第四章小结

C V 3 Nk B (
k BT
e (e
B
)
E /T
E
T
E /T
1)
2
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（3）爱因斯坦模型与实验符合的程度 1）温度较高时： e / T 1 /T e 1 则
e
iq 2 Na
1
q
h 2 Na
2
晶格振动的波矢数＝晶体原胞数 晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数
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3、三维晶格的振动 [三维晶格中的格波] 在三维晶格中，对于一定的波矢q，有3个声学波，（3n－3） 个光学波。 [“q空间”及q在其中的分布密度] （1）q空间 “q空间”亦称为波矢空间(wave vector space)。 （2）q在波矢空间的密度
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（2）声学波的物理本质 声学格波反映的是原胞的整体振动，或者说是原 胞质心的振动。 （3）光学波是复式格子特有的 光学格波是两种原子保持质心不动的情况下作刚性 的相对振动 （4）q的取值
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6、离子晶体的长光光学波近似 [长光学波的宏观运动方程]
W b11 W b12 E

P b 21 W b 22 E
b11 0
2
b12 b 21 [ ( 0 ) ( )]
M 2 n 1 ( 2 2 n 1 2 n 2 2 n )


2 n Ae
2 n 1 Be
i [ t ( 2 na ) q ]
i [ t ( 2 n 1 ) aq ]
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E
E
(e
E /T
1)
2

(e
E / 2T
e

E
/ 2T
)
2
(
1
E
2T

E
2T
( )
2
T
E
)
2
所以，
C V 3 Nk B (
E
T
) (
2
T
与杜隆－珀替定律一致。 2）低温时： E /T
E
) 3 Nk
2
B
e
1
k BT ) e
2 / k B T
( ) min ( 0 ) 0
( ) min (
(

) max

(

2a
)
2 M

2a
)
2 m
( ) max ( 0 )
2 (m M ) mM
在ω-max与ω+min之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被 激发。
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C）当q 很小时，一维单原子链的色散关系与连续弹性介质 波的色散关系一致：
a
m q cq
对于一维单原子链，如果相邻原子的相对位移为 伸长为 / a ，相互作用力可以写为
a (
) a
，相对
这表明 a 为连链的伸长模量。 若把一维原子链看成是连续的弹性链时，线密度为m/a，弹性 波的波速为
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[爱因斯坦模型] （1）模型的特点 认为晶格中各原子在振动时相互独立的，所有原子都以相同 的频率振动。 （2）晶格的热容
C v 3 Nk
( 0 / k BT ) e
2 B
0 / k B T 2
(e
fE (
)
2
0 / k B T
1)
C V 3 Nk

1)
2
j 1

3N
d E j (T ) dT
j 1
振动频率为连续值的情形
Cv ( E T

m
)V

0
kB (
k BT
)
2
e (e
/ k B T
/ k B T
1)
2
g ( ) d
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二、晶格振动的热容量
1、晶格热容的量子理论 [热容问题概述] （1）晶格热容和电子热容 固体的平均内能包括晶格振动能量和电子运动能量，这两 种运动能量对固体的热容都有贡献，分别称为晶格热容 （lattice heat capacity) 和电子热容(electronic heat capacity)。 （2）杜隆－珀替定律（Dulong-Petit law ） 热容是一个与温度和材料性质无关的常数，具有N个原子 的固体，其热容为CV＝3NkB 。 其中N为原子数，kB为玻尔兹曼常数。 高温时，此定律与实验结果符合得很好；低温时，与实验结 果不怎么符合。
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5、确定晶格振动谱的实验方法 [光子散射] （1）光子散射测定晶格的振动谱 （2）布里渊散射(Brillouin scattering) 长声学波声子导致的光子散射为光子的布里渊散射 （3）喇曼散射（Raman scattering） 喇曼散射是光子与长光学波声子的相互碰撞。 [中子散射] (1)中子只与原子核作用 (2)中子散射的非弹性散射 (3) 正常过程与倒逆过程 (4) 三轴中子谱仪
c a


a
m a
(
伸长模量 密度
)
1/ 2
m
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2、一维双原子链 [两种原子的运动方程及其解]
m 2 n ( 2 2 n 2 n 1 2 n 1 )
e
i ( Naq )
1
q
2 Na
h
（4）对色散关系的几点讨论 A）由于ω 是q 的偶函数，（5）式只须取正根就可以了，即
2
m sin 1 2 aq
B）一维单原子链的色散关系与弹性波的色散关系的区别。

q
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1/ 2
0
1/ 2
0
b 22 [ ( ) 1] 0
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[长光学波的横波频率ωTO与纵波频率ωLO] 横波方程 d W
2 T
dt
2
b11 W T
纵波方程
d WL dt
[ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数]
(q
a ) (q )
(q

a


2a
q

2a
) (q )
[对色散关系的讨论] （1）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异 一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）— 声学波；而一维双原子链则有两支格波（一个波矢对应两个格 波）— 声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围：
[第n个原子的运动方程]
m n ( n 1 n 1 2 n )

nq Ae
i ( t naq )
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[色散关系]

2

2 m
[1 cos aq ]
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[声学波和光学波]

2

m M mM
{1 [1
4 mM (m M )
2
sin
2
aq ]
1/ 2
}

2


mM mM
{1 [1
4 mM (m M )
2
sin
2
aq ]
1/ 2
}
ω＋对应的格波称为光学波（optic wave）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格波称为声学波(acoustic wave)或声学 支（acoustic branch）
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第四章小结
一 、晶格振动的状态及能量； 1、一维单原子链的振动 [格波]由于晶格具有周期性，晶格的振动模具有波的形式， 称为格波(lattice wave)。 [相邻原子之间的相互作用]
F dv d
d 2v d 2 a
－(π/a)<q≤(π／a)
这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。 q 的取值及范围常 称为布里渊区（Brillouin zones）。
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