高考数学异构异模复习第八章8.1.1三视图与直观图撬题理
高考数学异构异模复习第八章8.1.1三视图与直观图撬题理
2018高考数学异构异模复习考案 第八章 立体几何 8.1.1 三视图与直观图撬题 理1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 B解析 由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成的，其表面积为πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2，故选B.2．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案 D解析 如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.故选D.3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．6C ．4 2D ．4答案 B解析 如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为4.取B 1B 的中点G ，即三棱锥G －CC 1D 1为满足要求的几何体，其中最长棱为D 1G ，D 1G ＝422＋22＝6.4．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1,1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D －ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1答案 D解析 三棱锥D －ABC 如图所示．S 1＝S △ABC ＝12×2×2＝2， S 2＝12×2×2＝2， S 3＝12×2×2＝2，∴S 2＝S 3且S 1≠S 3，故选D.5.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案 B解析 俯视图为在水平投射面上的正投影，结合几何体可知选B. 6．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体 D ．三棱柱答案 A解析 因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.7．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2 答案 D解析 如图①、②所示的平面图形和直观图．由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′， 则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.8．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )A ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 答案 B解析 因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A ，C 正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D 正确，B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立，故选B.9．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析 ①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定是．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．10．已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )答案 C解析 由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA 形成的投影，应为虚线．故选C.11．如图，三棱锥V －ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.33C.34D.36答案 B解析 设三棱锥V －ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32×43＝33，故选B.。
高考数学一轮复习 第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图教学案 理
第八章立体几何8.1 空间几何体的结构及其三视图与直观图考纲要求1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．1．多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，有两个面互相____，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相____．(2)棱锥：一般地，有一个面是______，其余各面都是有一个________的三角形．(3)棱台：用一个____________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，棱台的各侧棱延长后________．2．旋转体的结构特征(1)圆柱：以矩形的一边所在直线为______，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做__________________．(2)圆锥：以__________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．(3)圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，__________________的部分叫做圆台，圆台的__________延长后交于一点．(4)球：以____________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．3．简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．4．空间几何体的三视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．5．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用________________来画，基本步骤：(1)画几何体的底面：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝__________，已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别平行于x′轴或y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为__________．(2)画几何体的高：在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段在直观图中仍平行于z′轴且长度____．1．如图所示几何体，是由哪个平面图形旋转得到的( )．2．如图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是( )．3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )．A．72 B．66 C．60 D．304．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )．5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．一、空间几何体的结构特征【例1】下列结论正确的是( )．A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线方法提炼真正把握空间几何体的结构特征，需要准确理解几何体的定义，若对概念进行辨析，一方面是严格按照定义判断，另一方面还要学会通过举反例来说明一个命题是错误的．请做演练巩固提升1二、几何体的三视图【例2】已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )．方法提炼三视图的画法要坚持以下原则：(1)高平齐，即几何体的高与正视图和侧视图的高相等；(2)宽相等，即几何体的宽与侧视图和俯视图的宽相等；(3)长对正，即几何体的正视图与俯视图的长度相等；(4)看不见的轮廓线或棱要用虚线表示．请做演练巩固提升2三、几何体的直观图【例3】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )．A．34a2 B．38a2 C．68a2 D．616a2方法提炼(1)对于几何体的直观图，一方面要掌握斜二测画法规则，注意线线平行关系的不变性及长度的变化特征；另一方面，若能了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝24S，还可以简化有关问题的计算．(2)把水平放置的直观图还原成原来的图形，基本过程就是逆用斜二测画法，使平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度变成原来的2倍．请做演练巩固提升5对实线与虚线的画法规则不明确而致误【典例】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )．解析：由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体(如图所示)，且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D．答案：D答题指导：1．在解答本题时常出现以下错误：(1)根据正视图和俯视图确定原几何体的形状时出现错误，误把半圆锥看成半圆柱，不能准确判断出几何体的形状而误选A．(2)对实线与虚线的画法规则不明确而误选C．2．解决三视图与几何体间的转化问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：(1)画三视图时对个别的视图表达不准确，不能正确地画出所要求的视图；(2)对三视图中实虚线的含义不明确或画三视图时不能用虚线表示看不到的轮廓线．在复习时要明确三个视图各自的含义，还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考查．1．(2012福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )．A．球 B．三棱锥C．正方体 D．圆柱2．(2012湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )．3．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )．A．20 B．15 C．12 D．104．下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝__________cm.5．(2012长沙模拟)如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为2，则原图形的面积为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)平行四边形平行(2)多边形公共顶点(3)平行于棱锥底面交于一点2．(1)旋转轴圆柱侧面的母线(2)直角三角形的一条直角边(3)底面与截面之间各母线(4)半圆的直径5．斜二测画法(1)45°(或135°)原来的一半(2)相等基础自测1．A2．B 解析：在这个正方体的展开图中与有圆面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后，这三条直线应该互相平行．3．A 解析：根据题目所给的三视图可知该几何体为一个侧棱与底面垂直的三棱柱，且底面是一直角三角形，两直角边长度分别为3,4，斜边长为5，三棱柱的高为5，所以表面积为3×4＋3×5＋4×5＋5×5＝72.4．A 5.B考点探究突破【例1】 D 解析：A错误．如图，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形．但由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．【例2】 B 解析：由正视图和俯视图画出如图所示的直观图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，故其侧视图是一直角三角形，其一条直角边为PA，另一条直角边长为B到AC的距离 3.【例3】 D 解析：先画出正三角形ABC，然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示，由斜二测画法规则知B′C′＝a，O′A′＝34 a.过A′作A′M⊥x′轴，垂足为M，则A′M＝O′A′·sin 45°＝34a×22＝68a.∴S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′M ＝12a ×68a ＝616a 2. 演练巩固提升1．D 解析：∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆， ∴这个几何体不可以是圆柱．2．C 解析：若为C 选项，则主视图为：故不可能是C 选项．3．D 解析：从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．4．4 解析：由20＝13×12×5×6×h ，得h ＝4(cm)． 5．4 解析：直观图的面积为12(BC ＋OA )·h ＝2， 而原图形的高为直观图的22倍， ∴原图形面积为12(BC ＋OA )·22h ＝4.。
高考数学异构异模复习第八章立体几何8.1.3体积课件理
以其体积 V＝πr2·h·34＝π·12·4·34＝3π，故选 B.
(2)因为△ABC 是边长为 1 的正三角形，且球半径为 1，所以四面体 O－ABC 为正四面体，所以△ABC
的外接圆的半径为 33，所以点 O 到面 ABC 的距离为
1－
332＝
36，所以三棱锥
S－ABC
的高为2 3 6，
8π A. 3
10π C. 3
B．3π D．6π
(2)已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A.
2 6
B.
3 6
2 C. 3 [解析]
2 D. 2 (1)由三视图可知，此几何体为如图所示是底面半径为 1，高为 4 的圆柱被截去了圆柱的14，所
[正解] 在空间直角坐标系中构建棱长为 2 的正方体，设 A(0，0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2，2)， 则 ABCD 即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选 D.
[心得体会]
(2)与球有关的切、接问题的处理方法 ①求球的表面积或体积的关键是求出球的半径．反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得到球 的半径． 求球半径常用的方法有两个： a．根据球心到内接多面体各顶点的距离相等确定球心，然后求出半径； b．依据已知的线线或线面之间的关系推理出球心位置，然后求出半径． ②处理与几何体外接球有关的问题时，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点 间的关系．解决与棱柱有关的问题时需注意运用棱柱的体对角线即为外接球直径这一知识．
解析 由题意得，VP－ABC＝31·S△ABC·PA＝13× 43×22×3＝ 3.
高考数学异构异模复习第八章8.3直线平面平行的判定与性质撬题理5
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又因为 GM∩ MF＝ M，GM ? 平面 GMF， MF? 平面 GMF， 所以平面 GMF ∥平面 ADE . 因为 GF? 平面 GMF，所以 GF∥平面 ADE . (2)同解法一． 4．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N .
B 错误； C 中，若两个平面相交，则
一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故
C 错误； D 中，若两条直线垂直于
同一个平面， 则这两条直线平行， 所以若两条直线不平行， 则它们不可能垂直于同一个平面，
故 D 正确．
2．如图所示， 在多面体 A1B1D1DCBA 中，四边形 AA1B1B，ADD 1A1，ABCD 均为正方形，
因为 AB⊥平面 BEC，
→ 所以 BA＝ (0,0,2)为平面 BEC 的法向量．
设 n＝ (x， y， z)为平面 AEF 的法向量．
→
→
又 AE ＝ (2,0，－ 2)， AF ＝(2,2，－ 1)，
→
n·AE ＝ 0， 由
→
n· AF＝ 0，
2x－ 2z＝ 0， 得
2x＋ 2y－ z＝ 0，
马鸣风萧萧整理
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又 G 是 BE 的中点， 1
所以 GH ∥ AB，且 GH ＝ AB. 2
又 F 是 CD 的中点， 1
所以 DF＝ CD. 2
由四边形 ABCD 是矩形得， AB ∥ CD，AB＝ CD， 所以 GH ∥ DF，且 GH ＝ DF， 从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF∥ DH . 又 DH ? 平面 ADE ，GF? 平面 ADE ， 所以 GF∥平面 ADE . (2)如图，在平面 BEC 内，过 B 点作 BQ∥EC.因为 BE⊥CE，所以 BQ⊥ BE.
高考数学一轮复习第八章立体几何8.1.1三视图与直观图课件理
结构特征
圆
两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与
柱
轴平行，过轴的截面是全等的矩形
底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平 圆
行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面 锥
是全等的等腰三角形
图形
结构特征
上、下底面平行且不相
等，母线的延长线交于一
圆
点，平行于底面的截面是
台
与两底面大小都不相等
第八章 立体几何
第1讲 空间几何体的三视图、表面积和 体积考点一 三视图与来自观图撬点·基础点 重难点
1 多面体的图形与结构特征 图形
棱 柱
棱 锥
棱 台
结构特征 两个面互相平行，其余各面是四边形，侧棱互相平行 底面是多边形，侧棱交于一点 上、下底面平行且相似，侧棱的延长线交于一点
2 旋转体的图形与结构特征 图形
的圆，过轴的截面是全等
的等腰梯形
过球心的截面是大小相 球
等的圆
3 三视图的定义
光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的 正视图 (或主视图)；光线从几何体
的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的 侧视图 (或左视图)；光线从几何体的上面向下面正 投影，得到的投影图叫做几何体的 俯视图． 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．
三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前方、正左方、正上方
观察几何体画
出的轮廓线．
4 三视图的长度特征 “长对正、宽相等、高平齐”
，即正视图和俯视图长对正，侧视图和俯视图宽相等，正视图和
侧视图高平齐．
5 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴交于点 O.画直观图时，把它们画成对应的 x′轴和 y′ 轴，两轴交于点 O′，且使 ∠x′O′y′＝45° (或 135°)，它们确定的平面表示水平面． (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段． (3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的 一半．
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 理
第八章立体几何 8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图理1．多面体的结构特征2．旋转体的形成3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．【知识拓展】1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( × ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( × )1．(教材改编)下列说法正确的是( ) A ．相等的角在直观图中仍然相等 B ．相等的线段在直观图中仍然相等 C ．正方形的直观图是正方形D ．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案 D解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变． 2．(2016·天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )答案 B解析由正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图所示，故该几何体的侧视图为选项B.3．(教材改编)如图，直观图所表示的平面图形是( )A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案 D解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直观图还原为平面图形是直角三角形．故选D.4．(2016·长春三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．20B ．18C ．14＋2 3D ．14＋2 2 答案 A解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示，其为一个正方体截掉4个角后形成的几何体，故该几何体的表面积为S ＝2×2＋2×2＋4×12×2×2＋4×12×2×22＋12＝20.5．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是________．答案143解析 由四棱台的三视图可知，台体上底面面积S 1＝1×1＝1，下底面面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.题型一 空间几何体的结构特征 例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．(1)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3(2)给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．答案(1)B (2)①②③解析(1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选B.(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．题型二 简单几何体的三视图 命题点1 已知几何体，识别三视图例2 (2016·济南模拟)如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是( )答案 D解析 正视图的轮廓线是矩形DCFG ，点E 在平面DCFG 上的投影为DG 的中点，且边界BE ，BG 可视，故正视图为选项B 或D 中的正视图，侧视图的轮廓线为直角梯形ADGE ，且边界BF 不可视，故侧视图为选项D 中的侧视图，故选D. 命题点2 已知三视图，判断几何体的形状例3 (2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 答案 A解析 由该几何体的三视图可知，这个几何体是把一个球挖掉它的18得到的(如图所示)．设该球的半径为R ，则78×43πR 3＝283π，得R ＝2.所以它的表面积为4π×22－18×4π×22＋3×14×π×22＝17π.故选A.命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图例4 (2016·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为( )答案 D解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD ，故选D.思维升华 三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(1)(2016·全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A．18＋36 5 B．54＋18 5C．90 D．81(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，则该几何体的侧视图为( )答案(1)B (2)B解析(1)由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3，45，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5.(2)由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．题型三空间几何体的直观图例 5 (1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形 答案 (1)D (2)C解析 (1)如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D. (2)如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝22＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．故选C.思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，则△ABC 的面积为________．答案62a 2 解析 建立如图所示的坐标系xOy ″，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ″轴上，边A ′B ′在x 轴上，把y ″轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′sin∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝62a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ， 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.10．空间几何的三视图典例 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )错解展示解析 结合正方体中各顶点投影，侧视图应为一个正方形，中间两条对角线． 答案 C 现场纠错解析侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C 不平行，投影为相交线，故应选B.答案 B纠错心得确定几何体的三视图要正确把握投影方向，可结合正方体确定点线的投影位置，要学会区分三视图中的实虚线.1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d答案 A解析当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.2．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 答案 C解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝32＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.3．(2016·大连一模)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥P －A 1B 1A 的侧视图是( )答案 D解析 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，从左侧看三棱锥P －A 1B 1A ，B 1、A 1、A 的投影分别是C 1、D 1、D ；AB 1的投影为C 1D ，且为实线，PA 1的投影为PD 1，且为虚线．故选D.4．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B. 2 C. 3 D．2答案 C解析根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.5．(2017·黄山质检)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为( )答案 C解析根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为所以侧视图为故选C.6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是________．(填序号)答案 ①解析 由题意知，平面图形的直观图为正方形，且边长为1，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为2 2.7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P －ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．答案 1解析 设正方体的棱长为a ，则三棱锥P －ABC 的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是12a 2，故面积的比值为1.8．(2015·北京改编)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是________．答案 2＋2 5解析 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示，其中PA ＝1，BC ＝2，取BC 的中点M ，连接AM ，MP ，则AM ＝2，AM ⊥BC ，故AC ＝AB ＝BM 2＋AM 2＝1＋4＝5，由正视图和侧视图可知PA ⊥平面ABC ，因此可得PC ＝PB ＝PA 2＋AB 2＝1＋5＝6，PM ＝PA 2＋AM 2＝1＋4＝5，所以三棱锥的表面积为S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5.9．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．解 (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．10．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值． 解 如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱，则长方体的体对角线A 1C ＝7，则它的正视图投影长为A 1B ＝6，侧视图投影长为A 1D ＝a ，俯视图投影长为A 1C 1＝b ，则a 2＋b 2＋(6)2＝2·(7)2，即a 2＋b 2＝8，又a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当“a ＝b ＝2”时等号成立．所以a＋b ≤4，即a ＋b 的最大值为4.*11.已知正三棱锥V －ABC 的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该正三棱锥的侧视图和直观图； (2)求出侧视图的面积． 解 (1)如图．(2)侧视图中VA ＝ 42－23×32×232＝12＝23，则S △VBC ＝12×23×23＝6.。
新课标高考数学一轮复习第八章立体几何8.1空间几何体的结构三视图和直观图课件理
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间 图形的直观图．
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自查自纠
1．(1)平行 四边形 平行 (2)多边形 三角形 2．(1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形 (2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形 (3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形 3．(1)矩形 直角三角形 直角梯形 (2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 4．(1)直径 球心 (2)垂直于 d＝ R2－r2 5．平行投影 平行 6．(1)①正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 (2)①90° 90° ②45°(或 135°) 90° ③平行于 ④一半
侧棱相等，侧面是全等的______________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射 影 构 成 一 个 ____________； 棱 锥 的 高 、 侧 棱 和 侧棱 在 底 面 上 的 射 影 也 构成 一 个 ____________；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面 上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．
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②画直观图时，把 Ox，Oy，Oz 画成对应的轴 O′x′，O′y′， O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____________．x′O′y′ 所确定的平面表示水平面．
③已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观 图中分别画成____________x′轴、y′轴或 z′轴的线段，并使它们 和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的 位置关系相同．
高考数学异构异模复习第八章立体几何8.1.2表面积课件理
[考法综述] 高考对空间几何体的表面积的考查，主要借助于三视图和不规则图形，而不是单纯应 用公式，因此在掌握柱、锥、台、球的表面积公式及其推导过程的基础上，还要掌握一些组合体表面积的 处理方法．
命题法 根据几何体的特征或三视图求表面积 典例 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．180 B．200 C．220 D．240
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1.1 三视图与直观图课件 理
的圆，过轴的截面是全等
的等腰梯形
过球心的截面是大小相 球
等的圆
3 三视图的定义
光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的 正视图 (或主视图)；光线从几何体
的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的 侧视图 (或左视图)；光线从几何体的上面向下面正
投影，得到的投影图叫做几何体的 俯视图． 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．
其中正确命题的序号是( )
A．①②③④
B．②③④⑤
C．③④⑤⑥
D．①②③④⑤⑥
(2)如图，多面体 ABCD－EFG 的底面 ABCD 为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和
侧视图正确的是( )
[解析] (1)①错误，因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形；②错误，必须用平行于底面的平面 去截棱锥，才能得到棱台；③正确，根据面面垂直的判定定理判断；④正确，因为两个过相对侧棱的截面 的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体 AC1 中的三棱锥 C1－ABC，四个面都是直 角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知，因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.
6 用斜二测画法画空间几何体的直观图 空间几何体的直观图要比平面图形的直观图多画一个 z 轴，z 轴是与空间几何体的高平行的．
注意点 画三视图时注意的问题 (1)画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示． (2)一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.
1．思维辨析 (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × ) (3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且∠A＝90°，则在直观图 中，∠A＝45°.( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × ) (5)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱．( × ) (6)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．( × )
高考数学异构异模复习第八章立体几何8-1-2表面积撬题理
2018高考数学异构异模复习考案 第八章 立体几何 8.1.2 表面积撬题 理1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4答案 D解析 由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D. 2．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋3B ．2＋ 3C ．1＋22D ．2 2答案 B解析 在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P －ABC ，表面积为12×1×2×2＋34×(2)2×2＝2＋ 3.3.已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π 答案 C解析 如图，设点C 到平面OAB 的距离为h ，球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以S △OAB ＝12R 2，要使V O －ABC ＝13·S △OAB ·h 最大，则OA ，OB ，OC 应两两垂直，且(V O －ABC )max ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，此时R ＝6，所以球O 的表面积为S 球＝4πR 2＝144π.故选C. 4．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为( 材料利用率。
2020版高考数学一轮复习第八章立体几何8.1空间几何体的三视图、直观图课件文
-8知识梳理
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”. (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. ( × ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. ( × ) (3)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之 间的部分. ( ) (4)在用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于 x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A=45°. ( ) × (5)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同. ( × ) (6)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线. ( )
-9知识梳理
考点自诊
解析: (1)反例:由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条 件,但不是棱柱. (2)反例:如图所示图形不是棱锥.
(3)根据棱台的概念知,棱台就是由平行于棱锥底面的平面截棱锥 所得的. (4)用斜二测画法画水平放置的∠A时,把x,y轴画成相交成45°或 135°,平行于x轴的线还平行于x轴,平行于y轴的线还平行于y轴,所 以∠A也可能为135°. (5)正方体和球的三视图均相同,而圆锥的主视图和左视图相同, 且为等腰三角形,其俯视图为圆心和圆. (6)画几何体的三视图时,为了增加立体感,把看到的轮廓线画成 实线,看不到的轮廓线画成虚线.
-3知识梳理
考点自诊
(2)旋转体 ①旋转面:一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转 所形成的曲面叫旋转面;封闭的旋转面转成的几何体叫旋转体. ②球:以半圆的 直径 所在的直线为旋转轴,将半圆旋转所 球面 成的曲面叫 .球面所围成的几何体叫 球体 ,简称 球. ③圆柱、圆锥、圆台:分别以 矩形 的一边,直角三角形的 一条 直角 边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转 轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫圆柱、圆锥、 圆台.
高考数学统考一轮复习第八章8-1空间几何体的结构及其三视图和直观图课件文新人教版
二、必明3个易误点 1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延 长后必交于一点． 2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同． 3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们 的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．
二、必明3个易误点 1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延 长后必交于一点． 2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同． 3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们 的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．
解析：底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱 锥，A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时， 底面与截面之间的部分才叫圆台，D错．故选B.
2．给出下列几个命题：
三、易错易混
4．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，
剩下的几何体是( )
A．棱台
B．四棱柱
C．五棱柱 D．六棱柱
解析：由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱，故选C.
5．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm， 则 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 四 边 形 ABCO 为 _矩__形___ ， 面 积 为 ___8___cm2.
第一节 空间几何体的结构 及其三视图和直观图
【知识重温】
一、必记4个知识点 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征
平行且相等 全等
多边形 公共点
平行于底面 相似
(2)旋转体的结构特征：
几何体 圆柱 圆锥 圆台
球
旋转图形 矩形
直角三角形 直角梯形
高三理科数学一轮复习讲义,复习补习资料：第八章立体几何8.1空间几何体的结构特征三视图直观图(解析版)
§8.1空间几何体的结构特征、三视图、直观图考纲展示► 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．考点1 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征(1)矩形(2)直角边(3)直角腰(4)直径(1)[教材习题改编]一个几何体由5个面围成，其中两个面是互相平行且全等的三角形，其他面都是全等的矩形，则该几何体是________；一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周后形成的封闭曲面所围成的几何体是________．答案：三棱柱两个同底的圆锥解析：根据多面体和旋转体的概念知，第一个几何体是三棱柱，第二个几何体是两个同底的圆锥．(2)[教材习题改编]如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．答案：侧视图俯视图解析：根据三视图的概念知，图②是侧视图，图③是俯视图.空间几何体的认识误区．给出下面四种说法：①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；④棱台各侧棱的延长线交于一点．其中错误说法的序号为________．答案：①②③解析：①如果上、下两个面平行，但不全等，即使其余各面是四边形，那也不可能是棱柱．②如图所示，平面ABC∥平面A1B1C1，但图中的几何体不是棱柱．③棱锥的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．④棱台是由棱锥截得的，故侧棱延长线交于一点．[典题1] (1)给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析]①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(2)下列说法中正确的是________．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面组成的几何体是棱锥；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③用一个平面去截棱锥，可得到一个棱锥和一个棱台；④棱锥的各侧棱长相等．[答案]②[解析]棱锥的侧面三角形有一个公共顶点，故①错误；三棱锥又叫四面体，其各个面都是三角形，都可以作为棱锥的底面，故②正确；用平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分叫做棱台，故③错误；④明显错误．[点石成金] 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．考点2 空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是________的，三视图包括________、________、________.答案：正投影 完全相同 正视图 侧视图 俯视图三视图：注意三个视图之间的长度关系．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．答案：48解析：由三视图可知，上面是一个长为4、宽为2、高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是上、下底分别为2,6，高为2的梯形．又长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×2＋62×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48.角度一由三视图还原几何体[典题2] [2019·河南郑州模拟]若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )A B C D[答案] D[解析]A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.角度二由空间几何体的直观图判断三视图[典题3] 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )A B C D[答案] B[解析]由直观图可知，该几何体是由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．故选B.角度三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图[典题4] [2019·吉林长春模拟]已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________．(把你认为正确的图的序号都填上)[答案]①②③④[解析]直观图如图①的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图①；直观图如图②的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图②；直观图如图③的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图③；直观图如图④的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图④.①②③④[点石成金] 三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．考点3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴、y ′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．[典题5] 已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2 [答案] D[解析] 图①所示的是△ABC 的实际图形，图②是△ABC 的直观图．由图①②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2. [点石成金] 用斜二测画法画直观图的技巧(1)在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行； (2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线；(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求△ABC 的面积．解：建立如图所示的坐标系xOy ′，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ′轴上，边A ′B ′在x 轴上，把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ， 在△OA ′C ′中，由正弦定理，得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝62a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ， 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.真题演练集训1．[2018·天津模拟]将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )A B C D答案：B解析：由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.2．[2018·新课标全国卷Ⅰ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A．6 2 B. 4 2C．6 D．4答案：C解析：如图，侧面SBC⊥底面ABC.点S在底面ABC的射影点O是BC的中点，△ABC为直角三角形．∵AB＝4，BO＝2，∴AO＝20，SO⊥底面ABC，∴SO⊥AO，SO＝4，∴最长的棱AS＝20＋16＝6.3．[2018·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B. 2C. 3 D．2答案：C解析：根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD ＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.课外拓展阅读三视图识图中的易误辨析[典例] 在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②[错解] 由已知该几何体正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别为(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)，且内有一实线，故正视图为①，俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别为(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图为②.[错因分析] (1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置．(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图．(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择．[解析]在空间直角坐标系中，构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.[自我矫正] D答题启示对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，再画其三视图．另外要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线，即一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．。
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答案 D
1 B.7
1 D.5
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
解析 如图，不妨设正方体的棱长为
1 1，则截去部分为三棱锥 A－ A1B1D 1，其体积为 6，
5
1
又正方体的体积为 1，则剩余部分的体积为 ，故所求比值为 .故选 D.
6
5
3．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面 体的各条棱中，最长的棱的长度为 ( )
均不可能是三角形，所以选 A.
7．已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ ABC 的平面直观图△ A′B′ C′的面积为 ( )
3 A. a2
4
3 B. a2
8
6 C. a2
8 答案 D 解析 如图①、②所示的平面图形和直观图．
6 D. a2
16
1
3
由②可知， A′ B′＝ AB＝ a， O ′C′＝ OC＝ a，
2 所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平
行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
10．已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为 是有一条直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为 (
2 的正三角形，侧视图 )
答案 C 解析 由已知条件得直观图如图所示， 正视图是直角三角形， 中间的线是看不见的线 PA 形成的投影，应为虚线．故选 C.
其中正确命题的个数是 ( )
A．0
B． 1
C．2
D．3
答案 A
解析 ①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面
都是三角形” 并不等价于 “其余各面都是有一个公共顶点的三角形” ，如图 1 所示；③不一定
是．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
答案 B
解析 因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四
个顶点的距离相等，故 A， C 正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故
D 正确， B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立，故选
4．在空间直角坐标系 O－ xyz中，已知 A(2,0,0)， B(2,2,0)， C(0,2,0)，D (1,1， 2)．若 S1，
S2， S3 分别是三棱锥 D－ ABC 在 xOy， yOz， zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 ( )
A ． S1＝ S2＝ S3
B． S2＝ S1且 S2≠ S3
B.
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
9．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面
是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一
周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
A．6 2
B． 6
C．4 2
D．4
答案 B
解析 如图所示的正方体 ABCD －A1B1C1D 1的棱长为 4.取 B1B 的中点 G，即三棱锥 G－
CC1D1 为满足要求的几何体，其中最长棱为
D 1G ，D 1G＝
4 2 2＋ 22＝ 6.
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
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2018高考数学异构异模复习考案 第八章 立体几何 8.1.1 三视图与直
观图撬题 理
1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的
正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为
16＋ 20π，则r＝ ( )
()
答案 B
解析 俯视图为在水平投射面上的正投影，结合几何体可知选
B.
6．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
()
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A ．圆柱
B．圆锥
C ．四面体
D ．三棱柱
答案 A
解析 因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看
A．1
B． 2
C．4
D．8
答案 B
解析 由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成的，其表面积为π
r2＋
2πr2＋4r2＋2πr 2＝ 20π＋16，所以 r＝ 2，故选 B.
2．一个正方体被一个平面截去一部分后， 剩余部分的三视图如图， 则截去部分体积与剩
余部分体积的比值为 ( )
1 A.8
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11．如图， 三棱锥 V－ABC 的底面为正三角形，侧面
2
其正视图的面积为 3，则其侧视图的面积为 (
)
VAC 与底面垂直且 VA ＝ VC，已知
3 A.
2
3 B.
3
3 C. 4
3 D. 6
答案 B
4 解析 设三棱锥 V－ ABC 的底面边长为 a，侧面 VAC 边 AC 上的高为 h，则 ah＝ 3，其侧
视图是由底面三角形 ABC 边 AC 上的高与侧面三角形 VAC 边 AC 上的高组成的直角三角形，
1 34 3 其面积为 × × ＝ ，故选 B.
2233
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2
4
在图②中作 C′ D′⊥ A′ B′于 D′，
2
6
则 C′ D′＝ O ′C′＝ a.
2
8
1
1
6
6
∴
S△
A′
B′
C′＝
A′ 2
B′·
C′
D
′＝
× 2
a×
8
a＝ a2. 16
8．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”
，四条侧棱称为它的腰，以
下 4 个命题中，假命题是 ( )
A ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
C．S3＝ S1 且 S3≠S2
D ． S3＝S2 且 S3≠ S1
答案 D
解析 三棱锥 D－ ABC 如图所示．
1
S1＝
ห้องสมุดไป่ตู้S△
ABC＝
× 2
2×
2＝
2，
1 S2＝ 2× 2× 2＝ 2，
1 S3＝ 2× 2× 2＝ 2，
∴ S2＝ S3 且 S1≠ S3，故选 D.
5.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是