2-线性规划的单纯形法6_两阶段法
二、两阶段单纯形法
（2）某个人工变量ys还是基变量。这时，显然有 表1-13中第s行等价于如下方程：
bs ys 0
表1-14中，
yi是人工变量 i 对应的检验数 dij是人工变量 i y , y
的系数
yi , j 都非正, 且由于- 显然，所有的检验数 是最优值，故必有 * 0 * (1)若 0 ，则可断言原问题（LP）1没有可行解
假设（LP）1有行解
*
X，则有
AX b, X 0
1．人工变量的引入 设原问题为
( LP)1 :
max Z CX s.t. AX b X 0
引入人工变量
y1 ,, ym
，构造新规划
( LP)II :
max W - y1 - y 2 - - y m s.t. IY+AX b Y 0, X 0
其中
，
Y ( y1 , y2 , ym )
0.25
-0.5 -0.375 -1.5
0
1 0 0
1
0 0 0
0.5
0 0.25 0
0
0 1 0
2
0 4 0
本节课结束! 谢谢!!
表1-15 cj 初 始 表 -1 0 0 0 0
y
0 1 0 0
x1
1 2 2 1
x2
（1） 3 3 1
x3
1 0 0 1
x4
0 -1 -1 0 1 6 6 1
线性规划
• 4.2 两阶段法
• 两阶段法是处理人工变量的另一种方法。其具体做 法是在原约束条件中增加人工变量，构造一个新的 目标函数，其中人工变量的系数为-1，其余变量的 系数为0，这样就产生了如下的最优解有三种情形。 （1）这说明在辅助问题的最优解中，还有人工变量是基变量， 且取值不为0，此时原问题无可行解。 （2）且最优解中人工变量均为非基变量，则把它们划去后就得 到了原问题的一个基本可行解。 （3）但最优解中还有人工变量是基变量，其取值为0。这时， 只要选某个不是人工变量的非基变量进基，把在基中的人工 变量替换出来，则情形同（2）。 第二阶段：对于第一阶段的后两种情形，在第一阶段的最优单 纯形表中划去人工变量所在的列，并把检验数行换成原问题 目标函数（消去基变量以后）的系数，从而得到原问题的初 始单纯形表，再继续迭代求解。
2014-6-19 3
例2（运输问题）
• 设有某种物资要从A1，A2，A3三个仓库运往四个 销售点B1，B2，B3，B4。各发点（仓库）的发货 量、各收点（销售点）的收货量以及 到 的单位运 费如表1-2。问如何组织运输才能使总运费最少？
例3（配料问题）
• 在现代化的大型畜牧业中，经常使用工业生产的饲料。 设某种饲料由四种原料B1，B2，B3 ，B4混合而成，要 求它含有三种成份（如维生素、抗菌素等）A1，A2， A3的數量分別不少于25、36、40个单位（这些单位可 以互不相同），各种原料的每百公斤中含三种成份的数 量及各种原料的单价如表1-3.
1.2 线性规划的数学模型
一、一般形式 上述各例具有下列共同特征： 1．存在一组变量 ，称为决策变量，表示某一方案。通 常要求这些变量的取值是非负的。 2．存在若干个约束条件，可以用一组线性等式或线性 不等式来描述。 3．存在一个线性目标函数，按实际问题求最大值或最 小值。
线性规划中两阶段法的简便计算法_白岩
第 24 卷第 5 期 Vol124 No15
得对应于新基 B2 =
( P1 ,
P4 ,
P2 ,
P3 )
的单纯形表如下:
T ( B2 )
Sc
y1
y2
x1
x2
x3
x4
x5
Z
11 2
0
0
0
0
1 2
5 2
-
1 2
-1
Sc - 9
1
0
0
0
-2
2
-1
0
X1
9 2
0
0
0
1
3 2
-
1 2
1 2
0
y1
4
0
1
0
0
2
1
0
-1
y1
3 2
0
0
1
0
-
3 2
3 2
-
1 2
2
0
1 2
0
0
1
1 2
0
-
1 2
y2
9 2
0
3 4
1
0
0
9 4
-
1 2
-
3 4
检验数仍有正数, 继续换基迭代, 得对应于新基 B4 = ( P1 , P4 , P5 , P6 ) 的单纯形表。
求解线性规划初始可行基的常规算法
求解线性规划初始可行基的常规算法摘要：本文通过对求线性规划初始可行基的一些常规方法和近年来的主要研究成果进行归纳，简介和总结，并加以比较，给出各种方法的优势与不足．以便读者在解决具体问题时根据自身的实际情况，找出相应的方法，以使达到方便解决所研究的问题．关键词：线性规划；单纯形法；解法1.求线性规划初始可行基的一些的常规算法[1]单纯形法：单纯形解法最初是在20世纪40年代由George Dantzig研究出来的．它的基本思路是：先求得一个初始基可行解，以这个初始基可行解在可行域中对应的极点为出发点，根据最优准则来判断这个基可行解是否是最优解，如果不是最优解,则转换到相邻的一个极点，即得到一个新的基可行解，并使目标函数值下降，这样重复进行有限次后，可找到最解或判断问题无最优解．单纯形法是求解线性规划最基本，最常用的方法，通常情况下，大多数的线性规划问题都可以得以解决。
但不足之处在于单纯形法必须在己知一个基本可行解(初始点)既线性规划的约束方程为G-J方程组的前提下才能进行求解．然而在大多数情况下，线性规划问题并没有明显的初始基本可行解，于是，很多人就提出了多种新的解决思路，给出了求初始基本可行解的许多算法，这些算法各有所长所短．归纳起来，具有代表性的是下面介绍的几种。
[2]大M法：此方法系在目标函数中，加上人工变元与一个很大很大的正数M的积（此称罚函数），这样，当基本可行解中人工变元非0时，此人工变元项将是一个大数，因它在目标函数中被加上，从而此解不可能最优（注意目标函数求极小）．换言之，在迭代中，人工变元会很快出基．说明：若原来的问题为（Ⅰ），而用大M法构造的新方法为（Ⅱ），则（1）设（Ⅱ）有最优解，其中为人工变元：若，则问题（Ⅰ）有最优解 ;若，则问题无解．（2）设（Ⅱ）有无界解：若，则问题（Ⅰ）也有无界解;若，则问题（Ⅰ）无解．还有一点要说明的是：在实际运算中（计算机程序）大M法里的M需适当赋值，若M赋值过大，则容易引起计算误差：而M赋值过小，则影响求解过程的实施．[3]两阶段法：对一般的线性规划，往往很难找到初始基可行解，甚至连有无可行基都难以判定，这时就需要应用两阶段法来求解线性规划．二阶段法就是把解线性规划问题划分为两个阶段，第一阶段求出原问题的一个基可行解或判断原问题可行域为空：第二阶段在得到的基可行解基础上求解原问题．方法如下：第一阶段：人为地在原约束矩阵中增加一些变量使得到单位矩阵，增加的变量称为人工变量，目标函数是人工变量之和．该线性规划一定有最优解，设为：．则可能有三种情形：1）若：在最优解的基变量中，不存在人工变量，即人工变量都是非基变量．则的前个分量便是（LP）的一个基可行解．可进入第二阶段；2）若：在最优解的基变量中，包括某些人工变量，并且最优值．则（LP）的可行域为空，（LP）无解；3）若在最优解的基变量中，包括某些人工变量，但最优值，此时为基变量的人工变量都取值为0．设是一个人工变量的基变量，其在最优解的单纯形表中对应第行，设是非人工变量中非基变量的下标集．如果单纯形表的第行中，所有的，( )此示原约束中第行为其余行的线性组合，即是个多余的约束，应当删去；如果存在( )，则无论是正还是负，以它为变换轴心，进基，离基．如果新表中的基变量中还有人工变量，重复以上步骤，有限次可得到1）的情形．第二阶段：1）以第一阶段最优解对应的单纯形表为基础，删去人工变量对应的列，并且将原规划（已标准化）的作为检验数，放在第一行，然后用用行变换将基变量对应的检验数消为零；2）以步1结束时建立单纯形表为原线性规划的初始单纯形表，求解原线性规划；通常认为，上述两方法相比较，手算时大M法比两阶段法简单，但在编制计算机程序时，由于大M法的赋值成了制约该方法的障碍（赋值太大，引起大误差，太小起不到惩罚作用）．若把大M法中的M视为参数，另在求解过程中把检验数向量分成两部分（且把M看成一个大数），先来考虑人工变元的影响，则大M法实际上已化为两阶段法了．[4]Khachyian多项式算法：该算法又称椭球算法，它是在原苏联学者肖尔关于非线性规划椭球算法基础上提出来的．Khachyian算法可求解线性不等式方程组：，其中是矩阵，和是列向量．没有任何非负约束，也不存在在任何限定的极大化或极小化目标函数，因此，首要的问题是把线性规划问题转换为等价的与（LP）有相同解的不等式方程组，两者都有相同的解．第一步迭代时，以原点为球心，取一个较大的正数为半径（把所有的可行点包括在内）得到一个超球面围成的可行域，选定的被违反的约束方程．超平面通过当前中心原点，与第一个约束的平面平行，割去初始的左半部分．新的椭球体积变小但包含了留下的右半椭球及可行域．重复迭代，直到椭球中心点收敛于可行域．[1][5]Karmarkar多项式算法：1984年Karmarkar提出了解LP问题的另一个由多项式时间的算法．从理论上讲，Karmarkar算法比Khachyian算法的阶有所降低，实算效果也较好．它的基本思想是：不沿可行域多面体（如单纯形法那样）搜索，而是直接穿过多面体每部的某个点开始（解）．Karmarkar算法每次迭代次数上界是 (nl)，这里l是问题的输入规模（问题转换成数码0，1的个数）：此外算法中变换了系数矩阵，运用矩阵计算技巧，使每步迭代（矩阵求逆）的计算是约为 ( )，从而使总算法时间复杂性为（）．此方法的完善与改进，极为人们所关注，且有许多新的方法派生：．投影方法；．仿射均衡尺度法；．路径跟踪法；．仿射均衡势函数方法等．[3]参考文献[1] 杨富贵,梁邦助.求线性规划初始基本可行解的一种直接方法[J],天津商学学报,2002(03):21-25.[2]吴振奎.运筹学[M].北京:中国人民大学出版社,2005:37-46.[3]于庆年,王晓辉.用预备表法寻找线性规划问题第一可行基[J],丹东师专学报,1995(03):8-10.[4]周誓达.线性规划问题求初始可行基一种新的解法[J],首都师范大学学报,1996(04):11-15.[5]曹细玉.求解线性规划问题的新方法及影子价格[J],华中师范大学学报,2000(01):4-8.[6]孟俊婷.求单纯形法中初始基本可行解的新方法-外点法[J],内蒙古科技与经济,2000(02):39-241.[7]肖蓬.求第一个可行基的一种不同的方法[J],福建师范大学学报,2002(02):20-23.[8]安中华,周树民,安琼.线性规划初始基本可行解的新算法[J],武汉理工大学学报,2004(07):72-74.[9]王章雄,陈耀辉.线性规划初始基可行解的一种直接算法[J],数学杂志,1996(02):217-222.[10]吴延东.求线性规划问题可行基的一种方法[J],运筹与管理,1999(01):41-45.[11]孙可钦.寻求线性规划初始可行基的一种新算法[J],云南师范大学学报,1999(04):17-20.[12]严文利.一类线性规划问题初始可行基产生的新方法[J],运筹与管理,2001(02):79-85.4。
单纯形法基本原理
工程优化设计中单纯形法的基本原理张云龙（大连海洋大学土木工程学院辽宁大连116023)摘要：从实例出发提出线性规划的数学模型，给出图解法的基本原理，进而重点讲述它的标准解法——单纯形法。
在此基础上进一步讨论单纯形法的推广，即大M法和两相法。
关键词：线性规划图解法单纯形法大M法THE BASIC PRINCIPLES OF SIMPLEX METHOD TO THE ENGINEERING OPTIMIZE DESIGNZHANG Yun-long(Dalian Ocean University, College of Civil Engineering, Liaoning, Dalian 16023)Abstract: From the instance of the starting linear programming mathematical model of the basic principles of the graphic method, and then focus on the standard solution - simplex method. To promote further discussion on this basis, the simplex method, that is, the big M method and two-phase method.Key Words: Linear programming；Graphic method；Simplex Method; Big M Method1引言在工程优化设计问题中，当约束集由一组线性函数所确定时，其最优化问题的求解已有比较系统的技巧。
如果连目标函数也是线性的，也即线性规划问题，则是目前对规划问题研究最透彻最完善的一类问题，而且有比较成熟的解法。
线性规划在工程实例中的应用已相当广泛。
虽然大多数设计问题是非线性的，但对线性规划的研究仍然占据突出地位。
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一线性规划图解法1.线性规划的标准形式：(1)目标函数最大；约束条件等式；决策变量非负（x≥0）；资源限量非负（b≥0）。
(2)图解法两个变量系数C1、C2，斜率k=-(C1/C2)(3)图解法K≥0时，绝对值越大越靠近Y轴；K≤0时，绝对值越大越靠近Y轴。
(4)阴影区：无论斜率为正或负，小于的部分阴影区都在线的下方。
二单纯形法1.大M法（1）加入人工变量-Mx i…，M无穷大。
（2）最后将人工变量x i替换出去，且σ≤0.2.两阶段法（1）第一阶段：目标函数为max z′=−x i…，得到最终表。
（2）第二阶段：目标函数替换为原目标函数，在最终表里继续计算σ，直到都小于等于0。
3.单纯表特殊情况的解判断（1）最优解中人工变量大于0，线性规划无解。
（2）某次迭代过程，表中有一个σ＞0，且该列系数向量都小于等于0，线性规划无界。
（因为比较比值大小时都是负的）。
（3）某个非基变量σ=0，无穷解。
（4）退化问题：相同的比值，选择下标大者离基。
σk相同，任选一个入基。
4.初等行变换✓某一行（列），乘以一个非零倍数。
✓某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）。
✓某两行（列），互换。
三单纯形法灵敏度分析1.对偶问题原问题：max z=cx对偶问题：min f=b T yAx≤b A T y≥c TX≥0 y≥0（1）原问题统一为以上标准型，再进行下一步。
（2）原问题第i个约束条件等号，对偶问题i个决策变量无约束。
（3）原问题第i个决策变量无约束，对偶问题第i个约束条件等号。
（4）原问题的对偶价格为对偶问题的最优解。
（参考习题册第7、19题）（5）对偶价格：常数项增加1单位，目标函数值改进的数量。
（6）影子价格：常数项增加1单位，目标函数值增加的数量。
2.灵敏度分析（1）目标函数变量系数C k:将C k直接代入最终表，判断σ是否小于0。
（2）约束方程常数项b：利用如下公式计算新的最终表中b值。
判断b是否非负。
运筹学课程讲义
运筹学课程讲义第一部分线性规划第一章线性规划的基本性质1.1 线性规划的数学模型一、线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。
桌子售价50 元/个，椅子售价30 元/个。
生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工1 小时。
该厂每月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？max z 50x1 30x24x1 3x2 1202x1 x2 50x1,x2 0 例：某工厂生产某一种型号的机床。
每台机床上需要 2.9m、2.1m、1.5m的轴，分别为1根、2根和1根。
这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m。
如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、数学模型的标准型1. 繁写形式2. 缩写形式3. 向量形式4. 矩阵形式若原模型中变量 x j 有上下界，如何化为非负变量？三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量 x k 是自由变量，如何化为非负变量？1. 2 图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。
使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。
一、 图解法步骤1. 由全部约束条件作图求出可行域2. 作出一条目标函数的等值线3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值 max z 5x 1 6x 2 7x 3x 1 5x 23x 3 15 5x 1 6x 210x 3 20 x 1 x 2 x 3 5x 1 0,x 2 0,x 3无约束令 x 1' x 1,x 3 x 3' x 3'',x 3' ,x 3'' 0, Z 1Z ' 1 1 min z ' 5x 1' 6x 2 7x 3' 7x 3'' 0x 5 Mx 6 1 x 1' 5x 2 1 11 3x 3' 3x 3'' x 4 x 6 15 1 5x 1' 6x 2 10x 3' 10x 3'' x 5 20 1 x ' x 1 ' II '' 54.Mx 7 x 1, x 2 , x 3, x 3, x 4 , x 5 ,x 6, x 7 0从图解法看线性规划问题解的几种情况1. 有唯一最优解2. 有无穷多组最优解3. 无可行解4. 无有限最优解（无界解）min z 6x1 4x?2x〔X2 13 最优解（1,0），最优值33x14x2 22x1, x20直观结论：1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（但有有限个顶点）或空集；2）线性规划问题若有最优解，一定可以在其可行域的顶点上得到。
运筹学单纯形法
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
两阶段法(线性规划)
两阶段法孙敏 枣庄学院考虑线性规划问题0 s.t.min ≥==x bAx cx Z（1）符号说明与教材一致，唯一的不同之处是不要求假设矩阵A 是行满秩的。
在初始基本可行解未知的情况下，可以采用两阶段法。
这种方法的基本思想是：第一阶段在约束中增加人工变量a x ，修改目标函数为极小化人工变量的和，即下面的问题（2），然后用普通单纯形法消去人工变量（如果可能的话），即把人工变量都变换成非基变量，求出问题（1）的一个基本可行解。
第二阶段就从得到的基本可行解出发，用普通单纯法求解问题（1）。
0,0s.t.min ≥≥=+=a a a T x x bx Ax x e W （2）这样，在极小化目标函数的过程中，由于大M 的存在，将迫使人工变量离基。
由于b x x a ==,0是线性规划（2）一个基本可行解，目标函数在可行域上有下界0，因此问题（2）一定存在最优基本可行解。
用单纯形法求解线性规划（2），设得到的最优基本可行解是⎥⎦⎤⎢⎣⎡**a x x ，此时必有下列三种情形之一。
（a ）0*≠a x 。
这时问题（1）无可行解。
因为如果问题（1）有可行解xˆ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0ˆxx x a是线性规划（2）的可行解。
在此点处，问题（2）的目标函数值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=<==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡***000ˆa a T T x x W x e e x W这与⎥⎦⎤⎢⎣⎡**a x x 是问题（2）的最优解矛盾。
（b ）0*=a x 且*a x 的分量都是非基变量。
这时，m 个基变量都是问题（1）的变量，又知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0***x x x a 是问题（2）的基本可行解，因此*x 是问题（1）的一个基本可行解。
转第二阶段。
（c ）0*=a x 且*a x 的某些分量是基变量。
这时，可用主元素消去法，把原来变量中的某些非基变量引进基，替换基变量中的人工变量，再开始第二阶段。
线性规划问题的数学模型
式中所有非基变量的系数均是负数，意味着目标函数值不 可能再增加，故此时的基本可行解就是最优解，最优值为8
2．最优性检验
由标准形等式约束条件得
代入目标函数进行简单的运算后，用非基变量表示目标函数为
某工厂生产A 、B两种产品，现有资源数、生产每单位产品所需原 材料数以及每单位产品可得利润如下表所示。问如何制定生产计划使两 种产品总利润最大？
单位产品
产品
耗用资源
资源
铜（吨）
电力（千瓦）
劳动日（个）
单位利润 （万元/公斤）
A（公斤）
9 4 3 7
B（公斤）
4 5 10 12
现有资源
360 200 300
解 ： x2
例4 若把例3改为使的目标函数的值最 大，从图可看出目标函数无上界，因此 无最优解
X1+2x2=0
X1-x2=1
2X1+2x2=16
x1 0
2X1+2x2=6 2X1+2x2=10
2X1+2x2=2 最优解 X1=1，x2=0, 目标函数最小值 s=2
例5 求x1、x2的值，使它们满足 并且使目标函数s=2 x1+2x2的值最小。
3. 单纯形表
用表格的形式来表示上面求解线性规划问题的单纯形法的计算过程可以 使计算和检验更加简便。具体方法如下：
将目标函数式改写为-f+ c1 x1 + c2 x2 +…+ cnxn =0 且作为等式约束方程 组的第m+1个方程，得
2-线性规划的单纯形法6_两阶段法
-M
-1
x6
x3 sacj impj
0
-2 2 1
1
0 -M
M-1
0
1 -1 0
0
0 0 0
-1
0 M -M
1
0 -M 0
-2
1
2M-1
-3M-1
1
1
1
— η=-M-1
0
-1
x4
x2
3
0
0
1
0
0
1
0
-2
-1
2
1
-5
-2
12
1
4
-
-1
x3
sacj impj
-2
2 1
0
-1
0
1
-1 0
0
0 0
Page 7
x5 0 b 2 Ө 2
-1
x5
sacj impj
3
-3
3
4
-4
4
0
0
0
-1
1
-1
1
-1
0
12
η=-12 2 4 η=-4
3
0 -1
x2 x5 sacj impj
2 -5
5 -5
1 0 0
0
1 -4 4 -4
Page 22
0 -1
0 1
-1 0
1
-1
得到最优解（0，2，0，0，4），此时 x 依然在基中，所以原问题没有最优解。
Page 24
cj
CB 0 xB x4
0
x1 1
0
x2 -2
0
x3 1
0
x4 1
第2章 线性规划与单纯形法(2)
max z = 20 x1 + 30 x2 3 x1 + 10 x2 ≤ 150, x1 ≤ 30, x1 + x2 ≥ 40, x1 , x2 ≥ 0.
管
max z = 20 x1 + 30 x2 − Mx6 3x1 + 10 x2 + x3 = 150, x1 + x4 = 30, x1 + x2 − x5 + x6 = 40, xi ≥ 0, i = 1, 2,..., 6
管
理
运
筹
学
4
要注意到人工变量是与松弛、剩余变量不同的。 松弛变量、剩余变量它们可以取零值，也可以取 正值，而人工变量只能取零值。一旦人工变量取 正值，那么有人工变量的约束方程和原始的约束 方程就不等价了，这样所求得的解就不是原线性 规划的解了。为了竭尽全力地要求人工变量为零， 我们规定人工变量在目标函数中的系数为－M， M 这里M为任意大的数。这样为了使目标函数实现 最大就必须把人工变量从基变量中换出。如果一 直到最后，人工变量仍不能从基变量中换出，也 就是说人工变量仍不为零，则该问题无可行解。 以下讨论如何解含有人工变量的线性规划问题
• 由于不存在单位矩阵,在第1,2个约束条件加上 一个人工变量x6,x7,并在目标函数中加上-Mx6Mx7得到的线性规划问题：
max f ' = −2 x1 − 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 − Mx6 − Mx7
x1 + x 2 − x 3 + x 6 = 3 5 0, x1 − x 4 + x 7 = 1 2 5, 2 x1 + x 2 + x 5 = 6 0 0, x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0 .
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案整理版
《运筹学》线性规划部分练习题一、思考题1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？2 .线性规划问题的一般形式有何特征？3.建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4.两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5.求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6.什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7•试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8•试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9.在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10.大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11 •什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？二、判断下列说法是否正确。
1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2.线性规划的可行解集是凸集。
3.如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4.线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7.用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j' 0对应的变量都可以被选作换入变量。
8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9.单纯形法计算中，选取最大正检验数二k对应的变量xk作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。
10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
三、建立下面问题的数学模型1.某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。
第2章(6) -两阶段法
辅助问题的单纯形表形式
XB z g
x1 x2 …
-c1 - c2 … 0 0 …
xபைடு நூலகம் x x
n+1
n+2
…
xn+m
0 -1 0 0 b1 b2 … bm
-cn 0
0 0 … -1 -1 …
x1’ x2’
…
xm’
a11 a12 … a21 a22 … … … am1 am2 …
a1n a2n … amn
两阶段法： 两阶段法： 人工变量法
思路： 思路：
判断是否有可行解 若无可行解， 若无可行解， 则判定问题无界
若有可行解， 若有可行解， 则运用单纯形法求解
过程： 过程：
1. 增加人工变量，求解辅助问题最优解 增加人工变量， 2. 去除人工变量，从上一步可行解出发求解 去除人工变量， 原问题最优解
第一阶段： 第一阶段：
Em
例1
Min z = 5x1 + 21x 3 s.t. x1 − x2 + 6 x3 − x4 =2 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, j = 1, 2,⋯ ,5
总
结
1）找到初始基本可行解，建立初始单纯形表 ）找到初始基本可行解， 2）判断最优：所有检验数小于等于0时最优 ）判断最优：所有检验数小于等于 时最优 3）换基迭代：以正检验数对应的变量进基，按 ）换基迭代：以正检验数对应的变量进基， 最小元素法确定出基变量。 最小元素法确定出基变量。
(b ≥ 0)
Min s .t .
cT x Ax = b x≥0
(b ≥ 0)
Min g = x n +1 + … + x n + m Ax + xα = b (b ≥ 0) s .t . xα ≥ 0
第一章：线性规划基础
1.6 人造基下的单纯形法 — 两阶段法和大M法
1
1.1 线性规划(Linear Programing --- L.P.)概述
一、L.P.概念
L.P.是目前应用最广泛的一种系统优化方法。其理论已十分成熟，广泛应用于工农业生产和 经济管理等领域。
L.P.是以数学为工具，探讨在一定资源条件下，如何合理安排，用最少的资源获得最大经济
9
二、人员分派问题建模: 合理分派人员, 使总效率最大. 例1-4：设有四件工作要分派给四个人来做，每项工作只能由一人来做，每个人只能做一项工 作。希望安排适当人选，既发挥各人特长又能使总的效率最大(或完成最快,或费用最少)。 表1.4表示各人对各项工作所具有的工作效率。
表 1.4 效率表
工作 A B X12 0.2 X22 0.4 X32 1.0 X42 0.7 C X13 0.3 X23 0.3 X33 0.7 X43 0.5 D X14 0.1 X24 0.2 X34 0.3 X44 0.4
1. 线性规划：
如果以上数学模型中的方程均是线性方程， 则该数模对应的原问题称为线性规划。 2. 非线性规划：如果以上数学模型中的方程至少有一个方程是非线性方程， 则该数模对应的原问题称为非线性规划。
8
1.3 线性规划问题的建模
确定决策变量; 确定目标函数; 列出约束条件。
一、运输问题建模: 编制最优运输计划, 使总运费最少 例1-3：某地有三个有色金属矿A1、A2、A3，生产同一种金属矿石，A1矿的年产量为100万吨， A2矿为80万吨，A3矿为50万吨。矿石全部供应四个冶炼厂，B1厂的全部需求量为50万吨，B2厂为 70万吨，B3厂为80万吨，B4厂为30万吨。产量恰好等于总需求量，矿石由各矿山运到冶炼厂的单位 运价已知，如表1.3。问应如何安排运输计划，使各矿山的矿石运到各冶炼厂，既满足各厂的需要， 且运输费用又最小？试建立该问题的数学模型。
大学线性规划
1 X3 2 -1
0 X4 1 0
0 X5 1 -1
-M X6 -1 1
-M X7 0 0
CB XB
-M X7
6
6
6M-3
0
0
4
4M+1
0
0
3
3M
-3
-4M
1
0
Cj - z j
第一章 线性规划及单纯形法
表5-1-3
C 0 0 X4 X2
j
-3 b 0 3 X1 0 0
0 X2 0 1
1 X3 0 1/3
1 0
…0 … …0 …
… amj … amk … amn
σj σk σn
第一章 线性规划及单纯形法
3-3、单纯形法的基本思路 : 先找到一个初始基可行解，如果不是最优 解，设法转换到另外一个基可行解，并使目标 函数值不断增大，一直到找到最优解为止。 * 确定初始基可行解 *从初始基本可行解转换为另一基本可行解 *最优性检验和解的判别
第一章 线性规划及单纯形法
表4-3
C
j
2
3
0
0
0
CB
2 0 3
XB
X1 X4 X2 Cj - z j
b
3 4 3
X1
1 0 0 0
X2
2 最优化方法-线性规划-单纯形法
自由变量 松弛(slack)/盈余(surplus)变量；
例5. 化成标准形
等 价 表 示 为
基本解与基变量
其中 满秩假定： m×n矩阵A满足m<n，且A的行向量线性无关 • 在满秩假定下，方程组Ax=b总有解，且至少有一个基本 解
定义： 给定含有n个变量，m个方程的线性方程组Ax=b， 设B是由A 的列组成的任一非奇异m×m子阵，则如果置x 的所有与B无关的n-m个分量为零后，所得方程组的解是 Ax=b关于基B的基本解(basic solution) ，称x中与基B对应 的分量为基变量(basic variables)
进基变量：最小相对费用系数规则；出基变量：最小指标规则！
例1.
化标准形
得标准形的初始表格/第一张单纯形表
转 轴
0
↓
转 轴
-2 ↓
转 轴
-4 ↓ -27/5
最优解： 最优值：
原问题的极大值：
退化(degenerate)与循环(cycling)
◎退化问题
⊙ 单纯形法可能出现循环！ ⊙ 实际中经常碰到退化问题，但很少出现循环 ⊙ 避免出现循环的措施：摄动法、Bland法则、字典序法
以
为转轴元，转轴后即得新基对应的数据！
例1
a2进基，计算y2. 计算表格如下：
计算
a1进基，计算y1. 得如下表格：
最优值：
最优解：
利用两阶段单纯形过程求解
实用优化方法
线性规划：单纯形法
线性规划
线性规划：目标函数是线性的，约束条件是 线性等式或不等式
线性规划的历史
• 渊源要追溯到Euler、Liebnitz、Lagrange等
• George Dantzig, Von Neumann(Princeton)和 Leonid Kantorovich在1940’s创建了线性规划
单纯形法
x6
x7
14
22
1
0
0
1
0
0
0
0
0
-1
1
0
0
1
σj=cj-zj
6.3 人工变量法
Cj CB xB b -6 x1
2
4 1
-4 x2
列新单纯形表
Cj CB 0 5 xB x5 x2 b 23 12 3 x1
-4 5
5 x2
0 1
0 x3
1 0
1 x4
1 -1
0 x5
1 0
0 x6
-1 1
0 x7
0 0
θ
23 －
0
x7
5
0
-22
0
0
-1
0
σj=cj-zj
1 1 6 6
0
0
0
-5
1
0
5
6.2 单纯形法计算步骤
列新单纯形表
Cj CB 0 5 xB x5 x2 b
0
…
0
…
c j ci aij
i 1
m
cn ci ain
i 1
m
6.2 单纯形法计算步骤
2) 检验 j c j ci ai , j
i 1 m
若 j 0
j m 1,..., n 得到最优解，停止。
否则，转入下一步。 否则，转入下一步。
3） 若 k ,
... am , j
... am ,n
6.1 单纯形法迭代原理
m Pj= aij Pi Pj－ aij Pi＝0 i=1 i=1 m θ (Pj－ aij Pi）=0 两边乘上一个正数θ>0，得 i=1 m m 同 Pixi0 =b 相加整理得： ( xi0 aij ) Pi Pj b i 1 i=1 m
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
单纯形法、大M法、两阶段法
cB
x
B
+cN
x
N
cB (B-1b-B-1Nx N )+cN x N
cBB-1b－(cBB-1N－cN )x N z0 +(cN cBB-1N)x N
z0 + (cj cBB-1Pj)x j, R 非基变量下标集 jR
记 N cN cBB-1N 即 j cj cBB-1Pj，j R
➢对于约束条件是“≤”形式的不等式，引入松弛变量将其转换为标准型，再将系 数矩阵中松弛变量对应的单位矩阵取为初始可行基。
➢对于约束条件是“≥”形式的不等式及等式约束情况，若不存在单位矩阵时，可 采用人工变量，即对不等式约束就减去一个非负的剩余变量后，再加入一个 非负的人工变量；对等式约束再加入一个非负的人工变量，总可得到一个单位 矩阵作为初始可行基。
步3. 解ak=B-1Pk，若ak≤0，停止,不存在有限最优解. 否则转
步4.计算
r＝min{abiik
| aik
0}
br ark
xk进基，xBr离基，用Pk替代PBr得新的可行基B
步5.以ark为主元素进行迭代.转步2
新可行解：x=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…， 0,xk,0,…，0)
；若aik>0,为保证可行性，即xBi=bi-aikxk≥0，应取
令r
=
min{
bi aik
| aik
0}
br ark
注意：xBr=0
xk
bi aik
重复上述过程，直至所有的σj均≥0，得到最优解。
总结计算步骤：给定初始基
步1.令xN=0,，xB=B-1b=b，z0=cBxB ；
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-1/3
0 -1
2/3
η=0
两阶段法
第二阶段：将解（4/3，1/3，0，0，1/3） 作为原始线性规划问题的可行解，并将第 一阶段得到的约束条件一起进行运算
Page 19
cj CB -2 -1 0 xB x1 X2 X5
-2 x1 1 0 0
-1 x2 0 1 0
0 x3 -2/3 1/3 -1/3
首先：转化为标准形式，增加松弛变量、剩余 变量和人工变量
max z 3x1 2 x2 0 x3 0 x4 Mx5 2 x1 x2 x3 2 s.t. 3x1 4 x2 x4 x5 12 x ,x ,x ,x ,x 0 4 1 2 3 Page 95
max z 3x1 x2 x3
3x1 x4 2 x5 12 x x5 1 2 2 x1 x3 1 x j 0, j 1,...,5
Page 27
cj
CB 0 xB X4
3
x1 3
-1
x2 0
-1
x3 0
0
x4 1
0
x5 -2 b 12 Ө 4
x5 0 b 2 Ө 2
-1
x5
sacj impj
3
-3
3
4
-4
4
0
0
0
-1
1
-1
1
-1
0
12
η=-12 2 4 η=-4
3
0 -1
x2 x5 sacj impj
2 -5
5 -5
1 0 0
0
1 -4 4 -4
Page 22
0 -1
0 1
-1 0
1
-1
得到最优解（0，2，0，0，4），此时 x 依然在基中，所以原问题没有最优解。
Page 12
两阶段法
第一阶段的目的：是设法把人工变量从基 内调出来，寻找原问题（未加人工变量前 的线性规划问题）的一个基本可行解。具 体作法如下：
不考虑原问题的目标函数，构造一个辅助目标 函数，使所有人工变量的和最小。设有L个人 工变量，构造如下的辅助目标函数：
min w xn 1 xn 2 xn L
X3 sacj impj
0
-2 0 0
1
0 -1
1
0
1 0 0
0
0 0 0
-1
0 1 -1
1
0 -1 0
0
1 0
-1
1
1 z=-1
1
-
0
0
X4
X2
3
0
0
1
0
0
1
0
-2
-1
2
1
-1
0
12
1
0
X3
sacj impj
-2
0 0
0
0
0
1
0 0
0
0 0
Page 26
0
0 0
0
0 -1
1
0
1
z=0
-1
进入第二阶段：带入初始可行解（0，1，1， 12，0）和上一阶段的约束条件
第二章 线性规划的单纯形法
本章重点
单纯形法的基本概念和思想
单纯形法的计算步骤
大M法和两阶段法 退化问题
Page 2
单纯形法的基本思想
不容易
寻找一组初始基本变量
直接观察，在线性规划中存在m个基本变量 如果约束条件都是≤约束，将增加的松弛变量 作为基本变量，得到一组基本可行解
a x
0
0
1
0
0
1/3
0
-2/3
-1
4
1
-1
x3
sacj impj
0
3 0
0
-1
0
1
-1 0
2/3
1/3 -1/3
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-4/3
1/3 -1/3
9
η=2
大M法
例：用大M法求解线性规划问题
max z 3x1 2 x2 2 x1 x2 2 s.t. 3 x1 4 x2 12 x ,x 0 1 2
-M
-1
x6
x3 sacj impj
0
-2 2 1
1
0 -M
M-1
0
1 -1 0
0
0 0 0
-1
0 M -M
1
0 -M 0
-2
1
2M-1
-3M-1
1
1
1
— η=-M-1
0
-1
x4
x2
3
0
0
1
0
0
1
0
-2
-1
2
1
-5
-2
12
1
4
-
-1
x3
sacj impj
-2
2 1
0
-1
0
1
-1 0
0
0 0
Page 7
max z 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 s.t. 2 x1 x3 1 xi 0
Page 4
大M法
转化为标准形式
基变量？？
max z 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 s1 11 4 x x 2 x s 3 1 2 3 2 M是任意大的正数，所以目标 s.t. x3 1 2 x1 函数取得最大值时 6 7 xi 0
Page 5
cj
CB 0 xB x4
3
x1 1
-1
x2 -2
-1
x3 1
0
x4 1
0
x5 0
-M
x6 0
-M
x7 0 b 11 Ө 11
-M
-M
x6
x7 sacj impj
-4
-2 6M
3-6M
1
0 -M
-1+M
2
1 -3M
3M-1
0
0 0
0
-1
0 M
-M
1
0 -M
0
0
1 -M
0
3
1
1.5
1 η=-4M
s.t.
max w x5
2 x1 x2 x3 2 3 x1 4 x2 x4 x5 12 x ,x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4 5
Page 21
cj
CB 0 xB X3
0
x1 2
0
x2 1
0
x3 1
0
x4 0
2 x1 x2 x3 2 3 x1 4 x2 x4 x5 12 x ,x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4 5 -1
-1
-1
X2
0
0 0
2
3
1 -3
1
1
0 -1
-1
-1
0 1
-1
0
1 0
0
-1
0 1
0
1
0
-1 0
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1/3
1 η=-1
0
0
x1
X2
1
0
0
1
-2/3
1/3
-1/3
-1/3
0
0
2/3
-1/3
1/3
1/3
4/3
1/3
0
X5
sacj impj
0
0 0
0
0 0
-1/3
0 0
1/3
0 0
Page 18
1
0 0
1/3
0 -1
cj
CB 0 xB X3
3
x1 2
2
x2 1
0
x3 1
0
x4 0
-M
x5 0 b 2 Ө 2
-M
x5
sacj impj
3
-3M
3+3M
4
-4M
2+4M
0
0
0
-1
M
-M
1
-M
0
12
3
η=-12M 10 4 η=-4M+20
2 -M
x2 x5 sacj impj
2 -5
4+5M 1-5M
1 0 2
0
1 -4
0
-M
x4
x6
3
0
-2
1
0
0
1
0
0
-1
0
1
-1
-2
10
1
1
-1
x3
sacj impj
-2
2 1
0
-M
M-1
1
-1 0
0
0 0
Page 6
0
M -M
0
-M 0
1
2M-1
1
—
η=-M-1
-3M-1
cj
CB 0 xB x4
3
x1 3
-1
x2 -2
-1
x3 0
0
x4 1
0
x5 0
-M
x6 0
-M
x7 -1 b 10 Ө -
第二阶段：以第一阶段求得最优解作为初始基本 可行解，求原问题的最优解。
以第一阶段求得最优解作为初始基本可行解，再用第 一阶段求得最优解时的约束条件和原问题的目标函数 进行迭代，直到求出最优解。