Ch2导数与极限2.2.1

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高中《导数》知识点总结

高中《导数》知识点总结

《导数》知识点一.导数公式:0='C 1)(-='n n nx x x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='a a a x x ln )(=' x x e e =')( a x x a ln 1)(log =' xx 1)(ln =' 二.运算法则:(1) )()(])()([x g x f x g x f '±'='±; (2) )()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='⋅;(3) )(])([x f C x f C '⋅='⋅,C 为常数; (4) 2)]([)()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 三.导数的物理意义:位移的导数是速度,速度的导数是加速度.四.导数的几何意义:导数就是切线斜率.函数)(x f y =在0x x =处的导数是曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处切线的斜率,即)(0x f k '=.注:点())(,00x f x 是切点五.对于函数)(x f y =给定区间[,]a b 内,1.(1)若0)(>'x f ,则()f x 在[,]a b 内是增函数;若0)(<'xf ,则()f x 在[,]a b 内是减函数.(2)若()f x 在[,]a b 内是增函数,则0)(≥'x f 在[,]a b 内恒成立;若()f x 在[,]a b 内是减函数,则0)(≤'x f 在[,]a b 内恒成立. 注:0)(>'x f ⇒()f x 递增;()f x 递增⇒0)(≥'x f 2.极值:图中1x ,3x 是极大值点,相应的函数值为极大值;2x ,4x 为极小值点,相应的函数值为极小值. 且=')(1x f =')(2x f =')(3x f 0)(4='x f 3.已知)(x f y =是可导函数,则“0x 为极值点”是“0)(0='x f ”的充分不必要条件.(0x 为极值点⇒0)(0='x f ;但满足0)(0='x f 的0x 不一定...是极值点.例如:函数3)(x x f =,虽然0)0(='f ,但0=x 不是其极值点,因为3)(x x f =在定义域内单调递增,没有极值点)4.利用导数求极值的步骤:第一步:求导数)(x f '; 第二步:令0)(='x f ,解方程; 第三步:由方程的根将定义域分为若干个区间; 第四步:判断)(x f '在每个区间上的正负; 第五步:确定极值点,并求出极值.5.利用导数求函数)(x f y =在闭区间],[b a 内最值:(1)若)(x f y =在闭区间],[b a 内有唯一的极大(小)值,那么这个极大(小)值就是函数的最大(小)值;(2)若)(x f y =在闭区间],[b a 内的极值不唯一,那么将所有的极值和)(a f ,)(b f 比大小,最大者为 函数的最大值,最小者为函数的最小值.六.含参数的恒成立问题:(分离参数法)(1)若)(x f a ≥恒成立,则)(max x f a ≥; (2)若)(x f a ≤恒成立,则)(min x f a ≤; )(x f。

复变函数第2章

复变函数第2章

By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义:设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义,点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在D内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续,但连续却不一定可导例2问:函数f (z )=x +2yi 是否可导?求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导,则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z ),[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z ),其中w=g (z )。

.0)()()()(10处可导点外)处在复平面上(除分母为导;在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数,其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数,且ϕ′(w )≠0。

)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ )的导数。

第二章 导数和极限

第二章 导数和极限

1 lim n 0. n 2
1 0.3333333333 ....... 3
1 3 0.3333333333 3 ....... 3 0.3 0.33 0.333 0.33333333
一、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
n
则当n N时, 就有 q n 0 , lim q n 0.
例4 设x n 0, 且 lim x n a 0,
n
求证 lim x n a .
证 任给 0, lim x a , n
n
n
N使得当n N时恒有 xn a ,
切线问题
播放
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
y
y f ( x)
N T
设 M ( x 0 , y0 ), N ( x , y ).
割线MN的斜率为
y y0 f ( x ) f ( x0 ) , o tan x x0 x x0
问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? ( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
定义
如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立,那末就称常数 a 是数列
2. 导数的几何意义: 切线的斜率;
3. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
§2.2

Ch2导数与极限2.2.1

Ch2导数与极限2.2.1

三、数列的极限
三、数列的极限
观察数列 {1 +
( −1)n−1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
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( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
三、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
a3
例如
2, 4, 8,
,2 n ,
;
1 1 1 , , , 2 4 8
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,
1 , 2n
;
{2 n } 1 { n} 2
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a1
a 2 a4
an
2.数列是整标函数 a n = f (n). 相应有单调性、有界性等性质。
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三、数列的极限
1 1 = n n
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给定 ε > 0, 只要 n > N ( = [1])时, 有 a n − 1 < ε成立. ε
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定义
如果对于任意给定的正数 ε (不论它

大学高等数学上册:2-1导数概念

大学高等数学上册:2-1导数概念

P
0
x
切线的一般定义
设曲线 C 是函数 y f ( x)的图形. 点 P( x0 , f ( x0 ) )在曲线 C 上, 在点P外另取C 上一点Q( x , f (x)),直线PQ 称为曲线C 的割线,
斜率为
k PQ
f (x) x
f (x0 ) x0
y
当点Q 沿曲线 C 趋向于点 P 时,即 x x0,
例如:y | x | 在 x = 0 处无切线.
y
M2
M1
x o
★ 导数作为增加率的解释
当 f x0 0, 为锐角.
f ( x )在 M0 附近是上升的.
f x0 越大,上升越快. 当 f x0 0, 为钝角.
y
M0 M0 M0
o
x
f ( x )在 M0附近是下降的. f x0 越大, 下降越快. f x0 表明了函数 y = f ( x ) 在点 x0处相对于自变量x 变化的
切线的一般定义
设曲线 C 是函数 y f ( x)的图形. 点 P( x0 , f ( x0 ) )在曲线 C 上,
在点P外另取C 上一点Q( x , f (x)),直线PQ 称为曲线C 的割线,
斜率为
k PQ
f (x) x
f (x0 ) x0
y
当点Q 沿曲线 C 趋向于点 P 时,即 x x0, P
自变量增量常记作x x x0,从而x x0 x ( x 可正可负)
函数增量可表示为:y f (x) f (x0) f (x0 x) f (x0)
故等价地有:
f x0
y lim x0 x
lim
x 0
f
x0
x
x
f

极限与导数的基础知识与运用

极限与导数的基础知识与运用

极限与导数的基础知识与运用极限和导数是高等数学中重要的概念,也是计算机科学、物理学等多个领域中必不可少的数学工具。

本文旨在系统地介绍极限和导数的概念,以及它们的应用。

一、极限1.1 极限的定义极限是研究函数变化趋势的一种方法。

给定一个函数 $f(x)$,当自变量 $x$ 越来越接近某个特定的值 $a$ 时,如果函数值 $f(x)$ 也越来越接近某个常数 $L$,则称 $L$ 是函数 $f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限,记作$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$$其中,$x$ 可以从左侧或右侧趋近于 $a$。

1.2 夹逼定理夹逼定理是极限的一个重要定理,它有助于我们判断一些函数的极限是否存在。

设 $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$,当 $x\rightarrow a$ 时,$f(x)$ 和 $h(x)$ 的极限都等于 $L$,则 $g(x)$ 的极限也等于 $L$。

即$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a}h(x)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}g(x)=L$$1.3 极限的计算计算极限的方法有很多,以下是一些典型的极限计算方法:1.3.1 基本极限$$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$$$ \lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e $$1.3.2 无穷小与无穷大当 $x\rightarrow 0$ 时,如果 $f(x)$ 满足 $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=0$,则称 $f(x)$ 是一个无穷小。

当 $x\rightarrow \infty$ 时,如果 $f(x)$ 满足 $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$,则称 $f(x)$ 是一个无穷大。

高中数学导数与极限ppt课件

高中数学导数与极限ppt课件

2.导数的应用 (1)求曲线的切线方程 利用导数求曲线的切线方程:由于函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数表示曲线在点 P(x0,y0)处的斜率,因此曲线 y =f(x)在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=f′(x0)(x- x0).注意:如果曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线 平行于 y 轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切 线方程为 x=x0. (2)求函数的单调区间 利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几方面: ①f′(x)>0 是 f(x)递增的充分条件而非必要条件 (f′(x)<0 亦是如此);
x x0
x0 处是否有定义及是否等于 f (x0)都无关. 函数 f (x)的左、 右极限: 如果当 x 从点 x=x0 左侧 (即 x<x0) 无限趋近于 x0 时,函数 f (x)无限趋近于常数 a.就说 a 是 函数 f (x)的左极限,记作 xl i mx f (x)=a.
0
如果当 x 从点 x=x0 右侧(即 x>x0)无限趋近于 x0 时, 函数 f (x)无限趋近于常数 a.就说 a 是函数 f (x)的右极限, 记作xl i mx f (x)=a.
0
→值不唯一.
5.函数连续 函数在一点连续的定义:如果函数 f (x)在点 x=x0 处有 定义, (x)存在,且l i m f (x)=f (x0),那么函数 f (x)在点 lim f
x x0 x x0
x=x0 处连续.函数 f (x)在点 x=x0 处连续必须满足下面三 个条件: (1)函数 f (x)在点 x=x0 处有定义; ( 2) (x) lim f
x x0
存在; (3) (x)=f (x0),即函数 f (x)在点 x0 处的极限值 lim f

高等数学 第二章 极限和导数2-12高阶导数

高等数学 第二章 极限和导数2-12高阶导数

(2) 若函数 y = f (x) 的导数 y′ = f ′(x) 在区间 b) 在区间(a, 上可导, 上可导 则称 记作 或 的导数为 f (x)的二阶导 函)数 , 二阶导(函 数 d2 y d dy ( ) = 即 y′′ = ( y′)′ 或 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , n −1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
三、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数 为常数) 为常数
n(n −1) 2! n(n −1)L n − k + 1) ( +L+ k!
(u(0) = u, (0) = v) v
—— 莱布尼茨 莱布尼茨(Leibniz) 公式
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′′= (u′v + uv′)′ = u′′v +2 u′v′+ uv′′
(n) n)
= sin( x + n⋅ π );
2
n) (cos x)(n) = cos( x + n⋅ π ) 2
(a )
x (n)
= a ln a;
x n
4. 利用莱布尼兹公式 5. 求由参数方程确定的函数的高阶导数时 从 求由参数方程确定的函数的高阶导数时, 低到高每次都用参数方程求导公式. 低到高每次都用参数方程求导公式
1 (n) n! ( ) = 其中a为常数 其中 为常数) n+1 (其中 为常数 a− x (a − x)
3. 利用已知高阶导数法 常用高阶导数公式: 常用高阶导数公式:
(e x )(n) = ex (1) (ax )(n) = ax ⋅ lnn a (a > 0) π (n) n (2) (sin kx) = k sin(kx + n⋅ ) 2 π (n) n (3) (cos kx) = k cos(kx + n⋅ ) 2 (4) ( xα )(n) = α(α −1)L α − n+1)xα−n (

极限和导数知识点总结

极限和导数知识点总结

极限和导数知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分学中,当自变量趋于一个特定的值时,函数的取值趋于一个特定的常数。

这个常数就是函数在这个点的极限。

极限的定义可以用“只要x充分接近a,函数f(x)的值就充分接近L”来描述。

其数学符号表示为lim(x→a)f(x)=L。

1.2 极限的性质极限具有很多重要的性质,包括有界性、局部性、保号性、保序性、四则运算法则等。

这些性质对于求解极限和理解函数的性质都非常重要。

1.3 极限的计算求解极限的方法有很多种,包括直接代入法、夹逼法、洛必达法则、泰勒展开式等。

这些方法在不同的情况下都有其特定的应用。

1.4 极限的应用极限在微积分学中有着广泛的应用,包括计算函数的导数和积分、求解极限值、研究函数的性态和曲线的性质等。

二、导数的概念2.1 导数的定义在微积分学中,导数表示函数在某一点的变化率,或者函数的某一点的切线的斜率。

其定义为在x点的导数为lim(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx。

导数是函数的局部性质,它描述了函数在某一点的瞬时变化率。

2.2 导数的性质导数具有很多重要的性质,包括可加性、可乘性、反函数的导数、复合函数的导数、高阶导数等。

这些性质对于理解函数的变化规律和研究函数的性质都非常重要。

2.3 导数的计算求解导数的方法有很多种,包括基本函数的导数公式、复合函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则等。

这些方法在不同的情况下都有其特定的应用。

2.4 导数的应用导数在微积分学中有着广泛的应用,包括求解函数的极值和拐点、研究函数的图像和曲线的性质、描述物理和工程问题中的变化规律等。

三、极限和导数的关系3.1 极限和导数的联系极限和导数是微积分学中两个非常重要的概念,它们之间有着密切的联系。

事实上,导数的定义就是一个特定类型的极限,即函数在某一点的变化率的极限。

因此,理解极限和导数之间的联系对于深入理解微积分学是非常重要的。

3.2 极限和导数的计算在求解函数的导数时,往往需要使用极限的计算方法。

数学导数与极限公式整理

数学导数与极限公式整理

数学导数与极限公式整理数学是一门抽象而又重要的学科,其中导数与极限是数学分析中的重要概念和工具。

导数描述了函数在某一点处的变化率,而极限则描述了函数在趋近某一点时的特性。

为了更好地理解与应用数学导数与极限,下面整理了相关公式。

一、导数公式1. 基本导数公式:(1)常数导数公式若f(x) = C,其中C为常数,则f'(x) = 0。

(2)幂函数导数公式若f(x) = x^n,其中n为正整数,则f'(x) = nx^(n-1)。

(3)指数函数导数公式若f(x) = a^x,其中a为常数且a>0,则f'(x) = a^x * ln(a)。

(4)对数函数导数公式若f(x) = log_a(x),其中a为常数且a>0,且a≠1,则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

(5)三角函数导数公式若f(x)为sin(x), cos(x), tan(x)中的一种,则f'(x) = cos(x), -sin(x), sec^2(x)。

2. 基本导数运算法则:(1)和差法则若f(x) = u(x) ± v(x),则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。

(2)常数倍法则若f(x) = c * u(x),其中c为常数,则f'(x) = c * u'(x)。

(3)乘法法则若f(x) = u(x) * v(x),则f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)。

(4)除法法则若f(x) = u(x) / v(x),则f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v^2(x),其中v(x) ≠ 0。

二、极限公式1. 基本极限公式:(1)常数极限公式lim (c) = c,其中c为常数。

(2)幂函数极限公式当n为正整数时,lim (x^n) = a^n,其中a为实数。

导数极限知识总结

导数极限知识总结

导数极限知识总结——仅作了解切忌深究一.洛必达法则是什么(鄙人觉得高中数学神器)洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

在导数问题的3)问中通常会出现形似f(x)g(x)的式子,而一般会出现求其导数,极值,甚至是某一点极限的问题,洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。

引入:试求lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1试求 xx xx x sin sin lim+-∞→显而易见,这两个极限在以往的算法中一个是00式,一个则是∞∞,无法求导,这时就需要用到高端大气上档次的洛必达法则了。

1.使用条件定理1 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件: (1)在a 的某去心邻域)(x v 内可导,且0)('≠x g (2)0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x(3)A x g x f a x =+→)(')('lim 0则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00(包括A 为无穷大的情形)定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 (1)在a 的某去心邻域)(x v 内可导,且0)('≠x g (2)∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x(3)A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00(包括A 为无穷大的情形)此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用:-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。

简而言之,当满足00或 ∞∞的不定式时,A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000PS :一次求导不行仍未不定式,则多次求导 于是上面的两个式子可以这样解例一.lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1 = lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x−2=2例二.1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-=+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x (此为错解)事实上,1sin 1sin 1lim sin sin lim =+-=+-∞→∞→xxx xx x x x x x (正解),这里为了说明问题,才使用上面的解法,这里也可以看出,寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。

极限与导数知识点总结

极限与导数知识点总结

极限与导数知识点总结极限与导数是微积分学中非常重要的内容,它们是我们理解函数性质和计算函数变化率的基础。

在这篇总结中,我将从定义、性质和常见计算方法等方面对极限与导数进行详细的介绍和解析。

一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。

如果一个函数$f(x)$在$x=a$附近的取值随着$x$的逼近$a$而无限接近某一值$A$,那么我们就说当$x$趋近$a$时$f(x)$的极限为$A$,记作$\lim_{x\to a}f(x)=A$。

2. 极限的性质(1)唯一性:若$\lim_{x\to a}f(x)$存在,则其极限唯一。

(2)局部有界性:如果$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在,则存在一个$\delta>0$,使得当$0<|x-a|<\delta$时,$f(x)$有界。

(3)局部保号性:若$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在且$A>0$,则存在一个$\delta>0$,当$0<|x-a|<\delta$时,$f(x)>0$;若$A<0$,则存在一个$\delta>0$,当$0<|x-a|<\delta$时,$f(x)<0$。

(4)局部保号性:若$\lim_{x\to a}f(x)=A>0$,则存在一个$\delta>0$,当$0<|x-a|<\delta$时,$f(x)>0$;若$\lim_{x\to a}f(x)=A<0$,则存在一个$\delta>0$,当$0<|x-a|<\delta$时,$f(x)<0$。

3. 极限存在的条件函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在的条件有:(1)情况一:$\lim_{x\to a}f(x)$存在且有限。

(2)情况二:$\lim_{x\to a^+}f(x)$和$\lim_{x\to a^-}f(x)$均存在且相等。

导数与极限的初步认识

导数与极限的初步认识

导数的计算法则
01
基本初等函数的导数公式
对于基本初等函数(如幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等),有相应的导数计算公式。
02 导数的四则运 。
03 复合函数的求导法则 对于复合函数,可以使用链式法则进行求导。
04
隐函数的求导法则
对于隐函数,可以通过对方程两边同时求导来求解隐 函数的导数。
洛必达法则在微分学中的应用
01
洛必达法则的定义
洛必达法则是求解未定式极限的一种有效方法,它通过对分子分母分别
求导来简化极限的求解过程。
02
洛必达法则的应用条件
在使用洛必达法则时,需要满足一定的条件,如分子分母在某点的去心
邻域内可导且分母导数不为零等。
03
洛必达法则的推广
除了标准的洛必达法则外,还有一些推广形式,如多次使用洛必达法则
、与其他方法结合使用等,这些推广形式可以更方便地解决一些复杂的
极限问题。
05
积分及其应用
不定积分的概念与性质
不定积分的定义
不定积分是求一个函数的原函 数或反导数的过程,表示了函 数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、可加性 和常数倍性。
不定积分的计算方法
通过凑微分、换元法、分部积 分等方法求解不定积分。
导数的几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
可导与连续的关系
可导必连续
如果函数在某点可导,则该函数 在该点必定连续。
连续不一定可导
即使函数在某点连续,也不一定 在该点可导。例如,函数$y = |x|$在$x = 0$处连续但不可导。

高数-导数和极限的关系

高数-导数和极限的关系

导函数简称导数,极限是导数前提. 首先导数产求曲线切线问题产利用导数求曲线任意点切线斜率其利用导数解决某些定式极限(指0/0、穷/穷等等类型式)种叫作洛比达则我利用导数函数近似转化另项式函数即函数转化a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……+an(x-a)^n种项式叫作泰勒项式用于近似计算、误差估计用于求函数极限另外利用函数导数、二阶导数求函数形态例函数单调性、凸性、极值、拐点等利用导数解决某些物理问题例瞬速度v(t)路程关于间函数导数加加速度速度关于间导数且经济导数着特殊意义简言:导数研究函数变化率极限研究导数
导数定义:自变量增量趋于零变量增量与自变量增量商极限函数存导数称函数导或者微导函数定连续连续函数定导导数种极限。

偏导和二次极限-概述说明以及解释

偏导和二次极限-概述说明以及解释

偏导和二次极限-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中,偏导和二次极限是重要的概念。

它们在微积分、优化理论和物理学等领域中具有广泛的应用。

偏导数是描述多元函数对某个变量的变化率的指标,而二次极限则是描述函数在某点附近的局部行为。

偏导数是多元函数的导数的一种推广。

当函数的自变量是多个变量时,我们可以通过对于某一个变量求导,将其他变量视为常数,来得到对应的偏导数。

偏导数的计算方法比较灵活,可以通过求导公式或使用几何直观来求解。

二次极限是描述函数在某点附近的局部行为的指标。

它用于研究函数的变化趋势和极值点的性质。

二次极限可以通过计算函数在该点附近的导数和高阶导数来求解,从而得到函数在该点的二次近似。

本文将首先介绍偏导数的定义和计算方法,包括求偏导数的基本法则和常见函数的偏导数计算。

然后,我们将深入讨论二次极限的定义和应用,包括二次极限的计算方法和与极值点相关的性质。

通过学习偏导数和二次极限,我们可以更好地理解多元函数的行为和变化规律。

在实际应用中,偏导数和二次极限可以用于优化问题、微分方程的解析、物理定律的推导等方面。

因此,掌握偏导数和二次极限的基本概念和计算方法对于深入理解数学和应用数学是至关重要的。

在接下来的章节中,我们将详细介绍偏导数的定义和计算方法,以及二次极限的应用。

通过深入学习和探索,我们将能够更好地理解和应用偏导数和二次极限,为解决实际问题提供有力的数学工具。

1.2文章结构文章结构:本文将分为三个主要部分:引言、正文和结论。

1. 引言:在引言部分,首先概述本文将要探讨的主题,即偏导和二次极限。

介绍偏导的基本概念,以及二次极限在数学和实际问题中的应用背景。

接着,给出本文的整体结构和目的,即介绍偏导和二次极限的定义、计算方法和应用,并进行总结和展望。

2. 正文:正文部分将分为两个小节,分别介绍偏导和二次极限的相关内容。

2.1 偏导:在偏导部分,首先给出偏导的准确定义,解释偏导数代表了函数在某点沿特定方向的变化率。

第二章 导数与极限 1

第二章 导数与极限 1
x →0
1
y = x2 + 1
ox分x > Nhomakorabea0和x < 0两种情况分别讨论
− x从左侧无限趋近 x0 , 记作x → x0 ; 从左侧无限趋近 + x从右侧无限趋近 x0 , 记作 x → x0 ; 从右侧无限趋近
19
左极限
∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当 x 0 − δ < x < x 0时 , 恒有 f ( x ) − A < ε .
f ( x + ∆x ) − f ( x ) 记作f , 记作 ′(x) . 即 f ′( x ) = lim ∆x → 0 ∆x f ( u) − f ( x ) , 或 f ′( x ) = lim u→ x u− x
显然有: f ′( x0 ) = f ′( x) |x=x0 .
4
导数的几何意义: 导数的几何意义: 表示曲线y=f(x)在点 0, f(x0))处切线 在点(x 的斜率, f′(x0)表示曲线 ′ 表示曲线 在点 处切线MT的斜率 的斜率 k=tan α, 即, f′(x0)=tan α. ′
当x在x 0的去心 δ邻 域时,函数y = f ( x ) 图形完全落在以直 线y = A为中心线, 宽为2ε的带形区域内.
y
y = f (x )
A+ε A A−ε
o
x0 − δ
δ
δ
x0
x0 + δ
x
16
证明: 例1. 证明
lim x 2 = 4
x→2
证明: 证明: 因为 | x 2 − 4 |=| x + 2 || x − 2 |
恒有 : | x − 4 |< 5 | x − 2 |< ε , 故 lim x 2 = 4.

大学高等数学上册:Ch2-1_2导数定义,数列极限1

大学高等数学上册:Ch2-1_2导数定义,数列极限1
1
解:
f (x)
f ( x0 )
(x2
4)
(
x
2 0
4)
x x0
x x0
(x
x0 )( x x x0
x0 )
x
x0 .


,f
(
x0
)
lim(
x x0
x
x0
)
2
x0
.
11
1
例 2 问曲线 y x 2 上哪一点处的切线与直线 y 3x 1平行? 解 直线 y 3x 1的斜率为k 3,
15
有界数列
对于数列{an },若能找到一个数M 0,使对一切n 恒成立 | an | M,
称 {an } 为 有界数列 称数 M 为{an }的一个界.
否 则 , 称{an }为无界数列
例如 { n } 是有界数列;
n1
{n sin n }
2
是无界数列.自然数 M
0, n0
4M
1,
成立
n0



an
1
1 10000
,
对任意 0, 只要 n N ( [ 1 ])时,
都有 an 1 成立.
34
定义 给 定 数 列{an },如 果 存 在 数a, 对 0,
存在自然数 N 0, 当n N 时,成立
| an a | ,
则 称 常 数a 是 数 列{an } 的极限,
或 称{an } 收 敛 于a. 记为
lim an
n
a, 或
an
a
(n ).

lim
n
an
a的数列an为
收敛数列

人教版高中数学选修22.2函数的极值与导数PPT课件2课时

人教版高中数学选修22.2函数的极值与导数PPT课件2课时
(如图)过点(1,0),(2,0), 求: (1) x 0 的值;(2)a,b,c的值; (1)由图像可知:
.
跟踪训练:已知函数 f(x)ax3bx2cx 在点 x 0 处取得极大值5,其导函数 y f '(x)的图像
(如图)过点(1,0),(2,0), 求: (1) x 0 的值;(2)a,b,c的值;
a x0
bx
x x0左侧
f(x)
f(x)
x0 x0右侧 x0 x0右侧
人教版高中数学选修22.2函数的极值 与导数P PT课件 2课时
思考1、观察下面的图像,回答以下问题: 问题1:找出图中的极值点,并说明哪些点为极 大值点,哪些点为极小值点? 问题2:极大值一定大于极小值吗? 问题3:函数在其定义域内的极大值和极小值具 有唯一性吗? 问题4:区间的端点能成为极值点吗? 问题5:极值是相对于函数的定义域而言的吗?
若f ’(x0)左正右负,则f(x0)为极大值; 若 f ’(x0)左负右正,则f(x0)为极小值
题型二 含参数的函数求极值
设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1. 求f(x)的极值.
当x变化时, f '(x) ,f (x) 的变化情况如下表:
x f '(x)
f (x)
1
1-(a-1)3
数值____,且_______;而且在点x=b的左侧________,右侧________,
则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大 值._________、_________统称为极值点,_______和_______统称为 极值.
y
a ob
x y=f(x)
极值与导数之间有什么关系?

极限和导数拓展讲义

极限和导数拓展讲义

极限和导数并指导相对于本讲义编写的目的是对于高中物理中常用的微积分知识做一个相对体系的介绍,同学在实际的物理情景中应用。

讲义在内容上注重讲清数学知识的概念与思维方式, 野蛮的“摔公式”教学方法,同学们能一定程度上领略微积分的奇妙与美感。

本节知识提纲1数列极限:数列极限的定义,数列极限的计算2函数极限:函数极限的定义,物理中极限的使用3导数:导数扩展了物理量的定义。

掌握导数的几何意义,基本求导公式,求导运算法则最后我们一贯的反对学习数学只关心数学公式怎么使用的态度,这种情况在喜欢物理的同学中非常普遍,这种心态的学习在物理上一定也是走不远的。

本讲义实际讲解的是很不严密的,代替不了真正的数学课,建议有兴趣的同学课后阅读提升对于数学的理解。

第一部分数列极限©知识点睛先思考这个问题0.9999IH和1哪个大?纯洁而朴素的想法如下:0.9 <1,0.99 <1,0.999 < 1,所以无限循环小数0.9999川小于1。

然而事实并非如此。

令x =0.9999||],则有:10x 9.9999 川x =0. 9 9 9)9相减得到:9x=9所以x =1 =0.9999 川为了解释这样的事情,我们做如下分析,构造数列a n:內=0.99 (9)n显然数列里面的每一项都是小于1的。

但是0.99991 H并不在这个数列中。

因为数列里面每一项都是有限小数,0.9999川是无限小数。

当项数n不断增大的时候a n不断靠近0.9999川,却一直不等于0.9999川。

我们这样定义数列的极限:如果存在一个实数p使得:对于任意的实数;・0,都存在一个整数n,使得对于任意m・n , |a m-p|:::;,那么就叫p是数列a n的极限,记作p-lim a n。

否则叫数列a n没有极限。

可以这样形象地理解这个定义:当n很大的时候,a n与p要多靠近就有多靠近;n越大,a n与p就越靠近。

但是并不要求a n要等于p。

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§2.2 极限
•§2.2.1 数列极限的定义
•数列
•收敛数列
•有界数列和单调数列
•子列
数列的定义
定义:按一定次序排列的一列实数 ,,,,21n a a a (1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,n a 称为数列的通项(或一般项).数列(1)记为}{n a .
例如
;,2,,8,4,2 n
;,2
1,,81,41,21 n }
2{n
}2
1{n
注意: 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取.
,,,,21 n a a a 1
a
2a 3
a 4
a n
a 2.数列是整标函数).
(n f a n =;
,)
1(,,1,1,11
+--n }
)
1{(1
--n ;
,)1(,,34,21,21
n
n n --+}
)
1({
1
n
n n --+
,333,,33,3++++相应有单调性、有界性等性质。

.
})
1(1{1
时的变化趋势当观察数列∞→-+
-n n
n 播放
三、数列的极限
问题:当无限增大时,
是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?
n a n .
1)
1(1,1
无限接近于无限增大时当n
a n n n --+
=问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言
刻划它.
=
-1n a n
n n 11)
1(1
=--通过上面演示实验的观察:
,1001给定,10011<n 由,100时只要>n ,
10011<-n a 有,
1000
1给定,1000时只要>n ,
100001
1<-n a 有,100001给定,10000时只要>n ,
1000
1
1<-n a 有,0>ε给定,])1[(时只要ε
=>N n .
1成立有ε<-n a
定义 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数N ,使得对于N n >时
的一切n a ,不等式ε<-a a n 都成立,那末就
称常数a 是数列n a 的极限,或者称数列n a 收
敛于a ,记为
,
lim a a n n =∞
→ 或).(∞→→n a a n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意:;
.1的无限接近与刻划了不等式a a a a n n ε<-.
.2有关与任意给定的正数εN
x
1
a 2a 2
+N a 1
+N a 3
a 几何解释:
ε

-a ε
+a a
.
)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当N a a a N n n εε+->:定义N -ε其中;:每一个或任给的
∀.:至少有一个或存在∃.
,,0,0lim εε<->>∃>∀⇔=∞
→a a N n N a a n n n 恒有时使(
)
数列极限的定义未给出求极限的方法,
只能验证极限是否正确。

例1.1)
1(lim
1
=-+-∞→n
n n n 证明证
1-n a 1)
1(1
--+=-n
n n n 1=,0>ε任给,1ε<-n a 要,1ε<n 只要,
1
ε
>n 或所以,],1

=N 取,
时则当N n >ε<--+-1)
1(1
n
n n 就有.1)1(lim
1=-+-∞→n n n n 即注意:
例2.lim ),(C a C C a n n n =≡∞
→证明为常数设证C a n -C C -=,
成立ε<,0>ε任给所以,0=,
n 对于一切自然数.lim C a n n =∞
→说明:常数列的极限等于同一常数.
小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给
定寻找N ,但不必要求最小的N .
,0>ε不是求不等式的解集,只求一个解,可以变化。




















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