秋华师大版数学九上22.1《一元二次方程》word学案1
华师大版九年级数学上册导学案含答案-22.1一元二次方程
第22章一元二次方程22.1 一元二次方程学习目标：1.了解一元二次方程的相关概念（重点）；2.会根据实际问题列出一元二次方程（难点）.自主学习一、新知预习绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？解：设绿地的宽为x米，则它的长为_________米，根据题意，可得方程：______________.整理，得__________________________.观察上述得出的方程，这个方程的特点是：（1）只含有一个未知数，都是关于x的____ ____方程；（2）x的最高次数都为_________.像这样的方程我们称之为一元二次方程.一元二次方程的一般形式可以归纳为________________.合作探究一、探究过程探究点1：一元二次方程的定义及一般形式问题1 关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？解：关于x的方程的二次项系数为_________,因为方程为一元二次方程，所以其二次项系数不为零.所以___________________,即_________________.综上所述，关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程的条件是________.问题2 将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)2x2＋3x＝x2－3x－2；(2)(2x－1)(3x＋2)＝(x－2)2－1；(3)4x2＝3x－2＋1.【归纳总结】利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化为一般形式，其步骤是去括号、去分母、移项、合并同类项.【针对训练】1.若关于x的方程(k－3)x|k|-1－x－2＝0是一元二次方程，则k=_____.2.已知关于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x－9＝0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．探究点2：一元二次方程的解问题若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，求6m+2n的值.【归纳总结】已知解求关于待定系数的代数式的值，将解代入方程，求得关于待定系数的等量关系，通常运用整体代入的思想求解. 【针对训练】已知一元二次方程ax 2－8x ＋b ＝0的两根为x 1＝3，x 2＝－13，求a ，b 的值． 探究点3：列一元二次方程问题 列方程：某公司一月份营业额为10万元，三月份营业额为12.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？【归纳总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤如下：【针对训练】列方程：在一块宽20m 、长32m 的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图，要使花坛的总面积为570m 2，问小路的宽应为多少？二、课堂小结定义及一般形式一般式___________________ 二次项系数为_____,一次项系数为____,常数项为____. 一元二次方程的根（解）使方程左右两边_______相等的未知数的值. 根据实际问题列一元二次方程 分析 找 设 列方程当堂检测1.将一元二次方程2(x ＋1)(x －2)＝x (x ＋3)－5化为一般形式为( )A ．x 2－5x ＋1＝0B ．x 2＋x －9＝0C ．x 2－4x ＋3＝0D ．x 2－x ＋1＝02.下列各数是一元二次方程2x 2＋5x ＋2＝0的根的是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－23.若关于x 的方程x 2－2x ＋c ＝0有一个根是1，那么c 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．用一根长为30cm 的铁丝围成一个长方形，若设该长方形的一边长为x cm ，面积为50 cm 2，则可列方程为____________.5.方程3)2)(1(=++xx化为一般式为________，它的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为______.6.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若LM=RS=x米，请根据题意列出方程.7.有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和等于6，且这两个数字的积等于这个两位数的13，设这个两位数的十位数字为x，求这个两位数．请根据题意列出方程并化为一般形式.参考答案自主学习一、新知预习（x+10）x（x+10）=900 x²+10 x-900=0（1）一元二次（2）2ax²+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）合作探究一、探究过程探究点1：问题1 2a -4 2a -4≠0 a≠2 a≠2问题2 解：（1）x²+6x+2=0；0，6，-2. （2）5x²+5x-5=0；5,5,-5.（3）4x²-3x+2-1=0；4，-3，2-1.【针对训练】1.-32. 解：（1）由题意，得m2－16＝0且m＋4≠0，则m=4.此时方程的解为x=98.（2）由题意，得m2－16≠0，m≠±4.这个方程的二次项系数为m2－16，一次项系数为m＋4，常数项为-9．探究点2：问题解：由题意，得1+3m+n＝0，则3m+n＝-1，6m+2n=-2.【针对训练】3. 解：将x1＝3，x2＝－13代入，得9240,80.93⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩a bab解得3,3.=⎧⎨=-⎩ab探究点3：问题 解：设这两个月营业额的平均增长率是x ，由题意可得10（1+x ）2=12.1.【针对训练】4.解：设小路的宽为x m ，根据题意，得（20-x ）（32-2x ）=570．二、课堂小结ax ²+bx +c =0 a b c 式子 题意 等量关系 未知数 当堂检测1.A2.D3. A4. x （15-x ）=505. x ²+3x -1=0 1 3 -16.解：由题意得（22-x ）（17-x ）=300.7.解：根据题意，得x (6－x )＝13[10x ＋(6－x )]，即x 2－3x ＋2＝0. ~。
九年级数学上册第22章一元二次方程22.1一元二次方程教案(新版)华东师大版
22.1 一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x 个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x 2＝1B ．3x 2－2xy －5y 2＝0C ．(x －1)(x －2)＝3D ．ax 2＋bx ＋c ＝0解析：选项A 中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B 中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a ＝0时，选项D 中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A 、B 、D ，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x 的方程(k ＋1)x ＋kx ＋1＝0是一元二次方程，则k 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1. ∴k ＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x (3x ＋1)＝17；(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2，∴可列方程(2－2x )(1.4－2x )＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解方程x －2x ＝0的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝12，x 2＝2 解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x ＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x ＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.。
22.1一元二次方程-华东师大版九年级数学上册教案
22.1 一元二次方程-华东师大版九年级数学上册教案一、教材内容概述本课程主要介绍了一元二次方程的概念、基本形式、适用范围以及解法等内容。
在内容上，主要分为以下几个方面：•一元二次方程的概念与基本形式•一元二次方程的根的判别式•一元二次方程的解法二、学习目标通过本章的学习，学生应该掌握以下几个方面的知识和技能：•掌握一元二次方程的定义和基本形式•掌握判别式的计算方法，能够判断方程解的情况•掌握一元二次方程的解法，能够正确解决一些实际问题三、教学重点•一元二次方程的定义和基本形式•一元二次方程的根的判别式四、教学难点•一元二次方程的解法五、教学过程5.1 自主学习•学生自主学习一元二次方程相关的知识，找出其中的难点与疑问。
5.2 导入新知识•通过复习一元一次方程的解法，引入一元二次方程。
5.3 讲解新知识•讲解一元二次方程的定义和基本形式，引出一元二次方程根的概念。
5.4 练习与展示•让学生分组进行练习，每组派出一名代表进行展示。
5.5 拓展•讲解一元二次方程解法中常用的方法和技巧，鼓励学生探究解题思路。
5.6 提高•针对一些解法困难的问题，给出帮助与指导，提高学生的解题能力。
5.7 小结•对本节课的内容进行小结，帮助学生回顾所学知识。
六、课后练习•练习册第22页1~10题七、教学反思本节课的教学过程中，我主要采用了讲解和练习相结合的方式，通过引导学生自主学习、分组讨论和展示等方式，调动了学生的学习积极性，提高了学生的学习效果。
但在授课时，我发现有些学生对一元二次方程的概念和解法还有些陌生，需要通过分组训练和个人指导来加强学生的认识和理解。
同时，在课堂练习中也出现了一些问题，需要在下一节课中进行修正和纠正。
秋九年级数学上册 22.1 一元二次方程学案1 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九年级上册
22.1 一元二次方程课前知识管理1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．理解一元二次方程的概念时应注意：形如20ax bx c ++=0a ≠时，是一元二次方程；当0a =，且0b ≠时，是一元一次方程.注意一元二次方程应满足的条件：（1）是整式方程，即方程两边都是关于未知数的整式；（2）只含有一个未知数（即一种未知数）；（3）未知数的最高次数是2（即未知数的指数最高是2）.2．要判定一个整式．．方程是不是一元二次方程，一般需要将这个整式方程变形成为02=++c bx ax 02=++c bx ax 中，若0≠a ，则原来的方程便是一元二次方程；否则就不是一元二次方程.如：01321)32(2=--⇒=-x x x x ，所以它是一元二次方程；而013123222=+⇒-=+x x x x ，它不是一元二次方程.3．一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++=（,,a b c 是已知数，0a ≠）．它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次三项式，右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为一般形式，在理解一元二次方程的一般形式时，要注意以下几点：①在求一元二次方程各项的系数时，首先必须把一元二次方程化成一般形式；②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.4．一元二次方程的根：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.名师导学互动典例精析1．一元二次方程的识别【例1】下列方程中,关于x 的一元二次方程是( )A.3(x +1)2=2(x +1)B.2112x x +-=0 C.ax 2+bx +c =0 D.x 2+2x =x 2－1【解题思路】a 没有强调不为0,若a =0,则C 中未知数的最高次数低于2,因此,不能肯定C 中的方程是否是一元二次方程.D 中方程化简后是一元一次方程.只有A 中的方程符合一元二次方程的三个条件.【解】选A ．【方法归纳】“关于x 的方程……”,则表明x 是未知数,而方程中其它字母均是常数；(3)“×元×次方程”中的“元”指未知数,“次”指未知数的最高次数.2．确定方程中未知字母的值【例2】方程(m +2)x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程,则( )A.m =±2B.m =2C.m =－2D.m ≠±2【解题思路】由于一元二次方程中未知数的最高次数是2,所以|m |=2,即m =±m =－2时,原方程变为－6xm =2时,原方程变为4x 2+6x +1=0,它是一元二次方程．【解】选B ．【方法归纳】二次项系数不为0是一元二次方程的前提条件，未知数指数含字母常常出现讨论不全面而造成漏解或增解．【例3】设a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项，且满足()220b a b c +-+++=，求满足条件的一元二次方程为.【解题思路】由()220b a b c +-+++=，得10200a b a b c -=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩，解得1,2,3a b c ===-.∵a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项，∴所求的方程为2230x x +-=.【解】2230x x +-=.【方法归纳】此题关键是理解算术平方根、完全平方数和绝对值的非负性，即()20,20,0b a b c ≥-≥++≥式，都可以应用此结论列方程组求出多个未知数的值.4、一元二次方程的根 【例4】已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个根，则a 的值为（ ） A 、2 B 、52C 、3 D 、－52【解题思路】利用方程根的定义，可以先将关于x 的方程转化为关于a 的方程，从而求出a x 的方程23202x a -=的一个根，所以232202a ⨯-=，解得3a =. 【解】选A.【方法归纳】由本题分析，我们可得以下发现：①涉及基本概念的问题应充分利用基本概念；②代解、求解是解决与方程有关的问题的两个基本方法.易错警示【例5】如果关于x 的方程()22210k k x kx --++=是一元二次方程，则k 的值是（ ）A 、2B 、－2C 、2或－2D 、0【错解】由222k -=，得2k =±，故选C.【错因分析】一元二次方程20ax bx c ++=中隐含着一个相等关系和一个不等关系，相等关系是未知数x 的最高指数等于2；不等关系是二次项系数0a ≠，错解正是忽视了这个不等关系造成的.【正解】由222k -=，得2k =±，由20,k -≠得2k ≠，故只能是2k =-，选B.课堂练习评测知识点1：列一元二次方程1．（2010某某某某）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3 000万元，预计2010年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x =C ．23000(1)5000x +=％D ．23000(1)3000(1)5000x x +++=知识点2：一元二次方程的识别2．下列方程一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） （A ）12x 2+1x－2=0 （B ）ax 2+bx +c =0 （C ）（n 2+1）x 2+n =0 （D ）mx 2+3x =n 3．有下列方程：①2x 2－3=0；②112-x =1；③0131212=+-y y ；④ay 2+2y +c =0(其中a 为常数)；⑤(x +1)(x －3)=x 2+5；⑥x －x 2=0 .其中是整式方程的有，是一元二次方程的有.(只需填写序号)知识点3：确定一元二次方程4．（2010年某某德化）已知关于x 的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：．5．若方程(a －1)12+a x +5x =4 是一元二次方程，则a =6．关于x 的方程(m 2－16)x 2+(m +4)x +2m +3=0.当m _________时,是一元一次方程；当m _________时,是一元二次方程.知识点4：一元二次方程的根()()1812x x --=-的根的是（ ）A 、x =2或x =3B 、x =3或x =4C 、x =4或x =5D 、x =5或x =6课后作业练习基本能力1．方程()()1231=+-x x 化为02=++c bx ax 形式后，,,a b c 的值为（ ） （A ）1，－2，－15 （B ）1，－2，－15 （C ）1，2，－15 （D ）－1，2，－152．把方程(1－3x )(x +3)=2x 2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.3. （2010大兴安岭）代数式3x 2－4x －5的值为7，则x 2－43x －5的值为_______________． 4. 方程2652x x =+中，二次项系数、一次项系数与常数项的和为___________5.在－3，－2，－1，0，1，2，3这七个数中，是方程2320x x -+=的根的是. 拓展能力6 .（2010年某某某某）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为． 322122-=+-x x xx 时，如果设x x y 22-=，那么原方程可化为关于y 的一元二次方程的一般形式是.8. 在下列方程：① 3x 2+2(1+x )+1=0；② 3x 2+x1+1=0；③ 4x 2=ax (其中a 为常数)；④2x 2+3x ；⑤5132+x =2x ；⑥22)(x x + =2x ；⑦ ｜x 2+2x ｜=4. 其中是一元二次方程的有.(只需填写序号)9.方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__ ________，其二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________.10. 关于x 的方程2120a x ax a --+=（），当a 为何值时该方程是一元一次方程？当a 为何值时该方程是一元二次方程？拓展探究11．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：__________．12.方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为. 13. 若方程022=-+x x nx n m 是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m =n =2B.m =2,n =1C.n =2,m =1D.m =n =114. （2010年某某市）教材或资料出现这样的题目：把方程2212=-x x 化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：（1）下面式子中有哪些是方程2212=-x x 化为一元二次方程的一般形式？（只填写序号） ①02212=--x x ，②02212=++-x x ，③422=-x x ，④0422=++-x x ，⑤0343232=--x x（2）方程2212=-x x 化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有上面关系？课堂作业练习答案1.答案：A.2.答案：C3.答案：①、③、④、⑤、⑥；①、③、⑥4.答案：先写出一个关于1的平方的等式，然后再用未知数x 代替1即可等到符合题意的一元二次方程.答案不惟一，如12=x 等.5.答案：－16.答案：4，≠±47.答案：C课后作业答案：1.答案：C2.解析：原方程化为一般形式是:5x 2+8x －2=0(若写成－5x 2－8x +2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x 2,二次项系数是5,一次项是8x ,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).3.答案：－14.答案：－15.答案：1，26.答案：100)1(1202=-x7.答案：2310y y --=8.答案：①、⑤、⑥、⑦.9.答案：2530,5,x -+=-. 10.解：由一元二次方程和一元一次方程的概念可知，当1a ≠时，该方程是一元二次方程，而当1a =且0a ≠时，该方程是一元一次方程．11.解：答案不唯一，如210x -=，220x x +-=等.12.答案：213.答案：B14.解：（1）①②④⑤ ；（2）若说它的二次系数为a （a ≠0），则一次项系数为－2a 、常数项为－2a.。
秋九年级数学上册 第22章 一元二次方程 公式法导学案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九
公式法 【学习目标】 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程； 2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式的推导过程，并应用公式法解一元二次方程．【学习重点】求根公式法的应用．【学习难点】一元二次方程求根公式法的推导．情景导入 生成问题用配方法解方程2x 2＋4x ＋1＝0并总结用配方法解一元二次方程的步骤是什么．自学互研 生成能力知识模块一 公式法的推导过程阅读教材P 28～P 31的内容．解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．因为a≠0，方程两边都除以a ，得x 2＋b a x ＋c a＝0，移项，得x 2＋b a x ＝－c a .配方，得x 2＋2·x·b 2a ＋(b 2a )2＝(b 2a )2－c a ，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a2，因为a≠0，所以4a 2＞0，当b 2－4ac≥0时，直接开平方，得x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a .所以x ＝－b 2a ±b 2－4ac 2a .即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)．归纳：1.此公式使用的前提条件是b 2－4ac≥0，如果b 2－4ac ＜0，方程无实数根，此时就不能将a ，b ，c 代入公式来计算．所以，用公式法解方程时，首先求它的判别式b 2－4ac 的值，如果为非负数，然后再代入公式求解.2.我们可以不解方程，用它的判别式即可知道方程的解的情况．知识模块二 用公式法解一元二次方程X 例：解下列方程：(1)2x 2＋x －6＝0；(2)x 2＋4x ＝2.解：(1)a ＝2，b ＝1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49，所以x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－1±492×2＝－1±74，即x 1＝32，x 2＝－2. (2)将方程化为一般式，得x 22－4ac ＝24，所以x ＝－4±242＝－2±6，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6仿例：解下列方程：(1)5x 2－4x －12＝0；(2)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.解：(1)因为b 2－4ac ＝256，所以x ＝－（－4）±2562×5＝4±1610＝2±85，即x 1＝2，x 2＝－65.(2)整理，得4x 22－4ac ＝0，所以x ＝－12±08，即x 1＝x 2＝－32. 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 公式法的推导过程知识模块二 用公式法解一元二次方程X 例：(方法二)解：配方得：(x ＋2)2＝6，∴x ＋2＝±6，∴x ＋2＝－6，x ＋2＝6，∴x 1＝－2－6，x 2＝－2＋ 6.检测反馈 达成目标1．用公式法解－x 2＋3x ＝1时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为( D ) A ．－1，3，－1 B ．1，－3，－1C ．－1，－3，－1D ．1，－3，12．一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是( C ) A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝－2 2C ．x 1＝2，x 2＝－32D ．x 1＝－2，x 2＝3 23．已知关于x 的方程x 2＋3mx ＋m 2＝0的一个根是x ＝1，那么m ＝__－3±52__． 4．解下列方程：(1)x 2＋3x －2＝0；(2)(x －1)(x －3)＝1.解：(1)x 1＝－3＋172，x 2＝－3－172； (2)x 1＝2－2，x 2＝2＋ 2.5．(1)解方程：x 2＋4x －5＝0；(2)求证：无论k 取任意值，关于x 的一元二次方程x 2－kx ＋(k －2)＝0一定有两个不相等的实数根． 解：(1)x 2＋4x －5＝0，(x ＋5)(x －1)＝0，x 1＝－5，x 2＝1；(2)∵Δ＝(－k)2－4(k －2)＝k 2－4k ＋8＝(k －2)2＋4＞0，∴关于x 的一元二次方程x 2－kx ＋(k －2)＝0一定有两个不相等的实数根课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
九年级数学上册第22章一元二次方程22.1一元二次方程导学案华东师大版(2021年整理)
九年级数学上册第22章一元二次方程22.1 一元二次方程导学案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第22章一元二次方程22.1 一元二次方程导学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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22。
1 一元二次方程【学习目标】1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
【学习重难点】理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.【学习过程】一、课前准备1、 叫方程。
叫一元一次方程叫二元一次方程分式方程2、下列方程是一元一次方程的有 ，是分式方程的有 ，二元一次方程的有 。
①3x-2=0 ②x 1+2=x ③x+2y=3 ④13221+=-++y y y ⑤s+t=8 ⑥2x +2x —4=0⑦2x —x=56二、学习新知自主学习：问题1、绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少?分析:现设长方形绿地的宽为x米,则长为米，可列方程,整理得①。
问题2、学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7。
2万册。
求这两年的年平均增长率。
九年级数学上册22.1一元二次方程学案华东师大版
一元二次方程一、学习目标1.会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想.2.理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 二、学习重点重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念.难点：准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项. 三、自主预习小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm 2,那么剪去的正方形的边长是多少？列出的方程是 练习：根据题意列出方程：1.一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2.一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数.3.一块面积是150cm 2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？ 四、 合作探究探究1.判断下列方程是否为一元二次方程。
小结：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程，叫做一元二次方程.探究2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. （1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x小结：一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数.五、巩固反馈1.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）3x 2－x=2 （2）7x －3=2x 2（3）(2x －1)－3x(x －2)=0 （4）2x(x －1)=3(x ＋5)－4 2.要使02)1()1(1=+-+++x k xk k 是一元二次方程，则k=_______.3.关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值.4.已知关于x 的方程1222-=--x kx x k )(，问：（1）当k 为何值时，方程为一元二次方程？（2）当k 为何值时，方程为一元一次方程？2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列运算正确的是（ ） A ．a 3•a 2=a 6B ．a ﹣2=﹣21a C ．33﹣23=3 D ．（a+2）（a ﹣2）=a 2+42．已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则a ﹣2b 的值是（ ）A ．﹣2B ．2C ．3D ．﹣33．若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠.B ．m 1=.C ．m 1≥D ． m 0≠.4．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．95．已知等腰三角形的周长是10，底边长y 是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是( )A ．B ．C ． D6．下列各式中的变形，错误的是（（ ） A ．B ．C ．D ．7．一次函数y kx b =+满足0kb <，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图像一定不经过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．若关于x的不等式组255 332xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a的取值范围()A．1162a-<-„B．116a2-<<-C．1162a-<-„D．1162a--剟9．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）A．9cm B．13cm C．16cm D．10cm10．若x＝－2 是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，则a的值为()A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－411．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数kyx=(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为A．12 B．20 C．24 D．3212．如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知|x|=3，y2=16，xy＜0，则x﹣y=_____．14．如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E 在OB的延长线上，当扇形AOB的半径为2时，阴影部分的面积为__________．15．如图，已知AB∥CD，若14ABCD=，则OAOC=_____．16．关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为_________ 17．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为____．18．若关于x的方程111m xx x----=0有增根，则m的值是______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．求m的值；求|m﹣1|+（m+6）0的值．20．（6分）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A），豆沙粽子（记为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．根据以上情况，请你回答下列问题：假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．21．（6分）小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界游玩．()1小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为________；()2求他们三人在同一个半天去游玩的概率．22．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE=DF，求证：AE=CF．23．（8分）在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=110°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图1），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB 的度数为．在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=1．请直接写出线段BE的长为．24．（10分）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点.从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D 两处的费用分别为每吨15元和18元.设从B地运往C处的蔬菜为x吨.请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；C D 总计/tA 200B x 300总计/t 240 260 500（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案.25．（10分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A ．唐诗；B ．宋词；C ．论语；D ．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．26．（12分）如图，抛物线2y a(x 1)4=-+与x 轴交于点A ，B ，与轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点D ，连结BD ，已知点A 坐标为（-1，0）．求该抛物线的解析式；求梯形COBD 的面积．27．（12分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t 表示，单位：小时)，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0t 2≤<，2t 3≤<，3t 4≤<，t 4≥分为四个等级，并依次用A ，B ，C ，D 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：1（）求本次调查的学生人数；2（）求扇形统计图中等级B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； 3（）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3t 4≤<的人数． 参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案． 【详解】A 、a 3•a 2=a 5，故A 选项错误；B 、a ﹣2=21a ，故B 选项错误； C 、﹣C 选项正确；D 、（a+2）（a ﹣2）=a 2﹣4，故D 选项错误， 故选C ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．B 【解析】 【详解】 把11x y =⎧⎨=-⎩代入方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩得：231a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得：4313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以a−2b=43−2×(13-)=2. 故选B. 3．A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可． 【详解】由题意得：m ﹣1≠0， 解得：m≠1，【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 4．A 【解析】【分析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解． 【详解】∵E 是AC 中点，∵EF ∥BC ，交AB 于点F ， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD 的周长是4×6=24， 故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.5．D 【解析】 【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x 的取值范围，然后选择即可． 【详解】由题意得，2x+y=10， 所以，y=-2x+10， 由三角形的三边关系得，()2210210x x x x x -+--+⎧⎨⎩＞①＜②，解不等式①得，x ＞2.5， 解不等式②的，x ＜5，所以，不等式组的解集是2.5＜x ＜5，正确反映y 与x 之间函数关系的图象是D 选项图象． 故选：D ． 6．D 【解析】 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案．A、，故A正确；B、分子、分母同时乘以﹣1，分式的值不发生变化，故B正确；C、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C正确；D、≠，故D错误；故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变．7．C【解析】【分析】y随x的增大而减小，可得一次函数y=kx+b单调递减，k＜0，又满足kb<0，可得b>0，由此即可得出答案．【详解】∵y随x的增大而减小，∴一次函数y=kx+b单调递减，∴k＜0，∵kb<0，∴b>0，∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限，故选C．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的图象和性质是解题的关键.8．A【解析】【分析】分别解两个不等式得到得x＜20和x＞3-2a，由于不等式组只有5个整数解，则不等式组的解集为3-2a＜x ＜20，且整数解为15、16、17、18、19，得到14≤3-2a＜15，然后再解关于a的不等式组即可．【详解】255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩①② 解①得x ＜20解②得x ＞3-2a ，∵不等式组只有5个整数解，∴不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20，∴14≤3-2a ＜15，1162a ∴-<-… 故选：A【点睛】 本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能求出不等式14≤3-2a ＜15是解此题的关键．9．A【解析】试题分析：由折叠的性质知，CD=DE ，BC=BE ．易求AE 及△AED 的周长．解：由折叠的性质知，CD=DE ，BC=BE=7cm ．∵AB=10cm ，BC=7cm ，∴AE=AB ﹣BE=3cm ．△AED 的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm ）．故选A ．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．B【解析】【详解】试题分析：把x=﹣2代入关于x 的一元二次方程x 2﹣52ax+a 2=0 即：4+5a+a 2=0解得：a=-1或-4，故答案选B ．考点：一元二次方程的解；一元二次方程的解法．11．D【解析】【详解】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4.∴根据勾股定理，得：OC=5.∵四边形OABC是菱形，∴点B的坐标为（8，4）.∵点B在反比例函数(x>0)的图象上，∴.故选D.12．B【解析】分析：根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．详解：如图，∵AB∥CD，∠1=45°，∴∠4=∠1=45°，∵∠3=80°，∴∠2=∠3-∠4=80°-45°=35°，故选B．点睛：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．±3【解析】分析：本题是绝对值、平方根和有理数减法的综合试题，同时本题还渗透了分类讨论的数学思想．详解：因为|x|=1，所以x=±1．因为y2=16，所以y=±2．又因为xy＜0，所以x、y异号，当x=1时，y=-2，所以x-y=3；当x=-1时，y=2，所以x-y=-3．故答案为：±3.点睛：本题是一道综合试题，本题中有分类的数学思想，求解时要注意分类讨论．14．π﹣1【解析】【分析】根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【详解】连接OC∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，∴∠COD＝45°，∴OC＝2CD＝12，∴CD＝OD＝1，∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积＝24522360gπ（）﹣12×11＝π﹣1．故答案为π﹣1．【点睛】本题考查正方形的性质和扇形面积的计算，解题关键是得到扇形半径的长度．15．1 4【解析】【分析】利用相似三角形的性质即可解决问题；【详解】∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴14OA AB OC CD ==， 故答案为14． 【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．2.【解析】试题分析：已知方程x 2－2x 1m +-=0有两个相等的实数根,可得：△＝4－4（m －1）＝－4m ＋8＝0，所以，m ＝2.考点：一元二次方程根的判别式.17．5． 【解析】【详解】解：连接CE ，∵根据图形可知DC=1，AD=3，AC=223110+=，BE=CE=22112+=，∠EBC=∠ECB=45°， ∴CE ⊥AB ，∴sinA=2510CE AC ==， 故答案为5．考点：勾股定理；三角形的面积；锐角三角函数的定义．18．2【解析】去分母得，m-1-x=0.∵方程有增根，∴x=1, ∴m-1-1=0, ∴m=2.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）2 ；（22【解析】试题分析：()1 点A 表示2, 向右直爬2个单位到达点B ，点B 表示的数为22m =-，()2把m 的值代入，对式子进行化简即可．试题解析：()1 由题意A 点和B 点的距离为2，其A 点的坐标为 因此B 点坐标 2.m = ()2把m 的值代入得：()()00162126m m -++=-+， (018=-+，11=+，=20．（1）12；（2）316 【解析】【详解】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，而取到红枣粽子的结果有2种则P （恰好取到红枣粽子）=12. （2）由题意可得，出现的所有可能性是：（A ，A ）、（A ，B ）、（A ，C ）、（A ，C ）、（A ，A ）、（A ，B ）、（A ，C ）、（A ，C ）、（B ，A ）、（B ，B ）、（B ，C ）、（B ，C ）、（C ，A ）、（C ，B ）、（C ，C ）、（C ，C ），∴由上表可知，取到的两个粽子共有16种等可能的结果，而一个是红枣粽子，一个是豆沙粽子的结果有3种，则P （取到一个红枣粽子，一个豆沙粽子）=316. 考点：列表法与树状图法；概率公式．21．（1）14；（2）14【解析】【分析】（1）根据题意，画树状图列出三人随机选择上午或下午去游玩的所有等可能结果，找到小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果，根据概率公式计算可得；（2）由（1）中树状图，找到三人在同一个半天去游玩的结果，根据概率公式计算可得．【详解】解：（1）根据题意，画树状图如图：由树状图可知，三人随机选择本周日的上午或下午去游玩共有8种等可能结果，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果有（上，上，上）、（上，上，下）2种，∴小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为28=14；（2）由（1）中树状图可知，他们三人在同一个半天去游玩的结果有（上，上，上）、（下，下，下）这2种，∴他们三人在同一个半天去游玩的概率为28=14．答：他们三人在同一个半天去游玩的概率是14．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．22．见解析【解析】【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．23．（1）①△D′BC是等边三角形，②∠ADB=30°（1）∠ADB=30°；（3）7+3或7﹣3【解析】【分析】（1）①如图1中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC 是等边三角形；②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．（1）当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．（3）第①种情况：当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）①如图1中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∵∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，在△ABD和△ABD′中，AB ABABD ABD BD BD'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，∵BD=BD′，BD=BC，∴BD′=BC，∴△D′BC是等边三角形，②∵△D′BC是等边三角形，∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，在△AD′B和△AD′C中，AD AD D B D C AB AC=⎧⎪=⎨⎪=''⎩'∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∴∠AD′B=12∠BD′C=30°，∴∠ADB=30°．（1）∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤110°，如图3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAC=α，∴∠ABC=12（180°﹣α）=90°﹣12α，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣12α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣12α﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣12α﹣β+90°﹣12α=180°﹣（α+β），∵α+β=110°，∴∠D′BC=60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∴∠AD′B=12∠BD′C=30°，∴∠ADB=30°．（3）第①情况：当60°＜α＜110°时，如图3﹣1，由（1）知，∠ADB=30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB=30°，AD=1，∴DE=3，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'=BC=7，∴BD=BD'=7，∴BE=BD﹣DE=7﹣3；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=12（180°﹣α）=90°﹣12α，∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣（90°﹣12α），同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=β﹣（90°﹣12α），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣12α﹣[β﹣（90°﹣12α）]=180°﹣（α+β），∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，∴∠ADB=∠AD′B=150°，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=1，∴DE=3，∴BE=BD+DE=7+3，故答案为：7+3或7﹣3．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（1）见解析；（2）w=2x+9200，方案见解析；（3）0<m<2时,(2)中调运方案总运费最小；m=2时，在40⩽x⩽240的前提下调运方案的总运费不变；2<m<15时，x=240总运费最小.【解析】【分析】（1）根据题意可得解．（2）w与x之间的函数关系式为：w=20(240−x)+25(x−40)+15x+18(300−x)；列不等式组解出40≤x≤240，可由w随x的增大而增大，得出总运费最小的调运方案．（3）根据题意得出w与x之间的函数关系式，然后根据m的取值范围不同分别分析得出总运费最小的调运方案．【详解】解：(1)填表：依题意得：20(240−x)+25(x−40)=15x+18(300−x).解得：x=200.(2)w与x之间的函数关系为：w=20(240−x)+25(x−40)+15x+18(300−x)=2x+9200.依题意得：24004000 3000xxxx-⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-⎩…………∴40⩽x⩽240在w=2x+9200中，∵2>0，∴w随x的增大而增大，故当x=40时,总运费最小,此时调运方案为如表.(3)由题意知w=20(240−x)+25(x−40)+(15-m)x+18(300−x)=(2−m)x+9200∴0<m<2时,(2)中调运方案总运费最小;m=2时，在40⩽x⩽240的前提下调运方案的总运费不变;2<m<15时，x=240总运费最小，其调运方案如表二.【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于根据题意列出w与x之间的函数关系式，并注意分类讨论思想的应用.25．(1) 14；（2）112.【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=14； （2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．26．（1）2y (x 1)4=--+（2）()OCDA 133S 62+⨯==梯形 【解析】【分析】 （1）将A 坐标代入抛物线解析式，求出a 的值，即可确定出解析式．（2）抛物线解析式令x=0求出y 的值，求出OC 的长，根据对称轴求出CD 的长，令y=0求出x 的值，确定出OB 的长，根据梯形面积公式即可求出梯形COBD 的面积．【详解】（1）将A （―1，0）代入2y a(x 1)4=-+中，得：0=4a+4，解得：a=－1．∴该抛物线解析式为2y (x 1)4=--+．（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=2，即OC=2，∵抛物线2y (x 1)4=--+的对称轴为直线x=1，∴CD=1．∵A （－1，0），∴B （2，0），即OB=2．∴()OCDA 133S 62+⨯==梯形． 27．()1本次调查的学生人数为200人；()2B 所在扇形的圆心角为54o ，补全条形图见解析；()3全校每周课外阅读时间满足3t 4≤<的约有360人．【解析】【分析】()1根据等级A 的人数及所占百分比即可得出调查学生人数；()2先计算出C 在扇形图中的百分比，用()1[A D C -++在扇形图中的百分比]可计算出B 在扇形图中的百分比，再计算出B 在扇形的圆心角；()3总人数⨯课外阅读时间满足3t 4≤<的百分比即得所求．【详解】()1由条形图知，A 级的人数为20人，由扇形图知：A 级人数占总调查人数的10%， 所以：1002010%20200(10÷=⨯=人)， 即本次调查的学生人数为200人；()2由条形图知：C 级的人数为60人，所以C 级所占的百分比为：60100%30%200⨯=， B 级所占的百分比为：110%30%45%15%---=，B 级的人数为20015%30(⨯=人)，D 级的人数为：20045%90(⨯=人)，B 所在扇形的圆心角为：36015%54⨯=o o ，补全条形图如图所示：；()3因为C 级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3t 4≤<的人数为：120030%360(⨯=人)，答：全校每周课外阅读时间满足3t 4≤<的约有360人．【点睛】本题考查了扇形图和条形图的相关知识，从统计图中找到必要的信息进行解题是关键.扇形图中某项的百分比100%=⨯该项人数总人数，扇形图中某项圆心角的度数360=⨯o 该项在扇形图中的百分比．。
22.1 一元二次方程 华师大版数学九年级上册教案
第22章一元二次方程22.1 一元二次方程※教学目标※【知识与技能】1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项.【过程与方法】通过观察,归纳一元二次方程的概念.【情态态度】进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.【教学重点】一元二次方程的概念及其一般形式.【教学难点】正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程.※教学过程※一、情境导入问题1：绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（只列方程）分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题.设绿地的宽为x米，不难列出方程：x(x+10)=900.整理，得+10x-900=0.①问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率.（只列方程）分析：设这两年的年平均增长率为x.已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册.同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)倍，即5(1+x)(1+x)=5(万册).可得出方程：5=7.2.整理可得5+10x-2.2=0. ②二、探索新知1.请回答下面问题：（1）上面两个方程整理后是整式方程吗？含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数是几？（学生分组讨论，然后各组交流）答：这两个方程（1）都是整式方程；（2）都只含一个未知数；（3）含未知数的项的最高次数都是2.2.一元二次方程的定义：一个整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.【例1】下列方程哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？（1）3x+2=5x-3;(2)=4;(3)(x-1)(x-2)=+8;(4)(x+3)(3x-4)=;(5)+2-3=0;(6)+2x=x(+x)+3.分析：（1）、（3）、（4）、（6）需要先整理成最简形式再进行判断.解：其中（1）、（3）是一元一次方程；（2）、（4）、（6）是一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式：a+bx+c=0(a、b、c是已知数，a≠0).其中a叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项.【例2】把方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项.解：去括号，得3-3x=2x+4+8.化简，得3-5x-12=0.二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是-12.【说明】通过例题的讲解，让学生明确一元二次方程的一般形式具有的两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0.此外二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异.但同一个一元二次方程写出的一般形式可能不同（只是符号不同），一般我们写二次项的系数为正的那个.三、巩固练习1.下列方程中哪些是关于x的一元二次方程？（1）-4x+2=0;(2)+x-=0;(3)=0(x,y都是未知数);（4）+x=0;(5)=(x-1)(x+1);(6)=+2.2.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：;答案：1.(1)(6)2.（1）原方程变形为=0.二次项系数为3，一次项系数为-1,常数项为-2.(2)原方程变形为+3=0.二次项系数为2，一次项系数为-7,常数项为3.(3)整理，得=0.二次项系数为1，一次项系数为-5,常数项为0.(4)整理，得-11=0.二次项系数为2，一次项系数为-5,常数项为-11.四、应用拓展【例3】方程在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？解：当a≠2时是一元二次方程；当a=2，b≠0时是一元一次方程.【例4】已知关于x的一元二次方程有一根为2，求m.分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程.解：将x=2代入原方程，得4(m-1)+6-5m+4=0.解得m=6.五、归纳小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为，一元二次方程的项及系数都是根据一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.※课后作业※1.教材习题22.1第1、2、3题.。
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是华师大版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握一元二次方程的解法、性质和应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
通过本章的学习，学生能理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程，并通过例子让学生感受一元二次方程的应用。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.理解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
2.利用数形结合法，帮助学生理解一元二次方程的性质。
3.运用实例讲解法，让学生感受一元二次方程的应用。
4.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生学习一元二次方程。
2.准备一元二次方程的例题，用于讲解一元二次方程的解法。
3.准备一元二次方程的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过呈现一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
例如，某商品打8折后售价为120元，求原价。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义和性质，让学生了解一元二次方程的概念。
同时，通过例子讲解一元二次方程的解法，让学生掌握解一元二次方程的方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。
「精品」九年级数学上册第22章一元二次方程22.1一元二次方程导学案新版华东师大版
22.1 一元二次方程【学习目标】1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
【学习重难点】理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
【学习过程】一、课前准备1、 叫方程。
叫一元一次方程 叫二元一次方程 分式方程2、下列方程是一元一次方程的有 ，是分式方程的有 ，二元一次方程的有 。
①3x-2=0 ②x 1+2=x ③x+2y=3 ④13221+=-++y y y ⑤s+t=8 ⑥2x +2x-4=0 ⑦2x -x=56二、学习新知自主学习：问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析：现设长方形绿地的宽为x 米，则长为 米，可列方程 ，整理得 ①.问题2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 分析：设这两年的年平均增长率为x ，则今年的图书为为 万册，明年的图书为 万册，可列方程 ， 整理得 ②方程①、②是一元一次方程吗？；方程①、②是一元一次方程的相同点：；。
方程①、②是一元一次方程的不同点：3.像方程①、②这样的方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.4.一元二次方程的一般形式为（a,b,c为常数, ≠0）其中a叫做、b叫做、c为。
实例分析：例1、请分别指出问题1和问题2中两个方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
解：【随堂练习】1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5=0xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________．3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________4.关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？5．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．6．一元二次方程的一般形式是__________．【中考连线】关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一根为0，求a的值【参考答案】随堂练习1、A2、1≠a3、13-=m4、是5、3，-2、-46、 ax 2+bx+c=0（a ≠0）．中考连线a=－1。
华师大版-数学-九年级上册- 一元二次方程 导学案1
第二十二章一元二次方程22.1 一元二次方程学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程，准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
导学流程：自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设长方形绿地的宽为x米，则长为米，可列方程x（）= ，去括号得①.你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？探究新知【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？合作交流动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是② .自主学习【做一做】根据题意列出方程：1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm 2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？ 观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
【我学会了】1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。
【例2】 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》教学设计
华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是学生首次接触二次方程。
本节课的内容包括一元二次方程的定义、解法、判别式等，为学生后续学习函数、不等式等数学知识打下基础。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握一元二次方程的解法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够熟练运用一次方程和不等式解决问题。
但一元二次方程较为抽象，学生可能难以理解其本质。
同时，学生对于解方程的技巧和方法还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，学会用代数方法解决实际问题，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，判别式的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，让学生感受数学与生活的联系。
2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探索一元二次方程的解法，培养学生的团队合作意识。
3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对一元二次方程的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示一元二次方程的定义、解法、判别式等知识点。
2.练习题：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.教学视频：准备一元二次方程的解法教学视频，用于引导学生直观地理解解法过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解一个实际问题：一个二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，已知A点坐标为(1,0)，求B点的坐标。
华师大版-数学-九年级上册- 第22章 22.1.1一元二次方程 导学案
学习目标1.理解一元二次方程的概念；2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项。
自学教材：P18～19页，基础梳理：1、只含有 个未知数，并且未知数的 方程叫一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，二次项系数是 ，一次项系数是 。
3、使一元二次方程左右两边 叫一元二次方程的解。
合作探究探究点一：一元二次方程的定义例1、 请判断下列方程是否为一元二次方程：①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x =0 类题突破：1、下列方程中属于一元二次方程的是_____A. 23(1)2(1)x x +=+B.2110x x += C. 20ax bx c ++= D. 2221x x x +=- 2、若方程()2310m m x mx -++=是关于x 的一元二次方程，则_____A. 2m =±B. 2m =C. 2m =-D. 2m ≠±3、关于x 方程 , 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？探究点二：一元二次方程的一般形式例2、 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．（1）1x 2x 32=- （2）1-x 2x 3-2= （3）0x 2x 32=- （4）1x 3-2=一 般 形式： 一 般 形式： 一 般 形式： 一 般 形式：二次项系数： 二次项系数： 二次项系数： 二次项系数：一次项系数： 一次项系数： 一次项系数： 一次项系数：常 数 项： 常 数 项： 常 数 项： 常 数 项：（5）（x-1）2=5(x+2) （6）6)5x (x 21)2x 2-+=+-（ （7）22(32)0x a x a b b --+-= 一 般 形式： 一 般 形式： 一 般 形式：二次项系数： 二次项系数： 二次项系数：一次项系数： 一次项系数： 一次项系数：常 数 项： 常 数 项： 常 数 项：探究点三：一元二次方程的解例3、（1）、下面哪些数是方程2x 2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．（2）、若x=1是关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值。
华师大版数学九年级数学上册22.1：一元二次方程优秀教学案例
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、坚持不懈的精神，锻炼学生的意志力。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识和实践能力。
4.通过对一元二次方程的学习，培养学生具有良好的学习习惯，例如认真审题、仔细计算、总结经验等。
三、教学策略
（一）情景创设
1.以生活情境引入一元二次方程的学习，例如通过实际问题，让学生感受到一元二次方程在现实生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.采用探究式学习方法，引导学生主动发现一元二次方程的解法，提高学生的自主学习能力。
3.利用小组合作学习，让学生在讨论和交流中掌握一元二次方程的解法，培养学生的团队协作能力。
4.设计具有梯度的练习题，让学生在实践中不断提高解题能力，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.通过一元二次方程的学习，培养学生对数学的兴趣，使学生能够积极主动地参与数学学习。
2.教授一元二次方程的解法，包括因式分解法、求根公式法等，使学生能够灵活运用各种方法解一元二次方程。
3.培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力，例如在几何、物理、化学等领域中的应用。
4.通过对一元二次方程的学习，使学生能够理解和掌握数学中的符号语言，提高学生的数学表达能力。
（二）过程与方法
1.通过生活情境的引入，让学生感受一元二次方程的实际意义，培养学生的应用意识。
（四）总结归纳
1.邀请各小组代表汇报讨论成果，总结一元二次方程的解法及其应用。
【精品】华师大版初三九年级数学上册-22.1一元二次方程 学案
第二十二章一元二次方程22．1 一元二次方程学习内容1．一元二次方程根的概念；2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．学习目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根；2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．学习过程一、自学教材针对目标自学教材18页—19页内容二、合作交流，解读探究先独立思考，有困难时请求他人帮助，10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目：1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．三、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．。
【新华东师大版】九年级数学上册：22.1《一元二次方程》学案
22.1 —兀二次方程学习目标1.知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax 2 bx c 0（ a丰0）2 •在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过 程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
3 •正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项 重点：一元二次方程的一般形式。
难点：正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项。
教学过程：一、问题导入： 问题一：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为 900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析：现设长方形绿地的宽为 x 米，则长为 _____________________ 米，可列方程整理得 7. 2万册.求这两年的年平均问题二：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到增长率.分析：设这两年的年平均增长率为 x .已知去年年底的图书数是 5万册，则今年年底的图书数是万册； 同样，明年年底的图书数又是今年年底的万册•可列得方程整理可得 __________________________________________ 二、一元一次方程： 问题三：前面我们已经认识了一元一次方程， 那么方程x 2 10x 900 0和5x 2 10x 2.2 0是一元一次方程吗？答案显而易见， 不是。
那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？概括：方程x2 10x 900 0 , 5x2 10x 2.2 0中都只含有—个未知数，并且未知数的最高次数都是_，这样的整式方程叫做一个一元二次方程•一元二次方程的一般形式：2 _________________________________________ax + bx+ c= 0(a、b、c是已知数，a* 0)其中a叫做二次项系数、b叫一次项系数，c叫常数项.三、例题讲解例：把方程3x(x 1) 2(x 2) 8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数，常数项。
华东师大初中数学九上《22.1一元二次方程》word教案 (1)
一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a ≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.三、运用新知，深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；（2）4x 2-81=0；4，0，-81（3）4x 2+8x-25=0；4，8，-25（4）3x 2-7x+1=0；3，-7，1.2.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：（1）4x 2=25；4x 2-25=0；（2）x （x-2）=100；x 2-2x-100=0；（3）x=（1-x ）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根，求a 的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.∴4a+8-5=0解得：a=-43. 四、师生互动，课堂小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题.。
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22.1 一元二次方程（第1课时） 学案
【学习目标】
1．理解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式，正确认识一次项系数，二次项系数及常数项．
【重点难点】
重点：一元二次方程的概念及一般形式.
难点：由实际问题向数学问题的转化过程和正确识别一般式中的项及系数.
【学前准备】
1.你能说出一元一次方程的一般形式吗？
2.还记起解一元一次方程的步骤吗？
【课中探究】
自主探究一：
有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,
就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方
形?
（1）如何设未知数？并根据题目的等量关系列出方程？
（2）将方程整理化简得x 2-75x+350=0
（3）简要说出此方程中未知数的个数和次数各是多少.
自主探究二：
要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计
划安排7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
(1) 此次排球邀请赛共赛多少场？
(2) 设有x 个队参赛，根据要求每个队应赛几场？
(3) 如果总比赛场数用x 表示，是否就是x （x-1）场，如果不是应是多少场？
(4)列出方程并化简后说出方程中未知数的个数和次数各是多少？
思考：综合以上两个方程:
(1)方程两边是否都是整式？(2)方程中有几个未知数？(3)未知数的最高次数是几次？
总结：一元二次方程的概念.
一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中 是二次项， 是二次项系数； 是一
次项， 是一次项系数； 是常数项．
【尝试应用】
1.指出下列一元二次方程中的各项并说出一次项和二次项的系数.
（1）3t 2+12t-2=0； （2）-2y 2-y-2=0； （3） 7x-3x 2-2=0.
2.例1 将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
分析：把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，经常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数．
3.例２ 若关于ｘ的方程2(3)10k x kx +-+=是一元二次方程，求ｋ的取值范围．
4.练习（一）下列方程是一元二次方程的是： （只填序号）
（1）8124=x ； （2） （4） 02=++c bx ax
（5）
(6)40xy += ．
（二）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项：
①6x 2＝3-7x ②3x(x-1)＝2(x 十2)—4 ③ (3x 十2)2＝4(x-3)2
【补偿提高】
1.若方程(m-1)x 2+m x=1是关于x 的一元二次方程，则x 的取值范围是（ ）
A. m ≠1
B. m ≥0且 m ≠1
C. m ≥0
D.m 为任意数
2.把方程(x+1)2-2(x-1)2=6x-5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数依次是：
A. 1、0、-4 B .-1、0、4 C. 2、1、-3 D.3、-1、0
3．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x ．
【学习体会】
1.本节课你有哪些收获？还有哪些地方有疑惑？
2.你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方?
【当堂达标】 1．一元二次方程12)3)(31(2+=-+x
x x 化为一般形式为： ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 2．已知关于的一元二次方程012)1(2=-++x x
m ，则m 应满足 ． 3．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A.13722+=-y x B.02652=--y x C.x x x +=-2
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D.05)3(2=++-+c x b ax 4．根据问题列方程，并将它化成一元二次方程的一般形式．
一张桌子的桌面长为6米，宽为4米．台布面积是桌面面积的2倍．如果将台布铺在桌子上各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽．。