山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题 含答案
2019年山东省济宁市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．[1，3]B．（1，3]C．[2，3]D．[﹣1，+∞）2．（5分）若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为﹣1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a的值为﹣1，则输出的S的值是（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x，y满足，则z＝2x+y的最大值是（）A．﹣B．1C．2D．5．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若f（1）＝9，则f （2019）＝（）A．﹣9B．9C．﹣3D．06．（5分）已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若sin x＝3sin（x﹣），则cos x cos（x+）＝（）A．B．C．D．8．（5分）如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为（）A．0B．1C．2D．39．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为（）A．B．πC．6πD．8π10．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g （x），下列说法正确的是（）A．在[]上是增函数B．其图象关于直线x＝对称C．函数g（x）是偶函数D．在区间[]上的值域为[﹣，2]11．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝，|MF1|﹣|MF2|＝4，点N在圆x2+y2﹣4y＝0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A．2B．5C．6D．712．（5分）已知当x∈（1，+∞）时，关于x的方程xlnx+（3﹣a）x+a＝0有唯一实数解，则a所在的区间是（）A．（3，4）B．（4，5）C．（5，6）D．（6，7）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为．14．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5的展开式中，x2y4的系数为．（用数字作答）15．（5分）如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为．16．（5分）在△ABC中，记＝﹣3，＝，若⊥，则sin A的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）等差数列{a n}的公差为正数，a1＝1，其前n项和为S n；数列{b n}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b n+，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，AB＝，AD＝2，AP＝3．（Ⅰ）求证：平面PCA⊥平面PCD；（Ⅱ）设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角E ﹣AB﹣D的余弦值．19．（12分）某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50），第二组[50，55），…第六组[70，75），得到如图（1）所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图（2）所示，以样本的频率作为总体的概率．（Ⅰ）求频率分布直方图中a，b，c的值；（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65）的人数，求X的概率分布列和数学期望；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ＝60，σ2＝25．若P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＞0.9545，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C过点P（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，直线l与椭圆C相切于点A，与直线x＝3相交于点B，求证：∠AFB的大小为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M的直角坐标为（1，0），直线l的参数方程为（t为参数）；以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＞x+2；（Ⅱ）若f（x）的值域为[2，+∞），求≥1．2019年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤3}＝（1，3]．故选：B．2．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为﹣1，|z|＝，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为C．故选：C．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝﹣1，S＝0，k＝1满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣1，a＝1，k＝2满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣，a＝3，k＝3满足条件k＜5，执行循环体，S＝，a＝5，k＝4满足条件k＜5，执行循环体，S＝，a＝7，k＝5此时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为．故选：C．4．【解答】解：由变量x，y满足作出可行域如图，化z＝2x+y为2x+y﹣z＝0，由图可知，当直线y＝﹣2x+z与圆相切于A时，直线在y轴上的截距最大，z最大，此时．z＝．故选：D．5．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；故选：A．6．【解答】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．7．【解答】解：sin x＝3sin（x﹣）＝﹣3cos x，解得：tan x＝﹣3，所以：cos x cos（x+）＝﹣sin x cos x＝＝，故选：A．8．【解答】解：对于①日成交量的中位数是26，故①错误，对于②因为日平均成交量为＝，日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故②错误，对于③认购量与日期不是正相关，故③错误，对于④10月7日认购量的增幅为164套，10月7日成交量的增幅为128套，即10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．故④正确，综合①②③④得：正确个数为1，故选：B．9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为等腰三角形腰长为，高为2的直三棱柱，故外接球的半径R，满足，解得：R＝，所以：V＝．故选：A．10．【解答】解：f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T＝π，即ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，易得：y＝g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x＝（k∈Z）对称的奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[﹣，2]，故选项D正确，故选：D．11．【解答】解：由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|＝＝3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．12．【解答】解：由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）＝（x＞1），则f′（x）＝．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝1﹣＝＞0，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）＝．∵x0﹣lnx0﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：样本间隔为23﹣14＝9，则第四个编号为14+2×9＝14+18＝32，故答案为：3214．【解答】解：∵（2x+y）（x﹣2y）5＝（2x+y）（x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5），∴x2y4的系数为2×80﹣80＝80，故答案为：80．15．【解答】解：正方形的面积为e2，由lnxdx＝（xlnx﹣x）|＝1，由lnydy＝1，故S阴影＝2，故此点取自黑色部分的概率为，故答案为：16．【解答】解：∵在△ABC中，记＝﹣3＝﹣﹣3＝﹣4，＝＝﹣，⊥，∴＝﹣5•+4＝0cos A＝＝＝≥＝，当且仅当时取到等号．又因为sin2A+cos2A＝1，所以sin A的最大值为．故答案为三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，a1＝1，数列{b n}为等比数列，设公比为q，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，解得q＝2，d＝1，则a n＝1+n﹣1＝n，b n＝2n；（Ⅱ）c n＝b n+＝2n+＝2n+2（），则前n项和T n＝（2+4+…+2n）+2（1﹣+﹣+…+）＝+2（1﹣）＝2n+1﹣．18．【解答】证明：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，CD＝，AD＝2，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD cos∠ADC＝12+3﹣2×＝9，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又AC∩CD＝C，∴CD⊥平面PCA，又CD⊂平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD．解：（Ⅱ）E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（0，3，0），D（﹣，3，0），P（0，0，3），设E（x，y，z），＝，（0≤λ≤1），则（x，y，z﹣3）＝λ（0，3，﹣3），∴E（0，3λ，3﹣3λ），∵平面ABCD的一个法向量＝（0，0，1），∴sin45°＝|cos＜＞|＝，解得λ＝，∴点E的坐标为（0，1，2），∴＝（0，1，2），＝（），设平面EAB的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（0，﹣2，1），设二面角E﹣AB﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角E﹣AB﹣D的余弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的频率，可得体重低于50公斤的概率为＝0.02；所以a＝＝0.004；在[50，55]上有13人，该组的频率为0.13，则b＝＝0.065，所以2c＝＝0.14，即c＝0.07；（Ⅱ）用样本的频率估计总体的频率，可知从全校学生中随机抽取1人，体重在[55，65）的概率为0.07×10＝0.7，随机抽取3人，相当于3次独立重复实验，随机变量X服从二项分布B（3，0.7），则P（X＝0）＝•0.70•0.33＝0.027，P（X＝1）＝•0.7•0.32＝0.189，P（X＝2）＝•0.72•0.3＝0.441，P（X＝3）＝•0.73•0.30＝0.343；所以X的概率分布列为：数学期望为E（X）＝3×0.7＝2.1；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60，25），其中σ＝5；则P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＝P（50≤ξ＜70）＝0.96＞0.9545，所以可以认为该校学生的体重是正常的．20．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴椭圆C的方程为+＝1．证明（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，联立，得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0△＝36k2m2﹣12（3k2+2）（m2﹣2）＝0，得m2＝3k2+2，设A（x1，y1），则x1＝﹣＝﹣＝﹣，∴y1＝kx1+m＝﹣+m＝＝，∴A（﹣，），∵点B为（3，3k+m），右焦点F（1，0），∴＝（﹣﹣1，），＝（2，3k+m），∴•＝﹣﹣2++2＝0，∴∠AFB＝90°，即∠AFB的大小为定值．21．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e x﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）；转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣1＝0，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．转换为直角坐标方程为：y2＝2x．（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数）；代入y2＝2x，得到：（t1和t2为A、B对应的参数）所以：，t 1•t2＝﹣4，则：＝＝＝1．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）当a＝b＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|＞x+2，（i）当x＜﹣1时，不等式可化为：﹣2x＞x+2，即x＜﹣，故x＜﹣1，（ii）当﹣1≤x≤1时，不等式可化为：2＞x+2，即x＜0，故﹣1≤x＜0，（iii）当x＞1时，不等式可化为2x＞x+2，即x＞2，故x．2，综上，不等式的解集是{x|x＞2或x＜0}；（Ⅱ）证明f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|，∵f（x）的值域是[2，+∞），故a+b＝2，故a+1+b+1＝4，故＝（+）＝（2++）当且仅当＝，即a＝b＝1时取“＝”，即≥1．。
高三数学第一次模拟考试理济宁市一模,含解析新人教A版
济宁市高三模拟考试数学(理工类)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份，满分l50分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上2．选择题答案利用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案利用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．参考公式：若是事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)． 若是事件A 、B 独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)． 第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共l2小题．每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的． 1．复数2=()1ii z -，则复数1z +在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】221z=()122i i i ii==---，所以1112z i +=-，对应点位1(1,)2-，选D.2．已知全集U=R ，集合A={2(+1)y |y ln x ,x R =∈}，集合B={21x ||x |-≤}，则如图所示的阴影部份表示的集合是A ．{01>3x |x x ≤<或}B ．{|0<1x x ≤}C ．{|>3x x }D ．{|13x x ≤≤} 【答案】A【解析】2A={(+1)}0y|y ln x ,x R {y y }=∈=≥，{13}B x x =≤≤，图中阴影部份为集合()U AB ,所以{1>3}UB x x x =<或,所以(){01>3}U A B x x x =≤<或，选A.3．下列命题中正确的有①设有一个回归方程y =2—3x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位；②命题P ：“2000,--1>0x R x x ∃∈”的否定⌝P ：“,102x R x -x-∀∈≤”；③设随机变量X 服从正态散布N(0，1)，若P(X>1)=p ，则P(-1<X<0)=12-p ； ④在一个2×2列联表中，由计算得k 2=6．679，则有99％的把握确认这两个变量间有关系． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 本题可以参考独立性查验临界值表【答案】C【解析】①变量x 增加一个单位时，y 平均减少3个单位，所以错误。
山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案
山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数211i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合{}211,3402x A x B x x x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=-->⋂⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则等于 A.{}0x x >B. {}0x x x <-1>或C.{}4x x >D. {}4x x -1≤≤3.对某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数和平均数分别是 A.88 88 B.90 89C.89 88D.89 904.若点(),P x y 满足线性约束条件20220,40x y x y z x y y -≤⎧⎪-+≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值为A.1B.2C.3D.45.给出命题p ：直线()3102110ax y x a y ++=+++=与直线互相平行的充要条件是3a =-；命题q ：若210mx mx --<恒成立，则40m -<<.关于以上两个命题，下列结论正确的是A.命题“p q ∧”为真B. 命题“p q ∨”为假C.命题“p q ∧⌝”为真D. 命题“p q ∨⌝”为真 6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c.若sin sin sin sin .a A c C C b B +=则角B 等于 A.56π B.23π C.3π D.6π 7.函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是8.已知向量()()11,1,1,2,0,0,//a m n b m n a b m n=-=>>+其中若，则的最小值是A. B.3+ C. D.3+9.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间(]0,3上有三个零点，则实数a 的取值范围是 A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.ln 3,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.ln 30,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，点P 是该双曲线和圆2222x y a b +=+的一个交点，若1221sin 2sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率是A.4 D.2第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1lg 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是 ▲ .12.阅读如图所示的程序框图，若输出()f x 的范围是2⎤⎦，则输入实数x 的范围应是 ▲ .13.已知在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱11A B 的中点，则直线AE 与平面11BDDB 所成角的正弦值是 ▲ .14.若()()()()()234525012345411111x x a a x a x a x a x a x a +=+-+-+-+-+-，则 = ▲ .15.设区域Ω是由直线0,=1x x y π==±和所围成的平面图形，区域D 是由余弦曲线y=cosx 和直线x=0,x=π和y=1±所围成的平面图形，在区域Ω内随机抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 的概率是 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()sin cos 34f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （I ）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （II ）将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的表达式及对称轴方程.17.（本小题满分12分）如图，已知斜三棱柱ABC 111A B C -的底面是正三角形，点M 、N 分别是1111B C A B 和的中点，112,60AA AB BM A AB ===∠=.（I ）求证：BN ⊥平面111A B C ；（II ）求二面角1A AB M --的余弦值.18.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A 、B 、C 、D 、E 五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A 高校，他除选A 校外，在B 、C 、D 、E 中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可.（I ）求甲同学未选中E 高校且乙、丙都选中E 高校的概率；（II ）记X 为甲、乙、丙三名同学中未参加E 校自主招生考试的人数，求X 的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）在等比数列{}121342,,n a a a a a a =+中，已知，且成等差数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）设数列{}2n n a a -的前n 项和为2,nn n n S b S =记，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分13分） 已知抛物线214x y =的焦点与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点重合，12F F 、是椭圆C 的左、右焦点，Q 是椭圆C 上任意一点，且12QF QF ⋅的最大值是3.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.21.（本小题14分）设函数()()2ln f x ax x a R =--∈.（I ）若()()(),f x e f e 在点处的切线为20,x ey e a --=求的值；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）当()0.x x f x ax e >0-+>时，求证：。
山东省济宁市2019届高三数学第一次模拟考试试题理201903130327
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)
等差数列 的公差为正数， ，其前 项和为 ；数列 为等比数列， ，
A．0B．1C．2D．3
9．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为
A．
B．
C．
D．
10．已知函数 的零点构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位，得到函数 的图象．关于函数 ，下列说法正确的是
A．在 上是增函数B．其图象关于直线 对称
7．若
A． B． c． D．
8．下图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为
(I)求频率分布直方图中 的值；
(Ⅱ)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；
(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重 近似服从正态分布 ，其中 ，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．
20．(本小题满分12分)
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2019年山东省济宁市高考数学一模试卷(理科)-含详细解析
2019年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|y=ln（x-1）}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.若复数z=，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A. z的虚部为B.C. 为纯虚数D. z的共轭复数为3.执行如图所示的程序框图，若输入a的值为-1，则输出的S的值是（）A.B.C.D.4.若变量x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A. B. 1 C. 2 D.5.函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）=f（1-x），若f（1）=9，则f（2019）=（）A. B. 9 C. D. 06.已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若sin x=3sin（x-），则cos x cos（x+）=（）A. B. C. D.8.如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为（）A.B.C.D.10.已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是（）A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是偶函数D. 在区间上的值域为11.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y=，|MF1|-|MF2|=4，点N在圆x2+y2-4y=0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A. B. 5 C. 6 D. 712.已知当x∈（1，+∞）时，关于x的方程x lnx+（3-a）x+a=0有唯一实数解，则a所在的区间是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为______．14.（2x+y）（x-2y）5的展开式中，x2y4的系数为______．（用数字作答）15.如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为______．16.在△ABC中，记=-3，=，若 ⊥ ，则sin A的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.等差数列{a n}的公差为正数，a1=1，其前n项和为S n；数列{b n}为等比数列，b1=2，且b2S2=12，b2+S3=10．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=b n+，求数列{c n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，AB=，AD=2，AP=3．（Ⅰ）求证：平面PCA⊥平面PCD；（Ⅱ）设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角E-AB-D的余弦值．19.某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50），第二组[50，55），…第六组[70，75），得到如图（1）所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图（2）所示，以样本的频率作为总体的概率．（Ⅰ）求频率分布直方图中a，b，c的值；（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65）的人数，求X的概率分布列和数学期望；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ=60，σ2=25．若P（μ-2σ≤ξ＜μ+2σ）＞0.9545，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C过点P（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，直线l与椭圆C相切于点A，与直线x=3相交于点B，求证：∠AFB的大小为定值．21.已知函数f（x）=x-a ln x+a-1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点M的直角坐标为（1，0），直线l的参数方程为（t为参数）；以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a=b=1时，解不等式f（x）＞x+2；（Ⅱ）若f（x）的值域为[2，+∞），求≥1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}，B={x|y=ln（x-1）}={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x≤3}=（1，3]．故选：B．先求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z==，∴z的虚部为-1，|z|=，z2=（1-i）2=-2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为C．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得a=-1，S=0，k=1满足条件k＜5，执行循环体，S=-1，a=1，k=2满足条件k＜5，执行循环体，S=-，a=3，k=3满足条件k＜5，执行循环体，S=，a=5，k=4满足条件k＜5，执行循环体，S=，a=7，k=5此时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由变量x，y满足作出可行域如图，化z=2x+y为2x+y-z=0，由图可知，当直线y=-2x+z与圆相切于A时，直线在y轴上的截距最大，z最大，此时．z=．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的一般式，通过圆心到直线的距离，求解即可．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），又由f（1+x）=f（1-x），则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=-f（x），变形可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）=f（-1+505×4）=f（-1）=-f（1）=-9；故选：A．根据题意，由函数的奇偶性可f（-x）=-f（x），将f（1+x）=f（1-x）变形可得f（-x）=f （2+x），综合分析可得f（x+2）=-f（x），则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）=f（-1+505×4）=f（-1）=-f（1），即可得答案．本题考查抽象函数的应用，涉及函数的周期性，关键是分析函数f（x）的周期性．6.【答案】D【解析】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据线面平行的判定与性质定理可得：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．即可判断出关系．本题考查了线面平行的判定与性质定理、简易逻辑判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：sinx=3sin（x-）=-3cosx，解得：tanx=-3，所以：cosxcos（x+）=-sinxcosx==，故选：A．直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：对于①日成交量的中位数是26，故①错误，对于②因为日平均成交量为=，日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故②错误，对于③认购量与日期不是正相关，故③错误，对于④10月7日认购量的增幅为164套，10月7日成交量的增幅为128套，即10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．故④正确，综合①②③④得：正确个数为1，故选：B．先结合图象，再根据频率分布折线图逐一检验即可．本题考查了识图能力及频率分布折线图，属中档题．9.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为等腰三角形腰长为，高为2的直三棱柱，故外接球的半径R，满足，解得：R=，所以：V=．故选：A．首项被几何体的三视图转换为几何体进一步求出几何体的外接球半径，最后求出体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T=π，即ω=2，即f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）=2sin[2（x-）+]=2sin2x，易得：y=g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x=（k∈Z）对称的奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[-，2]，故选项D正确，故选：D．由三角函数图象的平移得：g（x）=2sin[2（x-）+]=2sin2x，由三角函数图象的性质得：y=g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x=（k∈Z）对称的奇函数，由三角函数的值域得：当x时，2x∈[，]，函数g（x）值域为[-，2]，得解本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，属中档题11.【答案】B【解析】解：由题意可得2a=4，即a=2，渐近线方程为y=±x，即有=，即b=1，可得双曲线方程为-y2=1，焦点为F1（-，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=4+|MF2|，由圆x2+y2-4y=0可得圆心C（0，2），半径r=2，|MN|+|MF1|=4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|==3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3-2=5．故选：B．求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由xlnx+（3-a）x+a=0，得，令f（x）=（x＞1），则f′（x）=．令g（x）=x-lnx-4，则g′（x）=1-=＞0，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g（5）=1-ln5＜0，g（6）=2-ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）=0，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（x0）=．∵x0-lnx0-4=0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C．把方程xlnx+（3-a）x+a=0有唯一实数解转化为有唯一解，令f（x）=（x＞1），利用导数研究其最小值所在区间得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，属中档题．13.【答案】32【解析】解：样本间隔为23-14=9，则第四个编号为14+2×9=14+18=32，故答案为：32根据条件求出样本间隔，即可得到结论．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．14.【答案】80【解析】解：∵（2x+y）（x-2y）5=（2x+y）（x5-10x4y+40x3y2-80x2y3+80xy4-32y5），∴x2y4的系数为2×80-80=80，故答案为：80．把（x-2y）5按照二项式定理展开，可得（2x+y）（x-2y）5的展开式中，x2y4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】【解析】解：正方形的面积为e2，由lnxdx=（xlnx-x）|=1，由lnydy=1，=2，故S阴影故此点取自黑色部分的概率为，故答案为：结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16.【答案】【解析】解：∵在△ABC中，记=-3=--3=-4，==-，⊥，∴=-5•+4=0cosA===≥=，当且仅当时取到等号．又因为sin2A+cos2A=1，所以sinA的最大值为．故答案为把给定的，用基础向量，来表示，借助余弦定理和基本不等式求出cosA的最小值，从而得sinA的最大值．本题考查向量的拆分，余弦定理，基本不等式的应用．属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，a1=1，数列{b n}为等比数列，设公比为q，b1=2，且b2S2=12，b2+S3=10，可得2q（2+d）=12，2q+3+3d=10，解得q=2，d=1，则a n=1+n-1=n，b n=2n；（Ⅱ）c n=b n+=2n+=2n+2（），则前n项和T n=（2+4+…+2n）+2（1-+-+…+）=+2（1-）=2n+1-．【解析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，数列{b n}为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得c n=b n+=2n+=2n+2（），数列的分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，CD=，AD=2，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD•CD cos∠ADC=12+3-2×=9，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC∩CD=C，∴CD⊥平面PCA，又CD⊂平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD．解：（Ⅱ）E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（0，3，0），D（-，3，0），P（0，0，3），设E（x，y，z），=，（0≤λ≤1），则（x，y，z-3）=λ（0，3，-3），∴E（0，3λ，3-3λ），∵平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），∴sin45°=|cos＜，＞|=，解得λ=，∴点E的坐标为（0，1，2），∴=（0，1，2），=（，，），设平面EAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，-2，1），设二面角E-AB-D的平面角为θ，则cosθ==，∴二面角E-AB-D的余弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出CD⊥AC，PA⊥CD，从而CD⊥平面PCA，由此能证明平面PCA⊥平面PCD．（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AB-D的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的频率，可得体重低于50公斤的概率为=0.02；所以a==0.004；在[50，55]上有13人，该组的频率为0.13，则b==0.065，所以2c==0.14，即c=0.07；（Ⅱ）用样本的频率估计总体的频率，可知从全校学生中随机抽取1人，体重在[55，65）的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于3次独立重复实验，随机变量X服从二项分布B（3，0.7），则P（X=0）=•0.70•0.33=0.027，P（X=1）=•0.7•0.32=0.189，P（X=2）=•0.72•0.3=0.441，P（X=3）=•0.73•0.30=0.343；X数学期望为（）；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60，25），其中σ=5；则P（μ-2σ≤ξ＜μ+2σ）=P（50≤ξ＜70）=0.96＞0.9545，所以可以认为该校学生的体重是正常的．【解析】（Ⅰ）由茎叶图中的数据，用样本的频率估计总体的频率，求得对应的概率值，再计算a、b、c的值；（Ⅱ）用由题意知随机变量X服从二项分布B（3，0.7），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60，25），计算P（μ-2σ≤ξ＜μ+2σ）的值，再判断学生的体重是否正常．本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率分布与数学期望的计算问题，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，解得a2=3，b2=2，c2=1，∴椭圆C的方程为+=1．证明（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设l：y=kx+m，联立，得（3k2+2）x2+6kmx+3m2-6=0△=36k2m2-12（3k2+2）（m2-2）=0，得m2=3k2+2，设A（x1，y1），则x1=-=-=-，∴y1=kx1+m=-+m==，∴A（-，），∵点B为（3，3k+m），右焦点F（1，0），∴=（--1，），=（2，3k+m），∴•=--2++2=0，∴∠AFB=90°，即∠AFB的大小为定值．【解析】（Ⅰ）由题意可知，解得a2=3，b2=2，即可求出椭圆C的方程，（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设l：y=kx+m，联立，根据直线l与椭圆相切，利用判别式可得m2=3k2+2，求出点A，B的坐标，根据向量的运算可得可得•=0，即∠AFB=90°，故∠AFB的大小为定值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1-=，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）=0，解得：x=a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a=0时，∵x≥1，∴f（x）=x-1≥0恒成立，故a=0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）=a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）=e a-a，∵p′（a）=e x-1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）=1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min=f（e a）=e a-a2+a-1，设q（a）=e a-a2+a-1（a＞0），则q′（a）=e a-2a+1，q″（a）=e a-2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）=3-2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）=0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）；转换为直角坐标方程为：x-y-1=0，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．转换为直角坐标方程为：y2=2x．（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数）；代入y2=2x，得到：（t1和t2为A、B对应的参数）所以：，t1•t2=-4，则：===1．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）当a=b=1时，f（x）=|x-1|+|x+1|＞x+2，（i）当x＜-1时，不等式可化为：-2x＞x+2，即x＜-，故x＜-1，（ii）当-1≤x≤1时，不等式可化为：2＞x+2，即x＜0，故-1≤x＜0，（iii）当x＞1时，不等式可化为2x＞x+2，即x＞2，故x．2，综上，不等式的解集是{x|x＞2或x＜0}；（Ⅱ）证明f（x）=|x-a|+|x+b|≥|a+b|，∵f（x）的值域是[2，+∞），故a+b=2，故a+1+b+1=4，故=（+）=（2++）当且仅当=，即a=b=1时取“=”，即≥1．【解析】（Ⅰ）代入a，b的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出a+b=2，根据绝对值不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试卷含解析
2018—2019学年度济宁市高考模拟考试数学(理工类)试题2019.3第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合则( )A. [1，3]B. (1，3]C. [2，3]D. [－l，+∞)【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤3}＝（1，3]．故选：B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z的虚部为B.C. 为纯虚数D. z的共轭复数为【答案】AC【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【详解】∵z，∴z的虚部为﹣1，|z|，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．，故选：AC．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入a的值为，则输出的S的值是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得a＝﹣1，S＝0，k＝1满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣1，a＝1，k＝2满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝3，k＝3满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝5，k＝4满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝7，k＝5此时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.若变量满足则的最大值是( )A. B. 1 C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的一般式，通过圆心到直线的距离，求解即可．【详解】由变量x，y满足作出可行域如图，化z＝2x+y为2x+y﹣z＝0，由图可知，当直线y＝﹣2x+z与圆相切于A时，直线在y轴上的截距最大，z最大，此时．z．故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.函数是定义在R上的奇函数，且若则( )A. B. 9 C. D. 0【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性可知f（﹣x）＝﹣f（x），将f（1+x）＝f（1﹣x）变形可得f（﹣x）＝f（2+x），综合分析可得f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝﹣f（1），即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；故选：A．【点睛】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的周期性，奇偶性，关键是分析函数f（x）的周期性，是中档题.6.已知平面，直线，满足，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m∥n时，若，则充分性不成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．7.若则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．【详解】sinx＝3sin（x-）＝﹣3cosx，解得：tanx＝﹣3，所以：cosxcos（x）＝﹣sinxcosx==，故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式,同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】结合图形及统计的基础知识逐一判定即可．【详解】7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；成交量为：8、13、16、26、32、38、166．对于①，日成交量的中位数是26，故错；对于②，日平均成交量为：，有1天日成交量超过日平均成交量，故错；对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确．故选：B【点睛】本题考查了统计的基础知识，解题关键是弄清图形所表达的含义，属于基础题，9.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先将几何体的三视图转换为几何体进一步求出几何体的外接球半径，最后求出体积．【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为等腰三角形腰长为，高为2的直三棱柱，故外接球的半径R，满足，解得：R=，所以：V=．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是( )A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是偶函数D. 在区间上的值域为【答案】D【解析】【分析】化简f（x）=2sin（ωx），由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin2x，由三角函数图象的性质得y＝g（x）的单调性，对称性，再由x时，求得函数g（x）值域得解.【详解】f（x）＝sinωx cosωx＝2sin（ωx），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T＝π，即ω＝2，即f（x）＝2sin（2x），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin[2（x）]＝2sin2x，当≤2x≤,即≤x≤, y＝g（x）是减函数，故y＝g（x）在[，]为减函数，当2x=即x（k∈Z）,y＝g（x）其图象关于直线x（k∈Z）对称,且为奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[，2]，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数基本性质，熟练计算是关键，属中档题11.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为( )A. B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．【详解】由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有，即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，焦点为F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．12.已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( )A. (3，4)B. (4，5)C. (5，6)D. (6．7)【答案】C【解析】【分析】把方程xlnx+（3﹣a）x+a＝0有唯一实数解转化为有唯一解，令f（x）（x＞1），利用导数研究其最小值所在区间得答案．【详解】由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）（x＞1），则f′（x）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝10，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，熟练运用零点存在定理得x0﹣lnx0﹣4＝0并反代入f（x0）是本题关键，属中档题．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为______．【答案】32【解析】【分析】根据条件求出样本间隔，即可得到结论．【详解】样本间隔为23﹣14＝9，则第一个编号为5，第四个编号为14+2×9＝14+18＝32，故答案为：32【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，熟记系统抽样的原则与方法，求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．14.的展开式中，的系数为______．(用数字作答)．【答案】80【解析】【分析】把（x﹣2y）5按照二项式定理展开，可得（2x+y）（x﹣2y）5的展开式中，x2y4的系数．【详解】∵（2x+y）（x﹣2y）5＝（2x+y）（x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5），∴x2y4的系数为2×80﹣80＝80，故答案为：80．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，属于基础题．15.如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为______．【答案】【解析】【分析】结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【详解】正方形的面积为e2，由lnxdx＝（xlnx﹣x）1，由函数图像的对称性知黑色区域面积为2lnxdx=2即S阴影＝2，故此点取自黑色部分的概率为，故答案为：【点睛】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16.在△ABC中，记若．则sinA的最大值为______．【答案】【解析】【分析】把给定的，用基础向量，来表示，借助余弦定理和基本不等式求出cosA的最小值，从而得sinA的最大值．【详解】∵在△ABC中，记334，，⊥，∴5•40cosA，当且仅当时取到等号．又因为sin2A+cos2A＝1，所以sinA的最大值为．故答案为【点睛】本题考查向量向量基本定理，余弦定理，基本不等式的应用，熟练运用向量向量基本定理及余弦定理，合理构造基本不等式是关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.等差数列的公差为正数，，其前项和为；数列为等比数列，，且．(I)求数列与的通项公式；(II)设，求数列的前项和．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，数列{b n}为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得c n＝b n2n 2n+2（），数列的分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【详解】解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则解得∴，.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.∴，∴.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，．(I)求证：平面PCA⊥平面PCD；(II)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）推导出CD⊥AC，PA⊥CD，从而CD⊥平面PCA，由此能证明平面PCA⊥平面PCD．（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣D的余弦值．【详解】解：(Ⅰ)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得，∴，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，又，∴CD⊥平面PCA.又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.(Ⅱ)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则，，，，.设，，则∴x=0，，，即点E的坐标为∴又平面ABCD的一个法向量为∴sin45°解得∴点E的坐标为，∴，，设平面EAB的法向量为由得令z=1，得平面EAB的一个法向量为∴.又二面角E-AB-D的平面角为锐角，所以，二面角E-AB-D的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．(I)求频率分布直方图中的值；(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中若，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．【答案】(Ⅰ)a=0.004，b=0.026，c=0007；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)正常.【解析】【分析】（Ⅰ）由茎叶图中的数据，用样本的频率估计总体的频率，求得对应的概率值，再计算a、b、c的值；（Ⅱ）用由题意知随机变量X服从二项分布B（3，0.7），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60，25），计算P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）的值，再判断学生的体重是否正常．【详解】解：(Ⅰ)由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为，则，在上有13人，该组的频率为0.13，则，所以，即c=0.07.(Ⅱ)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布，则，，，，所以，X的概率分布列为：X0123P0.0270.1890.4410.343E(X)=3×0.7=2.1(Ⅲ)由N(60,25)得由图（2）知.所以可以认为该校学生的体重是正常的.【点睛】本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率分布与数学期望的计算问题，熟记频率分布直方图性质，熟练计算二项分布是关键，是中档题．20.已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点．(I)求椭圆C的方程；(II)设椭圆C的右焦点为F，直线与椭圆C相切于点A，与直线相交于点B，求证：的大小为定值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知，解得a2＝3，b2＝2，即可求出椭圆C的方程，（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，联立，根据直线l与椭圆相切，利用判别式可得m2＝3k2+2，求出点A，B 的坐标，根据向量的运算可得可得•0，即∠AFB＝90°，故∠AFB的大小为定值．【详解】解：(Ⅰ)∵椭圆C过点，∴①∵离心率为∴②又∵③由①②③得，，.∴椭圆C的方程为C：.(Ⅱ)显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m.由消y得由得.∴∴∴切点A的坐标为又点B的坐标为，右焦点F的坐标为，∴，，∴∴∠AFB=90°，即∠AFB的大小为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，准确转化题目，准确计算切点坐标是关键，属于中档题．21.已知函数．(I)讨论的单调性；(II)若时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【详解】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为，，①当时，，f(x)在上为增函数.②当a>0时，由得；由得,所以f(x)在上为减函数，在上为增函数.综上所述，①当时，函数f(x)在上为增函数②当a>0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数.(Ⅱ)①当a=0时，因为，所以恒成立，所以a=0符合题意.②当a<0时，，因为，所以不恒成立，舍去.③当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数.下面先证明：.设，因为，所以p(a)在上为增函数.所以，因此有.所以f(x)在上为增函数.所以.设，则，.由得；由得.所以在上为减函数，在上为增函数.所以.所以q(a)在上为增函数，所以.所以.所以恒成立.故a>0符合题意.综上可知，a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系中，已知点M的直角坐标为(1，0)，直线的参数方程为（t为参数）；以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(I)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(II)直线和曲线C交于A，B两点，求的值．【答案】(Ⅰ)直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为；(Ⅱ)1.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【详解】解：(Ⅰ)将中的参数t消去可得：由得，由可得：所以直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为(Ⅱ)将代入得：设A，B两点对应的参数分别为，，则，所以【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数．(1)当时，解不等式；(2)若的值域为[2，+∞)，求证：.【答案】(1)或；(2）详见解析.【解析】【分析】（1）代入a，b的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出a+b＝2，根据绝对值不等式的性质证明即可．【详解】(1)解：当a=b=1时，i)当时，不等式可化为：，即，所以ii)当时，不等式可化为：2>x+2，即x<0，所以iii)当x>1时，不等式可化为：2x>x+2，即x>2，所以x>2综上所述：不等式的解集为(2)证明，∵f(x)的值域为，∴a+b=2，∴a+1+b+1=4∴，当且仅当，即a=b=1时取“=”即.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，熟练利用绝对值三角不等式得到a,b的关系是关键，是一道中档题．。
山东省济宁市2019届高三一模(数学理)word版含答案1
山东省济宁市 2019年高三年级考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，学生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选了答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数i i21+（i 是虚数单位）的实部是 （ ）A ．52B ．-52C ．51D ．-51 2．集合}2{},,,{},2,3{=⋂==N M b a N M a若，则M ∪N=（ ）A ．{0,1,2}B ．{0,1,3}C ．{0,2,3}D ．{1,2,3} 3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）4．ABCD 为矩形，AB=3，BC=1，O 为AB 的中点，在矩形ABCD 内随机取一点P ，点P 到点O的距离大于1的概率为 （ ）A ．6πB ．61π-C ．31π-D ．3π 5．若把函数x x y sin cos 3-=的图象向右平移)0(>m m 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．3π B ．π32 C ．6π D ．π656．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有 （ ） A ．36种 B ．30种 C ．42种 D ．60种7．一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．24㎝3B ．48㎝3C ．32㎝3D ．28㎝3 8．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了n 位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则=n （ ）A ．80B ．90C ．100D ．110 9．如果关于x 的不等式1|4|||≥++-x a x 的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（-∞，3]∪[5，+∞）B ．[-5，-3]C ．[3，5]D ．（-∞，-5]∪[-3，+∞）10．下列命题中为真命题的是（ ）A ．若21,0≥+≠xx x 则 B ．“1=a 是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件 C ．直线b a ,为异面直线的充要条件是直线b a ,不相交D ．若命题"01,:"2>--∈∃x x R x p ，则命题p 的否定为：“01,2≤--∈∀x x R x ”11．以抛物线x y 202=的焦点为圆心，且与双曲线191622=-y x 的两斩近线都相切的圆的方程为（ ）A ．0642022=+-+x y x B ．0362022=+-+x y xC ．0161022=+-+x y xD ．091022=+-+x y x12．不等式)1(400>⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≥≥k kkx y y x 所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则1-k kS 的最小值为（ ）A ．30B ．32C ．34D ．36第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项： 1．第Ⅱ卷，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要字体工整， 笔迹清晰，严格在题号所指示的答题域内 作答。
山东省济宁市2019届高三数学第一次模拟考试试题理201903130327
2018—2019学年度济宁市高考模拟考试数学(理工类)试题2019.3本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}(){}2230,ln 1,A x x x B x y x A B =--≤==-⋂=则A ，[1，3] B ．(1，3] c ．[2，3] D ．[－l ，+∞)2．若复数，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是 21z i=+A ．z 的虚部为 B ．1-2z =C ．为纯虚数D ．z 的共轭复数为2z 1i --3．执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为，则1-输出的S 的值是 A ． B ．12-12C ．D ．7463204．若变量满足的最大,x y 221020x y x z x y y ⎧+≤⎪≥=+⎨⎪≥⎩，则值是 A ．B ．1C ．2D5．函数是定义在R 上的奇函数，且 ()f x ()()()()11,19,2019f x f x f f +=-==若则A ．B ．9C ．D ．09-3-6．已知平面，直线，满足，则“”是“”的 α,m n n α⊂//m n //m αA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若 sin 3sin cos cos 22x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A ．B ．c ．D ． 310310-3434-8．下图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．39．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为AB C ． 6πD ．8π10．已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把()()sin 0f x x x ωωω=+>2π函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下()f x x 6π()g x ()g x 列说法正确的是 A ．在上是增函数B ．其图象关于直线对称,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2x π=C ．函数是偶函数D ．在区间上的值域为 ()g x 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2⎡⎤⎣⎦11．已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐()2222:10x y C a b a b-=>0,>12F F 、近线方程为，点N 在圆上，则的121,42y x MF MF =±-=2240x y y +-=1MN MF +最小值为A ．B ．5C ．6D ．7212．已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在()1,x ∈+∞x ()ln 30x x a x a +-+=a 的区间是 A ．(3，4)B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为 ▲ ．14．的展开式中，的系数为()()522x y x y +-24x y ▲ ．(用数字作答)．15．如图所示，在正方形OABC 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为 ▲ ．16．在△ABC 中，记．则3,.m CB AC n CB m n =-=⊥若sinA 的最大值为 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)等差数列的公差为正数，，其前项和为；数列为等比数列，， {}n a 11a =n n S {}n b 12b =且．222312,10b S b S =+=(I)求数列的通项公式； {}{}n n a b 与(Ⅱ)设，求数列的前项和． 1n n nc b S =+{}n c n n T18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，底面ABCD ，PA ⊥．60,3ABC AB AD AP ∠==== (I)求证：平面PCA ⊥平面PCD ； (Ⅱ)设E 为侧棱PC 上的一点，若直线BE 与底面ABCD 所成的角为45°，求二面角的余弦值． E AB D --19．(本小题满分12分)某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率． (I)求频率分布直方图中的值；,,a b c (Ⅱ)从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[55，65)的人数，求X 的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中ξ()2,Nμσ，则认为该校学生的体重是正常()260,25.220.9545P μσμσξμσ==-≤<+>若的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．20．(本小题满分12分)已知椭圆，且椭圆C 过点．()222210x y C a b a b +=>>：P ⎛ ⎝(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设椭圆C 的右焦点为F ，直线与椭圆C 相切于点A ，与直线相交于点B ，求证：l 3x =的大小为定值． AFB ∠21．(本小题满分12分)已知函数． ()()ln 1f x x a x a a R =-+-∈(I)讨论的单调性；()f x (Ⅱ)若恒成立，求实数的取值范围．)(),0ax e f x ⎡∈+∞≥⎣时，a(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知点M 的直角坐标为(1，0)，直线的参数方程为（txOy l 1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）；以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程x 为．2sin2cos p θθ=(I)求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； l (Ⅱ)直线和曲线C 交于A ，B 两点，求的值．l 2211MAMB+23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数． ()()0,0f x x a x b a b =-++>>(I)当时，解不等式； 1a b ==()2f x x >+(Ⅱ)若的值域为[2，+∞)，求证：． ()f x 11111a b +≥++。
山东省2019届高三第一次大联考理科数学试题(含解析)
一、选择题1．已知集合3{(,)|}A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，则A B 的元素个数是（）A.0B. 1C. 2D. 3 答案： D 解答：【评析】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.凸显了直观想象考查.解答本题首先要能理解集合,A B 表示的是点集，表示的是两个幂函数的图像上所有点组成的集合，其次需要熟悉常见幂函数的图像，最后要理解集合A B 的元素个数就是这两个函数图像交点的个数.由幂函数3,y x y x ==的图像可以知道，它们有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--，所以集合A B有三个元素．2．已知在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是12(2,1),(1,1)Z Z -，则复数12z z 对应的点在（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D.第四象限 答案： D 解答：【评析】本题考查复数的几何意义、复数运算，突显数学运算、直观想象的考查.解答本题首先 要理解复平面内点与复数的对应关系，其次要能熟练进行复数的四则运算.122i (2i)(1i)13i 1i 22z z ----===+，对应的点的坐标是13(,)22-，在第四象限． 3．已知{}n a 是等差数列，且12343,6a a a a +=-+=-，则{}n a 的前10项和等于（）A. 15-B. 25-C. 45-D. 60- 答案： C 解答：【评析】本题考查等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式，考查方程思想.突显了数学建模的考查.解答本题首先要知道{}n a 是等差数列，则212{}nn a a 也是等差数列，建立等差数列模型，其次是要找好新等差数列的首项123a a +=-及公差3412'()()d a a a a ,最后需要理解到{}n a 的前10项和即为数列212{}nn a a 的前5项和.解答本题也可以首先根据条件列出两个关于1,a d的方程，从而求出1,a d,再利用前n 项和公式求解.101234910()()()3(12345)45S a a a a a a =++++++=-⨯++++=-．4.已知向量(1,0),(3,4)a b ==-的夹角为θ，则cos θ2等于（）A. 725-B.725 C. 2425-D.2425答案： A 解答：【评析】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要根据 向量夹角公式和坐标运算公式求出cos ,再利用二倍角的余弦公式求解.33cos 155θ-==-⨯，所以27cos 22cos 125θθ=-=-． 5．已知00(,)A x y 是抛物线24y x =上的点，点F 的坐标为(1,0)，则“0[1,3]x ∈”是“||[3,4]AF ∈”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： B 解答：【评析】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，突显了逻辑推理的考查.解答本题首先要根据抛物线的标准方程和定义找到||AF 与0x的关系，从而发现||[3,4]AF 的等价条件，其次要正确理解条件与结论的关系，准确作出判断.||[3,4]AF ∈001[3,4][2,3]x x ⇔+∈⇔∈，因为[2,3][1,3]⊂≠，所以选B ．6．下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（）A.1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 答案： D 解答：【评析】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.解答本题首先要能理解散点图，其次需要理解相关系数与正负相关的关系，最后还需要理解相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关性.负相关，所以12,0r r <，因为剔除点(10,21)后，剩下点数据更具有线性相关性，||r 更接近1，所以2110r r -<<<．7.设23342,log 15,log 20a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A.a b c << B. a c b << C. b c a << D. c b a << 答案： B 解答：【评析】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查函数与方程思想，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要根据对数运算将,b c 化简，然后建立指数函数、对数函数模型，根据指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 与2的大小关系，最后还需要根据换底公式、不等式性质等判断出,b c 的大小关系.122a <=，3log 92b >=，4log 162c >=，所以a 最小，341log 5,1log 5b c =+=+，因为11lg 5lg 50lg 3lg 4lg 3lg 4lg 3lg 4b c <<⇒>⇒>⇒>． 8.执行如图所示程序框图，输出的结果是（）A.5B. 6C. 7D. 8 答案： B 解答：【评析】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前n项和公式，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先要根据程序框图正确得到等比数列模型，再根据等比数列前n 项和公式求解.该题易错点是B 是数列1{2}n 的前1n 项和，而不是数列{2}n 的前n 项和. 如图所示i n =时，B 是等比数列1{2}n -的前1n +项和，即21122221n n B +=++++=-，由1100210117n B n +≥⇒≥⇒+≥，所以输出的是6．9．过两点(4,0),(4,0)A B -分别作斜率不为0且与圆226290(0)x y x my m +--+=≠相切的直线,AC BC ，当m 变化时，交点C 的轨迹方程是（）A.221(3)97x y x -=> B. 221(4)169x y x -=>C. 212(0)y x x => D. 216(0)y x x => 答案： A 解答：【评析】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.突显了直观想象、逻辑推理的考查.解答本题首先要正确根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点C 满足的几何条件，从而判断出动点C 的轨迹，再根据双曲线的标准方程找出轨迹方程.圆方程为222(3)()x y m m -+-=与x 轴相切于点(3,0)M ，设,AC BC 与圆的切点分别为,N P ，则||||||||||||6AC BC AN BP AM BM -=-=-=，所以点C 的轨迹是以,A B 为焦点且实轴长为6的双曲线的右支，所以选A ．10.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即()()()S p p a p b p c =---，其中1()2p a b c =++．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是2221()4S c a =-∆，这个公式中的∆应该是（） A.2()2a cb ++ B.2a c b+- C. 2222c a b +-D.2a b c++ 答案： C 解答：【评析】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，弘扬中国古代数学文化，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要注意观察、联想三角形面积公式1sin 2Sca B ,从而发现∆应该等于|cos |ca B ,再根据余弦定理得到答案.因为222cos 2c a b ac B +-=1sin 2ac B S ==．11．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，QH BC //，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是（）A.B.C.D. 答案： C 解答：【评析】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O，则O 是底面QRH 的中心.设OR HQ G =，则EAB PGO ∠=∠，又因为23RG RO OG ===，3PO ==，所以sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=．12．已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（） A.(0,e) B. (e,+)∞ C. (0,2e) D.(2e,)+∞答案： D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x ,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)上的零点个数，再转化成方程1e ()2x x m x =-解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，(0)0F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2x mf x mx -=-+，所以方程可以化为： e e e 02x x x m mx x -++-=，即1e ()2x x m x =-，记()e x g x x =，()e (1)x g x x '=+，设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )tt t ，则切线方程为e e (1)()tty t t x t -=+-，过点1(,0)2，所以1e e (1)()12t t t t t t -=+-⇒=或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >． 二、填空题13．5(2)(1)a b c --的展开式中，32a b c 的系数是. 答案：40-解答：【评析】本题考查二项式定理，突显了数学运算的考查.解答本题首先要将5(2)(1)a b c --化成55(2)(2)a b c a b ---，并注意到5(2)a b -的展开式中不会出现32a b c ，最后用二项式定理求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，从而得解.依题意，只需求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，是225(2)40C -⋅-=-．14. 已知ABC ∆是等腰直角三角形，||||1AC BC ==，()(R,0)CP CA CB λλλ=+∈>，4AP BP ⋅=，则λ等于.2解答：【评析】本题考查向量的运算、坐标法，考查方程思想，突显直观想象的考查.解答本题首先需要依据直观想象，根据条件建立直角坐标系，将向量的几何运算转化为坐标运算，其次需要根据条件建立关于实数的方程，通过解方程得到解.以,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则(1,0),(0,1),(0,0),(,)A B C P λλ，所以(1,),(,1)AP BP λλλλ=-=-， 所以2(1)4λλ-=，解得2λ=或1-（舍去）.15. 如图，已知四棱锥P ABCD -底面是边长为4的正方形，侧面PBC 是一个等腰直角三角形，PB PC =，平面PBC ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -外接球的表面积是.答案：32π解答：【评析】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要理解到外接球球心与各面中心连线垂直该面，从而通过找两个面的中心，并依据面面垂直的性质过中心作垂线，找到外接球的球心，然后确定外接球的半径，并计算球的表面积得到解.DCBAP过PBC ∆的外心即BC 的中点E 作平面PBC 的垂线，该垂线过正方形的中心O ，所以点O 为该四棱锥外接球的球心，其半径R OA ==2432S R ππ==．16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是. 答案：16解答：【评析】本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查函数思想.突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前n 项和公式，然后要利用函数思想，为了求m 的最值，需要把m 表示成n 的函数，最后根据,m n 是整数确定这个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到m 的最大值. 因为2S 是34,S S 的等差中项，所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-，所以(2)nn a =-，12(2)3n n S +---=，等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=，化为：2(2)[(2)4]0n n m -+-+=， OE DCB AP因此2(2)16(2)4(2)4(2)4n nn n m --==--+-+-+，因为m 为整数，所以|(2)4|161,2,3nn -+≤⇒=，当1n =时，2482m m -=--+⇒=-， 当2n =时，164428m m -=-+⇒=-， 当3n =时，1684164m m -=--+⇒=-． 三、解答题17．如图，点,A B 分别是圆心在原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置0(cos,sin )33A ππ开始，按逆时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动，同时点B 从初始位置)0,2(0B 开始，按顺时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动．记t 时刻，点B A ,的纵坐标分别为12,y y ．（Ⅰ）求4t π=时刻，,A B 两点间的距离；（Ⅱ）求12yy y =+关于时间(0)t t >的函数关系式，并求当(0,]2t π∈时，这个函数的值域．答案：（Ⅰ）7；（Ⅱ）[2．解答：【评析】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.解答本题第一问首先要确定π4t=时刻,A B两点的坐标及,OA OB的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；解答本题第二问，需要根据三角函数的定义先确定12,y y与t的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成sin()y A x k（或cos()y A x k）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.（Ⅰ）4tπ=时，,232xOA xOBπππ∠=+∠=，所以23AOBπ∠=，…… 2分又||1,||2OA OB==，所以2222||12212cos73ABπ=+-⨯⨯=，即,A B两点间的距离为7. ………………6分（Ⅱ）依题意，1sin(2)3y tπ=+，ty2sin22-=，………………8分所以3sin(2)2sin22sin2)323y t t t t tππ=+-=-=+，即函数关系为)(0)3y t tπ=+>，………………10分当(0,]2tπ∈时，2(,]333tπππ4+∈，所以1cos(2)[1,)32tπ+∈-，[2y∈．…12分18．已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是等腰梯形，CD AB //，ACBD O =，AC PB ⊥，222====CD AB PB PA ，3=AC .（Ⅰ）证明：平面⊥PBD 平面ABCD ；（Ⅱ）点E 是棱PC 上一点，且//OE 平面PAD ，求二面角A OB E --的余弦值． 答案： （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2-． 解答：【评析】本题考查线面、面面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查空间向量的应用，考查二面角的计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，突显了直观想象、数学运算的考查.解答本题第一问首先需要在面ABCD 内发现垂直关系，再利用判定定理转化为线面垂直，从而得到面面垂直；解答本题第二问首先要通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好,,A B P 的坐标，然后将线面平行即//OE 平面PAD 转化为线线平行PA OE //，从而确定平面的法向量，最后根据法向量求出二面角的余弦.本题特色是通过平行关系的转化避开了计算点E 的坐标，简化了求法向量的运算，本题要特别注意的是所求二面角是钝角，其余弦值为负.（Ⅰ）证明：等腰梯形ABCD 中，OAB ∆∽OCD ∆，所以2OA ABOC CD==，又3AC =，所以2OA =，所以2=OB . 所以222OA OB AB +=，所以OB OA ⊥，即BD AC ⊥，………………3分 又因为AC PB ⊥，且BDPB 于点B ，所以⊥AC 平面PBD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，因此平面⊥PBD 平面ABCD . …6分 （Ⅱ）连接PO ，由（Ⅰ）知，⊥AC 平面PBD ，所以PO AC ⊥，所以222=-=OA PA PO ，所以222PO OB PB +=，即OB PO ⊥，………………7分 如图以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B P ，平面AOB 的法向量(0,0,1)m =， 因为//OE 平面PAD ，⊂OE 平面PAC ， 平面PAC平面PA PAD =，所以PA OE //，………………9分设平面EOB 的法向量为(,,)n x y z =，则n OB ⊥，即0=y ，(,,)(2,0,2)0n OE n AP x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1x =，则(1,0,1)n =，……11分所以cos ,2m n <>==，所以所求二面角的余弦值是2-．……………12分19．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100 元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）答案： （Ⅰ）80.2； （Ⅱ）30万元； （Ⅲ）见解析. 解答：【评析】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布，突显了数学建模、数据分析的考查.解答本题第一问首先要根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；解答本题第二问首先要确定随机变量X 的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求X 的数学期望；本题第三问首先要根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等，然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望，最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小决策.本题特色综合考察概率统计的几个主要模型、体现概率统计在实际中的主要应用：用于决策. （Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…3分 （Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x >0.25=，(7478P x <≤或8286)x <≤0.45=，(7882)0.3P x <≤=，………………4分设生产一件产品的利润为X 元，则(100)P X ==0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=， (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，………………7分所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. ………………8分 （Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=，………………9分 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=， (60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，………………11分所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元， 增加收入55.23020 5.2--=万元， 综上，应该引入该设备.………………12分20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，点000(,)(0)P x y y >是椭圆C 上的一个动点，当直线OP的斜率等于2时，2PF x ⊥轴. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率为02x y -的直线1l 与直线2:2l x =相交于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 答案：（Ⅰ）2212x y +=； （Ⅱ）见解析. 解答：【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，考查数形结合思想、特殊与一般思想，突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点P 的特殊位置，建立关于,,a b c 的等式，再通过解方程求出,,a b c ，从而得到所求标准方程；解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线1l 的方程，并能利用椭圆方程整理化简方程，然后求出点Q 的坐标，再根据圆的知识转化成向量垂直，待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求解.（Ⅰ）依题意22b a ac =⇒=，………………2分又因为221a b -=，所以2a =2=a .所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）直线1l 的方程：0000()2x y y x x y -=--即22000022y y x x x y =-++，………………6分依题意，有220012x y +=，即220022x y +=，所以1l 的方程为0022x x y y +=，所以点01(2,)x Q y -，………………8分 设定点(,0)M m ，由000010()(2)0x MP MQ x m m y y -⋅=⇒--+⋅=，………………10分 即20(1)(1)0m x m -+-=，所以1m =，综上，存在定点(1,0)M 符合条件.………………12分 21．已知函数x xax a x f e )(e )(2-+=（e 为自然对数的底，a 为常数，a R ∈）有两个极值点21,x x ，且210x x <<．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若0)(2121<++x x m x x 恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（Ⅰ）(2e,)+∞；（Ⅱ）]21,(--∞.解答： 【评析】本题考查导数运算、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想，突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题，从而转化成两个函数图像交点问题，再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性，从而画出简图，判断出所求范围；解答本题第二问首先要灵活根据隐含条件消元，将不等式转化为关于12x x 的不等式，从而构造函数，建立函数模型，再通过分类讨论该函数的单调性，确定实数m 的取值范围.（Ⅰ）xxax x f e e 2)(2-='，由0)(='x f 得xa xe 2=，………………2分依题意，该方程有两个不同正实数根，记x x h x e 2)(=，则2)1(e 2)(x x x h x -='，当01x <<时，()0h x '<；当1>x 时，()0h x '>，所以函数()h x 在1x =处取得最小值(1)2e h =，所以a 的取值范围是(2e,)+∞.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21(1,)x x ∈+∞，且112e xax =，所以112ln ln ln x x a +=+，222ln ln ln x x a +=+，所以1212ln ln x x x x -=-，………………6分因此0)(2121<++x x m x x 恒成立，即22122121(ln ln )()0x x x x m x x -+-<恒成立，即22221112ln 0x x x m x x x -+<，设21x t x =，即1ln ()0t m t t +-<在(1,)t ∈+∞上恒成立，从而0m <，记1()ln ()g t t m t t =+-，(1)0g =，211()(1)g t m t t'=++22(1)m t tt ++=，…8分 ① 当12m ≤-时，t t 212>+，所以t t m -<+)1(2，从而()0g t '<， 则()g t 在区间[1,)+∞上单调递减，所以当1t >时，()(1)0g t g <=恒成立；……………10分② 102m -<<时，()0g t '>等价于2110t t m ++<，2140m∆=->， 所以2110t t m ++=有两根21,t t ，且121211,0t t t t m=+=->，可以不妨设2110t t <<<， ()0g t '>在),1(2t t ∈时成立，所以()g t 在区间),1(2t 上单调递增，当),1(2t t ∈时，()(1)0g t g >=，即1ln ()0t m t t+-<在(1,)t ∈+∞上不恒成立，综上，m 的取值范围是]21,(--∞．………………12分四、选做题（2选1）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>．M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=． （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值．答案： （Ⅰ）5x =； （Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.（Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ，M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ，由题设知1,4cos OP OM ρρθ===．所以20cos 4=θρ，………………2分即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =．………………5分（Ⅱ）交点)0,5(D ，所以直线l的参数方程为5,212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ， 代入得：05332=+-t t ，70∆=>，………………8分设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数， 所以5||||||21==⋅t t DB DA ．………………10分 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式4)(+≥x x f 的解集；（Ⅱ）若不等式1)(2-≥a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥； （Ⅱ）[1,2]-． 解答：【评析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；解答本题第二问首先要利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.（Ⅰ）不等式为4|1||1|+≥-++x x x ，可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩，………………2分 解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. ………………5分 （Ⅱ）|1||)1()(|)(min +=--+=a x a x x f ，所以1|1|2-≥+a a ⎩⎨⎧-≥---<⇔11,12a a a 或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩，………………8分 解得a ∈∅或21≤≤-a .所以实数a 的取值范围是[1,2]-．………………10分。
2019届山东省济宁市高三第一次模拟考试数学(理)试题
2019届山东省济宁市高三第一次模拟考试数学(理工类)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}(){}2230,ln 1,A x x x B x y x A B =--≤==-⋂=则 A ，[1，3]B ．(1，3]c ．[2，3]D ．[－l ，+∞)2．若复数21z i=+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是 A ．z 的虚部为1- B ．2z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --3．执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为1-，则输出的S 的值是 A ．12- B ．12 C ．74D ．63204．若变量,x y 满足221020x y x z x y y ⎧+≤⎪≥=+⎨⎪≥⎩，则的最大值是 A．B ．1C ．2D5．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()()11,19,2019f x f x f f +=-==若则 A ．9-B ．9C ．3-D ．06．已知平面α，直线,m n ，满足n α⊂，则“//m n ”是“//m α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若sin 3sin cos cos 22x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．310B ．310-c ．34D ．34-8．下图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 9．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为A ．3B C ．6π D ．8π10．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是 A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．其图象关于直线2x π=对称C ．函数()g x 是偶函数D ．在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦ 11．已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>0,>的左、右焦点分别为12F F 、，实轴长为4，渐近线方程为121,42y x MF MF =±-=，点N 在圆2240x y y +-=上，则1MN MF +的最小值为A ．2B ．5C ．6D ．712．已知当()1,x ∈+∞时，关于x 的方程()ln 30x x a x a +-+=有唯一实数解，则a 所在的区间是 A ．(3，4)B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为 ▲ ． 14．()()522x y x y +-的展开式中，24x y 的系数为 ▲ ．(用数字作答)．15．如图所示，在正方形OABC 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为 ▲ ．16．在△ABC 中，记3,.m CB AC n CB m n =-=⊥若．则sinA 的最大值为 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 的公差为正数，11a =，其前n 项和为n S ；数列{}n b 为等比数列，12b =， 且222312,10b S b S =+=． (I)求数列{}{}n n a b 与的通项公式； (Ⅱ)设1n n nc b S =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，60,3ABC AB AD AP ∠====．(I)求证：平面PCA ⊥平面PCD ； (Ⅱ)设E 为侧棱PC 上的一点，若直线BE 与底面ABCD 所成的角为45°，求二面角E AB D --的余弦值．19．(本小题满分12分)某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率． (I)求频率分布直方图中,,a b c 的值；(Ⅱ)从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[55，65)的人数，求X 的概率分布列和数学期望； (III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布()2,Nμσ，其中()260,25.220.9545P μσμσξμσ==-≤<+>若，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．20．(本小题满分12分)已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的离心率为3，且椭圆C过点P ⎛ ⎝⎭． (I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设椭圆C 的右焦点为F ，直线l 与椭圆C 相切于点A ，与直线3x =相交于点B ，求证：AFB ∠的大小为定值．21．(本小题满分12分)已知函数()()ln 1f x x a x a a R =-+-∈． (I)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)若)(),0ax e f x ⎡∈+∞≥⎣时，恒成立，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 的直角坐标为(1，0)，直线l的参数方程为122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos p θθ=． (I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求2211MAMB+的值．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>．(I)当1a b ==时，解不等式()2f x x >+； (Ⅱ)若()f x 的值域为[2，+∞)，求证：11111a b +≥++．。
2019年山东省济宁市高考模拟考试数学试题(理)含答案
2019年济宁市高考模拟考试数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}3,4,5M =，{}2,3N =，则集合()U N M =ð A ．{}2 B ．{}1,3 C ．{}2,5 D ．{}4,52.复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设a R ∈，“1，a ，16为等比数列”是“4a =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.以下四个结论，正确的是①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔10分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；③在回归直线方程ˆ0.212y x =+中，当变量x 每增加一个单位时，变量y 一定增加0.2个单位；④对于两个分类变量X 与Y ，求出其统计量2K 的观测值k ，观测值k 越大，我们认为“X 与Y 有关系”的把握程度就越大.A.①④B.②③C.①③D.②④5.设实数,x y 满足：3432y x x y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩，则的最大值为A.2-B.8-C.4D.26.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有A.140种B.80种C.70种D.35种7.在ABC ∆中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足13AN NM =，若(),AN AB AC R λμλμ=+∈，则λμ+的值为 A.14 B. 13 C. 12 D.1 8.已知定义在R 上的函数()()21x m f x m R -=-∈为偶函数，记()()22,log 5a f b f =-=，()2,,c f m a b c =，则的大小关系为A.a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. c b a <<9.已知定义在R 上的函数()()sin 0f x x ωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则使()y g x =是减函数的区间为 A.,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭10.定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当()1,ln x f x x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦时，若函数()()1g x f x ax ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦在，上有零点，则实数a 的取值范围是 A.ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.[]ln ,0ππ- C.1ln ,e ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 1,2e π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)注意事项：1．第Ⅱ卷共3页，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，要字体工整，笔迹清晰，严格在题号所指示的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知0i a >（1i =，2,3，…，n ），观察下列不等式：122a a +≥1233a a a ++≥；12344a a a a +++≥ ……照此规律，当*n N ∈（2n ≥）时，12n a a a n +++≥… ▲ ．12.不等式1022x xdx ->⎰的解集为 ▲ ． 13.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如上图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 ▲ ．( 1.732=，sinl5°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)14．一个三棱锥的三视图如右图所示，则其外接球的体积是 ▲ ．15.已知椭圆C 1：()222210x y a b a b+=>>与双曲线C 2：221x y -=有公共的焦点，双曲线C 2的一条渐近线与以椭圆C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，与椭圆C 1交于M 、N 两点，若AB =，则椭圆C 1的标准方程是 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c sinsin sin A B C =+ (I)求角B 的大小，(Ⅱ)设()sin cos ,1,2,cos 22m A A n A π⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求m n 的取值范围． 17．(本小题满分12分)某大学有甲、乙两个校区．从甲校区到乙校区有A 、B 两条道路．已知开车走道路A 遭遇堵车的概率为15；开车走道路B 遭遇堵车的概率为p ．现有张、王、李三位教授各自开车从甲校区到乙校区给学生上课，张教授、王教授走道路A ，李教授走道路B ，且他们是否遭遇堵车相互之间没有影响．若三人中恰有一人遭遇堵车的概率为25． 求(I)走道路B 遭遇堵车的概率p ；(Ⅱ)三人中遭遇堵车的人数X 的概率分布列和数学期望．18.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ，AC 、BD 交于点O ．(I)求证：FC//平面EAD ；(II)求证：AC ⊥平面BDEF ．(III)求二面角F —AB —C(锐角)的余弦值．19．(本小题满分12分)知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()22n n S a n N *=-∈，数列{}n b 为等差数列，且满足2183,b a b a ==．(I)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(II)令()111n n n c a +=--，关于k 的不等式()40971100,k c k k N *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k k a b k M +∈的和S ．20．(本小题茹分郴分)设()()()1,ln 2.71828x a f x e x g x a x e x -⎛⎫=-==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭．(I)当1a >时，讨论函数()()()xf x F xg x e =-的单调性；(II)求证：当0a =时，不等式()f x >()0,x ∈+∞都成立．21．(本小题满分14分)如图，已知线段AE ，BF 为抛物线()2:20C x py p =>的两条弦，点E 、F 不重合．函数()01x y a a a =>≠且的图象所恒过的定点为抛物线C 的焦点．(I)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)已知()12,114A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭、，，直线AE 与BF 的斜率互为相反数，且A ，B 两点在直线EF 的两侧．①问直线EF 的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由． ②求OE OF 的取值范围．。
山东省济宁市2019届高三上学期开学数学试卷(理科)Word版含解析
山东省济宁市2019届高三上学期开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={y|y=log 2x ，x ＞1}，B={y|y=（）x ，0＜x ＜1}，则A ∩B 等于（ ）A ．{y|＜y ＜1}B ．{y|0＜y }C ．∅D ．{y|0＜y ＜1}2．设函数f （x ）=ax 2+b （a ≠0），若∫f （x ）dx=2f （x 0），x 0＞0，则x 0=（ ）A ．2B ．C ．1D ． 3．偶函数y=f （x ）在区间（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列不等式成立的是（ ）A ．f （﹣1）＞f （） B ．f （）＞f （﹣） C ．f （4）＞f （3） D ．f （﹣）＞f （）4．已知函数f （x ）=，则y=f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．设f （x ）=log a x （a ＞0，a ≠1）．若f （x 1x 2…x 2017）=6，则f （x 13）+f （x 23）+…+f （x 20173）=（ ）A ．64B ．4C ．18D ．26．log 0.72，log 0.70.8，0.9﹣2的大小顺序是（ ）A ．log 0.72＜log 0.70.8＜0.9﹣2B ．log 0.70.8＜log 0.72＜0.9﹣2C ．0.9﹣2＜log 0.72＜log 0.70.8D ．log 0.72＜0.9﹣2＜log 0.70.87．函数y=的导数是（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．﹣8．设常数a ＞0，函数f （x ）=为奇函数，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣2C ．4D ．39．已知f （x ）是定义在R 上的函数，满足f （x ）+f （﹣x ）=0，f （x ﹣1）=f （x+1），当x ∈[0，1）时，f（x ）=3x ﹣1，则f （log12）的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．10．已知函数f （x ）满足f （x ）•f （x+2）=2，若f （3）=2，则fA．2 B．﹣2 C．4 D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设p：x＜﹣3或x＞1，q：x＜﹣2或x＞1，则￢p是￢q的条件．＜1（a＞0且a≠1），a的取值范围为．12．loga13．若2a=5b=10，则等于．14．曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．15．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f （x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（x+）．求：（1）f（﹣8）；（2）f（x）在R上的解析式．17．已知函数f（x）=log（﹣x2﹣2x+8）．2（1）求f（x）的定义域和值域；（2）写出函数f（x）的单调区间．18．设命题p：∀x∈[1，2]，﹣lnx﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x2+2ax﹣8﹣6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．19．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数f（x）的极值；（3）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．21．设函数f（x）=x2+aln（x+1）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数F （x ）=f （x ）+ln有两个极值点x 1，x 2且x 1＜x 2，求证F （x 2）＞．山东省济宁市2019届高三上学期开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，0＜x＜1}，则A∩B等于（）A．{y|＜y＜1} B．{y|0＜y} C．∅D．{y|0＜y＜1}【考点】交集及其运算．【分析】由已知分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={y|y=log2x，x＞1}={y|y＞0}，B={y|y=（）x，0＜x＜1}={y|}，∴A∩B={y|}．故选：A．2．设函数f（x）=ax2+b（a≠0），若∫f（x）dx=2f（x0），x＞0，则x=（）A．2 B．C．1 D．【考点】定积分．【分析】求出f（x）的定积分，由∫f（x）dx=2f（x0），x＞0求解x的值．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+b（a≠0），由∫f（x）dx=2f（x），得=，2f（x）=2，由，解得．故选：D．3．偶函数y=f（x）在区间（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列不等式成立的是（）A．f（﹣1）＞f（）B．f（）＞f（﹣）C．f（4）＞f（3）D．f（﹣）＞f（）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】f （x ）是偶函数，则f （﹣x ）=f （x ），在区间（﹣∞，﹣1]上是增函数，利用单调性比较不等式大小．【解答】解：由题意：f （x ）是偶函数，则f （﹣x ）=f （x ），在区间（﹣∞，﹣1]上是增函数．对于A ：f （）=f （），∵，∴f （﹣1）＜f （）；对于B ：f （x ）是偶函数，即f （﹣x ）=f （x ），f （）=f （﹣）；对于C ：f （4）=f （﹣4），f （3）=f （﹣3），∵﹣4＜﹣3，∴f （4）＞f （3）；对于D ：f （）=f （﹣），∵∴f （﹣）＞f （）．故选：D ．4．已知函数f （x ）=，则y=f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的图象与性质．【分析】考虑函数f （x ）的分母的函数值恒小于零，即可排除A ，C ，由f （x ）的定义域能排除D ，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g ′（x ）=∴g （x ）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g （x ）＜g （0）=0∴f （x ）=＜0得：x ＞0或﹣1＜x ＜0均有f （x ）＜0排除A ，C ，又f （x ）=中，，能排除D ．故选 B5．设f （x ）=log a x （a ＞0，a ≠1）．若f （x 1x 2…x 2017）=6，则f （x 13）+f （x 23）+…+f （x 20173）=（ ）A ．64B ．4C ．18D ．2【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数的性质求出答案即可．【解答】解：若f （x 1x 2…x 2017）=6，则f （x 13）+f （x 23）+…+f （x 20173）=3f （x 1x 2…x 2017）=18，故选：C ．6．log 0.72，log 0.70.8，0.9﹣2的大小顺序是（ ）A ．log 0.72＜log 0.70.8＜0.9﹣2B ．log 0.70.8＜log 0.72＜0.9﹣2C．0.9﹣2＜log0.72＜log0.70.8 D．log0.72＜0.9﹣2＜log0.70.8【考点】对数值大小的比较．【分析】由已知利用对数函数和指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵log0.72＜log0.71=0，0=log0.71＜log0.70.8＜log0.70.7=1，0.9﹣2＞0.90=1，∴log0.72＜log0.70.8＜0.9﹣2．故选：A．7．函数y=的导数是（）A．﹣ B．C．﹣D．﹣【考点】导数的运算．【分析】直接由导数的运算法则和基本初等函数的求导公式计算．【解答】解：由y=，所以=．故选C．8．设常数a＞0，函数f（x）=为奇函数，则a的值为（）A．1 B．﹣2 C．4 D．3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】函数f（x）=为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）=0，代入化简，即可求出a的值．【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0，即+=0，化简得（1+a•2x）（2x﹣a）+（1﹣a2x）（2x+a）=0；故2•2x（1﹣a2）=0，解得，a=1或a=﹣1；∵a＞0，∴a=1．故选：A．9．已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）+f（﹣x）=0，f（x﹣1）=f（x+1），当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log12）的值为（）A．﹣B．﹣ C．﹣ D．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）+f（﹣x）=0、f（x﹣1）=f（x+1），判断出函数是奇函数、函数是周期函数并可求出周期，再由奇函数的性质、周期函数的性质、对数的运算律，将f（log12）进行转化到已知区间求值即可．【解答】解：由f（x）+f（﹣x）=0得，f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）是定义在R上的奇函数，由f（x﹣1）=f（x+1）得，f（x）=f（x+2），所以f（x）是定义在R上以2为周期的周期函数，则f（log12）=f（﹣）=﹣f（），因为2＜＜3，所以0＜﹣2＜1，因为当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，所以f（﹣2）==12×﹣1=，所以f（log12）=﹣f（）=﹣f（﹣2）=﹣，故选：C．10．已知函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=2，若f（3）=2，则fA．2 B．﹣2 C．4 D．1【考点】函数的值．【分析】由于f（x）•f（x+2）=2，以x+2代x得f（x+2）•f（x+4）=2，所以f（x）=f（x+4）．函数f（x）是周期函数，4是一个周期．在f（x）•f（x+2）=2中，令x=1得出f（1），f（3）关系式，求解即可【解答】解：∵函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=2，∴以x+2代x得f（x+2）•f（x+4）=2，∴f（x）=f（x+4），函数f（x）是周期函数，4是一个周期．f=f（1），又在f（x）•f（x+2）=2中，令x=1得出f（1）•f（3）=2，∵f（3）=2∴f（1）=1，∴f=1．故答案为：1．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设p：x＜﹣3或x＞1，q：x＜﹣2或x＞1，则￢p是￢q的必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出￢p，￢q，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵p：x＜﹣3或x＞1；q：x＜﹣2或x＞1，∴￢p：﹣3≤x≤1，￢q：﹣2≤x≤1，根据充分必要条件的定义可判断：￢p是￢q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．12．loga＜1（a＞0且a≠1），a的取值范围为a＞1，或0＜a＜．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】当a＞1 时，∵＜0，故不等式成立，当 0＜a＜1 时，不等式即＜logaa，依据单调性解a的取值范围．【解答】解：∵＜1，当a＞1 时，∵＜0，故不等式成立．当 0＜a＜1 时，不等式即＜logaa，∴0＜a＜，综上，a的取值范围为 a＞1，或0＜a＜，故答案为：a＞1，或0＜a＜．13．若2a=5b=10，则等于 1 ．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算性质和对数的定义即可求出．【解答】解：2a=5b=10，∴a=log210，b=log510，∴=lg2， =lg5，∴=+=lg2+lg5=1，故答案为：1．14．曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．【考点】直线的点斜式方程．【分析】本题可以先求出交点坐标，再求解交点处的两个方程，然后分别解出它们与x轴的交点坐标，计算即可．【解答】解：联立方程解得曲线和y=x2在它们的交点坐标是（1，1），则易得两条切线方程分别是y=﹣x+2和y=2x﹣1，y=0时，x=2，x=，于是三角形三顶点坐标分别为（1，1）；（2，0）；（，0），s=×，即它们与x轴所围成的三角形的面积是．15．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是[，）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在[0，1）上是一直线y=x的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线y=kx+k过点（3，1）与直线y=kx+k过点（2，1）之间即可．【解答】解：∵函数，∴函数的图象如下图所示：∵y=kx+k=k（x+1），故函数图象一定过（﹣1，0）点若f（x）=kx+k有三个不同的根，则y=kx+k与y=f（x）的图象有三个交点当y=kx+k过（2，1）点时，k=，当y=kx+k过（3，1）点时，k=，故f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是[，）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（x+）．求：（1）f（﹣8）；（2）f（x）在R上的解析式．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据解析式先求出f（8），由奇函数的性质求出f（﹣8）；（2）设x＜0则﹣x＞0，代入解析式化简得f（﹣x），由奇函数的性质求出f（x），利用分段函数表示出f（x）．【解答】解：（1）∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（x+），∴f（8）=8×（8+）=80，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣8）=﹣f（8）=﹣80；（2）设x＜0，则﹣x＞0，∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（x+），∴f（﹣x）=﹣x（﹣x﹣）=x（x+），∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x（x+），综上得，．（﹣x2﹣2x+8）．17．已知函数f（x）=log2（1）求f（x）的定义域和值域；（2）写出函数f（x）的单调区间．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）由﹣x2﹣2x+8＞0，能求出f（x）的定义域，设μ（x）=﹣x2﹣2x+8=﹣（x+1）2+9，由此能求出f（x）的值域．（2）由y=logx是增函数，而μ（x）在[﹣1，2）上递减，在（﹣4，﹣1]上递增，能求出f（x）的单调2区间．（﹣x2﹣2x+8），【解答】解：（1）∵f（x）=log2∴﹣x2﹣2x+8＞0，解得﹣4＜x＜2，∴f（x）的定义域为（﹣4，2）．设μ（x）=﹣x2﹣2x+8=﹣（x+1）2+9，∵﹣4＜x＜2，∴μ（x）∈（0，9]，9]．∴f（x）的值域为（﹣∞，log2x是增函数，而μ（x）在[﹣1，2）上递减，在（﹣4，﹣1]上递增，（2）∵y=log2∴f（x）的单调递减区间为[﹣1，2），单调递增区间为（﹣4，﹣1]．18．设命题p：∀x∈[1，2]，﹣lnx﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x2+2ax﹣8﹣6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：，令，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出；命题q：x2+2ax﹣8﹣6a≤0解集非空，△=≥0，基础a的范围．命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真．即可得出．【解答】解：命题p：，令，=，∴fmin（x）=f（1）=，∴．命题q：x2+2ax﹣8﹣6a≤0解集非空，△=4a2+24a+32≥0，∴a≤﹣4，或a≥﹣2．命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真．（1）当p真q假，﹣4＜a＜﹣2；（2）当p假q真，综合，a的取值范围．19．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．【解答】解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（Ⅱ）当m=640米时，y=f （x ）=640×（+）+1024f ′（x ）=640×（﹣+）=640×∵f ′（26）=0且x ＞26时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，0＜x ＜26时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减 ∴f （x ）最小=f （x ）极小=f （26）=8704∴需新建桥墩个．20．已知函数f （x ）=x ﹣1+（a ∈R ）． （1）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数f （x ）的极值；（3）当a=1时，若直线l ：y=kx ﹣1与曲线y=f （x ）没有公共点，求k 的最大值． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出原函数的导函数，依题意f ′（1）=0，从而可求得a 的值；（2）f ′（x ）=1﹣，分①a ≤0时②a ＞0讨论，可知f （x ）在∈（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（3）令g （x ）=f （x ）﹣（kx ﹣1）=（1﹣k ）x+，则直线l ：y=kx ﹣1与曲线y=f （x ）没有公共点，等价于方程g （x ）=0在R 上没有实数解，分k ＞1与k ≤1讨论即可得答案．【解答】解：（1）由，得f ′（x ）=1﹣，∴f ′（1）=1﹣，由曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，得，即a=e ；（2）由f ′（x ）=1﹣，知若a ≤0，则f ′（x ）＞0，函数f （x ）在实数集内为增函数，无极值； 若a ＞0，由f ′（x ）=1﹣=0，得x=lna ，当x ∈（﹣∞，lna ）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（lna ，+∞）时，f ′（x ）＞0． ∴f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增；（3）当a=1时，f （x ）=x ﹣1+，令g （x ）=f （x ）﹣（kx ﹣1）=（1﹣k ）x+，则直线l ：y=kx ﹣1与曲线y=f （x ）没有公共点， 等价于方程g （x ）=0在R 上没有实数解．假设k ＞1，此时g （0）=1＞0，g （）=﹣1+＜0，又函数g （x ）的图象连续不断，由零点存在定理可知g （x ）=0在R 上至少有一解， 与“方程g （x ）=0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1．又k=1时，g （x ）=＞0，知方程g （x ）=0在R 上没有实数解．∴k 的最大值为1．21．设函数f （x ）=x 2+aln （x+1）． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数F （x ）=f （x ）+ln有两个极值点x 1，x 2且x 1＜x 2，求证F （x 2）＞．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），=，令g （x ）=2x 2+2x+a ，则△=4﹣8a ．由根的判断式进行分类讨论，能求出函数f （x ）的单调区间．（Ⅱ）由F ′（x ）=f ′（x ），知函数F （x ）有两个极值点时，0＜a ＜，0＜＜1，由此推导出x 2=∈（﹣，0），且g （x 2）=0，即a=﹣（2+2x 2），F （x 2）=﹣（）ln（1+x 2）+ln，构造函数h （x ）=x 2﹣（2x 2+2x ）ln （1+x ）+ln，能够证明F （x 2）＞．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），=，（x ＞﹣1），令g （x ）=2x 2+2x+a ，则△=4﹣8a ． ①当△＜0，即a时，g （x ）＞0，从而f ′（x ）＞0，故函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增；②当△=0，即a=时，g （x ）≥0，此时f ′（x ）≥0，此时f ′（x ）在f ′（x ）=0的左右两侧不变号， 故函数f （x ）在（﹣1，0）上单调递增；③当△＞0，即a ＜时，g （x ）=0的两个根为，，当，即a ≤0时，x 1≤﹣1，当0＜a ＜时，x 1＞﹣1．故当a ≤0时，函数f （x ）在（﹣1，）单调递减，在（，+∞）单调递增；当0＜a ＜时，函数f （x ）在（﹣1，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（Ⅱ）∵F （x ）=f （x ）+ln，∴F ′（x ）=f ′（x ），∴当函数F （x ）有两个极值点时0＜a ＜，0＜＜1，故此时x 2=∈（﹣，0），且g （x 2）=0，即a=﹣（2+2x 2），∴F （x 2）=+aln （1+x 2）+ln=﹣（）ln （1+x 2）+ln，设h （x ）=x 2﹣（2x 2+2x ）ln （1+x ）+ln，其中﹣，则h ′（x ）=2x ﹣2（2x+1）ln （1+x ）﹣2x=﹣2（2x+1）ln （1+x ），由于﹣时，h ′（x ）＞0，故函数h （x ）在（﹣，0）上单调递增，故h （x ）．h （﹣）=．∴F （x 2）=h （x 2）＞．。
2019年最新山东省高考数学一模试卷(理)及答案解析
山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}3．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280．采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（）A．20 B．16 C．15 D．144．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假5．已知x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．46．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．28+6 B．40 C．D．30+67．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．489．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|=1，若P（1，），则|++|的取值范围是（）A．[5，6] B．[6，7] C．[6，9] D．[5，7]10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．二项式的展开式中常数项的值为．12．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是．13．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若a3=8，S3=（4x+3）dx，则公比q= ．14．过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=90°，△ABC≌△ADC，PA=AC=2AB=2，E是线段PC的中点．（I）求证：DE∥面PAB；（Ⅱ）求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．19．已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．20．已知函数f（x）=﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2e mx（m∈R）．（1）当a=1，求函数f（x）的最大值（2）当a＜0，且对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．21．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点（i）证明：∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==，则z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第三象限．故选：C．2．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤4，即M=[﹣2，4]，由N中lgx≥0，得到x≥1，即N=[1，+∞），则M∩N=[1，4]，故选：C．3．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280．采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（）A．20 B．16 C．15 D．14【考点】分层抽样方法．【分析】先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高三学生中应抽取的人是多少．【解答】解：根据题意，得抽取样本的比例是=，∴从高三学生中应抽取的人数为280×=14．故选：D．4．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：∀x∈R，都有sinx≤1，故命题p：∃x0∈R，使sinx0=是假命题；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，故命题q：∀x∈（0，），x＞sinx是真命题，故B正确，故选：B．5．已知x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=3x﹣2y为y=x﹣，从而利用数形结合求解即可．【解答】解：由题意作平面区域如下，，z=3x﹣2y可化为y=x﹣，故当过点A（1，5）时，z有最小值，即z=3x﹣2y的最小值是3﹣10=﹣7，故选：A．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．28+6 B．40 C．D．30+6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是5、4，由正视图知，三棱锥的高是4，∴该几何体的体积V==，故选：C．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出周期T与ω的值，再计算φ的值，写出f（x）的解析式，从而求出f（0）+f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象，得T=﹣（﹣）=，又T==π，∴ω=2；当x=﹣时，函数f（x）取得最小值﹣2，∴2×（﹣）+φ=﹣+2kπ，k∈Z，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；∴f（0）+f（）=2sin（﹣）+2sin（2×﹣）=2×（﹣）+2sin=2﹣．故选：A．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|=1，若P（1，），则|++|的取值范围是（）A．[5，6] B．[6，7] C．[6，9] D．[5，7]【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】设出A，B两点坐标，求出三个向量的坐标，对|++|取平方得出关于A点坐标的函数，利用三角函数的性质求出|++|的范围．【解答】解：设A（x，0），B（0，y），则x2+y2=1．∴=（1﹣x，），=（1，y）.=（1，）．∴++=（3﹣x，3）．∴|++|2=（3﹣x）2+（3﹣y）2=37﹣6x﹣6y．令x=cosθ，y=sinθ，则|++|2=37﹣6cosθ﹣6sinθ=37﹣12sin（θ+）．∴当sin（θ+）=﹣1时，|++|取得最大值=7，当sin（θ+）=1时，|++|取得最小值=5．故选：D．10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意，设函数f（x）=ae bx+c，由f（0）=1得a+c=1；再由3f（x）=f′（x）﹣3，得；由此求出f（x）的解析式，再解不等式4f（x）＞f′（x）即可．【解答】解：∵3f（x）=f′（x）﹣3，∴f′（x）=3f（x）+3；可设f（x）=ae bx+c，由f（0）=1，∴a+c=1；又3f（x）=f′（x）﹣3，∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，即（3a﹣ab）e bx=﹣3﹣3c，∴，解得b=3，c=﹣1，a=2；∴f（x）=2e3x﹣1，x∈R；又4f（x）＞f′（x），∴8e3x﹣4＞6e3x，即e3x＞2，解得x＞，所求不等式的解集为（，+∞）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．二项式的展开式中常数项的值为20 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣2r令6﹣2r=0得r=3故展开式的常数项为T4=C63=20故答案为2012．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是150°．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．【分析】由，，且，知+cos＜＞=0，即3+cos＜＞=0，由此能求出向量与的夹角．【解答】解：∵，，且，∴+cos＜＞=0，即3+cos＜＞=0，解得cos＜＞=﹣，∴向量与的夹角是150°，故答案为：150°．13．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若a3=8，S3=（4x+3）dx，则公比q= 2 ．【考点】等比数列的通项公式；定积分．【分析】求定积分S3=（4x+3）dx=14，从而可得8（1++）=14，从而解得．【解答】解：S3=（4x+3）dx=2x2+3x|=8+6=14，则S3=a3（1++）=14，解得，q=2，故答案为：2．14．过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是3 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线l的方程，利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx ﹣ay=0的距离恒大于等于b，运用平行直线的距离公式，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的最大值．【解答】解：由双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程y=±x，可得直线l的方程为y=x+3b，即bx﹣ay+3ab=0，由双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，可得直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，即有≥b，化简可得8a2≥b2，8a2≥c2﹣a2，即c2≤9a2，即有c≤3a，可得离心率e=≤3．则离心率的最大值为3．故答案为：3．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1] ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，结合范围B∈（0，π），sinB≠0，解得tanC=，又C∈（0，π），即可求C的值．（Ⅱ）由三角形面积公式可解得ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立可解得a，b的值．【解答】解：（I）∵2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1，∴1+cosA+（cosB﹣sinB）cosC=1，可得：﹣cosA=（cosB﹣sinB）cosC，∴cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=cosBcosC﹣sinBcosC，可得：﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，∵B∈（0，π），sinB≠0，∴sinC=cosC，即：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=．（Ⅱ）∵c=2，C=，△ABC的面积为=absinC=ab，∴解得：ab=4，①又∵由余弦定理可得：4=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣12，解得：a+b=4，②∴①②联立可解得：a=b=2．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=90°，△ABC≌△ADC，PA=AC=2AB=2，E是线段PC的中点．（I）求证：DE∥面PAB；（Ⅱ）求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，推导出四边形ABOD是平行四边形，从而DO∥AB，进而面ODE∥面PAB，由此能证明DE∥面PAB．（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，∵∠ABC=90°，∴BO=，同理，DO=1，又∵AB=AD=1，∴四边形ABOD是平行四边形，∴DO∥AB，又∵OD∩OE=O，PA∩AB=A，OD，OE⊂平面ODE，PA，AB⊂面PAB，∴面ODE∥面PAB，又∵DE⊂面ODE，∴DE∥面PAB．解：（Ⅱ）∵AB⊥BC，PA⊥面ABCD，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（0，，0），P（1，0，2），D（，，0），=（0，，0），=（1，0，2），=（﹣，，0），=（﹣，﹣，2），设面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，﹣1），设平面DPC的法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），设二面角D﹣CP﹣B的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角D﹣CP﹣B的余弦值为．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，由此能求出选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，，…，……（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，…，，，…所以，X的分布列为：X 0 5 15 35P……19．已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）通过设数列{a n}的首项为a1，公差为d（≠0），代入计算即得a n=3n﹣4；当n=1时由4S1=b12+2b1﹣3可知b1=3，当n≥2时，利用4S n=b n2+2b n﹣3与4S n﹣1=b n﹣12+2b n ﹣1﹣3作差，整理可知数列{b n}是首项为3、公差为2的等差数列，进而可知b n=2n+1；（Ⅱ）通过（I）裂项可知c n=（﹣），并项相加可知T n=，进而可知=1﹣，通过令f（x）=1﹣，借助函数知识可知≥，从而问题转化为解不等式≤，计算即得结论．【解答】解：（I）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（≠0），由已知可得，解得：或（舍），∴a n=3n﹣4；当n=1时，4S1=b12+2b1﹣3，解得：b1=3或b1=﹣1（舍），当n≥2时，4S n﹣1=b n﹣12+2b n﹣1﹣3，∴4b n=4S n﹣4S n﹣1=b n2+2b n﹣b n﹣12﹣2b n﹣1，整理得：（b n﹣b n﹣2﹣2）（b n+b n﹣2）=0，又∵数列{b n}的每一项均为正实数，∴b n﹣b n﹣2﹣2=0，∴数列{b n}是首项为3、公差为2的等差数列，∴b n=2n+1；（Ⅱ）由（I）可知c n===（﹣），则T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∴==1﹣，令f（x）=1﹣，则当x＞0时，f（x）＞0，∴{}为递增数列，≥=，又∵≥对∀n∈N*恒成立，∴=≤，解得：m≤，故正整数m的最大值为6．20．已知函数f（x）=﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2e mx（m∈R）．（1）当a=1，求函数f（x）的最大值（2）当a＜0，且对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）把a=1代入函数解析式，直接利用导数求得函数的最值；（2）构造函数h（x）=f（x）+1，对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，等价于当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，h min（x）≥g max（x）成立，分类求得f（x）在[0，2]上的最小值，再求g（x）的导数，对m讨论，结合单调性，求得最大值，解不等式即可得到实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣aln（1+x）=，f′（x）=（x＞﹣1），当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为增函数．∴f（x）max=f（0）=0；（2）令h（x）=f（x）+1，当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，即当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，h（x1）≥g（x2）恒成立，等价于当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，h min（x）≥g max（x）成立，当a＜0时，由h（x）=﹣aln（1+x）+1，得h′（x）==（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1﹣a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，当x∈（1﹣a，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，若1﹣a＜2，即﹣1＜a＜0，h（x）在（0，1﹣a）上为增函数，在（1﹣a，2）上为减函数，h（x）的最小值为min{h（0），h（2）}=min{1，}=1，若1﹣a≥2，即a≤﹣1，h（x）在（0，2）上为增函数，函数f（x）在[0，2]上的最小值为f （0）=1，∴f（x）的最小值为f（0）=1，g（x）的导数g′（x）=2xe mx+x2e mx•m=（mx2+2x）e mx，当m=0时，g（x）=x2，x∈[0，2]时，g max（x）=g（2）=4，显然不满足g max（x）≤1，当m≠0时，令g′（x）=0得，，①当﹣≥2，即﹣1≤m≤0时，在[0，2]上g′（x）≥0，∴g（x）在[0，2]单调递增，∴，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，则﹣1≤m≤﹣ln2；②当0＜﹣＜2，即m＜﹣1时，在[0，﹣]，g′（x）≥0，g（x）单调递增，在[﹣，2]，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（﹣）=，只需≤1，得m≤﹣，则m＜﹣1；③当﹣＜0，即m＞0时，显然在[0，2]上g′（x）≥0，g（x）单调递增，g（x）max=g（2）=4e2m，4e2m≤1不成立．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．21．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点（i）证明：∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到b=c=1，由此能求出椭圆C的方程．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线AB方程为x=，；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆方程，得x2+2（kx+m）2=2，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出为定值．（ii）要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，由此利用椭圆弦长公式能求出△ABQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，∴b=c=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆C的方程为．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=．证明：（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x=，则A（，），B（，﹣），∴，当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得x2+2（kx+m）2=2，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0，（*），∵直线与圆相切，∴==，∴3m2=2+2k2，∴+km（x1+x2）+m2===0，∴，∴为定值．解：（ii）∵PQ是“相关圆”的直径，∴，∴要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，当直线AB的斜率不存在时，由（i）知|AB|=，|AB|====，①当k≠0时，|AB|=，∵，∴0＜，∴≤3，∴＜|AB|，当且仅当k=时，取“=”号．②当k=0时，|AB|=．|AB|的取值范围为≤|AB|，∴△ABQ面积的取值范围是[，]．。
山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试理科综合试题 (附答案)
2018—2019学年度济宁市高考模拟考试理科综合能力测试2019．03 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共16页。
满分300分。
考试用时150分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 S 32 C1 35.5 P 31 Ca 40Pb 207第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于植物激素及其类似物在农业生产实践中的应用，符合实际的是A．西瓜结果后，喷洒一定量的脱落酸可防止果实的脱落B．一定浓度的细胞分裂素促进细胞生长，使细胞体积增大C．利用低浓度2，4—D作除草剂，可抑制农田中杂草的生长D．用一定浓度的赤霉素溶液处理芦苇等植物，可使植株增高2．下列有关物质进出细胞的说法，错误的是A．生物膜的特定功能主要由膜蛋白决定B．某些小分子物质可以通过胞吐的方式运出细胞C．抑制细胞膜上载体的作用会阻碍性激素进入细胞D．荧光标记的小鼠细胞和人细胞的融合依赖于细胞膜的流动性3．下列关于化合物在细胞中存在位置的叙述，错误的是A．真核细胞的细胞膜上存在糖类和脂质分子结合成的糖脂B．原核细胞的细胞质中存在蛋白质和RNA形成的结构C．叶肉细胞的细胞质基质不存在蛋白质和DNA形成的结构D．原核细胞的拟核中不存在DNA—RNA复合物4．为研究神经元之间的相互作用，分别用适宜强度的刺激进行如下实验：①只刺激a神经元，②只刺激b神经元，③先刺激a立即再刺激b。
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2018—2019学年度济宁市高考模拟考试
数学(理工类)试题
2019.3
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．
第I 卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}(){}
2230,ln 1,A x x x B x y x A B =--≤==-⋂=则
A ，[1，3]
B ．(1，3] c ．[2，3] D ．[－l ，+∞) 2．若复数21z i
=+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是 A ．z 的虚部为1-
B ．2z =
C ．2z 为纯虚数
D ．z 的共轭复数为1i -- 3．执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为1-，则
输出的S 的值是
A ．12-
B ．
12 C ．74 D ．6320 4．若变量,x y 满足2210
20x y x z x y y ⎧+≤⎪≥=+⎨⎪≥⎩
，则的最大值是
A ．5-
B ．1
C ．2
D 55．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()()11,19,2019f x f x f f +=-==若则
A ．9-
B ．9
C ．3-
D ．0
6．已知平面α，直线,m n ，满足n α⊂，则“//m n ”是“//m α”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．若sin 3sin cos cos 22x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．310 B ．310- c ．34 D ．34
- 8．下图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为
“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”
的外接球的体积为
A 82
B 6π
C ．6π
D ．8π
10．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>的零点构成一个公差为2
π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移
6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是
A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是增函数 B ．其图象关于直线2x π=对称 C ．函数()g x 是偶函数 D ．在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤⎣⎦ 11．已知双曲线()22
22:10x y C a b a b
-=>0,>的左、右焦点分别为12F F 、，实轴长为4，渐近线方程为121,42
y x MF MF =±-=，点N 在圆2240x y y +-=上，则1MN MF +的最小值为
A ．27+
B ．5
C ．6
D ．7
12．已知当()1,x ∈+∞时，关于x 的方程()ln 30x x a x a +-+=有唯一实数解，则a 所在的区间是
A ．(3，4)
B ．(4，5)
C ．(5，6)
D ．(6．7)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为 ▲ ．
14．()()5
22x y x y +-的展开式中，24x y 的系数为 ▲ ．(用数字作答)．
15．如图所示，在正方形OABC 内随机取一点，则此点取
自黑色部分的概率为 ▲ ．
16．在△ABC 中，记3,.m CB AC n CB m n =-=⊥若．则
sinA 的最大值为 ▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)
等差数列{}n a 的公差为正数，11a =，其前n 项和为n S ；数列{}n b 为等比数列，12b =， 且222312,10b S b S =+=．
(I)求数列{}{}n n a b 与的通项公式；
(Ⅱ)设1n n n c b S =+
，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
18．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥
底面ABCD ，60,3,23,3ABC AB AD AP ∠====．
(I)求证：平面PCA ⊥平面PCD ；
(Ⅱ)设E 为侧棱PC 上的一点，若直线BE 与底面ABCD 所成的
角为45°，求二面角E AB D --的余弦值．
19．(本小题满分12分)
某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．
(I)求频率分布直方图中,,a b c 的值；
(Ⅱ)从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[55，65)的人数，求X 的概率分布列和数学期望；
(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布()2
,N μσ，其中()260,25.220.9545P μσμσξμσ==-≤<+>若，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．
20．(本小题满分12分) 已知椭圆()22
2210x y C a b a b +=>>：3C 过点23P ⎛ ⎝⎭
． (I)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设椭圆C 的右焦点为F ，直线l 与椭圆C 相切于点A ，与直线3x =相交于点B ，求证：AFB ∠的大小为定值．
21．(本小题满分12分)
已知函数()()ln 1f x x a x a a R =-+-∈．
(I)讨论()f x 的单调性；
(Ⅱ)若)
(),0a x e f x ⎡∈+∞≥⎣时，恒成立，求实数a 的取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 的直角坐标为(1，0)，直线l 的参数方程为2122
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos p θθ=．
(I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求221
1MA MB +的值．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>． (I)当1a b ==时，解不等式()2f x x >+； (Ⅱ)若()f x 的值域为[2，+∞)，求证：11111
a b +≥++．。