整数裂项
第1讲 整数裂项
＝1＋1＋1＋……＋1＋1
3． 计算：1＋2＝＋1301＋4＋……＋48＋49＋50＋49＋48＋……＋4＋3
＋2＋1
【答案】 原式＝502＝2500
小热身
4． 观察下列规律，在括号里填入适当的数。 1×2＝[1×2×( 3 )－( 0 )×1×2]÷3 2×3＝[2×3×( 4 )－( 1 )×2×3]÷( 3 ) 3×4＝[3×4×( 5 )－( 2 )×3×4]÷( 3 ) 49×50＝[49×50×( 51 )－( 48 )×49×50]÷( 3 ) 2×4＝[2×4×( 6 )－( 0 )×2×4]÷( 6 )
【答案】 原式＝(50＋49－48－47)＋(46＋45－44－43)＋……＋(6＋5－4－3)＋2＋1 ＝4×12＋2＋1＝51
2． 计算：(1＋3＋5＋7＋……＋199＋201)－(2＋4＋6＋8＋……＋
【答案】
198＋200) 原式＝1＋(3－2)＋(5－4)＋……＋(199－198)＋(201－200)
（2）1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋97×98＋99×100
【答案】 1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋97×98＋99×100 ＝2＋(2×4＋4)＋(4×6＋6)＋(6×8＋8)＋……＋(96×98＋98)＋(98×100＋100) ＝(2×4＋4×6＋6×8＋……＋96×98＋98×100)＋(2＋4＋6＋8＋……＋98＋100) ＝98×100×102÷6＋(2＋100)×50÷2 ＝169150
项可以相互抵消。S＝(49×50×51)÷3＝41650
例题2
1×4＋4×7＋7×10＋……＋46×49＋49×52
【答案】 设S＝1×4＋4×7＋7×10＋……＋46×49＋49×52 4×7＝(4×7×10－1×4×7)÷9 7×10＝(7×10×13－4×7×10)÷9 …… 49×52＝(49×52×55－46×49×52)÷9 将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项
整数裂项方法总结
整数裂项方法总结1. 引言整数裂项方法是一种数学技巧，用于处理包含整数的问题。
它的基本思想是将一个整数拆分成多个整数的和，从而简化问题的求解过程。
本文将对整数裂项方法进行总结和介绍。
2. 整数裂项方法的基本原理整数裂项方法的基本原理是将一个整数拆分成多个整数的和，通过对这些整数进行运算得到所需的结果。
裂项的数量和裂项的大小取决于具体的问题和求解目标。
3. 整数裂项方法的应用场景整数裂项方法可以应用于各种数学问题中，尤其是在组合数学、离散数学和计算机科学领域。
以下是一些常见的应用场景：a) 分解问题整数裂项方法可以用于将一个整数分解成多个整数的和，以满足某种条件。
例如，可以将一个整数分解成若干个质数的和，以满足给定的条件。
b) 组合问题整数裂项方法可以用于求解组合问题。
例如，在从一组数字中选取若干个数字，使其和等于给定的目标值的问题中，可以使用整数裂项方法。
c) 递归问题整数裂项方法可以用于递归问题的求解。
递归问题通常需要将一个问题分解成多个子问题，并对子问题进行求解。
整数裂项方法可以将一个整数拆分成多个整数的和，以便递归求解。
4. 整数裂项方法的实现步骤整数裂项方法的实现可以分为以下几个步骤：a) 确定裂项的个数根据具体的问题和求解目标，确定裂项的个数。
裂项的个数决定了问题的解的形式和求解过程的复杂度。
b) 确定裂项的大小确定裂项的大小，即裂项的取值范围。
裂项的大小决定了问题的解的空间和解的个数。
c) 列出裂项的所有可能组合根据裂项的个数和大小，列出裂项的所有可能组合。
这可以通过遍历所有可能的裂项组合来实现，也可以使用动态规划等方法来优化求解过程。
d) 进行裂项运算对裂项进行运算，得到所需的结果。
裂项的运算可以是简单的加法运算，也可以是复杂的乘法、除法等运算。
5. 实例分析为了更好地理解整数裂项方法，我们以一个实例进行分析。
假设有一个整数N，我们的目标是将N分解成k个小于等于M的整数的和，并求解满足条件的分解方式的个数。
(完整版)整数裂项.docx
整数裂项整数裂 基本公式(1) 1 2 2 3 3 4 ... (n1) n1 1) n ( n1) (n3(2) 1 2 3 2 3 4 34 5 ... (n2) (n 1) n1 ( n 2)( n 1)n(n 1)4【例 1 】 1 2 2 3 3 4 L49 50=_________【考点】整数裂 【 度】 3 星【 型】 算【解析】是整数的裂 。
裂 思想是：瞻前 后，相互抵消。
S ＝ 12 23 34 L 49 501×2×3＝ 1×2×32×3×3＝ 2×3×（ 4－ 1）＝ 2×3×4－ 1×2×3 3×4×3＝ 3×4×（ 5－ 2）＝ 3×4×5－ 2× 3× 4⋯⋯49×50×3＝ 49×50×（ 51－ 48） =49 ×50×51－ 48×49×50 3S ＝ 1×2×3＋ 2×3×3＋ 3×4×3＋ ⋯＋ 49×50×3＝ 49×50×51 S ＝ 49×50×51÷3＝ 41650【答案】 41650【巩固】 1 2 2 3 3 44 5 5 6 6 77 8 8 9 9 10 ________【考点】整数裂【 度】 3 星【 型】 算【解析】本 数 少，可以直接将每一 乘 都 算出来再 算它 的和，但是 于 数 多的情况 然不能 行 算． 于 数 多的情况，可以 行如下 形：n n 1 n 2n 1 n n 111n 1 n n 1 ， n n 13n n 1 n 233所以原式1 12 31 2 3 4 1 1 2 3L1 9 10 11 18 9 1033 333 110 11 33093另解：由于 n n 1 n 2 n ，所以原式12 1 22 2 L92 91222 L921 2L 91 9 10 19 1 9 1033062 1采用此种方法也可以得到1 2 2 3 Lnn11 n2 一 ．n n3【答案】 330【例 2 】 1 44 77 10 L49 52 =_________【考点】整数裂【 度】 3 星【 型】 算【解析】S ＝ 1 4 4 7 7 10 L 49 521×4×9＝ 1×4×7＋ 1×4×24×7×9＝ 4×7×（ 10－ 1）＝ 4×7×10－ 1×4×77×10×9＝ 7×10×（ 13－4）＝ 7×10×13－ 4×7×10⋯⋯⋯⋯.49×52×9＝ 49×52×（ 55－ 46）＝ 49×52×55－ 46×49×529S＝ 49×52×55＋ 1×4×2S=（ 49×52×55＋ 1×4×2）÷9＝15572【答案】 15572【例 3 】 1 2 3 2 3 4 3 4 5 L 9 10 11【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】 n n1n21n1n2n311 n n1n2 ，所以，n n44原式11 2 3 41 2 3 4 511 2 3 4L19 10 11 1218 9 10 11 444441910111229704从中可以看出，1232343 4 5L n n11n 2 n 3 n 2n n 14【答案】 2970【例 4 】算：1 3 5357L171921．【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】可以行整数裂．357 3 5 7 9 1 3 5 7 ，8579 5 7 9 11 3 5 7 9 ，817192117 19 21 23 15 17 19 21 ，8所以原式135********L1719212315171921 88135171921231357171921231358819503也可适用公式．原式 3 2 3 3 2 5 2 5 5 2 L19 2 19 19 2 3222 3 5222 5 L19222193353L 193 4 3 5 L 19133353L 193 4 1 3 5 L 19 3而 133353L 193132333L 203234363L20312022128110211219900，441 3 5 L 19 102100 ，所以原式19900 4 100 3 19503．【答案】19503【巩固】算：1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 L 97 98 99 100【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】一般的整数裂各之都是的，本中各之是断开的，此可以将中缺少的上，再行算．原式 A ，再 B2345456767 89L96979899 ，A B 1 234 2 3453456L97989910019798991001011901009880 ，5在知道 A 与 B 的和了，如果能再求出 A 与 B 的差，那么 A 、 B 的就都可以求出来了．A B12342345345645 6 7567 8L9798 99 1004(123345567... 979899)42(221)4(421)6(621)L98(9821)4(2 34363L983 )4(246L98)48149250 241100494801020042所以， A1901009880480102002974510040 ．【答案】 974510040【例 5 】2004 2003 20032002 2002200120012000L 2 1【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】原式2003220012L32122135L20012003212003100222008008其中也可以直接根据公式 1 357L2n 1 n2得出1 35L200120032 1002【答案】2008008【例 6 】 1 1!22!33!L20082008!【考点】整数裂【度】 4 星【型】算【解析】察 22!221(31)213!2! ，3 3!3321(41)32 14!3! ，⋯⋯20082008!20082008 2007L 2 1，(20091)20082007L212009!2008!可，原式1!(2!1!)(3!2!)L(2009!2008!)2009!【答案】 2009!【例 7 】计算：123456L991002345L98 99【考点】整数裂项【难度】 5 星【题型】计算【解析】设原式 =BAA B 122334L98999910011230122 3 412 3 L99 100 101 98 99 100 3【答案】199 100 1013333003B A 1 2 3 2 L 99 2 50 100 5000 B 333300 50003383A 333300 5000328333833283。
整数裂项方法
整数裂项方法
整数裂项方法，那可真是数学世界里的一颗璀璨明珠啊！你知道吗，它就像是一把神奇的钥匙，能打开那些看似复杂难解的数学大门。
我们来看看整数裂项到底是怎么一回事。
比如说，有一个数列 1，2，3，4，5……那怎么通过裂项来找到其中的规律和奥秘呢？这就好像是在一个大宝藏中寻找隐藏的宝贝一样刺激！
把一个整数拆分成几个数的和或差，这就是裂项的核心啊！这不就像是把一个大拼图拆成小块，然后再重新组合，发现它原本的模样吗？比如说 5 可以拆成 2 和 3，也可以拆成 1 和 4，这多有趣啊！
通过裂项，我们可以把复杂的计算变得简单易懂。
就好像原本是一团乱麻，突然就被理清了头绪。
这难道不令人惊叹吗？比如计算从 1 到 100 的所有整数的和，要是直接一个个加，那得累死人啊！但用裂项方法，就轻松多了。
而且啊，整数裂项方法在解决很多实际问题中也大显身手呢！它就像是一个万能工具，不管遇到什么难题，都能派上用场。
难道你不想掌握这样神奇的方法吗？
在学习整数裂项方法的过程中，可能会遇到一些困难，但这有什么可怕的呢？不经历风雨怎么见彩虹，对吧？就像爬山一样，虽然过程中会累会辛苦，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值得了。
整数裂项方法就是这样独特又精彩，它让我们看到数学的魅力和无限可能。
不用它，那不是太可惜了吗？所以啊，大家都要好好去探索和运用整数裂项方法，让自己在数学的海洋中畅游，去发现更多的奇妙和惊喜！这就是我的观点，毋庸置疑！。
整数裂项要求解题技巧
整数裂项要求解题技巧整数裂项是指将一个整数拆分为多个整数之和的过程，通常用来解决组合数学中的问题。
下面介绍一些解决整数裂项问题的常用技巧和策略。
1. 递归法递归法是一种常用的解决整数裂项问题的方法。
该方法通过将问题分解为更小的子问题，并通过递归求解子问题来得到最终的解。
以将整数n拆分为若干个整数之和为例，假设我们已经求解出将n-k（k为小于n的正整数）拆分为若干个整数之和的所有方法。
则将n拆分为若干个整数之和的方法，可以分为两部分：一部分是将n-k的每个拆分方法的每个元素加上一个不超过k的整数；另一部分是将n拆分为n-k和一个不超过k的整数。
通过对这两部分进行递归求解，最终可以得到将n拆分为若干个整数之和的所有方法。
递归法的关键在于找到递归的边界条件，即当n为0或1时的情况。
当n为0时，表示已经将n完全拆分为若干个整数之和，此时可以输出拆分结果；当n为1时，表示已经将n拆分为若干个整数之和，但最后一个整数为1，此时可以将1从拆分结果中去除。
2. 动态规划法除了递归法外，动态规划法也是解决整数裂项问题的一种常用方法。
动态规划法通过将问题划分为更小的子问题，并使用一个数组来保存子问题的解，以避免重复计算。
以将整数n拆分为若干个整数之和为例，假设dp[i]表示将整数i拆分为若干个整数之和的方法数。
则dp[i]可以通过求解dp[i-k]（k为小于等于i的所有整数）的和得到。
具体而言，对于dp[i]，可以将i拆分为以k为最后一个整数的拆分方法，其中k的取值范围是1到i。
将所有这些拆分方法的数量相加，即可得到dp[i]的值。
动态规划法的关键在于找到合适的递推关系，即如何通过已知的dp[i-k]求解dp[i]。
在整数拆分的问题中，递推关系较为简单，即dp[i]=dp[i-k]+1。
此外，还需要注意设置边界条件dp[0]=1和dp[1]=1。
3. 贪心法贪心法常用于简化复杂问题或在时间有限的情况下寻找近似解。
在整数裂项问题中，贪心法通过每次选择最大或最小的整数进行拆分，以尽可能多地拆分出整数之和。
整数裂项题目
整数裂项题目
整数拆项问题是一类数学问题，要求将一个整数拆分成若干个整数的和，并给出所有的拆分方式。
具体问题可以有多种形式，以下是一些例子：
1. 将整数N拆分成若干个正整数的和，求所有的拆分方式。
例如，对于整数N=5，它的拆分方式有：1+1+1+1+1，
2+1+1+1，3+1+1，2+2+1，4+1，3+2。
共有6种拆分方式。
2. 将整数N拆分成至多K个正整数的和，求所有的拆分方式。
例如，对于整数N=5，至多拆分成2个正整数的和，拆分方式有：1+4，2+3，共有2种拆分方式。
3. 将整数N拆分成至少K个正整数的和，求所有的拆分方式。
例如，对于整数N=5，至少拆分成2个正整数的和，拆分方式有：1+4，2+3，3+2，4+1，共有4种拆分方式。
以上是一些常见的整数拆分问题的例子，实际问题中可能根据具体情况有不同的要求和限制条件。
整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法讲解
整数裂项，小学奥数整数裂项公式方法讲解在小学奥数中有一些非常长的整数算式，仅仅用一般的运算法则满足不了计算要求，这时候我们要找式子中各乘式之间的规律，把各乘式裂项，前后抵消，从而简化计算。
规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。
先看一道整数裂项的经典例题：【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。
能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;……99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;规律是不是找着了？原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3=99x100x101÷3=333300整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字公差来确定的。
比如在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。
整数裂项法应用：式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差。
【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99分析：算式中各个项中数字之差都是2，满足整数裂项条件，后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差6。
六年级整数裂项与分数裂和
整数裂项与分数裂和考试要求（1）能熟练运算常规裂和型题目；（2）复杂整数裂项运算；（3）分子隐蔽的裂和型运算。
知识结构一、复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
重难点（1）复杂整数裂项的特点及灵活运用（2）分子隐蔽的裂和型运算。
例题精讲一、整数裂项【例 1】 计算：1324354699101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯【考点】整数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】原式=()()133599101244698100⨯+⨯++⨯+⨯+⨯++⨯=()99101103135613981001026⨯⨯-⨯⨯÷+⨯+⨯⨯÷=171650166600+=338250【答案】338250。
【巩固】计算：355779979999101⨯+⨯+⨯++⨯+⨯【考点】整数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
整数裂项的计算方法
整数裂项的计算方法嘿，咱今儿个就来唠唠整数裂项的计算方法！这可是个很有意思的玩意儿呢！你看啊，整数裂项就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开那些看似复杂难搞的数学大门。
比如说，咱有个式子像这样：1×2+2×3+3×4+……+n(n+1)。
哇，乍一看是不是有点头疼？别急，这时候整数裂项就派上用场啦！我们可以把每一项都拆分成两个数的差，就像这样：1×2=(1×2×3-0×1×2)÷3，2×3=(2×3×4-1×2×3)÷3，3×4=(3×4×5-2×3×4)÷3……以此类推。
然后你发现没，中间的那些项都可以相互抵消掉啦！最后就剩下两头的，神奇不神奇？这就好像我们在走一条长长的路，一路上有很多小障碍，但通过整数裂项这个方法，就像是找到了一条巧妙的捷径，一下子就穿过去了！再比如另一个例子，计算1²+2²+3²+……+n²。
这也能用整数裂项来搞定呢！我们可以把每一项都转化一下，变成可以裂项的形式。
你想想，数学的世界多奇妙啊！整数裂项就像是隐藏在其中的一个小秘密，等着我们去发现和运用。
咱平常学习数学，不就是要不断探索这些好玩的方法嘛！就像探险家在未知的领域里寻找宝藏一样，每找到一个新方法，都让人兴奋不已！通过整数裂项，那些原本让人头疼的式子都变得乖乖听话啦！咱可以轻松地算出结果，那种感觉，就像打了一场胜仗一样爽！所以啊，同学们可千万别小瞧了这个整数裂项的计算方法哦！它能让我们在数学的海洋里畅游得更顺畅，更开心！多去试试，多去探索，你就会发现它的魅力所在啦！怎么样，是不是迫不及待想去试试啦？赶紧的吧！。
小学奥数教程-整数裂项 (4) (含答案)
【答案】 41650
【巩固】 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + 4 × 5 + 5 × 6 + 6 × 7 + 7 × 8 + 8 × 9 + 9 ×10 =________
【考点】整数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然
4
4
原式 =
1 4
×
1×
2
×
3
×
4
+
1 4
×
2
×
3
×
4
×
5
−
1 4
×1×
2
×
3
×
4
+
+
1 4
×
9
×10
×11×12
−
1 4
×
8
×
9
×10
×11
= 1 × 9 ×10 ×11×12 = 2970 4
从中还可以看出，1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + + n × (n + 1) × (n += 2) 1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
整数裂项
知识点拨
整数裂项基本公式 (1) 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + ... + (n −1) × n= 1 (n −1) × n × (n + 1)
3 (2) 1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + ... + (n − 2) × (n −1) × n= 1 (n − 2)(n −1)n(n + 1)
小学奥数-整数裂项
小学奥数--整数裂项对于较长得复杂算式,单单靠一般得运算顺序与计算方法就是很难求出结果得。
如果算式中每一项得排列都就是有规律得，那么我们就要利用这个规律进行巧算与简算。
而裂项法就就是一种行之有效得巧算与简算方法。
通常得做法就是:把算式中得每一项裂变成两项得差，而且就是每个裂变得后项(或前项)恰好与上个裂变得前项(或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”得目得。
下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法得运用,并为整数裂项法编制一个易用易记得口诀。
后延减前伸差数除以N例1、计算1×2+2×3+３×４+4×5+…＋9８×９9＋99×100分析:这个算式实际上可以瞧作就是:等差数列１、2、3、4、5……98、９9、１０0，先将所有得相邻两项分别相乘,再求所有乘积得与。
算式得特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
1×2＝(1×2×３-0×1×2)÷(1×3)2×３=(２×3×４-1×２×3)÷(1×３)3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(１×３)4×5=（4×５×６－3×４×5)÷(1×3)……98×99＝(98×99×100-97×9８×99)÷(1×3)99×1０0=(９９×100×101-98×99×100）÷(1×3)将以上算式得等号左边与右边分别累加,左边即为所求得算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×10０×１０１-0×1×2)÷3。
整数裂项基本公式
整数裂项基本公式
，角度可以是介绍整数裂项基本公式，文章要求能传递出一定的信息
整数裂项基本公式，是一种用数学方法来拆分、重新组合实数的算法。
该公
式拥有广泛的应用领域，其中最常用的是在基因进化中研究DNA分子结构、研究细胞间物质运输、金融行业做为分析工具进行风险估计以及在系统管理领域做为一种可操控的元素。
首先，我们必须了解整数裂项的概念及其具体内容。
整数裂项是将整数分解为
一组因子（也称为“因式”的乘数）的过程。
有时，因子就是原始整数；而其他时候，需要将整数分解为更小的整数乘积。
例如，可以将整数1220分解为3乘以4
乘以5乘以6（即：3×4×5×6=1220）。
每一组因式组成整数裂项的基本形式是a × b ×…z等。
其次，让我们从整数裂项基本公式出发，以详细解释这一数学思想论及其应用。
整数裂项基本公式主要形式是展开式，以(a+b)n来表示。
它表明一个整数可以拆
分成有序的两个因子之和的乘幂，其中项的乘幂的指数表示该整数的因子的个数。
换言之，如果该整数有两个因子，则其展式为(a+b)2；如果该整数有三个因子，则其展式为(a+b)3，以此类推。
此外，整数裂项还可以被用在其他数学公式中，譬如古典模型中的分数（f）、根号展开式和余弦公式等。
这些公式使得数学推理有了更好的前景，并使大量数学模型及应用更加精准有效，以此来助力科学研究及挖掘更多知识。
综上所述，整数裂项基本公式是用于拆分和重新组合整数的关键技术，它的广
泛应用及广泛的数学模型都不可或缺，为科学研究提供了支撑。
分数裂项.整数裂项,通向归纳,单位分数拆分
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
公差裂项解法对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。
解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100=（99×100×101-0×1×2）÷3=333300例2、计算3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。
3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）……97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。
解：3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101=（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）=1029882÷6=171647例3、计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+96×97×98+97×98×99分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。
1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）……96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）。
解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）=23527350例4、计算10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。
解：10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）=2147376公差裂项通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
平方数相加裂项例5、计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100分析：n×n=(n-1)×n+n理解透切并练习解：1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100=1+（1×2+2）+（2×3+3）+……+（98×99+99）+（99×100+100）=（1×2+2×3+……+98×99+99×100）+（1+2+3+……+99+100）=99×100×101÷3+（1+100）×100÷2=333300+5050=338350平方数裂项求和等于公差为1因数个数为2的公差裂项和+1到N的和。
例6、计算1×2+3×4+5×6+……+97×98+99×100分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n解：1×2+3×4+5×6+7×8+……+97×98+99×100=2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+……+（96×98+98）+（98×100+100）=（2×4+4×6+6×8+……+96×98+98×100）+（2+4+6+8+……+98+100）=98×100×102÷6+（2+100）×50÷2=169150立方数相加裂项求和例7、计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n举例练习100×100×100=（99×100×101+100）解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100=1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+……+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）=（1×2×3+2×3×4+……+98×99×100+99×100×101）+（1+2+3+……+99+100）=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2=25492400立方数求和可裂项为公差为1因数为3个的裂项和+1到N的和。
奇乘奇，偶乘偶求和等于奇乘奇裂项和+偶乘偶裂项和例8、计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101解：1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101=（1×3+3×5+……+99×101）+（2×4+4×6+……+98×100）=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6=171650+166600=338250奇乘奇裂项求和等于公差为2，因数为2的裂项求和偶乘偶裂项求和等于公差为2，因数为2的裂项求和例9、计算1+（1+2）+（1+2+3）+......+（1+2+3+4+ (100)先理解等差数列求和公式项数×（首项+末项）÷21+2=2×（1+2）÷2 1+2+3=3×（1+3）÷2 1+2+3+4=4×（1+4）÷21+2+3+4+……+100 = 100×（1+100）÷2解：1+（1+2）+（1+2+3）+......+（1+2+3+4+ (100)=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+100×101÷2=（1×2+2×3+3×4+……+100×101）÷2=（100×101×102÷3）÷2=171700将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。