东城区(南片)2013-2014学年第一学期期末考试初二数学
东城区2023-2024学年第一学期期末初二数学试题
东城区2023-2024学年度第一学期期末统一检测初二数学 2024.1一、 选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1.已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是A ．3B ．6C ．9D ．122.在2023年中国国际智能汽车展览上，吉利控股集团正式宣布中国首款7纳米车规级SoC 芯片“龙鹰一号””的量产和供货.7纳米=0.000000007米，0.000000007 可用科学记数法表示为 A ． 9710-⨯ B ．9710⨯ C ．8710-⨯ D ． 8710⨯3．下列计算正确的是 A ．342a a a ⋅=B ．()339aa = C ．33()ab a b =D ．824a a a ÷=4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是．．轴对称图形的是5.一个多边形的内角和等于其外角和的两倍，那么这个多边形是 A ．三边形 B ．四边形 C ．五边形6. 图中的四边形均为长方形，用等式表示下图中图形面积的运算为A. ()2222a b a ab b -=-+B. ()()22a b a b a b +-=-C. ()2a ab a ab +=+D. ()222a b a ab b +=++7. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB ⊥AD ，若AD=4 ,则BC=A ．8B ．10C ．12D ．148.某社区正在建设一批精品小公园.如图，ABC ∆是一个正在修建的小公园，现要在公园里修建一座凉亭H ，使该凉亭H 到公路AB 、AC 的距离相等，且满足ABH BCH ∆∆和面积相等，则凉亭H 是A. ABC ∠的角平分线与AC 边上中线的交点B. ABC ∠的角平分线与BC 边上中线的交点C. BAC ∠的角平分线与AB 边上中线的交点D. BAC ∠的角平分线与AC 边上中线的交点9.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，在BC 的延长线上取点E ，连接AE ，已知∠BAD ＝32°，∠BAE ＝84°，则∠CAE 为 A ．20° B ．32° C ．38°D ．42°10. 如图，∠MAN=30°，点B 是射线 AN 上的定点，点P 是直线AM 上的动点，要使△PAB 为等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 A 、1 个 B 、2 个 C 、3 个D 、4 个二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其中蕴含的数学道理是 .12. 若分式1x+1有意义，则x 的取值范围是 . 13. 分解因式：22344x y xy y -+= .14. 如图，B 、E 、C 、F 四个点在一条直线上.∠B=∠DEF ，AB=DE ，请添加一个条件使△ABC △DEF，则添加的条件可以是 .15.如图,在△ABC 中,∠B ＝39°,点D 是AB 的垂直平分线与BC 的交点,将△ABD 沿着AD 翻折得到△AED ,则∠CDE = .16. 某“数学乐园”展厅的WIFI 密码被设计成如图数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 .17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是 .18. “回文诗”就是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁.如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”.在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等． （1）在所有三位数中,“回文数”共有 个；（2）任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数(1除外).三、解答题(本题共54分,19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19. 尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可能的.热爱数学的小明同学也设计了一个用尺规三等分90°角的方案，老师认为他的想法是正FEC BA D确的.请你根据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程：已知：∠AOB=90°求作：射线OC 、OD ，使得∠AOC=∠COD=∠DOB=30° 作法：① 在射线OB 上取一点M ，分别以点O 、点M 为圆心，OM 长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C ，连接CM ，画射线OC ；② 作∠COM 的平分线OD. 射线OC 、OD 为所求作射线. 证明：∵ ， ∴△MOC 为等边三角形. ∴∠_______=60° ∵∠AOB=90° ∴∠AOC=30° ∵OD 平分∠COM ∴∠COD=∠DOB=30° ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30° 20．如图，在平面直角坐标系中，顶点A 坐标为-33（，），顶点B 坐标为-51（，），顶点C 坐标为-21（，）， （1）作ABC 关于y 轴的对称图形'''A B C ，（其中A 、B 、C 的对称点分别是'A 'B 'C ）；并写出点'B 的坐标；（2）画出两个．．与ABC △全等且有公共顶点C 为顶点且的三角形.（要求：三角形顶点的横纵坐标都是整数）21.如图,点D 在AB 上,点E 在AC 上,且AD=AE ，BD=EC, 求证：∠B=∠C22. 先化简，再求值：2131242x x x x -⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，其中x= -1 . 23.解分式方程：312112x x x=+-- 24. 已知2220x x +-=，求代数式2-3(5)(1)x x x +++（）的值 25. 列分式方程解应用题:在杭州第19届亚运会上，中国女篮第七次获得亚运会冠军，女篮运动员的拼搏精神激励了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，需要购进A ，B 两种品牌篮球，已知A 品牌篮球单价比B 品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A ，B 两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A ，B 两种品牌篮球的单价．26.利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b ）（cx+d ）＝acx 2+（ad+bc ）x+bd ．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx 2+（ad +bc ）x +bd ＝（ax +b ）（cx +d ）．通过观察可把acx 2+（ad +bc ）x +bd 中看作以x 为未知数．a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式22+11+12x x 的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则22+11+12=4)(23)x x x x ++（根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法分解因式：2627x x +-;（2）用十字相乘法分解因式：267-3x x -;（3）结合本题知识，分解因式：2))6x y x y ++-20（+7（;27. 如图1, ABC △中，AB=BC, ∠ABC=α,点D 在AC 上，连接BD ，在BD 的上方作∠BDE=α，且BD=ED ，连接BE. 做点A 关于BC 的对称点F ，连接EF ，交BC 于点M.（1）补全图形，连接CF 并写出∠BCF=____________(用含α的式子表示); （2）当α=60°时，如图2， ① 证明：EM=FM;② 直接写出BM 与AD 的数量关系：_______________________.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和点A ，若存在点Q ，使得90PAQ ∠=︒，且AQ AP =，则称点Q 为点P 关于点A 的“链垂点”．。
【名师解析】北京市东城区(南片)2013-2014学年高二上学期期末考试 数学(文)试题 Word版含解析
数学试卷（文科）一、选择题：(每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1.下列程序语言中，哪一个是输入语句A. PRINTB. INPUTC. THEND. END3.如图所示，程序框图的输出结果为 A.43 B. 61 C. 1211 D. 2425【答案】A 【解析】4.某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为A. 12B. 13C. 14D. 156.平面⊥α平面β的一个充分条件是 A. 存在一条直线l ，α⊥l 且β⊥l B. 存在一个平面γ， γ∥α且γ∥β C. 存在一个平面γ，γ⊥α且γ⊥β D. 存在一条直线l ，α⊥l 且l ∥β7.甲、乙、丙三名毕业生参加某公司人力资源部安排的面试，三人依次进行，每次一人，其中甲、乙两人相邻的概率为 A.31 B. 32 C. 21 D. 418.已知双曲线14222=-y a x 的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 A.43 B. 53 C. 423 D. 553二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.）11.下列命题中，真命题的是 .①必然事件的概率等于l ②命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题③对立事件一定是互斥事件④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题13.某几何体的三视图如图所示，其中正视图为正三角形，则该几何体的体积为 .为3，所以2234V Sh ==⨯=考点：空间几何体的三视图、表面积和体积的计算.14.设),(00y x P 是椭圆191622=+y x 上一动点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF ⋅的最大值为 .三、解答题（本大题共5小题，其中第15、16题各8分，第17、18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分8分）在打靶训练中，某战士射击一次的成绩在9环（包括9环）以上的概率是0.18，在8～9环（包括8环）的概率是0.51，在7～8环（包括7环）的概率是0.15，在6～7环（包括6环）的概率是0.09.计算该战士在打靶训练中射击一次取得8环（包括8环）以上成绩的概率和该战士打靶及格（及格指6环以上包括6环）的概率.考点：互斥与对立事件、概率问题.16.（本小题满分8分）对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m／s）的数据如下表.（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息?（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m／s）数据的平均数、中位数、方差，并判断选谁参加比赛更合适.17.（本小题满分9分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，点D是AB的中点.（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求三棱锥D－B1C1C的体积.考点：线面平行的判定定理、空间几何体的体积.18.（本小题满分9分）2013年某市某区高考文科数学成绩抽样统计如下表：（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（纵坐标保留了小数点后四位小数）（Ⅱ）若2013年北京市高考文科考生共有20000人，试估计全市文科数学成绩在90分及90分以上的人数；（Ⅲ）香港某大学对内地进行自主招生，在参加面试的学生中，有7名学生数学成绩在140分以上，其中男生有4名，要从7名学生中录取2名学生，求其中恰有1名女生被录取的概率.19.（本小题满分10分）己知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点A （2，0）在椭圆C 上，斜率为1的直线l与椭圆C交于不同两点M，N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l过点F（1，0），求线段MN的长；（III）若直线l过点（m，0），且以MN为直径的圆恰过原点，求直线l的方程.。
2013-2014学年度第一学期初二期中考试数学试卷(含答案)
2013-2014学年度第一学期初二期中考试数学试卷一、选择题：（每题3分，共15分）1．如图所示，图中不是轴对称图形的是 ( ).2．如图，AB 与CD 交于点O ，OA ＝OC ，OD ＝OB ，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠AOD 的度数为 （ ）. A ．50° B ．30°C ．80°D ．100°3．点M （3，5）关于X 轴对称的点的坐标为 （ ） A 、（－3，－5） B 、（－3，5） C 、（3，－5） D 、（5，－3）4．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在同一条直线上（如图），可以证明，得ED ＝AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长．判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ）A 、“边角边”B 、“角边角”C 、“边边边”D 、“斜边、直角边”5．如图，将△ABC 沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处.若1129∠=︒，则2∠的度数为 （ ）（A ）50° （B ）51° （C ）61° （D ）71°第5题二、填空题：（每题4分，共20分）6．等腰三角形的底角是70°，则它的顶角是___________. 7．正方形有 条对称轴，正五边形有 条对称轴．8．如图，在△ABC 中，BC=5，BC 边上的垂直平分线 DE 交BC 、AB 分别于点D 、E ，△AEC 的周长是11 则△ABC 的周长等于 。
O DCBA第2题ACED B第8题9．如图，等边△ABC 的边长为2 cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ' 处，且点A '在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长．．为 cm ．10．在直角坐标系中，已知A （-3，3），在x 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，符合条件的点P 共有_________个。
2013-2014学年上学期期末考试(含答案)八年级数学
八年级（上）数学期末测试题第1卷（选择题）一、选择题（本题20小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，并把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑）1．下列各组数中不能作为直角三角形的三条边长的是( )A.6,8,10B.9,12, 15C.1.5,2,3D.7,24, 252．一三，27t，等，o，0.23 2233 2233 2233…中，有理数的个数是( ) A.l B.2 C.3 D.43．下列扑克牌中，绕着某一点旋转1800后可以与原来的完全重合的是( )4．点P(-5，6)关于原点对称的点的坐标是( )A.(-5, -6)B.(5,6)C.(6,.5)D.(5,.6)5.估算24的算术平方根在( )A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间中，一次函数的有( )A.4个B.3个C.2个D.l个7．为了筹备班级初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是( )A.平均数 B．力口权平均数 C．中位数 D．众数8.-次函数y= -x-l不经过的象限是( )A.t第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D.第四象限A. 20 B．15 C．10 D．510.w边形ABCD中，AC、BD相交于点D，能判别这个四边形是正方形的条件是( )11.点彳的坐标为(6，3)，D为原点，将OA绕点0按顺时针方向旋转90度得到OA1，则点A1的坐标为 ( )么．（3.-6) B.(-3,6) C．（一3，．6) D.(3,6)12.下列说法正确的有____个．( )①有两个底角相等的梯形是等腰梯形②有两边相等的梯形是等腰梯形③有两条对角线相等的梯形是等腰梯形④等腰梯形上下底中点连线把梯形分成面积相等的两部分A.l个 B．2个 C．3个 n 4个13.如果直线y=3x+6 y=2x-4交点坐标为（a，b），的解( )14.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输为 15，那么与实际平均数的差为( )A.3B.．3C.j 0.5D.3.515.把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是( )么．六边形 B．八边形 C．十二边形D.十六边形16.如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A→_B→C→D的路径匀速前进到D为止。
2013-2014北京8年级数学第一学期期末试卷各区考试题汇总(含标准答案)
北京市朝阳区2013～2014学年度八年级第一学期期末检测数 学 试 卷2014. 1（考试时间90分钟 满分100分）成绩一、选择题（每小题3分，共24分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填在下面相应的表格中.1．实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球体，它的直径约为0.00000156m ，数字0.00000156用科学记数法表示为A ．-50.15610⨯B ．-61.5610⨯C ．-71.5610⨯D ．-715.610⨯ 2．下面四个图案中，是轴对称图形的是A B C D 3．下列计算正确的是A ．-1-32a a a ÷=B ．0103（）=C ．532)(a a =D ． -21124=（）4．下列分式中，无论x 取何值，分式总有意义的是A ．211x + B ．21x x + C ．311x - D ．5x x-5．如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠C =75°，BD 是△ABC 的角平分线，则∠BDC 的度数为 A ．60° B ．70° C ．75° D ．105°6．若分式2a a b+中的 a ，b 都同时扩大2倍，则该分式的值BA ．不变B ．扩大2倍C ．缩小2倍D ．扩大4倍7．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是A ．3353()5x y x y +-=+-B ．2(1)(1)1x x x +-=-C ．24+44(1)x x x x =+D ．725632x x x =⋅8．用一条长为16cm 的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm ，，则该等腰三角形的腰长为A ．4cmB ．6cmC ．4cm 或6cmD ．4cm 或8cm 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．计算2144()x y x ⋅-= ． 10．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形边数为 ．11．如图，AB+AC =7，D 是AB 上一点，若点D 在 BC 的垂直平分线上，则△ACD 的周长为．第11题 第12题12. 如图，AC =AD ，∠1=∠2，只添加一个条件使△ABC ≌△AED ，你添加的条件是 ．13．分解因式22(2)a b b +-= ．14. 在△ABC 中，∠A =120°，AB=AC =m ，BC =n ，CD 是△ABC 的边AB 的高，则△ACD 的面积为 （用含m ，n 的式子表示）．三、解答题（15-19题每小题4分，20题5分，21-22题每小题6分，23-25题每小题7分，共58分）15．如图，ABC △中，AD ⊥BC 于点D ，AD =BD ，C ∠=65°，求∠BAC 的度数．BE16．计算 11(1)1a a a a-++⋅-．17．如图，AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，垂足分别为B ，E ，点C ，F 在BE 上，BF =EC ，AC = DF ．求证∠A =∠D ．18．先化简，再求值：()()()2x y x y x x y +---，其中13x =，3y =．19．分解因式22396a b ab b ++．20．如图，DE ∥AB ，DF ∥AC ，与AC ，AB 分别交于点E ，F ．(1) D 是BC 上任意一点，求证DE =AF ．(2) 若AD 是△ABC 的角平分线，请写出与DE 相等的所有线段 ．21．解方程 212+121x x x x +=++．B22．如图，D 为AB 的中点，点E 在AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处． 求证EF=EC ．23．列分式方程解应用题为提升晚高峰车辆的通行速度，北京市交通委路政局积极设置潮汐车道，首条潮汐 车道于2013年9月11日开始启用，试点路段为京广桥至慈云寺桥，全程约2.5千米.该路段实行潮汐车道后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提高了25%， 行驶时间平均减少了1.5分钟.该路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的 车辆平均每小时行驶多少千米？B24．在平面直角坐标系xoy中，等腰三角形ABC的三个顶点A(0，1)，点B在x轴的正半轴上，∠ABO=30°，点C在y轴上．（1）直接写出点C的坐标为；（2）点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，在图中标出点P的位置并说明理由；（3）在（2）的条件下，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为．25．解决下面问题：如图，在△ABC中，∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且12DCB EBC A∠=∠=∠，BE与CD相交于点O，探究BD与CE之间的数量关系，并证明你的结论．小新同学是这样思考的：在平时的学习中，有这样的经验：假如△ABC是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图a，BE，CD分别是两底角的平分线（或者如图b，BE，CD分别是两条腰的高线，或者如图c，BE，CD分别是两条腰的中线）时，依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角.这个问题也许可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决．图a图b 图c请参考小新同学的思路，解决上面这个问题．.B DB B BC BC B北京市朝阳区2013～2014学年度八年级第一学期期末检测数学试卷参考答案及评分标准2014.1一、选择题（每小题3分，共24分）二、填空题（每小题3分，共18分）三、解答题（15-19题每小题4分，20题5分，21-22题每小题6分，23-25题每小题7分，共58分）15904521801804565704AD BC BDA AD BD B BAD BAC B C⊥∴∠=︒=∴∠=∠=︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.解:..Q Q ，，.分分22(1)(1)11=11111211631.1a a a a a a a a a a a a aa +-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．解：原式分分分4⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分17.,..1,,Rt Rt Rt Rt .3.4BF EC BF FC EC FC BC EF AB BE DE BE ABC DEF AC DF BC EFABC DEF A D =∴+=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⊥⊥=⎧⎨=⎩∴≅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴∠=∠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q Q V V V V 证明：即分在和中分分()2222218.()()2=22231,331=23337.4x y x y x x y x y x xy xy y x y +-----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⨯⨯-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅解：分分当时，原式分222=(96)2(3)149..b a ab b b a b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅解：原式分分20.(1)证明：连接AD .∵DE ∥AB ，∴∠F AD =∠EDA . ∵DF ∥AC ，.,.2.3(2)(.5EAD FDA AD DA AFD DEA DE AF AF AE FD ∴∠=∠=∴≅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q V V 分分，，说明：每少一个扣1分)分212121.2.1(1),1+2(1)(21).21.41,(1)0x x x x x x x x x x x x x x ++=++++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+=解方程解：方程两边乘得分解得分检验：当时，因此15.6x =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅不是原分式方程的解.分所以，原分式方程无解分FB22.,1 2..3.21231.3ADE FDE BD AD DF B ADF B B ≅∴∠=∠∴==∴∠=∠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅证明：由题意可知，分又，分V V Q∴DE ∥AB .54656,4..6C C EF EC ∴∠=∠∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q ，.又分23.11.5=402.5 2.513(125%)402.521,4020.x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅解：设该路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶千米.分钟小时,根据题意，得分整理，得解得520,400.20.6207x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=≠=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分检验：当时所以,原分式方程的解为分答： 该路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶千米.分24．(1)（0，3），（0，-1）． ………………… …2分(2) 如图，连接BC ，过点A 作垂足P 即为所求．...理由：根据题中条件，可知∠所以，直线AB 是∠CBO ∠CBO 的一边OB 所在的直线x ∠CBO 的另一边BC 所在的直线上．根据角平分线的性质，过点A 作AP ⊥AP=AO 此时直线BC 上其它点与点A 即大于1，所以只有垂足P 为所求．(3) 3．B13-14学年第25..1.2,..BD CE OD OF OE DCB EBC OB OC BOF COE OBF OCE =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠=∠∴=∠=∠∴≅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分证明：如图，在上截取分，Q Q V V 3.4.1,2.,.BF CE FBO ECO EBC OCB A DFB FCB FBC FBO EBC DCB FBO A BDF ECO A DFB BDF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴∠=∠∠=∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分分Q Q 6.7.BD BF BD CE ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴=分分B一学期大兴区初二数学期末试题一、选择题：（每小题3分，共30分）下列每小题的四个选项中，只有一个是正确的．请将1-10各小题正确选项前的1．x 的取值范围是A ． x ＜3B ．x≤3C ．x ＞3D ．x≥32. 若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m 满足10＜m ＜22，则这样的三角形有A.2个B.3个C.4个D. 5个3．若22212121x x Ax x x ++=+--，则A 为A. 3x+1B. 3x-1C. x 2-2x-1 D. x 2+2x-14．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4等于A.180°B. 360°C.270°D.450°5. 在下列说法中，正确的是A. 如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形C. 等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形D. 一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,AE平分∠BAC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC=3 cm ， BC=4cm,那么△EBD 的周长等于A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm7．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12，下列说法正确的是 A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B ．连续抛一枚均匀硬币5次，正面都朝上是不可能事件C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的8.如图，E 、B 、F 、C 四点在一条直线上，EB=CF ，∠A=∠D ，再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF 的是A.AB=DEB.DF ∥ACEAD ED C BAC.∠E=∠ABCD.AB ∥DE9. 如图所示：文文把一张长方形的纸片折叠了两次，使A 、B 两点都落在DA /上， 折痕分别是DE 、DF ，则∠EDF 的度数为A. 60°B. 75°C. 90°D.120°10．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是 A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无法确定二、填空题（本题共32分，每小题4分）11．已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <<，则a b += ．12.在等腰△ABC 中，∠A=108°，D ，E 是BC 上的两点，且BD=AD ，AE=•EC ，•则图中共有_______个等腰三角形．13.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为cm ．14．如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，则线段MN 的长是_________．15.某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为 ．16. 在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，若BD=3，DC=1，则AD=____________.17.从甲地到乙地全长S 千米，某人步行从甲地到乙地t 小时可以到达，现为了提前半小时到达，则每小时应多走 千米（结果化为最简形式）.18.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°.有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ； ③O 为BC 的中点； ④AG ：4，其中正确结论的序号是 .三、画图题（本题4分）1９．已知：如图,在△ABC 中，∠C=90°，∠A =24°.请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；四、计算题（每小题5分，共10分）２０．先化简，再求值：)111(+-x x x ，其中15-=x .２１．已知：△ABC 的周长为48cm ，最大边与最小边之差为14cm ，另一边与最小边之和为25cm ，求：△ABC 的各边的长.五、（5分）2２．解方程：292233x x x +-=+-.六、解答题（本题共19分，第23、24题，每题6分，第25题， 7分）2３．如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，点O 在△ABC 内，•且∠OBC=•∠OCA ，•∠BOC=110°，求∠A 的度数．OCB A2４.两块完全相同的三角形纸板ABC 和DEF ，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O 为边AC 和DF 的交点.不重叠的两部分△AOF 与△DOC 是否全等？为什么？2５.如图,在直角△ABC 中, ∠ACB=90,CD ⊥AB,垂足为D,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G ,EF⊥BE 交AB 于点F,若AC=BC,CE=EA.试探究线段EF 与EG 的数量关系，并加以证明.答：EF 与EG 的数量关系是 . 证明:GF EDCBA13-14学年第一学期大兴区初二数学期末试题参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共30分）下列每小题的四个选项中，只有一个是正确的．请将1-10各小题正确选项前的二、填空题（本题共32分，每小题4分）11． 11 . 12. 6 . 13. 4.8 . 14． 20 . 15.112. 16. 4 . 17. 22s t t- . 18. ①②③ .三、画图题（本题4分）1９．已知：如图,在△ABC 中，∠C=90°，∠A =24°.请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；作图：痕迹能体现作线段AB(或AC 、或BC)的垂直平分 线，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可， 在边AB 上找出所需要的点D ，则直线CD 即为所求……………………………………4分四、计算题（每小题5分，共10分）２０．解：111()1(1)x x x x x x x x +--=++，……………………………………1分11x =+, ……………………………………3分 当15-=x ，原式5=. ……………………………………5分 ２１．解：设最小边的长为xcm ，……………………………………………………1分则最大边的长为（x+14）cm ，另一边的长为（25－x ）cm ，………………2分 依题意，得x+x+14+25－x ＝48， ……………………………………3分 解得，x ＝9. ……………………………………………………4分 所以，三边长分别为23cm,9cm,16cm. ……………………………………5分五、（5分）2２．解：去分母，得(3)(29)2(3)(3)2(3)x x x x x -+-+-=+.………………1分 去括号，得222962721826x x x x x +---+=+ …………………2分 解，得 15x =. ……………………………………………4分 经检验，15x =是原方程的解. ……………………………………5分六、解答题（本题共19分，第23、24题，每题6分，第25题， 7分）2３． 解：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB. ……………………………………1分 又∵∠OBC=∠OCA ，∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB ）.………………3分∵∠BOC=110°，∴∠OBC+∠OCB=70°.………………………………4分 ∴∠ABC+∠ACB=140°. ……………………………5分 ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=40°.……………6分 2４.解：全等 .…………………………………………………1分 理由如下：∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF ，AB=DB ，∠A=∠D. ……………………………3分 ∴AB －BF=DB －BC.∴AF=DC. …………………………………………4分 在△AOF 和△DOC 中，∵AF=DC ，∠A=∠D ，∠AOF=∠DOC ，……………………5分 ∴△AOF ≌△DOC （AAS ）.…………………………………6分 2５.答：EF 与EG 的数量关系是 相等 .……………………1分OCB A证明:∵△ABC为等腰直角三角形，CD⊥AB,于D,∴∠A=∠ABC，点D为AB边的中点.……………2分又∵CE=EA，∴点E为AC边中点.连结ED，∴ED∥BC.∴∠ADE=∠ABC=∠A.∴∠EDG=∠A. ……………………………………3分∴ED=EA.……………………………………4分又∵∠DBG+∠BGD=∠FBE+∠BFE=90，∴∠BGD=∠BFE.∴∠AFE=∠DGE. ……………………………………5分∴△AFE≌△DGE. ……………………………………6分∴EF=EG . ……………………………………………7分石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷初二数学一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项前的字母填在题后括号内） 1．16的算术根是（ ）.A ．4B ．4-C ．4±D ．8±2有意义，则x 的取值范围是（ ）. A ．1x >B ．1x ≥C ．1x ≥且32x ≠D ． 1x >且32x ≠ 3．下列图形不是．．轴对称图形的是（ ）. A ．线段 B ．等腰三角形C ．角D ．有一个内角为60°的直角三角形 4．下列事件中是不可能事件的是（ ）．A ．随机抛掷一枚硬币，正面向上．B ．a 是实数,a =-．C ．长为1cm ，2cm ，3cm 的三条线段为边长的三角形是直角三角形．D ．小明从古城出发乘坐地铁一号线去西单图书大厦．5. 初二年级通过学生日常德育积分评比，选出6位获“阳光少年”称号的同学．年级组长李老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小君等6位同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是体育用品，1份是科技馆通票．小君同学从中随机取一份奖品，恰好取到体育用品的可能性是( )．A.16 B ．13C. 12D. 236．有一个角是︒36的等腰三角形,其它两个角的度数是( ).A. ︒︒108,36 B ．︒︒72,36 C. ︒︒72,72D.︒︒108,36或︒︒72,727．下列四个算式正确的是（ ）.A．B ．C =D ．-8．如图，在△ABC 中，BE 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过点E 作DF ∥BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若AB =4, AC =3，则△ADF 周长为（ ）.A．6B．7C．8D．109．如图，滑雪爱好者小明在海拔约为121米的B处乘雪橇沿30°的斜坡下滑至A处所用时间为2秒，已知下滑路程S（米）与所用时间t（秒）的关系为210S t t=+，则山脚A处的海拔约为（）. ( 1.7≈)A．100.6米B．97米C．109米D．145米10．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD 上的四点，则图中阴影部分的总面积是（）.A．6 B．8 C．4 D．12二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）11．约分：22515mnm n-=_____________．12．若整数p满足：⎪⎩⎪⎨⎧-<<.12,72ppp则p的值为_________．13. 若分式55qq-+值为0，则q的值是________________．14．如图，在正方形网格(图中每个小正方形的边长均为1)中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为_________________，面积为____________________．15．如图,在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC= BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△''AB C，''B C交AB于E，若图中阴影部分面积为'B E的长为．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC=4cm，在射．线．BC上一动点D，从点B匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为秒．（结果可含根号）．三、解答题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）17．计算：()2013.142π-⎛⎫---⎪⎝⎭．解：DC第8题第9题第10题AB第15题18．解方程：238111x x x +-=--． 解：19． 解：20．先化简，再求值已知：23x y =，求222569222y x xy y x y x y x y ⎛⎫-+--÷⎪--⎝⎭的值． 解：四、列方程解应用题（本题5分）21. 据报道，2013年11月8日超强台风“海燕”在菲律宾中部萨马省登陆，给菲律宾造成巨大经济财产损失．中国政府伸出援助之手，捐款捐物．某地决定向灾区捐助帐篷．记者采访了某帐篷制造厂如何出色完成任务．下面是记者与工厂厂长的一段对话：根据记者与厂长的一段对话，请求出原计划每天加工多少顶帐篷. 解：五、解答题（本大题共3个小题，每题5分共15分）22．已知：如图，E 、F 为BC 上的点，BF=CE ，点A 、D 分别在BC 的两侧，且AE ∥DF ，AE =DF ． 求证：AB =DC ． 证明：23. 已知：如图，△ABC 是等边三角形. D 、E 是△ABC 外两点，连结BE 交AC 于M ，连结AD 交CE 于N ，AD 交BE 于F ，AD =EB . 当AFB ∠度数多少时，△ECD 是等边三角形？并证明你的结论.解：当AFB ∠=__________时，△ECD 是等边三角形. 证明：24. 已知：在△ABC 中，24=AB ,5AC =，oABC 45=∠，求BC 的长．解：C六、几何探究（本题6分） 25．如图1，在△ABC 中，∠ACB =2∠B ，∠BAC 的平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l ⊥AO 于H ，分别交直线AB 、AC 、BC 、于点N 、E 、M . （1）当直线l 经过点C 时（如图2），求证：BN =CD ；（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明； （3）请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系．（1）证明：（2）当M 是BC 中点时,CE 和CD 之间的等量关系为_________________________. 证明：图1B 图2B（3）请你探究线段BN 、CE 、CD 之间的等量关系, 并直接写出结论.七、选作题26. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，108A ∠=°，请你在图中，分别用两种不同方法，将△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．的不等边三角形．．．．．．(不等边三角形指除等腰三角形以外)，而另外两个是不全等．．．的等腰三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数，在每个等腰三角形中标出相等两底角度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法，但要保留作图痕迹，若经过图形变换后两个图形重合，则视为同一种方法）．图1图2B B石景山区2013-2014学年度第一学期期末考试初二数学答案及评分参考阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．二、填空题（本题共6道小题，每小题4分，共24分）11．3nm-； 12．3； 13．5； 14．36；（各2分）15．2； 16答对一个2分，答对两个3分，答对3个4分） 三、解答题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）17． 解：原式=14-………………………………………………………4分=3--………………………………………………………………5分 18． 解：2(3)(1)81x x x ++-=- …………………………………………………1分 224381x x x ++-=- …………………………………………………2分 44x = …………………………………………………3分 1x = ………………………………………………………4分经检验：1x =是原方程的增根，所以原方程无解 ……………………………5分19． 解：原式 …………………………………………3分…………………………………………4分……………………………………………………5分20. 解：原式=()()()22225213x y x y y x yx y +-⎡⎤-⨯⎢⎥--⎣⎦…………………………………………1分=()()()()22522223y x y x y x y x y x y -+--⋅-- = ()22293y x x y -- …………………………………………………………………2分=33y xy x+- ……………………………………………………………………3分解法一：∵23x y =，不妨设()2,30x k y k k ==≠ …………………………………4分 ∴原式=9292k k k k +- =117 ………………………………………5分解法二：3333x y x y xy x y++=-- ………………………………………4分∵23x y =∴原式=231132733+=- ………………………………………5分 （阅卷说明：如果学生直接将2,3x y ==代入计算正确者，本题扣1分）四、列方程解应用题（本题5分）21. 解：设原计划每天加工x 顶帐篷. ……………………………………………………1分1500300150030042x x---= …………………………………………………2分 解得 150x = ………………………………………………………………3分 经检验，150x =是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分答：原计划每天加工150顶帐篷.……………………………………………………5分 五、解答题（本大题共3个小题，每题5分，共15分） 22．证明：∵AE ∥DF ，∴∠AEB ＝∠DFC . …………………………………………………………1分 ∵BF =CE ， ∴BF +EF ＝CE +EF .即BE ＝CF . …………………………2分在△ABE 和△DCF 中，AE DF AEB DFC BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………………………………………3分 ∴△ABE ≌△DCF ………………………………………………………4分 ∴AB =DC ………………………………………………………5分23. 解：AFB ∠=60° ………………………………………………………………1分证明：∵△ABC 是等边三角形∴CA =CB ，4∠=60° …………………………………………………………2分 ∵∠2+∠4=∠5∠1+∠3=∠5 且∠3=60° ∴∠1=∠2 ……………… 3分又∵BE =AD C∴△BCE ≌△ACD （SAS ） ∴CE =CD ，∠BCE =∠ACD ……………………………………………4分 ∴∠BCE －∠6=∠ACD －∠6 即∠4=∠7=60° ∴△ECD 是等边三角形 ………………………………………………5分 24. 解：分类讨论（1）如图，过A 作AD ⊥BC 交BC （延长线）于D ，………………………1分 ∴∠D =90°， ∴在Rt △ABD 中，∠B +∠BAD =90°， ∴∠BAD =45° ∴DA DB =,又∵222AB DB DA =+,不妨设x DB DA == 则3222=+x x ，解得4=x ，∴DA =DB =4 ……………………………2分∵∠D =90°，∴在Rt △ACD 中，222AC DA DC =+3452222=-=-=AD AC CD ……………………………3分∴BC =BD -CD =4-3=1 ……………………………4分 （2）如图：由（1）同理：DB =4，CD =3 ∴BC =BD +CD =4+3=7.综上所述：BC =1或BC =7 ……………………………5分 (阅卷说明：只计算出一种情况，本题得4分) 六、几何探究（本题6分） 25. （1）证明：连结ND∵AO 平分BAC ∠,∴12∠=∠ ∵直线l ⊥AO 于H , ∴4590∠=∠=︒∴67∠=∠ ∴AN AC =∴NH CH =∴AH 是线段NC 的中垂线 ∴DC DN = ∴98∠=∠∴AND ACB ∠=∠∵3AND B ∠=∠+∠,2ACB B ∠=∠, ∴3∠=∠B ∴DN BN =∴BN DC = ……………………………………………………………………2分 （2）当M BC 是中点时,CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE =证明：过点C 作'CN AO ⊥交AB 于'N由（1）可得'BN CD =,',AN AC AN AE == ∴43∠=∠,'NN CE =过点C 作CG ∥AB 交直线l 于点G ∴42∠=∠,1B ∠=∠ ∴23∠=∠∴CG CE = ∵M BC 是中点, ∴BM CM = 在△BNM 和△CGM 中， lD C 'C B A1,,,B BM CM NMB GMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BNM ≌△CG M ∴BN CG = ∴BN CE =∴''2CD BN NN BN CE ==+= …………………………………………4分 （3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系：当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+； 当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-；当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-………………………………6分 (阅卷说明：三种情况写对一个给1分，全对给2分)七、选作题 26.平谷区2013～2014学年度第一学期期末质量监控试卷初 二 数 学一、选择题（本题共分，每小题分）下列每小题的四个选项中，只有一个是正确的． 1．AB． C． D ．2 2．下列二次根式中，最简二次根式是ABC D 3．下列事件中是确定事件的是A ．篮球运动员身高都在2米以上 B ．弟弟的体重一定比哥哥轻 C ．今年春节一定是晴天 D ．吸烟有害身体健康 4．下列图形是轴对称图形的是5．分式21a +有意义，则a 的取值范围是 A ．0a = B ．1a = C ．1a ≠-D ． 0a ≠ 6．下列计算正确的是AB 6=C =D 4=7．如图，ABC △沿AB 向下翻折得到ABD △，若30ABC ∠=︒100ADB ∠=︒，则BAC ∠的度数是 A ． 100° B ．30° C ． 50° D ． 80°A7题图8．分别标有数字01213--，，，，，的五张卡片，除数字不同外他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的可能性是A ．15 B ．25 C ．35 D ．459．一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是A ．13B ．17C ．2217或22 10．如图，长方体AB =3，BC =5，AF =6，要在长方体上系一根绳子连结AG ，绳子与DE 交于点P ，当所用绳子的长最短 时，AG 的长为 A ．10 B C ．8 D ．254二、填空题（本题共20分，每小题4分）11． x 的取值范围是________．12．若30a -，则a b += ． 13． 化简：11a a a-+= ． 14．一个直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则第三边为 ．15．如图，ACD ∠是ABC △的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ．设A θ=∠．则 （1）1A ∠=_____________； （2）2A ∠=_____________； （3）n A ∠=_____________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）16． 计算：()04(1)22014-+-+．17．计算：2+18．化简：2221211x x x x x x--+÷+-. 19． 已知：如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，∠A ＝∠D AC ＝DF ，且AC ∥DF ．求证：AB=DE ．10题图20．解方程：21422x x x-+=--． 21．先化简，再求值：2221111a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中260a a --=． 四、解答题（本题共12分，每小题6分）22．已知：如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，30A ∠=︒． （1）求证：AD =BD ； （2）过D 作DE ⊥AB 于E ，CD =4， AB 边上有一点且4DEF S ∆=，求AF 的长．23．为响应低碳号召，刘老师上班的交通工具由自驾车改为骑自行车，刘老师家距学校15千米，因为自驾车的速度是自行车速度的3倍，所以刘老师每天比原来早出发40分钟，才能按原来时间到校，刘老师骑自行车每小时走多少千米？五、解答题（本题共18分，每小题6分）24．图①、图②、图③都是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点．按下列要求画图： （1）在图①3中以格点为顶点各画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有．．3个； （2）在图②中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有．．3个，且边长为无理数（与图①不同）；（3）在图③中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有．．4个．25．已知：如图（1），在ABC △中 ，AB AC =，90BAC ∠=°，D E 、分别是AB AC、边的中点，将ABC △绕点A 顺时针旋转α角（0180α<<°°），得到AB C ''△（如图（2））．（1）探究DB '与EC '的数量关系，并给予证明；（2）当旋转角60α=°时，猜想DB '与AE 的位置关系并说明理由．24题图① 24题图② 24题图③ 22题图26．已知：如图(1)，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m , CE ⊥直线m ,垂足分别为点D 、E ．证明：DE =BD +CE .小聪同学的思路是：通过证明BDAAEC ∆≅∆，得出DA =EC ，AE =BD ，从而证得DE =BD +CE ． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1） 如图(2)，将已知中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =120°．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立,请说明理由．(2) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是过点A 的直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状．EAD26题图1 EA 26题图2 EA 26题图3平谷区2013～2014学年度第一学期末初二数学答案及评分参考一 、选择题（本题共40分，每小题4分）二、填空（本题共20分，每小题4分）11．2x ≥； 12．1； 13．1； 14．5； 15．（1）2θ；………………………………………………………………………………1分 （2） 4θ；………………………………………………………………………………2分（3）2n θ.………………………………………………………………………………4分三、解答题（本题共30分，每小题5分）16．解：原式=121++………………………………………………………………4分=5分17．解：原式=22-+分=23-+4分 =5………………………………………………………………………………5分18．解：原式=2(1)(1)(1)1(1)x x x x x x +--⋅+- ……………………………………………………4分 =x . ……………………………………………………………………………5分19．证明：∵ AC ∥DF∴ ∠ACB ＝∠DFE ……………………………………………………………………………1分 又∵ ∠A ＝∠DAC ＝DF ……………………………………………………………………………………3分 ∴ △ABC ≌△EDF . ……………………………………………………………………………4分 ∴AB=DE ………………………………………………………………………………………5分 20．解：21422x x x --=---…………………………………………………………………1分 21422x x x -+=---…………………………………………………………………2分 342xx -=-- ()342x x -=--…………………………………………………………3分348x x -=-+35x =53x =……………………………………………………………4分 经检验：53x =是原方程的解．………………………………………………………………5分 所以原方程的解是53x =．21．解：2221111a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭=22(1)(1)21111a a a a a a a --+-⎛⎫÷- ⎪-++⎝⎭…………………………………………………………1分 =22212111a a a a a ---+÷-+………………………………………………………………………2分 =21(1)(1)(2)a a a a a a -+⋅+--=1(1)a a -=21a a-…………………………………………………………………………………………3分 ∵260a a --=∴26a a -=……………………………………………………………………………………4分 ∴2116a a =-…………………………………………………………………………………,5分 四、解答题（本题共12分，每小题6分） 22．解：（1）∵90C ∠=︒，30A ∠=︒∴60ABC ∠=︒…………………………………1分 ∵BD 平分ABC ∠∴30ABD CBD ∠=∠=︒ ……… ……………2分 ∴30A ABD ∠=∠=︒∴AD =BD …………………………………………3分 （2）∵BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥于E∴CD =DE =4 ………………………………………4分 ∵114422DEFS DE EF EF ∆=⋅=⨯⋅= ∴EF =4在Rt ADE ∆中，30A ∠=︒， DE =4∴AE =∴AF =22或（每个答案1分）………………………………………6分 23．解：设刘老师骑自行车每小时走x 多少千米，则自驾车每小时走3x 千米．……1分 根据题意，得154015603x x-=…………………………………………………………………3分 解方程，得15x =……………………………………………………………………4分经检验：15x =是原方程的解，且符合题意．……………………………………………5分 答：刘老师骑自行车每小时走15千米．……………………………………………………6分 五、解答题（本题共18分，每题6分） 24．解：答案不惟一． 每图2分． (1)(2)(3)25．（1）DB EC ''=…………………………………………………………………………1分 证明：D E ，分别是AB AC ，的中点，1122AD AB AE AC ∴==，．………………………………………………………………2分 AB AC AD AE =∴=，．B AC ''△是BAC △顺时针旋转得到．EAC DAB AC AC AB AB α''''∴∠=∠====， ADB AEC ''∴△≌△DB EC ''∴=．……………………………3分（2）猜想： DB AE '∥……………………4分延长AE 使AE=EF ，连接FC '……………5分∴AC AF '=∵60α=°∴AFC '∆是等边三角形∴C E AF '⊥，即90AEC '∠=︒由ADB AEC ''△≌△，得90ADB AEC ''∠=∠=︒∴90ADB DAE '∠=∠=︒∴DB AE '∥………………………………………………………………………………6分 26．证明： (1)∵∠BDA =∠BAC =120︒，∴∠DBA+∠BDA=∠CAE +∠BAC ∴∠DBA=∠CAE ……………………1分 ∵∠BDA =∠AEC=120︒，AB =AC ∴△ADB ≌△CEA ……………………3分 ∴AE =BD ，AD =CE∴DE =AE +AD =BD +CE ………………4分 （3）由（1）知，△ADB ≌△CEA ， BD =AE ，∠DBA =∠CAE ∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF =∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF =∠CAE+∠CAF ∴∠DBF =∠F AE26题图3EA 26题图2∵BF=AF∴△DBF≌△EAF……………………5分∴DF=EF，∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=60°∴△DEF为等边三角形.………………6分丰台区2013—2014学年第一学期期末练习初 二 数 学 2014.01一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 有意义，那么x 的取值范围是A. 2x ≠B. 0x ≥C. 2x >D. 2x ≥ 2. 剪纸是中华传统文化中的一块瑰宝，下列剪纸图案中不是．．轴对称图形的是A B CD3. 9的平方根是A ．3B ．±3C ．D ．81 4. 下列事件中，属于不确定事件的是 A ．晴天的早晨，太阳从东方升起 B ．一般情况下，水烧到50°C 沸腾C ．用长度分别是2cm ，3cm ，6cm 的细木条首尾相连组成一个三角形D ．科学实验中，前100次实验都失败，第101次实验会成功 5. 如果将分式2xx y+中的字母x 与y 的值分别扩大为原来的10倍，那么这个分式的值 A ．不改变 B ．扩大为原来的20倍 C ．扩大为原来的10倍 D ．缩小为原来的1106. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于A ．120°B ．105° C ．60° D ．45°7. 计算32a b（-）的结果是 160°45°A. 332a b -B. 336a b -C. 338a b- D. 338a b8. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°, CD ⊥AB 于点D ，如果∠DCB =30°，CB =2，那么AB的长为A.B. C. 3 D. 49．下列计算正确的是A.= B.C.6=D.4= 10. 如图，将ABC △放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC △中BC 边上的高是 A.B.C.D.二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 如果分式14x x --的值为0，那么x 的值是_________. 12._________. 13. 在-1，0π，13这五个数中任取一个数，取到无理数的可能性是_________. 14. 如图，ABC △中，90C ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，如果CD =6cm ，那么点D 到AB 的距离为_________cm.15. 如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，BD 是AC 边上的中线，延长BC 至点E ，使CE =CD ，联结DE ，则DE 的长是 .BCD D CEABD那么第5行中的第2个数是 ，第n （1n >，且n 是整数）行的第2个数是 .（用含n的代数式表示）三、解答题（本题共20分，每题5分） 17. 2．18. 计算：2121.224a a a a a --+÷--19. 解方程：11322xx x-+=--.20. 已知：如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上， AB ∥DE ，AB =DE ，BE=CF . 求证：AC =DF .四、解答题（本题共11分，第21题5分，第22题6分） 21. 已知30x y -=，求22(+)+2x yx y x xy y -+的值．22. 列方程解应用题：学校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机.已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要22.4万元，购买B 型计算机需要24万元.那么一台A 型计算机的售价和一台B 型计算机的售价分别是多少元?五、解答题（本题共21分，每小题7分）23. 已知：如图，△AOB 的顶点O 在直线l 上，且AO ＝AB .（1）画出△AOB 关于直线l 成轴对称的图形△COD ，且使点A 的对称点为点C ； （2）在（1）的条件下， AC 与BD 的位置关系是 ； （3）在（1）、（2）的条件下，联结AD ，如果∠ABD =2∠ADB ，求∠AOC 的度数.E A DB FAl24. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如：32=112+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.例如：像11x x +-，22x x -，…这样的分式是假分式；像42x - ，221x x +，…这样的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式. 例如：112122111111x x x x x x x x +-==+=+-----（-）+；22442(2)4422222x x x )x x x x x x -++-+===++----（. （1）将分式12x x -+化为整式与真分式的和的形式； （2）如果分式2211x x --的值为整数，求x 的整数值.25. 请阅读下列材料：问题：如图1，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，MN 是过点A 的直线，DB ⊥MN于点D ，联结CD .求证：BD + AD .。
东城区2013-2014学年度第一学期初三数学试题及答案
东城区2013—2014学年第一学期期末统一测试初三数学 2014.1学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是2．用配方法解方程x - 2x - 1=0时，配方后得到的方程为 A ．2(1)0x +=B ．2(1)0x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)2x -=3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是 A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球4．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径， CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD 等于 A ．116°B ．64°C ．58°D ．32°5．如图，电线杆上的路灯距离地面8米，身高1.6米的小明 (AB )站在距离电线杆的底部（点O ）20米的A 处， 则小 明的影子AM 长为 A ．4米 B ．5米C．6米 D ．8米6．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中正 确的是 A ．a ＞0 B ．当 -1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大7．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A =60°，AB =2，扇形BEF 的半 径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 A ．2π3B ．2π3C ．πD ．π8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动．设运动时间为t (s)，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s)的函数关系可用图象表示为A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围 是 ． 10．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-1）的抛物线的解析式__________．11．如图，在Rt △OAB 中，∠B =90°∠AOB =30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB = °. 12．射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P为半径的圆与△ABC 的边相切，请写出t 可取的所有值 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：21090x x -+=.14．如图，△ABC 和△A B C '''是两个完全重合的直角三角板，30B B '∠=∠=︒，斜边长为10cm ．三角形板A B C '''绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A '落在AB 边上时，求C A ''旋转所构成的扇形的弧长AA '． 15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF= 4∶25，求DE ∶EC 的值．DF16．二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于点C （0，-5），且经过点D （3，-8）.（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．17．画图：（1）如右图，已知△ABC 和点O ．将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到△111A B C ，在网格中画出△111A B C ；（2）如图，AB 是半圆的直径，图1中，点C 在半圆外；图2中，点C 在半圆内，请仅用无刻度．．．的直尺（只能画线）按要求画图． （i ）在图1中，画出△ABC 的三条高的交点； （ii ）在图2中，画出△ABC 中AB 边上的高．18．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB =8，CD =2，求EC 的长．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，有四张背面相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张. 请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率.20．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．图① 图②21．在Rt △ACB 中，∠C =90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC ，AB 分别交于点D ，E ，且∠CBD =∠A ．（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD ∶AO =8∶5，BC =3，求BD 的长．22．阅读理解：如图1，若在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 与点A ，B 不重合），分别连结ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题： （1）如图1，若∠A =∠B =∠DEC =55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM的边AB 上的一个强相似点，请直接写出BCAB的值．图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知二次函数2()2()y a x m a x m =---（a , m 为常数，且a ≠0）. （1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，当△ABC 是等腰直角三角形时，求a 的值．24．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90,C ∠=︒30B E ∠=∠=︒.（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 顺时针旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空：图1 图2 ① 线段DE 与AC 的位置关系是 ；② 设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ，证明你的结论；（2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．图325．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(1)4y x m x m =-+-+的图象与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B （0，4），已知点E （0，1）． （1）求m 的值及点A 的坐标； （2）如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连结A ′B 、BE ′．①当点E ′落在该二次函数的图象上时，求AA ′的长；②设AA ′=n ，其中0＜n ＜2，试用含n 的式子表示A ′B 2+BE ′2，并求出使A ′B 2+BE ′2取得最小值时点E ′的坐标；③当A ′B +BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标．东城区2013-2014学年第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准 2014.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：21090x x -+=.解：变形为 2109x x -=-. ………………..1分配方，21025925x x -+=-+. …………..……..2分 整理，得2(5)16x -=. ………………..3分 解得，121,9x x ==. ………………..5分14．解：由题意可求，∠AC A ′=60°，CA=5． ………………..2分所以 60π55π1803cm AA ⨯'==． ………………..5分15．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥CD ．∴ △DEF ∽△BAF ． ………………..1分 ∴ 24=25DEF ABF S DE S AB =⎛⎫⎪⎝⎭△△． ………………..2分 ∴2=5DEAB ． ………………..3分又∵ AB CD =, ………………..4分∴ DE ∶EC =2∶3 ． ………………..5分16．解：（1）由题意，有0,5,938.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.5,4,1c b a ∴此二次函数的解析式为542--=x x y . ………………..2分 ∴9)2(2--=x y ，顶点坐标为(2，-9). ………………..4分（2）先向左平移2个单位，再向上平移9个单位，得到的抛物线的解析式为y = x 2．………………..5分17．（1）………………..3分（2）（i）如图1，点P就是所求作的点；（ii）如图2，CD为AB边上的高.图1 图2 ………………..5分18．解：∵OD⊥AB，∴AC=BC12AB=．………………..1分设AO = x．在Rt△ACO中，222AO AC OC=+．∴2224(2)x x=+-．解得5x=．………………..2分∴AE=10，OC=3．………………..3分连结BE．∵AE是直径，∴∠ABE=90°．由OC是△ABE的中位线可求26BE OC==．………………..4分在Rt△CBE中，222CE BC BE=+．∴CE===．………………..5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）20．解：设金色纸边的宽为x分米．………………..1分根据题意，得（2x＋6）(2x＋8)＝80. ………………..3分解得：x1＝1，x2＝－8（不合题意，舍去）．………………..4分答：金色纸边的宽为1分米．………………..5分21．解：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切．证明：连结OD，DE.∵∠C=90°，∴∠CBD +∠CDB=90°．∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°．∵OD = OA，∴∠A=∠ADO．∴∠ADO + ∠CDB=90°．∴∠ODB = 180°- 90°=90°．∴OD⊥BD．∵OD为半径，∴BD是⊙O切线．………………..2分（2）∵AD : AO=8: 5，∴ADAE=810．∴由勾股定理得AD : DE : AE = 8: 6: 10．∵∠C=90°，∠CBD=∠A.∴△BCD∽△ADE．∴DC : BC : BD= DE : AD : AE=6: 8: 10．∵BC=3，∴BD=15．………………..5分………………..2分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）证明：2()2()y a x m a x m =---22(22)2.ax am a x am am =-+++ ……………………………..1分22=(22)4(2)a am a a am am ≠∆++-当0时， 24.a = …………………………..2分∵0,a ≠∴240.a >∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点．…………..3分 （2）2()2()y a x m a x m =---2=(1).a x m a ---(1,).C m a ∴+-…………………………4分 当y =0时， 解得x 1 = m ，x 2 = m + 2.∴AB =（m + 2）- m = 2. ………………………………..5分 当△ABC 是等腰直角三角形时，可求出AB 边上高等于1． ∴ 1a -=．∴ 1a =±． ……………………………………………..7分24．解：（1）①线段DE 与AC 的位置关系是 平行 ． …………………..1分 ②S 1与S 2的数量关系是 相等 ．证明：如图2，过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．由①可知 △ADC是等边三角形，DE ∥AC ， ∴DN =CF , DN =EM ． ∴CF =EM ．∵90,30ACB B ∠=︒∠=︒， ∴2AB AC =． 又∵AD AC =,∴BD AC =． 图2∵112S CF BD =，212S AC EM =，∴1S =2S ． …………………..3分（2）证明：如图3，作DG ⊥BC 于点G ，AH ⊥CE 交EC 延长线于点H .∵90,180DCE ACB DCG ACE ∠=∠=︒∴∠+∠=︒． 又∵180,ACH ACE ACH DCG ∠+∠=︒∴∠=∠．又∵90,CHA CGD AC CD ∠=∠=︒=,∴△AHC ≌△DGC ．∴AH =DG ．又∵CE =CB , 图3 ∴12S S =． ……………………..7分25．解：（1）由题意可知 44m =，1m =．∴ 二次函数的解析式为24y x =-+．∴ 点A 的坐标为（- 2, 0）． …………………………..2分（2）①∵ 点E （0,1），由题意可知，241x -+=．解得 x =∴ AA ……………………………..3分②如图，连接EE ′．由题设知AA ′=n （0＜n ＜2），则A ′O = 2 - n ． 在Rt △A ′BO 中，由A ′B 2= A ′O 2+ BO 2， 得A ′B 2=(2–n )2+ 42= n 2 - 4n + 20． ∵△A ′E ′O ′是△AEO 沿x 轴向右平移得到的， ∴EE ′∥AA ′，且EE ′=AA ′． ∴∠BEE ′=90°，EE ′=n ． 又BE =OB - OE =3.∴在Rt △BE ′E 中，BE ′2= E ′E 2+ BE 2= n 2+ 9， ∴A ′B 2+ BE ′2= 2n 2- 4n + 29 = 2(n –1)2+ 27．当n = 1时，A ′B 2+ BE ′2可以取得最小值，此时点E ′的坐标是（1，1）．……………………………..5分③如图，过点A 作AB ′⊥x 轴，并使AB ′ = BE = 3． 易证△AB ′A ′≌△EBE ′， ∴B ′A ′ = BE ′，∴A′B + BE′ = A′B + B′A′．当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B + B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴34 AA ABA O OB''=='，∴AA′=36277⨯=，∴EE′=AA′=67，∴点E′的坐标是（67，1）．………………………………………….8分11。
2013-2014学年北京市八年级上学期期末经典题汇编数学试题(含答案)
北京市2013-2014学年第一学期初二年级期末经典题汇编1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AE ＝AD ，∠DAE＝∠BAC ，连接CE ．设∠BAC ＝α，∠DCE ＝β．（1）如图⑴，点D 在线段BC 上移动时，角α与β之间的数量关系是 ；证明你的结论；（2）如图⑵，点D 在线段BC 的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是 ，请说明理由；（3）当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，请在图⑶中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是 ．图⑴图⑵图⑶AD C EBBCAAD C EB2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(0,4)B ，点C 在第四象限，AC ⊥AB ， AC=AB ． （1）求点C 的坐标及∠COA 的度数；（2）若直线BC 与x 轴的交点为M ，点P 在经过点C 与x 轴平行的直线上，直接写出BOM POM S S ∆∆+的值．解：（1）（2）BOM POM S S ∆∆+的值为 ．3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90︒．（1）按要求作图：（保留作图痕迹）①延长BC 到点D ，使CD=BC ； ②延长CA 到点E ，使AE=2CA ；③连接AD ，BE 并猜想线段 AD 与BE 的大小关系； （2）证明（1）中你对线段AD 与BE 大小关系的猜想． 解：（1）AD 与BE 的大小关系是 ． （2）证明：4．（7分）已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，过点C 作BC 的垂线l ，把一个足够大的三角板的直角顶点放到点A 处（三角板和△ABC 在同一平面内），绕着点A 旋转三角板，使三角板的直角边AM 与直线BC 交于点D ，另一条直角边AN 与直线l 交于点E .（1）当三角板旋转到图1位置时，若AC =2，求四边形ADCE 的面积； （2）在三角板旋转的过程中，请探究∠EDC 与∠BAD 的数量关系，并证明.lBAC备用图EDCBA图1lNM5．如图1，在△ABC 中，∠ACB =2∠B ，∠BAC 的平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l ⊥AO 于H ，分别交直线AB 、AC 、BC 、于点N 、E 、M . （1）当直线l 经过点C 时（如图2），求证：BN =CD ；（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明； （3）请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系．DNEMABCHlN(E)ABHl（1）证明：（2）当M 是BC 中点时,CE 和CD 之间的等量关系为_________________________. 证明：（3）请你探究线段BN 、CE 、CD 之间的等量关系, 并直接写出结论.6. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，108A ∠=°，请你在图中，分别用两种不同方法，将△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．的不等边三角形．．．．．．(不等边三角形指除等腰三角形以外)，而另外两个是不全等．．．的等腰三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数，在每个等腰三角形中标出相等两底角度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法，但要保留作图痕迹，若经过图形变换后两个图形重合，则视为同一种方法）．备用图DABCO备用图 D ABCOA A7．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：86222223333+==+=． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称 之为“真分式”．如：11x x -+，21x x -这样的分式就是假分式；再如：31x +，221xx +这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：()12121111x x x x x +--==-+++； 再如：22111(1)1111x x x )x x x x -++-+==---（111x x =++-． 解决下列问题：（1）分式2x是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）假分式12x x -+可化为带分式 的形式；（3）如果分式211x x -+的值为整数，那么x 的整数值为 ．8．在△ABC 中，AB=AC ，点D 是射线CB 上的一动点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD=AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ． （1）如图1，当点D 在线段CB 上，且∠BAC =90°时，那么∠DCE = ▲ 度； （2）设∠BAC =α，∠DCE =β．① 如图2，当点D 在线段CB 上，∠BAC ≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；② 如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，∠BAC ≠90°时，请将图3补充完整， 并直接．．写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．解：（1）∠DCE = 度；（2）结论：α与β之间的数量关系是 ；证明：D CBAED E D A B C C B A图1图2图3（3）结论：α与β之间的数量关系是 ．9．已知：四边形ABED 中，AD ⊥DE 、BE ⊥DE .(1) 如图1，点C 是边DE 的中点，且AB=2AD=2BE ．判断△ABC 的形状： （不必说明理由）；(2) 保持图1中△ABC 固定不变，将直线DE 绕点C 旋转到图2中所在的MN 的位置（垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧）．试探究．．．线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明； (3) 保持图2中△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．⑵中结论是否依然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论，并给予证明．10． 阅读材料1：对于两个正实数,a b ，由于()02≥-ba ，所以()()0222≥+⋅-b b a a ，即02≥+-b ab a ，所以得到ab b a 2≥+，并且当a b =时，2a b ab +=．阅读材料2：若0x >，则22111x x x x x x x+=+=+，因为10,0x x >>，所以由阅读材料1可得，A BCD EABC DEMNM NABCDE 图1图2图32121=⋅≥+xx x x ，即21x x +的最小值是2，只有1x x =时，即1x =时取得最小值．根据以上阅读材料，请回答以下问题：（1）比较大小：21x + 2x （其中1x ≥）； 1x x+2-（其中1x <-） （2）已知代数式2331x x x +++变形为11x n x +++，求常数n 的值；（3）当x = 时，133+++x xx 有最小值，最小值为 . （直接写出答案）11．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图(1)，若AC 平分BAE ∠，ACE ∠=90°, 则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠， EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；12．已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于点D ，∠DCB=∠B ，若AC=10，AB=26，求AD 的长．13. 已知：如图，△AOB 的顶点O 在直线l 上，且AO ＝AB .（1）画出△AOB 关于直线l 成轴对称的图形△COD ，且使点A 的对称点为点C ； （2）在（1）的条件下， AC 与BD 的位置关系是 ；EDC BA图（2）ED CB A图（1）ABCD（3）在（1）、（2）的条件下，联结AD ，如果∠ABD =2∠ADB ，求∠AOC 的度数.14. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如：32=112+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.例如：像11x x +-，22x x -，…这样的分式是假分式；像42x - ，221x x +，…这样的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式. 例如：112122111111x x x x x x x x +-==+=+-----（-）+；22442(2)4422222x x x )x x x x x x -++-+===++----（. （1）将分式12x x -+化为整式与真分式的和的形式； （2）如果分式2211x x --的值为整数，求x 的整数值.BAOl15. 请阅读下列材料：问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，MN是过点A的直线，DB⊥MN于点D，联结CD.求证：BD+ AD =2CD.小明的思考过程如下：要证BD+ AD =2CD，需要将BD，AD转化到同一条直线上，可以在MN上截取AE=BD，并联结EC，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且∠ACE=∠BCD，由此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE =2CD，于是结论得证.小聪的思考过程如下：要证BD+ AD =2CD，需要构造以CD为腰的等腰直角三角形，可以过点C作CE⊥CD交MN于点E，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且AE=BD，由此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE =2CD，于是结论得证.请你参考小明或小聪的思考过程解决下面的问题：(1) 将图1中的直线MN绕点A旋转到图2和图3的两种位置时，其它条件不变，猜想BD，AD，CD之间的数量关系，并选择其中一个图形加以证明；(2) 在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD=30°，BD =2时，CD=__________．MDNBCA图2BCNMDA图3AC BNDM E图116.（本题5分） 如图，在△ABC 中，∠BAC=60°,∠ACB=40°,P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线. 求证：（1）BQ = CQ ； (2) BQ+AQ=AB+BP. 证明: (1)(2)17.（本题7分） 在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 是线段BC 上的一个动点（不与点B 重合）．DE ⊥BE 于E ，∠EBA=21∠ACB ，DE 与AB 相交于点F ． （1）当点D 与点C 重合时（如图1），探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（2）当点D 与点C 不重合时（如图2），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由．PQB C A18.如图,在直角△ABC 中, ∠ACB=90,CD ⊥AB,垂足为D,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G,EF ⊥BE交AB 于点F,若AC=BC,CE=EA.试探究线段EF 与EG 的数量关系，并加以证明.答：EF 与EG 的数量关系是 . 证明:19．在平面直角坐标系xoy 中，等腰三角形ABC 的三个顶点A (0，1)，点B 在x 轴的正半轴上，∠ABO =30°，点C 在y 轴上．（1）直接写出点C 的坐标为 ；（2）点P 关于直线AB 的对称点P ′在x 轴上，AP =1，在图中标出点P 的位置并说明理由； （3）在（2）的条件下，在y 轴上找到一点M ，使PM +BM 的值最小，则这个最小值为．20．解决下面问题：如图，在△ABC 中，∠A 是锐角，点D ，E 分别在AB ， AC 上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠，BE 与CD 相交于 点O ，探究BD 与CE 之间的数量关系，并证明你的结论．小新同学是这样思考的：在平时的学习中，有这样的经验：假如△ABC 是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图a ，BE ，CD 分别是两底角的平分线（或者如图b ，BE ，CD 分别是两条腰的高线，或者如图c ，BE ，CD 分别是两条腰的中线）时，依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角.这个问题也许xy O-3-1-2-3123-1-2-4123GF EDCBA OEDCA B可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决．图a 图b21．已知A (-1，0)，B (0，-3)，点C 与点A 关于坐标原点对称，经过点C 的直线与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E ．（1）若点D ( 0，1)， 过点B 作BF ⊥CD 于F ，求∠DBF 的度数及四边形ABFD 的面积； （2）若点G （G 不与C 重合）是动直线CD 上一点，点D 在点（0，1）的上方，且BG =BA ，试探究∠ABG 与∠ECA 之间的等量关系.DED E CC DEC AA ABB BD ECC ABD EC C AB备用图xOyxOy数学试卷参考答案及评分标准2014．12 1．（1）α＋β＝180°；……………………1分证明：∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴∠DAE －∠DAC ＝∠BAC －∠DAC ， ∴∠CAE ＝∠BAD ． ∵在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ……………………2分 ∴∠ABD ＝∠ACE ，∵∠BAC ＋∠ABD ＋∠ACB ＝180°， ∴∠BAC ＋∠ACE ＋∠ACB ＝180°，∴∠BAC ＋∠BCE ＝180°，即α＋β＝180°． ………………3分（2）α＝β； ………………4分理由如下：∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴∠DAE ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠CAE ． 在△BAD 和△CAE 中，∵AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ……………………5分 ∴∠ABD ＝∠ACE ，∵∠ACD ＝∠ABD ＋∠BAC ＝∠ACE ＋∠DCE ，∴∠BAC ＝∠DCE ，即α＝β． ……………………6分 （3）如图，α＝β． …………7分BECDA4. （7分）（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°.∵BC⊥l，∴∠BCE=90°，12ED CBAlN M∴∠ACE =45°， ∴∠ACE =∠B . ∵∠DAE=90°， ∴∠2+∠CAD =90°. 又∵∠1+∠CAD =90°， ∴∠1=∠2，∴△BAD ≌△CAE （ASA ）.………………….2分 ∵S 四边形ADCE = S △CAE + S △ADC ，∴S 四边形ADCE = S △BAD + S △ADC = S △ABC . 又∵AC =2， ∴AB =2，∴S △ABC =1，∴S 四边形ADCE =1.. ……………………………….3分（2）解：分以下两类讨论：①当点D 在线段BC 上或在线段CB 的延长线上时，∠EDC=∠BAD ，如图1、图2所示.如图1∵△BAD ≌△CAE （ASA ），（已证） ∴AD =AE .又∵∠MAN =90°， ∴∠AED =45°. ∴∠AED =∠ACB .在△AOE 和△DOC 中，∠AO E =∠DO C ， ∴∠EDC =∠2. 又∵∠1=∠2，∴∠EDC =∠1.………………………………………....5分 如图2中同理可证NMl图3ABCD E12O12MN NMOll图2图1EDC BAA BCDE②当点D 在线段BC 的延长线上时，∠EDC +∠BAD=180°，如图3所示.…………..…….6分同理可证△BAD ≌△CAE （ASA ）， ∴AD =AE .∴∠A DE =∠AED =45°. ∵∠EDC=45°+∠A DC ， ∠BAD=180°-45°-∠A DC ，∴∠EDC +∠BAD=180°.. …………………………….7分5. （1）证明：连结ND∵AO 平分BAC ∠,∴12∠=∠ ∵直线l ⊥AO 于H , ∴4590∠=∠=︒∴67∠=∠ ∴AN AC = ∴NH CH =∴AH 是线段NC 的中垂线 ∴DC DN = ∴98∠=∠∴AND ACB ∠=∠∵3AND B ∠=∠+∠,2ACB B ∠=∠, ∴3∠=∠B ∴DN BN =∴BN DC = ……………………………………………………………………2分 （2）当M BC 是中点时,CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE =证明：过点C 作'CN AO ⊥交AB 于'N由（1）可得'BN CD =,',AN AC AN AE == ∴43∠=∠,'NN CE =过点C 作CG ∥AB 交直线l 于点G ∴42∠=∠,1B ∠=∠ ∴23∠=∠∴CG CE = ∵M BC 是中点,∴BM CM =在△BNM 和△CGM 中，1,,,B BM CM NMB GMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩987654321EN M D AB C H l 4321EN'GN MDABCH Ol∴△BNM ≌△CG M ∴BN CG = ∴BN CE =∴''2CD BN NN BN CE ==+= …………………………………………4分 （3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系：当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+； 当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-；当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-………………………………6分 (阅卷说明：三种情况写对一个给1分，全对给2分)67．解：（1） 真 分式；…………………………………………………………………1分 （2）13122x x x -=-++；……………………………………………………3分 （3）x 的可能整数值为 0，－2，2，－4 . …………………………………5分8．解：（1） 90 度.…………………………………………………………1分图3E DCBA图1图2ED ED ABCCBA（2）① 180αβ+=︒．………………………………………………………2分理由：∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC =∠DAE －∠DAC ．即∠B A D =∠C A E ．………………………………………………………3分 又AB =AC ，AD =AE ，∴△A B D ≌△A C E ．…………………………………………………4分 ∴∠B =∠ACE ．∴∠B +∠ACB =∠ACE +∠ACB ．36°36°72°72°72°72°FED A BC 36°36°72°72°72°72°ED A C B∴B ACB DCE β∠+∠=∠=．∵180B ACB α+∠+∠=︒，∴180αβ+=︒．…………………………………………………5分（3）图形正确．………………………………………………………………6分 αβ=．……………………………………………………………………7分9．解(1) 等腰直角三角形 ………………………………………………1分(2) DE =AD +BE ；………………………………………………2分 证明：如图2，在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，∵∠1+∠CAD =90︒，∠1+∠2=90︒，∴∠CAD =∠2又∵AC =CB ，∠ADC =∠CEB =90︒， ∴Rt △ADC ≅Rt △CEB∴DC =BE ，CE =AD ，∴DC +CE =BE +AD ， ………………………………………3分即DE =AD +BE(3) DE =BE -AD …………………………………………………4分 如图3，Rt △ADC 和Rt △CEB 中，∵∠1+∠CAD =90︒，∠1+∠2=90︒，∴∠CAD =∠2，又∵∠ADC =∠CEB =90︒，AC =CB ，∴Rt △ADC ≅Rt △CEB ，∴DC =BE ，CE =AD ，∴DC -CE =BE -AD ， ……………………………………………5分即DE =BE -AD.1 ABCDE图12MN ABCDE 图212ABC DEM N 图31 2<10．（1）比较大小：21x + ≥ 2x （其中1x ≥）； 1x x +____2-（其中1x <-）---------2分 （2）解： 111332+++=+++x n x x x x()()1111121+++=+++++x n x x x x x11112+++=+++x n x x x ∴2=n --------------------------------------------4分 （3）当x = 0 时，133+++x xx 有最小值，最小值为 3 . （直接写出答案）---6分11．（1） AE=AB+DE ； ------------1分 （2）解：猜想：AE =AB+DE +BD 21．------------2分 证明：在AE 上取点F ，使AF =AB ，连结CF ， 在AE 上取点G ，使EG =ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB =CD=BD 21．∵AC 平分BAE ∠，∴∠BAC =∠FAC ．∵AF =AB ，AC =AC ，∴△ABC ≌△AFC .∴CF =CB ，∴∠BCA =∠FCA ．----------------------------4分同理可证：CD =CG ，∴∠DCE =∠GCE ． ∵CB =CD ，∴CG =CF ∵120ACE ∠=︒，∴∠BCA +∠DCE=180°-120°=60°． 图（2） ∴∠FCA +∠GCE=60°．∴∠FCG=60°． ∴△FGC 是等边三角形．-------------------------5分 ∴FG =FC=BD 21． ∵AE =AF+EG+FG ．∴AE =AB+DE +BD 21．-----------------------6分（3）2410+． ----------------7分EDCBA图（3）EDC BA图（1）G FEDCBA12．解：如图，延长CD 交AB 于点E . ……………… 1分∵ AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于点D ， ∴ ∠EAD = ∠CAD ，∠ADE=∠ADC =90°. ∴ ∠AED=∠ACD . ……………… 2分 ∴ AE=AC . ∵ AC=10，AB=26，∴ AE=10，BE=16. ……………… 3分 ∵ ∠DCB=∠B ， ∴ EB= EC=16. ∵ AE= AC ，CD ⊥AD ，∴ ED= CD=8. ……………………………………………… 4分 在Rt △ADC 中，∠ADC =90°，∴22AD AC CD =-=22108-=6． ……………………………………… 5分13．（1）如图1．……1分 （2）平行． ……2分 （3）解：如图2，由（1）可知，△AOB 与△COD 关于直线l 对称， ∴△AOB ≌△COD ．……3分∴AO =CO ，AB = CD ，OB = OD ，∠ABO ＝∠CDO ． 图1 图2 ∴∠OBD ＝∠ODB ． ……4分∴∠ABO+∠OBD ＝∠CDO+∠ODB ，即∠ABD ＝∠CDB ． ∵∠ABD =2∠ADB ，∴∠CDB =2∠ADB ．∴∠CDA =∠ADB ．……5分由（2）可知，AC ∥BD ，∴∠CAD ＝∠ADB ．∴∠CAD =∠CDA ，∴CA = CD ．……6分 ∵AO = AB ，∴AO = OC = AC ，即△AOC 为等边三角形． ∴∠AOC = 60°． ……7分 14．解：（1）12x x -+()232x x +-=+ ……1分DCBAElODCBAABCDOl2232x x x +=+-+ ……2分312x+=-. ……3分（2）2211x x --22211x x -+=- ()()21111x x x +-+=-()1211x x =++-. ……5分 ∵分式的值为整数，且x 为整数， ∴11x -=±，∴x =2或0．……7分15．解：（1）如图2，BD －AD =2CD . ……1分如图3，AD －BD =2CD . ……2分证明图2：（ 法一）在直线MN 上截取AE =BD ，联结CE ．设AC 与BD 相交于点F ，∵BD ⊥MN ，∴∠ADB =90°，∴∠CAE+∠AFD =90°．∵∠ACB =90°，∴∠1+∠BFC =90°． ∵∠AFD =∠BFC ，∴∠CAE =∠1．∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）． ……3分 ∴CE =CD ，∠ACE =∠BCD ．∴∠ACE －∠ACD =∠BCD －∠ACD ，即∠2=∠ACB =90°．在Rt △CDE 中，∵222CD CE DE +=，∴222CD DE = ，即DE =2CD ．……4分 ∵DE = AE －AD = BD －AD ，∴BD －AD =2CD ． ……5分 （ 法二）过点C 作CE ⊥CD 交MN 于点E ，则∠2=90°． ∵∠ACB =90°，∴∠2+∠ACD =∠ACB+∠ACD ， 即∠ACE =∠BCD ．设AC 与BD 相交于点F ，∵DB ⊥MN ，∴∠ADB =90°．F12图2A C BND ME FM DA∴∠CAE+∠AFD =90°，∠1+∠BFC =90°． ∵∠AFD =∠BFC ，∴∠CAE =∠1．∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （ASA ）． ……3分 ∴CE =CD ，AE =BD ．在Rt △CDE 中，∵222CD CE DE +=，∴222CD DE = ，即DE =2CD ．……4分 ∵DE = AE －AD = BD －AD ，∴BD －AD =2CD ． ……5分 证明图3：（ 法一）在直线MN 上截取AE =BD ，联结CE ． 设AD 与BC 相交于点F ，∵∠ACB =90°，∴∠2+∠AFC =90°． ∵BD ⊥MN ，∴∠ADB =90°，∠3+∠BFD =90°． ∵∠AFC =∠BFD ，∴∠2=∠3．∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）． ……3分 ∴CE =CD ，∠1=∠4．∴∠1+∠BCE =∠4+∠BCE ，即∠ECD =∠ACB =90°．在Rt △CDE 中，∵222CD CE DE +=，∴222CD DE = ，即DE =2CD ．……4分 ∵DE = AD －AE = AD －BD ，∴AD －BD =2CD ． ……5分 （ 法二）过点C 作CE ⊥CD 交MN 于点E ，则∠DCE =90°． ∵∠ACB =90°，∴∠ACB －∠ECB = ∠DCE －∠ECB ，即∠1=∠4． 设AD 与BC 相交于点F ，∵DB ⊥MN ，∴∠ADB =90°． ∴∠2+∠AFC =90°，∠3+∠BFD =90°． ∵∠AFC =∠BFD ，∴∠2=∠3．∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （ASA ）． ……3分 ∴CE =CD ，AE =BD ．在Rt △CDE 中，∵222CD CE DE +=， ∴222CD DE = ，即DE =2CD ．……4分∵DE = AD －AE = AD －BD ，∴AD －BD =2CD ． ……5分 （2）31± ． ……7分4F 321 图3A DM N CBE E BCN M DA 图3123F 416. 证明：延长AB 至M, 使得BM = BP ，联结MP 。
北京市东城区初二上学期期末数学试卷(含答案)
EDCBA东城区２015－－201６学年第一学期期末统一检测 初二数学 ２0１６.1一、选择题（本题共３0分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中,是轴对称图形的是（ )ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩＡ ＢCD2． 下列计算正确的是( ）A ．32x x x =+ B.632x x x =⋅ C.623)(x x = D ．339x x x =÷ 3.下列式子为最简二次根式的是( )Ａ、3 Ｂ、4 Ｃ、8 D 、214.如果2-x 有意义，那么x 的取值范围是( ）A ．x ＞2 Ｂ.x ≥2 C.x ≤2ﻩﻩ Ｄ.x <２５.如图在△A ＢＣ中，∠ＡCB =９0°，BE 平分∠ＡBC ,ＤE ⊥AB 于Ｄ,如果AC =3 cｍ,那么ＡE ＋DE 等于( ） A .２ ｃｍ B .3 cmＣ．4 c ｍＤ.5 c ｍ６.如图,所示的图形面积由以下哪个公式表示 2222222222.()().()=2.()2.()()A a b a a b b a bB a b a ab bC a b a ab bD a b a b a b -=-+---++=++-=-+７.若分式211x x --的值为0，则x 的值为( )A ． 1.x =B ． 1.x =-C ． 1.x =± D. 1.x ≠ 8.若11,x x -=则221x x+的值是 ( ） A.３ B ．2 C.１ Ｄ.49.如图,△ABC中，AＢ＝AC,D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,连接OC,ＯＢ，则图中全等的三角形有A.1对Ｂ.２对Ｃ.3对D.4对10.如图，正方形ABCＤ的面积为１2,△AＢＥ是等边三角形,点E在正方形ＡBCD 内,在对角线AC上有一点P，使PＤ+ＰＥ最小，则这个最小值为( ）ﻩ2 C. 2 D.ﻩA. Ｂ.ﻩ二、填空题(本题共14分，每空2分)11．中国女药学家屠呦呦获2０15年诺贝尔医学奖,她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素, 这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项.已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学技术法表示为．12. 如图，AＢ=ＡＣ，点E,点D分别在AＣ,AB上，要使△AＢＥ≌△ACD,应添加的条件是.(添加一个条件即可)1３.若22(3)16+-+是一个完全平方式,那么m应为 .x m x１4.如图，Rt△ABC的斜边AB的中垂线MＮ与ＡC交于点M,∠A=１50,BM=2,则△AMB的面积为.15．在平面直角坐标系x Ｏy 中,已知点Ａ（２,3),在坐标轴上找一点P,使得△ＡOP 是等腰三角形,则这样的点P 共有 个． １6. 观察下列关于自然数的等式:514322=⨯- ① 924522=⨯- ② 1334722=⨯- ③根据上述规律解决下列问题：⑴完成第四个等式： ； ⑵写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示） ； 三、解答题（本题共56分)解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程。
2014年北京市东城区初二数学参考答案
∴四边形 BNDM 是平行四边形 . ……………………… 6 分
EA
D
M N
B
C
F
25．（本小题满分 6 分）
解： 解：（ 1）依题意，
2
≥0即 -2 k 1
4k 2≥0 ，解得
1 k≤ 2 .
………………
1分
(2) 根据阅读材料， x1+x2=2 k 1 ， x1x2 k2. ……………………… 2 分
……………… 6 分
20. 本小题满分 5 分）
解：（ 1）∵菱形 ABCD ,
∴ AC BD, 且 AC, BD 互相平分 . ……………… 1 分
∴ OD =12 . 在 Rt△ AOD 中， AD 13, OD 12 ,
根据勾股定理，
∴AO AD 2 OD2 5 .
……………… 2 分
1
S ∴ 菱形 ABCD
解： (1) 连接 BD .
……………… 5 分
∵ AB=A D 2 , A 60 ,
∴ △ ABD 是等边三角形 .
∴ BD 2 , ADB 60 . ……………………… 2 分
在 △ BDC 中 , BD 2 , DC 4 , BC 2 5 ,
∴ BD 2 DC 2 BC 2 .
∴ △ BDC 是直角三角形 .
2
= 4m 1 4m(3m 3)
2
2m 1 ≥0 ，……………… 1 分
2
∴ = 2m 1 ≥0 .
∴方程总有两个实根 .
……………… 2 分
2
4m 1 2m 1 （2） x
2m
∴ x1 3, x2 1 1 . m
1 ∵ m, 均为整数 ，
2013-2014第一学期期末考试成绩—总
思品
86 41 88 80 70 96 73 84 81 65 86 76 41 78 70 74 69 51 57 85 76 84 66 78 68 48
51
68 54 68 50 46 58 71 60 86 64 59 66 49
历史 82 64 70 61 58 91 86 82 83 38 82 75 45 66 51 74 58 54 35 82 62 65 75 86 47 31
51 59 75 57 65 48 55 61 61 66 69 71 71 50 66 59 59 68 71 72 52 66 66 73 54 72 57 53 60 61 69 63 63 55 67 58 54 63 54 57 60 55 65 54 52 53 61 20 65 53 24 43 51 78 27 35% 0
帕如克.艾尼瓦尔 凯赛尔.吾买尔 阿迪拉.阿不力克木 佧米然.卡米力 努尔比亚.阿不拉 吉比然.买买提 依斯坎代尔.怕哈尔丁 木拉丁.阿不力孜 依力米热.海米提 依孜哈儿 总人数 及格人数 及格率 优秀人数 优秀率 总分 平均分
41 53 58 31 61 61 54 48 49 46
51 39 76 16 75 25 18 71 13 36
数学
29 13 21 15 26 27 33 6 17 39 22 57 43 15 6 13 32 62 70 74 0 45 27 38 10 29 34 20 30 21 45 15 3 44 36 5 9 17 9 23 11 32 21 26 18 19 21 20 15 31 17 23 23 53 3 6% 0
3123 58.92 2025 38.21 3867 72.96 2370 44.72 3488 65.81 3499 66.02 2596 48.98
13.2013-2014第1学期初2数学期末考试题答案-东城
北京市东城区2013—2014学年度第一学期期末教学目标检测初二数学参考答案一．选择题（8题，每题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBDCAAAC二．填空题（6题，每题3分，共18分）9. 21≠≥x x 且; 10．4 ； 11. 2 ； 12. 2()y x y - ;13. 3 , 7 , 14 . .三。
解答题（5题，每题5分，共25分） 15. 1125(515)123+-+ = +5+………………………………………………………4分=+5 ……………………………………………5分16. 先化简，再求值：222()()2y x y x y x y ++---，其中13x =-，3y =． 原式= ……………………………………………………2分=- ……………………………………………………3分把13x =-，3y =代入原式=1 ……………………………………………………5分 17. 解方程：21.133x x x x =-++ 解：方程两边同乘以3(x+1)得3x=3x+3-2x …………………………………………………3分解得x=…………………………………………………4分检验：把x=代入3(x+1)≠0∴x=是原方程的解。
(1)………………………………………5分18．证明：∵AD 为BC 中线，BC=16cm,∴BD=8cm ……………………………………………1分 在△ABD 中 ∵AB=17， =289 AD=15, =225 BD=8, =64∴=……………………………………………3分△ABD 为直角三角形，∠ADB=90 ……………………………………………4分 即AD 为BC 边上的高，∴△ABC 为等腰三角形。
……………………………………………5分2(2)21=13(2)(2)(2)111415x x x x x x xx x -+⋅-++--=-+=19.解：原式分分分所以原式的值是常数1，x 可以取±2以外的任意值。
2013-2014东城区(南片)八年级第一学期期末试题
北京市东城区（南片）2013-2014学年上学期八年级期末考试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项）1. 下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是2. 下列运算正确的是 A. 734)(a a =B. 236a a a =÷C. 3336)2(b a ab =D. 1055a a a -=⋅-3. 从长度分别为5cm ，10cm ，15cm ，20cm 的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点5. 25)4(31222÷-⨯的运算结果是A. 215B.1023 C.523 D. 1023-6. 若等腰三角形的两边长分别是4和10，则它的周长是 A. 18B. 24C. 18或24D. 147. 如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为 A. 6B. 7C. 8D. 98. 若分式0392=+-x x ，则x 的值是 A. 3±B. 3C. -3D. 09. 如图1，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m 上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如下四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是10. 如图，是一组按照某种规则摆放成的图案，则按此规则摆成的第5个图案中三角形的个数是A. 8B. 9C. 16D. 17二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 11. 分解因式：=+-x xy xy 442____________。
12. 若1+x 有意义，则x 的取值范围是___________。
13. 在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB=8cm ，︒=∠30A ，D 为斜边AB 的中点，连接CD ，则CD 的长度为__________。
初中数学北京市东城区(南片)第一学期八年级年级期末考试数学考试卷及答案
xx 学校xx学年xx学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:下列实数，，，，中无理数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个试题2:函数中自变量的取值范围是A. B.C. D. 且试题3:点A（－5，）和B（－2，）都在直线上，则与的关系是A. B. C. D.试题4:与直线平行的直线是A. B. C. D.试题5:估计的运算结果应在A. 6到7之间B. 5到6之间C. 4到5之间D. 3到4之间试题6:已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是A. B. 1 C. D.试题7:到三角形三个顶点的距离相等的点是A. 三条角平分线的交点B. 三边中线的交点C. 三边上高所在直线的交点D. 三边的垂直平分线的交点试题8:一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠，折叠后再按图所示沿MN裁剪，则可得A. 多个等腰直角三角形B. 一个等腰直角三角形和一个正方形C. 四个相同的正方形D. 两个相同的正方形试题9:在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证A. B.C. D.试题10:下列两个三角形中，一定全等的是A. 两个等边三角形B. 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形C. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形试题11:4的算术平方根是__________。
试题12:若，则__________。
试题13:如图，方格纸中有四个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3等于__________°。
试题14:若把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的解析式是__________。
北京市东城区(南片)2013年八年级下期末数学试卷及答案
北京市东城区（南片）2012－2013学年下学期八年级期末考试数学试卷一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个点中，在反比例函数y=－x2上的点是 A. （1，1）B. （－1，2）C. （－1，－2）D. （1，2）2. 已知一组数据3，a ，4，6的众数为3，则这组数据的平均数为A. 3B. 4C. 5D. 63. 下面计算正确的是A. 21-=－2B.4= ±2C. （mn 3）2=mn 2D. m 6÷m 6=14. 下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是A. 一组对边相等B. 一组对角相等C. 两条对角线相等D. 两条对角线互相平分5. 在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和－1，则点C 所对应的实数是A. 23+1B. 23－1C. 2+3D. 1+36. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.21，乙的成绩的方差为3.98，由此可知A. 甲比乙的成绩稳定B. 乙比甲的成绩稳定C. 甲、乙两人的成绩一样稳定D. 无法确定谁的成绩更稳定7. 下列函数中，当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数是A. y=4xB. y=3x －2C. y=－x2D. y=x2 8. 在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成三角形，又能拼成平行四边形和梯形的可能是9. 关于x 的方程1+x a=1的解是负数，则a 的取值范围是 A. a<1B. a≤1C. a<1且a ≠0D. a≤1且a ≠010. 如图，在△AOB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y=xk（k>0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△AOB 面积为6，则k 的值为A. 2B. 4C. 4D. 16二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分） 11. 使二次根式3-x 有意义的x 的取值范围是______。
初二第一学期东城南数学期末考试题及参考答案
东城区南片2010—2011学年度初二第一学期期末统练数学试卷一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 1．9的平方根．．．是（ ） A ．3- B ．3 C ．3± D ．81 2．下列计算中，正确的是（ ）A ．3412a a a =B ．235()a a = C ．623a a a ÷= D ．333()ab a b -=-3．下列图案是轴对称图形的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列分解因式正确的是（ ）A ．x 3–x =x (x 2-1) B ．m 2+m -6=(m +3)(m -2) C ．a 2-16=(a -4)2D ．x 2+y 2=(x +y )(x -y ) 5．判断下列的哪个点是在函数12-=x y 的图象上 （ ） A ．（-2.5，-4） B ．（1，3） C ．（2.5，4） D ．（2，1）6．如果函数()0,0y ax b a b =+<<和()0y kx k =>的图象交于点P ，那么点P 应该位于（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 7．如图，DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC =8cm ， AB =10cm ，则△EBC 的周长为（ ）A ．16cmB ．28cmC ．26cmD ．18cm8．如图，E 、B 、F 、C 四点在一条直线上，,,D A CF EB ∠=∠=再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEG 的是（ ） A ．AB =DEB ．DF ∥AC C ．∠E =∠ABCD ．AB ∥DEEDAB C第7题ABFECDCDE BA9．一次函数y kx b =+的图像如图所示，当1x <时，y 的取值范围是 ( )A ．20 y -<<B ．40 y -<< C ． 2 y <- D ． 4y <- 10．如图1，长方形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（共8道小题，每小题3分，共24分）11．已知点P 1（a ，3）和P 2（1，b －1）关于x 轴对称，则（a ＋b ）2011的值为 . 12．如果一次函数b x y --=2的图象经过点A （1，-1），那么=b ____，该函数图象与x 轴的交点坐标是_____，与y 轴的交点坐标是______.13．已知一次函数的图象经过（0，2），且函数y 的值随自变量x 的增大而减小，请写出一个符合上述条件的一次函数的解析式是 .14．如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD =CA ，连结BC 并延长到E ，使CE =CB ，连接DE ，那么量出DE 的长就等于AB 的长，可根据 定理判定△ABC ≌△DEC .15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是∠ABC 的角平分线，若∠ABD =32°，则∠A ＝ °.16．如图，已知函数2y x b =+和3y ax =-的图像交于点(2P --，根据图像可得方程32-=+ax b x 的解是 ．17．用“＊”表示一种新运算：对于任意正实数b a 、，都有3411*-=，那么_______19615=*，当_______)16(=**m m ．18．已知,3,5==+xy y x 则22y x += .三、解答题（共3道小题，共13分，19题3分，20题4分，21题6分）19．化简：2(2)(1)(1)x x x x +--+．20．先化简，再求值：2432(21)(2)(2)(4)x x x x x x -++---÷，其中12x =-．21．分解因式：（1）32a ab -； （2）22(2)y y x x y -+．四、作图题（共4分）22．如图，有两个74⨯的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个网格中各画有一个梯形．请在图1、图2中分别画出一条线段，同时．．满足以下要求： （1）线段的一个端点为梯形的顶点，另一个端点在梯形一边的格点上； （2）将梯形分成两个图形，其中一个是轴对称图形； （3）图1、图2中分成的轴对称图形不全等．图1 图2五、证明题（本题共4分）23．在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC =90°，O 为BC 的中点.(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系(不要求证明)；(2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论.六、解答题（共5道小题，共25分,第24、25题每题4分，26、27题每题5分，28题7分）24．已知平面直角坐标系中有A (-2，1)，B （2，3）两点.（1）在x 轴上找一点C ，使CA +CB 最小，并求出点C 的坐标；（2）在x 轴上找一点D ，使等△ABD 为等腰三角形，并通过画图说明使△ABD 为等腰三角形的点D 有多少个.A B COM N25．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题: 已知二次三项式m x x +-42有一个因式是)3(+x ，求另一个因式以及m 的值. 解：设另一个因式为)(n x +，得=+-m x x 42)3(+x )(n x + .则n x n x m x x 3)3(422+++=+- .∴ 34,3.n m n +=-⎧⎨=⎩解得：21,7-=-=m n .∴ 另一个因式为)7(-x ，m 的值为－21 .问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式k x x -+322有一个因式是)52(-x ，求另一个因式以及k 的值.26．已知函数121+=x y 和12--=x y .（1）请在同一坐标系中画出这两个函数的图象； （2）求出这两个函数图像的交点坐标； （3）观察图象，回答当x 取何值时12y y >.，两地分别有同型号的机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14 27.康乐公司在A B（1）如果从地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）与x（台）之间的函数关系式；（2）请你为康乐公司设计一种最佳调运方案，使总费用最少，并说明理由.28．（1）如图1，OA ＝2， P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，P A 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP －DE 的值．（2）如图2，已知点F 坐标为（－2，－2），当G 在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt △FGH ，始终保持∠GFH ＝90°，FG 与y 轴负半轴交于点G （0，m ），FH 与x 轴正半轴交于点H （n ，0），当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m —n 为定值；②m ＋n 为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．2010-2011年度东城区南片初二第一学期期末统考数学试题参考答案及评分标准（共3道小题，共13分，19题3分，20题4分，21题6分）19．解：原式=2224(1)x x x +-- ………1分 =22241x x x +-+ ………2分 =241x x ++．………3分20．解：2432(21)(2)(2)(4)x x x x x x -++---÷＝22244144x x x x x -++--+ ……2分 =243x - ． ……3分 ∵ 12x =-∴ 原式＝214()32⨯--=-2 ． ……4分21．解：（1）原式= 22()a a b - ………1分＝ ()()a a b a b +- ． ………3分（2）原式=22(2)y y xy x -+ ………1分＝2()y x y -． ………3分四、作图题（共4分）22．解：提供以下方案供参考．（正确画出其中一个给2分）五、证明题（本题共4分）23． 解：△OMN 是等腰直角三角形. ………1分证明：连结AO .∵ AB ＝AC ，∠BAC =90°，O 为BC 的中点，∴ 45CAO B ∠=∠=︒，AO BO CO ==，90AOB ∠=︒.………2分在△ANO 和△BMO 中,,,AN BM NAO MBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ANO ≌△BMO . ………3分 ∴ ON OM =,AON BOM ∠=∠.∴ AON AOM BOM AOM ∠+∠=∠+∠=90°. 即 90NOM ∠=︒. ………4分 ∴ △OMN 是等腰直角三角形.六、解答题（共5道小题，共25分,第24、25题每题4分，26、27题每题5分，28题7分）24．解：（1）∵ 点A (-2，1)，B （2，3），∴ 点A 关于x 轴对称的点'A 的坐标为（-2，-1）. ………………1分设直线'A B 的解析式为y kx b =+.∴ 12,32.k b k b -=-+⎧⎨=+⎩解得 1,1.k b =⎧⎨=⎩∴ 直线'A B 的解析式为1y x =+. ………………2分 ∴ 点C 的坐标为（-1,0）. ………………3分（2）使△ABD 为等腰三角形的点D 有5个.（图略） ………………4分 25．解：设另一个因式为（x ＋a ），得2x 2＋3x －k ＝（2x －5）（x ＋a ）. ………………1分∴ 2x 2＋3x －k ＝2x 2＋（2a －5）x －5a . ………………2分 ∴ ⎩⎨⎧-=-=-k a a 5352解得：a ＝4， k ＝20 . ………………3分 ∴另一个因式为（x ＋4），k 的值为20 . ………………4分26．解：（1）图略. …………2分（2）由题意得21,1.y x y x =+⎧⎨=--⎩解得 2,31.3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 交点坐标为)31,32(-- . ………………4分（3）观察图象，当32-<x 时12y y >. ………………5分27.解：（1）600500(17)400(18)800(3)50013300y x x x x x =+-+-+-=+. …2分（2）由（1）知：总运费50013300y x =+．017018030.x x x x ⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≥，≥，≥，≥317x ∴≤≤，又0k >， ……………3分∴随x 的增大，y 也增大，∴当3x =时， 50031330014800y =⨯+=最小（元）． ……………4分该公司完成以上调运方案至少需要14800元运费，最佳方案是：由地调3台至甲地，14台至乙地，由地调15台至甲地． ……………5分28．解：（1）过D 作DQ ⊥OP 于Q 点.则OP －DE ＝PQ ，∠APO ＋∠QPD ＝90°，∠APO ＋∠OAP ＝90°. 则∠QPD ＝∠OAP . ……1分 在△AOP 和△PDQ 中90,,,AOP PQD QPD OAP AP PD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩则△AOP ≌△PDQ . ……2分 ∴ PQ ＝OA ＝2 . ……3分 （2）结论②是正确的，m ＋n ＝－4. ……4分过点F 分别作FS ⊥x 轴于S 点，FT ⊥y 轴于T 点. 则FS ＝FT ＝2，∠FHS =∠HFT =∠FGT. ……5分 在△FSH 和△FTG 中90,,,FSH FTG FHS FGT FS FT ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩则△FSH ≌△FTG .则GT ＝HS . ……6分又∵ GT ＝－2－m ，HS ＝n －（－2），∴ －2－m ＝ n －（－2）.∴ m ＋n ＝－4. ……7分说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.。
北京市东城区八年级数学上学期期末考试考题
北京市东城区2014-2015学年八年级数学上学期期末考试考题一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分.） 1. 使分式12-x x有意义的x 的取值范围是 A.1≠x B. 1=xC. 1≤xD. 1≥x2. 下列计算正确的是A.123=-a aB. 752a a a =+C. 752a a a =⋅ D. 33)(ab ab = 3. 下列各式①3x ，②5x y +，③2x π-，④12a-中，是分式的有 A. ①④B. ①③④C. ①③D. ①②③④4.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 八边形5.若n mx x x x -+=-+2)3)(4(，则 A. 1-=m ，12=n B. 1-=m ，12-=n C. 1=m ， 12-=nD. 1=m ， 12=n6.化简2293mmm --的结果是 A.3+m mB.3+-m mC.3-m m D.mm-3 7.下列各式从左到右的变形正确的是 A.11++=x y x y B.axay x y = C. xa ya x y 22=D. xa y a x y )1()1(22++=8. 在:①()110=-，②()111-=-，③22313aa =-， ④()()235x x x -=-÷-中，其中正确的式子有A.1个B.2个C.3个D. 4个9. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且BC=BD ，AD =DE =EB ，∠A 度数是A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°10. 如图，把一把直尺放置在一个三角形纸片上.则下列不等关系正确的是A. ∠1+∠6＞180°B. ∠2+∠5＜180°C. ∠3+∠4＜180°D. ∠3+∠7＞180°二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分.） 11. 若1-=+b a ，3=-b a ，则=-22b a . 12. 分解因式：=+-22ax ax a . 13. 若分式241x x -+的值为零，则x 的值为 . 14. 如图，AB ∥CD ，点E 在CB 的延长线上. 若∠ABE ＝70°，则∠ECD= 度.15. 计算=++-÷-)1112(122x x x .16. 分式221x 、)(415n m x --、x3的最简公分母是 . 17. 观察下列各等式：1111212=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，…，根据你发现的规律计算：2222122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+＝__________（n 为正整数）. 18. 在平面直角坐标系xOy 中，A （2，1）、B （4，1）、C （1，3）. 若△ABD 与△ABC 全等，则点D 坐标为 .三、计算题（本题共4道小题，每小题4分，共16分.）19. 化简下列分式（1）232312a b ab =- （2）22211m m m -+=-20. 计算下列各式（1） xy 3-÷223y x（2） 2234xy z ·（-28z y）21. 已知2220--=x x ，求（2414x +-）⋅(2)-x 的值22. 解分式方程：13932=-+-x xx .四、解答题（本题共30分，第23～25题每题5分，第26题7分，第27题8分.）23. 如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上，边AC 交边BE 于点F ，若AC =BD ，AB =ED ，BC =BE . 求证：（1） DBE ACB ∠=∠； （2）AFB ACB ∠=∠21.24. 某工厂加工1000个机器零件以后，改进操作技术，工作效率提高到原来的2.5倍. 现在加工1000个机器零件，可提前15天完成. 求改进操作技术后每天加工多少个零件？25. 在锐角△ABC 中，直线l 为BC 的中垂线，直线m 为ABC ∠的角平分线，且l 与m 相交于点P .若︒=∠60A ，︒=∠24ACP ，求ABP ∠的度数.26. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 与△DEF 全等，其中A 、B 、C 的对应顶点分别为D 、E 、F ，且AB =BC . 若A 点的坐标为（3-，1），B 、C 两点的纵坐标均为3-，D 、E 两点在y 轴上.（1）求证：等腰△BCA 两腰上的高相等； （2）求△BCA 两腰上高线的长； （3）求△DEF 的高线FP 的长.27. 在等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC. （1）若点E 是AB 的中点，如图1，求证：AE=DB.（2）若点E 不是AB 的中点时，如图2，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并写出证明过程.参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分.）三、计算题（本题共4小题，每小题4分，共16分.） 19. 化简下列分式（1）232312a b ab =-4ab-.……………………………………………………2分 （2）22211m m m -+=-)1)(1()1(2m m m -+-…………………………………………1分 ==-+-)1)(1()1(2m m m mm +-11.……………………………………………………2分 20. 计算下列各式（1）xy 3-÷223y x =-292x y .……………………………………………………2分（2）2234xy z ·（-28z y）=xy 6-.……………………………………………………2分21. 已知0222=--x x ，求（2414x +-）⋅(2)-x 的值 解：（2414x +-）⋅)2(-x =244(2)(2)x x x -++-⋅)2(-x ……………………………1分 =22+x x ………………………………………………………………………2分 ∵0222=--x x ，∴222+=x x .…………………………………………………3分 ∴原式=21. ……………………………………………………………………4分 22. 解分式方程：13932=-+-x xx . 解：9)3(32-=++x x x .……………………………………………………………2分93322-=++x x x .4-=x ……………………………………………………………………3分经检验，4-=x 是原分式方程的解.……………………………………4分四、解答题（本题共30分，第23～25题每题5分，第26题7分，第27题8分） 23. 证明：（1）在△ABC 和△BDE 中⎪⎩⎪⎨⎧===.,,BE BC ED AB BD AC ∴△ABC ≌△BDE .（SSS ）……………………………………………………………2分 ∴.DBE ACB ∠=∠…………………………………………………………3分（2） AFB ∠是△BFC 的外角，∴AFB DBE ACB ∠=∠+∠.……………………………………………4分又 .DBE ACB ∠=∠∴AFB ACB ∠=∠21.……………………………………………………5分24. 解：设改进前每天加工x 个零件，则改进后每天加工x 5.2个零件.………………1分 根据题意，得155.210001000+=xx .………………………………………………3分 解得：40=x .经检验，x =40是原方程的解且符合题意. ∴x 5.2=100.答：改进后每天加工100个零件. ………………………………5分25. 解： 直线m 为ABC ∠的角平分线，∴CBP ABP ∠=∠.………………1分直线l 为BC 的中垂线，∴PC PB =.………………2分 ∴BCP CBP ∠=∠.∴BCP CBP ABP ∠=∠=∠.…………………………3分在锐角△ABC 中，︒=∠+∠+∠1803ACP A ABP ， 又已知︒=∠60A ，︒=∠24ACP ，∴︒=∠32ABP .…………………………………………………………………5分26. 解：（1）在△ABC 中，分别作高线AH 、CK ，则∠AKC =∠CHA =90°.∵AB=BC ，∴∠BAC =∠BCA . ………………………1分 在△AKC 和△CHA 中， ∵∠AKC =∠CHA ， ∠BAC =∠BCA ，AC=CA ，∴△AKC ≌△CHA （AAS ）……………………………2分 ∴CK=AH . ……………………………………………………3分 （2）∵A 点的坐标为（3-，1），B 、C 两点的纵坐标均为3-， ∴AH =4. ………………………………………………4分 又∵CK=AH ，∴CK=AH =4. ………………………………………………5分（3）∵△ABC ≌△DEF ，∴∠BAC =∠EDF ，AC=DF . 在△AKC 和△DPF 中， ∠AKC =∠DPF ︒=90， ∠BAC =∠EDF ，AC=DF ，∴△AKC ≌△DPF （AAS ）.∴PF=KC =4.………………………………………………………………7分27. 解：（1）在等边△ABC 中，点E 是AB 的中点，∴CE 平分∠ACB..……………1分∵︒=∠60ACB ，且ED=EC . ∴︒=∠=∠30ECB D .∵BED D ABC ∠+∠=∠，︒=∠30D ，∴︒=∠30BED ，∴BD=BE .………………………2分 又∵点E 是AB 的中点，∴AE=DB.…………………3分 （2）过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F .…………………4分∴∠AEF=∠ABC ，∠AFE =∠ACB.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =∠A =60°，A B=AC=BC ， ∴∠A EF=∠ABC =60°，∠AFE =∠ACB =60°，即∠AEF =∠AFE =∠A=60°，∴△AEF 是等边三角形.……5分 ∴∠DBE =∠EFC =120°，∠D +∠BED =∠FCE +∠ECD =60°， ∵DE =EC ，∴∠D =∠ECD ，∴∠BED =∠ECF .……………………6分 在△DEB 和△ECF 中，∠DEB =∠ECF ，∠DBE =∠EFC ，DE =EC ，∴△DEB ≌△ECF .…………………………………………………………7分∴BD=EF=AE，即AE=BD.……………………………………… …………8分。
北京市东城区(南片)2013年八年级下期末数学试卷及答案
为顶点的四边形是等腰梯形，点 B 的坐标是______； （3）△ABD 的面积为 4，求点 B 的坐标。
【试题答案】
12
两条曲线于 A、B 两点，若 S AOB =2，则 k 2 －k 1 的值为______。
18.
如图，边长为 1 的等边△ABC，取 BC 边中点 E，作 ED∥AB，EF∥AC，得到四边形
EDAF，它的面积记作 S1 ；取 BE 中点 E1 ，作 E1 D1 ∥FB，E 1F 1∥EF，得到四边形 E D1 F1 F ，1 它
1分
x 11 x 1
= (2x 1)2 · x
2分
=
x
x
1
.
3分
由于（x－2）（x－1）=0.因为（x－1） 0，所以 x=2.
所以当
x=2
时，
(
x x
1 1
x
2
1 2x
1)
÷
x
x 1
=2
5分
22.
x2
5 3x － x
1
x
=0.
2
北京市东城区（南片）2012－2013 学年下学期八年级期末考试 数学试卷
一、选择题（本题共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）
1.
下列四个点中，在反比例函数
y=－
2 x
上的点是
A. （1，1） B. （－1，2）
C. （－1，－2）
D. （1，2）
2. 已知一组数据 3，a，4，6 的众数为 3，则这组数据的平均数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2013-2014学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷
2013-2014 学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（3 分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0 时，原方程应变形为（）A．（x﹣2）2＝11 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣4）2＝23 D．（x+4）2＝23 2．（3 分）如图各曲线中，不表示y 是x 的函数的是（）A． B．C． D．3．（3 分）对于函数，当自变量x＝2.5 时，对应的函数值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．44．（3分）在社会实践活动中，某小组对甲、乙、丙、丁四个地区三到六月的黄瓜价格进行调查．四个地区四个月黄瓜价格的平均数均为 3.60 元，方差分别为，，，．三到六月份黄瓜的价格最稳定的地区是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（3分）关于x 的方程x2﹣3x+c＝0 有实数根，则整数c 的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．06．（3分）如图，在矩形ABCD 中，有以下结论：①△AOB 是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD 会变成正方形．正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣5 的图象经过二、三、四象限，则实数m 的取值范围是（）A．1＜m＜5 B．m＞5 C．m＜1 或m＞5 D．m＜18．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，且BD 平分∠ABC，BD＝3，BC ＝2，AD 的长度为（）A．1 B． C． D．59．（3分）依次连接四边形ABCD 的四边中点得到的图形是正方形，则四边形ABCD 的对角线需满足（）A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AC＝BD 且AC⊥BDD．AC⊥BD 且AC 与BD 互相平分10．（3分）如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝60°，AB＝AD＝BO＝4cm，OC＝8cm，点M 从B 点出发，按从B→A→D→C 的方向，沿四边形BADC 的边以1cm/s 的速度作匀速运动，运动到点C 即停止．若运动的时间为t，△MOD 的面积为y，则y 关于t 的函数图象大约是（）A． B．C．D．二、填空题（本题共14 分，每空2 分）11．（4 分）我市5 月份某一周最高气温统计如表：温度/℃22 24 26 29天数 2 1 3 1则这组数据的中位数是，平均数是．12．（2 分）函数y＝中，自变量x 的取值范围是．13．（2 分）如图，将△ABC 纸片折叠，使点A 落在边BC 上，记落点为点D，且折痕EF∥BC，若BC＝4，则EF 的长度为．14．（2 分）一次函数y＝kx+b 的图象如图，当y＞1 时，x 的取值范围是．15．（2 分）关于x 的方程mx2+（2m﹣1）x+m+1＝0 有实数根，则字母m 的取值范围是．16．（2 分）直线与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B，在x 轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则点C 的坐标是．三、解答题（本题共30 分，其中第17 题4 分，第19 题6 分，其余均5 分）17．（4 分）解方程：x2﹣4x+1＝2（2x﹣1）．18．（5 分）已知a 是方程x2+5x＝14 的根，求（2a﹣11）（a﹣1）﹣（a+1）2+（3+2a）（3 ﹣2a）的值．19．（6 分）已知关于x 的一元二次方程：mx2﹣（4m+1）x+3m+3＝0．（1）求证：方程总有两个实根；（2）若m 是整数，方程的根也是整数，求m 的值．20．（5 分）如图，在菱形ABCD 中，AD＝13，BD＝24，AC，BD 交于点O．（1）求菱形ABCD 的面积；（2）求点O 到边CD 的距离．21．（5 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD＝2，∠A＝60°，BC＝2，CD＝4．（1）求∠ADC 的度数．（2）求四边形ABCD 的面积．22．（5 分）（列一元二次方程解应用题）在一块长22 米、宽17 米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300 平方米．求道路的宽度．四、解答题（本题共20 分，其中第26 题8 分，其余均6 分）23．（6 分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x 向下平移得到，且过点A（1，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）求直线y＝kx+b 与x 轴的交点B 的坐标；（3）设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是，这条直线与y 轴交于点C，求直线AC 对应的一次函数的解析式．24．（6 分）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，点M，N 分别在边AB，DC 上，作直线MN，分别交DA 和BC 的延长线于点E，F，且AE＝CF．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BNDM 是平行四边形．25．（6 分）设一元二次方程ax2+bx+c＝0 的两根为x1，x2，根据根与系数的关系，则有．根据以上材料，解答下列问题．已知关于x 的方程x2﹣2（k ﹣1）x+k2＝0 有两个实数根x1，x2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k 的值．26．（8 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的负半轴上，且OA＝OB＝5．点C 是第一象限内一动点，直线AC 交y 轴于点F．射线BD 与直线AC 垂直，垂足为点D，且交x 轴于点M．OE⊥OC，交射线BD 于点E．（1）求证：不论点C 怎样变化，点O 总是在线段CE 的垂直平分线上；（2）若点C 的坐标为（2，4），求直线BD 的解析式．2013-2014 学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（3 分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0 时，原方程应变形为（）A．（x﹣2）2＝11 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣4）2＝23 D．（x+4）2＝23 【分析】方程常数项移到右边，两边加上4 变形得到结果即可．【解答】解：方程x2﹣4x﹣7＝0，变形得：x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝11，即（x﹣2）2＝11，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（3 分）如图各曲线中，不表示y 是x 的函数的是（）A． B．C． D．【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．【解答】解：A、x 取一个值，y 有唯一值对应，正确；B、x 取一个值，y 有唯一值对应，正确；C、很明显，给自变量一个值，不是有唯一的值对应，所以不是函数，错误；D、x 取一个值，y 有唯一值对应，正确．故选：C．【点评】此题主要考查了函数的定义，题目比较典型，是中考中热点问题．3．（3 分）对于函数，当自变量x＝2.5 时，对应的函数值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．4【分析】把自变量x 的值代入函数关系式进行计算即可得解．【解答】解：x＝2.5 时，y＝＝＝2．故选：A．【点评】本题考查了函数值的求解，算术平方根的定义，准确计算是解题的关键．4．（3分）在社会实践活动中，某小组对甲、乙、丙、丁四个地区三到六月的黄瓜价格进行调查．四个地区四个月黄瓜价格的平均数均为 3.60 元，方差分别为，，，．三到六月份黄瓜的价格最稳定的地区是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵＝18.1，S2 乙＝17.2，＝20.1，＝12.8，∴＞＞S2 乙＞，∴三到六月份黄瓜的价格最稳定的地区是丁．故选：D．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．（3 分）关于x 的方程x2﹣3x+c＝0 有实数根，则整数c 的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于c 的不等式，求出c 的取值范围，进而得到整数c 的最大值．【解答】解：∵关于x 的方程x2﹣3x+c＝0 有实数根，∴△＝9﹣4c＞0，解得c＜2，故整数c 的最大值为2，故选：B．【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，有以下结论：①△AOB 是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD 会变成正方形．正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据矩形的性质、正方形的判定方法逐项分析即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AO＝BO＝DO＝CO，AC＝BD，故①③正确；∵BO＝DO，∴S△ABO＝S△ADO，故②正确；当∠ABD＝45°时，则∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD 变成正方形，故⑤正确，而④不一定正确，矩形的对角线只是相等，∴正确结论的个数是4个．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及正方形的判定，解题的根据是熟记各种特殊几何图形的判定方法和性质．7．（3分）一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣5 的图象经过二、三、四象限，则实数m 的取值范围是（）A．1＜m＜5 B．m＞5 C．m＜1 或m＞5 D．m＜1【分析】先根据一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣5 的图象经过二、三、四象限列出关于m 的不等式组，求出m 的取值范围即可．【解答】解：∵一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣5 的图象经过二、三、四象限，∴，解得1＜m＜5．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0 时函数的图象在二、三、四象限是解答此题的关键．8．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，且BD 平分∠ABC，BD＝3，BC ＝2，AD 的长度为（）A．1 B． C． D．5【分析】利用勾股定理列式求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD＝CD．【解答】解：∵BD＝3，BC＝2，∠C＝90°，∴CD＝＝＝，∵∠A＝∠C＝90°，且BD 平分∠ABC，∴AD＝CD＝．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．9．（3分）依次连接四边形ABCD 的四边中点得到的图形是正方形，则四边形ABCD 的对角线需满足（）A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AC＝BD 且AC⊥BDD．AC⊥BD 且AC 与BD 互相平分【分析】由于四边形EFGI 是正方形，那么∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，而G、F是AD、CD 中点，易知GF 是△ACD 的中位线，于是GF∥AC，GF＝AC，同理可得IG∥BD，IG＝BD，易求AC＝BD，又由于GF∥AC，∠IGF＝90°，利用平行线性质可得∠IHO＝90°，而IG∥BD，易证∠BOC＝90°，即AC⊥BD，从而可证四边形ABCD 的对角线互相垂直且相等．【解答】解：如右图所示，四边形ABCD 的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI 是正方形，∵四边形EFGI 是正方形，∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，又∵G、F 是AD、CD 中点，∴GF 是△ACD 的中位线，∴GF∥AC，GF＝AC，同理有IG∥BD，IG＝BD，∴AC＝BD，即AC＝BD，∵GF∥AC，∠IGF＝90°，∴∠IHO＝90°，又∵IG∥BD，∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，故四边形ABCD 的对角线互相垂直且相等．故选：C．【点评】本题考查了正方形的概念性质和判定，考查了中点四边形，各图形性质及之间的相互联系，对角线之间的关系．10．（3 分）如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝60°，AB＝AD＝BO＝4cm，OC＝8cm，点M 从B 点出发，按从B→A→D→C 的方向，沿四边形BADC 的边以1cm/s 的速度作匀速运动，运动到点C 即停止．若运动的时间为t，△MOD 的面积为y，则y 关于t 的函数图象大约是（）A． B．C． D．【分析】根据平行四边形的判定与性质，可得OD＝AB＝4cm，根据∠DOC＝∠B＝60°，OC＝2OD，可得△OCD 的形状，根据勾股定理，可得DC 长，根据三角形的面积公式，可得答案．【解答】解：M 在BA 上运动时，面积不变是4；M 在AD 上运动时，面积变小；M 在DC 上运动时，面积变大，在C 点时，面积最大，最大面积是8．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论是解题关键．二、填空题（本题共14 分，每空2 分）11．（4 分）我市5 月份某一周最高气温统计如表：温度/℃22 24 26 29天数 2 1 3 1则这组数据的中位数是26℃ ，平均数是25℃．【分析】根据中位数的定义把这组数据从小到大进行排列，找出最中间的数即可；再根据平均数的定义列出算式，再进行计算即可求出平均数．【解答】解：把这些数从小到大排列，22℃，22℃，24℃，26℃，26℃，26℃，29℃，最中间的数是26℃，则中位数是26℃；平均数是（22×2+24+26×3+29）÷7＝25℃；故答案为：26℃，25℃．【点评】此题考查了平均数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．12．（2 分）函数y＝中，自变量x 的取值范围是x≥1 且x≠2．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知x﹣1≥0；分母不等于0，可知：x﹣2≠0，则可以求出自变量x 的取值范围．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥1 且x≠2．故答案为：x≥1 且x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．13．（2 分）如图，将△ABC 纸片折叠，使点A 落在边BC 上，记落点为点D，且折痕EF∥BC，若BC＝4，则EF 的长度为 2 ．【分析】连接AD 交EF 于点G，由轴对称的性质可知，EF 垂直平分AD，得出EF 为△ABC 的中位线，得出答案即可．【解答】解：如图，连接 AD 交 EF 于点 G ，由轴对称的性质可得EF 垂直平分 AD ，且 G 为 AD 中点，∵EF ∥BC ，∴E 、F 分别为 AB 、AC 的中点，∴EF ＝ BC ＝2． 故答案为：2．【点评】此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应用．14．（2 分）一次函数 y ＝kx +b 的图象如图，当 y ＞1 时，x的取值范围是 x＞ ．【分析】首先利用待定系数法把（1，0），（0，﹣2）代入 y ＝kx +b 中，求出 k 、b 的值， 求出一次函数解析式，再根据 y ＞1 列出不等式，再解即可．【解答】解：∵一次函数 y ＝kx +b 的图象经过（1，0），（0，﹣2），∴一次函数解析式为：y ＝2x ﹣2，当 y ＞1 时，2x ﹣2＞1，解得：x ＞ ． 故答案为：x ＞ ．∴， 解得 ，【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数，以及解一元一次不等式，关键是正确求出一次函数解析式．15．（2 分）关于x 的方程mx2+（2m﹣1）x+m+1＝0 有实数根，则字母m 的取值范围是m ≤．【分析】m＝0 时是一元一次方程，一定有实根；m≠0 时，方程有两个实数根，则根的判别式△≥0，建立关于m 的不等式，求得m 的取值范围．【解答】解：当m≠0 时，方程为一元二次方程，∵a＝m，b＝2m﹣1，c＝m+1 且方程有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m（m+1）≥0，∴m≤；当m＝0 时，方程为一元一次方程﹣x+1＝0，一定有实数根，所以m 的取值范围是m≤．故答案为m≤．【点评】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 的关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0 时，方程无实数根．进行分类讨论是解题的关键．16．（2 分）直线与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B，在x 轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则点C 的坐标是（，0）或（2，0）或（3，0）或（﹣8，0）．【分析】根据等腰三角形的性质，可设C 点坐标为（x，0）．分三种情况进行讨论：分别以点A、B、C 为顶点的等腰三角形．【解答】解：∵直线方程为，∴易求A（﹣3，0），B（0，4）．设C 点坐标为（x，0）．①当以AB 为底时，可得AC＝BC，即3+x＝，解得x＝，则C（，0）；②当以BC 为底时，可得AC＝AB，即3+x＝5，或﹣3﹣x＝5解得x＝2 或x＝﹣8则C（2，0）或（﹣8，0）；③当以AC 为底时，可得AB＝BC，即得＝5，解得x＝±3，则C（3，0）．综上所述，满足条件的点C 的坐标是（，0）或（2，0）或（3，0）或（﹣8，0）．故答案是：（，0）或（2，0）或（3，0）或（﹣8，0）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定．解题时，在没有确定等腰三角形的底边时，一定要分类讨论．三、解答题（本题共30 分，其中第17 题4 分，第19 题6 分，其余均5 分）17．（4 分）解方程：x2﹣4x+1＝2（2x﹣1）．【分析】方程整理后，利用配方法计算即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2﹣8x＝﹣3，配方得：x2﹣8x+16＝13，即（x﹣4）2＝13，开方得：x﹣4＝±，解得：x1＝4+ ，x2＝4﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．（5 分）已知a 是方程x2+5x＝14 的根，求（2a﹣11）（a﹣1）﹣（a+1）2+（3+2a）（3 ﹣2a）的值．【分析】求出a2+5a＝1，先算乘法，再合并同类项，变形后代入求出即可．【解答】解：∵a 是方程x2+5x＝14 的根，∴a2+5a＝14，∴（2a﹣11）（a﹣1）﹣（a+1）2+（3+2a）（3﹣2a）＝2a2﹣2a﹣11a+11﹣a2﹣2a﹣1+9﹣4a2＝﹣3a2﹣15a+19＝﹣3（a2+5a）+19＝﹣3×14+19＝﹣23．【点评】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解的定义的应用，用了整体代入思想，题目比较好，难度适中．19．（6 分）已知关于x 的一元二次方程：mx2﹣（4m+1）x+3m+3＝0．（1）求证：方程总有两个实根；（2）若m 是整数，方程的根也是整数，求m 的值．【分析】（1）根据题意m≠0，则计算判别式有△＝（2m﹣1）2≥0，然后根据判别式的意义即可得到结果；（2）利用求根公式得到x1＝3，x2＝1+，而方程的两个实数根都是整数，且m 为整数，然后根据整数的整除性即可得到m 的值．【解答】（1）证明：∵方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3＝0 是关于x 的一元二次方程，∴m≠0，∵△＝（4m+1）2﹣4m×（3m+3）＝（2m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；|（2）解：方程的两个实数根为x＝，∴x1＝3，x2＝1+ ，∵m 是整数，方程的根也是整数，∴m＝±1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．20．（5 分）如图，在菱形ABCD 中，AD＝13，BD＝24，AC，BD 交于点O．（1）求菱形ABCD 的面积；（2）求点O 到边CD 的距离．【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直平分得出DO 的长，再利用勾股定理得出AO 的长，即可得出AC 的长，再利用菱形面积求法得出；（2）过点O 作OE⊥CD 于点E，利用（1）中所求得出OE 的长即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，BO＝DO，∵AD＝13，BD＝24，∴DO＝12，则AO＝＝5，故AC＝10，菱形ABCD 的面积为：×10×24＝120；（2）过点O 作OE⊥CD 于点E，∵菱形ABCD 的面积为：120，∴S△COD＝×120＝30，∵在菱形ABCD 中，AD＝13，∴CD＝13，∴×EO×CD＝30，解得：EO＝．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，得出DO 的长是解题关键．21．（5 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD＝2，∠A＝60°，BC＝2，CD＝4．（1）求∠ADC 的度数．（2）求四边形ABCD 的面积．【分析】（1）连接BD，根据AB＝AD＝2，∠A＝60°，得出△ABD 是等边三角形，求得BD＝2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形BDC 是直角三角形，从而求得∠ADC＝150°；（2）根据四边形的面积等于三角形ABD 和三角形BCD 的和即可求得；【解答】解：（1）连接BD，∵AB＝AD＝2，∠A＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD＝2，∠ADB＝60°，∵，CD＝4，则BD2+CD2＝22+42＝20，BC2＝（2）2＝20，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝150°；（2）S＝S△ABD+S△BDC＝AD•AD+ BD•DC＝×2××2+ ×2×4＝4+ ．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，把不规则的图形转化成规则的三角形求得面积等．22．（5 分）（列一元二次方程解应用题）在一块长22 米、宽17 米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300 平方米．求道路的宽度．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．【解答】解：设道路的宽应为x 米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）＝300，解得：x1＝37（舍去），x2＝2．答：修建的路宽为2 米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．四、解答题（本题共20 分，其中第26 题8 分，其余均6 分）23．（6 分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x 向下平移得到，且过点A（1，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）求直线y＝kx+b 与x 轴的交点B 的坐标；（3）设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是，这条直线与y 轴交于点C，求直线AC 对应的一次函数的解析式．【分析】（1）先根据直线平移时k 的值不变得出k＝3，再将点A（1，2）代入y＝3x+b，求出b 的值，即可得到一次函数的解析式；（2）将y＝0 代入（1）中所求的函数解析式即可求解；（3）先根据过点B 的直线与两条坐标轴围成的三角形的面积是求出这条直线与y 轴交点C 的坐标，再根据待定系数法即可求出直线AC 的解析式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x 向下平移得到，∴k＝3，将点A（1，2）代入y＝3x+b，得3+b＝2，解得b＝﹣1，∴一次函数的解析式为y＝3x﹣1；（2）将y＝0 代入y＝3x﹣1，得3x﹣1＝0，解得x＝，∴点B 的坐标为（，0）；（3）∵S△OBC＝OB•OC＝，∴×OC＝，∴OC＝3，∴点C 的坐标为（0，3）或（0，﹣3）．设直线AC 的解析式为y＝mx+n．如果点C 的坐标为（0，3），那么，解得，直线AC 的解析式为y＝﹣x+3；如果点C 的坐标为（0，﹣3），那么，解得，直线AC 的解析式为y＝5x ﹣3．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，都是基础知识，需熟练掌握．24．（6 分）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，点M，N 分别在边AB，DC 上，作直线MN，分别交DA 和BC 的延长线于点E，F，且AE＝CF．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BNDM 是平行四边形．【分析】（1）利用“平行四边形的对边相互平行”和平行线的性质易推知∠1＝∠3，∠E ＝∠F，然后结合已知条件，由AAS 证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等推知AM＝CN，则结合平行四边形的性质可以得到BM＝DN，则“有一组对边相互平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论．【解答】证明：（1）如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC 即ED∥BF，AB∥DC，∴∠E＝∠F，∠2＝∠3．又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．在△AEM 与△CFN 中，，∴△AEM≌△CFN（AAS）；（2）由（1）知：△AEM≌△CFN，则AM＝CN．又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB﹣AM＝CD﹣CN 即MB＝ND，MB∥ND，∴四边形BNDM 是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．25．（6 分）设一元二次方程ax2+bx+c＝0 的两根为x1，x2，根据根与系数的关系，则有．根据以上材料，解答下列问题．已知关于x 的方程x2﹣2（k ﹣1）x+k2＝0 有两个实数根x1，x2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k 的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2（k﹣1），x1•x2＝k2≥0，由k≤得到x1+x2＝2（k﹣1）＜0，把已知条件去绝对值后利用整体代入得到﹣2（k﹣1）＝k2﹣1，然后解关于k 的一元二次方程即可．【解答】解：（1）根据题意得△＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤；（2）根据题意得x1+x2＝2（k﹣1），x1•x2＝k2≥0，∵k≤，∴x1+x2＝2（k﹣1）＜0，∴﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，∴﹣2（k﹣1）＝k2﹣1，整理得k2+2k﹣3＝0，解得k1＝1，k2＝﹣3，∵k≤，∴k 的值为﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．26．（8 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的负半轴上，且OA＝OB＝5．点C 是第一象限内一动点，直线AC 交y 轴于点F．射线BD 与直线AC 垂直，垂足为点D，且交x 轴于点M．OE⊥OC，交射线BD 于点E．（1）求证：不论点C 怎样变化，点O 总是在线段CE 的垂直平分线上；（2）若点C 的坐标为（2，4），求直线BD 的解析式．【分析】（1）若要证明不论点C 怎样变化，点O 总是在线段CE 的垂直平分线上，则问题可转化为证明OC＝OE，所以此题可通过证明两次三角形全等即可；（2）设直线AC 的解析式为：y＝ax+b，把A，C 坐标代入可求出a 和b 的值，进而可求出OF 的长，因为OF＝OM，所以M 的坐标又可求出，再设直线BD 的解析式为y＝kx+b，把M 和B 点的坐标代入求出k 和b 的值即可求出直线BD 的解析式．【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠BDF＝90°，∴∠OBM+∠OFA＝90°，∵∠AOF＝90°，∴∠OAF+∠OFA＝90°，∴∠OAF＝∠OBM，在△OAF 和△OBM 中，，∴△OAF≌△OBM，∴OF＝OM，∠OFA＝∠OMB，∵OC⊥OE，∴∠EOC＝90°，∴∠AOF∠AOC＝∠EOC﹣∠AOC，∴∠FOC＝∠MOE，在△OFC 和△OME 中，，∴△OFC≌△OME，∴OC＝OE，∴不论点C 怎样变化，点O 总是在线段CE 的垂直平分线上；（2）解：设直线AC 的解析式为：y＝ax+b，把A，C 坐标代入可求出a＝﹣，b＝∴直线AC 的解析式为y＝﹣x+ ，令x＝0，可求得y＝，∴OM＝OF＝，∴点M 的坐标为（，0）设直线BD 的解析式为y＝kx+b，把M（，0）和B（0，﹣5）的坐标代入得：解得：，∴直线BD 的解析式为y＝x﹣5．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质以及一次函数和坐标轴的交点问题，题目的综合性较强，难度中等．。
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【参考答案】
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1. A
2. D
3. A
4. C
5. B
6. B
7. C 8. B 9. D 10. C
二、填空题（共10个小题，每小题3分，共30分，其中第13题不写单位扣1分） 11. 2)12(-y x
12. 1-≥x 13. 4cm
14. 582+ 15. ︒75
16. C B ∠=∠（答案不唯一） 17. m 41-
18. x=1 19. 3
20. x
a 2150- 三、计算题（共16分，每题4分）
21. 解：原式223223b b a b a ⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
2
43626b b a b a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷= 2分 2
46326b a b b a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= 3分 8
2
b -= 4分 22. 解：原式b
a b a b a b a b a b b a b a 2))(()())(2(-+⨯-++---= 1分 b
a b a b a b a ab a 2))((422-+⨯-+-= 2分 b a b a b a b a b a a 2))(()2(2-+⨯-+-= b a a -=2 3分
∵03=-b a
b a 3=∴
∴原式=3 4分
23. 解：原式xy y x xy y x 2)2(42222÷---= 2分
222242y x y x +--=
223y x --= 3分 ∵6-=x ，3
1)3(1==-y ∴原式=-5 4分
24. 解：去分母得，
x x ax 2)1(33=+- 1分
3)53(=-x a
∵053≠-a 解得，533-=a x 2分 检验：当533-=a x 时，5
3)23(3)1(333--=+=+a a x x ， ∵023≠-a ，
033≠+∴x
3分 所以5
33-=
a x 是原分式方程的解 4分 四、解答题（其中第25，26题各5分，第27题6分，第28题8分）
25. 图略 5分
26. 证明：∵DE AB //，
E B ∠=∠∴ 2分
在ABC ∆和DEF ∆中，⎪⎩
⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,21,,EF BC E B
)(~ASA DEF ABC ∆∆∴ 5分
27. 解：∵AC 是DAE ∠的平分线，
︒=∠=∠∴25CAE DAC
1分
又∵EC DA // ︒=∠=∠∴25ACE DAC
︒=∠=∠∴25ACE CAE 2分
︒=︒-︒-︒=∠=∴1302525180,AEC CE AE
3分
在AEB ∆和CEB ∆中，
⎪⎩
⎪⎨⎧===,,,EB EB CB AB CE AE
)(~SSS CEB AEB ∆∆∆∴ 4分
CEB AEB ∠=∠∴
5分 ︒=︒-︒=∠-︒=∠∴115)130360(2
1)360(21AEC AEB 6分 28. 证明：如图，在AC 上截取AG=AE ，连接FG 。
∵AD 是BAC ∠的平分线，CE 是BCA ∠的平分线， 43,21∠=∠∠=∠∴
1分
在AEF ∆和AGF ∆中， ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=,,21,AF AF AG AE
)(~SAS AGF AEF ∆∆∴
2分 AFG AFE ∠=∠∴
3分 ∵︒=∠60B
︒=∠+∠∴120ACB BAC
︒=∠+∠=∠+∠∴60)(2132ACB BAC 4分 ∵32∠+∠=∠AFE ，
︒=∠=∠=∠∴60AFG CFD AFE
5分 ︒=∠-∠-︒=∠∴60180AFG CFD CFG
CFG CFD ∠=∠∴
6分 在CFG ∆和CFD ∆中 ⎪⎩
⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,43,
,FC FC CFD CFG )(~ASA CFD CFG ∆∆∴ 7分
CD CG =∴
CD AE CG AG AC +=+=∴
8分。