7-1点估计
贾俊平《统计学》(第7版)考点归纳和课后习题详解(含考研真题)(第7章 参数估计)【圣才出品】
第7章参数估计7.1 考点归纳【知识框架】【考点提示】（1）置信区间的含义理解（选择题、简答题考点）；（2）估计量的三个评价标准（判断题、填空题、简答题考点）；（3）区间估计的步骤（简答题考点）、总体参数的区间估计选择恰当的统计量（计算题考点）；（4）必要样本容量的影响因素、计算（简答题、计算题考点）。
【核心考点】考点一：参数估计的基本原理1．置信区间（1）置信水平为95%的置信区间的含义：用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值。
（2）置信度愈高（即估计的可靠性愈高），则置信区间相应也愈宽（即估计准确性愈低）。
（3）置信区间的特点：置信区间受样本影响，具有随机性，总体参数的真值是固定的。
一个特定的置信区间“总是包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题。
2．评价估计量的标准（1）无偏性：估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数，即E（θ∧）＝θ。
（2）有效性：估计量的方差尽可能小。
（3）一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计总体的参数。
【提示】本考点常见考查方式：①直接考查置信水平为95%的置信区间的含义；②置信度、估计可靠性、置信区间的关系及应用；③置信区间的特点；④给出估计量的具体含义，判断体现了什么标准；⑤直接回答估计量的三个评价标准及具体含义（简答题）。
考点二：一个总体参数的区间估计表7-1 一个总体参数的区间估计【总结】一个总体参数的估计及所使用的分布见图7-1：图7-1 一个总体参数的估计及所使用的分布【真题精选】设总体X～N（μ，σ2），σ2已知，样本容量和置信水平固定，对不同的样本观测值，μ的置信区间的长度（）。
[对外经济贸易大学2018研]A．变长B ．变短C ．保持不变D ．不能确定 【答案】C【解析】在正态总体方差已知的条件下，μ的置信区间为/2x z ±ασ所以置信区间长度为/22Z α，当样本容量和置信水平固定时，置信区间长度保持不变。
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
§7-1 已知方差的均值区间估计
一、复习引入 1．点估计 2．假设检验的方法和程序
§7—1 已知方差的均值区间估计
二、已知方差估计均值的基本思想方法 引例： 引例： 从长期的生产实践知道，某厂生产的灯泡的 使用寿命 ， 现从该厂生产的一批灯泡中随机抽取5只，测得使用寿 命如下： 试对这批灯泡的平均使用寿命作区间估计。 样本均值的观测值 这就是对总体均值的点估计 但只是的近似值，的真值是未知的。 我们希望给出一个区间，使得这个区间能够按足够大 的概率（比如）包含总体均值。
§7—1 已知方差的均值区间估计
（1）构造统计量，并确定其分布： （2）对给定的概率，查正态分布表知 其中=是根据需要选定的，是在选定后查正态 = 分布表所得到的。一般不能过大。 （3）因为，从而 解出 得：这就是说： 值包含在区间内的概率为 （4）当作一次具体的抽样，得到一组样本值 后，以代入上式，得到区间 ，可以认为总体均 值在该区间了。
§7—1 已知方差的均值区间估计
三、置信水平、临界值和置信区间 置信水平、 从引例可知，区间表达了估计的精确度，概率表达了估计的可靠 程度。 称区间为的置信区间。 置信区间。 置信区间 称概率为为的置信水平 置信水平（或叫置信度）。 置信水平 由所确定的称为置信水平为时的临界值 临界值。 临界值 置信水平通常用表示，不一定选取。通常选取=、、。对于不同 的置信水平，可确定不同的临界值，从而得到不同的置信区间。 注意： 注意： 总体均值虽然未知，但它是一个常量。由于样本是随机抽取的， 观测值不同，置信区间也不同，所以置信区间也是随机的，它以 很大的概率（）包含了总体均值。 置信区间的长度越小，估计越精确；置信水平越大，估计越可 靠。我们希望：估计的范围要小，而可靠性要大。但对固定样本 容量来说，这是办不到的。如果不降低可靠性，而缩小估计范围， 那么就只有增大样本容量。
第七章 参数估计
第七章 参数估计
1、正态总体、方差已知或非正态总体，大样本 当总体服从正态分布且方差已知时，或者总体不是正态分布但是大样本时，样本 均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值u，方差为Ϭ2/n。而样本均 值经过标准化以后的随机变量则服从标准正态分布，即 Z=(x-u)/(Ϭ/n0.5)~N(0,1) 根据上式和正态分布的性质可以得出总体均值u在1-α置信水平下的置信区间为： xα+是(-)事Z(α先/2)所(Ϭ确/n定0.5的)。而其一中个，概x率+Z值(α/2，) (Ϭ也/n称0.为5)为风置险信值上，限是，总x体-Z均(α/2值) (Ϭ不/包n0.含5)为在置置信信下区限间，的 概是率估；计1总- 体α称均为值置时信的水估平计，误Z差(α/。2) 是标准正态分布右侧面积为α/2的z值；Z(α/2) (Ϭ/n0.5) 也即是说，总体均值的置信区间由两个部分构成：点估计值和描述估计量精度的 +(-)值，这个+(-)值称为估计误差。
第七章 参数估计
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
其中，区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。
由于统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名 为置信区间。原因是：如果抽取了许多不同的样本，比如说抽取100个样本，根据 每一个样本构造了一个置信区间，这样，由100个样本构造的总体参数的100个置 信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%则没有包含，则95%这个值 称为置信水平。一般，如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总 体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称为置信度或置信系数。
自然使用估计效果最好的那种估计量。什么样的估计量才算一个好的估计量呢？ 统计学家给出了评价估计量的一些标准，主要包括以下几个：
《概率论与数理统计》7
未知参数 , ,, 的函数.分别令
12
k
L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
或令
i
ln L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
i
由此方程组可解得参数 i 的极大似然估计值 ˆi.
例5 设X~b(1,p), X1, X2 , …,Xn是来自X的一个样本,
求参数 p 的最大似然估计量.
解 E( X ) ，E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由矩估计法,
【注】
X
1
n
n i 1
X
2 i
2
2
ˆ X ,
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．
➢常见分布的参数矩估计量
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
7-1
第七章
参数估计
统计 推断
的 基本 问题
7-2
参数估 计问题
(第七章）
点估计 区间估 计
假设检 验问题 (第八章）
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.
例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
k = k(A1, A2 , …, A k)
用i 作为i的估计量------矩估计量.
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，
X1, X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．
解 E(X ) a b , D(X ) (b a)2
07心理统计学-第七章 参数估计
犯错误的概率，常用α（或p）表示。则1-α为置信 度。（显著性水平越高表示的是α值越小，即犯错误的可
能性越低） α为预先设定的临界点，常用的如.05、.01、.001；p 为检验计算所得的实际（犯错误）概率。
第一节 点估计、区间估计与标准误
三、区间估计与标准误
3、区间估计的原理与标准误
转换成比率为
p
n
p, SE p
n
pq n
同理可得公式7-17。自习[例7-12、例7-13]
1、从某地区抽样调查400人，得到每月人均文化消费为 160元。已知该地区文化消费的总体标准差为40元。试 问该地区的每月人均文化消费额。（α=.05，总体呈正态
分布）
2、上题中总体方差未知，已知Sn-1=44元。 3、已知某中学一次数学考试成绩的分布为正态分布，总 体标准差为5。从总体中随机抽取16名学生，计算得平 均数为81、标准差为Sn=6。试问该次考试中全体考生成 绩平均数的95%置信区间。 4、上题中总体方差未知，样本容量改为17人。 5、假定智商服从正态分布。随机抽取10名我班学生测 得智商分别为98、102、105、105、109、111、117、 123、124、126（可计算得M=112，Sn≈9.4），试以95% 的置信区间估计我班全体的智商平均数。 返回
值表，求tα /2（df）。
5、计算置信区间CI。
σ2已知，区间为M-Zα /2 SE <μ< M+Zα /2 SE；
σ2未知，区间为M-tα /2(df)SE <μ< M+tα /2(df)SE。
6、对置信区间进行解释。
二、σ2已知，对μ的区间估计（Z分布，例7-1 & 2） 三、σ2未知，对μ的区间估计（t分布，例7-3 & 4）
7第7章--参数估计(点估计与区间估计)---复习思想
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数 据计算得：x39.5，s7.77 总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2
s 39.51.6457.77
n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
2021/2/4
相应的 为0.01，0.05，0.10
2021/2/4
19
置信区间
(confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
7第7章--参数估计(点估计与区间估计)--复习思想
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 两个总体参数的区间估计方法 6. 样本容量的确定方法
2021/2/4
2
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
3. 2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与 总体参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
置信区间
样本统计量 (点估计)
2021/2/4
置信下限
置信上限
16
举例：总体均值的区间估计
(方差已知或大样本)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
概率论与数理统计 71 点估计与最大似然估计 优质课件
10
解方程组即得
1 = 1 ( X1 , X2 ,
k = k ( X1 , X2 ,
, Xn), , Xn),
这就是1 ,2 , ,k 的矩估计量 .
11
例1： 设总体 X 在[a , b]上服从均匀分布, a , b 未知 . X1 , X2 , … , Xn 是来自 X 的样本, 求a , b的矩估计量.
5
一、点估计的概念:
1、定义7.1:
设总体 X 的分布函数为 F( x , θ ), 其中θ 为 未知参数 . 从总体 X 中抽取样本 X1 , X2 ,
… , Xn , 其观测值为 x1 , x2 , … , xn .
构造一个统计量 ( X1 , X2 , , Xn ), 用它的 观测值 ( x1 , x2 , , xn ) 来估计参数 , 称
设总体分布已知, 但含有k个未知数1,2 , ,k ,
若总体 X 的前 k 阶矩均存在 , 则可令
E( X rX
r i
,r =1,2,
,k ,
再利用总体 X 分布已知, 具体求出 E( X r ),
当然它是未知参数 1 ,2 , ,k 的函数, 这样
就得到含 k 个未知数和 k 个方程的方程组 ,
1 n
n i 1
Xi =A1称为一阶样本原点矩，
4
，1 n
n i 1
Xik =Ak称为k阶样本原点矩，
样本k阶中心矩：
Sn2 =
1 n
n
(Xi -X )2=B2称为样本二阶中心矩，
i 1
Snk =
1 n
n i 1
(Xi -X )k =
Bk 称为样本k阶中心矩，
数理统计 第七章-参数估计
休息
结束
2. 最大似然法
是在总体类型已知条件下使用的一 种参数估计方法 。 它首先是由德国数学家高斯在1821 年提出的 ,费歇在1922年重新发现了这 一方法，并首先研究了这 种方法的一些 性质 。
休息 结束
最大似然法的基本思想：
已发生的事件具有最大概率。
休息
结束
先看一个简单例子： 在军训时，某位同学与一位教官同 时射击，而在靶纸上只留下一个弹孔。 如果要你推测，是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
max f ( xi , )
i 1
n
休息
结束
X 假设X 为连续型总体： f ( x; )
( X 1 , , X n ) 为子样
( x1 , , xn ) 为子样观察值。
已发生的事件为：
x x ,X {{X 11 1x, X 1 nx1 ,n } , xn x X n xn } x
休息
结束
ˆ
1 n ( X i X )2 n i 1
1 n ˆ X ( X i X )2 n i 1
休息
结束
矩法的优点是简单易行,并不需要 事先知道总体是什么分布 。 缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 。
( 1 )x , 0 x 1 f( x) 0, 其它
1
其中 1 是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计. 解:
1 E( X ) x( 1 )x dx
0
( 1 )
从 中解得
1
0
x
1
概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第7章 参数估计教程
估计 θ ,故称这种估计为点估计.
5 6
,σ 2未知,
… 随机抽查100个婴儿 得100个体重数据 10,7,6,6.5,5,5.2, …
而全部信息就由这100个数组成. 据此,我们应如何估计 和 σ 呢?
我们知道,服从正态分布N ( , σ 2 )的r.v. X , E ( X ) = , 由大数定律, 样本体重的平均值 1 → ∑ X i P n i =1 自然想到把样本体重的平均值作为总体平均 体重的一个估计. X= 用样本体重的均值 X估计 , 类似地,用样本体重的方差 S 2估计 σ 2 . 1 n 1 n 2 X = ∑ Xi, S = ∑ ( X i X )2 n 1 i =1 n i =1
(一)矩估计法
基本思想:用样本矩估计总体矩
(二)最大似然估计法
基本思想:
15
16
最大似然估计法 (最大似然法)
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , 然而,这个方法常归功于 英国统计学家费希尔(Fisher) . 费希尔在1922年重新发现了 这一方法,并首先研究了这 种 方法的一些性质 . Fisher
1. 矩估计法 2. 最大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 ……
(一) 矩估计法(简称"矩法")
它是基于一种简单的"替换"思想 建立起来的一种估计方法 . 英国统计学家 K. 皮尔逊 最早提出的 . 基本思想: 用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 大数定律
Ak = 1 n k P ∑ X i → k = E ( X k ) n i =1
4
在参数估计问题中,假定总体分布 形式已知,未知的仅仅是一个或几个 参数.
概率与数理统计第7章参数估计习题与答案
第7章参数估计----点估计一、填空题1、设总体X服从二项分布B(N,p)，0P1，X1,X2X n是其一个样本，那么矩估计量p?XN.2、设总体X~B(1,p)，其中未知参数0p1,X1,X2,X n是X的样本，则p的矩估计为_ 1n in1X i _，样本的似然函数为_in1X i(1p)1Xp__。
i3、设X1,X2,,X n是来自总体X~N(,2)的样本，则有关于及2的似然函数2L(X,X,X n;,)_12 in112e12(X) i22__。
二、计算题1、设总体X具有分布密度f(x;)(1)x,0x1，其中1是未知参数，X1,X2,X为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计.n解：因E(X ) 1x1a()α1(α1)xdx1x dxαα112a2|xααα12令E(X)X?α?α122X1α?为的矩估计1Xn因似然函数L(x1,x2,x;)(1)(x1x2x)nnnlnLnln(α1)lnX，由αii1 l nLαnα 1inlnX0得，i1n ?的极大似量估计量为(1)αnln Xii12、设总体X服从指数分布f(x)xe,x00,其他，X1,X2,X n是来自X的样本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.56解：（1）由于1 E(X)，令11 X X，故的矩估计为? 1 X（2）似然函数nL(x,x,,x )e12ni nx i 1nlnLnlnxii1 ndlnLnnx0 indi1x ii1故的极大似然估计仍为1 X 。
3、设总体 2 X~N0,， X 1,X 2,,X n 为取自X 的一组简单随机样本，求 2 的极大似然估计；[解](1)似然函数n1 Le i122 x i 2 22n 22en 2x i 2 i 12于是n2nnx2i lnLln2ln2222i1 dlnLn1d224 22n i1 2x i，令 d lnL 2d 2 0，得的极大似然估计：n 122X ini1. 4、设总体X 服从泊松分布P(),X 1,X 2,,X n 为取自X 的一组简单随机样本,（1）求 未知参数估计；（2）求大似然估计. 解：（1）令E(X )X?X ，此为估计。
概率与数理统计第7章参数估计习题及答案
第7章参数估计 ----点估计一、填空题1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10P ，n X X X 21,是其一个样本，那么矩估计量pX N.2、设总体)p ,1(B ~X ，其中未知参数01p, X X X n 12,,是X 的样本，则p 的矩估计为_n1i iX n1_，样本的似然函数为_iiX 1n1i X )p 1(p __。
3、设12,,,n X X X 是来自总体),(N ~X 2的样本，则有关于及2的似然函数212(,,;,)n L X X X _2i2)X (21n1i e21__。
二、计算题1、设总体X 具有分布密度(;)(1),01f x x x ，其中1是未知参数，n X X X ,,21为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计.解：因10101α1α1αdxxdxx x X E a)()()(2α1α2α1α12|a x令2α1α)(XX E XX112α为的矩估计因似然函数1212(,,;)(1)()nn n L x x x x x x ni i X n L 1α1αln )ln(ln ，由ni iX n L 101ααln ln 得，的极大似量估计量为)ln (ni iX n11α2、设总体X 服从指数分布,0()0,xe xf x 其他，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）由于1()E X ，令11XX，故的矩估计为1X（2）似然函数112(,,,)nii x nn L x x x e111ln lnln 0nii nini ii L n x d Lnnx dx 故的极大似然估计仍为1X。
3、设总体2~0,X N ，12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本，求2的极大似然估计；[解] (1)似然函数222112i x ni Le2212222ni i x ne于是2221ln ln 2ln222ni i x n n L22241ln 122n ii d L n x d，令2ln 0d L d，得2的极大似然估计：2211nii X n.4、设总体X 服从泊松分布()P , 12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本, （1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）令()E X XX ，此为的矩估计。
7.1 点估计7.2 估计量的评选标准
样本矩
mk= E(Xk) ck= E[X-E(X)]k
显然
mk
= =
ck
1 n k Ak X i n i 1 1 n Bk ( X i X )k n i 1
m1 A1 X ,
通常取
首页
c2 S
2
n 1 2 S c2 B2 n
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第9页 第1 7 章设总体X ~ N ( § 7.1-7.2 例 ． ， 2 )，试求， 2的矩估计量。
的点
2(n)
为2(n)的上
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(n)
分位点.
0
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(n)
2
2 (n)
x
首页
第7章
§7.1-7.2
第3页
正态总体下的抽样定理
若 X~N（μ，σ2）， 则 X 与 S2 相互独立。
X ~ N ( ,
2Hale Waihona Puke n)(n 1) S 2 2 ~ (n 1) 2
t (3)
Y1 ~ N ( , ),Y2 ~ N ( , ),Y1 Y2 ~ N (0, ) 6 3 2 4 2 2 4 2 2 X i Y2 ~ N (0, ), 2 S / ~ (3) 首页 上页 返回 结束 3 3 下页
第7章
§7.1-7.2
第5页
第7章
1 2 n
参数的点估计(方法)：指用样本统计量的值估计未知 参数的值。 本节介绍 ：1）矩估计法；2）极大似然估计法。
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第7章
§7.1-7.2
第8页
7-1矩估计
2
12
故有
ab 2
(b a)2 12
X
S＊n 2
即
a b
b a
2 2
X 3S＊n
解出得 : a X
3S＊n ,
b
X
3S＊n
3/3/2020
(4) X ~ B(n, p), E(X ) np, D(X ) np(1 p)
2X
1
0.3079
3/3/2020
1 X
例 设总体X的概率密度为
f (x, )
1
x
e
2
试求 的矩估计量 .
x , 0
法一 :虽然f (x; )中仅含一个未矩参数,但因
E(X )
x
1
x
e dx 0
2
不含 ,不能由此解出,故需继续求出总体二阶原点矩 :
广义来讲,总体参数可指总体或理论分布的数字特征, 其中包括狭义总体参数, 例如, 总体的原点矩,中心矩协方差, 相关系数, 偏度峰度以及事件的概率，或总体具有某种特征 A的个体的比率等等.
3/3/2020
2 参数的点估计
定义1.2 设X1, X 2,..., X n是来自总体X的样本,为总体分布F(x; )
dx
2 @X
2
2
所以ˆ 3/3/2020
矩
2X
x 1 (3 4 3 5 4 2 2 3) 8
所以ˆ矩
2x
方法二
EX 2
x2 f (x)dx
点估计怎么算例题
点估计怎么算例题一、点估计的概念点估计就是用样本统计量来估计总体参数。
例如，用样本均值¯x估计总体均值μ，用样本方差s^2估计总体方差σ^2等。
二、例题及解析1. 例题1：- 已知总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，从总体中抽取一个容量为n = 10的样本，样本值为x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4,x_5=5,x_6=6,x_7=7,x_8=8,x_9=9,x_10=10。
求总体均值μ的点估计值。
- 解析：- 对于总体均值μ的点估计，我们通常使用样本均值¯x来估计。
- 样本均值¯x=(1)/(n)∑_i = 1^nx_i。
- 这里n = 10，∑_i=1^10x_i=1 + 2+3+4+5+6+7+8+9 + 10=((1 +10)×10)/(2)=55（利用等差数列求和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，其中n = 10，a_1=1，a_n = 10）。
- 所以¯x=(1)/(10)×55 = 5.5，则总体均值μ的点估计值为¯x=5.5。
2. 例题2：- 设总体X的概率密度函数为f(x)=<=f t{begin{array}{ll}θ x^θ - 1,0< x<10,text{其他}end{array}right.，其中θ>0为未知参数，X_1,X_2,·s,X_n是来自总体X的一个样本，求θ的矩估计（一种点估计方法）。
- 解析：- 首先求总体的一阶矩（期望）E(X)。
- 根据期望的定义：E(X)=∫_-∞^∞xf(x)dx=∫_0^1x·θ x^θ -1dx=θ∫_0^1x^θdx=(θ)/(θ + 1)。
- 设样本均值为¯X=(1)/(n)∑_i = 1^nX_i。
- 由矩估计的思想，令E(X)=¯X，即(θ)/(θ + 1)=¯X。
7-3点估计的优劣标准
数理统计
设总体X的均值 例1 设总体 的均值
未知, 未知,
X 1 ,… , X n是取自
n 1 n 的样本, 于X的样本,则统计量 X = ∑ X i , Y = ∑ ai X i , X 1 的样本 n i =1 i =1 n 的无偏估计量, 为常数, 均为 的无偏估计量,其中 a1,…, an为常数,且 ∑ ai = 1
未知, 未知,
( X 1 ,… , X n )为来自 的样本,则 X 是 为来自X的样本 的样本,
的优效估计量. 的优效估计量.
数理统计
估计量的无偏性,有效性是在样本容量 一定的 估计量的无偏性,有效性是在样本容量n一定的 条件下来考虑的,实践证明,样本容量 越大越能精 条件下来考虑的,实践证明,样本容量n越大越能精 确地估计未知参数,因此自然想到,随着样本容量 确地估计未知参数,因此自然想到,随着样本容量n 的无限增大, 的无限增大,一个好的估计量与被估计的参数任意接 近的可能性会越大.由此得出一致性的概念. 近的可能性会越大.由此得出一致性的概念.
这就产生无偏性这个标准是未知参数的估计量若数理统计例如用样本均值作为总体均值的估计时虽无法说明一次估计所产生的偏差但这种偏差随机地在0的周围波动对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差设总体x的均值未知是取自于x的样本则统计量均为的无偏估计量其中为常数且数理统计所以无偏估计以方差小者为好这就引进了有效性这一概念都是参数的无偏估计量我们可以比较数理统计二有效性都是参数的无偏估计量若对任意且至少对于某个上式中的不等号成立设总体x的均值未知是取自于x的样本则统计量作为的估计量更有效当总体的概率密度函数关于参数且微分和积分次序可以交换时有以下罗克拉默不等式
数理统计
常用的几条标准是: 常用的几条标准是:
点估计方法
1
得到
( x1 x2 xn ) n 0
ˆ 1 (x x x ) x 1 2 n n
ˆ 1 ( X X X ) X 1 2 n n
从而极大似然估计为
当总体是连续型总体时,我们定义似然函数为 L( x1 , x2 ,, xn ; ) f ( x1 , x2 ,, xn ; )
P{ X 1 500, X 2 300, , X 5 700}
e
500
300! 500 700 5 e 500! 700!
500!
e
300
e
700
700!
是参数 的函数，由小概率原理，这个概率不 会太小，应尽可能大，即求这个概率的最大 值．利用求导可得到当 500 时，这个 概率达到最大．因此，我们有理由认为参数 为500.这就是极大似然估计．
n
xi
xi !
e
1 x1 x2 xn n e x1 ! x2 ! xn !
对数似然函数为
l ( x1 , x2 ,, xn ; ) ( x1 x2 xn ) ln( ) n ln( x1 ! x2 ! xn !)
这两个函数的极值点相同，对对数似然函数求 导，并令其为０，得
解得：
2
a X 3B2 ˆ ˆ b X 3B2
• 我们计算得到
x 2.8, b2 0.56
这样得到a,b的估计值是
ˆ a 1.5 ˆ b 4.1
• 例 设总体Ｘ的分布密度为
1 | x| f ( x; ) exp( ) 2
点 估 计
ˆ
X
，ˆ 2
A2
ˆ 2
A2
x2
8 9
S2
.
所以，该班数学成绩的平均分数的矩估计值 ˆ x 75 ，
标准差的矩估计值 ˆ 8 s2 12.14 。
9
作矩法估计时无需知道总体的概率分布，只要知道总体矩
即可。但矩法估计量有时不唯一，如总体 X 服从参数为 λ 的泊
松分布时，X 和 B2 都是参数 λ 的矩法估计。
P{X k} C3k Pk (1 p)3k ，k = 0 , 1 , 2 , 3.
问题是 p =1/4 还是 p =3/4 ? 现根据样本中黑球数，对未知参 数 p 进行估计。抽样后，共有4种可能结果，其概率如表7-1所示。
7-1
假如某次抽样中，只出现一个黑球，即 X =1，p =1/4时，P {X =1}=27/64；p =3/4时，P {X =1}= 9/64，这时我们就会选择 p =1/4，即黑球数比白球数为1∶3。因为在一次试验中，事件“1 个黑球”发生了。我们认为它应有较大的概率27/64(27/64>9/64)， 而27/64对应着参数 p =1/4(即取使概率 P {X=1}达到最大的P =1/4 作为对 P 的估计)，同样可以考虑 X=0, 2, 3 的情形，最后可得
一、矩法
矩法估计的一般原则是：用样本矩作为总体矩的估计，若不 够良好，再作适当调整。矩法的一般作法：设总体 X ~ F( x ; θ1 , θ2 ,…, θl ) 其中 θ1 , θ2 ,…, θl 为未知参数。
( 1 )如果总体 X 的 k 阶矩 k E(X k ) (1 k 1) 均存在，则
试验中事件 A 发生的频率。由此可见频率是概率的矩估计。
例7.2
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例1．设总体X~N( , 2 )，试求 , 2的矩估计量.
解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本，
依题意知 E(X)= , D(X)= 2， 据矩估计法有
a1 b2
A1 B2
,
即
X 2 B2
,
解得 , 2 的矩估计量分别为
ˆ X , ˆ 2 B2
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理论根据：大数定律或格利文科定理
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总体矩 总体矩的估计值 样本矩
ak= E(Xk)
aµ
k
bk= E[X-E(X)]k
bµk
显然 aµ1 A1 X ,
通常取：
=
A k
1 n
n i 1
X
k i
=
Bk
1 n
n i1
(Xi
X )k
bµ2
B2
n 1s2 n
bµ2 s2
《概率统计》
qˆ1 X 3B2 , qˆ2 X 3B2 .
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例3．设总体X服从参数为θ的泊松分布，即
P {X k} q k eq
k! 试求θ的矩估计量.
(k=0,1,2…；0＜θ＜+∞)
解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本，
依题意知 E(X)=q , 根据矩估计法有 qˆ X .
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例2．设总体X~U[q1 , q2] ，试求q1 , q2的矩估计量.
解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本，
依题意知
E(
X
)
1 2
(q1
q2
),
D(
X
)
1 12
(q2
-q1
)
2
,
据矩估计法有
ba21
A1 B2
,
即
1 2
(q1
q2 )
X
1
12
(q2
q1)2
B2
,
解得q1 , q2的矩估计量为
同样，又由于 D(X)=q ，
故可得q 的另一个矩估计量为 qˆ B2
由此可见一个参数的矩估计量是不唯一的.
[问题]：选哪一个作为估计量更好呢？
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二、 极大似然估计法
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 ,
然而，这个方法常归功于
英国统计学家费歇 .
费歇在1922年重新发现了 这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质 .
用样本体重的均值 X估计,
类似地，用样本体重的方差 S2估计 2
X
1 n
n i 1
Xi,
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
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.
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一、 矩估计法
它是基于一种简单的“替换”思 想建立起来的一种估计方法 .
英国统计学家K.皮尔逊最早提出 .
矩估计法：是用样本矩估计相应的总体矩， 用样本矩的函数估计总体矩的同一函数的 一种估计方法。
据此,我们应如何估计 和 呢?
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问题是: 使用什么样的统计量去估计 ？
我们知道,服从正态分布 N (, 2 )的r.vX ,
E( X ) ,由大数定律, 样本体重的平均值
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
|
}1
自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的
一个估计.
○、基本概念
估计量：设q为总体X的未知参数，用样本(X1,X2,…,Xn)构
成的一个统计量 qˆ qˆ( X1, X 2 , , X n )来估计q的真值，称 qˆ 为 q
的估计量. 估计值：对应于样本的一组观测值(x1,x2,…,xn),估计量的
值 qˆ(x1,x2,…,xn)称为q的估计值，仍记作 qˆ .
X 1/ 8 (3 1 3 0 3 1 2 3) 2 令E(X)= X 即：3 - 4θ=2, 解得θ的矩估计值为
q$ 1
4
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引例2（02数学1）设总体的概率分布为：
Ｘ
０
１
２
３
P
θ２
2θ（１－θ） θ２
１－２θ
其中θ（0<θ<1/2）是未知参数，利用总体Ｘ的如下样本值 3 , 1 , 3 , 0 , 3 , 1 , 2 , 3;
它是建立在极大似然原理基础
上的一个统计方法
Gauss Fisher
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极大似然原理：一个随机试验有若干种可能的结果
Ａ，Ｂ，Ｃ，…．若在一次试验中，结果A出现，则一 般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大．
引例１ 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，
乙箱有1个白球99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中 抽取一球，结果取得白球，问这球从哪一个箱子中取出？
第七章 参数估计
问题：若总体X的分布函数F(x)的类型已知，但它 的一个或多个参数未知,如何估计总体的未知参数？
想法：用X的一组样本观察值(x1,x2,…,xn)来估计总 体中未知参数的值,即用样本统计量的值估计总体中未 知参数的值.
一、参数的点估计
二回
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§7.1 参数的点估计
令： d ln L(q ) 0,解得：
求θ的矩估计值和最大似然估计值．
解：对于给定的样本值，似然函数（即该样本发生的概率）为：
L(θ)＝４θ6 (1-θ)2 (1-2θ)4 lnL(θ)＝ln４+6lnθ+2ln (1-θ)+4ln(1-2θ)
d ln L(q ) 6 2
8 6 28q 24q 2
dq q 1q 1 2q q (1q )(1 2q )
解 甲箱中抽得白球的概率 P（白|甲）＝99/100
乙箱中抽得白球的概率 P（白|乙）=1/100
显然，从甲箱中取得白球的概率，比从乙箱中取得白球的概率大 得多. 既然在一次抽样中取得白球，当然可以认为是从抽取概率大的 箱子中抽出的，故可作出统计推断：白球是从甲箱中取出的(合理).
这就是--- 极大似然原理！
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引例2（02数学1）设总体的概率分布为：
Ｘ
０
１
２
３
P
θ２
2θ（１－θ） θ２
１－２θ
其中θ（0<θ<1/2）是未知参数，利用总体Ｘ的如下样本值 3 , 1 , 3 , 0 , 3 , 1 , 2 , 3;
求θ的矩估计值和最大似然估计值．
解：Ｅ(Ｘ)=0×θ2 +1×2θ(1-θ)+2×θ2 +3 ×(1-2θ)= 3-4θ
参数的点估计(方法): 指用样本统计量的值估计未知参数 的值. 本节介绍 ① 矩估计法；② 最大似然估计法.
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点估计概念及讨论的问题
例 已知某地区新生婴儿的体重X~ N (, 2 ), , 2未知, …
随机抽查100个婴儿
得100个体重数据 10, 7, 6, 6.5, 5, 5.2, … 而全部信息就由这100个数组成.