2019年初中数学-九年级21.6 综合与实践 获取最大利润
沪科版数学九年级上册《21.6 综合与实践 获取最大利润》教学设计3
沪科版数学九年级上册《21.6 综合与实践获取最大利润》教学设计3一. 教材分析《21.6 综合与实践获取最大利润》是沪科版数学九年级上册中的一节内容。
本节课主要让学生通过实例感受函数模型在实际生活中的应用，学会建立函数模型解决问题，培养学生的数学应用能力。
教材内容主要包括以下几个部分：1.引入实例：介绍商家在销售商品时如何通过调整进价和售价来获取最大利润。
2.分析问题：引导学生分析影响利润的因素，建立函数模型。
3.解决问题：利用函数模型求解最大利润问题。
4.应用拓展：让学生运用函数模型解决实际生活中的类似问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和性质，具备了一定的函数知识基础。
但学生在解决实际问题时，往往难以将数学知识与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生将函数知识应用于实际问题，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.让学生理解函数模型在实际生活中的应用，体会数学的价值。
2.培养学生运用函数知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.建立函数模型并解决实际问题。
2.引导学生运用数学知识分析和解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.小组讨论法：培养学生团队合作精神，提高学生的交流表达能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题的规律，培养学生独立思考能力。
六. 教学准备1.准备相关实例，制作PPT。
2.准备练习题，巩固所学知识。
3.准备拓展问题，提高学生的应用能力。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示实例，引导学生关注商家如何获取最大利润。
提出问题：“商家如何通过调整进价和售价来获取最大利润？”2.呈现（10分钟）展示教材中的例题，引导学生分析影响利润的因素。
让学生尝试建立函数模型，求解最大利润问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，建立函数模型并求解最大利润。
沪科版数学九年级上册《21.6 综合与实践 获取最大利润》教学设计3
沪科版数学九年级上册《21.6 综合与实践获取最大利润》教学设计3一. 教材分析《21.6 综合与实践获取最大利润》是沪科版数学九年级上册的一节内容。
这部分内容主要让学生掌握利用线性方程解决实际问题，特别是利润问题。
教材通过实例引导学生理解利润与成本、销售量之间的关系，进而运用线性方程求解最大利润。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了线性方程的基本知识，对于解决实际问题有一定的理解。
但是，如何将实际问题转化为线性方程，以及如何灵活运用线性方程解决复杂问题，仍然是学生的难点。
因此，在教学过程中，需要引导学生将实际问题与数学知识相结合，培养学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用线性方程解决利润问题的方法，能够将实际问题转化为线性方程，求解最大利润。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极面对困难，勇于解决问题的精神。
四. 教学重难点1.重点：如何将实际问题转化为线性方程，求解最大利润。
2.难点：如何灵活运用线性方程解决复杂利润问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生理解利润与成本、销售量之间的关系，进而运用线性方程求解最大利润。
同时，采用小组合作的学习方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生理解利润问题。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
3.准备PPT，用于展示教学内容。
七. 教学过程通过一个简单的实例，引导学生思考如何计算最大利润。
例如，一家商店销售一种商品，每件商品的成本是100元，售价是150元，如果一天卖出x件商品，那么一天的利润是多少？如何求解最大利润？2.呈现（15分钟）引导学生分析实例中的问题，让学生理解利润与成本、销售量之间的关系。
然后，引导学生将实际问题转化为线性方程，求解最大利润。
沪科版-数学-九年级上册-21.6 综合与实践 获取最大利润 同步课件
如果 a 0 ，那么当x h 时 ，y有最 小 值 k ；
如果 a 0，那么当 x h 时，y有最 大 值 k .
(4)对于二次函数 y = ax2 + bx + c
如果 a 0，那么当 x
-b 2a
4ac - b2
时，y有最小值 4a
；
b
4ac - b2
销售量可表示为 : 500 200 13.5 x件; 销售额可表示为: x500 200 13.5 x 元; 所获利润可表示为: x 2.5500 200 13.5 x 元;
当销售单价为 9.25 元时,可以获得最大利润,最大利润 是 9112.5 元.
例2 某同学的父母开了一个服装店,出售一种进价为40元的服装,
6、二次函数 y 2x2 8x 1
当_x_=_2___时，y有最__大__值是___7____.
7、图中所示的二次函数图像的解析式为：
y = 2 x2 + 8 x + 13
y
⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、 最小值分别为(55),( 5 )
⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、 最小值分别为( 55 ),( 13 ) 求函数的最值问题，应注意什么?
y (60 x)(300 20x) 40(300 20x) (20 x)(300 20x) 20x2 100x 6000 20(x2 5x 25) 6000 125
4 20(x 2.5)2 6125 (40 x 60) 当x 2.5时, y最大 6125
解：(2)设每件涨价x元,每星期所获利润为y元. 根据题意得:
如果 a 0，那么当 x - 2a 时 ，y有最大值 4a
沪科版数学九年级上册《21.6 综合与实践 获取最大利润》教学设计2
沪科版数学九年级上册《21.6 综合与实践获取最大利润》教学设计2一. 教材分析《21.6 综合与实践获取最大利润》是沪科版数学九年级上册的一章内容。
这一章节主要是让学生理解和掌握利润问题的解法，学会运用数学知识解决实际问题。
教材通过实例引入利润问题，让学生探讨和分析影响利润的因素，并通过公式推导和实例计算，让学生掌握获取最大利润的方法。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数知识和解题技巧，对于解决实际问题也有一定的理解。
但是，对于利润问题的理解和解决，他们可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的理解情况，引导学生通过实例分析和公式推导，理解和掌握利润问题的解法。
三. 教学目标1.让学生理解利润的概念和计算方法。
2.引导学生分析影响利润的因素，并学会运用数学知识解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.利润的计算方法的掌握。
2.影响利润的因素的分析。
3.实际问题中获取最大利润的方法的运用。
五. 教学方法1.实例分析法：通过实例引入利润问题，让学生理解和掌握利润的计算方法。
2.小组讨论法：让学生分组讨论和分析影响利润的因素，培养学生的团队合作能力。
3.引导发现法：引导学生通过公式推导和实例计算，发现获取最大利润的方法。
六. 教学准备1.准备相关的实例和数据，用于引入和解释利润问题。
2.准备利润问题的相关练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入利润概念，例如：一家商店进购一批商品，进价为每件100元，售价为每件150元，问商店卖出这批商品能获得多少利润？让学生计算并解释利润的计算方法。
2.呈现（10分钟）呈现其他几个实际问题，让学生计算利润。
引导学生分析影响利润的因素，如进价、售价、销售数量等。
让学生通过小组讨论，分析这些问题并找出影响利润的关键因素。
3.操练（10分钟）让学生进行一些利润问题的练习题，巩固对利润计算方法的理解。
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沪科版数学九年级上册《21.6 综合与实践获取最大利润》教学设计2一. 教材分析《获取最大利润》是沪科版数学九年级上册第21.6节的内容，本节主要通过实例让学生理解函数的实际应用，利用一次函数的性质解决实际问题，从而获取最大利润。
教材中提供了丰富的实例，引导学生通过合作交流，探讨获取最大利润的方法，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本知识，对于一次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将函数知识应用到实际问题中，求解最大利润问题，对学生来说还是一个新的挑战。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将已有的函数知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解函数在实际问题中的应用，尤其是如何利用一次函数的性质求解最大利润问题。
2.培养学生的合作意识，提高学生解决问题的能力。
3.通过对实际问题的探讨，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：理解一次函数在实际问题中的应用，掌握求解最大利润问题的方法。
2.难点：如何将一次函数的性质与实际问题相结合，求解最大利润问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考，从而激发学生的学习兴趣。
2.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作意识。
3.实例分析法：教师通过提供实例，让学生直观地理解一次函数在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示教材中的实例和相关的图片。
2.练习题：准备一些相关的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。
3.教学道具：准备一些实物道具，以便在课堂上进行实例分析。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题：“在现实生活中，我们为什么要学习数学？”引导学生思考数学在实际生活中的重要性。
然后，教师展示一些与利润相关的实例，如商品销售、投资等，引出本节课的主题——获取最大利润。
2.呈现（10分钟）教师展示教材中的实例，让学生观察和分析实例中的数量关系。
沪科版数学九年级上册21.6《综合与实践—获取最大利润》教学设计
沪科版数学九年级上册21.6《综合与实践—获取最大利润》教学设计一. 教材分析《沪科版数学九年级上册21.6《综合与实践—获取最大利润》》是一节实践活动课，通过实例让学生理解和掌握如何获取最大利润的方法。
教材中给出了一个具体的例子，让学生通过计算和分析，找出获取最大利润的策略。
教材还介绍了利用二次函数求最大值的方法，让学生理解和掌握这一数学工具的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，但对实际问题的解决能力还不够强。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，通过计算和分析，找出解决问题的方法。
三. 教学目标1.让学生理解和掌握如何获取最大利润的方法。
2.让学生通过实际问题，理解和掌握二次函数求最大值的方法。
3.培养学生的实际问题解决能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生理解和掌握如何获取最大利润的方法。
2.难点：让学生通过实际问题，理解和掌握二次函数求最大值的方法。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例分析和计算，找出获取最大利润的方法。
同时，利用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中，理解和掌握二次函数求最大值的方法。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生分析和计算。
2.准备二次函数的计算工具，如计算器或电脑软件。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的实例，引出获取最大利润的问题。
例如，某个商场举行打折活动，商品的原价为100元，打折后的价格在80元到90元之间。
问商场如何制定打折策略，才能使获得的利润最大？2.呈现（10分钟）教师引导学生分析这个问题，让学生认识到这是一个获取最大利润的问题。
然后，教师给出利用二次函数求最大值的方法，并解释这个方法如何应用于解决这个问题。
3.操练（10分钟）教师让学生利用二次函数的方法，计算和分析这个实例。
学生在计算过程中，可能会遇到一些问题，教师要给予及时的指导和帮助。
沪科版数学九年级上册21.6《综合与实践—获取最大利润》教学设计
沪科版数学九年级上册21.6《综合与实践—获取最大利润》教学设计一. 教材分析《获取最大利润》是沪科版数学九年级上册第21.6节的内容，主要通过实际问题引入利润的计算，让学生理解和掌握利润的概念，以及如何计算各种情况下的利润。
教材通过具体的例子，让学生学会运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数知识，对于函数的概念和运用也有了一定的理解。
但是，对于如何将实际问题转化为数学问题，以及如何运用数学知识解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过自主学习、合作学习等方式，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解利润的概念，掌握计算利润的方法，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作学习等方式，提高学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。
四. 教学重难点1.重点：理解利润的概念，掌握计算利润的方法。
2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，以及如何运用数学知识解决实际问题。
五. 教学方法1.自主学习：引导学生自主探究利润的计算方法，培养学生自主学习的能力。
2.合作学习：通过小组合作，共同解决实际问题，提高学生合作能力。
3.实例讲解：通过具体的例子，让学生理解利润的计算方法，提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于讲解和练习。
2.准备课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入利润的概念，例如：“一家商店进购一批商品，进价为每件100元，售价为每件150元，如果卖出5件，求该商店的利润。
”让学生思考并回答问题，引出利润的概念。
2.呈现（10分钟）呈现教材中的例子，让学生跟随教材的步骤，计算各种情况下的利润。
引导学生理解利润的计算方法，并掌握如何运用数学知识解决实际问题。
沪科版九年级上21.6综合与实践--获取最大利润(共26张PPT)
∴当销售单价为 9.25 元时,可以获得最大利润, 最大利润是 9112.5 元.
四、强化训练
何时橙子总产量最大
2.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一 些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵 树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵 树就会少结5个橙子.种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量 最多？ 解：(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙 子树？ （100+x）棵
2 4 ac b ∴p= 4a
= 9250000
三、归纳小结
本节课我们学习了二次函数的应用，在初中
阶段的应用题中如果遇到求最大值问题，极有
可能运用二次函数的最大值知识，而列函数式 是解题的关键.
四、强化训练
1.某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据 市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间 内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就 可以多售出200件. 销售单价是多少时, 可以获利最多?
∴t=-20x+6000=2500
2a
P=？
4a
二、新课讲解
问题2 设生产t件某种电子产品的成本（单位：元）可以 近似地表示为 C=1000t+2000000
制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得 了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据： 年销售 量 t/件 销售单价 x/元
750
这时平均每棵树结多少个橙子？ （600-5x）个
(2)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
四、强化训练
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子, 因此果园橙子的总产量 y=(100+x)(600-5x)=-5x² +100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？ x/棵
21.6 综合实践---获取最大利润解析
问题②
（1）在图中，描出上述表格中各组数据对应的点
x/元 4000 3500 3000 2500 2000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
20
40
x
术水平的限制，会产生一定数量的次品，每台及其生产的次品数p （千件）与每台机器的日产量x(千件）（生产条件要求4≤x≤12） 之间变化如表：
日产量x(千件/台） ... 5 6 7 0.7 8 1 9 1.5 ... ... 次品数p（千件/台） ... 0.7 0.6
工厂有10台机器，产生一种一起元件，由于受生产能力和技 问题 ④
t/件 5000 4000 3000 2000 1000
·
·
·
250 300 x/元
0
50
100
150
200
·
销售单价x/元 年销售量t/件
50 5000
100 4000
150 3000
300 0
设生产t件该产品的成本为C=50t+1000 完成下列要求：
（1）在下图（1)中，描出上述表格中个组数据对应的点
w≥3000
解：由题意可得：
w=-x² +600x-5000
设政府承担的总差价p p=2×(-10x+500)=-20x+1000 ∵k＜0，p随着x的增大而减小
x=30
= -10(x-30)² +4000 当x=25时 画出函数图像 w 4000 每月获得的利润不低于 则p有最小值 3000元 3000 即3000≤w≤4000 p最小=500 2000 -x² +600x-5000=3000 1000 x₁=40,x₂=20 0 政府为他承担的总 ∵x≤25 差价最少为500元 ∴20≤x≤25
21.6 综合与实践 获取最大利润(课件)沪科版数学九年级上册
法，结合图象和性质求出二次函数的最大值.
感悟新知
知1－练
例1 [母题 教材 P52 问题 1 ]某工艺厂设计了一款成本为 10 元 / 件的工艺品并投放市场进行试销，经过调查， 得到如下数据：
销售单价 x/( 元 / 件 ) 20 30 40 50 60
知1－练
感悟新知
知1－练
(2)工艺厂规定，该工艺品的销售单价不低于 10 元 / 件 且不超过 45 元 / 件，当销售单价 x 定为多少元 / 件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为 8 000 元？
感悟新知
知1－练
解：由题意，可得( x－10)(－10x+700) =8 000， 解得 x1=30， x2=50. 由题意得，10 ≤ x ≤ 45， ∴当销售单价 x 定为 30 元 / 件时，工艺厂试销该 工艺品每天获得的利润为 8 000 元 .
感悟新知
知1－练
1-1. [ 期中·蚌埠 ] 为了发展特色经济，蚌埠怀远石榴 已成为地方“名片”．每箱石榴的成本价为 40 元， 售价为每箱50 元，每天可卖出 210箱；如果每箱 石榴的售价每上涨 1 元，则每天少卖 10 箱(每箱售 价不能高于 65 元)．设每箱石榴的售价上涨 x 元( x 为正整数)，每天的销售利润为 y 元．
感悟新知
(3)当销售单价定为多少元 / 件时，工艺厂试销该工艺 知1－练 品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是 w 元，依题意，得w=( x－10)(－10x+700) = －10x2+800x－7 000=－10(x－40) 2+9 000， 当 x=40 时， w 有最大值，且 w 最大值 =9 000. ∴当销售单价定为 40 元 / 件时，工艺厂试销该工 艺品每天获得的利润最大，最大利润是 9 000 元 .
沪科版九上数学21.6 综合与实践 获取最大利润教案
沪科版九上数学21.6 综合与实践获取最大利润【知识与技能】能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题．【过程与方法】经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法.【情感态度】积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值．从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．【教学重点】探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义．【教学难点】从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题.一、情景导入，初步认知问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件．若设销售单价为x（20≤x≤35的整数）元，该商店所获利润为y元．请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？【教学说明】用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情.二、思考探究，获取新知1.教师提问：（1）此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量，哪个是因变量．（2）销售量可以表示为；销售额（销售总收入）可以表示为；所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为.（3）当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是元．2.在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义．【教学说明】在本章前面的学习中，学生已初步了解特殊二次函数最大（小）值的方法．鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法．【归纳结论】求二次函数最大（小）值的方法：（1）配方化为顶点式求最大（小）值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；（3）利用图象找顶点求最大（小）值．三、运用新知，深化理解1.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克.在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）.设销售单价为x 元，日均获利为y 元.（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成ab ac a b x a y 44222-++=）（的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？【分析】若销售单价为x 元，则每千克降低（70-x ）元，日均多售出2（70-x ）千克，日均销售量为[60+2（70-x ）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式.解:（1）根据题意，得y=（x-30）［60+2（70-x ）］-500=-2x 2+260x-6500（30≤x ≤70）.（2）y=-2x 2+260x-6500=-2(x-65)2+1950.顶点坐标为（65,1950）.二次函数草图略.经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元.2.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?【分析】先写出函数关系式，再求出函数的最大值.解：设每件商品降价x 元（0≤x ≤2），该商品每天的利润为y 元.商品每天的利润y 与x 的函数关系式是：y ＝（10－x －8）（100＋100x ）,即y ＝－100x 2＋100x ＋200,配方得y ＝－100(x －21)2＋225,因为x ＝21时，满足0≤x ≤2,所以当x ＝21时，函数取得最大值，最大值y ＝225.所以将这种商品的售价降低21元时，能使销售利润最大. 3.某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【教学说明】通过练习的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型．四、师生互动、课堂小结求二次函数最大（小）值的方法：（1）配方化为顶点式求最大（小）值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；（3）利用图象找顶点求最大（小）值．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论．并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励．。
21.6综合与实践获取最大利润教案
21.6综合与实践获得最大利润教学目标1、分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．2、经历销售中最大利润问题的探究过程，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．3、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心．教学重点能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．教学难点运用二次函数的知识解决实际问题．教学方法在教师的引导下自主学习法．教具准备多媒体课件教学过程一、创设问题情境，引入新课[师]前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2.y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢?看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢?我们本节课将研究有关问题．二、讲授新课1、思考：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2．5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13．5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多?没销售单价为x(x≤13．5)元，那么(1)销售量可以表示为；(2)销售额可以表示为；(3)所获利润可以表示为；(4)当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是．[师]从题目的内容来看好像是商家应考虑的问题：有关利润问题．不过，这也为我们以后就业做了准备，今天我们就不妨来做一回商家．从问题来看就是求最值问题，而最值问题是二次函数中的问题．因此我们应该先分析题意列出函数关系式．获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(售价一进价)乘以T恤衫的数量，设销售单价为x元，则降低了(13．5-x)元，每降低1元，可多售出200件，降低了(13．5-x)元，则可多售出200(13．5-x)件，因此共售出500+200(13．5-x)件，若所获利润用y(元)表示，则y＝(x-2．5)[500+200(13．5-x)]．经过分析之后，大家就可回答以上问题了.[生](1)销售量可以表示为500+200(13．5-x)=3200—200x ．(2)销售额可以表示为x(3200-200x)=3200x-200x 2．(3)所获利润可以表示为(3200x-200x 2)-2．5(3200-200x)＝-200x 2+3700x-8000．(4)设总利润为y 元，则y ＝-200x 2+3700x-8000 =-200(x-218225)4372 . ∵-200＜0∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x ＝437＝9．25元时， y 最大= 218225=9112.5元. 即当销售单价是9．25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112．5元．2、问题展示：P52问题1，P53问题2.小组交流，代表发言。
2019秋沪科版九年级数学上册习题课件：21.6 综合与实践 获取最大利润(共19张PPT)
(1)请分别求出上述的正比例函数表达式 yAy＝＝25x x 与二次函数表达式 yy＝B＝－－0.20x.22x＋2＋1.61x.6x ；
(2)如果企业同时对 A，B 两种产品共投资 10 万元，请你设计一个能获 得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？
解：方案：投资 7 万元 A,3 万元 B，最大利润 5.8 万元．
∴y＝－26212x5x02＋－1552x5＋215≤00x1≤≤4x0≤. 20，
(3)这 40 天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：当 1≤x≤20 时，y＝－12x2＋15x＋500＝－12(x－15)2＋612.5.∵－12＜ 0，∴当 x＝15 时，y 有最大值 y1，且 y1＝612.5.当 21≤x≤40 时，∵26250 ＞0，y＝∴y＝26x250随着 x 的增大而减小，∴当 x＝21 时，y＝26x250最大．∴ 当 x＝21 时，y＝26x250－525 有最大值 y2，且 y2＝2622150－525＝725.∵y1＜ y2， ∴这 40 天中第 21 天时该网店获得的利润最大，最大利润为 725 元．
2．某汽车经销商销售汽车所获利润 y(元)与销售量 x(辆)之间的关系满
足 y＝－x2＋10000x＋250000，则当 0＜x≤4500 时，最大利润是( B )
A．2500 元
B．25000000 元
C．2250 元
D．24997500 元
3．出售某种手工艺品，若每个获利 x 元，一天可售出(8－x)个，则当 x ＝ 44 元时，一天出售该手工艺品总利润 y 最大．
6．某大学生利用暑假 40 天社会实践参与了一家网店的经营，了解到
一种成本为 20 元/件的新型商品在第 x 天销售的相关信息如下表所示．
2019秋沪科版九年级数学上册同步考点：21.6 综合和实践 获取最大利润
21.6综合与实践获取最大利润知识点获取最大利润精练版P40解决此类问题，应明确下面的关系：利润＝(销售单价－每件成本)×销售量．运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求最大值或最小值．值得注意的是，由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内．温馨提示：解决实际问题中的最大值或最小值问题的基本步骤：(1)寻找实际问题中两个变量之间的等量关系，并用字母表示这两个变量；(2)用含自变量的代数式表示相关的量；(3)根据给出的数据确定函数的表达式和自变量的取值范围；(4)利用二次函数的有关性质计算最大值或最小值．例1某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图所示．(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解析：(1)利用待定系数法，先求得二次函数表达式，再利用二次函数的最大值得到答案；(2)观察图象，该种商品每天的销售利润不低于16元，即函数值大于或等于16，利用抛物线的对称性求不等式的解集，可得答案．解：(1)二次函数y＝ax2＋bx－75的图象过点(5,0)，(7,16)，∴⎩⎨⎧ 25a ＋5b －75＝0，49a ＋7b －75＝16，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝20，即y ＝－x 2＋20x －75＝－(x －10)2＋25.当x ＝10时，y 取得最大值，最大值为25.故销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．(2)∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象的对称轴为直线x ＝10，可知点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16)．又∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象开口向下，∴当7≤x ≤13时，y ≥16，故销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．注意：解答第(2)问时，结合函数图象更容易理解每天的销售利润不低于16元时商品的销售单价的取值范围．易错点 忽视自变量的取值范围造成解题错误例2 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数表达式，并直接写出自变量x 的取值范围．(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？解析：(1)每件商品的售价上涨x 元时，每件商品的利润为(50＋x －40)元，每个月的销售量为(210－10x )件，可列出表达式．(2)利用二次函数的性质可求出最大利润．解：(1)y ＝(210－10x )(50＋x －40)＝－10x 2＋110x ＋2100(0<x ≤15且x 为正整数)．(2)y ＝－10(x －5.5)2＋2402.5∵a＝－10<0，∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5.又∵0<x≤15，且x为正整数，当x＝5时，50＋x＝55，y＝2400(元)；当x＝6时，50＋x＝56，y＝2400(元)．∴当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．。
沪科版九年级数学21.6反比例函数-综合实践获取最大利润
(2)根据题意得(－x＋150)(x－20)＝4 000， 解得x1＝70，x2＝100＞90(不合题意，舍去)． 故该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为70元；
(3)W与x的函数表达式为： W＝(－x＋150)(x－20)＝－x2＋170x－3 000 ＝－(x－85)2＋4 225， ∵－1＜0，∴当x＝85时，W值最大，W最大值是4 225. ∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润W(元) 最大，此时的最大利润为4 225元．
4800 ∴锻造的操作时间有44m80in.
题型 4 利用多种函数的性质求最值问题
4．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根 据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90 元，在销售过程中发现的销售量y(千克)与售价x (元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x(元/千克) … 50 60 70 80 … 销售量y(千克) … 100 90 80 70 …
题型 1 利用一次函数的性质求实际中最值问题
1．“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具 进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
型号 A型 B型
进价(元/只) 10 15
售价(元/只) 12 23
(1)小张如何进货，使进货款恰好为1 300元？ (2)要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货
题型 3 利用反比例函数的性质求跨学科最值问题
3．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个 工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进 行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃. 煅烧时，温度y(℃)与时间x(min)成 一次函数关系；锻造时，温度y(℃) 与时间x(min)成反比例函数关系， 如图．已知该材料初始温度是32 ℃.
21.6 综合与实践 获取最大利润教案
引导学生独立完成,进一步掌握二次函数在实际问题中的应用.
2.投影显示：教材第52页问题1
教师引导学生观察图象,可发现这些点在一条直线上,满足一次函数关系,然后让学生计算出它们之间的函数表达式.
让学生动笔计算,强调生产件数t和销售单价x之间的关系：t＝－20x＋6000.
2.小组交流：当年销售和销售单价x分别是多少时,年利润P最大？并说说你有几种求解方法.
这一过程教师可利用多媒体演示图象,这样便于学生观察,让学生发现点(750,3850),(3000,3400),(8500,2300)在一条直线上,所以它们之间的关系可近似看作为一次函数；另外注意在学生计算的过程中,由于数较大,要提醒学生每一步计算准确.
让学生独立完成二次函数解决实际问题,进一步巩固所学知识.
三、运用新知,解决问题
1.出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售出(6－x)个,则当x＝________时,一天出售该种文具盒的总利润y最大.
2.某公司销售一种进价为20元/个的计算器,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化情况如下表：
检查所学知识的掌握情况.
销售价格x(元/个)
…
30
40
50
60
…
销售量y(万个)
…
5
4
3
2
…
同时,销售过程中的其他开支(不含造价)总计40万元.
(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系,用所学过的—次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)之间的函数表达式；
(2)写出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)之间的函数表达式,销售价格定为多少元时净得利润最大,最大利润是多少？
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21.6 综合与实践 获取最大利润
教学目标
【知识与技能】
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(或小)值,培养学生解决问题的能力. 【过程与方法】
应用已有的知识,经过自主探索和合作交流尝试解决问题. 【情感、态度与价值观】
在经历和体验数学知识发现的过程中,提高思维品质,在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心. 重点难点 【重点】
二次函数在最优化问题中的应用. 【难点】
从现实问题中建立二次函数模型,学生较难理解和掌握. 教学过程 一、问题引入
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可使面积最大、利润最大、材料最省、时间最少、效率最高等问题,这类问题称为最优化问题.其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.如何利用二次函数分析解决这样的问题呢?
本节课我们来研究二次函数在实际问题中的应用.
做一做:从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关
系式是:h=30t-5t 2
(0≤t ≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?
我们可以借助函数图象解决这个问题,画出函数h=30t-5t 2
(0≤t ≤6)的图象,如图所示,可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点,也就是说,当t 取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.
因此,当t=-2b a
=-3010
=3时,h 有最大值=45,也就是说,小球运动的时间是3s 时,小球最高,小球运动中
的最大高度是45 m.
一般地,当a>0(或a<0)时,抛物线y=ax 2
+bx+c 的顶点是最低(或高)点,也就是说,当x=-2b a
时,二次函数
y=ax 2
+bx+c 有最小(或大)值. 二、新课教授
问题1.用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少时,场地面积S 最大?
师生活动:
学生积极思考,找到等量关系式,并尝试解答. 教师巡视、指导,最后给出解答过程.
解:矩形场地的周长是60 m,一边长l,则另一边长为(-l),场地的面积S=l(30-l),即S=-l 2
+30l(0<l<30).
因此,当l=-=-=15(m)时,S有最大值==225(m2).
即当l是15 m时,场地面积S最大,最大值是225 m2.
问题2.某商品现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
师生活动:
教师分析存在的问题,书写解答过程.
分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.
设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之改变.我们先来确定y随x变化的函数关系式,涨价x 元时,每星期少卖10x件,实际卖出(300-10x)元.销售额为(60+x)(300-10x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润为
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)(0≤x≤30),
即y=-10x2+100x+600
=-10(x2-10x)+600
=-10(x2-10x+25)+850
=-10(x-5)2+850(0≤x≤30).
所在,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大为850元.
思考:在降价的情况下,最大利润是多少?
(降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大为6 125元.)
思考:由上面的讨论及现在的销售情况,你知道如何定价才能使利润最大了吗?
(在涨价的情况下,定价65元;在降价的情况下,定价57.5元.)
问题3:图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.若水面下降1 m,水面宽度增加多少?
师生活动:
学生完成解答.
教师分析存在的问题,书写解答过程.
分析:我们知道二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
由抛物线经过点(2,-2),可得
,
-2=a×22,解得a=-1
2
这条抛物线表示的二次函数为y=-1
x2.
2
水面下降1 m,水面所在位置的纵坐标为y=-3,代入上述表达式得x=
故水面下降1 m,水面宽度增加
让学生回顾解题过程,讨论、交流、归纳解题步骤:
(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;
(2)研究自变量的取值范围;
(3)研究所得的函数;
(4)检验x的取值是否是自变量的取值范围内,并求相关的值;
(5)解决提出的实际问题.
学生尝试从前面四道题中找到解题规律.
教师补充学生回答中的不足,及时纠正.
三、巩固练习
1.已知二次函数y=(3+x)(1-2x),当x= 时,函数有最值,为 .
【答案】- 大
2.二次函数y=x2-8x+c的最小值为0,那么c的值等于( )
A.4
B.8
C.-4
D.16
【答案】D
3.沿墙用长32 m的竹篱笆围成一个矩形的护栏(三面),怎样围才能使矩形护栏面积最大?最大面积为多少?试画出所得函数的图象.
【答案】围成的矩形一边长为8 m、另一边长为16 m可使矩形护栏的面积最大,最大面积为128 m2.图象略.(注意自变量的取值范围)
4.某旅社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金增加5元,则客房每天出租会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?比装修前的日租金总收入增加多少元?
【答案】将每间客房的日租金提高到75元时,总收入最高,比装修前的日租金总收入增加750元.
5.某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y(台)之间的
并且日销售量y是每件售价x的一次函数.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)为获得最大利润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售的利润是多少?
【答案】(1)y=-x+200
(2)销售利润S=(-x+200)(x-120),当售价定为每件160元时,每日销售利润最大为1 600元.
四、课堂小结
1.得出用二次函数知识解决实际生活中的最值问题的一般步骤:
(1)列出二次函数的表达式,并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
2.解题循环图:
教学反思
本节课充分运用导学提纲,教师提前通过一系列问题的设置引导学生课前预习.在课堂上通过对一系列问题的解决与交流,让学生通过二次函数掌握解决面积最大、利润最大等这一类题的方法,学会用建模的思想去解决和函数有关的应用问题.
所以在例题的处理中适当地降低了难度,让学生的思维有一个拓展的空间.在训练的过程中,通过学生的独立思考与小组合作探究相结合,使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高.同时也注重对解题方法与解题模式的归纳与总结,并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法.
就整节课看,学生的积极性得以充分调动,特别是学困生,在独立思考和小组合作中改变以往的配角地位,也能积极参与到课堂学习活动中.今后继续发扬从学生出发,从学生的需要出发,把问题的难度降低,让学生在能力范围内掌握新知识,等有了足够的热身运动之后再去拓展延伸.。