利用修正单纯形法解线性规划问题(精)#优选、
python修正的单纯形法
单纯形法（Simplex Algorithm）是一种用于求解线性规划问题的算法。
它适用于具有较多约束条件和变量的问题。
单纯形法通过迭代的方法逐步找到最优解。
在Python中实现修正的单纯形法需要遵循以下步骤：1. 导入所需的库2. 定义线性规划问题的参数（目标函数、约束条件、变量范围等）3. 初始化单纯形表4. 进行迭代计算，直到找到最优解或满足停止条件以下是一个简单的Python示例，实现了修正的单纯形法：```pythonimport numpy as npdef simplex(c, A, b, x0):num_vars = len(c)num_constraints = len(b)slack_vars = np.eye(num_constraints)tableau = np.hstack((A, slack_vars, b.reshape(-1,1)))c_with_slacks = np.hstack((c, np.zeros(num_constraints)))while True:pivot_col = np.argmax(np.abs(tableau[-1,:-1]))pivot_row = np.argmax(np.abs(tableau[:-1,pivot_col]))if np.abs(tableau[pivot_row, pivot_col]) < 1e-6:print("No solution or unbounded solution.")breakpivot_element = tableau[pivot_row, pivot_col]for i in range(num_constraints):if i == pivot_row:tableau[i,:] = tableau[i,:] / pivot_elementelse:tableau[i, :] = tableau[i, :] - (tableau[i, pivot_col] * tableau[pivot_row, :]) / pivot_elementfor i in range(num_vars + 1):if i == pivot_col:c_with_slacks[i] = c_with_slacks[i] / pivot_elementelse:c_with_slacks[i] = c_with_slacks[i] - (c_with_slacks[pivot_col] * tableau[i, :]) / pivot_elementx = np.hstack((x0, tableau[:-1,-1]))print("Iteration:", np.linalg.norm(c_with_slacks[:-1]) / np.linalg.norm(c))if np.linalg.norm(c_with_slacks[:-1]) < 1e-6:print("Optimal solution found.")breakreturn xc = np.array([5, 4, 3])A = np.array([[6, 4, 2], [1, 2, 1]])b = np.array([24, 6])x0 = np.zeros(len(c))x = simplex(c, A, b, x0)print("Optimal solution:", x)```注意：这个示例是一个简化版本，没有考虑所有可能的特殊情况。
使用单纯形法解线性规划问题(参考模板)
1 / 2使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =--约束条件为：1231231312321142321,,0x x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩ 用单纯形法列表求解，写出计算过程。
解：1） 将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++s.t.： 123412356137123456721142321,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩2） 找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表3） 换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。
迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。
表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。
之后的单纯形表为：表四：第二次迭代后的单纯形表5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。
之后的单纯形表为：表五：第三次迭代后的单纯形表可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。
结论：综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。
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单纯形法解线性规划问题
一、用单纯形第Ⅰ阶段和第Ⅱ阶段解下列问题s.t.解：1)、将该线性问题转为标准线性问题一、第一阶段求解初始可行点2)、引入人工变量修改约束集合取人工变量为状态变量，问题变量和松弛变量为决策变量，得到如下单纯形表，并是所有决策变量的值为零，得到人工变量的非负值。
2 -2 -1 1 21 1 -1 -1 12 -1 -2 1 25 -2 -4 1 -1 1 50 0 0 0 03)、对上述单纯形表进行计算，是目标函数进一步减小，选为要改变的决策变量，计算改变的限值。
2 -2 -1 1 2 11 1 -1 -1 1 02 -1 -2 1 2 05 -2 -4 1 -1 1 5 10 0 0 0 00 1 0 0 04)、由于，为人工变量，当其到达零值时，将其从问题中拿掉保证其值不会再变。
同时将以改变的决策变量转换为状态变量。
增加的值使目标函数值更小。
1 -3 1 1 1 01 1 -1 11 -3 1 1 1 00 0 0 00 0 05）使所有人工变量为零的问题变量的值记为所求目标函数的初始可行点，本例为，二、第二阶段用单纯形法求解最优解-2 2 1 01 1 -1 0-2 1 2 15 1 3要使目标函数继续减小，需要减小或的值，由以上计算，已经有两个松弛变量为零，因此或不能再减小了，故该初始可行点即为最优解。
2、求解问题s.t.如果目标函数变成，确定使原解仍保持最优的c值范围，并把目标函数最大值变达成c的函数。
解：先采用单纯形法求解最优解，再对保持最优解时C值的范围进行讨论。
1）将问题华为标准线性问题s.t.2）用单纯形表表示约束条件，同时在不引入人工变量的前提下，取松弛变量得初始值为零值，求解初始解和最优解10 -1 -1 -1 10-20 1 5 1 -20-2 -1 -1 00 0 0要使目标函数继续减小，可以增大，增大的限值是10。
10 -1 -1 -1 10 0-20 1 5 1 -20 -10-2 -1 -1 0 -200 0 010 0 03）转轴。
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题max z =从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ⋯ , m; j = 1 , 2 , ⋯ , n)进行编号, 则可得下列方程组显然得到一个m×m单位矩阵以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得令由上式得又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。
4.2 最优性检验和解的判别对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。
一般情况下, 经过迭代后可以得到：将上代入目标函数，整理后得令于是再令则(1) 最优解的判别定理若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切 且有则 为最优解。
称为检验数。
(2) 无穷多最优解的判别定理若为一个基可行解， 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。
(3) 无界解判别定理若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ⋯, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。
用单纯形法求解目标规划
P3 -56 －8 －10 0 0 0 0 0 1 0
Cj
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0 0
CB XB b x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0
d
1
5 3/2 0
1 －1 1/2 -1/2 0
0 0 0 -2/5 2/5 1
0 1 0 -3/10 3/10 0
00 01 0 0
00 00 0 0
00 00 0 0
P2 P3 0
d
2
d
3
d
3
000
000
-1 0 0
0 1 -1
0 0 0单
1 0 0纯 0 0 1形 0 -1 1 表 0 1/10 -1/101
-1 -3/5 3/5
0 1/20 -1/20
cj
CB XB b
0 x3 60
0 x1 0
0
d
2
36
P3
d
3
48
P1 j c j z j P2
P3
0 x3 12
0 x1 24/5
0
d
2
36/5
0 x2
j cj zj
12/5
P1 P2 P
单纯形表1
00 x1 x2
0 P1 x3 d1
00
d1
d
2Байду номын сангаас
0 20 1 -5 5 0
1 -2 0 1 -1 0
改进的单纯形法迭代计算方法
改进的单纯形法迭代计算方法吴庆丰【摘要】对传统大M法进行改进，若计算检验数的表达式中含有M则只计算含有M的部分，从而简化计算，迭代过程中当人工变量由基变量变为非基变量时，直接去掉人工变量部分的表格然后继续计算，从而再一次降低计算量。
借鉴两阶段法的优点进一步给出了无需给出大M的迭代算法，此法不会破坏目标函数的一致性，而且可以避免传统大M法在利用计算机求解时由于M值的选取不当所导致的计算错误。
%Improved big-M method is presented. If expressions of the calculated test number contain M, the only portion containing M is calculated, and thereby the calculation is simplified. And when artificial variables become nonbasic variables by basic variables in the iterative calculation process, the artificial variables parts of the table can be directly removed and then the calculation is continued. Thus, the amount of computation is again reduced. Taking advantages of two-phase method, an iteration algorithm without giving the big M is further given. This method does not undermine the consistency of the objective function, and the calculation error can be avoided when using traditional big-M method combined with computer to solve, due to the improper selection of the value of M.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)018【总页数】5页(P59-62,69)【关键词】线性规划;单纯形法;大M法;两阶段法【作者】吴庆丰【作者单位】淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000【正文语种】中文【中图分类】O22单纯形法是求解线性规划的基本方法，许多文献对其不断改进。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
单纯形法求解线性规划问题例题
单纯形法求解线性规划问题例题线性规划问题（LinearProgrammingProblem,LPP）是指由一系列约束条件和优化目标函数组成的数学最优化模型，它可以用于解决各种单位时间内最高效率的分配问题。
在求解LPP的过程中，单纯形法（Simplex Method）是最主要的优化算法之一。
单纯形法的原理是采用一组基本变量的拿破仑表示法，一步步构造出线性规划问题的最优解。
下面我们来看一个例子：有公司向农户出售两种农药，甲和乙，每瓶甲农药售价3元，每瓶乙农药售价2元，公司每天有200瓶甲农药和150瓶乙农药，问该公司售出多少瓶甲农药和乙农药，能每天获得最大收益？该问题可表示为下述线性规划模型：最大化 $3x_1+2x_2$约束条件：$x_1+x_2le 200$$2x_1+x_2le 150$$x_1,x_2ge 0$由上述模型可知，有两个未知量$x_1$和$x_2$，它们分别代表出售的甲农药和乙农药的瓶数。
单纯形法的基本思想是采用一组基本变量表示未知量，将未知量$x_1$和$x_2$表示为由两个基本变量$y_1$和$y_2$组成的拉格朗日变换系数矩阵形式，即：$x_1+x_2=y_1+y_2$$2x_1+x_2=m(y_1+y_2)$其中，m是一个系数，根据上面的约束条件，m取200/150=4/3，则：$x_1=y_1+frac{1}{3}y_2$$x_2=y_2-frac{1}{3}y_2$由此可以得到该问题的新的线性规划模型：最大化 $3y_1+2(frac{4}{3})y_2$约束条件：$y_1+y_2le 200$$y_2le 150$$y_1,y_2ge 0$可以看出，该问题所构建出来的新的线性规划模型比原来的模型更加容易求解。
我们将建立单纯形表，以便求出最优解。
首先列出单纯形表：$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}hline& y_1 & y_2 & S_1 & S_2 & f & b hline1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 200 hline2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4/3 & 150 hlineend{array}$其中，$y_1$和$y_2$是基本变量，$S_1$和$S_2$是可行解系数，$f$是目标函数系数，$b$是右端项。
线性规划单纯形法(例题)资料
线性规划单纯形法(例题)《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+++++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,,,24261553).(002max ,,0,24261553).(2max 14.18432142132143214321212121x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
分别用图解法和单纯形）】（页【为初始基变量，选择43,x x)1000(00)0010(01)2050(12)6030(24321=⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择41x x3/1)6/122/10(00)0210(03/1)3/1240(10)1200(24321-=⨯+-⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择32x x24/724/528/11012/112/124/1100021110120124321-=⨯+-⨯-=-=-⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=）（）（）（）（σσσσ4334341522max ,)43,415(),(2112=+⨯=+===x x z x x X TT 故有：所以，最优解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+++++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0,182312212).(52max 24.185432152142315432154321212121x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
单纯形法求解线性规划的步骤
单纯形法求解线性规划的步骤1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为03>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0);2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)程序中主要的函数以及说明~SimpleMatrix();销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑这个函数用来判断是否已经存在最优解bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零这个函数用来判断线性规划是否是无解的bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)用来判断线性规划是否存在最优解,因为如果最后一列如果有负数的化,就无解了,算法终止int InColumn(); //确定输入变量用来判断主元所在的列int DepartRow(int col); //确定分离变量(寻找主元)用来确定主元所在的行void MainItem_To_1(int row,int col); //将主元所在的行做处理,使主元变为1void SubMatrixLine(int row1,int row2,intcol);//将矩阵的其他行做处理,矩阵的两行相减这个函数是在主元行已经做处理以后调用,目的是是矩阵的其他行主元列的元素变成0.其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行void PrintAnswer(); //输出矩阵的最优解int GetRows(); //返回矩阵的行数int GetCols(); //返回矩阵的列数double GetItem(int row,int col); //返回矩阵第row行,第col列的元素源代码//SimpleMatrix.h#ifndef SIMPLEMATRIX_H_#define SIMPLEMATRIX_H_class SimpleMatrix{public:SimpleMatrix(int row=0,int col=0);SimpleMatrix(int row,int col,double **M);~SimpleMatrix();bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)int InColumn(); //确定输入变量int DepartRow(int col); //确定分离变量(寻找主元)void MainItem_To_1(int row,int col); //将主元所在的行做处理,使主元变为1void SubMatrixLine(int row1,int row2,int col);//将矩阵的其他行做处理,矩阵的两行相减 void PrintAnswer(); //输出矩阵的最优解int GetRows(); //返回矩阵的行数int GetCols(); //返回矩阵的列数double GetItem(int row,int col); //返回矩阵第row行,第col列的元素private:int rowLen; //标准矩阵的行数int colLen; //标准矩阵的列数double **data; //一个二维数组,指向标准矩阵的数据成员void init(int rows,int cols); //动态分配一个rows行,cols列的二维数组};#end if//SimpleMatrix.cpp#include <iostream>#include <cmath>#include "SimpleMatrix.h"using namespace std;void SimpleMatrix::init(int rows,int cols){if(rows>0&&cols>0){rowLen=rows;colLen=cols;data = new double *[rows];for (int i=0;i<rows;i++){data[i]=new double[cols];}}elsecout<<"矩阵的行.列数不合法"<<endl;}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col){init(row,col);for(int i=0;i<rowLen;i++){cout<<"请输入矩阵中第"<<i+1<<"行的系数"<<endl;for(int j=0;j<colLen;j++)cin>>data[i][j];}}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col,double **M) {rowLen=row;colLen=col;init(row,col);for (int i=0;i<row;i++)for(int j=0;j<col;j++){data[i][j]=*((double*)M+col*i+j); ;}}SimpleMatrix::~SimpleMatrix(){if(colLen*rowLen != 0 ){for(int i=rowLen-1;i>=0;i--){if (data[i]!=NULL)delete[] data[i];}if (data!=NULL)delete[] data;}}bool SimpleMatrix::Is_objectLine_All_Positive() {for(int i=0;i<colLen-1;i++)if(data[rowLen-1][i]<0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_MainCol_All_Negative(int col) {for(int i=0;i<rowLen;i++)if(data[i][col]>0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_column_all_Positive(int col) {for(int i=0;i<rowLen-1;i++){if(data[i][col-1]<0)return false;}return true;}int SimpleMatrix::InColumn(){int count=0;for(int i=0;i<colLen-1;i++){int temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp>=0){count++;}elsebreak;}double maxItem=fabs(GetItem(rowLen-1,count));int index_col;for(i=0;i<colLen-1;i++){double temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp<0){if(maxItem<=fabs(temp)){maxItem=fabs(temp);index_col=i;}}}return index_col;}int SimpleMatrix::DepartRow(int col){int index_row;int count=0;for(int i=0;i<rowLen;i++){if(data[i][col]<0)count++;elsebreak;}double minItem=data[count][colLen-1]/data[count][col]; index_row=count;double temp;for(i=0;i<rowLen-1;i++){temp=data[i][col];if(temp>0){temp=data[i][colLen-1]/temp;if(temp<minItem){minItem=temp;index_row=i;}}}return index_row;}void SimpleMatrix::MainItem_To_1(int row,int col){double temp=GetItem(row,col);//double temp=data[row-1][col-1];for (int i=0;i<colLen;i++){data[row][i]/=temp;}}void SimpleMatrix::SubMatrixLine(int row1,int row2,int col) {double temp=GetItem(row1,col);//double temp=data[row1-1][col-1];double*tempLine=new double[colLen];for(int i=0;i<colLen;i++){tempLine[i]=data[row2][i];}for(i=0;i<colLen;i++){data[row1][i]=data[row1][i]-temp*tempLine[i];}delete[]tempLine;}int SimpleMatrix::GetRows(){return rowLen;}int SimpleMatrix::GetCols(){return colLen;}double SimpleMatrix::GetItem(int row,int col){return data[row][col];}void SimpleMatrix::PrintAnswer(){//先确定单位矩阵中1的位置for (int i=0;i<GetRows();i++)for (int j=0;j<GetRows();j++){if(1==data[i][j]){int index_col=j;cout<<"x"<<index_col+1<<"="<<data[i][colLen-1]<<" ";}}cout<<endl;cout<<"取得最优解,并且最优值为"<<data[rowLen-1][colLen-1];}//单纯形法.cpp#include <iostream>#include "SimpleMatrix.h"using namespace std;int main(){double M[4][7]={{5,3,1,1,0,0,9},{-5,6,15,0,1,0,15},{2,-1,1,0,0,-1,5},{-10,-15,-12,0,0,0,}};SimpleMatrix Matrix(4,7,(double **)M);if(Matrix.Is_column_all_Positive(5)) //判断是否存在最优解{bool p=Matrix.Is_objectLine_All_Positive(); //判断主元列是否全部为正,确定是否已经取得最优解while(!p){int col=Matrix.InColumn(); //确定主元所在的行if(Matrix.Is_MainCol_All_Negative(col)) //确定线性规划的解是否为无解的{cout<<"线性规划问题是无界的,没有最优解"<<endl;exit(EXIT_FAILURE);}else{int mainRow=Matrix.DepartRow(col); //确定主元所在的行Matrix.MainItem_To_1(mainRow,col); //将主元所在的行做变换,使主元变成1 int i=0;while(i<Matrix.GetRows()){if(i!=mainRow){Matrix.SubMatrixLine(i,mainRow,col); //处理矩阵中其他的行,使主元列的元素为0 i++;}else{i++;}}}for(int i=0;i<Matrix.GetRows();i++) //输出变换以后的矩阵,判断是否正确处理{for (int j=0;j<Matrix.GetCols();j++){cout<<Matrix.GetItem(i,j)<<" ";}cout<<endl;}p=Matrix.Is_objectLine_All_Positive();}Matrix.PrintAnswer();}elsecout<<"线性规划无解"<<endl;return0;}。
使用单纯形法解线性规划问题
使用单纯形法解线性规划问题
1.将线性规划问题转化为标准形式:将不等式约束转化为等式约束，引入松弛变量等。
2.初始化:选择一个初始可行基。
可行基是指满足约束条件的基本变量的取值，使得其他非基本变量的取值为零。
3.检验最优性:计算当前基本解下的目标函数值。
如果所有非基本变量的系数都是非负的，那么当前基本解就是最优解。
4.寻找进入变量:选择一个进入变量，使得目标函数值能够增加。
进入变量是指非基本变量中的一个，通过增加其值来使得目标函数值增加。
5.寻找离开变量:选择一个离开变量，使得目标函数值能够继续增加。
离开变量是指基本变量中的一个，通过减小其值来使得目标函数值继续增加。
6.更新基本解:通过进入变量和离开变量的变化，更新基本解。
7.重复步骤3到步骤6，直到找到最优解或确定问题无界。
单纯形法大M法求解线性规划问题
两阶段法
两阶段法引入人工变量的目的和原则与大M法相同，所不同的是
处理人工变量的方法。 两阶段法的步骤： 求解一个辅助线性规划。目标函数取所有人工变量之和，并取极小 化；约束条件为原问题中引入人工变量后包含一个单位矩阵的标准型 的约束条件。 如果辅助线性规划存在一个基本可行解，使目标函数的最小值等于 零，则所有人工变量都已经“离基”。表明原问题已经得了一个初始 的基本可行解，可转入第二阶段继续计算；否则说明原问题没有可行 解，可停止计算。 求原问题的最优解。在第一阶段已求得原问题的一个初始基本可行 解的基础上，继续用单纯形法求原问题的最优解
大M法首先将线性规划问题化为标准型。如果约束方程组中包含 有一个单位矩阵 I ，那么已经得到了一个初始可行基。否则在约束方 程组的左边加上若干个非负的人工变量，使人工变量对应的系数列向 量与其它变量的系数列向量共同构成一个单位矩阵。以单位矩阵为初 始基，即可求得一个初始的基本可行解。 为了求得原问题的初始基本可行解，必须尽快通过迭代过程把人 工变量从基变量中替换出来成为非基变量。为此可以在目标函数中赋 予人工变量一个绝对值很大的负系数-Ｍ。这样只要基变量中还存在 人工变量，目标函数就不可能实现极大化。 以后的计算与单纯形表解法相同，Ｍ只需认定是一个很大的正数即 可。假如在单纯形最优表的基变量中还包含人工变量，则说明原问题 无可行解。否则最优解中剔除人工变量的剩余部分即为原问题的初始 基本可行解。
12
13
9
例3、求解下述线性规划问题：
m a x Z = 3 x 1 -8 0 x 2 + 2 x 3 -2 4 x 4 x 1 -3 2 x 2 -4 x 3 3 6 x 4 0 x -2 4 x - x 6 x 0 1 2 3 4 x3 1 x j 0 ,j 1 ,2 ,3 ,4
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
单纯形法解线性规划问题——提高棒材利用率的最佳途径
＋ Ｍ （ １ ０ ０ 一 Ｘ ｌ 一 ３ ｘ ３ — ２ ｘ ４ ）＝ ３ Ｏ ０ Ｍ＋ （ １ — ３ Ｍ ｘ ｌ ＋（ 】 一 ３ Ｍ） ｘ ２ ＋
单纯 形法解 线性规 划 问题—— 提 高棒材 利用率 的最佳 途径
李 永平 王 新征 马 春雷 河北 中农博远农业装备有限公司 ０ ５ ２ １ ６ ０
摘 要： 长期 以来， 各企业一直都在设法改善传统下料作 业 中自然切割 方法利 用率低的 问题 ， 以达到合理 利用材料 （ 即套裁 ） 、 提 高 材料利用率 、 增加企 业经济效益 的 目的。 本文探讨 了实际生产 中下料的优化 问题 ， 建立 了线性整数规划的数 学模 型 ， 获得 了优化模 型的 解。本方法适用于大批量型材、 棒材 的下料 问题 ， 可以提 高材 料的利用率。 关键词 ： 下料 问题 ； 优化 ； 经济效益 ； 利用率
（ １ —８ ） ； （ １ — ） 。
２ １ ０ ０ ｍ ｍ、 １ ５ ０ ０ ｍ ｍ的传动轴各 １ 根， 且材质 、 规格相 同， 而当时能够满足这样长度要求 的圆钢只有 ７ ４ ０ ０ ｍ ｍ一 种， 问生 产 １ ０ ０辆 战 车至少 需要 多少 根 ７ ４ ０ ０ ｍｍ长 的 圆
例： 二战期间 ， 盟军司令部下达命令 ， 让某军工厂生
产 １ ０ ０辆 战 车 。 此 种 战 车 每 辆 需 要 长 度 近 ２ ９ ０ ０ ａ ｒ ｍ、
２ ｘ ２ ＋ ２ ｘ ４ ＋ ｘ ６ ＝ １ ｏ ０
（ １ —＿ ７ ） ；
Ｘ ｌ ＋ ３ Ｘ ３ ＋ ２ ） 【 ４ ＋ ｘ ７ ＝ １ ０ ０ ｘ ｊ ＞Ｏ （ ￣ ｊ ＝ ｌ ， ２ ， …， ７ ）
运筹学
运筹学[填空题]1用改进单纯形法求解以下线性规划问题。
[填空题]2已知某线性规划问题，用单纯形法计算得到的中间某两步的加算表见表，试将空白处数字填上。
参考答案：[填空题]3判断下列说法是否正确，并说明为什么？（1）如线性规划问题的原文题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解。
（2）如线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解。
（3）如果线性规划问题的原问题和对偶问题都具有可行解，则该线性规划问题一定有有限最优解。
参考答案：（1）错误，原问题有可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能不存在；（2）错误，对偶问题没有可行解，原问题可能有可行解也可能有无界解；（3）错误，原问题和对偶问题都有可行解，则可能有有限最优解也可能有无界解；[填空题]4设线性规划问题1是：又设线性规划问题2是：参考答案：把原问题用矩阵表示：原问题和对偶问题的最优函数值相等，所以不等式成立，证毕。
[填空题]5已知线性规划问题 用单纯形法求解，得到最终单纯形表如表所示，要求： （1）求a 11，a 12，a 13，a 21，a 22，a 23，b 1，b 2的值； （2）c 1，c 2，c 3的值；参考答案：初始单纯形表的增广矩阵是：最终单纯形表的增广矩阵为C 2是C 1作初等变换得来的，将C 2作初等变换，使得C 2的第四列和第五列的矩阵成为C 2的单位矩阵。
有：[填空题]6试用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。
参考答案：（1）取w=-z，标准形式：最优解：X=（21/13，10/13，0，0）T目标函数最优值为31/13。
（2）令：w=-z，转化为标准形式：原问题最优解：X=（3，0，0，0，6，7，0）T目标函数最优值为9。
[填空题]7现有线性规划问题先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列各种条件下，最优解分别有什么变化？（1）约束条件1的右端常数20变为30；（2）约束条件2的右端常数90变为70；（3）目标函数中x3的系数变为8；（4）x1的系数向量变为；（5）增加一个约束条件2x1+3x2+5x3≤50；（6）将约束条件2变为10x1+5x2+10x3≤100。
单纯形法大M法求解线性规划问题
,
CB =(-1,1) CN =(5,2,3)
,b=
8 7
XN
=0
XB
=B1b=
8 7
X=(0,0,0, 8, Z=CBB1b=(-1,1)
7)T
8 7
1
17
X
B
=
x x
4 5
,X
N
=
x1 x2 x3
,B=
1 0
0 1
1
,N=
3
2 4
2 1
,
CB =(-1,1) CN =(5,2,3)
Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn的
系数列向量构成的矩阵。
4
所以约束方程 AX=就b可以表示为
AX=(BN)
XB XN
=BXB
+NXN
=b
用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：
XB =B-1b-B-1NXN
若令所有非基变量 XN =0 , 则基变量 XB =B-1b
,b=
8 7
(2) 检验 X=(0,0,0, 8, 7)T 是否最优。
检验向量
σ
N
=CN
-CB
B-1N=(5,2,3)-(-1,1)
1 3
2 4
2
1
=(5,2,3)-(2,2,-1)=(3, 0, 4)
σ1 σ2 σ3
因为σ1=3，σ3=4 均大于零，
所以 X=(0,0,0, 8, 7)T不是最优解。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到 最优基本可行解的最佳途径。 单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，
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利用修正单纯形法解线性规划问题一软件示意：二代码说明：Dim A(1 To 3, 1 To 6) As Double '矩阵ADim a1(1 To 3) As Double '矩阵A的第一列向量Dim a2(1 To 3) As Double '矩阵A的第二列向量Dim a3(1 To 3) As Double '矩阵A的第三列向量Dim a4(1 To 3) As Double '矩阵A的第四列向量Dim a5(1 To 3) As Double '矩阵A的第五列向量Dim a6(1 To 3) As Double '矩阵A的第六列向量Dim B_(1 To 3, 1 To 3) As Double '基矩阵B的逆矩阵Dim XB(1 To 3) As Double '基本可行解Dim b(1 To 3) As Double '右端向量bDim C(1 To 6) As Double '检验数Dim CB(1 To 3) As Double '基本可行解对应的检验数Dim π(1 To 3) As Double '单纯形乘子矢量Dim r(1 To 6) As Double '检验矢量rDim r_min As Double '检验矢量最小值Dim k_sign As Integer '检验矢量最小值对应的位置Dim Y(1 To 3, 0 To 6) As Double '矩阵yDim just_vector(1 To 3) As DoubleDim liji_min As Double '用于判断离基变量所用值Dim r_sign As Integer '用于记录离基变量对应的位置Dim main_yuan As Double '用于存放主元Dim Erk(1 To 3, 1 To 3) As DoubleDim Exchange_B(1 To 3, 1 To 3) '在矩阵Erk与矩阵B_进行乘法运算时，作为矩阵B_的替换矩阵Dim Exchange_XB(1 To 3) '在矩阵Erk与XB_进行乘法运算时，作为XB_的替换矩阵Dim iterative_time As Integer '定义迭代的次数Dim XB_optimization(1 To 6) As Double '最优解Private Sub Command1_Click()'窗口1For iterative_time = 1 To 1000 '开始了迭代循环Select Case k_signCase 1If (r_sign - 3) = 3 ThenCB(1) = C(2) '付值给基本可行解对应的检验数CB(2) = C(3)CB(3) = C(6)XB_optimization(1) = 0XB_optimization(2) = XB(1)XB_optimization(3) = XB(2)XB_optimization(4) = 0XB_optimization(5) = 0XB_optimization(6) = XB(3)End IfCase 2If (r_sign - 3) = 1 ThenCB(1) = C(2) '付值给基本可行解对应的检验数CB(2) = C(5)CB(3) = C(6)XB_optimization(1) = 0XB_optimization(2) = XB(1)XB_optimization(3) = 0XB_optimization(4) = 0XB_optimization(5) = XB(2)XB_optimization(6) = XB(3)End IfCase 3If (r_sign - 3) = 2 ThenCB(1) = C(2) '付值给基本可行解对应的检验数CB(2) = C(3)CB(3) = C(6)XB_optimization(1) = 0XB_optimization(2) = XB(1)XB_optimization(3) = XB(2)XB_optimization(4) = 0XB_optimization(5) = 0XB_optimization(6) = XB(3)End IfEnd SelectFor i = 1 To 3 '计算单纯形乘子矢量π(i) = CB(1) * B_(1, i) + CB(2) * B_(2, i) + CB(3) * B_(3, i) Next iFor j = 1 To 6 '计算检验矢量rr(j) = C(j) - (π(1) * A(1, j) + π(2) * A(2, j) + π(3) * A(3, j))Next jr_min = r(1) '预先给定一个值k_sign = 1For i = 1 To 6 '找出最小检验值If (r(i) < r_min) Thenr_min = r(i) '最小检验值k_sign = i '最小检验值所在位置,对应进基矢量位置End IfNext iIf r_min < 0 ThenFor i = 1 To 3 '对应进基矢量所得的y值Y(i, k_sign) = B_(i, 1) * A(1, k_sign) + B_(i, 2) * A(2, k_sign) + B_(i, 3) * A(3, k_sign)Next iFor i = 1 To 3 '确定离基变量If Y(i, k_sign) <> 0 Thenjust_vector(i) = Y(i, 0) / Y(i, k_sign)End IfNext iFor i = 1 To 3If (just_vector(i)) > 0 Thenliji_min = just_vector(i) '预先给定一个值Exit ForEnd IfNext ir_sign = 4For i = 1 To 3 '找出最小检验值If ((just_vector(i) <= liji_min) And (just_vector(i) > 0)) Thenliji_min = just_vector(i) '最小检验值r_sign = i + 3 '最小检验值所在位置,对应进基矢量位置 End IfNext imain_yuan = Y(r_sign - 3, k_sign)If main_yuan <> 0 ThenSelect Case (r_sign - 3) '计算矩阵ErkCase 1Erk(1, 1) = 1 / main_yuanErk(2, 1) = -Y(2, k_sign) / main_yuanErk(3, 1) = -Y(3, k_sign) / main_yuanFor i = 2 To 3For j = 1 To 3Erk(j, i) = A(j, i + 3)Next jNext iCase 2Erk(1, 2) = -Y(1, k_sign) / main_yuanErk(2, 2) = 1 / main_yuanErk(3, 2) = -Y(3, k_sign) / main_yuanFor j = 1 To 3Erk(j, 1) = A(j, 4)Next jFor j = 1 To 3Erk(j, 3) = A(j, 6)Next jCase 3Erk(1, 3) = -Y(1, k_sign) / main_yuanErk(2, 3) = -Y(2, k_sign) / main_yuanErk(3, 3) = 1 / main_yuanFor i = 1 To 2For j = 1 To 3Erk(j, i) = A(j, i + 4)Next jNext iEnd SelectEnd IfFor i = 1 To 3 '给矩阵Exchange_B(i, j)付值For j = 1 To 3Exchange_B(i, j) = B_(i, j)Next jNext iFor i = 1 To 3 '计算B的新可逆矩阵B_For j = 1 To 3B_(i, j) = Erk(i, 1) * Exchange_B(1, j) + Erk(i, 2) * Exchange_B(2, j) + Erk(i, 3) * Exchange_B(3, j)Next jNext iFor i = 1 To 3 '给Exchange_XB(i)付值Exchange_XB(i) = XB(i)Next iFor i = 1 To 3 '计算基本可行解XB(i) = Erk(i, 1) * Exchange_XB(1) + Erk(i, 2) * Exchange_XB(2) + Erk(i, 3) * Exchange_XB(3)Y(i, 0) = XB(i)Next iElseMsgBox ("优化完毕!")Exit ForEnd IfNext iterative_timeCommand2.Enabled = True '使能按钮Command3.Enabled = True '使能按钮Form1.Text1(1).Text = XB_optimization(1) '显示最优解x1Form1.Text1(2).Text = XB_optimization(2) '显示最优解x2Form1.Text1(3).Text = XB_optimization(3) '显示最优解x3Form1.Text1(4).Text = XB_optimization(4) '显示最优解x4Form1.Text1(5).Text = XB_optimization(5) '显示最优解x5Form1.Text1(6).Text = XB_optimization(6) '显示最优解x6Form1.Text1(0).Text = C(1) * XB_optimization(1) + C(2) * XB_optimization(2) + C(3) * XB_optimization(3) + C(4) * XB_optimization(4) + C(5) * XB_optimization(5) + C(6) * XB_optimization(6) '显示最优值ZForm1.Text1(7) = iterative_time - 1 '显示迭代次数End SubPrivate Sub Command2_Click()End '结束程序End SubPrivate Sub Command3_Click()Form1.Show '调用优化结果显示窗口End SubPrivate Sub Form_Load()Dim i, j As IntegerFor i = 1 To 3 '付值给系数矩阵AFor j = 1 To 6A(i, j) = Quotiety_A(j + 6 * (i - 1)).Text '付值给系数矩阵A Next jNext iFor i = 1 To 6 '将矩阵A列分块（a1,a2,a3,a4,a5,a6）For j = 1 To 3Select Case iCase 1a1(j) = A(j, i)Case 2a2(j) = A(j, i)Case 3a3(j) = A(j, i)Case 4a4(j) = A(j, i)Case 5a5(j) = A(j, i)Case 6a6(j) = A(j, i)End SelectNext jNext iFor i = 1 To 3 '付值给基矩阵B的逆矩阵B_For j = 1 To 3Select Case iCase 1B_(j, i) = a4(j)Case 2B_(j, i) = a5(j)Case 3B_(j, i) = a6(j)End SelectNext jNext iFor i = 1 To 6 '付值给检验数Select Case iCase 1C(1) = C_quotiety(0).TextCase 2C(2) = C_quotiety(1).TextCase 3C(3) = C_quotiety(2).TextCase 4C(4) = C_quotiety(3).TextCase 5C(5) = C_quotiety(4).TextCase 6C(6) = C_quotiety(5).TextEnd SelectNext ib(1) = b_quotiety(0).Text '付值给右端向量bb(2) = b_quotiety(1).Textb(3) = b_quotiety(2).TextFor i = 1 To 3 '计算初始基本可行解XB(i) = B_(i, 1) * b(1) + B_(i, 2) * b(2) + B_(i, 3) * b(3) Y(i, 0) = XB(i)Next iCB(1) = C(4) '付值给初始基本可行解对应的检验数CB(2) = C(5)CB(3) = C(6)End SubPrivate Sub Command1_Click()'窗口2Unload Form1 '关闭优化结果显示窗口End Sub最新文件仅供参考已改成word文本。