B = 15()1()1[()()]1(0.30.5)0.2P A B P A B P A P B =-=-+=-+=【解析】【分析】根据分层抽样原则直接计算即可【详解】由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽人.故答案为：155. 2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师相邻，则不同排法的种数为______.【答案】48【解析】【分析】利用捆绑法，结合全排列即可求解.【详解】先将2位教师捆绑在一起，再与3名学生进行全排列，所以排法有：种.故答案为：486. 有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则_________.【答案】【解析】【详解】易知V 1,V 2,…,V n ,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以7. 已知函数，则函数的单调递增区间为__________.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案.【详解】由函数可得，令，即函数的单调递增区间为，故答案为：50600152000⨯=2424A A 48=1212,,,n V V V ()12lim n n V V V →∞+++= 871128lim()1718n n V V V V →∞+++==- ()ln x f x x=()f x (0,e)()0f x ¢>()ln ,(0)x f x x x =>()21ln x f x x -'=()21ln 0,0,0e x f x x x -'>∴>∴<<()f x (0,e)(0,e)8. 设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为___________.【答案】【解析】【分析】根据方差的性质，若，，，的方差为，则，，的方差为，计算即得答案.【详解】根据题意，一组样本数据，，，的方差，则数据，，，的方差为；故答案：.9. _____________．【答案】##【解析】【分析】利用导数的定义及求导公式可得答案.【详解】设函数，则；.故答案为：.10. 已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则_____________．【解析】【分析】根据题意利用导数及韦达定理可得，的关系，后利用等比数列的性质可得答案.【详解】由题意可得：，则、是函数零点，则，且为等比数列，设公比为，为的1x 2x L n x 0.01110x 210x L 10n x 11x 2x L n x 2s 1ax 2ax L n ax 22a s 1x 2x L n x 20.01s =110x 210x L 10n x 22101s ⨯=1()0ln 42ln 2lim h h h→+-=140.25()ln f x x =1()f x x'=()()00ln 42ln 2ln 4ln 41lim lim (4)4h h h h f h h →→+-+-'===14{}n a 3a 7a 32661y x x x =-+-5a =3a 7a 23126y x x '=-+3a 7a 23126y x x '=-+37374020a a a a +=>⎧⎨=>⎩{}n a 0q ≠可得，解得注意到，可得.11. 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数的取值范围.【详解】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点．由时，；得其关于原点对称后的解析式为．问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，化简得，即与在上有两个交点．对于，求导，令，解得：，即：当时，单调递增；令，解得：．即：当时，单调递减，∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像：372537002a a a a a >⎧⎪>⎨⎪==⎩5a =2530a a q =>5a =32,0e ,0x x x y ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩A B C D a 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x (),0∞-()0,∞+32ex x ax =-()0,∞+e x x a -=()0,∞+e x x y =a ()f x ()f x (),0∞-()0,∞+0x <()2f x ax =2y ax =-3ex y x =2y ax =-()0,∞+32e x x ax =-e xx a -=y a =-e x x y =()0,∞+e x x y =1'e x x y -=1'0ex x y -=>1x <()0,1x ∈ex x y =1'0ex x y -=<1x >()1,x ∈+∞ex x y =1x =max 1e y =x →+∞0y →欲使与在时有两个交点，则，即．12. 已知数列满足：对于任意有，且，.若，数列的前项和为，则_________.【答案】【解析】【分析】对求导，可证得是以为首项，1为公差的等差数列，可求出，再由并项求和法求出.【详解】因，则，由，，，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，，，则，所以，所以.故答案：二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13. 在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（）为为y a =-e x x y =0x >10,e a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭{}n a *Nn ∈π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1π4a =()1nf a +=()tan f x x =()11tan tan n n n n b a a +-=-{}n b n n T 120T =10()f x {}2tan n a 21tan 1a=tan=n a 120T()tan f x x =()()222coscos sin sin sin 11tan cos cos cos x x x x x f x x x x x '⋅-⋅-⎛⎫====+ ⎪⎝⎭'1π4a =()1n f a +=1tan +=n a 221tan tan 1n n a a +-={}2tan n a 21tan 1a =2tan =n a n π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0n a ∴>tan =n a ()()111tan tan nn n n n b a a +-===--120123119120T b b b b b =+++++ )1=-++-++ 111110==-=10A. 平均数B. 众数C. 百分位数D. 标准差【答案】D【解析】【分析】根据中位数，平均数、百分位数和标准差的定义即可判断.【详解】平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以说平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故A 、B 不正确；百分位数是指将一组数据从小到大排列，并计算相应的累计百分位，则某一个百分位所对应的数据的值称为这一百分位数的百分位数.所以百分位数不能用来描述一组数据离散程度的量，故C 不正确；标准差反映了数据分散程度的大小，所以说标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故D 正确.故选：D .14. 某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（）A. 讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分B. 讲座前的答卷得分分布较讲座后分散C. 讲座后答卷得分的第80百分位数为95D. 讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图即可判断AB ；再根据百分位数的计算公式即可判断C ；根据极差的定义即可判断D.【详解】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A 正确；讲座前的答卷得分主要分布在之间，而讲座后主要分布在之间，则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B 正确；讲座后答卷得分依次为，因为，所以第80百分位数是第8个数与第个数的平均数，为，故C 错误；5075 8085 80,85,85,85,90,90,95,95,100,10080%108⨯=91952讲座前答卷得分的极差为，讲座后得分的极差为，所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D 正确.故选：C .15. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点（包括极大值点和极小值点）有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据函数图象，结合极值点定义即可判断在开区间内极值点个数.【详解】根据极值点定义，在极值点处导函数为0，且在极值点左右两侧单调性性不同，结合函数图象可知，导函数在内与轴有4个交点，但在两侧均为单调递增函数，因而不极值点，所以在开区间内极值点有3个，故选：C【点睛】本题考查了导函数图象性质的应用，极值点的意义，属于基础题.16. 已知数列，设（n 为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c ，使得对于任意两两不等的正整数i 、j 、k ，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题：①若数列是“梦想数列”，则常数；②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”；③“梦想数列”一定是等差数列.以上3个命题中真命题的个数是（）个A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】是905040-=1008020-=()f x (),a b ()'f x (),a b ()f x (),a b ()f x (),a b ()'f x (),a b x 0x =0x =()f x (),a b {}n a 12n n a a a m n+++= {}n a ()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-={}n a {}n a 0c =【分析】分析条件，可得，可判断①；先验证，，时，､､成等差数列，再令，，，得数列的前项和的表达式，从而求得数列的通项公式，可判断②③.【详解】对于①，，所以，，故①正确；对于②③，令，，，所以，，即：､､成等差数列，令，，，，化简为：，两式相减得：所以，，当时也成立.综上可得，“梦想数列”必是等差数列，故③正确，故②不正确.故选：B .三、解答题（本大题共5题，满分78分）17. A 校为了了解学生对食堂的满意程度，随机调查了50名就餐学生，根据这50名学生对食堂满意度的评分，绘制出如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，.()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=0c =1i =2j =3k =1a 2a 3a 1i =2j =()3k n n =≥{}n a n n S {}n a ()()()k i j i j m j k m k i m c-+-+-=()()()k j i j i m i k m k j m c -+-+-=0c =1i =2j =3k =()()()1231121223310312a a a a a a +++-+-+-=1322a a a +=1a 2a 3a 1i =2j =()3k n n =≥()()()21122102n S S n a n n -+-+-=()()2122310n S n n a n n a +---=()()21122210n S n n a n n a ++---+=11121122220n n a na a na a a nd+++--=⇒=+()()114n a a n d n =+-≥1,2,3n ={}n a [)40,50[)50,60[]90,100（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）若A 校共有3000名学生，试估计全体学生中对食堂满意度不低于80分的人数.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a 的值；（2）先计算出样本中对食堂满意度不低于80分的频率，用样本估计总体，即可求解．【小问1详解】由题意可知：，解得；【小问2详解】样本中对食堂满意度不低于80分的频率为，用样本估计总体，所以估计全体学生中对食堂满意度不低于80分的人数为人．18. 记为数列的前项和，已知，（为正整数）.（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求正整数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算，确定数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式.（2）验证时不成立，当时，确定，代入计算得到，解得答案.【小问1详解】由，，得，且当时，，即. 故数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，，0.006a =1200100.0040.0220.0280.0220.0181()a ⨯+++++=0.006a =(0.0220.018)100.4+⨯=30000.41200⨯=n S {}n a n 12a =1n n a S +=n {}n a 2log n n b a =129145m m m m b b b b +++++++= m 12,1 2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩11m =22a ={}n a 22a =1m =2m ≥1n b n =-()527145m +=12a =1n n a S +=2112a S a ===2n ≥11n n n n n a S S a a -+=-=-()122n na n a +=≥{}n a 22a =12n n a -=故数列的通项公式为，【小问2详解】当时，，又.当时，，不满足条件；当时，由，解得.19. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，则再利用独立事件的概率计算公式，解方程组即可得到答案.（2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件，即计算即可.【详解】（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有即{}n a 12,1 2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩2n ≥122log log 21n n n b a n -===-1212log log 21b a ===1m =()12310112946b b b b ++++=++++= 2m ≥()()()()129118527145m m m m b b b b m m m m m +++++++=-++++++=+= 11m =1411229131423561(),41(),122(),9P A B P B C P A C ⎧⋅=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩()1()P D P D =-1(,41(),122(),9P A B P B C P A C ⎧⋅=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩1()[1()],41()[1()],122()().9P A P B P B P C P A P C ⎧⋅-=⎪⎪⎪⋅-=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩解得，，．即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，；（2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则．故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．【点晴】本题主要考查独立事件的概率计算问题，涉及到对立事件的概率计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.20. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，.（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）记，求数列的前项和.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）设等差数列的首项为，利用等差数列的前项和公式求出，进而求出等差数列的通项公式；设等比数列的公比为，利用通项公式和已知条件求出，进而求出等比数列的通项公式；（2）先求出，再利用分组求和法和等差数列的求和公式进行求解；（3）先得到，再利用裂项抵消法进行求和.【小问1详解】1()3P A =1()4P B =2()3P C =131423()1()1[1()][1()][1()]P D P D P A P B P C =-=----231513436=-⨯⨯=56{}n a {}n b 13b =3218b b -={}n a {}n b 2*(1),N n n n c a n =-∈{}n c 2n 2n S *211,N n n n n na d n a ab ++-=∈{}n d n n T 21n a n =-3n n b =228n S n =1122(21)3n n T n =-+⋅1a n 1a q q 212168n n c c n -+=-1111[2(21)3(21)3n n nd n n -=--⋅+⋅因为是公差为2的等差数列，且，所以，解得，所以；设等比数列的公比为（），因为，，所以，即，解得（舍去）或，所以.【小问2详解】由（1）得，则，则【小问3详解】由（1）得，则{}n a 864S =18782642a ⨯+⨯=1=1a 12(1)21n a n n =+-=-{}nb q 0q >13b =3218b b -=23318q q -=260q q --=2q =-3q =1333n n n b -=⨯=22(1)(1)(21)n n n nc a n =-=-⋅-21222212(1)[2(21)1](1)(41)n n n n c c n n --+=-⋅--+-⋅-2222(1)(43)(1)(41)n n n n =--⋅-+-⋅-22(41)(43)168n n n =---=-21234212()()()n n n S c c c c c c -=++++⋅⋅⋅++8[135(21)]n =+++⋅⋅⋅+-2[1(21)]882n n n +-=⨯=2112(2)2(21)(21)3n n nn n n a n d a a b n n ++-+-==-+⋅()()()()122111212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+==-⎢⎥-+⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦123n nd d d d T +++⋅⋅⋅+=0112231111111111[((()(2133333535373(21)3(21)3n n n n -=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅，【点睛】方法点睛：本题中考察了数列求和的两种采用方法，第二问考察了并项求和法，第三问考察了裂项抵消法，技巧性较强.21. 若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.（1）若函数存在“相关点”，求的值；（2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：（3）设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）函数在上单调递减，在上单调递增，可得为函数的极值点，进而结合题意即可求解；（2）由题意可得，即得，设，结合导数可得函数在上单调递增，且，进而求解；（3）由，可得，设，为函数的“2相关点”，则，，进而可得，，，故0111()213(21)3n n =-⨯+⋅1122(21)3nn =-+⋅()y f x =0x x =()00f x x λ=R λ∈0x ()y f x =λ222=++y x x λλ22ln y kx x =-k ∈R k ()y f x =()32f x ax bx cx =++a b c ∈R 、、0a ≠()y f x =()1,2P ()y f x =a 1λ=-1k =(),1-∞-222=++y x x (),1-∞-()1,-+∞1-222=++y x x 202000102ln kx kx x x ⎧-=⎨-=⎩002ln 10x x +-=()()2ln 10x x x x ϕ=+->()2ln 1x x x ϕ=+-()0,∞+()10ϕ=()322f x ax bx cx x =++=220ax bx c ++-=1x 2x ()f x ()21212Δ4202b a c b x x a c x x a ⎧⎪=-->⎪⎪+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩21212Δ4120233b ac b x x a c x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩0b =3c =0a <，再结合导数的几何意义求解即可.【小问1详解】函数的对称轴为，且函数在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的极值点，因为函数存在“相关点”，由题意可得，，解得.【小问2详解】由，则，由题意可得，，即，即，设，则，所以函数在上单调递增，且，所以方程存在唯一实数根1，即，即，此时，则，令，即；令，即，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极值点为1，所以1是函数的“1相关点”，所以.【小问3详解】由，得，即，()33f x ax x =+222=++y x x =1x -222=++y x x (),1-∞-()1,-+∞1-222=++y x x 222=++y x x λ()()21212λ-+⨯-+=-1λ=-()22ln 0y kx x x =->()22122kx y kx x x -'=-=202000102ln kx kx x x ⎧-=⎨-=⎩0012ln x x -=002ln 10x x +-=()()2ln 10x x x x ϕ=+->()210x xϕ'=+>()2ln 1x x x ϕ=+-()0,∞+()10ϕ=002ln 10x x +-=01x =1k =()22ln 0y x x x =->22222x y x x x -'=-=0'>y 1x >0'<y 01x <<22ln y x x =-()0,1()1,+∞22ln y x x =-22ln y kx x =-1k =()322f x ax bx cx x =++=()3220ax bx c x ++-=220ax bx c ++-=设，为函数的“2相关点”，则，另一方面，，所以，所以且，解得，，，故，则，因为过点存在3条直线与曲线相切，设其中一个切点为，则，整理得，设，且函数有三个不同的零点，则，令，则；令，则或.所以函数在和上单调递减，在上单调递增，所以，即，即实数的取值范围为.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.1x 2x ()f x ()21212Δ4202b a c b x x a c x x a ⎧⎪=-->⎪⎪+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩()232f x ax bx c '=++21212Δ4120233b ac b x x a c x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩23b b a a -=-23c c a a-=0b =3c =0a <()33f x ax x =+()233f x ax '=+()1,2P ()y f x =()3,3m am m +()3213233a m am m m f m '+-=+=-322310am am --=()()322310p x ax ax a =--<()p x ()()26661p x ax ax ax x '=-=-()0p x '>01x <<()0p x '<0x <1x >()p x (),0∞-()1,+∞()0,1()()01012310p p a a ⎧=-<⎪⎨=-->⎪⎩1a <-a (),1-∞-。

2024届上海市青浦高级中学数学高三上期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届上海市青浦高级中学数学高三上期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（）A ．23B ．25C ．28D ．292．已知双曲线22221x y C a b -=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103 C ．10? D ．22 3．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm4．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（） A ．194 B 11C ．32 D ．745．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（）A ．54 B ．2 C ．3 D ．726．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥其中正确的是（）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④8．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫<⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．24x π=- B ．3724x π= C ．1724x π= D ．1324x π=- 9．在复平面内，31i i +-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（） A ．4 B ．23 C ．8 D ．1711．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥12．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（）A ．23，-2B ．23-，-9C ．-2，-9D ．2，-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测数学试题(解析版)

上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测数学试题一、单选题1．设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则A ．对任意实数a ，B ．对任意实数a ，（2,1）A ∉C ．当且仅当a <0时,（2,1）A ∉D ．当且仅当32a ≤ 时,（2,1）A ∉ 【答案】D【解析】分析：求出(2,1)A ∈及(2,1)A ∉所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若(2,1)A ∈，则32a >且0a ≥，即若(2,1)A ∈，则32a >，此命题的逆否命题为：若32a ≤，则有(2,1)A ∉，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据,p q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设{|()},{|()}A x p x B x q x ==，若A B ⊆，则p q ⇒；若A B =，则p q =，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.2．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +.【详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C. 【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 3．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.4．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则（）A ．2ABC π∠=B ．2BAC π∠=C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D【解析】设||4AB =u u u r，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，由此能求出ABC ∆是等腰三角形，AC BC =．【详解】设||4AB =u u u r，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，2||||||(1)||PB PC PH PB PB a PB ⋅=⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，00P B PC a ⋅=-u u u r u u u r ，于是00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立，整理得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，于是1a =，因此2HB =，即H 是AB 的中点，故ABC ∆是等腰三角形，所以AC BC =．故选：D.【点睛】本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A I B=_____ 【答案】{0，1}【解析】根据集合的交运算进行计算即可．【详解】222,x x <∴-<<Q ，因此A I B ={}(){}2,0,1,22,20,1-⋂-=故答案为：{}0,1 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．6．若函数()1f x =，()g x =，则()()f x g x +=__________．【答案】1(01)x ≤≤【解析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为：)101x ≤≤ 【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失.7．在()721x -的二项展开式中,第四项的系数为__________.【答案】560-【解析】利用二项展开式的通项公式，求得第四项的系数. 【详解】二项展开式中，第四项的系数为()334721560C ⋅⋅-=-.故答案为：560- 【点睛】本小题主要考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题.8．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】3.10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3.10点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是．【答案】【解析】试题分析：由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为，从而其母线长为，从而圆锥体的表面积为；故答案为：【考点】圆锥体的表面积．10．已知直线()1:3260l x k y -++=与直线()2:2320l kx k y +-+=,记3D k=()223k k -+-，则D =0是直线1l 与直线2l 平行的__________(选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”)条件. 【答案】必要非充分【解析】解0D =求得k 的值.由此12l l //求得k 的值.由此判断出充分、必要条件. 【详解】令0D =得()()232320,890k k k k k -++=+-=，解得9k=-或1k =.当12l l //时，()()323203260k k k k ⎧-++=⎨⨯-≠⎩，解得9k =-.故D =0是直线1l 与直线2l 平行的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查行列式的计算，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.11．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】根据题意()f x 取最大值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，根据余弦函数取最大值条件解得ω的表达式，进而确定其最小值. 【详解】因为()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，所以22π()8()463k k Z k k Z ωωππ-=∈∴=+∈，，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.【点睛】函数cos()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质（1）max min =+y A B y A B =-，. （2）周期2π.T ω=（3）由π()x k k Z ωϕ+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ωϕ+=∈Z ，最小值对应自变量满足+2()x k k ωϕππ+=∈Z ，（4）由22()22k x k k πππωϕπ-+≤+≤+∈Z 求增区间；由322()22k x k k πππωϕπ+≤+≤+∈Z 求减区间. 12．若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y −x 的最小值是__________．【答案】3 【解析】【详解】分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法. 详解：作可行域，如图，平移直线2z y x =-，由图可知直线2z y x =-过点A(1,2)时，z 取最小值3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.13．能说明“若()()0f x f ＞对任意的(]02x ∈，都成立,则()f x 在(]02，上是增函数”为假命题的一个函数是_________.【答案】()232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】根据题目所给命题为假命题，构造函数()f x 在区间(]02，满足条件“()()0f x f >对任意的(]02x ∈，都成立”且不是增函数. 【详解】由于原命题是假命题，故存在“()()0f x f >对任意的(]02x ∈，都成立”且不是增函数. 设()f x 为二次函数，则()f x 在(]02，必须是先增后减，此时只需二次函数对称轴满足122b a <-<，且二次项系数0a <即可.如()232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 故答案为：()232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【点睛】本小题主要考查函数的单调性和最值，考查二次函数的性质，属于基础题.14．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=＞＞，双曲线2222:1x y N m n -=，若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的焦距与长轴长的比值为________.1【解析】根据正六边形的性质以及椭圆的定义求得2a ，由此求得椭圆M 的焦距与长轴长的比值（也即离心率）【详解】由正六边形的性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，根据椭圆的定义可知2c a +=，所以椭圆M 的焦距与长轴长的比值为212ca ==.1. 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查正六边形的几何性质，属于基础题. 15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：()111222121212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题: ①若12z z ＞,则12z z ＞； ②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞； ④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞. 其中所有真命题的序号为______________. 【答案】②③【解析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号. 【详解】对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确. 对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.三、解答题17．已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-. (1)求()f x 的最小正周期和单调递减区间；(2)若()f x 在区间[]0m ，上恰好有十个零点,求正数m 的最小值. 【答案】（1）最小正周期为π，递减区间为π5ππ,π,88k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）39π8. 【解析】（1）利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 解析式，进而求得()f x 的最小正周期和的单调减区间.（1）令()0f x =求得函数()f x 的零点，结合()f x 在区间[]0m ，上恰好有十个零点，求得m 的最小值. 【详解】（1）()11πsin 2cos 222224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.由ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+，解得π5πππ88k x k +≤≤+，所以()f x 的递减区间为π5ππ,π,88k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）令()0f x =，即πsin 204x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()πππ2π,428k x k x k Z +==-∈.由于[]0,x m ∈内，()f x 恰有十个零点，故由()ππ28k x k Z =-∈得k 取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，恰好10个零点.当10k =时，39π8x =.所以正数m 的最小值为39π8.【点睛】本小题主要考查利用二倍角公式、降次公式和辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查三角函数零点问题，属于中档题.18．如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．【答案】（1）31020（25【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量1,BP AC u u u v u u u u v的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面1AQC 的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.详解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以{}1,,OB OC OO u u u v u u u v u u u u v为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以())()())()1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,2,3,0,2,0,1,2A BC A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31,22P ⎫-⎪⎪⎝⎭，从而()131,2,0,2,22BP AC ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u u uv ，故11114310,20522BP AC cosBP AC BP AC ⋅-+===⨯⋅u u u v u u u u vu u u v u u u u v u u u v u u u u v ．因此，异面直线BP 与AC 1310．（2）因为Q 为BC 的中点，所以31,,022Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此33,02AQ ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u v ，()()110,2,2,0,0,2AC CC ==u u u u v u u u u v．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u u v 即330,2220.x y y z +=⎪+=⎩不妨取)3,1,1n =-，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则1115sin ,52CC n cosCC n CC nθ⋅====⨯⋅u u u u v u u u u v u u u u v ，所以直线CC 1与平面AQC 15点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19．已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1） (2)证明过程见解析【解析】【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l 的斜率的取值范围，最后根据PA ，PB 与y 轴相交，舍去k=3，（2）先设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与抛物线联立，根据韦达定理可得12224k x x k -+=-，1221x x k=．再由=QM QO λu u u u v u u u v ，=QN QO μu u u v u u u v得=1M y λ-，1N y μ=-．利用直线PA ，PB 的方程分别得点M ，N 的纵坐标，代入化简11λμ+可得结论.详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=．依题意()2224410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线PA 的方程为()112211y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λu u u u v u u u v ，=QN QO μu u u v u u u v得=1M y λ-，1N y μ=-．所以()()()2212121212122224211111111=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20．数列{}n a ,定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列,其中()*1n n n a a a n N+∆=-∈.(1)若2n a n n =-,试断{}n a ∆是否是等差数列,并说明理由；(2)若111,2,2nnn n n n a a a a b -=∆-==，证明{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式； (3)对(2)中的数列{}n a ,是否存在等差数列{}n c ,使得1212nn n n n n c C c C c C a ++⋯+=对一切*n N ∈都成立,若存在,求出数列{}n c 的通项公式；若不存在,请说明理由.【答案】（1）{}n a ∆是等差数列，理由见解析；（2）证明见解析，12n n a n -=⋅；（3）存在，且n c n =.【解析】（1）通过计算112,2n n a a a +∆∆∆-==证得{}n a ∆是等差数列.（2）根据1n n n a a a +∆=-，2n n n a a ∆-=得到122nn n a a +=+，利用凑配法证得{}n b 是等差数列,并求得数列{}n a 的通项公式.（3）先求得12,c c ，由此求得n c n =，再利用组合数公式，证得n c n =符合要求. 【详解】（1）由于2n a n n =-，所以()()22111n n n a a n a n n n +=-=+-+-+∆2n =，所以()12122n n a n a n +-=+-∆=∆，且2112a a a =-=∆.所以{}n a ∆是首项为2，公差为2的等差数列.（2）由于1n n n a a a +∆=-，2n n n a a ∆-=，所以12n n n n a a a +--=，即122nn n a a +=+，两边除以12n +得111111111,,22222222n n n n n n n n a a a a a ++++=+-==，所以{}nb 是首项为12，公差为12的等差数列，故12n b n =，即11,222n n n na n a n -==⋅. （3）存在，且n c n =符合题意.依题意1212n n n n n n c C c C c C a ++⋯+=.当1n =时，111c a ==；当2n =时，122222C c C a +=，即2224,2c c +==，而{}n c 是等差数列，故只能n c n =.下证n c n =符合题意. 由于n c n =，所以根据组合数公式有1212nn n n n c C c C c C ++⋯+1221n n n n C C n C +⋅+⋯+⋅=⋅()01211111n n n n n n C C C C -----=++++L 12n n n a -=⋅=符合题意.【点睛】本小题主要考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式，考查组合数公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α=L 和()12,,,n y y y β=L ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦L ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)【解析】【详解】（Ⅰ），。

上海市青浦区实验中学高一数学理联考试卷含解析

上海市青浦区实验中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】x＜1时，y＜4；x≥1时，y≤5，即可求出函数y=的最大值．【解答】解：x＜1时，y＜4；x≥1时，y≤5，∴函数y=的最大值是5，故选：C【点评】本题考查考查函数最值的求法，比较基础．2. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．－3 B．C．D．2参考答案：D第一圈，i=0，s=2，是，i=1,s=; 第二圈，是，i=2，s=;第三圈，是，i=3，s=－3；第四圈，是，i=4，s=2；第五圈，否，输出s，即输出2，故选D。

3. 已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A C D．A=B=C参考答案：B略4. 已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为（A）2 (B) －1 (C) －1或2 (D) 0参考答案：B5. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．（1）求这条抛物线对应的函数关系式；（2）连结BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；（3）连结BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3∶2及E（2，6），可得C（0，4）.∴D（0，2）. …………………………………（2分）由D（0，2）、E（2，6）可得直线AD所对应的函数关系式为y＝2x＋2. ………（3分）当y＝0时，2x＋2＝0，解得x＝－1.∴A（－1，0）. …………………………………（4分）由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋3x＋4. …………………………………（6分）（2）BD⊥AD……………………………………………………………………（7分）求得B（4，0），…………………………………（8分）通过相似或勾股定理逆定理证得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.……………（10分）6. 设集合若则的范围是（）A. B. C. D.参考答案：D7. 半径为，中心角为所对的弧长是（）A．B．C．D．参考答案：D略8. 下列说法中不正确的是（）对于线性回归方程=x+，直线必经过点（，）掷一枚均匀硬币出现正面向上的概率是，那么一枚硬币投掷2次一定出现正面参考答案：D9. 已知△ABC中，，，，那么角A等于()A. 90°B. 60°C. 30°D. 45°参考答案：D【分析】直接利用余弦定理计算得到答案.【详解】已知中，，，则即故答案选D【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.10. 设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．【解答】解：∵0＜0.32＜1log20.3＜020.3＞1∴log20.3＜0.32＜20.3，即c＜b＜a故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （4分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x﹣1）﹣2必过定点．参考答案：（2，﹣2）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：令x﹣1=1，可得x=2，并求得 y=﹣2，故函数的图象经过的定点的坐标．解答：令x﹣1=1，可得x=2，并求得y=﹣2，故函数的图象过点（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．点评：本题主要考查对数函数的图象过定点问题，属于基础题．12. 在平面直角坐标系xOy 中，角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则______参考答案：-1【分析】根据三角函数的定义求得，再代入的展开式进行求值.【详解】角终边过点，终边在第三象限，根据三角函数的定义知：，【点睛】考查三角函数的定义及三角恒等变换，在变换过程中要注意符号的正负.13. （5分）已知f（x）是定义域在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）= ．参考答案：﹣3考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由奇函数的性质得f（﹣1）=﹣f（1），利用已知的解析式即可求值．解答：解：因为f（x）是定义域在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1），又当x∈[0，+∞）时，f（x）=x2+2x，则f（1）=1+2=3，即f（﹣1）=﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题考查利用函数的奇偶性求函数值，以及转化思想，属于基础题．14. f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为|x+t|≥|x|在[t，t+2]恒成立，去掉绝对值，得到关于t的不等式，求出t 的范围即可．【解答】解：f（x）=x2，x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，即|x+t|≥|x|在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，或x≤（1﹣）t在[t，t+2]恒成立，解得：t≥或t≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．15. 已知，则的最小值是．参考答案：16. 已知集合，则＝参考答案：17. 将十进制数89化为二进制数为 .参考答案：1011001（2三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2023-2024学年上海市青浦实验中学九年级(上)第一次段考数学试卷(10月份)(含解析)

2023-2024学年上海市青浦实验中学九年级（上）第一次段考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）已知，那么的值为（）A．B．C．D．2．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝x﹣3B．y＝ax2+bx+cC．y＝x（x﹣1）﹣1D．y＝x2﹣（x+1）23．（4分）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A 的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（）A．B．5sinαC．D．5cosα4．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE并延长交BC的延长线于点F，若AD＝3CF，那么下列结论中正确的是（）A．FC：FB＝1：3B．CE：CD＝1：3C．CE：AB＝1：4D．AE：AF＝1：2．5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（）A．3：2B．2：3C．D．．6．（4分）将抛物线y1＝x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2＝ax2+bx+c重合，现有一直线y3＝2x+3与抛物线y2＝ax2+bx+c相交，当y2≤y3时，利用图象写出此时x的取值范围是（）A．x≤﹣1B．x≥3C．﹣1≤x≤3D．x≥0二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段a＝4，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c ＝．8．（4分）在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是3厘米，那么甲乙两地的实际距离是千米．9．（4分）如果抛物线y＝（a+2）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是．10．（4分）已知一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角的度数是度．11．（4分）如果△ABC∽△DEF，且对应面积之比为1：4，那么它们对应周长之比为．12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cos∠A＝，那么cot∠A ＝．13．（4分）如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，C，E和B，D．F．若AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF的长为．14．（4分）已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP 与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．（4分）已知抛物线开口向上，对称轴是直线x＝5，抛物线上两点坐标为（2，y1），（4，y2），那么y1 y2．（填“＞”或“＜”）16．（4分）把抛物线y＝x2向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，3），那么平移后的抛物线的表达式是．17．（4分）我们定义：关于x的函数y＝ax2+bx与y＝bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y＝3x2+4x与y＝4x2+3x是互为交换函数．如果函数y＝2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b＝．18．（4分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在边CD、BC上，联结EF．如果△CEF沿直线EF翻折，点C与点A恰好重合，那么的值是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2cos230°+﹣sin60°．20．（10分）用配方法把二次函数y＝﹣2x2+6x+4化为y＝a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．21．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，D为BC上一点，CD＝2，且△ADC与△ABD 的面积比为1：3；（1）求证：△ADC∽△BAC；（2）当AB＝8时，求sin B．22．（10分）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）23．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE 交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且＝．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AD2＝DG•DE，求证：＝．24．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A（2，3），B（3，6）、C（﹣1，6）三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数y＝ax2+bx+c图象平移使其经过点D（5，0），且对称轴为直线x＝4，求平移后的二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若平移后的二次函数图象与x轴的另一个交点为E，求∠DAE 的正切值．25．（14分）如图，△ABC中，AB＝5，BC＝11，，点P是BC边上的一个动点，连接AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PN，连接AN、NC．（1）当点N恰好落在BC边上时，求NC的长；（2）若点N在△ABC内部（不含边界），设BP＝x，CN＝y，求y关于x的函数关系式，并求出函数的定义域；（3）若△ANC是以AN为腰的等腰三角形，求BP的长．2023-2024学年上海市青浦实验中学九年级（上）第一次段考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】根据比例设a＝k，b＝3k，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵＝，∴设a＝k，b＝3k（k≠0），则＝＝．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．2．【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．【解答】解：A．y＝x﹣3是一次函数，故不符合题意；B．y＝ax2+bx+c当a＝0，b≠0时是一次函数，故不符合题意；C．y＝x（x﹣1）﹣1＝x2﹣x﹣1是二次函数，故符合题意；D．y＝x2﹣（x+1）2＝﹣2x﹣1是一次函数，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．3．【分析】已知直角三角形的一个锐角和锐角所对的直角边，求斜边，运用三角函数定义解答．【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，所以在Rt△ABC中，∠BAC＝α，BC＝5，则AB＝＝，故选：A．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．4．【分析】由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，证△ECF∽△ADE，进而判断即可．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴△ECF∽△EDA，∵AD＝3CF，A、FC：FB＝1：4，错误；B、CE：CD＝1：4，错误；C、CE：AB＝1：4，正确；D、AE：AF＝3：4．错误；故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得＝＝＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝＝＝∴＝，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．6．【分析】先利用配方法得到抛物线y1＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），再利用抛物线的变换规律得到平移后的抛物线解析式为y＝x2，然后解方程组得或，然后利用函数图象写出一次函数图象在抛物线y＝x2上方（含交点）所对应的自变量的范围即可．【解答】解：y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则它的顶点坐标为（1，﹣4），所以抛物线y1＝x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后的解析式为y＝x2，解方程组得或，所以当﹣1≤x≤3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数图象与几何变换．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c2＝4×1，c＝±2，（线段是正数，负值舍去），故c＝2；故答案为2．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．8．【分析】设甲乙两地的实际距离是x厘米，然后根据比例尺的定义列方程求解，最后同一单位即可解答．【解答】解：设甲乙两地的实际距离是x厘米，由题意可得：1：15000000＝3：x，解得x＝45000000，45000000厘米＝450千米．故答案为：450．【点评】本题考查了比例线段、一元一次方程的应用等知识点，根据比例尺的定义列方程是解题的关键．9．【分析】根据抛物线y＝（a+2）x2+x﹣1的开口向下，可得a+2＜0，从而可以得到a的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝（a+2）x2+x﹣1的开口向下，∴a+2＜0，得a＜﹣2，故答案为：a＜﹣2．【点评】本题考查二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小于0．10．【分析】坡度＝坡角的正切值，据此直接解答．【解答】解：∵tanα＝1：＝，∴坡角＝30°．【点评】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．11．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且对应面积之比为1：4，∴△ABC与△DEF的相似比是1：2，∴它们对应周长之比为1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．12．【分析】设AC＝2x，则AB＝3x，由勾股定理求得BC的长度，继而由三角函数的定义求得cot∠A的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos∠A＝＝，∴设AC＝2x，则AB＝3x，∴由勾股定理得到：BC＝＝＝x，∴cot∠A＝＝＝；故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．13．【分析】根据平行线分线段定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，∴＝，解得：DF＝4.5，∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，故答案为：7.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．14．【分析】根据三角函数的定义解答．【解答】解：如图作PA⊥x轴，垂足为A，OP＝cos∠POA＝，故答案为【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，利用坐标系求出三角形的边长是关键步骤．15．【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝5可得x＜5时，y随x增大而减小，进而求解．【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝5，∴x＜5时，y随x增大而减小，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质．16．【分析】可设所求的函数解析式为y＝x2+k，把A坐标代入可得平移后的抛物线．【解答】解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，∵点A（2，3）在抛物线上，∴3＝22+k解得：k＝﹣1，∴平移后的抛物线的表达式是y＝x2﹣1．故答案为：y＝x2﹣1．【点评】考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减．17．【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x轴对称，从而得到关于b的方程，可以解答本题．【解答】解：∵由题意函数y＝2x2+bx的交换函数为y＝bx2+2x，∵函数y＝2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，两个函数的对称轴相同，∴﹣＝﹣，解得b＝﹣2或2，∵互为交换函数a≠b，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．18．【分析】过点D作DG⊥AC，垂足为G，先依据勾股定理求得AC的长，然后在△ADC 中，利用面积法可求得DG的长，然后可得到AG的长，从而可得到GH的长，最后依据平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：如图所示：过点D作DG⊥AC，垂足为G．在Rt△ABC中，依据勾股定理可知：AC＝＝4．∵S△ADC＝AD•AB＝AC•DG，∴×3×4＝×4DG．∴DG＝．∴AG＝2DG＝．由翻折的性质可知AH＝HC＝2．∴GH＝AH﹣AG＝2﹣＝．∵DG∥EH，∴DE：EC＝GH：HC＝：2＝．故答案为：．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、平行线分线段成比例定理，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式＝2×（）2+﹣，＝+﹣，＝3﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．20．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．【解答】解：y＝﹣2x2+6x+4＝，＝，开口向下，对称轴为直线，顶点．【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．21．【分析】（1）作AE⊥BC，根据△ADC与△ABD的面积比为1：3且CD＝2可得BD＝6，即BC＝8，从而得，结合∠C＝∠C，可证得△ADC∽△BAC；（2）由△ADC∽△BAC得，求出AD的长，根据AE⊥BC得DE＝CD＝1，由勾股定理求得AE的长，最后根据正弦函数的定义可得．【解答】解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，∵＝＝＝，∴BD＝3CD＝6，∴CB＝CD+BD＝8，则＝，，∴，∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC；（2）∵△ADC∽△BAC，∴，即，∴AD＝AC＝4，∵AE⊥BC，∴DE＝CD＝1，∴AE＝＝，∴sin B＝＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于H，要先求出CH的值然后再求AH，BH的值，进而得出AB的长．【解答】解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H，由题意，得∠ACH＝45°，∠BCH＝36°，BC＝200，在Rt△BHC中，，∴，∵sin36°≈0.588，∴BH≈117.6，又，∴．∵cos36°≈0.809，∴HC≈161.8，在Rt△AHC中，，∵∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∴AH≈161.8，又AB＝AH+BH，∴AB≈279.4，∴AB≈279（米），答：A、B之间的距离为279米．【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法．23．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到，根据等式的性质得到＝，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∵＝，∴，∴AB∥CD；（2）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∴＝，∴＝，∵AD2＝DG•DE，∴＝，∵AD∥BC，∴＝，∴＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）根据对称轴为直线x＝4，可得抛物线向右平移3个单位，设抛物线向下平移m个单位，则平移后的抛物线为y＝（x﹣4）2+2﹣m，将点D（5，0）代入，求得m的值，进而即可求解；（3）过点A作AM⊥x轴于点M，得出△ADM是直角三角形，，过点E 作EF⊥AD，勾股定理求得EF，进而得出AF，根据正切的定义，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A（2，3），B（3，6）、C（﹣1，6）三点，代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，对称轴为直线x＝1，∵平移使其经过点D（5，0），且对称轴为直线x＝4，∴抛物线向右平移3个单位，设抛物线向下平移m个单位，则平移后的抛物线为y＝（x﹣4）2+2﹣m，∵经过点D（5，0），∴0＝（5﹣4）2+2﹣m，解得：m＝3，∴平移后的解析式为y＝（x﹣4）2﹣1＝x2﹣8x+15，即y＝x2﹣8x+15；（3）如图所示，过点A作AM⊥x轴于点M，当y＝0时，y＝x2﹣8x+15＝0，即（x﹣5）（x﹣3）＝0，解得：x1＝3，x2＝5，∴E（3，0），∵A（2，3），D（5，0），∴M（2，0），AM＝3，DM＝3，DE＝2，∴△ADM是直角三角形，，过点E作EF⊥AD，∵ED＝2，∴，∴，在Rt△AEF中，．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求正确，熟练掌握以上知识是解题的关键．25．【分析】（1）利用三角函数和勾股定理即可求解；（2）过A、N作BC的垂线，垂足分别为H、G，证得：△APH∽△PGN，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分三种情况讨论，第一种情况：当PN＝NC时，PG＝CG，即9﹣x＝2；第二种情况：PN＝PC时，，PC＝11﹣x；第三种情况：当NC＝PC 时：，PC＝11﹣x，求解方程即可．【解答】解：（1）如图1，∵∠APN＝90°，∴AP⊥BN，∴，∵AB＝5，∴BP＝3，∴，∵，∴PN＝2，∴NC＝11﹣3﹣2＝6；（2）如图2，过A、N作BC的垂线，垂足分别为H、G，∵AB＝5，，∴BH＝3，∵BP＝x，∴HP＝x﹣3，AH＝4，∴△APH∽△PGN，∴，∴PG＝2，，CG＝11﹣x﹣2＝9﹣x，在Rt△NCG中，，函数的定义域为：3＜x＜6；（3）第一种情况：如图3，当PN＝NC时，PG＝CG，即9﹣x＝2，解得：x＝7，第二种情况：如图4，PN＝PC时，，PC＝11﹣x，（x﹣3）2+16＝4（11﹣x）2，整理得：3x2﹣82x+459＝0，解得：（舍去），，第三种情况：如图5，当NC＝PC时：，PC＝11﹣x，∴，即x2+10x﹣151＝0，解得，（不合题意，舍去），，综上所述BP＝7或或时，△PNC为等腰三角形．【点评】此题考查了线段长度的求法，以及在几何问题中用方程思想求线段长度的转化方法，同时注意分类讨论的思想的应用．。

2022-2023学年上海市青浦高一年级上册学期12月质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期12月质量检测数学试题一、填空题1．函数的定义域是______．()121y x =-【答案】[)1,+∞【分析】由偶次根式被开方数大于等于零可直接求得结果.【详解】，，解得：，()121y x =-= 10x ∴-≥1x ≥的定义域为.()121y x ∴=-[)1,+∞故答案为：.[)1,+∞2．函数的值域是______．32xy =+【答案】(2,)+∞【分析】指数型函数的值域【详解】因为30x>所以322xy =+>所以值域为：(2,)y ∈+∞故答案为：(2,)+∞3．已知，则______．12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2f =【答案】##2.552【分析】利用换元法求出函数的解析式，将代入即可求解．()f x 2x =【详解】令，即，1t x =1x t =0t ≠所以，即，()12f t t =+()12f x x =+0x ≠故．()221522f =+=故答案为：．524．已知常数，，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则0a >1a ≠a ()log 21a y x =-+这个定点的坐标是______．【答案】(3,1)【分析】利用对数函数性质可知，令即可求出的图象恒过的定点的坐标.21x -=()log 21a y x =-+【详解】因为的图象必过，即，当，即时，，log a y x =(1,0)log 10a =21x -=3x =1y =从而图象必过定点.()log 21a y x =-+(3,1)故答案为：.(3,1)5．已知，，若α是β充分条件，则m 的取值范围是________.:31x m α<-:2x β<【答案】，(-∞1]【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式，解出即可．m 【详解】解：，，:31x m α<-:2x β<若是充分条件，则，，，αβ(-∞31)(m -⊆-∞2)故，解得：，312m - 1m 则的取值范围是，，m (-∞1]故答案为：，．(-∞1]6．已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭()f x x α=()0,∞+取值的集合是______．α【答案】{}1-【分析】由幂函数为奇函数，且在上递减，得到是奇数，且，由此能求出()f x x α=()0,∞+α0α<的值．α【详解】∵，112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭幂函数为奇函数，且在上递减，()f x x α=()0,∞+∴是奇数，且，∴．α0α<1α=-故答案为：{}1-7．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.2()23f x x ax =-++(,4)-∞a 【答案】[4,)+∞【分析】根据二次函数对称轴与单调区间位置关系列不等式，解得结果.【详解】对称轴方程为，2()23f x x ax =-++x a =在区间上是增函数，所以.()f x (,4)-∞4a ≥故答案为:.[4,)+∞【点睛】本题考查根据二次函数单调性求参数取值范围，考查数形结合思想方法，属基础题.8．函数的单调递减区间是___________.()22log 1y x =-【答案】(,1)-∞-【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数、二次函数的单调性进行求解.()22log 1y x =-【详解】令，解得或，210x ->1x >1x <-即的定义域为，()22log 1y x =-(,1)(1,)-∞-+∞ 令，21t x =-则在上单调递增，在上单调递减，21t x =-(1,)+∞(,1)-∞-且在上单调递增，2log y t =(0,)+∞所以函数的单调递减区间是.()22log 1y x =-(,1)-∞-故答案为：.(,1)-∞-9．已知函数为偶函数，定义域，当时，，则当时，函数的表()f x R 0x ≥()2xf x x =+0x <()f x 达式是______．()f x =【答案】2xx --+【分析】当时，，求出，结合偶函数性质进而得解.0x <0x ->()f x -【详解】当时，，，因为为偶函数，所以，故0x <0x ->()2xf x x --=-+()f x ()()f x f x -=.()()2xf x f x x --==-+所以当时，函数的表达式是.0x <()f x ()2x f x x -=-+故答案为：2xx --+10．函数，，且的最大值是，则实数的取值范围是()268f x x x =-+[]()1,1x a a ∈>()f x ()f a a ______．【答案】[)5,+∞【分析】根据二次函数图像及性质判断函数在上最大值是，进而确定参数取值[]()1,1x a a ∈>()f a 范围.【详解】因为，故函数如图所示：()()226831f x x x x =-+=--()13,f =因为当时，，且，[]()1,1x a a ∈>()()max f x f a =()()15f f =所以有：，5a ≥故答案为：.[)5,+∞11．由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，与满足关y 103x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭y x 系（常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，乘客方可进9b xy -=b 13x ≥13站，则地铁站应安排工作人员至少提前___________分钟进行消毒工作.【答案】50【分析】当时，求出关于的函数解析式，然后解不等式，即可得解.13x ≥y x 13y -<【详解】由于函数的图象过点，则，可得，9b xy -=1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1391b -=13b =故当时，，由，可得，解得，此时.13x ≥139x y -=122133933x x y ---==<2213x -<-56x >56x >故地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.560506⨯=故答案为：.5012．已知定义在R 上的函数，若函数为偶函数，且对任意，（()f x ()2f x +()f x 1x [)22,x ∈+∞），都有，若，则实数的取值范围是______.12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()()31f a f a ≤+a 【答案】13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由函数为偶函数，故函数的图象关于直线x =2对称，再根据条件可知，所()2f x +()f x 以函数在[2,+∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增，由得，()f x ()()31f a f a ≤+|2||312|a a -≥+-解之即可求出结果.【详解】由于函数为偶函数，故函数的图象关于直线x =2对称，()2f x +()f x 又“对任意，（），都有”，()f x 1x [)22,x ∈+∞12x x ≠()()12120f x f x x x -<-所以函数在[2,+ ∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增，()f x 由得，解得.()()31f a f a ≤+|2||312|a a -≥+-1324a - 故答案为.13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，要求学生掌握数形结合的思想运用，属中档题.二、单选题13．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A ．与B ．与y x=2y =y x =l n exy =C ．与D ．与y x =y =y x =11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据相同函数定义域与对应法则相同判断即可.【详解】对A ，与定义域不同，故A 错误；y x=()2,0y x x ==≥对B ，与定义域不同，故B 错误；y x =()ln e,0xy x x ==>对C ，与为同一函数，故C 正确；y x=y x ==对D ，与定义域不同，故D 错误；y x =()110y x x x -⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭故选：C14．设，下列计算中正确的是（）0a >A ．B ．C ．D ．2332a a a ⋅=2332a a a÷=44a a -⋅=3223a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用指数幂的运算逐项分析【详解】因为，所以0a >选项A ：，故A 错误.22313333262a a aa +⋅==选项B ：，故B 错误2235333262a a aa --÷==选项C ：，故C 错误444401a a aa --+⋅===选项D ：，故D 正确32232332a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D.15．函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）2()1log f x x =+1()2x g x -+=A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】根据函数过排除A;2()1log f x x =+1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭根据过排除B 、D,1()2x g x -+=()0,2故选C ．16．已知非空集合A ，B 满足：，，函数，对于下列两个A B ⋃=R A B ⋂=∅2()21x x A f x x x B ⎧∈=⎨-∈⎩命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使(,)A B ()f x (,)A B 得方程无解.下面判断正确的是（）()2f x =A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①､②都正确D ．①､②都错误【答案】B【分析】在同一平面直角坐标系画出与的图象，结合函数图象即可判断①；再分别2y x =21y x =-求出与的解，即可判断无解的条件，从而判断②，即可得解；22x =212x -=()2f x =【详解】解：在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示：2y x =21y x =-由，解得，由函数图象可知当或221x x =-1x =()(){}2,11,()211x x f x x x ∞∞⎧∈-⋃+⎪=⎨-∈⎪⎩时为偶函数，故①错误；()()(){}2,00,11,()211,0x x f x x x ∞∞⎧∈-⋃⋃+⎪=⎨-∈⎪⎩()f x 令，解得，解得，因为，，22x =x =212x -=32x =A B ⋃=R A B ⋂=∅，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对2()21x x Af x x x B ⎧∈=⎨-∈⎩32A ∈B ()2f x =，使得方程无解，故②正确；(,)A B ()2f x =故选：B三、解答题17．已知，，用及表示及．lg 2a =lg 3b =a b 2log 312log 25【答案】，2log 3ba =()1221log 252a a b -=+【分析】根据换底公式求解即可.【详解】由换底公式，，2lg 3log 3lg 2b a ==.()()21222102lg21lg 25lg 25lg 52log 25lg12lg 2lg 32lg 2lg 32lg 23a a b-=====+++⨯即，2log 3ba =()1221log 252a a b -=+18．设函数，指出在上的单调性，并证明你的结论．()()122x f x x x -+=>-()f x ()2,+∞【答案】在上单调递增，证明见解析()f x ()2,+∞【分析】设定义域内，再计算的正负判断即可.122x x >>12()()f x f x -【详解】在上单调递增，证明如下：()f x ()2,+∞，取，则1211()1222x x f x x x x -+-+-===-----122x x >>.1212211111()()112222f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-----=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1212121222(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x --+-==----因为，则，，得122x x >>120x x ->12(2)(2)0x x -->，所以，在上单调递增.12())0(f x f x ->()f x ()2,+∞19．设为常数，函数．a ()21log x f x x a +=+(1)若，解不等式：；0a =()1f x >(2)若，根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．0a ≤a ()y f x =【答案】(1)()0,1(2)答案见解析【分析】(1)直接由定义域和单调性结合对数不等式和分式不等式的求法即可求解；(2)根据题意结合奇偶性的定义分和两种情况分别讨论即可.1a =-1a ≠-【详解】（1）因为，所以，0a =()21log x f x x +=要使函数有意义则即，解得或，10x x +>()10x x +>1x <-0x >由得，即，()1f x >221log log 2x x +>12x x +>则有，所以，解得，120x xx x +->(1)0x x -<01x <<故原不等式的解集为.()0,1（2）当时，，1a =-()21log 1x f x x +=-要使函数有意义，则，即，即或，101x x +>-(1)(1)0x x +->1x <-1x >此时函数的定义域为关于原点对称，()(),11,-∞-⋃+∞且，()122221111log log log log ()1111x x x x f x f x x x x x --+-++⎛⎫-====-=- ⎪--+--⎝⎭所以此时函数为奇函数，当且时，要使函数有意义，则，即，0a ≤1a ≠-1x x a +>+(1)()0x x a ++>即或，1x <-x a >-此时函数的定义域为不关于原点对称，()(),1,a -∞-⋃-+∞所以此时函数为非奇非偶函数.20．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚1500内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留米宽1.5的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，如图所示.x（1）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；y x （2）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？x y【答案】（1），定义域为；（2）当温室的边长为30米时，总1500(3)(5)y x x =--{|3300}x x <<x 面积取最大值为1215平方米．y 【分析】（1）依题意得温室的另一边长为米．求出养殖池的总面积，然后1500x 1500(3)(5)y x x =--求解函数的定义域即可．（2），利用基本不等式求解函数的最值15004500(3)(5)1515(5)y x x x x =--=-+即可．【详解】（1）依题意得温室的另一边长为米．1500x 因此养殖池的总面积，1500(3)(5)y x x =--因为，，所以．30x ->150050x ->3300x <<所以定义域为．{|3300}x x <<（2）15004500(3)(5)1515(5)y x x x x =--=-+1515- ，151********=-=当且仅当，即时上式等号成立，45005x x =30x =当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．x y 【点睛】本题考查实际问题的解决方法，函数思想的应用，基本不等式求解函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．21．对于函数，如果对于定义域中任意给定的实数，存在非负实数，使得()y f x =D x a 恒成立，称函数具有性质．()()()+-≥f x f a x f a ()y f x =()P a(1)判别函数，和，是否具有性质，请说明理由；()3m x x =()0,2x ∈()n x x=x ∈R ()2P (2)函数，，若函数具有性质，求满足的条件；()2xg x =x ∈R ()y g x =()P aa (3)若函数的定义域为一切实数，的值域为，存在常数且具有性质，()h x ()h x [)2,+∞0a ()h x ()0P a 判别是否具有性质，请说明理由．()()lg =x h x ϕ()0P a 【答案】(1)，不具有性质；,具有性质()3m x x =()0,2x ∈(2)P ()n x x =x ∈R(2)P (2)02a ≤≤(3)具有性质，理由见解析()()lg =x h x ϕ()0P a【分析】（1）由性质的定义，结合作差法判断函数是否具有性质即可；()P a(2)P （2）根据已知条件有对任意恒成立，再根据基本不等式即可得参数范围；2220x a x a-+-≥x ∈R （3）由的性质可得，再根据对数函数的单调性及性()h x ()()()()()0000-≥-+≥>h x h a x h a x h x h a 质定义判断是否具有性质.()P a()()lg =x h x ϕ()0P a 【详解】（1），，()()()3322(2)28612m x m x m x x x x +--=+--=- ()0,2x ∈所以，则，故，不具有性质；26120x x -<()()(2)2m x m x m +-<()3m x x =()0,2x ∈(2)P ，()()222n x n x x x +-=+-≥ 恒成立，故,具有性质.()()()22n x n x n ∴+-≥()n x x =x ∈R(2)P （2）由，则对任意恒成立，()2xg x =()()()2220x a x a g x g a x g a -+--=+-≥x ∈R由基本不等式可得，当且仅当，即时取等22222x a x a a a -+-≥=22x a x-=2ax =号.故，即，解得，又为非负实数，故20a ≥2222a a -≥2a ≤a 02a ≤≤（3）因为具有性质，所以，()h x ()0P a ()()()00h x h a x h a +-≥因为函数的值域为，所以，[)2,+∞()()02,2h x h a x ≥-≥则，，()()()0012-≥-h x h a x h a x ()()()012-≥h x h a x h x ，()()()()00h x h a x h a x h x ∴-≥-+，()()()()()0000h x h a x h a x h x h a ∴-≥-+≥>()()()()00lg lg x a x h x h a x ϕϕ+-=+- ，()()()()[]()0000lg lg lg lg ()()lg h x h a x h x h a x h x h a x h a ∴+-=-≥+-≥所以，即具有性质.()()()00+-≥x a x a ϕϕϕ()()lg x h x τ=()0P a 【点睛】关键点点睛：第三问，注意应用性质、不等式性质得到、()0P a ()()()00h x h a x h a +-≥、，进而有()()()0012-≥-h x h a x h a x ()()()012-≥h x h a x h x ，结合对数函数的单调性判断结论.()()()()()0000-≥-+≥>h x h a x h a x h x h a。

上海市青浦高级中学2023届高三下学期5月质量检测数学试题

所以 cosA =
b2
+ c2 - a2 2bc
=
-3bc + 2bc 2bc
=
-
1 2
，
因为 0
<
A<p
，所以
A
=
2π 3
.
故答案为： 2π 3
6．80
答案第21 页，共22 页
【分析】根据题意，由各项系数之和可得 n ，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.
【详解】由题意，令 x = 1 ，则 3n = 243 ，解得 n = 5 ，
y = 6.5x +17.5 ，则表中 m 的值为________. x2 4 5 6 8 y 30 40 m 50 70 5．在 VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c ，若 a2 - b2 = 3bc,sinC = 2sinB ，则
A = ___________.
6．已知
æ çè
所以 A Ç B = {2} ，
故答案为：{2}
2． 2 【分析】在复数范围内解关于 x 的方程 x2 - 2x + 2 = 0 ，结合复数模的计算公式，即得答案.
【详解】在复数范围内解关于 x 的方程 x2 - 2x + 2 = 0 ，
可得
z1
=
2
+ 2i 2
=1+
i,z2
=
2
- 2i 2
=
1-
i
直平分线分别交直线 BH 和直线 AH 于点 P 和点 Q，分别过点 P 和 Q 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M 和 N，求证：线段 MN 的长为定值.
试卷第51 页，共33 页
21．已知函数 f (x) = ln x +1 ． x

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上海市2016青浦高级中学TI 数理实验班选拔测试数学试卷
（满分100分考试时间90分钟）
一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分）
1、若不等式组11
2x x a -≤≤⎧⎨
<⎩
有解，那么a 必须满足
2、在实数范围内分解因式：233
+-x x = ．
3、2
13a a +=，2
13b b +=，且a b ≠，则代数式
2
211
a b
+的值为． 4、函数321+++++=x x x y ，当x = 时，y 有最小值，最小值等
于．
5、某百货商店的一种商品营业额，即商品的售价乘以该商品的销售量，商品在促销月定的
售价比上个月下降10%，该月销售量较上月增长60%，则促销月的营业额比上月的营业额上升 %．
6、一个正方体的表面展开图如图1所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上
所写的两个整数之和都相等，那么a = ，b = ．
7、如图2矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的
坐标为B （20
,53
-），D 是AB 边上的一点.将△ADO 沿直线OD 翻折，
使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是．
8、面积等于30平方厘米的长方形ABCD 内，如图3所示放置有四个面积相等的圆和一个
正方形（正方形的边长等于圆的直径），则中间正方形的面积是平方厘米．
A
B
C
E F
O
（图4） A B C D
（图1）
（图2）
（图3）
9、边长为整数，周长为20的三角形个数是个． 10、某种规律排列一组数： ,5
4
,53,52,51,43,42,41,32,31,21,1，那么第50个数是．
11、如图4，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中
心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于_____________．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
（每题列出的四个答案中，只有一个是正确的，把正确答案的代号填入括号内） 12、如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相
交于点M 、N . 则线段BM 、DN 的大小关系是 ( )．（A ） DN BM > （B ） DN BM <
（C ） DN BM =
（D ）无法确定
13．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O 之间的
距离．现有一矩形ABCD 如图，AB =14cm ，BC =12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 的距离为（）
（A ）4cm
（B ）8cm
（C ）10cm
（D ）12cm
14．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计
表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.
下列说法中正确的是
( )
A
（第13题）
G
第12题图
（A ）这组数据的中位数是40，众数是39 （B ）这组数据的中位数与众数一定相等
（C ）这组数据的平均数P 满足39＜P ＜40 （D ）以上说法都不对
15.当x 分别取值
20081，20071，20061，…，2
1
，1，2，…，2006
，2007，2008时，计算代数式2
2
11x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于（）
（A ）－1.
（B ）0
（C ）1
（D ）2008.
三、解答题（本大题共4小题，满分44分）
16、（8分）、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30的斜坡
前进400米到D 处（即米400,30=︒=∠CD DCB ），测得A 的仰角为
︒60，求山的高度AB 。

17、（10分）、已知等边三角形ABC ，以边BC 为直径的半圆与边AB 、AC 分别交于点D 、点E .过点D 作AC DF ⊥，垂足为点F .
（1）求证:DB AD =
（2）过点F 作BC FH ⊥，垂足为点H ，若等边三角形ABC 的边长为4，求FH 的长（结果保留根号）
18、（12分）. 在等腰梯形ABCD 中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E 点F 在腰AB 上. （1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的面积；（2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分若存在，
求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由.
F
E
D
C
B
A
19、（14分）在平面直角坐标系中，二次函数)0(2
>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，
与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝
3
1
．（1）求这个二次函数的表达式．
（2）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，
求该圆半径的长度．
（3）若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点
P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大求出此时P。