高中数学复习指导：一道全国卷压轴题三种解法

一道一道全国卷压轴题三种解法全国卷压轴题三种解法全国卷压轴题三种解法
原题 设函数()1x f x e −=−．
（1）证明：当1x >−时，()1x
f x x +≥．
（2）设当0x ≥时，()1x
f x ax +≤，求a 的取值范围．
解 （１）证明：当1x >−时，()1x
f x x +≥ 即11x x
e x −−+≥，即10x e x −−≥，
令()1x g x e x =−−，则()1x g x e ′=−．
当0x ≥时，()0g x ′≥，()g x 为增函数，
当0x ≤时，()0g x ′≤，()g x 为减函数，
∴当x R ∈时，()(0)0g x g =≥，
即10x e x −−≥，所以当1x >−时，()1x
f x x +≥．
(2) ()f x ∵是增函数，
∴当0x ≥时，()(0)0f x f =≥．
当0a <时，若1
x a >−，则01x
ax <+，
()1x
f x ax +≤不成立．
对于0a ≥时，有下面的三种解法：
解法解法１１ 放缩法放缩法
当0a ≥时，()1x
f x ax +≤
即0()()axf x f x x +−≤，
令()()()h x axf x f x x =+−，
则()()()()1h x af x axf x f x ′′′=++−，
注意到，()1()x f x e f x −′==−，
则()()(1())1()1h x af x ax f x f x ′=+−+−−，
()()()af x axf x ax f x =−+−，
又由（１）知，(1)()x x f x +≤，
∴()h x ′()()(1)()()af x axf x a x f x f x −++−≤
(21)()a f x =−，
∴当12
a 0≤≤
时，0()h x ′≤， ∴()h x 在[0,)+∞上是减函数， ∴()(0)0h x h =≤，即()1
x f x ax +≤
． 仍由（１）知，当x R ∈时，10x e x −−≥， ∴10x e x −+−≥，1,x x e −−≥即()x f x ≥，
∴()()()()()h x af x axf x af x f x ′−+−≥
(21)()ax a f x =−+−，
∴当12a >时，若210a x a
−<<时，()0h x ′>， ∴()(0)0h x h >=，即()1
x f x ax >+， ∴12
a >不合题意． 综上，a 的取值范围是1[0,]2
． 说明 使用放缩法，要把握放缩的尺度，要恰到好处，要求有较高的技巧．本解法中，需要巧妙利用()(1)()f x x x f x +≤≤进行放缩，达到了目的． 解法2 连续求连续求导法导法
当0a ≥时，令()()1
x g x f x ax =−+ 11
x x e ax −=−−+，(0)0g =，则 22211(1)()(1)(1)
x
x x ax e g x e ax e ax +−′=−=++,(0)0g ′=， 令2()(1)x h x ax e =+−，(0)0h =，
则2()22x h x a x a e ′=+−，(0)21h a ′=−，
2()2x h x a e ′′=−， 当12
a 0≤≤时， 21()202x x h x a e e ′′=−−<≤
， ∴()h x ′在[0,)+∞上是减函数，∴()(0)210h x h a ′′=−≤≤，
∴()h x 在[0,)+∞上是减函数，
∴()(0)0h x h =≤，即0()g x ′≤，
∴()g x 在[0,)+∞上是减函数，()(0)0g x =≤g ，即()1x f x ax +≤
． 当12
a >时，则当0ln 2x a <<时，有2x a e >， ∴ 22()2220x x x h x a x a e a x e e ′=+−>+−>，
∴()h x 在(0,ln 2)a 上是增函数，∴()(0)210h x h a >=−>，
即()0g x ′>，∴()g x 在(0,ln 2)a 上是增函数，∴()(0)0g x >=g ， 即()1x f x ax >+．∴12
a >不合题意． 综上，a 的取值范围是1[0,]2
． 说明 使用连续求导法，不能盲目连续求导，为了减小计算量，导数中能够判断符号的因式一般不要参与下一次求导．
解法解法３３ 利用罗比达法则利用罗比达法则（（高等解法高等解法））
0a ≥时，()1x f x ax +≤即011
x x e ax −−−+≤， 即(1)(1)x ax e x −+−≤，
当0x =时，()1
x f x ax +≤
显然成立． 当0x >时，1111)11x x x a x e e x
−−−=−−−≤(， 令11()1x h x e x −=−−， 则221()(1)x x e h x e x −−′=−+−22
22
(1)(1)x x x x e e x e −−−−+−=−， 令22()(1)x x u x x e e −−=−+−，
则2()22(1)x x x x u x xe x e e e −−−−′=−++−
2(222)x x e x x e −−=−+−，
令2()222x v x x x e −=−+−，
则()2222(1)x x v x x e e x −−′=−+=+−，
由（1）知，当0x ≠时，10x e x −−>，∴10x e x −+−>，
∴()v x ′>0，∴()(0)0v x v >=，
∴0()u x ′>，∴()(0)0u x u >=，
∴()0h x ′>， ∴11()1x h x e x
−=
−−在∞(0,+)上是增函数． 由罗比达法则，0011lim ()lim(1x x x h x e x −→→=−− 0011lim lim (1)(1)x x x x x
x x e x e x e e xe −−−−−→→+−−+==−−+ 01lim 2
x x x x x e e e xe −−−−→==+−， ∴1()2
h x >， ∴12
a 0≤≤． 综上，a 的取值范围是1[0,]2
． 说明 解法３一开始用的是常见的分离参数法，但是分离后的新函数11()1x h x e x
−=−−的单调性较难判断，只好使用连续求导法，更让高中学生感到困惑的是，证明了单调递增之后，极限0
lim ()x h x →很难求解，需要利用罗比达法则，这个知识点在大学里才能学到，有兴趣的同学查找资料了解可以了解这个法则．。