特殊平行四边形：动点问题.doc
第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练2022-2023学年北师大版数学九年级上册
北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练1.如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，点P是底边BC上的一个动点，PD//AC，PE//AB．(1)用a表示四边形ADPE的周长为．(2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由．(3)如图2，如果△ABC不是等腰三角形，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)．2.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE=OF；(2)若CE=8，CF=6，求OC的长；(3)若点O为AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．3.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务，如图(1)，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME//AC交BD于点E，作MF//AC交AC于点F，我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”．(1)若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是______，若四边形ABCD是矩形，则其“伴随四边形”是______(在横线上填特殊平行四边形的名称)；(2)如图(2)，若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME、MF之间的数量关系，并说明理由．4.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一动点，(点G不与C、D重合)以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；(1)猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；并证明你的结论．(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转一定角度，得到如图2情形．请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并说明理由．5.如图：正方形OABC置于坐标系中，B的坐标是(−4,4)，点D是边OA上一动点，以OD为边在第一象限内作正方形ODEF．(1)CD与AF有怎样的位置关系，猜想并证明；(2)当OD=______时，直线CD平分线段AF；(3)在OD=2时，将正方形ODEF绕点O逆时针旋转α°(0°<α°<180°)，求当C、D、E共线时D的坐标．6.如图在正方形ABCD中，边长为3，点P是射线DC上的动点，DM⊥AP于M，BN⊥AP于N．(1)当点P与C、D重合时，DM2+BN2的值分别为______、______；(2)当点P不与D、C重合时，试猜想DM2+BN2的值，并对你的猜想加以证明．7.如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下面的问题：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°.当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图②，线段CF、BD之间的数量关系为______，位置关系为______.(写出证明过程)(2)如图③，线段CF、BD之间的数量，位置关系是否成立？______(填“是”或“否”)．8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P为线段AB上不与A，B重合的一个动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△BPQ绕点B逆时针旋转，连接CP，点D为CP中点，连接AD，AQ，DQ，已知AC=3，AB=6．(1)当旋转角为0°时，如图1，线段AD与线段QD的数量关系为______ ；(2)如图2，当点P，Q，C第一次旋转到一条直线上时，试找出线段CQ、PQ，AD的数量关系并说明理由；(3)旋转过程中，当点P为边AB的三等分点时，直接写出线段AD的最大值．9.如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE。
人教版八年级下册数学《平行四边形》动点问题带答案
《平行四边形》动点问题（一） 1. 如图，在△ABC 中，△ACB=90°，CD△AB 于点D ，点P 在线段DB 上，点M 是边AC 的中点，连接MP ，作△MPQ=90°，点Q 在边BC 上，若AC=6，BC=8，则（ ）A ．当CQ=4时，点P 与点D 重合B ．当CQ=4时，△MPA=30°C ．当PD=57时，CQ=4 D ．当PM=PQ 时，CQ=4 【答案】C2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，AF=6cm ，BF=12cm ，△FBM=△CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动 时，以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】3或5秒3. 已知四边形ABCD ，△ABC=45°，△C=△D=90°，含30°角（△P=30°）的直角三角板PMN （如图）在图中平移，直角边MN△BC ，顶点M 、N 分别在边AD 、BC 上，延长NM 到点Q ，使QM=PB ．若BC=10，CD=3，则当点M 从点A 平移到点D 的过程中，点Q 的运动路径长为__________。
【答案】27△当P点有8个时，x=22-2；△当△PEF是等边三角形时，P点有4个A．△△B．△△C．△△D．△△【答案】B6.如图，在△ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，△A=60°．点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F的运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时停止运动，经过s时，EF=AB．7.如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（）A．下滑时，OP增大B．上升时，OP减小C．无论怎样滑动，OP不变D．只要滑动，OP就变化【答案】C8.如图，E是△ABCD边AD上动点，连接CE作△ECDN，过A点作AM△EN，交EN延长线于点M，作矩形AMEF，动点E从A出发，沿着AD方向运动到终点D，在整个运动变化的过程中，记△ECDN的面积为S2，矩形AMEF的面积为S1，则S1+S2大小变化情况是（）A．一直在减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】C9. 如图，在矩形OAHC 中，OC=8，OA=12，B 为CH 中点，连接AB ．动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM ，CN ，MN ，设运动时间为t （秒）（0＜t ＜10）．则t= 时，△CMN 为直角三角形．【答案】27或424141 10. 如图，已知矩形ABCD ，AB=8，AD=4，E 为CD 边上一点，CE=5，点P 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA 边向终点A 运动，连接PE ，设点P 运动的时间为t 秒，则当t 的值为 时，△PAE 是以PE 为腰的等腰三角形．动点．若点P 从点F 出发，沿F→A→D→C 的路线运动，当△FPE=30°时，FP 的长为__________。
与特殊的平行四边形有关的动点问题
第13讲 与特殊的平行四边形有关的动点问题小测试 总分10分 得分___________2．（6分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，将其折叠，使点A 与点C 重合，则折痕EF 的长为________．25【教学目标】能熟练运用特殊平行四边形的性质定理和判定定理解决动点问题． 【教学重难点】根据已知几何图形间的位置关系和数量关系（如平行、全等），建立方程，解决动点涉及到的特殊平行四边形的存在性等问题．【考点1】菱形的存在性问题【例1】如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 上两点，且AE ＝CF ．（1）求证：四边形BEDF 为平行四边形．（2）若AB ＝6，AD ＝9，则当AE 为何值时，四边形BFDE 为菱形．（2）AE ＝2.5【例2】如图，平行四边形ABCD 中，AD ＝9cm ，CD ＝32cm ，∠B ＝45°，点M 、N 分别以A 、C 为起点，1cm /秒的速度沿AD 、CB 边运动，设点M 、N 运动的时间为t 秒（0≤t ≤6）．（1）求BC 边上高AE 的长度； （2）连接AN 、CM ，当t 为何值时，四边形AMCN 为菱形．t ＝15/4【考点2】矩形的存在性问题【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝20cm ，BD ＝12cm ，两动点E 、F A D E F B CA D EBC NM A DF B CE同时分别以2cm /s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 上运动．（1）求证：当E 、F 运动过程中不与点O 重合时，四边形BEDF 一定为平行四边形；（2）当E 、F 运动时间t 为何值时，四边形BEDF 为矩形？t ＝2s 或8s【例4】如图，△ABD 和△CEF 都是斜边长为2cm 的全等直角三角形，其中∠ABD ＝∠FEC ＝60°，且B 、D 、C 、E 在同一直线上，DC ＝4．（1）求证：四边形ABFE 是平行四边形．（2）△ABD 沿着BE 的方向以每秒1cm 的速度运动，设△ABD 运动的时间为t s ．①当t 为何值时，□ABFE 是菱形？请说明理由；t ＝4s②□ABFE 有可能是矩形吗？若可能，求出t 的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．t ＝2s S 矩形ABFE ＝43cm 2【家庭作业】1．如图，△ABC 和△DEF 是两个边长都为1cm 的等边三角形，且B 、D 、C 、E 都在同一直线上，连接AD 及CF ．（1）求证：四边形ADFC 是平行四边形；A B E D FC（2）若BD＝0.3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒，①当t为何值时，□ADFC是菱形？请说明你的理由；t＝0.3s②□ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．t＝1.3s S矩形ADFC＝3cm22．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，点P从B出发向点C运动，速度为1cm/s，点Q从C出发，沿C－D－A方向运动，速度为2cm/s，P、Q两点同时出发，当点Q到达终点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动的时间为t（s）．（1）当点P是线段BC的中点时，求AP的长；5cm （2）t为何值时，四边形AQCP是平行四边形．t＝4QA DB C备用图AB DCEF。
初二数学《平行四边形中的动点问题》(附练习及答案)
四边形中的动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。
解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。
数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。
这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。
解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______（第9题）（第10题）10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。
特殊平行四边形动点问题
特殊四边形：动点问题题型一：1．已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =2,BC =DC =5,点P 在BC 上移动,则当PA +PD 取最小值时,△APD 中边AP 上的高为A 、17172B 、17174C 、 17178D 、3 2.如图4,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＝6,BC ＝16,E 是BC 的中点.点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发,沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发,沿CB 向点B 运动.点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动.当运动时间t ＝ 秒时,以点P ,Q ,E ,D 为顶点的四边形是平行四边形.3．如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,E 是BC 的中点,AD=5,BC=12,CD=42,∠C=045,点P 是BC 边上一动点,设PB 长为x.1当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形. 2当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形.3点P 在BC 边上运动的过程中,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形试说明理由.4.在一个等腰梯形ABCD 中,AD1.t 为何值时,四边形ABQP 为平行四边形2.四边形ABQP 能为等腰梯形吗如果能,求出t 的值,如果不能,请说明理由;6.梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P 从点A 开始,沿AD 边,以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始,沿CB 边,以3厘米/秒的速度向B 点运动;已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发,,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动;假设运动时间为t 秒,问：1t 为何值时,四边形PQCD 是平行四边形2在某个时刻,四边形PQCD 可能是菱形吗为什么3t 为何值时,四边形PQCD 是直角梯形4t 为何值时,四边形PQCD 是等腰梯形5 t 为何值时, APQ 是等腰三角形7．如图,在直角梯形ABCD 中,∠B=90°,AD ‖BC,且AD=4cm,AB=8cm,DC=10cm;若动点P 从点A 出发,以每秒4cm 的速度沿线段AD 、DC 向C 点运动；动点Q 从C 点以每秒5cm 的速度沿CB 向B 点运动;当Q 点到达B 点时,动点P 、Q 同时停止运动;设P 、Q 同时出发,并运动了t 秒; 1直角梯形ABCD 的面积为__________cm 的平方.2当t=________秒时,四边形PQCD 为平行四边形;3当t=________秒时,PQ=DC4是否存在t,使得P 点在线段DC 上,且PQ ⊥DC 如图2所示若存在,列出方程求出此时的t ；若不存在,请说明理由;8．如图,在直角梯形ABCD 中,∠B=90°,AB ‖CD,且AB=4cm,BC=8cm,DC=10cm;若动点P 从点A 出发,以每秒1cm 的速度沿线段AB 、BC 向C 点运动；动点Q 从C 点以每秒1cm 的速度沿CB 向B 点运动;当Q 点到达B 点时,动点P 、Q 同时停止运动;设P 、Q 同时出发,并运动了t 秒; 1直角梯形ABCD 的面积为__________cm 的平方.2当t=________秒时,四边形PBCQ 为平行四边形;3当t=________秒时,PQ=BC.10. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD,其中AB=12 cm,CD=6cm ,梯形的高为4,点P 从开始沿AB 边向点B 以每秒3cm 的速度移动,点Q 从开始沿CD 边向点D 以每秒1cm 的速度移动,如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发,当其中一点到达终点时运动停止;设运动时间为t 秒; 1求证：当t 为何值时,四边形APQD 是平行四边形；2PQ 是否可能平分对角线BD 若能,求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若不能,请说明理由； 3若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形,求t 的值;11.如图,在直角梯形ABCD 中,AB1求CD 的长;2当四边形PBQD 为平行四边形时,求四边形PBQD 的周长；3在点P,点Q 的运动过程中,是否存在某一时刻,使得ΔBPQ 的面积为20cm 2若存在,请求出所有满足条件的t 的值；若不存在,请说明理由;13. 已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .1如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；2如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b 单位:cm ,0ab ≠,已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.14.已知：如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC,∠B=90°,BC=8cm,CD=24cm,AB=26Cm,点P 从C 出发,以1cm/s 的速度向D 运动,点Q 从A 出发,以3cm/s 的速度向B 运 动,其中一动点达到端点时,另一动点随之停止运动．从运动开始．1经过多少时间,四边形AQPD 是平行四边形2经过多少时间,四边形AQPD 成为等腰梯形3在运动过程中,P 、Q 、B 、C 四点有可能构成正方形吗为什么A BC D EF 图10-1 O 图10-2 备用图如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P 从点B 出发,沿射线BC 的方向以每秒2cm 的速度运动,动点Q 从点A 出发,在线段AD 上以每秒1cm 的速度向点D 运动,点P,Q 分别从点B,A 同时出发,当点Q 运动到点D 时,点P 随之停止运动,设运动的时间为t 秒．①当t 为何值时,四边形PQDC 是平行四边形；②当t 为何值时,以C,D,Q,P 为顶点的梯形面积等于60cm 2 ③是否存在点P,使△PQD 是等腰三角形若存在,请求出所有满足要求的t 的值,若不存在,请说明理由． 15.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=6,DC=10,AB=65,∠B=45°．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．16.1求BC 的长．17.2当MN ∥AB 时,求t 的值．18.3△MNC 可能为等腰三角形吗若能,请求出t 的值；若不能,请说明理由．（4）△MNC 可能为直角三角形吗若能,请求出t 的值；若不能,请说明理由．（5）△MNC 为20时,请求出t 的值．如图,直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠A=90°,AB=34,AD=4,DC=234 ,点P 从点A 出发沿折线段AD-DC-CB 以每秒3个单位长的速度向点B 匀速运动,同时,点Q 从点A 出发沿射线AB 方向以每秒2个单位长的速度匀速运动,当点P 与点B 重合时停止运动,点Q 也随之停止,设点P,Q 的运动时间是t 秒t ＞0．1当点P 到达终点B 时,求t 的值；2设△APQ 的面积为S,分别求出点P 运动到AD 、CD 上时,S 与t 的函数关系式；3当t 为何值时,能使PQ ∥DB ；4当t 为何值时,能使P 、Q 、D 、B 四点构成的四边形是平行四边形;16.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC=60,AD=75,BC=135．点P 从点B 出发沿折线段BA-AD-DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q 向上作射线QK ⊥BC,交折线段CD-DA-AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动,当点P 与点C 重合时停止运动,点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒t ＞0．1当点P 到达终点C 时,求t 的值,并指出此时BQ 的长；2当点P 运动到AD 上时,t 为何值能使PQ ∥DC ；3设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S,分别求出点E 运动到CD 、DA 上时,S 与t 的函数关系式；不必写出t 的取值范围4△PQE 能否成为直角三角形若能,写出t 的取值范围；若不能,请说明理由．17.如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=33,动点P 从B 点出发,沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发,沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M,交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点,P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．1求NC,MC 的长用t 的代数式表示；2当t 为何值时,四边形PCDQ 构成平行四边形3当t 为何值时,射线QN 恰好将△ABC 的面积平分并判断此时△ABC 的周长是否也被射线QN 平分．19.如图,已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10．1求梯形ABCD 的面积S ；2动点P 从点B 出发,以2cm/s 的速度、沿B →A →D →C 方向,向点C 运动；动点Q 从点C 出发,以2cm/s 的速度、沿C →D →A 方向,向点A 运动．若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t 秒．问：①当点P 在B →A 上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分若存在,请求出t 的值,并判断此时PQ 是否平分梯形ABCD 的面积；若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形若存在,请求出所有符合条件的t 的值；若不存在,请说明理由．20.在直角梯形ABCD 中,∠C=90°,高CD=6cm,底BC=10cm 如图1．动点Q 从点B 出发,沿BC 运动到点C 停止,运动的速度都是1cm/s ．同时,动点P 也从B 点出发,沿BA →AD 运动到点D 停止,且PQ 始终垂直BC ．设P,Q 同时从点B 出发,运动的时间为ts,点P 运动的路程为ycm ．分别以t,y 为横、纵坐标建立直角坐标系如图2,已知如图中线段为y 与t 的函数的部分图象．经测量点M 与N 的坐标分别为4,5和2, 25．1求M,N 所在直线的解析式；2求梯形ABCD 中边AB 与AD 的长；3写出点P 在AD 边上运动时,y 与t 的函数关系式注明自变量的取值范围,并在图2中补全整运动中y 关于t 的函数关系的大致图象．22.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,BC=8,AB=3 3,点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM 返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P,Q同时出发,当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止．设点P,Q运动的时间是t秒t＞0．23.1设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式不必写t的取值范围；24.2当BP=1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；已知：如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,∠AOC=90°,AB=4,AO=8,OC=10,以O为原点建立平面直角坐标系,点D为线段BC的中点,动点P从点A出发,以每秒4个单位的速度,沿折线AOCD 向终点C运动,运动时间是t秒．1D点的坐标为；2当t为何值时,△APD是直角三角形；3如果另有一动点Q,从C点出发,沿折线CBA向终点A以每秒5个单位的速度与P点同时运动,当一点到达终点时,两点均停止运动,问：P、C、Q、A四点围成的四边形的面积能否为28如果可能,求出对应的t；如果不可能,请说明理由．在梯形ABCO中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A、B、C三点的坐标分别是A8,0,B8,10,C0,4．点D4,7为线段BC的中点,动点P从O点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OAB的路线运动,运动时间为t秒．1求直线BC的解析式；2设△OPD的面积为s,求出s与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围；33当t为何值时,△OPD的面积是梯形OABC的面积的8如图,在直角梯形COAB中,CB∥OA,以O为原点建立直角坐标系,A、C的坐标分别为A10,0、C0,8,CB=4,D为OA中点,动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动,速度为1个单位/秒,移动时间为t秒．1求AB的长,并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值,并指出此时点P在哪条边上；2动点P在从A到B的移动过程中,设△APD的面积为S,试写出S与t的函数关系式,并指出t的取值范围；3几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分求出此时点P的坐标已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中,AB∥OC,AB=10,OC=22,BC=15,动点M从A点出发,以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动,同时动点N从C点出发,以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动．当其中一个动点运动到终点时,两个动点都停止运动．1求B点坐标；2设运动时间为t秒；①当t为何值时,四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；②当t为何值时,四边形OAMN的面积最小,并求出最小面积；③若另有一动点P,在点M、N运动的同时,也从点A出发沿AO运动．在②的条件下,PM+PN 的长度也刚好最小,求动点P的速度．如图1,以梯形OABC的顶点O为原点,底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系．梯形其它三个顶点坐标分别为：A14,0,B11,4,C3,4,点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA 向A点运动,同时点F以每秒3个单位的速度,从O点出发沿折线OCB向B运动,设运动时间为t．1当t=4秒时,判断四边形COEB是什么样的四边形2当t为何值时,四边形COEF是直角梯形3在运动过程中,四边形COEF能否成为一个菱形若能,请求出t的值；若不能,请简要说明理由,并改变E、F两点中任一个点的运动速度,使E、F运动到某时刻时,四边形COEF 是菱形,并写出改变后的速度及t的值如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为直角梯形,OA∥BC,BC=14,A16,0,C0,2．1如图①,若点P、Q分别从点C、A同时出发,点P以每秒2个单位的速度由C向B运动,点Q以每秒4个单位的速度由A向O运动,当点Q停止运动时,点P也停止运动．设运动时间为t秒0≤t≤4．①求当t为多少时,四边形PQAB为平行四边形②求当t为多少时,直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2,并求出此时直线PQ 的解析式．2如图②,若点P、Q分别是线段BC、AO上的任意两点不与线段BC、AO的端点重合,且四边形OQPC面积为10,试说明直线PQ一定经过一定点,并求出该定点的坐标．如图,在平面直角坐标系中,直角梯形ABCO的变OC落在x轴的正半轴上,且AB方形ODEF 的两边分别坐落在坐标轴上,且它的面积等于直角梯形ABCO面积,将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动,设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S;（1）求正方形ODEF的边长;（2）求OA所在直线的解析式（3）当正方形ODEF移动到顶点O与C重合时,求S的值（4）设正方形ODEF顶点O向右移动的距离为x,当正方形ODEF的边ED与y轴重合时,停止移动,求重叠部分面积S与x的函数关系式;如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,等腰RT△DEF中,∠D=90°,EF=在BC所在直线L上,开始时点F与点C重合,让等腰RT△DEF沿直线L向右以每秒1cm的速度做匀速运动,最后点E和点B重合;（1）请直接写出等腰RT△DEF运动6S时与△ABC重叠部分面积（2）设运动时间为xS,运动过程中,等腰RT△DEF与△ABC重叠部分面积为ycm2①在等腰RT△DEF运动6S后至运动停止前这段时间内,求y与x之间的函数关系式②在RT△DEF整个运动过程中,求当x为何值时,y=1/2.题型二：1.如图,正方形ABCD的边长为4cm,两动点P、Q分别同时从D、A出发,以1cm/秒的速度各自沿着DA、AB边向A、B运动;试解答下列各题：1当P出发后多少秒时,三角形PDO为等腰三角形；2当P、Q出发后多少秒,四边形APOQ为正方形；3当P、Q出发后多少秒时,ABCD PQDSS正方形325=∆.2.如图所示,有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发,沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动;1试判断四边形PQEF 是正方形并证明;2PE 是否总过某一定点,并说明理由;（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时,其面积最小,最大各是多少（4）3.已知：如图,边长为a 的菱形ABCD 中,∠DAB=60°,E 是异于A 、D 两点的动点,F 是CD 上的动点;请你判断：无论E 、F 怎样移动,当满足：AE+CF=a 时,△BEF 是什么三角形并说明你的结论;4.如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD 不含B 点上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN,连接EN 、AM 、CM.⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时,AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时,AM ＋BM ＋CM 的值最小,并说明理由；⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时,求正方形的边长.题型三：1.如图,在直角梯形ABCD 中,AD//BC,∠C ＝90°,BC ＝16,DC ＝12,AD ＝21;动点P 从点D 出发,沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动,点P,Q 分别从点D,C 同时出发,当点Q 运动到点B 时,点P 随之停止运动;设运动的时间为t 秒;（1）设▲BPQ 的面积为S,求S 与t 之间的函数关系式;（2）当t 为何值时,四边形ABPQ 平行四边形3当t 为何值时,以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形4是否存在时刻t,使得PQ ⊥BD 若存在,求出t 的值；若不存在,请说明理由;E A DB C N M2.如图①,在等腰梯形ABCD中,AD边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N．1如图25－1,当点M在AB边上时,连接BN．△≌△；①求证：ABN ADN②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN =α,求点M到AD的距离及tanα的值；2如图25－2,若∠ABC = 90°,记点M运动所经过的路程为x6≤x≤12．试问：x为何值时,△ADN为等腰三角形．4．在正方形ABCD中,M是边BC中点,E是边AB上的一个动点,MF⊥ME,MF交射线CD于点F,AB=4,BE=x,CF=y1求y关于x的解析式及定义域2当点F在边CD上时,四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化请说明理由3当DF=1时,求点A到直线EF的距离;5.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E是AB的中点,过点E作EF‖BC交CD于点F;AB=4,BC=6,∠B=60°1求点E到BC的距离;2点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN‖AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=x.①当点N在线段AD上时,△PMN的形状是否发生改变若不变,求出△PMN的周长,若改变,说明理由.②当点N在线段DC上时,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形若存在,请求出所有满足要求的x的值,若不存在,说明理由.6.在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD;一动点P从A出发以每秒1cm的速度沿A-B-C的路线做匀速运动,过点P做直线PM,使PM⊥AD;当点P运动2秒时,另一动点Q也从A 出发沿A-B-C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动;过Q做直线QN,使QN∥PM;设点Q的运动时间为t秒0≤t≤10,直线PM与QN截平cm行四边形所得图形的面积为S2①求S关于t的函数关系式；②求S的最大值;7.菱形ABCD中∠A=60°,边长为4CM,动点P从A出发,以1CM/秒的速度沿A-B-C的路线运动,在点P出发1秒后,点Q以同样的速度,沿同样的路径运动,过点P、Q的直线L1、L2互相平行,且都与AB边所在的直线成60°角,设点P运动的时间是X1≤X≤8秒,直线L1、L2在菱形上截出的图形周长为Y厘米1求Y与X的函数关系;2当X取何值时,Y的值最大最大值是多少8．如图,在矩形ABCD中,AB＝12cm,BC＝8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G即点F与点G重合时,三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时,△EF G的面积为Scm2．1当t＝1秒时,S的值是多少2写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围．。
初二数学(四边形动点问题及特殊平行四边形的证明)
个性辅导课题四边形的动点问题及特殊平行四边形的证明教学目的1、了解四边形动点问题分析的过程与思维方法。
2、掌握特殊平行四边形的“阶梯型”证明方法。
教学内容一、检查并讲评上次布置的作业上次作业主要是关于四边形部分的一些概念、性质的理解，要求学生对平行四边形及特殊平行四边形的相关性质要相当熟悉，理解他们之间的差别与联系。
在上次课前与学生交流过程中获知学生对于四边形动点问题感到很棘手，所以我留了一道动点问题让学生思考，看看自己问题究竟出现在什么地方？动点问题难在什么地方？二、处理学生日校布置的作业，讲解疑难问题分析学生学校作业上出现的问题，答疑解惑，同时提出改进的建议和要求。
(在这里给学生提个小要求，希望学生能够对自己有个清醒的认识，平时多想想：自己在什么地方有问题，什么东西掌握得还不够好，做题时的障碍是什么？讲给老师听，这样我们的学习才会更有效率。
)三、新课讲授1、四边形的动点问题有关四边形的动点问题常常与函数关系式、图形的面积是否发生变化、特殊三角形或特殊平行四边形联系在一起，既考查同学们对基础知识的掌握情况，又考查同学们对知识的综合运用能力.我们通过两道例题来分析四边形动点问题的解题思路。
例1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC 的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t(秒).（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵四边形PQDC是平行四边形∴DQ=CP∵DQ=AD－AQ=16－t，CP=21－2t∴16－t=21－2t解得t=5 即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形（2）若点P，Q在BC，AD上时（DQ+CP）·AB/2=60，即（16-t+21-2t）×12/2=60 解得t＝9（秒）若点P在BC延长线上时，则CP=2t-21, （2t-21+16-t）×12/2=60 解得t＝15（秒）∴当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm²（3）当PQ＝PD时作PH⊥AD于H，则HQ=HD∵QH=HD=1/2QD=1/2（16-t）由AH=BP得 2t=1/2（16-t）+t 解得t=16/3秒当PQ=QD时 QH=AH－AQ=BP－AQ＝2t－t=t, QD=16-t∵QD2= PQ2=122+t2∴（16--t）2=122+t2 ，解得t=7/2(秒)当QD=PD时 DH=AD -AH=AD-BP=16-2t∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+(16-2t)2∴(16-t)2=122+(16-2t)2 即 3t2-32t+144=0∵△＜0 ∴方程无实根综上可知,当t=16/3秒或t=7/2(秒)时,△BPQ是等腰三角形例2：在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若E,F是AC上两动点,分别从A,C两点以相同的速度1cm/s 向C,A运动。
平行四边形动点问题方法总结
平行四边形动点问题方法总结1. 引言：为什么我们要关注平行四边形动点问题？嘿，朋友们！今天我们来聊聊一个看似枯燥却又很有趣的数学话题——平行四边形动点问题。
别急着打哈欠，咱们慢慢来，这可是个让你从头到脚都充满成就感的数学冒险哦。
平行四边形动点问题，听名字就知道，讲的是在平行四边形里，某个点在移动时，会发生什么奇妙的事情。
这不仅仅是数学题，更像是一场迷人的舞蹈。
你知道吗？这些问题其实很接地气，因为它们涉及到很多我们生活中常见的现象，比如房子四角是直角的，家具摆放的角度等等。
2. 方法一：坐标法——从数学角度看平行四边形的奇妙。
2.1 说到解决这类问题，坐标法可是个不可或缺的好帮手。
咱们首先给平行四边形的四个顶点分配坐标，比如A、B、C、D分别是(0, 0)、(a, 0)、(b, c)、(d, e)。
坐标法就是把平行四边形里的每个点都用坐标表示出来，这样一来，不管点怎么动，我们都能通过数学公式来搞定。
2.2 你可以把平行四边形当成一个平面上的大布景，点A、B、C、D就是布景上的关键位置。
然后，动点就是在这个布景上游走的小演员。
比如，如果你要找出某个点P 的轨迹，只需要把P的坐标带入公式，就能知道P跑到哪儿去了。
坐标法简直是数学里的瑞士军刀，万能又省事。
3. 方法二：向量法——用矢量的眼光看世界。
3.1 向量法是另一个很酷的方法。
想象一下，向量就像是一把利刃，把复杂的数学问题一刀切成简单易懂的形状。
比如，平行四边形的对角线是彼此平行的，那么它们之间的向量关系就能告诉我们很多有用的秘密。
如果我们把动点P的运动看作一个向量变化，我们就能用向量运算来分析它的行为。
3.2 向量法的好处在于，它能帮我们迅速搞清楚平行四边形中各个点的相对位置和移动规律。
用这个方法，你可以非常方便地计算出点P在平行四边形内的各种可能位置，也能找到一些隐含的规律，比如点P可能会在平行四边形的对角线附近来回移动。
数学就像个魔术师，向量法让我们能透过表面看到更多的奥秘。
特殊平行四边形中的三种几何动点问题—2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)(解析版)
特殊平行四边形中的三种几何动点问题类型一、面积问题 例．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=，10cm AB AD ==，=8cm BC ．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABC 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P ，Q 同时发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为t ．(1)直接写出CD 的长（cm ）；(2)当四边形PBQD 为平行四边形时，直接写出四边形PBQD 的周长（cm ）；(3)在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ V 的面积为215cm ？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16(2)(3)存在，满足条件的t 的值为2512秒或5秒【分析】（1）过点A 作AM CD ⊥于M ，根据题意证明四边形ABCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质以及勾股定理可得结果；（2）当四边形PBQD 是平行四边形，则点P 在AB 上，点Q 在DC 上，则103BP t =−，2DQ t =，根据平行四边形的性质可得1032t t −=，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可；（3）分两种情况进行讨论：①当点P 在线段AB 上时；②当点P 在线段BC 上时；根据三角形面积列方程计算即可．【详解】（1）解：如图1，过点A 作AM CD ⊥于M ，AM CD ⊥，=90BCD ∠︒，∴AM CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，10cm CM AB ∴==，在t R ADM 中，10cm AD =，8cm AM BC ==，根据勾股定理得，6cm DM =，16cm CD DM CM ∴=+=；（2）当四边形PBQD 是平行四边形，则点P 在AB 上，点Q 在DC 上，如图3，由运动知，103BP t =−，2DQ t =，1032t t ∴−=，2t ∴=，此时，4BP DQ ==，12CQ =，根据勾股定理得，BQ =∴四边形PBQD 的周长为()28BP BQ +=+（3）①当点P 在线段AB 上时，即：1003t ≤≤时，如图2，()1110381522BPQ S PB BC t =⋅=−⨯=，2512t ∴=；②当点P 在线段BC 上时，即：1063t <≤时，如图4，310BP t =−，162CQ t =−，()()113101621522BPQ S PB CQ t t ∴=⋅=−−=，5t ∴=或193t =（舍）， 即：满足条件的t 的值为2512秒或5秒．【点睛】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，读懂题意，根据相应图形的性质列出方程是解本题的关键．【答案】(1)①12DP t =−；15BQ t =−；②7.5t =(2)()()()220<12=12<151345 15<1844t S t t t t −≤−≤−−≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩【分析】（1）①根据路程等于速度乘以时间列代数式即可；②AP BQ =时，四边形APQB 是平行四边形；（2）求出相关线段的长度，利用三角形面积公式，分情况讨论即可．【详解】（1）解：①由题意可知=cm AP t ，cm CQ t =，∴()12cm DP AD AP t =−=−，()15cm BQ BC CQ t =−=−；②当四边形APQB 是平行四边形时，AP BQ =，即15t t =−，解得7.5t =．故答案为：()12cm t −，()15cm t −（2）解：如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，则90A B DEB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABED 是矩形，∴90ADE ∠=︒，()12cm BE AD ==， ∴()15123cm CE BC BE =−=−=，∵120ADC ∠=︒，∴30CDE ADC ADE ∠=∠−∠=︒，∴()26cm DC EC ==，∴)cm DE ===，∴点P 运动到点D 时，需12秒，点P 到点C 时，需18秒；点Q 从点C 到点B 需15秒，从点B 到点A 需15+秒．故分三种情况讨论：①当012t <≤时，如图，11==(1522S BQ AB t ⋅−−）②当1215t <≤时，如图，过点P 作DH BC ⊥于点H ，()18cm PC AD DC t t =+−=−，易知DE PH ∥∴30CPH CDE ∠=∠=︒， ∴()119cm 22CH PC t ==−，∴())cm PH t ==−，∴211(15))22S BQ PH t t =⋅=−−=；③当1518t <≤时，如图，()15cm BQ t BC t =−=−，()111596cm 22BH BC CH t t ⎛⎫=−=−−=+ ⎪⎝⎭， ∴211113(15)(6)4522244S BQ BH t t t t =⋅=−⋅+=−−，综上，))()220<12=12<15134515<1844t S t t t t ≤−≤−−≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩．【点睛】本题考查列代数式、三角形面积公式、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形上的动点问题等，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．【答案】(1)10(2)12(3)S=18(09)6216(918)t t t t <≤⎧⎨−+<≤⎩(4)t= 4或8或12【分析】（1）当t=4时，AP=8，PD=AD -AP=BC -AP=18-8=10；（2）当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ，根据不同的时间段AP的关系式求出t值即可；（3）由（2）中不同时间段AP的关系式得出S的分段函数即可；（4）PQ所在的直线将矩形ABCD分成面积比为1：2的两部分时，可能再两个不同的时间段存在12ABQPPDCQss=四边形四边形和12PDCQABQPss=四边形四边形两种可能，根据（3）中面积的函数关系式分段求t值即可．（1）解：当t=4时，AP=2t=8，∴PD=AD-AP=18-8=10，故答案为10（2）解：当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ，若0≤t≤9时，AP=2t，则2t=t，解得t=0（不符合题意，舍去）；若9＜t≤18时，AP=36-2t，则36-2t=t，解得t=12；故答案为12（3）解：当0<t≤9时，S=12(BQ +AP)⋅AB =12(t+2t)×12= 18t；当9<t<18时，S=12(BQ +AP)．AB =- 6t + 216．综上所述，S =18(09)6216(918)t tt t<≤⎧⎨−+<≤⎩（4）解：当0≤t≤9时，若12ABQPPDCQss=四边形四边形，则ABQPs四边形=13ABCDS矩形，∴18t=13×12×18，解得t=4；若12PDCQABQPss=四边形四边形，则ABQPs四边形=23ABCDS矩形，∴18t=23×12×18，解得t=8；当9＜t≤18时，若12ABQPPDCQss=四边形四边形，则ABQPs四边形=13ABCDS矩形，∴-6t+216=13×12×18，解得t=24（舍）；若12PDCQABQPss=四边形四边形，则ABQPs四边形=23ABCDS矩形，∴-6t+216=23×12×18，解得t=12；综上，当t=4或8或12时，PQ所在的直线将矩形ABCD分成面积比为1：2两部分．【点睛】本题主要考查四边形的综合题型，涉及动点问题，矩形的性质，梯形的面积等知识点，会用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．如图，在ABD中，几秒钟后，MON的面积为【答案】(1)见解析(2)5米，24平方米；(3)1秒或4秒【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；（2）解方程可得OA 、OB 的长，用勾股定理可求AB ，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；（3）根据点M 、N 运动过程中与O 点的位置关系，分三种情况分别讨论．【详解】（1）证明：AO 平分BAD ∠，AB CD ∥，DAC BAC DCA ∠∠∠∴==， ACD ∴是等腰三角形，AD DC =，又AB AD =，AB CD ∴=，∴四边形ABCD 为平行四边形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形；（2）解：解方程27120x x −+=，得，14x =，23x = 4OA ∴=，3OB =，利用勾股定理5AB ==，28,26AC OA BD OB ∴====，∴ABCD S =菱形118622AC BD ⨯=⨯⨯24=平方米．（3）解：在第(2)问的条件下，设M 、N 同时出发x 秒钟后，MON 的面积22m ，当点M 在OA 上时，2x <，MON S =12()()4232x x −−=， 解得1214x x ==， (大于2，舍去)；当点M 在OC 上且点N 在OB 上时，23x <<，MON S =12()()3242x x −−=，整理得，2580x x −+=，此时，2=541870∆−⨯⨯=−<，∴原方程无解；当点M 在OC 上且点N 在OD 上时，即34x <≤，MON S =12 ()()2432x x −−=，整理得，2540x x −+=，解得1241x x ==， (小于3，舍去)．综上所述：M ，N 出发1秒或4秒钟后，△MON 的面积为22m ．【点睛】本题考查了菱形的判定方法，菱形的面积计算方法，分类讨论的数学思想．类型二、几何图形存在性问题 Rt ABC 中， (1)求AB AC ，的长；(2)求证：AE DF =；(3)当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)AB=5，AC=10；(2)证明见解析(3)当52t =秒或4秒时，DEF 为直角三角形，理由见解析【分析】（1（2）利用已知用未知数表示出DF ，AF 的长，进而得出AE DF =；（3）利用①当90EDF ∠=︒时；②当90DEF ∠=︒时；③当90EFD ∠=︒时，分别分析得出即可．【详解】（1）解：设AB x =，90B ∠=︒，30C ∠=︒，22AC AB x ∴==．由勾股定理得，()(2222x x −=， 解得：5x =， 5AB ∴=，10AC = ；（2）证明：由题意得AE t =，CD=2t ，则102AD t =−，在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴12DF CD t==．又AE t=，AE DF∴=；（3）解：当52t=秒或4秒时，DEF为直角三角形，理由如下：分情况讨论：①∠EDF=∠DFC=90°时，则DE BC∥，∴∠AED=∠B=90°，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE，∴10-2t=2t，∴52t=；②∠DEF=90°时，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，∴AD EF，∴∠ADE=∠DEF=60°，∴∠AED=30°，∴12AD AE=，∴1 1022t t−=，∴4 t=；③∠EFD=90°时，此种情况不存在． 当52t =秒或4秒时，DEF 为直角三角形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识．理解相关知识是解答关键． (1)连接PD 、PQ 、DQ ，求当t 为何值时，PQD △的面积为(2)当点P 在BC 上运动时，是否存在这样的t 使得△合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1秒或4秒(2)存在，43t =秒或4)秒【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD 为腰的等腰三角形即可说明．【详解】（1）解：当P 在BC 上时如图：根据题意，得4AB BC CD AD ====AQ t =，4QB t =−，2BP t =，42PC t =−，7PQD ADQ BPQ DPC ABCD S S S S S =−−−=△△△△正方形，1111642(4)4(42)7222t t t t −⨯⨯−⨯−−⨯⨯−=整理，得2210t t −+=，解得121t t ==．当P 在CD 上时，此时24t <≤4(24)82DP t t =−−=− 1(82)472PQD S t ∴=−⨯=△94t ∴=答：当t 为1秒或94秒时，PQD △的面积为27cm ．（2）①当PD DQ =时，根据勾股定理，得2216(42)16t t +−=+，解得143t =，24t =（不符合题意，舍去）．②当PD PQ =时，根据勾股定理，得22216(42)(4)(2)t t t +−=−+，整理得：28160t t +−=解得14t =，24t =−（不符合题意，舍去）．答：存在这样的43t =秒或4)秒，使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形．【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．例3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，BC ＝18cm ，点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P 也停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t s ．(1)从运动开始，当t 取何值时，PQ ∥CD ？(2)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQCD 是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由；(3)从运动开始，当t 取何值时，四边形PQBA 是矩形？(4)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQBA 是正方形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4(2)不存在，理由见解析(3)6(4)不存在，理由见解析【分析】（1（2）利用菱形的判定和性质进行求解即可；（3）利用矩形的判定和性质进行求解即可；（4）利用正方形的判定和性质进行求解即可．（1）解：由运动知，AP ＝tcm ，CQ ＝2tcm ，∴DP ＝AD ﹣AP ＝（12﹣t ）cm ，∵AD BC ∥，要PQ CD ∥，∴四边形CDPQ 为平行四边形，∴DP ＝CQ ，∴12﹣t ＝2t ，∴t ＝4，即t ＝4时，PQ ∥CD ；（2）不存在，理由：∵四边形PQCD 是菱形，∴CQ ＝CD ，∴2t ＝10，∴t ＝5，此时，DP ＝AD ﹣AP ＝12﹣5＝7（cm ），而DP≠CD ，∴四边形PQCD 不可能是菱形；（3）如图4，∵∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 是矩形，即t ＝18﹣2t ，解得：t ＝6，∴当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形；（4）由当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形，∴AP ＝6cm ，∵AB ＝8cm ，∴AP≠AB ，∴矩形PQBA 不能是正方形，即不存在时间t ，使四边形PQBA 是正方形．【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置． 例4．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且8AC =，6BD =，现有两动点M ，N 分别从A ，C 同时出发，点M 沿线段AB 向终点B 运动，点N 沿折线C D A −−向终点A 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （秒）．(1)填空：AB = ；菱形ABCD 的面积S = ；菱形的高h = ．(2)若点M 的速度为每秒1个单位，点N 的速度为每秒a 个单位（其中52a <），当4t =时在平面内存在点得以A ，M ，N ，E 为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a 的值．【答案】(1)5；24；245(2)1.5或1.94或1.4【分析】（1）先由菱形的性质和勾股定理求得AB ，再跟菱形面积为对角线之积的一半可得S ，最后根据菱形的面积为边长×高，由此可得高h 的长；（2）当4t =，时间固定，AM 的长度也就固定，A 、M 、N 、E 四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以AM 为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM 为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，86AC BD ==，，∴43AO CO BO DO AC BD ====⊥，，，∴AB=5，设菱形的高为h,则菱形ABCD 的面积为186242AB h ⨯⨯=⨯=∴245h =故答案为：5，24，245（2）解：当4t =时，4AM =，①如图2，四边形AMEN 为菱形，4AN AM ∴==，1046ND CD ∴+=−=，46a ∴=，32a =．②如图3，AENM 为菱形，EM 交AN 于点R ，作DP 垂直BC 于P ，菱形面积为24，4.8DP ∴=，75CP ∴=，MAR BCD ∠=∠，AMR PDC ∴∠=∠，AR CP AM CD ∴=，1.12AR ∴=，2.24AN ∴=，()()410 2.244 1.94a ND CD ∴=+÷=−÷=，③如图4，AEMN 为菱形，EN 交AM 于点T ，作BS 垂直CD 于S ，则2AT MT ==，523BT NS ∴==−=，4.8BS =， 1.4CS ∴=，1.43 4.4CN NS CS∴=+=+=，4 4.44 1.1a CN∴=÷=÷=；综上所述，a的取值有1.5或1.94或1.4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点，综合性和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，因此综合应用所学知识成为解答本题的关键．类型三、直线位置关系问题(1)直接写出AB的长．(2)当点Q落在AB边上时，用含t的代数式表示【答案】(1)3(2)3523t−或5332t−(3)12、或175(4)920或215【分析】（1）根据勾股定理直接求出AB 的长度；（2）分类讨论Q 在AD 和BD 上的两种情况，DQ AD AQ =−或 DQ AQ AD =−；（3）当平行四边形PQDM 为菱形或矩形时即为轴对称图形，因为PQ AC ⊥，所以当Q 在AB 上时，PQD ∠不可能为直角，平行四边形PQDM 不可能为矩形，只存在菱形的情况，根据PQ DQ =建立等量解出t 值；当Q 在BC 上时，表示出DQ 的长度较为复杂，所以可以表示出2DQ ，利用22PQ DQ =建立方程解出t 值；当Q 点在BC 中点时，平行四边形PQDM 为矩形，可直接求得t 值；（4）因为平行四边形PQDM 的四个顶点顺序已经确定，所以Q 在过点D 的AC 平行线的下方，分类讨论Q 在AD 上和在CN （见详解图）上的两种况下QM 平行于不同边时的情况，注意，根据平行线的定义，当Q 在AB 上时，QM 不可能平行于AB ，当Q 在BC 上时，QM 不可能平行于BC ．【详解】（1）解：在Rt ABC 中，222AB AC BC =−，∴3=AB ；（2）解：P 从点A 出发以每秒个单位的速度沿AC 向终点C 运动，∴AP t =，PQ AC ⊥，∴APQ ABC △△∽，::3:4:5AB BC AC =，∴::3:4:5AP QP AQ =， ∴5533AP t AQ ==，点D 是边AB 的中点，∴32AD BD ==， ∴ 3523DQ t =−或5332t −；（3）解：当平行四边形PQDM 为菱形或矩形时即为轴对称图形， ∴ PQ DQ =或平行四边形PQDM 某一内角为90︒，①当Q 在AB 上时，990510t t ⎛⎫≤≤≠ ⎪⎝⎭，由（1）得43PQ t =，3523DQ t =−或5332t −， ∴354233t t −=或534323t t −=， 解得12t =或92， 990510t t ⎛⎫≤≤≠ ⎪⎝⎭，∴12t =；Q 在AB 上时，PQD ∠不可能为90︒，故不存在矩形的情况；②如图，当Q 在BC 上时，955t ≤≤，CPQ CBA △△∽，∴::4:3:5CP QP CQ =，AP t =，∴5CP t =−， ∴()354PQ t =−，()554CQ t =−， ∴()55945444BQ t t =−−=−， ∴222222359254511724416816DQ BD BQ t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当22PQ DQ =时，平行四边形PQDM 为菱形， ∴()22254511735168164t t t ⎡⎤−+=−⎢⎥⎣⎦，解得t =，955t ≤≤，∴t =；当Q 点在BC 中点时，平行四边形PQDM 为矩形， 此时485255t −=⨯=， 解得175t =；综上所述：当平行四边形PQDM 为轴对称图形时，t 的值为12、或175；（4）解：平行四边形PQDM ，∴Q 在过点D 的AC 平行线的下方， ①如图，Q 在AD 上，9010t ≤<，QM AC ∥时，易得DQM QAP △△∽，平行四边形PQDM ，∴43DM QP t ==， 由（1）得3523DQ t =−， ∴35523443t DQ DM t −==， 解得920t =；②如图，Q 在AD 上，9010t ≤<，QM BC ∥时， 易得DQM QPA △△∽，∴35423453tDQDM t−==，解得8245t=（舍）；③过点D的平行线交BC于点N，点Q在CN上移动才可能会出现平行四边形PQDM的对角线QM平行于直角三角形的边，此时1755t≤≤，如图，当QM AC∥时，延长DM交AC于点H，平行四边形PQDM，∴()354DM PQ t==−且DH AC⊥，QM AC∥，∴四边形MQPH为矩形，∴()354MH PQ DM t===−，∴()365245t DH−⨯==，解得215t=；不存在QM AB∥的情况；综上所述：当QM与Rt ABC△的某条边平行时，t的值为920或215．【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及到相似、平行线的性质、平行四边形以及特殊的平行四边形的性质和判定，还会用到分类讨论的思想，难度较大，解决本题的关键是能准确找到不同的情况并对问题进行分类讨论．【答案】(1)BD =，9BE cm =(2)PQ AD ⊥，理由见详解(3)存在，t 的值为125或4(4)或【分析】（1）可求出30ADB ∠=︒，根据含30︒的直角三角形的性质可得212AD AB cm ==，BD =，根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，则30DBC ∠=︒，即可得12DE BD =，BE =，即可求解； （2）先证四边形DEQP 是平行四边形，可得四边形DEQP 是矩形，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得AP BQ =，列出方程可求解；（4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解．【详解】（1）四边形ABCD 是平行四边形，90ABD Ð=°，60A ∠=︒，6AB cm =，30ADB ∴∠=︒，AD BC ∥，212AD AB cm ∴==，BD ==，30DBC ADB ∠=∠=︒，DE BC ⊥，12DE BD ∴==，BE =，9BE cm ∴==；（2）PQ AD ⊥，理由如下：如图1，动点P 从点D 出发沿DA 以1/s cm 的速度向终点A 运动，同时点Q 从点B 出发，以4/cm s 的速度沿射线BC 运动，∴当95t =时，95PD =，365BQ =， 369955QE BE BQ PD ∴=−=−==， AD BC ，∴四边形DEQP 是平行四边形，DE BC ⊥，∴四边形DEQP 是矩形，PQ AD ∴⊥；（3）存在，当CD 为边时，四边形PQCD 是平行四边形，PD CQ ∴=，124t t ∴=−，125t ∴=；当CD 为对角线时，四边形PCQD 是平行四边形，PD CQ ∴=，412t t ∴=−，4t ∴=，综上所述：t 的值为125或4；（4）如图，当点P 的对称点在线段CD 上时，60ADQ QDC ∴∠=∠=︒，60QDC BCD ∴∠=∠=︒，CDQ ∴是等边三角形，CD CQ ∴=，6124t ∴=−，32t ∴=，过点P 作PH BC ⊥于H ，则PH DE ==，32EH PD cm ==， 60BCD ∠=︒，6CD AB cm ==，DE BC ⊥，13cm 2CE CD ∴==，32QH CQ EH CE cm ∴=−−=，在Rt PQH 中，PQ =； 如图，当点P 的对称点在线段CD 的延长线上时，120CDA ∠=︒，60PDP '∴∠=︒，点P 的对称点在线段CD 的延长线上，1302CDQ PDP '∴∠=∠=︒，BCD CDQ CQD ∠=∠+∠， 30CDQ CQD ∴∠=∠=︒，6CD CQ ∴==，12618BQ ∴=+=，418t ∴=，92t ∴=，过点P 作PH BC ⊥于H ，则PH DE ==，92EH PD cm ==，60BCD ∠=︒，6CD AB cm ==，DE BC ⊥，132CE CD cm ∴==，272QH CQ EH CE cm ∴=++=，在Rt PQH 中，PQ ==；综上所述：点P ，Q 之间的距离为或．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．课后训练1．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，24cm DC =，26cm AB =，动点P 从D 开始沿DC 边向C 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动，P ，Q 分别从点D ，B 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为t 秒．(1)t 为何值时，四边形DPQA 为矩形？(2)t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形？【答案】(1)当132t =秒时，四边形DPQA 为矩形(2)当6t =秒时，四边形PQBC 为平行四边形【分析】（1）根据AB CD ∥，矩形的判定和性质，得AQ DP =，求出t ，即可；（2）根据平行四边形的判定和性质，得PC QB =，求出t ，即可．【详解】（1）∵AB CD ∥，∴AQ DP ∥，当AQ DP =时，四边形DPQA 为平行四边形，∵90A ∠=︒，∴平行四边形DPQA 为矩形，∵动点P 从D 开始沿DC 边向C 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动， ∴cm DP t =，3cm BQ t =，∴263AQ AB BQ t =−=−，∴263t t =−，解得：261342t ==， ∴当132t =秒时，四边形DPQA 为矩形．（2）∵AB CD ∥，∴QB PC ∥，当PC QB =时，四边形PQBC 为平行四边形，∴24PC t =−，∴243t t −=，解得：6t =，∴当6t =秒时，四边形PQBC 为平行四边形．【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的判定和性质． 在ABC 中， 发现：(1)在点O 的运动过程中，OE 与OF 的关系是(2)当=2t 时，=EF ______cm ．【答案】(1)OE OF =，详见解析(2)8cm ，探究：3，拓展：=AB 10cm【分析】()1根据角平分线的定义、平行线的性质分别得到OEC ACE ∠=∠，ACF OFC ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理得到OE OC =，OF OC =，等量代换证明结论；()2根据直角三角形斜边上的中线的性质解答；探究：根据矩形的判定定理得到=OA OC 时，四边形AECF 是矩形，进而求出OA ，求出t ；拓展：根据正方形的对角线平分一组对角得到45ACE ∠=︒，进而得到90ACB ∠=︒，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】（1）解：OE OF =，理由如下：CE 平分ACB ∠，BCE ACE ∴∠=∠，EF BC ∥，BCE OEC ∴∠=∠，OEC ACE ∴∠=∠，OE OC ∴=，同理可得，ACF OFC ∠=∠，OF OC ∴=，OE OF ∴=，故答案为：OE OF =；（2）由题意得，当=2t 时，2cm OA =，则4cm OC AC OA =−=，BCE ACE ∠=∠，GCF ACF ∠=∠，90ECF ∴∠=︒，OE OF =，()28cm EF OC ∴==，故答案为：8； 探究：当=3t 时，四边形AECF 是矩形，理由如下：90ECF ∠=︒，OE OF =，∴当=OA OC 时，四边形AECF 是矩形，此时，3cm OA OC ==，3t ∴=时，四边形AECF 是矩形，故答案为：3；拓展：当四边形AECF 是正方形时，45ACE ∠=︒，CE 平分ACB ∠，290ACB ACE ∴∠=∠=︒，()10cm AB ∴=．【点睛】本题考查的是正方形的性质、矩形的判定、平行线的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握矩形的判定定理、正方形的性质是解题的关键． 3．已知正方形ABCD 中，8AB BC CD DA ====，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒．动点P 以每秒2个单位速度从点B 出发沿线段BC 方向运动，动点Q 同时以每秒8个单位速度从B 点出发沿正方形的边BA AD DC CB −−−方向顺时针作折线运动，当点P 与点Q 相遇时停止运动，设点P 的运动时间为t ．(1)当运动时间为 秒时，点P 与点Q 相遇；(2)当BQ PD ∥时，求线段DQ 的长度；(3)连接PA ，当PAB 和QAD 全等时，求t 的值．【答案】(1)3.2(2)3.2(3)t 为0.8或83【分析】（1）先判断出点P ，Q 相遇时，必在正方形的边BC 上，利用运动路程之和为正方形的正常建立方程即可；（2）先判断出四边形BQDP 是平行四边形，得出BP DQ =，进而表示出BP ，DQ ，用BP DQ =建立方程求解即可；（3）分点Q 在正方形的边AB ，AD ，CD ，BC 上，建立方程求解即可得出结论；【详解】（1）解：点P 的运动速度为2，8BC =，∴点P 运动到点C 的时间为4，点Q 的运动速度为8，∴点Q 从点B 出发沿BA AD DC CB −−−方向顺时针作折线运动到点C 的时间为(888)83++÷=，∴点P ，Q 相遇时在边BC 上，284832t t ∴+=⨯=，3.2t ∴=，故答案为3.2；（2）解：如图1，//BQ PD ，∴点Q 只能在边AD 上，四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，∴四边形BQDP 是平行四边形，BP DQ ∴=，2288t t ∴=⨯−，1.6t ∴=，288 3.2DQ t ∴=⨯−=；（3）解：①当点Q 在边AB 上时，如图2，AB AD =，ABP DAQ ∠=∠，要使PAB ∆和ΔQAD 全等，只能是PAB QDA ≅，BP AQ ∴=，88AQ t =−，2BP t =，882t t ∴−=，0.8t ∴=，②当点Q 在边AD 时，不能构成QAD ，③当点Q 在边CD 上时，如图3，同①的方法得，要使PAB 和QAD 全等，只能是PAB QAD ≅，BP DQ ∴=，2816t t ∴=−，83t ∴=，④当点Q 在边BC 时，QAD 不是直角三角形，而PAB 是直角三角形，所以，不能全等；即：当PAB 和QAD 全等时，t 的值为0.8或83；【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论． 4．如图，在ABCD Y 中，9034BAC CD AC ∠=︒==，，．动点P 从点A 出发沿AD 以1cm /s 速度向终点D 运动，同时点Q 从点C 出发，以4cm /s 速度沿射线CB 运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动，设点P 运动的时间为t 秒()0t >．(1)CB 的长为______．(2)用含t 的代数式表示线段QB 的长．(3)连接PQ ，①是否存在t 的值，使得PQ 与AC 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②是否存在t 的值，使得PQ 与AB 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．(4)若点P 关于直线AQ 对称的点恰好落在直线AB 上，请直接写出t 的值．【答案】(1)5(2)55404QB t t ⎛⎫=−<≤ ⎪⎝⎭或5454QB t t ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭(3)①不存在，理由见解析；②存在，t 的值为53(4)t 的值为12或2【分析】（1）根据平行四边形的性质得3AB DC ==，再根据勾股定理即可求解；（2）根据题意可得4CQ t =，先求出当点Q 与点B 重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即可：当点Q 在线段BC 上时和当点Q 在线段CB 的延长线上时；（3）①连接PC AQ ，，假设PQ 与AC 互相平分，则可得四边形APCQ 是平行四边形，进而可得AP CQ =，解得即可到答案；②连接PB AQ ，，假设PQ 与AB 互相平分，则可得四边形APBQ 是平行四边形，进而可得AP BQ =，解得即可到答案；（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 下方时和当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 上方时．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴3AB DC ==，∵90BAC ∠=︒，∴5BC =，故答案为：5；（2）在ABCD Y 中，AD BC =，AD BC ∥，由题意得，4CQ t =，当点Q 与点B 重合时，45t =， ∴5s 4t =， 当点Q 在线段BC 上时，54QB BC CQ t =−=−，当点Q 在线段CB 的延长线上时，45QB CQ BC t =−=−， 综上所述，55404QB t t ⎛⎫=−<≤ ⎪⎝⎭或5454QB t t ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭；（3）①不存在，理由如下：如图，连接PC AQ ，，若PQ 与AC 互相平分，则四边形APCQ 是平行四边形，∴AP CQ =，∵4AP t CQ t ==，，∴4t t =，解得0=t （不合题意），∴不存在t 的值，使得PQ 与AC 互相平分；②存在，如图，连接PB AQ ，，若PQ 与AB 互相平分，则四边形APBQ 是平行四边形，∴AP BQ =，∴45t t =−， ∴5s 3t =， ∴当5s 3t =时，PQ 与AB 互相平分； （4）当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 下方时，如图，由对称得，PAQ P AQ '∠=∠，∵AD BC ∥，∴PAQ AQB ∠=∠，∴P AQ AQB '∠=∠，即BAQ AQB ∠=∠，∴3BQ AB ==，∴2CQ BC BQ =−=，∴42t =，解得12t =；当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 上方时，如图，由对称得，12∠=∠，∵AD BC ∥，∴13∠=∠，∵24∠∠=∴3=4∠∠，∴3BQ AB ==，∴8CQ BC BQ =+=，∴48t =，解得2t =，综上所述，t 的值为12或2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 5．如图，矩形ABCD 中，4CD =，30CBD ∠=︒．一动点P 从B 点出发沿对角线BD 方向以每秒2个单位长度的速度向点D 匀速运动，同时另一动点Q 从D 点出发沿DC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P 、Q 运动的时间为t 秒()0t >．过点P 作PE BC ⊥于点E ，连接EQ ，PQ ．(1)求证：PE DQ =；(2)四边形PEQD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．(3)当t 为何值时，PQE V 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)能，83t =(3)当2t =或165，见解析【分析】（1）由垂直得90BEP ∠=︒，在Rt BEP 中，2BP t =，由30CBD ∠=︒，可得PE t =，即可证明结果；（2）先证明四边形PEQD 是平行四边形，82PD t =−，DQ t =，当PD DQ =时，四边形PEQD 为菱形，即可求解；（3）分类讨论：①当90EPQ ∠=︒，②当90PQE ∠=︒，③当90PEQ ∠=︒即可．【详解】（1）证明：∵PE BC ⊥，∴90BEP ∠=︒，在Rt BEP 中，2BP t =，∵30CBD ∠=︒，∴PE t =，又∵DQ t =，∴PE DQ =；（2）解：能，理由如下：∵四边形ABCD 为矩形，PE BC ⊥，90BEP C ︒∠==∠，∴PE DQ ∥，由（1）知，PE DQ =，∴四边形PEQD 为平行四边形，在Rt CBD 中，4CD =，30CBD ∠=︒，∴28BD CD ==，∵2BP t =，∴82PD BD BP t =−=−，若使平行四边形PEQD 为菱形，则需PD DQ =，即82t t −=， ∴83t =， 即当83t =时，四边形PEQD 为菱形； （3）解：①当90EPQ ∠=︒时，四边形EPQC 为矩形，∴PE QC =，∵PE t =，4QC t =−，∴4t t =−，即2t =；②当90PQE ∠=︒时，90DPQ PQE ∠=∠=︒，在Rt DPQ 中，906030PQD ∠=︒−︒=︒，∴2DQ DP =，∵DQ t =，82DP t =−∴()282t t =−，即165t =．③当90PEQ ∠=︒时，此种情况不存在，综上所述，当2t =或165时，PQE V 为直角三角形．【点睛】本题考查动点问题、菱形的判定与性质及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键．(1)=a ______cm ，b =______cm ；(2)t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？(3)另有一点Q 从点E 出发，按照E D C →→的路径运动，且速度为1cm /s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，BPQ V 的面积等于26cm ．【答案】(1)3，3(2)2s =t(3)3s 2或11s 3或5s【分析】（1）由非负性可求a ，b 的值；（2）先求出18cm BCDE C =四边形，可得9cm BE BP +=，可求4cm BP =，即可求解；（3）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．【详解】（1）∵()230a −=，∴30,290a a b −=+−=，∴3,3a b ==；故答案为：3，3；（2）∵3cm,3cm AE DE ==，∴6cm AD BC ==，∴18cm BCDE C BC CD DE EB =+++=四边形，∵EP 把四边形BCDE 的周长平分，∴9cm BE BP +=，∴4cm BP =，点P 在BC 上，∴42s 2t ==；（3）①点P在BC上(03)t<≤，∵12462BPQtS=⨯⨯=V，∴3.2t=；②相遇前，点P在CD上13 (3)3t<≤，∵[]1(4(3)(26)662BPQS t t=⨯−−−−⨯=，∴113t=；③相遇后，点P在CD上13(5)3t<≤，∵[]1(3)(26)4662BPQS t t=⨯−+−−⨯=，∴.5t=；∴综上所述，当3s2t=或11s3或5s时，BPQV的面积等于26cm．【点睛】本题考查了矩形的性质，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，利用分类讨论思想是解本题的关键．角形与DCQ全等．【答案】(1)1(2)54t=或4或232(3) 3.5t=，5.5或10【分析】（1）根据题中条件求出AP 的长即可求解；（2）分三种情况讨论：①当点P 在AB 上时，②当点P 在BC 上时，③当点P 在AD 上时；（3）连接CQ ，要使一个三角形与DCQ 全等，则另一条直角边必须等于DQ ，分类讨论即可．【详解】（1）解：动点P 的速度是2cm/s ，∴当2t =时，224AP =⨯=，∵5cm AB =，∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时，CDP △是等腰三角形，∴PD CP =，在长方形ABCD 中，,90AD BC A B =∠=∠=︒，∴()HL DAP CBP ≌，∴AP BP =， ∴1522AP AB ==，∵动点P 的速度是2cm/s ， ∴54t =；②当点P 在BC 上时，CDP △是等腰三角形，如图所示，∵90C ∠=︒，∴5CD CP ==，∴3BP CB CD =−=， ∴53422AB BP t ++===；③当点P 在AD 上时，CDP △是等腰三角形．如图所示，∵90D Ð=°，∴5DP CD ==， ∴585523222AB CB CD DP t ++++++===， 综上所述，54t =或4或232时，CDP △是等腰三角形； （3）解：根据题意，如图，连接CQ ，∵5,90,6AB CD A B C D DQ ==∠=∠=∠=∠=︒=，∴要使一个三角形与DCQ 全等，则另一条直角边必须等于DQ ．①当点P 运动到1P 时，16CP DQ ==，此时1DCQ CDP △≌△， ∴点P 的路程为：1527AB BP +=+=， ∴72 3.5t =÷=；②当点P 运动到2P 时，26BP DQ ==，此时2CDQ ABP △≌△， ∴点P 的路程为：25611AB BP +=+=，∴112 5.5t =÷=③当点P 运动到3P 时，35AP DQ ==，此时3CDQ BAP △≌△， ∴点P 的路程为：3585220AB BC CD DP +++=+++=， ∴20210t =÷=，④当点P 运动到4P 时，即P 与Q 重合时，46DP DQ ==，此时4CDQ CDP △≌△， ∴点P 的路程为：4585624AB BC CD DP +++=+++=∴24212t =÷=，此结果舍去，不符合题意，综上所述，t 的值可以是： 3.5t =，5.5或10．【点睛】本题考查了动点问题，灵活运用分类讨论思想是解题关键．。
浙教版八年级数学下册第5章专题十二 特殊四边形中的动点问题
专题
∴△ADE≌△CDG. ∴AE＝CG. ∴AC＝AE＋CE＝CG＋CE. ∵AC＝ 2AB， ∴CE＋CG＝ 2AB.
专题
∵EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠EMC＝∠ENC＝90°， ∴∠NEC＝45°，∴NE＝NC， ∴四边形EMCN是正方形． ∴EM＝EN，∠NEM＝90°. ∴∠MEF＋∠FEN＝90°. ∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°. ∴∠DEN＋∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF.
专题
在△DEN 和△FEM 中， ∠ END＝NEEM＝，∠FME， ∠DEN＝∠FEM， ∴△DEN≌△FEM. ∴ED＝EF， ∴矩形 DEFG 是正方形．
专题
又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形． ∴AF＝CF. 设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2 ＝AF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. ∴AF＝5 cm.
专题
(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发 ，沿△AFB和 △CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止， 点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的 速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s， 当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形 时，求t的值．
专题
若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形， 则PC＝QA. ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝4 cm，AD＝BC＝8 cm. ∵AF＝CF＝5 cm，点P的速度为5 cm/s，点Q的速度 为4 cm/s，运动时间为t s，
专题
∴PC＝PF＋FC＝PF＋FA＝5t cm，QA ＝(AD＋CD)－(QD＋CD)＝(12－4t)cm. ∴5t＝12－4t，解得 t＝43. 故当以 A，C，P，Q 四点为顶点的四边 形是平行四边形时，t 的值为43.
中考数学总复习《(特殊)平行四边形的动点问题》专题训练(附答案)
中考数学总复习《（特殊）平行四边形的动点问题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，ab ≠0），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．2．（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，PF=6，AEP △的面积为1S ，CFP 的面积为2S ，则12S S +=________；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21S S >），求PBD △的面积（用含1S 、S的代数式表示）；2（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作//EF AD，HG//AB与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为1S，四边形PGCF的面积为2S（其中21），S S求PBD△的面积（用含1S、2S的代数式表示）；（4）如图4 点A B C D把O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC BD 上）设PB PC BC围成的封闭图形的面积为1S PA PD AD围成的封闭图形的面积为2S PBD△的面积为3S PAC△的面积为4S．根据你选的点P的位置直接写出一个含有1S2S3S4S的等式（写出一种情况即可）．3．已知直线y=x＋4与x轴y轴分别交于A B两点∠ABC=60°BC与x轴交于点C．（1）试确定直线BC的解析式.（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A C重合）同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C A重合) 动点P的运动速度是每秒1个单位长度动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S P点的运动时间为t秒求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围.（3）在（2）的条件下当△APQ的面积最大时y轴上有一点M 平面内是否存在一点N 使以A Q M N为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出N点的坐标；若不存在请说明理由.4．如图在等腰梯形ABCD中AB∥DC AB＝8cm CD＝2cm AD＝6cm．点P 从点A出发以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发以1cm/s的速度沿CD DA向终点A运动（P Q两点中有一个点运动到终点时所有运动即终止）．设P Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时求t的值；（2）试问是否存在这样的t 使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在求出这样的t的值若不存在请说明理由．5．如图在平面直角坐标系中以坐标原点O为圆心2为半径画⊙O P是⊙O上一动点且P在第一象限内过点P作⊙O的切线与轴相交于点A与轴相交于点B．(1)点P在运动时线段AB的长度也在发生变化请写出线段AB长度的最小值并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q使得以Q O A P为顶点的四边形时平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由．6．如图已知长方形ABCD中AD＝6cm AB＝4cm 点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动同时点Q在线段BC上由点B向点C运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等经过1秒后△AEP与△BPQ是否全等请说明理由并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等运动时间为t秒设△PEQ的面积为Scm2请用t的代数式表示S；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点Q的运动速度为多少时能够使△AEP与△BPQ全等？7．如图长方形ABCD中5cm,8cm==现有一动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB BC----返回到点A停止设点P运动的时间为t秒．长方形的边A B C D At=时BP=___________cm；(1)当2(2)当t为何值时连接,,△是等腰三角形；CP DP CDP(3)Q为AD边上的点且6DQ=P与Q不重合当t为何值时以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与DCQ全等．8．如图平行四边形ABCD中6cmB∠︒G是CD的中点E是BC==60AB=8cm边AD上的动点EG的延长线与BC的延长线交于点F连接CE DF．(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)①AE=______时四边形CEDF是矩形；②AE=______时四边形CEDF是菱形．9．在平面直角坐标系中点A在第一象限AB⊥x轴于点B AC⊥y轴于点C已知点B（b0）C（0 c）其中b c满足|b﹣8|6+-=0．c(1)直接写出点A坐标．(2)如图2 点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动同时点E从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线BA运动过点E作GE⊥y轴于点G设运动时间为t 秒当S四边形AEGC＜S△DEG时求t的取值范围．(3)如图3 将线段BC平移使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上点C的对应点为N连接BN交y轴于点P当OM＝4OP时求点M的坐标．10．如图在平面直角坐标系中点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动同时动点C从点B出发沿12．在四边形ABCD中//,90,10cm,8cm∠=︒===点P从点A出发沿折线AB CD BCD AB AD BCABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发当一个点到达终点时另一点也停止运动设运动时间为()s t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时求四边形PBQD的周长；（3）在点P Q的运动过程中是否存在某一时刻使得BPQ的面积为220cm若存在请求出所有满足条件的t的值；若不存在请说明理由．13．在平面直角坐标系中矩形OABC的边OA任x轴上OC在y轴上B（4 3）点M从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动设△AOM的面积为S 点M运动的时间为t．（1）当0＜t＜3时AM＝当7＜t＜10时OM＝；（用t的代数式表示）（2）当△AOM为等腰三角形时t＝；（3）当7＜t＜10时求S关于t的函数关系式；（4）当S＝4时求t的值．14．如图1 在平面直角坐标系中正方形OABC的边长为6 点A C分别在x y 正半轴上点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点且OP＝t连结PC将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ连结CQ取CQ中点M．（1）当t＝2时求Q与M的坐标；（2）如图2 连结AM以AM AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM 的面积为S．①用含t的代数式表示S（0<t<6）．②当N落在△CPQ的直角边上时求∠CPA的度数；（3）在（2）的条件下连结AQ记△AMQ的面积为S'若S＝S'则t＝（直接写出答案）．15．如图平面直角坐标系中矩形OABC的顶点B的坐标为（7 5）顶点A C 分别在x轴y轴上点D的坐标为（0 1）过点D的直线与矩形OABC的边BC交于点G 且点G不与点C重合以DG为一边作菱形DEFG 点E在矩形OABC的边OA 上设直线DG的函数表达式为y=kx+b（1）当CG=OD时求直线DG的函数表达式；（2）当点E的坐标为（5 0）时求直线DG的函数表达式；（3）连接BF 设△FBG的面积为S CG的长为a 请直接写出S与a的函数表达式及自变量a 的取值范围．16．如图 在四边形ABCD 中 //AD BC 3AD = 5DC = 42AB = 45B ∠=︒ 动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动 设运动的时间为s t .（1）求BC 的长.（2）当//MN AB 时 求t 的值（3）试探究：t 为何值时 MNC ∆为等腰三角形？参考答案：1．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠CAD =∠ACB ∠AEF =∠CFE∵EF 垂直平分AC 垂足为O∴OA =OC∴△AOE ≌△COF∴OE =OF∴四边形AFCE 为平行四边形又∵EF ⊥AC∴四边形AFCE 为菱形设菱形的边长AF =CF =x cm 则BF =（8﹣x ）cm在Rt △ABF 中 AB =4cm由勾股定理得42+（8﹣x ）2=x 2解得x =5iii ）如图3 当P 点在AB 上 Q 点在CD 上时 AP =CQ 即12﹣a =b 得a +b =12． 综上所述 a 与b 满足的数量关系式是a +b =12（ab ≠0）．2．（1）过P 点作AB∥MN∵S 矩形AEPM +S 矩形DFPM =S 矩形CFPN +S 矩形DFPM =S 矩形ABCD -S 矩形BEPN又∵11,,22AEP CFP AEPM CFPN SS S S ==矩形矩形 ∴1==26=62AEP CFP S S ⨯⨯， ∴1212.S S +=（2）如图 连接PA PC在APB △中 因为点E 是AB 中点可设APE BPE S S a ==同理 ,,BPF CPF CPG DFG DPH APH S S b S S c S S d ======所以APE APH CPF AEPH PFCG CPG S S SS a b d S S c =+++=++++四边形四边形 BPE BPF DPH DPH EDFP HPGD S S S S S S a b c d +=+++=+++四边形四边形．所以12EBFP HPGD AEPH PFCG S S S S S S +++=+四边形四边形四边形四边形所以1212ABD ABCD SS S S ==+ 所以1DPH APH S S S a ==-． ()()()1121121PBD ABD BPE PDH S S S S S S S S a S a S S =-++=+-++-=-．（3）易证四边形EBGP 四边形HPFD 是平行四边形．EBP SHPD S ．()()121211122222ABD ABCD EBF HPD EBP HPD SS S S S S S S S S ==+++=+++ ()()12112FBD ABD EBP HPD S S S S S S S =-++=-． （4）试题解析：（1）由已知得A 点坐标（﹣4﹐0） B 点坐标（0﹐43﹚ ∵OB=3OA ∴∠BAO=60° ∵∠ABC=60° ∴△ABC 是等边三角形 ∵O C=OA=4 ∴C 点坐标﹙4 0﹚ 设直线BC 解析式为y kx b =+∴ ∴直线BC 的解析式为343y x =-+； ﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时 作QH⊥x 轴 ∵QH CQ OB CB= ∴2843QH t = ∴QH=3t ∴S △APQ =AP•QH=132t t ⋅=232t ﹙0＜t≤4﹚ 同理可得S △APQ =t·﹙833t -﹚=23432t t -+﹙4≤t<8﹚∴223(04)2{343?(48)2t t S t t t <≤=-+≤<； （3）存在 如图当Q 与B 重合时 四边形AMNQ 为菱形 此时N 坐标为（4 0） 其它类似还有（﹣4 8）或（﹣4 ﹣8）或（﹣4 ）．4．（1）53（2）存在 使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半．（1）过D 作DE⊥AB 于E 过C 作CF⊥AB 于F 通过Rt ADE Rt BCF ∆≅∆ 得AE BF = 若四边形APQD 是直角梯形 则四边形DEPQ 为矩形 通过AP AE EP =+ 代入t 值 即可求解（2）假设当时 通过点Q 在CD 上或在AD 上 两种情况进行讨论求解5．（1）线段AB 长度的最小值为4理由如下：连接OP如图② 设四边形APQO 为平行四边形因为OQ PA ∥ 90APO ︒∠=所以90POQ ︒∠= 又因为OP OQ =所以45PQO ︒∠= 因为PQ OA ∥所以PQ y ⊥轴．设PQ y ⊥轴于点H在Rt △OHQ 中 根据2,45OQ HQO ︒=∠= 得Q 点坐标为（2,2-）所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-）．6．(1)∵长方形ABCD∴∠A =∠B =90°∵点E 为AD 的中点 AD =6cm∴AE =3cm又∵P 和Q 的速度相等可得出AP =BQ =1cm BP =3 ∴AE =BP在△AEP 和△BQP 中∴y=xy 3=4-y⎧⎨⎩ 解得：x=1y=1⎧⎨⎩ (舍去). 综上所述,点Q 的运动速度为32cm /s 时能使两三角形全等.7．(1)1(2)54t =或4或232 (3) 3.5t = 5.5或10（1）解：动点P 的速度是2cm/s∴当2t =时 224AP =⨯=∵5cm AB =∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时 CDP △是等腰三角形∴PD CP =在长方形ABCD 中 ,90AD BC A B =∠=∠=︒∴()HL DAP CBP ≌∴AP BP =∴1522AP AB ==∵动点P 的速度是2cm/s∵90D5DP CD == 2AB CB CD t ++=∴要使一个三角形与DCQ 全等①当点P运动到1P时16△≌△DCQ CDPCP DQ==此时1∴点P的路程为：1527AB BP+=+=∴72 3.5t=÷=；②当点P运动到2P时26△≌△CDQ ABPBP DQ==此时2∴点P的路程为：25611+=+=AB BP∴112 5.5t=÷=③当点P运动到3P时35△≌△CDQ BAP==此时3AP DQ∴点P的路程为：3585220AB BC CD DP+++=+++=∴20210t=÷=④当点P运动到4P时即P与Q重合时46△≌△CDQ CDPDP DQ==此时4∴点P的路程为：4585624+++=+++=AB BC CD DPt=÷=此结果舍去不符合题意∴24212综上所述t的值可以是： 3.5t= 5.5或10．8．（1）四边形ABCD是平行四边形∥∴BC AD∴∠=∠FCG EDGG是CD的中点∴=CG DG△中在CFG△和DEGCFG∴≅(ASA)DEGFG EG∴=又CG DG=∴四边形CEDF是平行四边形．2）①当5AE=如图过60B∠=12BM∴=5AE=DE AD∴=在MBA△BM DEB=⎧⎪∠=∠⎨⎪(SAS)MBA EDC∴≅CED AMB∴∠=∠四边形CEDF是平行四边形∴平行四边形CEDF②当2AE cm =时 四边形CEDF 是菱形 理由如下：四边形ABCD 是平行四边形8AD ∴= 6CD AB == 60CDE B ∠=∠=︒2AE =6DE AD AE ∴=-=DE CD ∴=CDE ∴∆是等边三角形CE DE ∴=四边形CEDF 是平行四边形∴平行四边形CEDF 是菱形故答案为：2；9．（1）解：∵|b ﹣8|6c +-=0∴b -8=0 c -6=0∴b =8 c =6∵B （b 0） C （0 c ）∴B （8 0） C （0 6）又∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴∴A (8 6)；（2）∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴 GE ⊥y 轴∴四边形AEGC 是矩形设运动时间为t 秒∴OD =t AE =2t DG =6+2t-t =6+t∴S 四边形AEGC =8×2t =16t S △DEG =12×（6+t ）×8=4t +242∵OM＝4OP∴-m=-4×62m解得m=-12综上所述m的值为-4或-12．10．（1）∵点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）∴OA=4 OB=8∵点C运动到线段OB的中点∴OC=BC=12OB=4∵动点C从点B出发沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动∴2t=4解之：t=2；∵PE=OA=4 动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6∴点E（6 0）（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形∴OC=PD OC∥PD当点C在y轴的负半轴上时③如果点M在DE上时24163(3)22t tt--=++解得423t=+④当N在CE上时28(3)8214tt tt-⋅++-=-+解得12t=综上分析可得满足条件的t的值为：t1＝28﹣16 3t2＝2 t3＝4+2 3t4＝12．11．(1) ()30D，,()1,3E;(2)933022933222572222t tS t tt t⎧⎛⎫-+≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩＜（3）198s解：（1）3922y x=-+当y=0时39=022x-+则x=3 即点()30D，当y=3时39=322x-+则x=1 故点()1,3E故：()30D，,()1,3E；（2）如图1 ①当点P在OD段时此时0≤t＜32119()2223233S PD OC t t=⨯⨯=⨯-⨯=-+；②当点P在点D时此时t=32此时三角形不存在0S=；''6ADP BEP S S -=-30232t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎫<≤⎪；即当点P 在边AB 上运动 且PD PE +的值最小时 运动时间t 为198s ． 12．（1）16cm ；（2）(8813)cm +；（3）53t =秒或395秒 解：（1）如图1过A 作AM DC ⊥于M在四边形ABCD 中 //AB CD 90BCD ∠=︒//AM BC ∴∴四边形AMCB 是矩形10AB AD cm == 8BC cm =8AM BC cm ∴== 10CM AB cm ==在Rt AMD ∆中 由勾股定理得：6DM cm =10616CD DM CM cm cm cm =+=+=；（2）如图2当四边形PBQD 是平行四边形时 PB DQ =即1032t t -=解得2t =此时4DQ = 12CQ = 22413BQ BC CQ =+=所以()28813PBQD C BQ DQ =+=+；1003t 14(102BPQ BP BC ==解得53t =；P 在BC 上时 63t1(32BP CQ t =此方程没有实数解；CD 上时：在点Q 的右侧54(34PQ BC =6< 不合题意若P 在Q 的左侧 如图6 即3485t <14(534)202BPQ S PQ BC t ∆==-= 解得395t =； 综上所述 当53t =秒或395秒时 BPQ ∆的面积为220cm ． 13．（1）t 10-t ；（2）5；（3）S =20-2t ；（4）2或8． 解：（1）当0<t <3时 点M 在线段AB 上 即AM =t 当7＜t <10时 点M 在线段OC 上 OM =10-t故填：t 10-t ；（2）∵四边形ABCO 是矩形 B （4 3）∴OA =BC =4 AB =OC =3∵△AOM 为等腰三角形∴只有当MA =MO 此时点M 在线段BC 上 CM =BM =2 ∴t =3+2=5故填：5；（3）∵当7<t <10时 点M 在线段OC 上∴114(10)20222S OA OM t t =⋅⋅=⨯⨯-=-；（4）①当点M 在线段AB 上时 4=12×4t 解得t =2；②当点M 在线段BC 上时 S =6 不符合题意；当点M 在线段OC 上时 4=20-2t 解得t =8．∴OD ＝OP +PD ＝8∴Q （8 2）∵M 是CQ 的中点 C （0 6）∴M （4 4）；（2）①∵△COP ≌△PDQ∴OP ＝OQ ＝t OC ＝PD ＝6∴OD ＝t +6∴Q （t +6 t ）∵C （0 6）∴M （62t + 62t +） 当0＜t ＜6时 S ＝AP ×y M ＝（6﹣t ）×62t +＝2362t -； ②分两种情况：a 当N 在PC 上时 连接OB PM 如图2﹣1所示：∵点M 的横 纵坐标相等∴点M 在对角线BD 上∵四边形OABC 是正方形∴OC ＝OA ∠COM ＝∠AOM∴∠MPA ＝12（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠CPA ＝67.5﹣45＝22.5°；综上所述 当点N 在△CPQ 的直角边上时 ∠CPA 的度数为112.5°或22.5°；（3）过点M 作MH ⊥x 轴于点H 过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∵AMQ AHM AGQ MHGQ S S S S =--△△△梯形∴S '＝12（62t ++t ）•62t +﹣12（6﹣62t +）•62t +﹣12t •t ＝3t ①当0＜t ＜6时 即点AP 在点A 左侧时 如图3所示：∵S ＝S '∴2362t -＝3t 解得：t ＝﹣3+35 或t ＝﹣3﹣35（舍去）；②当t ＞6时 即点P 在点A 右侧时 如图4所示：S ＝AP ×y M =（t ﹣6）×62t +＝2362t - ∵S ＝S '将D （0 1）G （10 5）代入y=kx+b 得：1105b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：21051k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴当CG=OD 时 直线DG 的函数表达式为y=2105x+1．（3）设DG 交x 轴于点P 过点F 作FM⊥x 轴于点M 延长MF 交BC 于点N 如图所示．∵DG∥EF∴∠FEM=∠GPO．∵BC∥OA∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．在△DCG 和△FME 中90DCG FME DGC FEMDG FE⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△DCG≌△FME（AAS ）∴FM=DC=4．∵MN⊥x 轴∴四边形OMNC 为矩形在Rt△CDH 中 由勾股定理可得： HC=22543-=∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；（2）如图② 过D 作DG∥AB 交BC 于G 点 则四边形ADGB 为平行四边形 ∴BG=AD=3∴GC=BC−BC=10−3=7由题意得 当M N 运动t 秒后 CN=t CM=10−2t∵AB∥DG MN∥AB∴DG∥MN∴∠NMC=∠DGC又∵∠C=∠C∴△MNC ~△GDC∴CN CM CD CG=, ∴10257tt -=解得t=5017； （3）第一种情况：当NC=MC 时 如图③22∵∠C=∠C∠MFC=∠DHC=90°∴△MFC~△DHC∴FC MCHC DC=即：1 102253tt-=解得：t=6017；综上所述当t=103t=258或t=6017时△MNC为等腰三角形.。
特殊的平行四边形中动点及最值问题
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平行四边形应用之动点问题典型题
在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ= １２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ，AB=12ｃｍ.若 点P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。 同时点Q从点C以1.5ｃｍ／s的速度沿C-B-A-D方向运动 。在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点 的四边形是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在 请说明理由。
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在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ= １２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ，AB=12ｃｍ.若 点P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。 同时点Q从点C以1.5ｃｍ／s的速度沿C-B-A-D方向运动 。在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点 的四边形是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在 请说明理由。
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在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ= １２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ，AB=12ｃｍ.若 点P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。 同时点Q从点C以1.5ｃｍ／s的速度沿C-B-A-D方向运动 。在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点 的四边形是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在 请说明理由。
第3页ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ= １２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ，AB=12ｃｍ.若 点P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。 同时点Q从点C以1.5ｃｍ／s的速度沿C-B-A-D方向运动 。在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点 的四边形是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在 请说明理由。
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在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ=１２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ， AB=12ｃｍ.若点P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。同时点Q从点C以1.5ｃｍ ／s的速度沿C-B-A-D方向运动。在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形 是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在请说明理由。
平行四边形动点问题方法总结
平行四边形动点问题方法总结大家好，今天我们来聊聊平行四边形动点问题。
这个问题可大可小，有时候我们在生活中也会碰到这样的问题。
比如说，你拿着一个碗，碗口朝下放在地上，然后用一根棍子在碗里搅动，碗里的水会形成一个漩涡。
这个现象背后就隐藏着平行四边形动点问题。
那么，我们怎么解决这个问题呢？接下来，我就要给大家普及一下解决平行四边形动点问题的三大法宝：三角形法则、相似三角形法则和向量法。
我们来说说三角形法则。
三角形法则是解决平行四边形动点问题的基本方法。
它的核心思想是利用三角形的三个顶点和三条边的关系，将平行四边形分解成若干个三角形，然后分别求解这些三角形的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。
这个方法简单易懂，而且非常实用。
但是，有时候三角形法则并不能直接解决问题，这时候我们就需要用到第二个法宝：相似三角形法则。
相似三角形法则是解决平行四边形动点问题的另一个重要方法。
它的核心思想是利用相似三角形的性质，将平行四边形分解成若干个相似的三角形，然后分别求解这些三角形的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。
这个方法比三角形法则更加灵活，可以处理更多的问题类型。
但是，相似三角形法则也有它的局限性，有些问题无法用相似三角形法则解决。
这时候，我们就需要用到第三个法宝：向量法。
向量法是解决平行四边形动点问题的最高级方法。
它的核心思想是利用向量的概念，将平行四边形分解成若干个向量，然后分别求解这些向量的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。
这个方法非常强大，可以处理各种复杂的问题类型。
而且，向量法还有一个优点，就是它可以避免一些几何陷阱，让你在解决问题的过程中更加得心应手。
解决平行四边形动点问题有三大法宝：三角形法则、相似三角形法则和向量法。
这三大法宝各有优缺点，我们需要根据具体的问题类型来选择合适的方法。
如果你觉得这些方法还是太难了，也不用担心，我们还有很多其他的方法可以用来解决这个问题。
比如说，你可以尝试画图、列方程、用公式等等。
平行四边形中的动点问题含答案
平⾏四边形中的动点问题含答案平⾏四边形中的动点问题⼀、新课导⼊（⼀）学习⽬标学会运⽤数形结合思想，能根据题意结合平⾏四边形的性质、判定列出⽅程，进⾏相关的计算或证明，解决有关平⾏四边形中的动点问题．（⼆）预习导⼊1．在四边形ABCD中，AB∥CD，请添加⼀个条件：_____________，使得四边形ABCD 是平⾏四边形．2．如图，边长为4的正⽅形ABCD中，动点Q以每秒4个单位的速度从点A出发沿正⽅形的边AD-DC-CB⽅向做折线运动，设点Q的运动时间为t秒．当点Q在DC上运动时，DQ=________，QC=________（⽤含t的代数式表⽰）．⼆、典型问题知识点：平⾏四边形中的动点问题例如图，在直⾓坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平⾏四边形，∠COA=60°，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（10，43）．动点P从点O出发，沿射线OA⽅向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC 运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当运动2秒时，求△APQ的⾯积；（2）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平⾏四边形？分析：（1）作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．求出PA，QE即可解决问题；（2）如当点Q在射线BC上，且CQ=PA时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平⾏四边形，由此构建⽅程即可解决问题．三、阶梯训练A组：基础练习1．在矩形ABCD中，AB=6cm，∠ACB=30°，动点P从A出发沿AC向点C以2cm/s的速度运动，运动经过_______秒时，BP 的长度最⼩，最⼩值为_________．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停⽌运动时，点Q也随之停⽌运动，当运动时间t 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平⾏四边形，则t的值为_________．3．如图，菱形ABCD中，对⾓线AC，BD交于点O，E为AD边上的⼀个动点，AC=AD=6，则OE的最⼩值为__________．4．如图，在?ABCD中，AC=8，BD=12，点E，F在对⾓线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F 从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停⽌．运动时间为_______秒时，四边形AECF为矩形．5．在平⾯直⾓坐标系中，矩形ABCD 的边BC ∥x 轴，若A 点的坐标为（-1，22），C 点坐标为（3，-22）．若动点P 沿矩形ABCD 的边从A →D →C 的路径运动，运动速度为每秒2个单位，运动时间为t 秒．（1）当t=1时，S △BCP =________，当t=4时，求S △BCP =________；（2）当△BCP 的⾯积是矩形ABCD ⾯积的14时，求点P 的坐标．6．如图，?ABCD 的对⾓线AC ，BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB=3，BC=5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连接PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）BQ=__________（⽤含t 的代数式表⽰）；（2）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，求t 的值．B组：拓展练习7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，P为对⾓线AC上⼀动点，则△PBE的周长的最⼩值为_________．8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E，F分别是AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若H从F点出发，沿线段FE以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，设运动时间为t s．①当t=______时，四边形BPHE是平⾏四边形；②是否存在t的值，使四边形PCFH是菱形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．平⾏四边形中的动点问题答案⼀、新课导⼊预习导⼊1．AB=CD（答案不唯⼀）．2．4t-4，8-4t．例（1）作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．∵A（6，0），B（10，43），∴OA=6，OF=10，BF=43．∴AF=10-6=4，AB= 2+ 2=8．当t=2时，OP=2，PA=4，AQ=4．∵四边形OABC是平⾏四边形，∴∠BAF=∠COA=60°．∴∠AQE=30°．∴AE=12AQ=2．∴EQ=23．=12PA?QE=43．∴S△PAQ（2）当点Q在射线BC上，且CQ=PA时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平⾏四边形．∴|14-2t|=|t-6|．解得t=203或8．∴t为203或8时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平⾏四边形．1．32，33cm．2．2或3．5．34．2或10．5．（1）82，8；（2）当点P是CD的中点时，△BCP的⾯积是矩形ABCD⾯积的14，则P点坐标为（3，0）．6．（1）5-t；（2）如图，过点O作EF⊥AD交AD，BC于点E，F．Rt△ABC中，∵AB=3，BC=5，∴AC=4．∴AO=CO=2．∵S△ABC＝12AB·AC＝12BC·EF，∴3×4=5×EF，∴EF＝125．∴OE＝65．∵OE是AP的垂直平分线，∴AE=12AP=t，∠AEO=90°，由勾股定理得AE2+OE2=AO2，∴（12t）2+（65）2＝22．∴t=165．∴当t=165时，点O在线段AP的垂直平分线上．7．3+1．8．（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．∵E，F分别为AB，AC的中点，∴DE和DF是△ABC的中位线．∴DE∥AC，DF∥AB．∴四边形AEDF是平⾏四边形．∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，∴AE=AF．∴四边形AEDF是菱形．（2）①1；②不存在t的值，使四边形PCFH是菱形．理由如下：∵EF∥BC，∴FH∥PC．若四边形PCFH为菱形，则FH=PC=CF．当FH=PC时，2t=10-3t．解得t=2．∴FH=PC=4．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12BC=5．∴AC=AD2+CD2=89．∵F是AC的中点，∴CF=12AC=FH=PC≠CF．∴四边形PCFH是平⾏四边形，不是菱形．∴不存在t的值，使四边形PCFH是菱形．。
小专题5_特殊平行四边形中的动点问题——P27复习题T14的变式与应用
小专题5特殊平行四边形中的动点问题——P27复习题T14的变式与应用【教材母题变式】（教材P27复习题T14变式）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为t、s.（1）CD边的长度为_______cm，t的取值范围为_______.（2）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由；（4）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？（5）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；（6）是否存在t，使得△APQ的面积是△ABC面积的半？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（7）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在请求出t值；若不存在，请说明理由参考答案【教材母题变式】（1）100≤t≤9解：（2）如图1，当PQ∥CD时，四边形PDCQ是平行四边形，此时PD=QC.∴12－t=2t，∴t=4. ∴当t=4时，PQ∥CD.（3）不存在. 理由：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形.由（2）知当t=4时，四边形PQCD是平行四边形. 此时DP=12－t=8≠10，即DP≠DC，∴按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形.（4）如图2，由题意，得AP=t，DP=12－t，CQ=2t，BQ=18－2t.要使四边形PQBA是矩形，已有∠B=90°，AD∥BC，即AP∥BQ，只需满足AP=BQ，即t=18－2t，解得t=6.∴当t=6时，四边形PQBA是矩形.（5）不存在，理由：要使四边形PQBA是正方形，则四边形PQBA一定是矩形.由（4）知当t=6时，四边形PQBA是矩形. 此时AP=t=6≠8，即AP≠AB，∴按已知速度运动，四边形PQBA只能是矩形，不可能是正方形.（6）存在.若△APQ的面积是△ABC面积的一半，则11=?22AP AB BC AB••.∴AP =12BC ，即t =9. ∵t =9满足0≤t ≤9，存在这样的t 值.（7）存在，△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：①如图3，当QC =DC 时，即2t =10，∴t =5. ②如图4，当DQ =DC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，则QH =CH =12CQ =t . 又∵CH =BC －AD =6，∴t =6. ③如图5，当QD =QC 时，过点D 作DH ⊥CQ 于点H ，则DH =8，CH =6，DC =10，CQ =QD =2t ，QH =t 2-6. 在Rt △DQH 中，222DH QH DQ +=， ∴222(2t)t 8+ 2-6=. 解得t =256. 综上，当=5，6或256时，△DQC 是等腰三角形.。
特殊的平行四边形动点专题
百度文库-让每个人平等地提升自我如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F 从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t.〔1〕连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；：①当t为______s时，四边形ACFE是菱形；②当t为______s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上〔1〕当点E在线段BC上时〔如图1〕，求证：EC+CF=AB；2〕〔2〕当点E在BC的延长线上时〔如图2〕，线段EC、CF、AB有怎样的相等写出你的猜测，不需证明．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点〔不与点A重合〕，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．〔1〕求证：四边形AMDN是平行四边形；〔2〕填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．〔第4题〕如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．〔1〕探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；〔2〕当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？〔3〕当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？假设是，请证明，假设不是，那么说明理由．1如以下图，在?ABCD中，AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB，PN∥AD，连结AM，设AP=x，△AMP的面积为y．〔1〕四边形PMCN是不是菱形，请说明理由．〔2〕写出y与x之间的函数关系式．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P〔不与B、D重合〕分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．〔1〕BD的长是______；〔2〕连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q。
平行四边形的动点问题
平行四边形的动点问题
例1、如图：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动。
(1)运动多少秒时，四边形APQB是平行四边形?
(2)运动多少秒时，四边形APQB的面积和四边形PDCQ的面积相等?
例2.直角坐标系中菱形OABC的位置如图，A点坐标（4，0），∠AOC=60°。
经过点O的一条直线a沿x轴的正方向以每秒1单位长度的速度运动，且始终保持与OC垂直.
（1）求点B的坐标。
（2）设直线运动时扫过的菱形的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的函数关系式。
（0≤t≤12）
例3、如图已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s，若设运动时间为t(s)，连接PC,当t
为何值时，△PBC为等腰三角形？
(2)若点P从点A沿 AB运动，速度仍是1cm/s，当t为何值时，△PBC为等腰三角形？（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段DP将线段BC三等分？
4、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12．动点P从 D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终C点运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．
（1）梯形ABCD的面积等于；（2）当PQ∥AB时，点P离开D点的时间等于秒；
（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？。
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特殊四边形：动点问题题型一：1．已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =2,BC =DC =5,点P 在BC 上移动,则当PA +PD 取最小值时,△APD 中边AP 上的高为（ ）A 、17172B 、17174 C 、 17178D 、32.如图4,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＝6,BC ＝16,E 是BC 的中点.点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发,沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发,沿CB 向点B 运动.点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动.当运动时间t ＝ 秒时,以点P ,Q ,E ,D 为顶点的四边形是平行四边形.3．如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,E 是BC 的中点,AD=5,BC=12,CD=42,∠C=045,点P 是BC 边上一动点,设PB 长为x. (1)当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形. (2)当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形.(3)点P 在BC 边上运动的过程中,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.4.在一个等腰梯形ABCD 中,AD//BC,AB=CD,AD=10cm,BC=30cm,动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以每秒1cm 的速度运动,同时动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以每秒3cm 的速度运动,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t s. (1).t 为何值时,四边形ABQP 为平行四边形？(2).四边形ABQP 能为等腰梯形吗？如果能,求出t 的值,如果不能,请说明理由。
6.梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P 从点A 开始,沿AD 边,以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始,沿CB 边,以3厘米/秒的速度向B 点运动。
已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发,,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动。
假设运动时间为t 秒,问： （1）t 为何值时,四边形PQCD 是平行四边形？（2）在某个时刻,四边形PQCD 可能是菱形吗？为什么？ （3）t 为何值时,四边形PQCD 是直角梯形？ （4）t 为何值时,四边形PQCD 是等腰梯形？ (5) t 为何值时, APQ 是等腰三角形？7．如图,在直角梯形ABCD 中,∠B=90°,AD ‖BC,且AD=4cm,AB=8cm,DC=10cm 。
若动点P 从点A 出发,以每秒4cm 的速度沿线段AD 、DC 向C 点运动；动点Q 从C 点以每秒5cm 的速度沿CB 向B 点运动。
当Q 点到达B 点时,动点P 、Q 同时停止运动。
设P 、Q 同时出发,并运动了t 秒。
（1）直角梯形ABCD 的面积为__________cm 的平方. （2）当t=________秒时,四边形PQCD 为平行四边形。
（3）当t=________秒时,PQ=DC（4）是否存在t,使得P 点在线段DC 上,且PQ ⊥DC （如图2所示）？若存在,列出方程求出此时的t ；若不存在,请说明理由。
8．如图,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,AB‖CD,且AB=4cm,BC=8cm,DC=10cm。
若动点P从点A出发,以每秒1cm的速度沿线段AB、BC向C点运动；动点Q从C点以每秒1cm的速度沿CB向B点运动。
当Q点到达B点时,动点P、Q同时停止运动。
设P、Q同时出发,并运动了t秒。
（1）直角梯形ABCD的面积为__________cm的平方.（2）当t=________秒时,四边形PBCQ为平行四边形。
（3）当t=________秒时,PQ=BC.10. 如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,其中AB=12 cm,CD=6cm ,梯形的高为4,点P从开始沿AB边向点B以每秒3cm的速度移动,点Q从开始沿CD边向点D以每秒1cm 的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达终点时运动停止。
设运动时间为t秒。
（1）求证：当t为何值时,四边形APQD是平行四边形；（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能,求出当t为何值时PQ平分BD；若不能,请说明理由；（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形,求t的值。
11.如图,在直角梯形ABCD中,AB//CD,∠C=RT∠,AB=AD=10cm,BC=8cm,点P从点A出发,以每秒3cm的速度沿线段AB方向运动,点Q从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动。
已知动点P、Q同时出发,当点Q运动到点C时,P、Q运动停止,设运动时间为t(s).(1)求CD的长。
(2)当四边形PBQD为平行四边形时,求四边形PBQD的周长；(3)在点P,点Q的运动过程中,是否存在某一时刻,使得ΔBPQ的面积为20cm2?若存在,请求出所有满足条件的t的值；若不存在,请说明理由。
13. 已知,矩形ABCD中,4AB cm=,8BC cm=,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图10-1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；(2)如图10-2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿AFB∆和CDE∆各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:cm,0ab≠),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式.14.已知：如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,BC=8cm,CD=24cm,AB=26Cm,点P从C出发,以1cm/s的速度向D运动,点Q从A出发,以3cm/s的速度向B运动,其中一动点达到端点时,另一动点随之停止运动．从运动开始．（1）经过多少时间,四边形AQPD是平行四边形？（2）经过多少时间,四边形AQPD成为等腰梯形？（3）在运动过程中,P、Q、B、C四点有可能构成正方形吗？为什么？AB CDEF图10-1O图10-2ACDEP备用图ACDEP如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动,动点Q从点A出发,在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动,点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时,点P随之停止运动,设运动的时间为t（秒）．①当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形；②当t为何值时,以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2？③是否存在点P,使△PQD是等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的t的值,若不存在,请说明理由．15.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6,DC=10,AB=65,∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN∥AB时,求t的值．（3）△MNC可能为等腰三角形吗？若能,请求出t的值；若不能,请说明理由．（4）△MNC可能为直角三角形吗？若能,请求出t的值；若不能,请说明理由．（5）△MNC为20时,请求出t的值．如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=34,AD=4,DC=234 ,点P从点A出发沿折线段AD-DC-CB以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动,同时,点Q从点A出发沿射线AB方向以每秒2个单位长的速度匀速运动,当点P与点B重合时停止运动,点Q也随之停止,设点P,Q的运动时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点B时,求t的值；（2）设△APQ的面积为S,分别求出点P运动到AD、CD上时,S与t的函数关系式；（3）当t为何值时,能使PQ∥DB；(4)当t为何值时,能使P、Q、D、B四点构成的四边形是平行四边形。
16.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=60,AD=75,BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q向上作射线QK⊥BC,交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动,当点P与点C重合时停止运动,点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时,求t的值,并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ∥DC；（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD、DA上时,S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE能否成为直角三角形？若能,写出t的取值范围；若不能,请说明理由．17.如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=33,动点P 从B 点出发,沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发,沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M,交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点,P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．（1）求NC,MC 的长（用t 的代数式表示）；（2）当t 为何值时,四边形PCDQ 构成平行四边形？（3）当t 为何值时,射线QN 恰好将△ABC 的面积平分？并判断此时△ABC 的周长是否也被射线QN 平分．19.如图,已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10． （1）求梯形ABCD 的面积S ；（2）动点P 从点B 出发,以2cm/s 的速度、沿B →A →D →C 方向,向点C 运动；动点Q 从点C 出发,以2cm/s 的速度、沿C →D →A 方向,向点A 运动．若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t 秒． 问：①当点P 在B →A 上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分？若存在,请求出t 的值,并判断此时PQ 是否平分梯形ABCD 的面积；若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在,请求出所有符合条件的t 的值；若不存在,请说明理由．BA 沿,点出发B 也从P 动点,．同时1cm/s 运动的速度都是,停止C 运动到点BC 沿,出发B 从点Q ）．动点1（如图BC=10cm 底CD=6cm,高,°C=90∠,中ABCD 在直角梯形20.,）2为横、纵坐标建立直角坐标系（如图t,y ）．分别以cm （y 运动的路程为P 点,）s （t 运动的时间为,出发B 同时从点P,Q ．设BC 始终垂直PQ 且,停止D 运动到点AD →．)25(2, ）和4,5的坐标分别为（N 与M 的函数的部分图象．经测量点t 与y 已知如图中线段为 所在直线的解析式；M,N ）求1（ 的长；AD 与AB 中边ABCD ）求梯形2（ 的函数关系的大致图象．t 关于y 中补全整运动中2并在图,的函数关系式（注明自变量的取值范围）t 与,y 边上运动时AD 在P ）写出点3（22.如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B=90°,AD=6,BC=8,AB=33,点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动,到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P,Q 的运动过程中,以PQ 为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P,Q 同时出发,当点P 返回到点M 时停止运动,点Q 也随之停止．设点P,Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）设PQ 的长为y,在点P 从点M 向点B 运动的过程中,写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）； （2）当BP=1时,求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积；已知：如图,在直角梯形COAB 中,OC ∥AB,∠AOC=90°,AB=4,AO=8,OC=10,以O 为原点建立平面直角坐标系,点D 为线段BC 的中点,动点P 从点A 出发,以每秒4个单位的速度,沿折线AOCD 向终点C 运动,运动时间是t 秒． （1）D 点的坐标为 ；（2）当t 为何值时,△APD 是直角三角形；（3）如果另有一动点Q,从C 点出发,沿折线CBA 向终点A 以每秒5个单位的速度与P 点同时运动,当一点到达终点时,两点均停止运动,问：P 、C 、Q 、A 四点围成的四边形的面积能否为28？如果可能,求出对应的t ；如果不可能,请说明理由．在梯形ABCO 中,OC ∥AB,以O 为原点建立平面直角坐标系,A 、B 、C 三点的坐标分别是A （8,0）,B （8,10）,C （0,4）．点D （4,7）为线段BC 的中点,动点P 从O 点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OAB 的路线运动,运动时间为t 秒． （1）求直线BC 的解析式；（2）设△OPD 的面积为s,求出s 与t 的函数关系式,并指出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时,△OPD 的面积是梯形OABC 的面积的83？如图,在直角梯形COAB 中,CB ∥OA,以O 为原点建立直角坐标系,A 、C 的坐标分别为A （10,0）、C （0,8）,CB=4,D 为OA 中点,动点P 自A 点出发沿A →B →C →O 的线路移动,速度为1个单位/秒,移动时间为t 秒．（1）求AB 的长,并求当PD 将梯形COAB 的周长平分时t 的值,并指出此时点P 在哪条边上；（2）动点P 在从A 到B 的移动过程中,设△APD 的面积为S,试写出S 与t 的函数关系式,并指出t 的取值范围； （3）几秒后线段PD 将梯形COAB 的面积分成1：3的两部分？求出此时点P 的坐标？已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中,AB∥OC,AB=10,OC=22,BC=15,动点M从A点出发,以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动,同时动点N从C点出发,以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动．当其中一个动点运动到终点时,两个动点都停止运动．（1）求B点坐标；（2）设运动时间为t秒；①当t为何值时,四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；②当t为何值时,四边形OAMN的面积最小,并求出最小面积；③若另有一动点P,在点M、N运动的同时,也从点A出发沿AO运动．在②的条件下,PM+PN的长度也刚好最小,求动点P的速度．如图（1）,以梯形OABC的顶点O为原点,底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系．梯形其它三个顶点坐标分别为：A（14,0）,B（11,4）,C（3,4）,点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA向A点运动,同时点F以每秒3个单位的速度,从O点出发沿折线OCB向B运动,设运动时间为t．（1）当t=4秒时,判断四边形COEB是什么样的四边形？（2）当t为何值时,四边形COEF是直角梯形？（3）在运动过程中,四边形COEF能否成为一个菱形？若能,请求出t的值；若不能,请简要说明理由,并改变E、F两点中任一个点的运动速度,使E、F运动到某时刻时,四边形COEF是菱形,并写出改变后的速度及t的值如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为直角梯形,OA∥BC,BC=14,A（16,0）,C（0,2）．（1）如图①,若点P、Q分别从点C、A同时出发,点P以每秒2个单位的速度由C向B运动,点Q以每秒4个单位的速度由A向O运动,当点Q停止运动时,点P也停止运动．设运动时间为t秒（0≤t≤4）．①求当t为多少时,四边形PQAB为平行四边形？②求当t为多少时,直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2,并求出此时直线PQ的解析式．（2）如图②,若点P、Q分别是线段BC、AO上的任意两点（不与线段BC、AO的端点重合）,且四边形OQPC面积为10,试说明直线PQ一定经过一定点,并求出该定点的坐标．。