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潍坊市重点中学2014-2015年高二4月月考数学(理)试题及答案

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四年级下数学月考试题-综合考练(19)｜14-15人教新课标(2014秋)

四年级下数学月考试题-综合考练(19)｜14-15人教新课标(2014秋)

2014-2015学年新人教版四年级（下）月考数学试卷（5月份）一、填空．1．2015年全年有天，合个星期零天．2．暑假小明在奶奶家连住两个月，正好62天，这两个月是月和月．3．新华书店早上8时开始营业，晚上8时关门，它一天的营业时间是小时．4．4日=小时3时=分3000平方分米=平方米400平方厘米=平方分米．5．教师节在第季度，这个季度一共有天．6．周长是16厘米的正方形，边长是厘米，面积是平方厘米．7．一个长方形花坛，长是16米，宽是8米，这个花坛的周长是米，面积是平方米．8．一个长是8分米，面积是32平方分米的长方形，它的宽是分米．9．两个完全一样的长方形，长是6厘米，宽是3厘米，把两个长方形拼成一个正方形，正方形的周长是厘米，面积是平方厘米．10．在横线里填上合适的面积单位．一张报纸的面积是12；一间教室的面积是56；一块橡皮擦的面积是5．二、我是小法官．（对的画“√”，错的画“X”）．11．边长是4厘米的正方形，它的周长和面积相等．．（判断对错）12．爸爸的生日是1998年2月29日．（判断对错）13．面积单位之间的进率都是100．．（判断对错）14．13时就是下午3时．（判断对错）15．周长相等的两个长方形，面积也一定相等．．（判断对错）三、选择题．16．一个月至少有（）个星期日．A．3B．4C．5D．617．下面的年份中，不是闰年的是（）A．1996B．1900C．2020D．201618．下午5时用24时计时法表示是（）A．5时B．17时C．下午17时D．晚上17时19．边长为4厘米的正方形中有（）个边长为2厘米的小正方形．A．2B．4C．1620．周长相等的长方形和正方形，它们的面积相比是（）A．一样大B．正方形面积大C．长方形面积大D．不一定四、找朋友．（连线）21．找朋友．（连线）五、看看今年的年历，回答下面的问题．22．看看今年的年历，回答下面的问题．（1）今年是年，二月有天，全年有天，合个星期零天．（2）今年第二季度一共有天．（3）今年上半年有天，下半年有天，上半年比下半年少天．（4）今年的5月1号是星期五，它的前一天是星期．六、解决问题．23．一个长方形菜地，长60米，宽是长的一半．这块菜地的周长是多少？它的面积是多少？24．一个商店营业时间从上午7：30到晚上8：00，一天营业多少时间？25．一个工厂平均每星期烧21吨煤，那么工厂2010年第一季度共烧了多少吨煤？26．一辆洒水车，每分钟行驶200米，洒水的宽度是8米．洒水车行驶8分钟，能给地面上洒水多少平方米？27．一条人行道长20米，宽4米，面积是多少平方米？合多少平方分米？，如果用面积8平方分米的水泥方铺地，需要这样的水泥方砖多少块？2014-2015学年新人教版四年级（下）月考数学试卷（5月份）参考答案与试题解析一、填空．1．2015年全年有365天，合52个星期零1天．【考点】年、月、日及其关系、单位换算与计算．【分析】先判断出2015是平年还是闰年，平年的2月有28天，全年365天，闰年的2月有29天，全年366天；一个星期有7天，用全年的天数除以7即可得解．【解答】解：2015÷4=503.75因为2015不能被4整除，所以2015年是平年，全年365天；365÷7=52（周）…1（天）答：2015年全年有365天，合52个星期零1天．故答案为：365，52，1．2．暑假小明在奶奶家连住两个月，正好62天，这两个月是7月和8月．【考点】日期和时间的推算．【分析】连续2个月是62天，那么这两个月都是大月，找出两个连续的大月即可求解．【解答】解：连续2个月是62天，那么这两个月都是31天，是大月，大月的月份有：1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月；连续两个月是大月有：7月和8月；或者这年的12月份和下一个月的1月份；因为是在暑假，所以是7月和8月．故答案为：7，8．3．新华书店早上8时开始营业，晚上8时关门，它一天的营业时间是12小时．【考点】日期和时间的推算．【分析】早上8时用24时计时法是8时，晚上8时用24时计时法是20时，用关门的时刻减去开始营业的时刻，就是一天营业的时间．据此解答．【解答】解：早上8时用24时计时法是8时晚上8时用24时计时法是20时20时﹣8时=12小时答：一天营业的时间是12小时．故答案为：12．4．4日=96小时3时=180分3000平方分米=30平方米400平方厘米=4平方分米．【考点】时、分、秒及其关系、单位换算与计算；面积单位间的进率及单位换算．【分析】把4日好处时数，用4乘进率24；把3时化成分钟数，用3乘进率60；把3000平方分米化成平方米数，用3000除以进率100；把400平方厘米化成平方分米数，用400除以进率100；即可得解．【解答】解：4日=96小时3时=180分3000平方分米=30平方米400平方厘米=4平方分米；故答案为：96，180，30，4．5．教师节在第三季度，这个季度一共有92天．【考点】年、月、日及其关系、单位换算与计算．【分析】根据年月日的知识可知：一年有12个月，分为7个大月：1、3、5、7、8、10、12月，大月每月31天，4个小月：4、6、9、11月，小月每月30天，闰年的二月有29天，平年的二月有28天；一年又分为4个季度，一个季度3个月，第一季度有：1、2、3月，第二季度有：4、5、6月，第三季度有：7、8、9月，第四季度有：10、11、12月；教师节是9月10日，在第三季度，把第三季度的7、8、9三个月的天数加起来即可知道这个季度一共有几天．【解答】解：教师节是9月10日，在第三季度；第三季度有：7、8、9月，这个季度有：31+31+30=92天；故答案为：三，92．6．周长是16厘米的正方形，边长是4厘米，面积是16平方厘米．【考点】正方形的周长；长方形、正方形的面积．【分析】根据正方形的周长公式C=边长×4，正方形的面积公式S=边长×边长进行计算即可得到答案．【解答】解：边长：16÷4=4（厘米）面积：4×4=16（平方厘米）答：正方形的边长是4厘米，面积是16平方厘米．故答案为：4，16．7．一个长方形花坛，长是16米，宽是8米，这个花坛的周长是48米，面积是128平方米．【考点】长方形、正方形的面积；长方形的周长．【分析】根据长方形的周长公式：C=（a+b）×2，代入数据即可求出花坛的周长；求花坛的面积根据长方形的面积公式：s=ab，把数据代入公式解答即可．【解答】解：（16+8）×2=24×2=48（米）16×8=128（平方米）；答：这个花坛的周长是48米，面积是128平方米．故答案为：48，128．8．一个长是8分米，面积是32平方分米的长方形，它的宽是4分米．【考点】长方形、正方形的面积．【分析】根据长方形的面积公式：s=ab，那么b=s÷a，据此解答．【解答】解：32÷8=4（分米）答：宽是4分米．故答案为：4．9．两个完全一样的长方形，长是6厘米，宽是3厘米，把两个长方形拼成一个正方形，正方形的周长是24厘米，面积是36平方厘米．【考点】图形的拼组；正方形的周长；长方形、正方形的面积．【分析】根据题干，拼成的正方形的边长是6厘米，则根据正方形的周长=边长×4，正方形的面积=边长×边长，代入数据即可解答．【解答】解：6×4=24（厘米）6×6=36（平方厘米）答：正方形的周长是24厘米，面积是36平方厘米．故答案为：24；36．10．在横线里填上合适的面积单位．一张报纸的面积是12平方分米；一间教室的面积是56平方米；一块橡皮擦的面积是5平方厘米．【考点】根据情景选择合适的计量单位；面积和面积单位．【分析】根据生活经验，对面积单位和数据的大小，可知计量一张报纸的面积是12用平方分米做单位；一间教室的面积是56用平方米做单位；一块橡皮擦的面积是5用平方厘米作单位；据此得解．【解答】解：一张报纸的面积是12 平方分米；一间教室的面积是56 平方米；一块橡皮擦的面积是5 平方厘米；故答案为：平方分米，平方米，平方厘米．二、我是小法官．（对的画“√”，错的画“X”）．11．边长是4厘米的正方形，它的周长和面积相等．错误．（判断对错）【考点】正方形的周长；长方形、正方形的面积．【分析】要判断周长和面积是否相等，学分别求出其周长和面积．将题目数据代入公式及可以求出．【解答】解：周长为4×4=16（厘米）；面积为4×4=16（平方厘米）；周长与面积的值相等，但单位不等．且长度单位和面积单位不能比较大小．故答案为：错误．12．爸爸的生日是1998年2月29日．×（判断对错）【考点】日期和时间的推算．【分析】先判断1998年是平年还是闰年，1998是一般年份数，一般年份数只要是4的倍数的就是闰年，不是4的倍数的就是平年，平年二月份有28天，只有闰年二月份才有29天．【解答】解：因为1998年是一般年份数，1998不是4的倍数，所以1998年不是闰年，是平年，这一年的二月份只有28日，没有29日，所以爸爸不可能是1998年2月29日出生的．故答案为：×．13．面积单位之间的进率都是100．错误．（判断对错）【考点】面积和面积单位．【分析】常用的面积单位有：平方厘米、平方分米、平方米、公顷、和平方千米，1公顷=10000平方米，其它两个相邻的面积单位之间的进率是100，由此解答．【解答】解：公顷和平方米之间的进率是10000，其它两个相邻的面积单位之间的进率是100；因此，面积单位之间的进率都是100，这种说法是错误的．故答案为：错误．14．13时就是下午3时错误．（判断对错）【考点】时、分、秒及其关系、单位换算与计算．【分析】13时是24时计时法，要改写成普通计时法，减去12时，再在前面标上下午即可．【解答】解：由分析可知：13时就是下午：13﹣12=1时；故答案为：错误．15．周长相等的两个长方形，面积也一定相等．×．（判断对错）【考点】平行四边形的面积；长方形的周长．【分析】如果两个长方形的周长相等，长与宽相差越小面积就越大，当长和宽相等时（正方形）面积最大．由此解答．【解答】解：可以举例证明，当长方形的周长是24厘米时：一种长是10厘米，宽是2厘米，面积是20平方厘米；另一种长是8厘米，宽是4厘米，面积是32平方厘米；很显然20平方厘米不等于32平方厘米．所以说周长相等的两个长方形，面积也一定相等，这种说法是错误的．故答案为：×．三、选择题．16．一个月至少有（）个星期日．A．3B．4C．5D．6【考点】日期和时间的推算．【分析】根据年月日的知识可知：一年有12个月，大月每月31天，小月每月30天，闰年的二月有29天，平年的二月有28天，所以天数最少的月是平年的二月，因为一星期有7天这是定数，所以用28÷7=4个星期，据此可知；天数最少的月也有4个星期日，据此分析判断选择即可．【解答】解：天数最少的月是平年的二月，28÷7=4个星期，据此可知；天数最少的月也有4个星期日，所以每个月最少有4个星期日．故选：B．17．下面的年份中，不是闰年的是（）A．1996B．1900C．2020D．2016【考点】平年、闰年的判断方法．【分析】用选项中的年份除以4，整百年份除以400，有余数就是平年，没有余数就是闰年；据此解答．【解答】解：A：1996÷4=499；没有余数，1996年是闰年；B：1900÷400=4…300；有余数，1900年是平年；C：2020÷4=505，没有余数，是闰年．D：2016÷4=504，没有余数，是闰年．故选：B．18．下午5时用24时计时法表示是（）A．5时B．17时C．下午17时D．晚上17时【考点】时、分、秒及其关系、单位换算与计算．【分析】把普通计时法转化成24记时法时，上午时刻不变，只要去掉“早晨、上午”等修饰词语即可；下午时数加12时，同时去掉“下午、晚上”等修饰词语即可．【解答】解：下午5时用24时计时法表示是17时．故选：B．19．边长为4厘米的正方形中有（）个边长为2厘米的小正方形．A．2B．4C．16【考点】图形的拼组．【分析】用大正方形的面积除以小正方形的面积，即可得解．【解答】解：4×4÷（2×2）=16÷4=4（个）答：边长为4厘米的正方形中有4个边长为2厘米的小正方形．故选：B．20．周长相等的长方形和正方形，它们的面积相比是（）A．一样大B．正方形面积大C．长方形面积大D．不一定【考点】面积及面积的大小比较．【分析】正方形和长方形的周长相等，正方形的面积比长方形的面积大．可以通过举例证明，如它们的周长都是24厘米，长方形的长是8厘米，宽是4厘米；正方形的边长是6厘米；然后根据长方形和正方形的面积计算公式计算，进而得出结论．【解答】解：如它们的周长都是24厘米，长方形的长是8厘米，宽是4厘米；正方形的边长是6厘米；长方形的面积：8×4=32（平方厘米）；正方形的面积：6×6=36（平方厘米）；答：周长相等的正方形和长方形，正方形的面积大．故选：B．四、找朋友．（连线）21．找朋友．（连线）【考点】日期和时间的推算．【分析】根据每个节日的日期连线即可．【解答】解：五、看看今年的年历，回答下面的问题．22．看看今年的年历，回答下面的问题．（1）今年是平年，二月有28天，全年有365天，合52个星期零1天．（2）今年第二季度一共有91天．（3）今年上半年有181天，下半年有184天，上半年比下半年少3天．（4）今年的5月1号是星期五，它的前一天是星期四．【考点】年、月、日及其关系、单位换算与计算．【分析】①根据判定闰年的办法：是4的倍数的年份就是闰年，不是4的倍数的年份就是平年，整百年必须是400的倍数，据此判断2015年是不是闰年；闰年的二月有29天，平年的二月有28天，3月是大月有31天，四月是小月30天，把3个月的天数加起来即可；②第一季度包括1月、2月、3月，其中1、3月是大月，31天，2月有28天，然后相加即可；③上半年包括1、2、3、4、5、6月，下半年包括7、8、9、10、11、12，由此可以算出：年上半年有181天，下半年有184天，上半年比下半年少3天；④今年的5月1号是星期五，它的前一天是星期四．【解答】解：①2015÷4=503…3，所以2015不是4的倍数，2015年是平年；215÷7=52（周）…1（天）；即：今年是平年，二月有28天，全年有365天，合52个星期零1天．②30+31+30=91（天），今年第二季度一共有91天；③年上半年有181天，下半年有184天，上半年比下半年少3天；④今年的5月1号是星期五，它的前一天是星期四；故答案为：平，28，365，52，1，91，181，184，3，四．六、解决问题．23．一个长方形菜地，长60米，宽是长的一半．这块菜地的周长是多少？它的面积是多少？【考点】长方形的周长；长方形、正方形的面积．【分析】根据“长60米，宽是长的一半”，先求出宽是60÷2=30米，再利用长方形的周长和面积公式即可解答．【解答】解：60÷2=30（米）周长是：（60+30）×2=90×2=180（米）；面积是：60×30=1800（平方米）；答：这块菜地的周长是180米，面积是1800平方米．24．一个商店营业时间从上午7：30到晚上8：00，一天营业多少时间？【考点】时、分、秒及其关系、单位换算与计算．【分析】首先把普通计时法转化成24时计时法，然后用结束营业时刻减去开始营业时刻，即可得解．【解答】解：8时+12时=20时，20时﹣7时30分=12小时30分钟；答：一天营业12小时30分钟．25．一个工厂平均每星期烧21吨煤，那么工厂2010年第一季度共烧了多少吨煤？【考点】整数、小数复合应用题；日期和时间的推算．【分析】先计算出2010年第一季度星期的个数，再乘平均每星期烧的吨数，即可得解．【解答】解：3×4×21=252（吨）；答：工厂2010年第一季度共烧了252吨煤．26．一辆洒水车，每分钟行驶200米，洒水的宽度是8米．洒水车行驶8分钟，能给地面上洒水多少平方米？【考点】长方形、正方形的面积．【分析】首先根据长方形的面积公式：s=ab，求出每分钟洒水的面积，然后再乘8即可．【解答】解：200×8×8=1600×8=12800（平方米），答：能给地面上洒水12800平方米．27．一条人行道长20米，宽4米，面积是多少平方米？合多少平方分米？，如果用面积8平方分米的水泥方铺地，需要这样的水泥方砖多少块？【考点】长方形、正方形的面积．【分析】根据长方形的面积=长×宽，即可求出人行道的面积是多少平方米，再乘100即可换算成平方分米；据此利用人行道的面积除以水泥方砖的面积，即可求出方砖的块数．【解答】解：20×4=80（平方米）80平方米=8000平方分米8000÷8=1000（块）答：面积是80平方米；合8000平方分米，用面积8平方分米的水泥方铺地，需要这样的水泥方砖1000块．2016年7月16日。

高二数学第一次月考模拟(基础卷)(空间向量与立体几何+直线方程)(解析版)

高二数学第一次月考模拟(基础卷)(空间向量与立体几何+直线方程)(解析版)

2024-2025学年高二上学期第一次月考模拟(基础卷)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.(23-24高二上·重庆·月考)已知A 1,2,-3 ，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是()A.-1,2,-3B.-1,-2,3C.-1,2,3D.1,2,3【答案】D【解析】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：D ．2.(23-24高二上·河南·月考)若直线经过A 1,0 ,B 2,3 两点，则直线AB 的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.135°【答案】C【解析】由直线经过A 1,0 ,B 2,3 两点，可得直线的斜率为3-02-1=3，设直线的倾斜角为θ，有tan θ=3，又0°≤θ<180°，所以θ=60°.故选：C .3.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知a =1,2,-y ,b =x ,1,2 ，且a +2b ∥2a -b ，则()A.x =13,y =1 B.x =2,y =14C.x =12,y =-4 D.x =1,y =-1【答案】C【解析】向量a =1,2,-y ,b =x ,1,2 ，则a +2b =1+2x ,4,4-y ,2a -b =2-x ,3,-2y -2 ，因a +2b ⎳2a -b ，于是得1+2x 2-x =43=4-y -2y -2，解得x =12,y =-4，所以x =12,y =-4.故选：C .4.(23-24高二上·福建福州·期中)两条平行直线2x -y +3=0和ax -3y +6=0间的距离为d ，则a ,d 的值分别为()A.a =6,d =63B.a =-6,d =63C.a =-6,d =55D.a =6,d =55【答案】D【解析】由已知可得，2×-3 --1 ×a =0，解得a =6.代入ax -3y +6=0化简可得，2x -y +2=0.根据两条平行线之间的距离公式可得，d =3-222+-1 2=55.故选：D .5.(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c，点M在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN等于()A.12a +12b -12c B.-23a +12b +12cC.-23a +23b -12cD.23a +23b -12c【答案】B【解析】由题意可得，MN =ON -OM =12OB +OC -23OA =-23a +12b +12c.故选：B6.(23-24高二上·山东·月考)过点P 0,-1 作直线l ，若直线l 与连接A -2,1 ，B 23,1 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为()A.π4,π6B.π6,3π4C.0,π6∪3π4,πD.π6,π2 ∪3π4,π 【答案】B【解析】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，0≤θ<π，k P A =-1-10--2 =-1，k PB =1--1 23-0=33，因为直线l 经过点P 0,-1 ，且与线段AB 总有公共点，所以k ∈-∞,-1 ∪33,+∞ ，因为0≤θ<π，所以π6≤θ≤3π4.故选：B .7.(23-24高二上·天津河西·月考)以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是()A.a =1,0,0 ，b =0,2,0 ，c =12,-2,0 B.a =1,0,0 ，b =0,1,0 ，c=0,0,2C.a =1,0,1 ，b =0,1,1 ，c=2,1,2D.a =1,1,1 ，b =0,1,0 ，c=1,0,2【答案】A【解析】若空间三个向量a ，b ，c 能构成空间的基底，则向量a ，b ，c 不共面，反之亦然，对于A ，由a =1,0,0 ，b =0,2,0 ，c =12,-2,0 ，得c =12a -22b，即向量a ，b ，c共面，不能构成空间基底；对于B ，令c =xa +yb ，则(0,0,2)=(x ,y ,0)，不成立，即a ,b ,c不共面，可构成基底；对于C ，令c =xa +yb ，则(2,1,2)=(x ,y ,x +y )，即x =2y =1x +y =2 无解，即a ,b ,c不共面，可构成基底；对于D ，令c =xa +yb ，则(1,0,2)=(x ,x +y ,x )，即x =1x +y =1x =2无解，即a ,b ,c不共面，可构成基底.故选：A8.(23-24高二上·江苏南京·月考)点P (-2,-1)到直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为()A.13；3x +2y -5=0B.11；3x +2y -5=0C.13；2x -3y +1=0D.11；2x -3y +1=0【答案】A【解析】将直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )变形得x +y -2+λ(3x +y -4)=0，由x +y -2=03x +y -4=0 ，解得x =1y =1 ，因此直线l 过定点A (1,1)，当AP ⊥l 时，点P (-2,-1)到直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )的距离最大，最大值为AP =(-2-1)2+(-1-1)2=13，又直线AP 的斜率k AP =-1-1-2-1=23，所以直线l 的方程为y -1=-32(x -1)，即3x +2y -5=0.故选：A二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(23-24高二上·浙江嘉兴·月考)已知AB =(-2,1,4),AC =(4,2,0),AP =(1,-2,1),AQ=(0,4,4)，则下列说法正确的是()A.AP是平面ABC 的一个法向量B.A ,B ,C ,Q 四点共面C.PQ ∥BCD.BC =53【答案】AD【解析】AP ⋅AB =(-2)×1+1×(-2)+4×1=0,AP ⋅AC=1×4+(-2)×2+1×0=0，所以AP ⊥AB ,AP ⊥AC ,AB ∩AC =A ,AB ,AC ⊂平面ABC ，所以AP ⊥平面ABC ，所以AP是平面ABC 的一个法向量，故A 正确；设AB =λAC +μAQ，则-2=4λ1=2λ+4μ4=4μ，无解，所以A ,B ,C ,Q 四点不共面，故B 错误；PQ =AQ -AP =(-1,6,3),BC =AC -AB =(6,1,-4),-16≠61≠3-4，所以PQ 与BC 不平行，故C 错误；|BC|=62+12+(-4)2=53，故D 正确；故选：AD .10.(23-24高二上·河北保定·月考)已知直线l 1：x +a -1 y +1=0，直线l 2：ax +2y +2=0，则下列结论正确的是()A.l 1在x 轴上的截距为-1B.l 2过定点0,-1C.若l 1⎳l 2，则a =-1或a =2D.若l 1⊥l 2，则a =23【答案】ABD【解析】由l 1：x +a -1 y +1=0易知y =0⇒x =-1，故A 正确；由l 2：ax +2y +2=0⇒x =0,y =-1，故B 正确；若两直线平行，则有1×2=a a -1 且1×2≠a ×1，解得a =-1，故C 错误；若两直线垂直，则有a ×1+2×a -1 =0⇒a =23，故D 正确.故选：ABD11.(24-25高二上·湖南邵阳·开学考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体的上底面A 1B 1C 1D 1内(不含边界)的动点，点Q 是棱BC 的中点，则以下命题正确的是()A.三棱锥Q -PCD 的体积是定值B.存在点P ，使得PQ 与AA 1所成的角为60°C.直线PQ 与平面A 1ADD 1所成角的正弦值的取值范围为0,22D.若PD 1=PQ ，则P 的轨迹的长度为354【答案】ACD【解析】对于A ，三棱锥Q -PCD 的体积等于三棱锥P -QCD 的体积，V 三棱锥P -QCD =13S △QCD ×AA 1=13×12×2×1×2=23是定值，A 正确；以A 1为坐标原点，A 1B 1,A 1D 1,AA 1分别为x ,y ,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q (2,1,-2)，设P (x ,y ,0)(0<x <2,0<y <2)，则QP=(x -2,y -1,2)对于B ，AA 1=(0,0,2)，使得PQ 与AA 1所成的角α满足：cos α=QP ⋅AA 1 QP ⋅AA 1 =2×2x -2 2+y -1 2+4×2，因为0<x <2,0<y <2，故0<x -2 2+y -1 2<5，故cos α∈23,1，而cos60°=12∉23,1 ，B 错误；对于C ，平面A 1ADD 1的法向量n=(1,0,0)，所以直线PQ 与平面A 1ADD 1所成角β的正弦值为：sin β=x -2(x -2)2+(y -1)2+4，因为0<x <2,0<y <2，故-2<x -2<0故x -2 (x -2)2+5<x -2 (x -2)2+(y -1)2+4≤x -2(x -2)2+4，而x -2 (x -2)2+5=11+5(x -2)2∈0,23 ，x -2 (x -2)2+4=11+4(x -2)2∈0,22，故0<x -2(x -2)2+(y -1)2+4<22即sin β的取值范围为0,22，C 正确；对于D ，D 1(0,2,0),D 1P=(x ,y -2,0)，由PD 1=PQ ，可得x 2+(y -2)2=(x -2)2+(y -1)2+4，化简可得4x -2y -5=0，在xA 1y 平面内，令x =0，得y =32，令y =0，得x =54，则P 的轨迹的长度为2-54 2+32 2=354，D 正确；故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(23-24高二上·山东德州·月考)已知a =-2,1,3 ，b =-1,2,1 ，则a与b 夹角的余弦值为.【答案】216/1621【解析】∵a =-2,1,3 ，b =-1,2,1 ，∴cos <a ，b >=a ⋅b a b=2+2+314×6=216.13.(23-24高二下·江苏扬州·月考)在空间直角坐标系中，点M 0,0,1 为平面ABC 外一点，其中A 1,0,0 、B 0,2,1 ，若平面ABC 的一个法向量为1,y 0,-1 ，则点M 到平面ABC 的距离为．【答案】233/233【解析】因为A 1,0,0 、B 0,2,1 ，所以AB=-1,2,1 ,记平面ABC 的一个法向量为n=1,y 0,-1 ，则n ⋅AB=-1 ×1+2y 0+1×-1 =0，解得y 0=1，故平面ABC 的一个法向量为n=1,1,-1 .因为M 0,0,1 ，所以MA=1,0,-1 ,所以点M 到平面ABC 的距离为d =MA ⋅n n=1+0+1 1+1+1=233.14.(23-24高二上·四川达州·月考)直线l 1:x +m +1 y -2m -2=0与直线l 2:m +1 x -y -2m -2=0相交于点P ，对任意实数m ，直线l 1，l 2分别恒过定点A ，B ，则P A +PB 的最大值为【答案】4【解析】直线l 1:x +m +1 y -2m -2=0化为x +y -2+m y -2 =0，当y -2=0x +y -2=0，得x =0y =2 ，即直线l 1恒过点0,2 ，即点A 0,2 ，直线l 2:m +1 x -y -2m -2=0化为x -y -2+m x -2 =0，当x -y -2=0x -2=0，得x =2y =0 ，即直线l 2恒过点2,0 ，即点B 2,0 ，且两条直线满足1×m +1 +m +1 ×-1 =0,∴l 1⊥l 2,即P A ⊥PB ，∴P A 2+PB 2=AB 2=22+22=8,∴P A +PB ≤2P A 2+PB 2 =4,当且仅当P A =PB 时，等号成立，∴P A +PB 的最大值为4.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知点P -2,0,2 ，Q -1,1,2 ，R -3,0,4 ，设a =PQ ，b =PR ，c=QR ．(1)若实数k 使ka +b 与c垂直，求k 值．(2)求a 在b上的投影向量．【答案】(1)k =2；(2)15,0,-25.【解析】(1)依题意，a =(1,1,0),b =(-1,0,2),c =(-2,-1,2)，ka +b=(k ,k ,0)+(-1,0,2)=(k -1,k ,2)，由ka +b 与c 垂直，得(ka +b )⋅c =-2(k -1)-k +2×2=0，解得k =2，所以k =2.(2)由(1)知，a ⋅b =-1，|b |=5，所以a 在b 上的投影向量为a ⋅b |b |2b =-15b =15,0,-25 .16.(23-24高二上·江苏南京·月考)已知△ABC 的三个顶点为A 4,0 ,B 0,2 ,C 2,6 .(1)求AC 边上的高BD 所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线AE 所在直线的方程.【答案】(1)x -3y +6=0；(2)4x +3y -16=0.【解析】(1)因为△ABC 的三个顶点为A 4,0 ,B 0,2 ,C 2,6 ，所以直线AC 的斜率为k AC =6-02-4=-3，所以AC 边上的高BD 所在直线的斜率为k BD =13，所以直线BD 的方程为y -2=13x ，化为一般式方程为x -3y +6=0；(2)因为B 0,2 ,C 2,6 ，所以BC 的中点为E 1,4 ，又因为A 4,0 ,E 1,4 ，所以直线AE 的斜率为k =-43，所以直线AE 的点斜式方程为y -0 =-43x -4 ，化为一般式为4x +3y -16=0.17.(23-24高二上·安徽安庆·月考)已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面是正方形，AD =AB =2,AA 1=1，∠A 1AB =∠DAA 1=60°,A 1C 1 =3NC 1 ,D 1B =2MB ，设AB =a ,AD =b ,AA 1 =c．(1)试用a ,b ,c表示AN ；(2)求MN 的长度．【答案】(1)AN =AA 1 +A 1N =23a +23b +c ；(2)MN =296【解析】(1)AN =AA 1 +A 1N =AA 1 +23(A 1B 1 +A 1D 1 )=c +23(a +b )=23a +23b +c.(2)AM =AB +12BD 1 =AB +12(BA +AD +DD 1 )=12a +12b +12c ，NM =AM -AN =12a +12b +12c -23a +23b +c =-16a -16b -12c ，所以|NM |=-16a -16b -12c 2=136a 2+136b 2+14c 2+118a ∙b +16a ∙c +16b ∙c=136×4+136×4+14×1+16×2×1×12+16×2×1×12=296.所以MN =296.18.(23-24高二上·湖北武汉·月考)已知直线l 过点P 4,1 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，(1)求三角形OAB 面积取最小值时直线l 的方程；(2)求OA +OB 取最小值时直线l 的方程．【答案】(1)x +4y -8=0；；(2)x +2y -6=0.【解析】(1)由题意设A a ,0 ，B (0,b )，其中a ，b 为正数，可设直线的方程为xa +y b=1，因为直线l 过点P 4,1 ，所以4a +1b =1，由基本不等式可得1=4a +1b ≥24a ⋅1b =4ab，所以ab ≥4，ab ≥16，当且仅当4a +1b =14a=1b即a =8b =2时，ab 取得最小值16，所以△AOB 面积S =12ab ≥8，所以当a =8，b =2时，△AOB 面积最小，此时直线l 的方程为x8+y 2=1，即x +4y -8=0，(2)因为4a +1b=1，a >0,b >0 ，所以OA +OB =a +b =a +b 4a +1b =5+4b a +ab ≥5+24b a ⋅a b=5+2×2=9，当且仅当4ba =ab 4a+1b =1即a =6b =3时等号成立，所以当a =6，b =3时，OA +OB 的值最小，此时直线l 的方程为x6+y 3=1，即x +2y -6=0．19.(24-25高二上·安徽阜阳·开学考试)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ADC =∠BCD =90°，BC =1，CD =3，PD =2，∠PDA =60°，∠P AD =30°，且平面P AD ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内过B 作BO ⊥AD ，交AD 于O ，连PO .(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A -PB -C 的正弦值；(3)在线段P A 上存在一点M ，使直线BM 与平面P AD 所成的角的正弦值为277，求PM 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)77；(3)32.【解析】(1)因为BO ⊥AD ，因为BC ⎳AD ，∠ADC =∠BCD =90°，所以四边形BODC 为矩形，在△PDO 中，PD =2，DO =BC =1，∠PDA =60°，则PO =PD 2+OD 2-2PD ⋅OD cos60°=3，∴PO 2+DO 2=PD 2，∴PO ⊥AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面P AD 平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴PO ⊥平面ABCD ；(2)以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵PO =3，∠P AD =30°，可得AO =3，则O (0,0,0)，A (3,0,0)，P 0,0,3 ，B 0,3,0 ，C -1,3,0 ，设平面APB 的法向量为m=(x ,y ,z )，P A =3,0,-3 ，PB =0,3,-3 ，由P A ⋅m=3x -3z =0PB ⋅m =3y -3z =0，取m =1,3,3 .设平面CPB 的法向量为n=(a ,b ,c )，PC =-1,3,-3 ，由n ⋅PB=3b -3c =0n ⋅PC =-a +3b -3c =0，取n =(0,1,1)，cos m ,n =m ⋅n m n=237×2=427.∵二面角A -PB -C 是钝角，∴二面角A -PB -C 的正弦值为77.(3)设AM =λAP ，则BM =BA +AM =3,-3,0 +λ-3,0,3 =3-3λ,-3,3λ ，又平面P AD 的法向量为OB=0,3,0 ，直线BM 与平面P AD 所成的角的正弦值为cos OB ,BM =33×(3-3λ)2+3+3λ2=27，解得λ=34，∴PM =14AP =14PO 2+OA 2=32.。

吉林四校联考2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(解析版)

吉林四校联考2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(解析版)

2024~2025（上）高二年级第一次月考数 学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线20x +−=的倾斜角为（ ） A.6πB.4π C.3πD.5π6【答案】D 【解析】【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为k ，倾斜角为α，∵y xtan k α=，56πα=． 故选：D ．2. 若1:10l x my −−=与()2:2310l m x y −−+=是两条不同直线，则“1m =−”是“12l l ∥”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】的【分析】利用两直线平行解出m 的值即可.【详解】由题意，若12l l ∥，所以()()()132m m ×−=−−，解得1m =−或3m =，经检验，1m =−或3m =时，12l l ∥，则“1m =−”是“12l l ∥”的充分不必要条件， 故选：C ．3. 已知直线l 的一个方向向量()3,2,1m =−，且直线l 经过(),2,1A a −和()2,3,B b −两点，则a b +=（ ） A. 2− B. 1−C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量共线坐标表示即可.【详解】因为()2,1,1AB a b =−−+ ，直线l 的一个方向向量为()3,2,1m=−，所以有向量AB与向量m 共线，所以211321a b −−+==−，解得12a =−，32b =−，所以2a b +=−， 故选：A.4. 已知()2,3,1a = ，()1,2,2b =−− ，则a 在b上的投影向量为（ ）A. 2bB. 2b −C. 23bD. 23b −【答案】D 【解析】【分析】利用投影向量公式进行求解【详解】()()()()22222,3,11,2,2262293122a b b b b b b ⋅−−⋅−−⋅=⋅=⋅=−⋅+−+−， 故a 在b上的投影向量为23b − ．故选：D ．5. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量的为B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】B 【解析】【分析】根据共面向量，基底向量，以及直线的方向向量的定义，即可判断选项.【详解】A ：平行于平面α的向量，均可平移至一个平行于α的平面，故它们为共面向量，正确； B ：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误；C ：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，正确；D ：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：B6. 在平行六面体1111ABCD A B C D −中，点P 是线段BD 上的一点，且3PD PB =，设1A A a =，1111,A B b A D c == ，则1PC = （ ）A. 1324a b c ++B. 113444a b c −+C. 1344a b c −++D. 131444a b c −+【答案】C 【解析】【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可.【详解】因为平行六面体1111ABCD A B C D −中，点P 是线段BD 上的一点，且3PD PB =，所以111111111PC AC A P A B A D A B BP=−=+−− 11111111114A B A D A B A A B D =+−−−1111A B A D + ()111111114A B A A A D A B −−−−1111131134444A D AB A A a b c =+−=−++． 故选：C ．7. 如图，直线334y x =+交x 轴于A 点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O ，另两个顶点M ，N 恰好落在直线334y x =+上，若点N 在第二象限内，则tan AON ∠的值为（ ）A17B.16C.15D.18【答案】A 【解析】【分析】过O 作OC AB ⊥于C ，过N 作ND OA ⊥于D ，根据等面积求出OC ，运用在直角三角形等知识求出结果.【详解】设直线与y 轴的交点为B ，过O 作OC AB ⊥于C ，过N 作ND OA ⊥于D ， 因为N 在直线334y x =+上且在第二象限内，设3,34N x x +， 则33,4DN x OD x =+=−，又()()4,0,0,3A B −，即4,3OA OB ==， 所以5AB =，在AOB 中，由三角形的面积公式得：1122OB OA AB OC =， 所以125OC =， 在Rt NOM 中，,45OM ON MNO =∠=，所以125sin45OCONON== ，即ON =.在Rt NDO 中，222ND DO ON +=，即()222334x x++− ， 解得：128412,2525x x =−=，因为N 在第二象限内，所以8425x =−， 所1284,2525ND OD ==，所以1tan 7ND AON ON ∠==， 故选：A.8. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，EF 是正方体1111ABCD A B C D −外接球的直径，点P 是正方体1111ABCD A B C D −表面上的一点，则PE PF ⋅的取值范围是（ ） A. []2,0− B. []1,0−C. []0,1D. []0,2【答案】A 【解析】【分析】求出正方体1111ABCD A B C D −的外接球O 的半径R ，可得出23PE PF PO ⋅−，求出OP 的取值范围，进而可求得PE PF ⋅的取值范围.【详解】设正方体1111ABCD A B C D −的外接球的球心为O ，设球O 的半径为R ，则2R =R =，所以，OE OF ==，()()()()22PE PF PO OE PO OF PO OE PO OE PO OE ⋅=+⋅+=+⋅−=−23PO −，当点OP 与正方体1111ABCD A B C D −的侧面或底面垂直时，OP 的长取最小值，即min 1OP =，当点P 与正方体1111ABCD A B C D −的顶点重合时，OP 的长取最大值，即max OP =所以，1OP ≤≤[]232,0PE PFPO ⋅=−∈−. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到O 为EF 的中点，结合向量数量积的运算性质得出23PE PF PO ⋅−，将问题转化为求OP 的取值范围，进而求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A. 若空间向量a ，b 满足||a b = ，则a b= B. 空间任意两个单位向量必相等C. 在正方体1111ABCD A B C D −中，必有11BD B D =D. 向量(1,1,0)a =【答案】CD 【解析】.【详解】对于A ，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以||a b = 不能得到a b =.A 错误，对于B ，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B 错误，对于C ，在正方体1111ABCD A B C D −中，11,BD B D的方向相同，长度相等，故11BD B D = ，故C 正确对于D ，向量(1,1,0)a =，故D 正确， 故选：CD10. 已知两条平行直线1l ：10x y −+=和2l ：0x y m −+=m 的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1【答案】AC 【解析】【分析】由两条平行直线间距离可求出实数m 的取值范围，即可得出答案.【详解】直线1l ：10x y −+=和2l ：0x y m −+=平行，则1m ≠，，解得13m −<<且1m ≠，故0和2符合要求. 故选:AC ．11. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A. 1DB =B. 向量AE 与1ACC. 平面AEF 的一个法向量是()4,1,2−D. 点D 到平面AEF 【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，利用空间向量表示出()12,2,2DB =，进而求出1DB =；B 选项，利用空间向量夹角公式求解；C 选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D 选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解.【详解】对于A ，正方体中，()()10,0,0,2,2,2D B ，()12,2,2DB =，1DB =1DB =，故A 错误；对于B ，()0,2,1AE = ，()12,2,2AC =−，111cos,AEAEAEACACAC⋅==⋅B正确；对于C，设(4,1,2)m=−，则()()4,1,02,2,1220m AE⋅=−⋅=−+=，()()4,1,1,20,2440m AF⋅=−⋅−=−+=，而AE AF A∩=，所以平面AEF的一个法向量是()4,1,2−，故C正确；对于D，()2,0,0DA=，则点D到平面AEF的距离为||||DA ndn⋅==，故D正确．故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 直线1l，2l的斜率1k，2k是关于a的方程2280a a n++=的两根，若12l l⊥，则实数n=______．【答案】2−【解析】【分析】由12l l⊥结合根与系数的关系可得212nk==−，从而可求得n的值.【详解】因为12l l⊥，而且斜率存在，所以121k k⋅=-，又1k，2k是关于a的方程2280a a n++=的两根，所以1k⋅212nk==−，解得2n=−．故答案为：2−13. 在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为,,,2,4A B C AC AB==.现移动边AC，使得点,A C分别在x轴､y轴的正半轴上运动，则OB（点O为坐标原点）的最大值为__________.【答案】1##1 【解析】【分析】取AC 的中点E ，解三角形求,OE BE ，结合两点之间线段最短的结论求OB 的最大值.【详解】由已知2,4AC AB ==， 如图，取AC 的中点E ，因为OAC 为直角三角形，故112OE AC ==. 由于ABC为直角三角形，故BE =显然OB OE BE ≤+，当且仅当,,O B E 三点共线时等号成立， 故OB的最大值为1.故答案为：1+.14. 已知()1,1,1a =，()()0,,101by y ≤≤ ，则cos ,a b最大值为________.【解析】【分析】根据数量积的夹角公式可得cos ,a b =，即可结合基本不等式求解最值.【详解】由题意可得：cos ,a b ab a b⋅==当01y <≤时，则cos ,a b ， 因为0y >，则12y y +≥，当且仅当1y y=，即1y =时等号成立，所以cos,a b=≤当0y=时，cos,a b=；综上所述：cos,a b，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. 已知直线1:10l x my++=，2:240l x y−−=，3:310l x y+−=．（1）若这三条直线交于一点，求实数m的值；（2）若三条直线能构成三角形，求m满足的条件．【答案】（1）1m=（2）1m≠且13m≠且12m≠−【解析】【分析】（1）先由直线23,l l方程联立求出交点坐标，再代入直线1l的方程可求出m，（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形，求出m的取值范围，再求出其补集即可.【小问1详解】由240,310,x yx y−−=+−=解得1,2,xy==−代入1l的方程，得1m=．【小问2详解】当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．①联立240,310,x yx y−−=+−=解得1,2,xy==−代入10x my++=，得1m=；②当1:10l x my++=与2:240l x y−−=平行时，12m=−，当1:10l x my ++=与3:310l x y +−=平行时，13m =． 综上所述，当1m ≠且13m ≠且12m ≠−时，三条直线能构成三角形． 16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，AC BC ⊥，1AC =，2BC =，13CC =，点D 是棱AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CD ；（2）求直线1A B 与平面1B CD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）建立空间中直角坐标系，求出平面1B CD 的法向量，利用向量法证明即可；（2）利用11sin A B nA B nθ⋅=⋅ 计算可得. 【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C −中1CC ⊥平面ABC ，又AC BC ⊥，如图建立空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，AA (1,0,0)，()0,2,0B ，()11,0,3A ，()10,0,3C ，()10,2,3B ，1,1,02D， 所以()11,0,3AC =− ，1,1,02CD =，()10,2,3CB = ， 设平面1B CD 的法向量为(),,n x y z = ，则1102230n CD x y n CB y z ⋅=+= ⋅=+= ，取()6,3,2n =− ，所以()11603320AC n ⋅=−×+×−+×= ，即1AC n ⊥ ，又1AC ⊄平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD .【小问2详解】因为()11,2,3A B =−− ，设直线1A B 与平面1B CD 所成角为θ， 则11sin A B n A B n θ⋅==⋅所以直线1A B 与平面1B CD 17. 已知直线:(21)(3)70l m x m y m +−++−=． （1）m 为何值时，点(3,4)Q 到直线l 的距离最大?并求出最大值； （2）若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB （O 为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程．【答案】（1）2219m =−； （2）面积的最小值为12，直线l 的方程为3x +2y +12=0.【解析】【分析】（1）由题设求得直线l 过定点(2,3)P −−，则Q 与定点P 的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及75PQ k =求参数m ； （2）设直线l 为3(2)y k x +=+，0k <并求出A ，B 坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程.【小问1详解】已知直线:(21)(3)70l m x m y m +−++−=，整理得(21)370x y m x y −++−−=，由21023703x y x x y y −+==− ⇒ −−==− ，故直线l 过定点(2,3)P −−， 点(3,4)Q 到直线l 的距离最大，即Q 与定点P 的连线的距离就是所求最大值，∵437325PQ k +==+， ∴(21)(3)70m x m y m +−++−=的斜率为57−，得52173m m +−=+，解得2219m =−； 【小问2详解】若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，则设直线l 为3(2)y k x +=+，0k <，则32,0A k −，(0,23)B k −， 1313192232(32)12(4)12222AOB S k k k k k k =−⋅−=−−=+−+−≥． （当且仅当32k =−时，取“=”）， 故AOB 面积的最小值为12，此时直线l 的方程为3x +2y +12=0. 18. 如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −中，点E 是棱11A B 上的一点，且112A E EB =，点F 是棱11A D 上的一点，且112A F FD =．（1）求异面直线1AD 与CF 所成角的余弦值；（2）求直线BD 到平面CEF 的距离．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可.【小问1详解】建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()13,0,0,0,0,3,0,3,0,1,0,3,3,2,3A D C F E ，()()13,0,3,1,3,3AD CF =−=− ， 所以111cos ,AD CF AD CF AD CF ⋅〈〉==⋅所以异面直线1AD 与CF 【小问2详解】连接11D B ，显然11//D B DB ，因为112A E EB =， 112A F FD =． 所以11//D B EF ，于是//DB EF ，因为BD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//BD 平面CEF ，因此直线BD 到平面CEF 的距离就是点D 到平面CEF 的距离，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，()()1,3,3,3,1,3CF CE =−=− ，则有()03303,3,43300n CF x y z n x y z n CE ⋅=−+= ⇒⇒=− −+=⋅=，()0,3,0DC = ，9cos ,DC n DC n DC n DC n ⋅〈〉==⋅⋅ 点D 到平面CEF 的距离为：9cos ,DC DC n n ⋅〈〉== 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，PA⊥平面ABCD ，PC =，点E 是棱PB 的中点，点F 是棱PC 上的一点，且2PF FC =.（1）证明：平面AEC ⊥平面PBC ； （2）求平面AEF 和平面AFC 夹角的大小.【答案】（1）证明见解析 （2）4π. 【解析】【分析】（1）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEC 与平面PBC 的法向量，从而可证明. （2）分别求出平面AEF 和平面AFC 的法向量，利用向量法可求解.【小问1详解】如图，以A 为坐标原点，,,AB AD AP所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，所以()()()0,0,0,3,0,0,3,3,0A B C ，设()0,0,0()P t t >，则PC =3t =，即()0,0,3P . 则()3333,0,,,0,,3,3,02222E AE AC == ，设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n AE n AC ⋅= ⋅= ，即33022330x z x y += +=令1x =，解得1,1y z =−=−，所以平面AEC 的一个法向量为()1,1,1n −− . 因为()()0,3,0,3,0,3BC BP ==− ，设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z = ，所以0,0,m BC m BP ⋅= ⋅=即11130330y x z = −+= ，令11x =，解得110,1y z ==， 所以平面PBC 的一个法向量为()1,0,1m = ，又0m n ⋅= ，所以平面AEC ⊥平面PBC ；【小问2详解】()()113,3,31,1,133CF CP ==×−−=−− ， 所以()2,2,1AF AC CF =+= .设平面EAF 的一个法向量为()1222,,n x y z = ，所以1100n AE n AF ⋅= ⋅= ，即22222330,22220,x z x y z += ++=令21x =，解得221,12y z =−=−， 所以平面EAF 一个法向量为111,,12n =−− . 设平面CAF 的一个法向量为()2333,,n x y z = ，则2200n AC n AF ⋅= ⋅=，即33333330,220,x y x y z += ++= 令31x =，解得331,0y z =−=，所以平面CAF 的一个法向量为()21,1,0n =−. 121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅ 所以平面AEF 和平面AFC 夹角的大小为4π的。

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题(含解析)

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题(含解析)

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，已知点，点则（ ）Oxyz ()1,3,5P ()1,3,5Q --A ．点和点关于轴对称B ．点和点关于轴对称P Q x P Q y C ．点和点关于轴对称D ．点和点关于原点中心对称P Q z P Q 2．向量，若，则（ ）()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- a ∥b A ．B ．1x y ==11,22x y ==-C ．D ．13,62x y ==-12,63x y =-=3．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c +-r r ra b c -+r r rC ．D ．a b c -++ a b c -+- 4．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（ ）,,a b c A ．两两垂直B ．,,a b c b cλ= C ．D ．a mb nc =+a b c ++=5．已知，则直线恒过定点（ ）2b a c =+0ax by c ++=A ．B ．(1,2)-(1,2)C ．D ．(1,2)-(1,2)--6．已知：，：，则两圆的位1C 2222416160x y x y +++-=2C 22228840x y x y ++--=置关系为（ ）A ．相切B ．外离C ．相交D ．内含7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且P 22:11612x y C +=l 22:430M x y x +-+= 与交于两点，则的取值范围是（ ）M ,A B PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．[]3,35[]2,34[]2,36[]4,368．已知圆和圆交于两点，点在圆221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=P 上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）1C Q 2C A ．圆和圆关于直线对称1C 2C 8650x y +-=B ．圆和圆的公共弦长为1C 2CC ．的取值范围为PQ0,5⎡+⎣D ．若为直线上的动点，则的最小值为M 80-+=x y PM MQ+-二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列正确的是（ ）()1,2,0a =-()2,4,0b =-A ．B ．//a ba b⊥ C ．D ．在方向上的投影向量为2b a = a b ()1,2,0-10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．点到直线的距离是122CQ AB AD AA =--+1C CQ C ．D ．异面直线与所成角的正切值为43CQ = CQ BD 11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）,x y 22410x y x +-+=A ．的最大值为B ．的最大值为y x -2-22x y +7+C ．的最大值为D ．的最小值为y x x y+2三、填空题（本大题共3小题）12．O 为空间任意一点，若，若ABCP 四点共面，则3148OP OA OB tOC=++ t =．13．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则()2,0A -()2,0B P AP BP 34-动点的轨迹方程为．P 14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆P 221:(5)4C x y -+=P 的两条切线，切点分别为，直线222:2C x y ax +-220(25)a a a +-+=<<,PM PN M N 、分别交轴于两点，则 ， ．,PM PN x (1,0),(4,0)A B ||||PA PB =||MN =四、解答题（本大题共5小题）15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为23e =(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.C 2212x y +=31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭C 16．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上．C ()()1,4,3,6A B C 340x y -=(1)求圆的方程；C (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程．l ()1,1l C l 17．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，ABCD ADEF，，，，，平面，//BC AD //EF AD 4=AD AB =2BC EF ==AF =FB ⊥ABCD 为上一点，且，连接、、M AD FM AD ⊥BD BE BM(1)证明：平面；⊥BC BFM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.ABF DBE18．已知圆与圆内切．()222:0O x y r r +=>22:220E x y x y +--=(1)求的值．r (2)直线与圆交于两点，若，求的值；:1l y kx =+O ,M N 7OM ON ⋅=-k (3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若E O AB CD ，求实数的最大值．AB CDλ=λ19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫a bO OA a = OB b = AOB ∠做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向a b ,a ba b a b ⨯ 量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面a b sin ,a b a b a b ⨯=⋅ P ABCD -为矩形，底面，，为上一点，.ABCD PD ⊥ABCD 4DP DA ==E AD AD BP ⨯=(1)求的长；AB (2)若为的中点，求二面角的余弦值；E AD P EB A --(3)若为上一点，且满足，求.M PB AD BP EM λ⨯=λ答案1．【正确答案】B【详解】由题得点与点的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，P Q 所以点和点关于轴对称,P Q y 故选：B.2．【正确答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.,x y ,x y 【详解】因为，所以，由题意可得，a b ∥a b λ=()()()2,1,31,2,9,2,9x y y λλλλ=-=-所以则.2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩131632x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.a∥b ,x y 3．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．4．【正确答案】A【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.,,a b c对于A ，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一,,a b c ,,a b c 组基底，故A 正确；对于B ，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以b c λ=,b c 与共面，故B 错误；a,b c 对于C ，由共面定理可知非零向量共面，故C 错误；,,a b c 对于D ，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D 错误.0a b c ++= a b c =--,,a b c 故选：A.5．【正确答案】A【分析】由题意可得，可得定点坐标.(1)(2)0a x b y -++=【详解】因为，所以，2b a c =+2c b a =-由，可得，所以，0ax by c ++=(2)0ax by b a ++-=(1)(2)0a x b y -++=当时，所以对为任意实数均成立,1,2x y ==-(11)(22)0a b -+-+=,a b 故直线过定点.(1,2)-故选A.6．【正确答案】C 【详解】因为可化为22221:22416160,2880C x y x y x y x y +++-=+++-= ,则，半径，()()221425x y +++=()11,4C --15r =因为可化为，22222:228840,4420C x y x y x y x y ++--=++--= ()()222210x y ++-=则，半径()22,2C -2r =则，因为.1C =122155r r r r -=<<+=+故选：C.7．【正确答案】A【详解】，即，22:430M x y x +-+= ()2221x y -+=则圆心，半径为.(2,0)M 1椭圆方程，,22:11612x y C +=2216,12a b ==则，22216124,2c a b c =-=-==则圆心为椭圆的焦点，(2,0)M 由题意的圆的直径，且AB 2AB = 如图，连接，由题意知为中点，则，PM M AB MA MB =-可得()()()()PA PB PM MA PM MB PM MB PM MB ⋅=+⋅+=-+ .2221PM MB PM =-=- 点为椭圆上任意一点，P 22:11612x y C +=则，，min 2PM a c =-= max 6PM a c =+= 由，26PM ≤≤ 得.21PA PB PM ⋅=- []3,35∈故选：A.8．【正确答案】D【详解】对于A ，和圆，221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=圆心和半径分别是，()()12121,2,3,1,C C R R --==则两圆心中点为，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，1C 2C 8650x y +-=12C C 但两圆心中点不在直线上，故A 错误；11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭8650x y +-=对于B ，到直线的距离，1C 8650x y ++=81255102d ++==故公共弦长为，B错误；=对于C ，圆心距为，当点和重合时，的值最小，5=P QPQ当四点共线时，的值最大为12,,,P Q C CPQ 5+故的取值范围为，C 错误；PQ0,5⎡+⎣对于D ，如图，设关于直线对称点为，1C 80-+=x y (),A m n则解得即关于直线对称点为，21,11280,22n mm n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩6,9,m n =-⎧⎨=⎩1C 80-+=x y ()6,9A -连接交直线于点，此时最小，2AC M PM MQ +122PM MQ MC MC C A +≥+-=-==即的最小值为，D 正确.PM MQ+故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】ABC 选项，由题意得，故且，AC 正确，B 错误；2b a= //a b2b a= D 选项，在，Da b ()01,2,=-正确.故选：ACD10．【正确答案】ABC 【详解】依题意得，12CQ CB BQ AD BA =+=-+()11222AD AA AB AB AD AA =-+-=--+ 故A 正确；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，1A 111(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,1),B C D Q C E -------，(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)G B D -----对于BC ，，1(1,2,1),(1,2,2)QC CQ =--=-所以，设，3CQ==173QC CQ m CQ ⋅==- 则点到直线的距离BC 正确；1C CQd ==对于D ，因为，(1,2,2),(1,1,0)CQ BD ---==所以cos ,CQ BD 〈〉==tan ,CQ BD 〈〉= 所以异面直线与所成角的正切值为D 错误．CQ BD 故选：ABC ．11．【正确答案】ABD【详解】根据题意，方程，即，22410x y x +-+=22(2)3x y -+=表示圆心为，半径为(2,0)对于A ，设，即，y x z -=0x y z -+=直线与圆有公共点，0x y z -+=22(2)3x y -+=所以≤22z ≤≤则的最大值为，故A 正确；z y x =-2-对于B ，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，t =22(2)3x y -+=所以的最大值为，t 2故的最大值为B 正确；22x y +22(27t ==+对于C ，设，则，直线与圆有公共点，yk x =0kx y -=0kx y -=22(2)3x y -+=则，解得的最大值为C 错误；≤k ≤≤yx 对于D ，设，作出图象为正方形，作出圆，如图，m x y=+22(2)3x y -+=由图象可知，正方形与圆有公共点A 时，有最小值m 2即的最小值为，故D 正确；x y+2故选：ABD12．【正确答案】/0.12518【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共OP xOA yOB zOC =++ A B C 线，若、、、四点共面，则，A B C P 1x y z ++=因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，O 3148OP OA OB tOC=++ A B C P所以，，解得.31148t ++=18t =故答案为.1813．【正确答案】221(2)43x y x +=≠±【详解】设动点的坐标为，又，，P (,)x y ()2,0A -()2,0B 所以的斜率，的斜率，AP (2)2AP y k x x =≠-+BP (2)2BP yk x x =≠-由题意可得，3(2)224y y x x x ⨯=-≠±+-化简，得点的轨迹方程为.P 221(2)43x y x +=≠±故221(2)43x y x +=≠±14．【正确答案】 2,【详解】圆的标准方程为，圆心，2C 22()2(2)x a y a a -+=->()2,0C a 则为的角平分线，所以．2PC APB ∠22AC PA BC PB=设，则，()00,P x y ()22054x y -+=所以，则，2PAPB===222AC BC =即，解得，则，()124a a -=-3a =222:(3)1C x y -+=所以点与重合，N ()4,0B 此时，可得，221,30C M MAC =∠=52M ⎛ ⎝．故；215．【正确答案】(1)或；22114480x y +=22114480y x +=(2).22143x y +=【详解】（1）由题得，222212328c a a b b a b c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩所以椭圆的标准方程为或.22114480x y +=22114480y x +=（2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为，2212x y +=1c ==()1,0±因为椭圆与有相同的焦点，且经过点，C 2212x y +=31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以可设椭圆方程为，且，解得，C 22221x y a b +=22222231211ab a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎩4241740a a -+=故，解得（舍去）或，故.()()224140aa --=214a =24a =2213b a =-=所以椭圆的标准方程为.C 22143x y +=16．【正确答案】(1)()()224310x y -+-=(2)或10x -=512170x y +-=【详解】（1）由题意，则的中点为，且，()()1,4,3,6A B AB (2,5)64131AB k -==-故线段中垂线的斜率为，AB 1-则中垂线的方程为，即，5(2)y x -=--70x y +-=联立，解得，即圆心，34070x y x y -=⎧⎨+-=⎩43x y =⎧⎨=⎩()4,3C 则半径r CA ===故圆的方程为.C ()()224310x y -+-=（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，l 1x =圆心到直线的距离为，由半径，(4,3)C 3r =则直线截圆所得的弦长，满足题意；l C 2=当直线斜率存在时，设直线方程为，l l 1(x 1)y k -=-化为一般式得，10kx y k -+-=由直线截圆所得的弦长，半径.l C 2r =1则圆心到直线的距离，又圆心，3d ==(4,3)由点到直线的距离公式得，3d 解得，故直线方程为，512k =-l 51(1)12y x -=--化为一般式方程为.512170x y +-=综上所述，直线的方程为或.l 10x -=512170x y +-=17．【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，EN AD ⊥N 利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空BM BC BF x y z 间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，又平面，FB ⊥ABCD AD ⊂ABCD 所以.又，且，FB AD ⊥FM AD ⊥FB FM F ⋂=所以平面.因为，所以平面.AD ⊥BFM //BC AD ⊥BC BFM （2）作，垂足为.则.又，EN AD ⊥N //FM EN //EF AD 所以四边形是平行四边形，又，FMNE EN AD ⊥所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，FMNE ADEF 4=AD 2EF =所以.1AM =由（1）知平面，所以.又，AD ⊥BFM BM AD⊥AB =所以.在中，1BM =Rt AFMFM ==在中，.Rt FMB 3FB ==所以由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间BM BC BF x y z 直角坐标系.则，，，，，所以，，(1,1,0)A --(0,0,0)B (0,0,3)F (1,3,0)D -(0,2,3)E (1,1,0)AB =，，，设平面的法向量为，(0,0,3)BF = (1,3,0)BD =- (0,2,3)BE =ABF ()111,,m x y z = 由，得可取.00m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1110,0,x y z +=⎧⎨=⎩(1,1,0)m =- 设平面的法向量为，BDE ()222,,n x y z =由，得，可取.00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222230,230,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩(9,3,2)n = 因此，.cos ,m n m n m n ⋅===依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为ABFDBE 18．【正确答案】(1)r =(2)；1k =±(3)max λ=【详解】（1）由题意得，，O (0,0)()()2222220112x y x y x y +--=⇒-+-=故圆心，圆E 的半径为()1,1E 因为，故在圆E 上，()()2201012-+-=O (0,0)所以圆O 的半径，且r >OE r ==r =（2）由（1）知，联立，22:8O x y +=()2222812701x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩设，则恒成立，()()1122,,,M x y N x y ()22Δ42810k k =++>且，12122227,11k x x x x k k +=-=-++所以，()2222121212222721811111k k k y y k x x k x x k k k -=+++=--+=+++所以，解得.221212222718681711O k k x x y O y k k k M N ⋅=---+=-+==+++-1k =±（3）如图，因为直线和直线倾斜角互补，AB CD所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在，AB CD 此时，，AB CD=1AB CDλ==当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补，AB CD 当直线斜率存在且不为0时，设直线 即，AB ():11AB y k x -=-10kx y k --+=圆心O 到直线的距离为AB d故AB ===由直线方程得直线的方程为即，AB CD ()11y k x -=--10kx y k +--=同理得CD =则，AB CD λ====当，，0k>AB CDλ====因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，()1f x x x =+(0,1)(1,+∞)所以时，，0x >()())[)1,2,f x f ∞∞⎡∈+=+⎣所以时，故，0k >[)17212,k k ∞⎛⎫+-∈+ ⎪⎝⎭4411,1372k k ⎛⎤+∈ ⎥⎛⎫⎝⎦+- ⎪⎝⎭所以，λ⎛= ⎝当，0k <AB CDλ====由上知时，故，0k <()[)17216,k k ∞⎡⎤⎛⎫-+-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()431,14172k k ⎡⎫-∈⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎣⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以.λ⎫=⎪⎪⎭综上，max λ=19．【正确答案】(1)2(2)13-(3)10【分析】（1）首先说明为直线与所成的角，即，设PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠，根据所给定义得到方程，解得即可；()0AB x x =>（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二ABCD D DF BE ⊥BE F PF PFD ∠面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面P EB D --cos PFD ∠P EB A --角为，则，利用诱导公式计算可得；θπPFD θ=-∠（3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即EM ⊥PBC PDC D DN PC ⊥N 可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点DN ⊥PBC PBC N //MN BC PB M DA，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即E DE MN =EM DEMN DN可得解.【详解】（1）因为底面为矩形，底面，ABCD PD ⊥ABCD 所以，，又底面，所以，//AD BC BC DC ⊥BC ⊂ABCD PD BC ⊥又，平面，所以平面，PD DC D = ,PD DC ⊂PDC BC ⊥PDC 又平面，所以，PC ⊂PDC BC PC ⊥所以为直线与所成的角，即，PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠设，则，()0AB x x =>PC ==PB ==在中Rt PBC s n i PCPBC PB ∠==又，解得（负值已舍去），AD BP ⨯==2x =所以；2AB =（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，ABCD D DF BE ⊥BE F PF 因为底面，底面，所以，又，PD ⊥ABCD BF ⊂ABCD PD BF ⊥DF PD D = 平面，所以平面，又平面，所以，,DF PD ⊂PDF BF ⊥PDF PF ⊂PDF BF PF ⊥所以为二面角的平面角，PFD ∠P EB D --因为为的中点，E AD所以π2sin4DF ==PF ==所以，1cos 3DF PFD PF ∠===设二面角的平面角为，则，P EB A --θπPFD θ=-∠所以，()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-即二面角的余弦值为；P EB A --13-（3）依题意，，又，()AD BP AD⨯⊥ ()AD BP BP⨯⊥ AD BP EM λ⨯= 所以，，又，所以，EM AD ⊥EM BP ⊥//AD BC EM BC ⊥又，平面，所以平面，PB BC B = ,PB BC ⊂PBC EM ⊥PBC 在平面内过点作，垂足为，PDC D DN PC ⊥N 由平面，平面，所以，BC ⊥PDC DN ⊂PDC BC DN ⊥又，平面，所以平面，PC BC C = ,PC BC ⊂PBC DN ⊥PBC 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接PBC N //MN BC PB M DA E DE MN =，EM 所以且，所以四边形为平行四边形，//DE MN DE MN =DEMN 所以，又，即EM DN =DN ==EM=所以.10AD BP EMλ⨯===【关键点拨】本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求.DN。

高二数学下学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题

高二数学下学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题

某某市奉贤区奉城中学2014-2015学年高二（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每个小题5分，共12个小题）1．设命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为（）A．∀x＞0，2x＜log2x B．∃x＞0，2x≤log2xC．∃x＞0，2x＜log2x D．∃x＞0，2x≥log2x2．已知命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是（）A．∃x0∈R，sinx0≤B．∃x0∈R，sinx0＜C．∀x∈R，sinx≤D．∀x∈R，sinx＜3．在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（）A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q至少有一个是真命题D．命题p、q只有一个真命题5．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A． p真q真B． p假q假C． p真q假D． p假q真6．下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程7．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错8．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2C．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°D．在数列{a n}中，a1=1，a n=（a n﹣1+）（n≥2），由此归纳数列{a n}的通项公式9．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A． 0 B． i C．﹣i D． 110．已知z+5﹣6i=3+4i，则复数z为（）A．﹣4+20i B．﹣2+10i C．﹣8+20i D．﹣2+20i 11．=（）A．B．C． i D．﹣i12．i是虚数单位，复数=（）A． 2﹣i B． 2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i二、填空题（每个小题5分，共4个小题）13．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．14．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是．15．已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|=．16．若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于．三、解答题（共计6个小题，其中17小题10分，其他小题各12分）17．计算：（1+2i）÷（3﹣4i）．18．写出命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题，否命题，逆否命题．19．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．20．在数列{a n}中，a1=1，，试猜想这个数列的通项公式．21．实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．22．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？某某市奉贤区奉城中学2014-2015学年高二（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每个小题5分，共12个小题）1．设命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为（）A．∀x＞0，2x＜log2x B．∃x＞0，2x≤log2xC．∃x＞0，2x＜log2x D．∃x＞0，2x≥log2x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为∃x＞0，2x≤log2x．故选：B．点评：本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．2．已知命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是（）A．∃x0∈R，sinx0≤B．∃x0∈R，sinx0＜C．∀x∈R，sinx≤D．∀x∈R，sinx＜考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是∀x∈R，sinx＜．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可．解答：解：在△ABC中中，若A=B，则a=b，由正弦定理得sinA=sinB，即充分性成立，若sinA=sinB，则由正弦定理得a=b，即A=B，即必要性成立，故，“A=B”是“sinA=sinB”的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合正弦定理是解决本题的关键．4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（）A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q至少有一个是真命题D．命题p、q只有一个真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系即可判断出p，q的真假情况．解答：解：由p∨q为真命题，p∧q为假命题知，p，q一真一假；即p，q中只有一个真命题；∴D正确．故选D．点评：考查“∨”“∧”两个符号的含义，以及p∧q，p∨q真假和p，q真假的关系．5．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A． p真q真B． p假q假C． p真q假D． p假q真考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由于“p∨q”的否定是真命题，可得p∨q是假命题，即可判断出p与q的真假．解答：解：∵“p∨q”的否定是真命题，∴p∨q是假命题，因此p与q都是假命题．故选：B．点评：本题考查了复合命题的真假判断方法，属于基础题．6．下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程考点：合情推理的含义与作用．专题：阅读型．分析：合情推理的结论不一定正确可判定选项A，合情推理包含归纳推理与类比推理可判定选项B，归纳推理是从特殊到一般的推理过程可判定选项C，类比推理是从特殊到特殊的推理过程可判定选项D．解答：解：合情推理的结论不一定正确，有待证明，而演绎推理的结论是一定正确的，故选项A不正确；合情推理包含归纳推理与类比推理，故选项B不正确；所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故选项C不正确；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理过程．故选项D正确．故选D．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．7．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．解答：解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，故选A．点评：本题考查演绎推理的基本方法，考查实数的性质，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识，判断这种说法是否正确即可，是一个基础题．8．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2C．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°D．在数列{a n}中，a1=1，a n=（a n﹣1+）（n≥2），由此归纳数列{a n}的通项公式考点：演绎推理的意义．专题：探究型．分析：分别根据归纳推理，类比推理以及演绎推理的定义进行判断．解答：解：A．由高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人，属于归纳推理．B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2，属于类比推理．C．直线平行的性质得到结论为演绎推理．D．根据条件推出数列的通项公式为归纳推理．故选C．点评：本题主要考查归纳推理，类比推理和演绎推理的判断，要求熟练掌握它们的区别和联系．9．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A． 0 B． i C．﹣i D． 1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i的虚部是1．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．10．已知z+5﹣6i=3+4i，则复数z为（）A．﹣4+20i B．﹣2+10i C．﹣8+20i D．﹣2+20i考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的代数形式的混合运算，求出复数z即可．解答：解：∵z+5﹣6i=3+4i，∴z=3+4i﹣5+6i=﹣2+10i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．11．=（）A．B．C． i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．分析：化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．解答：解：故选A．点评：本题考查的知识点复数的运算，（乘法和除法），比较简单．12．i是虚数单位，复数=（）A． 2﹣i B． 2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数=故选A点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意分母实数化，考查计算能力，常考题型．二、填空题（每个小题5分，共4个小题）13．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0 ．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．14．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是自然数n是3的倍数．考点：演绎推理的基本方法．专题：规律型．分析：三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“自然数n是9的倍数”叫小前提．另外一个是结论．解答：解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：“自然数n是3的倍数”．故答案为：自然数n是3的倍数．点评：三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．15．已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数模长的定义直接进行计算即可．解答：解：∵复数z=2﹣i，∴|z|===．故答案为：．点评：本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．16．若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于 1 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：由复数z的是不等于0，虚部不等于0列式计算m的值．解答：解：复数z=（m2﹣1）+（m+1）i当z是纯虚数时，必有：m2﹣1=0且m+1≠0解得，m=1．故答案为1．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，复数为纯虚数，当且仅当实部等于0而虚部不等于0，是基础题．三、解答题（共计6个小题，其中17小题10分，其他小题各12分）17．计算：（1+2i）÷（3﹣4i）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数除法的运算法则进行化简即可．解答：解：（1+2i）÷（3﹣4i）====+i．点评：本题主要考查复数的基本运算，根据复数除法的运算法则是解决本题的关键．18．写出命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题，否命题，逆否命题．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：把原命题的题设和结论互换，得到原命题的逆命题；同时否定原命题的题设和结论，得到原命题的否命题；否定原命题的题设作结论，否定原命题的结论作题设，得到原命题的逆否命题．解答：解：命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题：若ac2＜bc2，则a＜b；否命题：若a≥b，则ac2≥bc2；逆否命题：若ac2≥bc2，则a≥b．点评：本题考查四种命题的相互转化，解题时要注意四种命题的变换方法．19．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题的定义以及特称命题与全称命题的定义，对题目中的语句进行判断即可．解答：解：对于（1），任何一个实数除以1，仍等于这个数，是命题，且是全称命题；对于（2），三角函数都是周期函数吗？不是命题；对于（3），有一个实数x，x不能取倒数，是命题，是特称命题；对于（4），有的三角形内角和不等于180°，是命题，是特称命题．点评：本题考查了命题的概念以及特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．20．在数列{a n}中，a1=1，，试猜想这个数列的通项公式．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据已知的递推关系，可以构造出我们熟悉的等差数列．再用等差数列的性质进行求解．解答：解：根据，得2a n+1+a n+1a n=2a n，两边同时除以a n+1a n，得到，所以数列是公差为1的等差数列，且，所以，所以．点评：构造数列是对已知数列的递推关系式变形后发现规律，创造一个等差或等比数列，借此求原数列的通项公式，是考查的重要内容．21．实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）当复数的虚部等于零，复数为实数，由此求得m的值．（2）当复数的虚部不等于零，复数为虚数，由此求得m的值．（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数，即，由此求得m的值．解答：解：（1）当复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i的虚部等于零，即m2﹣3m=0，求得m=0，或 m=3，即m=0，或 m=3时，复数为实数．（2）当复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i的虚部不等于零，即m2﹣3m≠0，求得m≠0，且m≠3，即m≠0，且m≠3时，复数为虚数．（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数，由，求得 m=2，即当 m=2时，复数为纯虚数．点评：本题主要考查复数的基本概念，属于基础题．22．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）由虚部等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（2）由虚部不等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值．word解答：解：（1）当，即，即m=5时，z的虚部等于0，实部有意义，∴m=5时，z是实数．（2）当，即时，z的虚部不等于0，实部有意义，∴当m≠5且m≠﹣3时，z是虚数．（3）当，即时，z为纯虚数，∴当m=3或m=﹣2时，z是纯虚数．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是实数、虚数、纯虚数的条件，关键是注意实部的分母不等于0，此题是基础的计算题．11 / 11。

四川省绵阳中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

四川省绵阳中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

四川省绵阳中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．．有两个等差数列2，6，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（）．15B．17D．18二、多选题9．下列 求导运算正确的是（ ）A ．若()()sin 21f x x =-，则()()2cos 21f x x ¢=-四、多选题11．过点(),0P a 作曲线x y xe =的切线，若切线有且仅有两条，则实数a 的值可以是（ ）A ．2B ．0C ．4-D ．6-12．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21L 该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列{}na 称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记n S 为该数列的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．1189a =B ．2023a为偶数C ．135********a a a a a++++=L D ．24620242023a a a a S++++=L所以使0n S >成立的n 的最大值为32，故D 错误.故选：AC 11．AD【分析】设切点为000(,)x x x e ，求得切线方程为：()()000001x x y x e x e x x -=+-，将切线过点(,0)P a ，代入切线方程，得到2000x ax a --=有两个解，结合0D >，即可求解．【详解】由题意，函数x y xe =，可得(1)x y x e ¢=+设切点为000(,)x x x e ，则000|(1)x x x y x e =¢=+，所以切线方程为：()()000001x x y x e x e x x -=+-，切线过点(,0)P a ，代入得()()000001x x x e x e a x -=+-，即方程2000x ax a --=有两个不同解，则有240a a D =+>，解得0a >或4a <-．故选：AD.12．ACD【分析】根据递推关系计算出11a 的值可判断选项A ；根据数列中项的特点可判断选项B ；由()112n n n aa a n -++=³可得()112n n n a a a n +-=-³，再化简可判断选项C ；由21a a =，()112n n n a a a n -++=³化简整理可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由题意知：11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，821a =，978132134a a a =+=+=，1089213455a a a =+=+=，11910345589a a a =+=+=，故选项A 正确；对于B ：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此答案第161页，共22页。

山东省临沂市某重点中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学(理)试题Word版含答案

山东省临沂市某重点中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学(理)试题Word版含答案

高二数学理科阶段性检测 2014.12一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.双曲线()2210x y a a-=>a 的值是 （ ）A. 123．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B4. 过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（）A. 10B. 8C. 6D. 4 5.以下有关命题的说法错误的是A. 命题“若0232=+-x x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”.B. “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C. 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D. 对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥. 6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A.54B.53C.52 D.517．抛物线2ax y =的准线方程是1=y ，则a 的值为（） A ．4 B ．4- C ．41-D ．41 8.已知双曲线22212(y x e y -==的离心率为，且抛物线的焦点坐标为,则p 的值为（）A ．－2 B ．－4C ．2D ．49.已知命题p ：∃01,200≤+∈mx R x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∧q为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)10.已知直线上一抛物线和直线x y x l y x l 4,1:0634:221=-==+- 21l l p 和直线到直线动点的距离之和的最小值是（） A.2B.3C.23D.25二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.若命题“04,2≤++∈∃c cx x R x ”为假命题，则实数c 的取值范围是.12. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为13.双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为 .14. 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程.15.给出如下四个命题：①方程01222=+-+x y x 表示的图形是圆；②椭圆12322=+y x 的离心率35=e ；③抛物线22y x =的准线方程是81-=x ；④双曲线1254922-=-x y 的渐近线方程是x y 75±=.其中所有假命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知0a >，设命题p : 函数xy a =在R 上单调递增；命题q : 不等式210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围.17.设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．18.设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且⌝ p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19.设双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的半焦距为c ，直线l 过点)0),(b o a ，和（，已知原点到l 的距离为c 43，求双曲线的离心率.20.（本小题满分13分）已知抛物线y 2＝2x ，(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．21.（本小题满分14分）已知椭圆C:)0(,12222>>=+b a by a x 的离心率为21，以原点O 为圆心，相切（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线L ：m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点，求证：AOB ∆的面积为定值高二数学理科参考答案 2014.12一选择题：1.A2.A 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 二、填空题：11.410<<c 12.4 13. 21 14.x y 122=15.①②④ 16.若p 真，则1>a ；若p 假，则10≤<a ；若q 真，则40<<a ；若q 假，则4≥a .∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴当p 真q 假时，4≥a ；当p 假q 真时，10≤<a .综上，p 且q 为假，p 或q 为真时，a 的取值范围是),4[]1,0(+∞ 17. 由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② ②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534. 18. (1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，则⌝q ⇒⌝p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜3－2＜2a，⇒01-<<a法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，可得⌝q ⇒⌝p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒01-<<a19.332（新学案132页例题2）20.【自主解答】 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13.∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，∴当x ＝0时，|P A |min ＝23， 距点A 最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一 设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点， 则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝|(y 0－1)2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.法二 设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12，∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离， 即d min ＝524.21.解：（Ⅰ）由题意得，b ==12c a =，又222a b c +=，到直线m kx y +=.。

四川省德阳2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

四川省德阳2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

德阳高2023级2024年秋季第一学月考试数学试题（答案在最后）考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知集合{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则A B = （）A.{}2,1- B.{}2,1,2- C.{}0,3 D.{}2,0,1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】运用交集性质即可得.【详解】由{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则{}0,3A B ⋂=.故选：C.2.2(2i)4z =+-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】2(2i)414i z =+-=-+，则z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.3.某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A.5、10、15B.3、9、18C.3、10、17D.5、9、16【答案】B 【解析】【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为15303150⨯=，中级职称人数为45309150⨯=，一般职员的人数为903018150⨯=，故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A .6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由60.53⨯=，故这组数据的中位数为7982+=.故选：C.5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A.13B.23C.12D.25【答案】D 【解析】【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10种情况，其中和为偶数的情况有(1,3)、(1,5)、(2,4)、(3,5)，共4种情况，所以取到的2个数之和为偶数的概率为42105=.故选：D6.已知空间中非零向量a ，b ，且1a = ，2b = ， 60a b =,，则2a b - 的值为（）A.1B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=- ,14412442=-⨯⨯⨯+=，所以22a b -= ．故选:C7.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵()1,2,3m = ，且空间向量n满足//m n u r r ，∴可设(),2,3n m λλλλ==，又7⋅= m n ，∴1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==，得12λ=．∴113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.8.已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1的距离为5，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为（）A.B.3710C.1010D.10【答案】A 【解析】【分析】先由等面积法求得1AA 的长，再以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，运用线面角的向量求解方法可得答案．【详解】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D，则5CH =，设1AA a =，则AO CO AC ===，则根据三角形面积得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯，代入解得a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -．则1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(B D =- ，设平面11AB D 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，得n =．11110cos ,10||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==，所以直线1B D 与平面1111D C B A故选：A．二、多选题9.设,A B 是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）A.若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立B.若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤C.若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D.()()()P A B P A P B <+ 不一定成立【答案】BC 【解析】【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：()()0,0P A P B >>，对于选项A ：若A 和B 互斥，则()0P AB =，显然()()()P AB P A P B ≠，所以A 和B 一定不相互独立，故A 错误；对于选项B ：若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤，故B 正确；对于选项C ：若A 和B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，所以A 和B 一定不互斥，故C 正确；对于选项D ：因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，若A 和B 互斥，则()0P AB =，则()()()P A B P A P B =+ ，故D 错误；故选：BC.10.如图，点,,,,A B C M N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足//MN 平面ABC 的是（）A. B.C. D.【答案】ACD 【解析】【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接EF ，因为,M N 为正方体棱的中点，所以//MN EF ，又//EF AC ，所以//MN AC ，AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故A 正确；对B ：如图：因为,,,,A B C M N 是正方体棱的中点，所以//MN GH ，//BC EF ，//GH EF ，所以//BC MN ，同理：//AB DN ，//AM CD .所以,,,,A B C M N 5点共面，所以//MN 平面ABC 不成立.故B 错误；对C ：如图：因为,B C 是正方体棱的中点，所以//BC EF ，//MN EF ，所以//BC MN .⊂BC 平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故C 正确；对D ：如图：因为,.B C M 为正方体棱的中点，连接ME 交AC 于F ，连接BF ，则BF 为MNE 的中位线，所以//BF MN ，BF ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故D 正确.故选：ACD11.如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A.平面PCD ⊥平面PBDB.三棱锥P BCD -外接球的表面积为10πC.PD 与平面PBC 所成角的正弦值为34D.若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM 面积的最小值为217【答案】ACD 【解析】【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验CD ．【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒，所以3BD =，故222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD CD ⊥，CD ⊂平面BCD 所以CD ⊥平面PBD ，CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面BPD ，故A 正确；取BC 的中点为N ,PB 中点为Q ,过N 作12ON //PB,ON PB =,由平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD PB ⊥,PB ⊂平面PBD ,故PB ⊥平面BCD ,因此ON ⊥平面BCD ,由于BCD △为直角三角形，且N 为斜边中点，所以OB OC OD ==,又12ON //PB,ON PB =,所以QB ON ,BQ //ON =,因此OP OB =,因此O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，且半径为2OB ==,故球的表面积为54π=5π4´，故B错误，以D为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则B 0，0)，(0C ，1，0)，P ，0，1)，因为(0BP = ，0，1)，(BC =，1，0)，)01DP ,= ,设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，所以0000z m BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩，取x =)30m ,=所以cos ,4||||m DP m DP m DP⋅<>==，故PD 与平面PBC所成角的正弦值为4，故C 正确，因为M 在线段PD上，设M ，0，)a，则MB=，0，)a -，所以点M 到BC的距离d ==，当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC ∆面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确．故选：ACD．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12.如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【答案】112【解析】【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率1114312P =⨯=．故答案为：112．13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是11A B 的中点，则点A 到直线BE 的距离是__________．【答案】5【解析】【分析】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.则()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E ，所以()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-，记与BE同向的单位向量为u ，则5250,,55u ⎛=-⎝⎭，所以，点A 到直线BE 的距离455d ===.故答案为：514.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，点,E F 分别为,CD CP 的中点，点T 为PAB 内的一个动点（包括边界），若CT ∥平面AEF ，则点T 的轨迹的长度为__________.【答案】53153【解析】【分析】记AB 的中点为G ，点T 的轨迹与PB 交于点H ，则平面//CHG 平面AEF ，建立空间直角坐标系，利用CH垂直于平面AEF ，的法向量确定点H 的位置，利用向量即可得解.【详解】由题知，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，记AB 的中点为G ，连接CG ，因为ABCD 为正方形，E 为CD 中点，所以//AG CE ，且AG CE =，所以AGCE 为平行四边形，所以//CG AE ，又CG ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以//CG 平面AEF ，记点T 的轨迹与PB 交于点H ，由题知//CH 平面AEF ，因为,CH CG 是平面CHG 内的相交直线，所以平面//CHG 平面AEF ，所以GH 即为点T 的轨迹，因为()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B ，所以()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--== ，设PH PB λ=，则()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=--- ，设(),,n x y z =为平面AEF 的法向量，则200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =得()2,1,1n =- ，因为CH n ⊥ ，所以()2222220λλ---+-=，解得23λ=，则22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，又()1,2,0GC AE == 所以()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以12145,0,33993GH ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：53【点睛】关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点T 的轨迹与PB 的交点位置，然后利用向量运算求解即可.四、解答题15.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[)80,90和[]90,100的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A =“两人的测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100”，求()P A .【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）()35P A =.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100的人数，按照古典概型计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.测试成绩落在区间[)40,70的频率为()0.0040.0060.02100.3++⨯=，落在区间[)40,80的频率为()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=，所以设第57百分位数为a ，有()0.3700.030.57a +-⨯=，解得79a =；【小问2详解】由题知，测试分数位于区间[)80,90、[)90,100的人数之比为0.2430.162=，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间[)80,90中3人，用1A ，2A ，3A 表示，在区间[)90,100中2人，用1B ，2B 表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31A B ，()32,A B ，()12,B B ，共10种，其中“分别落在区间[)80,90和[)90,100”有6种，所以()35P A =.16.在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得1B D ⊥平面ABD .（2）利用向量法证得平面//EGF 平面ABD .【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,1,4)，则EG uuu r ＝,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF ＝(0,1,1)，1B D ·EG uuu r ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF .结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17.已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【答案】（1）0.72（2）0.98【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则()0.8P A =,()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=,【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=,所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18.如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上，,AF DE F ⊥为垂足.（1）求证：AF DB ⊥.（2）当直线DE 与平面ABE 所成角的正切值为2时，①求平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值；②求点B 到平面CDE 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）①41919；②25719【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到AF ⊥平面BED ，进而证明AF DB ⊥即可.（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知DA ⊥底面,ABE BE ⊂平面ABE ，故BE DA ⊥，又,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂平面AED ，故BE ⊥平面AED ，由AF ⊂平面AED ，得AF BE ⊥，又,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂平面BED ，故AF ⊥平面BED ，由DB ⊂平面BED ，可得AF DB ⊥.【小问2详解】①由题意，以A 为原点，分别以AB ，AD 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD 的长度为2，则(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ，因为DA ⊥平面ABE ，所以DEA ∠就是直线DE 与平面ABE 所成的角，所以tan 2DA DEA AE∠==，所以1AE =，所以31,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由以上可得1(0,2,0),,,222DC DE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面EDC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,3120,22y x y z =⎧+-=⎪⎩取4x =，得n = .又(1,0,0)m = 是平面BCD 的一个法向量，设平面EDC 与平面DCB 夹角的大小为θ，所以cos cos ,19m n m n m n θ⋅==== ，所以平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值为41919.②因为33,,022BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以点B 到平面CDE的距离19BE n d n ⋅== .19.图1是直角梯形ABCD ，AB CD ∥，90D Ð=°，四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C的位置，且1AC =，如图2.（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，若存在，则1DP PC 的值；（3）在（2）的前提下，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3）155【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到AF ⊥BE ，1C F ⊥BE ，且123AF C F ==，由勾股定理逆定理求出AF ⊥1C F ，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求平面1ABC 的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，（3）根据（2）可得31,322EP ⎛= ⎝uu r ，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，1C F，因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，所以1,ABE BEC 均为等边三角形，故AF ⊥BE ，1C F ⊥BE，且1AF C F ==，因为1AC =，所以22211AF C F AC +=，由勾股定理逆定理得：AF ⊥1C F ，又因为AF BE F ⋂=，,AF BE ⊂平面ABE ，所以1C F ⊥平面ABED ，因为1C F ⊂平面1BEC ，所以平面1BC E ⊥平面ABED ；【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，1FC 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --，设(),,P m n t ，1DP DC λ= ，[]0,1λ∈，即()(3,m n t λ+=，解得：,33,m n t λ==-=，故),33,P λ--，设平面1ABC 的法向量为(),,v x y z = ，则()(12,0,AB AC =-=-，则1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1y z ==，故()v = ，其中1,33,C P λ=--则15C P v d v⋅=== ，解得：12λ=或32（舍去），所以否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，此时11DP PC =.【小问3详解】由（2）可得：()3331,0,2,0,2222EP ⎛⎛=---= ⎝⎝ ，设直线EP 与平面1ABC 所成角为θ，则15sin cos ,5EP v EP v EP v θ⋅===⋅，所以直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值为5.。

山东省青岛第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

山东省青岛第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

山东省青岛第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知空间向量()1,3,5a =-r ，()2,,b x y =r ，且//a b r r ，则x y -=（ ）A ．16-B ．16C ．4D ．4-2．已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1P -的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）A ．32,,43⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U B ．][43,,32⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．34,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．43,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3．已知空间向量()1,,2a n =r ，()2,1,2b =-r ，若3a b -r r 与b r 垂直，则a r 等于（ ）A B C D ．24．设A ，B 为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）A ．若A ，B 是对立事件，则()1P AB =B ．若A ，B 是互斥事件，11(),()32P A P B ==，则1()6P A B += C ．若11(),()32P A P B ==，且1()3P AB =，则A ，B 是独立事件 D ．若A ，B 是独立事件，12(),()33P A P B ==，则1()9P AB = 5．已知点()0,1P -关于直线10x y -+=对称的点Q 在圆22:50C x y mx +++=上，则m =（ ） A ．4 B ．5 C ．-4 D ．-56．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n =v 与向量()1,1b =-v 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（ ） A ．512 B ．12 C ．712D ．56 7．边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使14AD BC ⋅=u u u r u u u r ，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A B C D 8．已知空间向量a r ，b r ，c r 两两的夹角均为60o ，且2a b ==r r ，4c =r .若向量x r ，y r 满足()x x a x b ⋅+=⋅r r r r r ，()y y a y c ⋅+=⋅r r r r r ，则x y -r r 的最大值是（ ）A ．1+B ．1C ．D ．2二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是6111B ．若样本数据1x ，2x ，L ，10x 的平均数为2，则数据121x -，221x -，L ，1021x -的平均数为3C ．一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6D ．某班男生30人、女生20人，按照分层抽样的方法从该班共抽取10人答题.若男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为6.810．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1:20l x my m -+-=和过定点B 的动直线2:420l mx y m +-+=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．B 点的坐标为()2,4-B ．22PA PB +为定值C ．PAB S V 最大值为252D ．2PA PB +的最大值为11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1BP xBB yBC =+u u u r u u u r u u u r ，x ，()0,1y ∈，11AQ z AC =u u u r u u u r ，[]0,1z ∈，若直线1A P 与11A B 的夹角为45o ，则下列说法正确的是（ ）A ．线段1A PB 1AQ PQ +的最小值为1C ．对任意点P ，总存在点Q ，使得1⊥D Q CPD ．存在点P ，使得直线1A P 与平面11ADD A 所成的角为60o三、填空题12．已知()11,0,1n =-u r ，()2,3,2n m =-u u r ，()30,1,1n =-u u r ，若{}123,,n n n u r u u r u u r 不能构成空间的一个基底，则m =.13．已知半径为1的圆经过点()3,4，则其圆心到直线3430x y --=距离的最大值为. 14．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知异面直线1AC 与11B C ，1AC 与11C D 所成角的大小分别为60o 和45o ，E 为1CC 中点，则点E 到平面1A BC 的距离为.15．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，O 0,0 ，()8,0A ，()8,6B ，C 0,6 ，光线从OA 边上一点()04,0P 沿与x 轴正方向成θ角的方向发射到AB 边上的1P 点，被AB 反射到BC 上的2P 点，再被BC 反射到OC 上的3P 点，最后被OC 反射到x 轴上的()4,0P t 点，若()4,6t ∈，则tan θ的取值范围是.四、解答题16．已知直线()1:220l x m y +-=，2:220l mx y +-=，且满足12l l ⊥，垂足为C .(1)求m 的值及点C 的坐标.(2)设直线1l 与x 轴交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ，求ABC V 的外接圆方程. 17．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为()1101p p <<，收到0的概率为11p -；发送1时，收到0的概率为()2201p p <<，收到1的概率为21p -.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）.(1)已知13p 4=，223p =， （i ）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii ）若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，判断事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由；(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p 的取值范围.18．如图，四面体ABCD 中，ABC V 为等边三角形，且2AB =，ADC △为等腰直角三角形，且90ADC ∠=o .(1)当BD（i ）求二面角D AC B --的正弦值；（ii ）当P 为线段BD 中点时，求直线AD 与平面APC 所成角正弦值；(2)当2BD =时，若()01DP DB λλ=<<u u u r u u u r ，且PH ⊥平面ABC ，H 为垂足，CD 中点为M ，AB中点为N ；直线MN 与平面APC 的交点为G ，当三棱锥P ACH -体积最大时，求MG GN的值.。

2014—2015学年度第二学期期末考试高二数学(文)参考答案与评分标准

2014—2015学年度第二学期期末考试高二数学(文)参考答案与评分标准

2014-------2015学年度第二学期期末考试参考答案及评分标准高二数学（文）一、选择题1、C2、B3、B4、 D5、 C6、 A7、 A8、C9、 C10、C11、 C12、 C二、填空题(13)2(14)2(15) 4836(16) ①②③三、解答题17．（本小题满分10 分）已知A x x24x0 ,B x x 22(a1)x a 210，其中 a R ，如果【解析】化简得A A∩ B=B ，求实数a的取值范围。

0, 4 ，∵集合 B 的元素都是集合 A 的元素，∴B A 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分⑴当 B时，4(a 1)24(a 21) 0 ，解得a 1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分⑵当B0或 4时，4(a 1)24(a2 1) 0 ，解得a 1 ，此时 B0，满足B A ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4(a1)24(a21)0⑶当B 0, 4 时，2(a1)4，解得 a 1。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分a2 10综上所述，实数 a 的取值范围是 a 1或者 a 1 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分18．（本小题满分 12 分 , 每个小题 6 分）60 ；（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于（2）已知n 0，试用分析法证明：n2n 1n 1n .【解析】（1）假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60 ，即均小于 602分则三内角和小于180，4分这与三角形中三个内角和等于180矛盾，故假设不成立，原命题成立；6分（2）要证上式成立，需证n 2n2n 1需证 ( n 2n )2(2 n 1)28 分97.5%需证 n1n22n需证 (n1) 2n22n需证 n22n1n 22n10 分只需证 10因为 10 显然成立，所以原命题成立.12分考点：（ 1）反证法；（2）分析法 .19．（本小题满分12 分）对某校小学生进行心理障碍测试得到如下的列联表：有心理障碍没有心理障碍总计女生1030男生7080总计20110将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？K 2n( ad bc)2附：(a b)(c d )( a c)(b d )P(K2 ≥ k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K 2.072 2.076 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解析】将列联表补充完整有：有心理障碍没有心理障碍 ]总计女生102030男生107080总计2090110K 2n( ad bc)2，故选择k0 5.024 较由(a b)(c d )(a c)(b d ) ,计算可得K2 6.366 5.024为合适 .10分因此，在犯错的概率不超过0.025 的前提下认为心理障碍与性别有关，所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关.12 分考点：独立性检测 .20．（本小题满分12 分）某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月 7日4月15日4月 21日4月30日温差 x / C101113128发芽数 y / 颗2325302616（1）从这 5 天中任选 2 天，若选取的是 4 月 1日与 4 月 30 日的两组数据，请根据这 5 天中??的另三天的数据，求出y 关于的线性回归方程y b xx；?（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：n? bx i y i nx y? i1，a y bx ）n2?2x i nxi1【解析】 (1)由数据得 x12, y27 ，3x y972 ，3977 ，322 x i y i x i434 ， 3x432 i 1i 1由公式，得?9779725?5b27123 43443222所以 y 关于 x 的线性回归方程为?53⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x2（ 2）当x 10时， ?， |22-23|2，当x 8时， ?|17-16|2，所以得到的线y 22y 17,性回归方程是可靠的 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21．（本小题满分 12 分）已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x, y 恒有 f ( x) f ( y) f ( x y) ，且当x＞0时，f ( x) ＜0，又 f (1)2。

重庆市巫山中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理科)试题

重庆市巫山中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理科)试题

重庆市巫山中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学（理科）试题2．如图,Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A B ．1 C D ． 3.“22ab>”是“22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．点A(1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B(－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B ．54C ．－65D ．565．已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A.221169x y += B.2211612x y += C. 22143x y += D. 22134x y += 6．在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 为1CC 的中点，那么直线OE 与1AD 所成角的余弦值为（ ）7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正(主)视图的面积等于( )A ．2 B.92C.32D ．38. 设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ②若m //α，n //α，则m n // ③若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是（ ）A ①和③B ②和③C ②和④D ①和④9. 已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于B A ,两点，且→→→→-=+OB OA OB OA (其中O 为坐标原点)，则实数a 等于( )A ．2B ．2或－2C ． －2 D.6-6或10. 四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，BCD ∆是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．12πC ．16πD ．32π二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸相．．．．应位置上．．．．11．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么12．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1 4，截取的小圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长 ▲ cm ．13．P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 ▲ ．14．已知圆()()22:112C x y -++=，（C 为圆心），过点()2,3的直线l 与圆相交于,A B 两点，且90ACB ∠=,则直线l 的方程是 ▲ ．15、在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C上存在点M ，使2MA MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为 ▲ ．三、解答题：（本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （－2，1），直线032:=--y x l ． （1）若直线m 过点A ，且与直线l 平行，求直线m 的方程；（2）若直线n 过点A ，且与直线l 垂直，求直线n 的方程17. （本小题满分13分）如图，在五面体ABC —DEF 中，四边形BCFE 是矩形，DE ⊥平面BCFE ．求证：（1）BC ⊥平面ABED ；（2）CF // AD ．18．（本题满分13分）已知圆心()(1,2)0,1C ，且经过点 （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(2,1)P -作圆C 的切线，求切线的方程及p 到切点的距离.19. （本小题满分12分）命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根 （1）若“p ∧ q ”为真命题，求m 的取值范围 （2）若“p ∨ q ”为假命题，求m 的取值范围20．（本题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：PA //平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C DE B --的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论．21. （本题满分12分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-= 相切． （1）求圆的标准方程；（2）设直线50ax y -+=(0)a >与圆相交于,A B 两点，求实数a 的取值范围； （3） 在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2, 4)p -.巫山中学2016级高二上第二次月考数学（理）试题答案CDBDC BAABA10. 解析：解：取CD 的中点E ，连结AE ，BE ，∵在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ， △BCD 是边长为3的等边三角形．∴Rt △ABC ≌Rt △ABD ，△ACD 是等腰三角形，△BCD 的中心为G ，作OG ∥AB 交AB 的中垂线HO 于O ，O 为外接球的中心，2BE BG R =====．四面体ABCD 外接球的表面积为：4πR 2=16π．11．1 12．9 13．1 14．2=x 或06815=--y x 15．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：设点M （x ，y ），由MA=2MO =x 2+（y+1）2=4， ∴点M 的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ，又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，13∴≤≤1205a ∴≤≤16. 解：（1）250x y -+= ----------------------------6分 （2）20x y +=---------------------------------13分 17.证：（1）因为DE ⊥平面BCFE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以BC ⊥ DE ．…………………2 分因为四边形BCFE 是矩形， 所以BC ⊥ BE ．…………………4分 因为DE ⊂平面ABED ，BE ⊂平面ABED ，且DE I BE = E ，所以BC ⊥平面ABED ． ………………………………………………………7分 （2）因为四边形BCFE 是矩形，所以CF // BE ，…………………………………9 分 因为CF ⊄平面ABED ，BE ⊂平面ABED ，所以CF // 平面ABED ．………………………………………………………11分 因为CF ⊂平面ACFD ，平面ACFD I 平面ABED = AD ，所以CF // AD ． ………………………………………………………………13分19.解：“p 或q ”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或q 和p 都是真命题当p 为真命题时，则2121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=->⎨⎪=>⎩，得2m <-；…………3分当q 为真命题时，则216(2)160,31m m ∆=+-<-<<-得…………5分 （1）q ∧p 都是真命题时，得32m -<<-…………8分 （2）q ∨p 都是假命题时：1-≥m …………12分20．解：法一：（I ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线建立空间直角坐标系， 设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=DB DE PA 设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则由 1100n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩取1y =-，得1(1,1,1)n =-． ∵1220PA n ⋅=-=，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥⊄∴，又平面平面（II ）1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量． 设二面角C DE B --的平面角为θ，由图可知>=<21,n n θ ∴33,cos cos 21>=<=n n θ 故二面角B DE C --的余弦值为33． （Ⅲ）∵)1,1,0(),2,2,2(=-=DE PB ∴0220,.PB DE PB DE =+-=∴⊥假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设)10(<<=λλPB PF ， 则(2,2,2)PF λλλ=-，(2,2,22)DF DP PF λλλ=+=-由0PF DF ∙=得22442(22)0λλλλ+--= ∴PBPF 31)1,0(31=∈=，此时λ即在棱PB 上存在点F ，PB PF 31=，使得PB ⊥平面DEF ． 法二：（I ）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接OE ．在PAC ∆中，OE 为中位线，∴OE //PAPA BDE ⊄又平面,∴PA //平面BDE ．（II ）PD ⊥底面ABCD ,∴ 平面PDC ⊥底面ABCD ，CD 为交线,BC ⊥CD∴平面BCE ⊥平面PDC ，PC 为交线, PD =DC ，E 是PC 的中点∴DE ⊥PC∴DE ⊥平面PBC ，∴ DE ⊥BE ∴BEC ∠即为二面角B DE C --的平面角．设PD DC a ==，在Rt BCE ∆中,33cos ,26,,22=∠∴===BEC a BE a BC a CE 故二面角B DE C --的余弦值为33． （Ⅲ）由（II ）可知DE ⊥平面PBC ，所以DE ⊥PB ，所以在平面PDE 内过D 作DF ⊥PB ，连EF ，则PB ⊥平面DEF ．在Rt PDB ∆中,PD a =，BD =，PB =，a PF 33=．所以在棱PB 上存在点F ，PB PF 31=，使得PB ⊥平面DEF ． 21．解（1）设圆心为M （m ，0）（m ∈Z ）． 由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5， 所以|4m−29|/ 5 ＝5，即|4m-29|=25． 即4m-29=25或4m-29=-25， 解得m=27 / 2 或m=1， 因为m 为整数，故m=1，故所求的圆的方程是（x-1）2+y 2=25；……………………4分。

山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若23a =，292S =，则公比q =（ ） A ．12B ．13C ．3D ．22．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()020.4P ξ<<=，则()0P ξ>=（ ）A ．0.9B ．0.8C ．0.4D ．0.13．函数()f x 的图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，记()()43a f f =-，()3b f ='，()4c f ='，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b4．若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ）A ．15B ．25C ．110D ．3105．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()121nn a n =--，则101S =（ ） A ．301B ．101C ．101-D ．301-6．函数()()322,f x x ax bx a a b =+++∈R 在0x =处取得极大值9，则a b +=（ ）A ．3B ．3-C ．3-或3D ．07．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '为其导函数．当0x >时，()()0xf x f x '->，()10f =，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()()1,00,1-UD ．()()1,01,-⋃+∞8．某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为45，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为35，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ） 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++A ．60B ．65C ．70D ．75二、多选题9．下列函数的导数运算正确的是（ ） A ．()e e e x x x x x '=+B ．'=C ．2sin 1cos cos x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()1lg 2ln10x x '=⎡⎤⎣⎦10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x 表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，记事件A ：x y +为偶数，B ：xy 为偶数，C ：2x >，则（ ）A ．()34P B =B ．A 与B 相互独立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立11．黎曼函数（Riemann function ）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩N 为既约真分数和内的无理数，若数列2221n n n a R ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，*n ∈N ，则（ ）A ．121n n a =- B ．12n n a a ++>C ．()111112321nii i n i a a ++==--∑ D ．1211ni i a n =≤-+∑三、填空题12．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是．13．记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()15485k S a a a =++，则k =． 14．已知函数()ln x f x x=，设()()()2g x f x af x =-，若()g x 只有一个零点，则实数a 的取值范围是；若不等式()0g x >的解集中有且只有三个整数，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知函数()2ln f x x x x =+-．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)求()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．16．某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立． (1)求比赛结束时恰好打了5局的概率；(2)若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望． 17．已知数列{}n a 满足123111n n a a a a a n -⋅⋅⋅=+． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令21n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不等式2122n n n S n λ⋅-≥+对*n ∀∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．18．近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：(1)已知y 与x 线性相关，求出y 关于x 的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；(2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为()01p p <<．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，（i ）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为()f p ．求()f p 的最大值点0p ； （ii ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i ）中确定的0p 作为p 的值．预计最多可以调多少人到其他部门？参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 19．已知函数()()220m f x mx m m x-=+->． (1)当1m =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若()2ln 2f x x ≥-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)证明：()()*11ln 122nk n n n kn =>++∈+∑N ．。

2014年山东省高考数学试卷真题及答案(理科)

2014年山东省高考数学试卷真题及答案(理科)

2014年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i2．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）4．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y36．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．47．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．188．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）9．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．210．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为．12．（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE 的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．14．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为．15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．21．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2014年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2014•山东）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但==，故＞不成立．B．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立．C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx＞siny，但sinx＞siny不成立．D．∵函数y=x3为增函数，故当x＞y时，x3＞y3，恒成立，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．6．（5分）（2014•山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．4【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by （a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．10．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n 的值为3．【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC 的面积为AB•AC•sinA，计算求得结果．【解答】解：△ABC中，∵•=AB•AC•cosA=tanA，∴当A=时，有AB•AC•=，解得AB•AC=，△ABC的面积为AB•AC•sinA=××=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题．13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．【解答】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，==，所以T r+1令12﹣3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x 的范围，可得g（x）的增区间．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得．解得m=，n=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ，故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，又M为AB的中点，∴AM=1．∴CD∥AM，CD=AM，∴AM C1D1，∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，∴C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴面D1C1M与ABC1D1共面，作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，∴CN=，在Rt△D1CN中，CD1=，CN=，∴D1N=∴cos∠D1CN===解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），∴=（1，0，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，∴=（0，2，1）．显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos＜，＞|===，显然二面角为锐角，∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．【分析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）×=+=．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=2）=×=；P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=4）=×+×=；P（ξ=6）=×=；故ξ的分布列为：ξ012346P故ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，∴S n==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时，T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，T n=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题．20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣k（﹣）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴e x﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=e x﹣kx，x∈（0，+∞）．∵g′（x）=e x﹣k=e x﹣e lnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=e x﹣k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ）利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，A（3，），F（，0），，∴．∵△ADF为正三角形，∴．又∵，∴，∴p=2．∴C的方程为y2=4x．当D在焦点F的左侧时，．又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，∵△ADF为正三角形，∴3+=p﹣6，解得p=18，∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．∴C的方程为y2=4x．（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0），∴k AD=﹣．由直线l1∥l可设直线l1方程为，联立方程，消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）．点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），即，∴，∴，∴，∴直线AE过定点（1，0）；（ⅱ）直线AB的方程为，即．联立方程，消去x得，∴，∴=，由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：=，∴△ABE的面积=，当且仅当y1=±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16．【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题．。

2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题_Word版含答案

2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题_Word版含答案

2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （ ）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立； （2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分 则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =， 代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=， 解得10m =.……………………4分 （2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分 即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分 （2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分 当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分 当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分 由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。

山东省临沂市某重点中学2014-2015学年高二上学期十月月考数学(理)试题Word版含答案

山东省临沂市某重点中学2014-2015学年高二上学期十月月考数学(理)试题Word版含答案

高二数学（理科）月考试题2014.10一、选择题（每小题5分，共50分）1ABC ∆中，2=a ，6=b ，3π=B ，则A s in 的值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．21或232.已知1，c b a ,,，4成等比数列，则实数b 为（ ）A ．4B ．2-C ．2±D ．23．在等差数列}{n a 中，若1202963=++a a a ，则11S 等于（ ）A ．330B ．340C ．360D ．3804．在△ABC 中，角A,B,C 的对应边分别为c b a ,,若222a c b +-=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π5.在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形6．1+与1-的等比中项是（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．127. 已知}{n a 是等差数列，551554==S a ，，则过点),4(),,3(43a Q a P 的直线斜率为( )A ．4 B.14C ．－4 D ．－148. △ABC 中，已知︒===60,2,B b x a ，如果△ABC有两组解，则x 的取值范围( )A ．2>xB ．2<xC ．3342<<x D ． 3342≤<x 9.已知各项均为正数的等比数列}{n a 的首项31=a ，前三项的和为21，则543a a a ++＝( )A ．33B ．72C ．189D ． 84 10.已知数列}{na 满足⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=+)121(12)210(21n n n n n a a a a a ，若751=a ，则2014a 的值为（ ） A ．76 B ．75 C ．73 D ．71二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a ::.12．在等比数列{}n a 中,若101,a a 是方程06232=--x x 的两根则47a a ⋅=______13.在ABC ∆中，已知2=a ，︒=120A ，则=++BA b a s i n s i n ． 14.已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a =_______。

山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期开学调研监测考试数学试题

山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期开学调研监测考试数学试题

山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期开学调研监测考试数学试题一、单选题 1．复数12i12i-+的虚部是（ ） A ．45B ．45-C ．35D ．35-2．设集合{}{}21,2,4,50A B xx x m ==-+=∣，若{}2A B =I ，则B =（ ） A ．{}2,3- B ．{}2,6- C ．{}2,3 D ．{}2,63．已知向量,,a b c r r r在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则()a b c a b +⋅+⋅=r rr r r （ ）A ．0B ．3C ．6D ．124．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个面是全等的等腰三角形，若25m,10m AB BC ==，且等腰梯形所在平面､等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角均为45o ，则该五面体的体积为（ ）A ．3375mB ．31625m 3C ．3545mD ．3625m5．已知圆22:20C x y x +-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程是（ ） A ．()132y x =±- B ．()23y x =±-C ．)3y x =-D ．)3y x =-6．数列 a n 中，112,2n n a a a +==+，若19270k k k a a a +++++=L ，则k =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．107．设412341010x x x x ≤<<<≤，随机变量1ξ取值1234,,,x x x x 的概率均为14，随机变量2ξ取值123234341412,,,3333x x x x x x x x x x x x ++++++++的概率也均为14，若记()1D ξ，()2D ξ分别是12,ξξ的方差，则（ ）A ．()()12D D ξξ>B ．()()12D D ξξ=C ．()()12D D ξξ<D ．()1D ξ与()2D ξ的大小不确定8．已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f '==，则()2f '=（ ） A ．0B ．34C ．1D ．32二、多选题9．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中,ωϕ均为常数，π<ϕ）的部分图象如图所示，则（ ）A ．π3ϕ=-B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 的单调增区间为π5ππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z10．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足()41,2,n n a S n ⋅==L ，则（ ）A ．21a =B ．{}n a 为等比数列C ．{}n a 为递减数列D ．{}n a 中存在小于110000的项 11．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1,E 为棱1AA 上一动点，CE ⊥平面α，则（ ）A ．当点E 与点A 重合时，CE ∥平面11A BCB ．当点E 与点A 重合时，四面体11ECD B 的外接球的体积为3π2C ．直线CD 与平面α所成角的正弦值的取值范围是⎣⎦D ．当点E 与点1A 重合时，平面α截正方体所得截面可为六边形，且其周长为定值三、填空题12．边长为2的正三角形绕其一边所在直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为.13．已知四个函数：①e x y =-，②ln y x =-，③y x =，④y =从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.14．已知椭圆22:15x C y +=，过x 轴正半轴上一定点M 作直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，当直线l 绕点M 旋转时，有2211||||AM BM λ+=（λ为常数），则定点M 的坐标为，λ=.四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin()3c B b C =+.(1)求C ；(2)若6b =，且ABC V 的面积为ABC V 的周长.16．如图，Rt ABC △中，90,30,3,ACB CAB BC AD ∠∠====o o 过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，将ADE V 沿DE 翻折至PDE △，使得PB =.(1)求证：PE ⊥平面BCDE ；(2)若DM PM =，求直线EM 与平面PBC 所成角的正弦值.17．已知函数()2e 1xf x ax x =---.(1)若()1e 2f =-，求()f x 的单调区间； (2)若()()0,,0x f x ∞∈+>，求实数a 的取值范围.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，离心率为122,,F F 分别为C 的左､右焦点，两点()()1122,,,A x y B x y 都在C 上. (1)求C 的方程；(2)若222AF F B =u u u u r u u u u r，求直线AB 的方程；(3)若1AF ∥2BF 且12120,0x x y y <>，求四个点12,,,A B F F 所构成的四边形的面积的取值范围. 19．错位重排是一种数学模型.通常表述为：编号为1,2,3,,n L 的n 封信，装入编号为1,2,3,,n L 的n 个信封，若每封信和所装入的信封的编号不同，问有多少种装法？这种问题就是错位重排问题.上述问题中，设n 封信均被装错有n a 种装法，其中10a =. (1)求234,,a a a ；(2)推导21,,n n n a a a ++之间的递推关系，并证明：(){}11n n a n a +-+是等比数列； (3)请问n 封信均被装错的概率是否大于1e？并说明理由.（参考公式：2312!3!!xnx x x x n =++++++e L L ）。

2024-2025学年山东省潍坊市高三(上)开学数学试卷(含答案)

2024-2025学年山东省潍坊市高三(上)开学数学试卷(含答案)

2024-2025学年山东省潍坊市高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数1−2i1+2i 的虚部是( )A. 45B. −45C. 35D. −352.设集合A ={1,2,4}，B ={x|x 2−5x +m =0}，若A ∩B ={2}，则B =( )A. {2,−3}B. {2,−6}C. {2,3}D. {2,6}3.已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则(a +b )⋅c +a ⋅b =( )A. 0B. 3C. 6D. 124.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个面是全等的等腰三角形，若AB =25m ，BC =10m ，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角均为45°，则该五面体的体积为( )A. 375m 3B. 16253m 3C. 545m 3D. 625m 35.已知圆C ：x 2+y 2−2x =0，则过点P(3,0)的圆C 的切线方程是( )A. y =±12(x−3)B. y =±2(x−3)C. y =±33(x−3) D. y =±3(x−3)6.数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +2，若a k +a k +1+⋯+a k +9=270，则k =( )A. 7B. 8C. 9D. 107.设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4的概率均为14，随机变量ξ2取值x 1+x 2+x 33,x 2+x 3+x 43,x 3+x 4+x 13,x 4+x 1+x 23，x 2+x 3+x 43的概率也均为14，若记D(ξ1)，D(ξ2)分别是ξ1，ξ2的方差，则( )A. D(ξ1)>D(ξ2)B. D(ξ1)=D(ξ2)C. D(ξ1)<D(ξ2)D. D(ξ1)与D(ξ2)的大小不确定8.已知定义在实数集R 上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f(x +y)=f(x)+f(y)+xy ，f(1)=0，f′(1)=12，则f′(2)=( )A. 0B. 34C. 1D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。

山东省临沂市重点中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学(文)试题

山东省临沂市重点中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学(文)试题

山东省临沂市重点中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学（文）试题2014.12一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）。

1．抛物线错误！未找到引用源。

焦点坐标是（ ） A ．(错误！未找到引用源。

，0) B ．(错误！未找到引用源。

，0) C ． (0, 错误！未找到引用源。

) D ．(0, 错误！未找到引用源。

) 2.错误！未找到引用源。

（ ） A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

3. 以下说法错误的是A ．命题“若x 2-3x +2=0，则x =1”的逆否命题是“若x ≠ 1，则x 2-3x +2 ≠ 0” B ．“x = 1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ,q 均为假命题D ．若命题p ：0R x ∃∈，使得20x +x 0+1<0，则﹁p ：R x ∀∈，都有x 2+x +1 ≥ 04.等差数列错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 125.等比数列错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

等于（ )A.错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

6.已知错误！未找到引用源。

（ ） A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

7．双曲线错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．2D ．错误！未找到引用源。

8．抛物线错误！未找到引用源。

到直线错误！未找到引用源。

距离最近的点的坐标是 ( ) A ．错误！未找到引用源。

山东省临沭第二中学2014-2015学年高二1月月考数学(理)试题

山东省临沭第二中学2014-2015学年高二1月月考数学(理)试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是 （ ）A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或B.若11<<-x ，则12<xC.若1x >或1x <-，则12>xD.若1x ≥或1x ≤-，则12≥x 2.已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=( ) A ．36B ．42D ．633.给定命题p :若x R ∈, 命题q :若0x ≥，则20x ≥.则下列各命题中,假命题的是（ ）A ．p q ∨BC ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝4.等比数列{}n a 共有奇数项，所有奇数项和255S =奇，所有偶数项和126S =-偶，末项是192， 则首项1a =A.1B.2C.3D.45.若实数x 、y满足不等式组22010220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x y+的最大值为（ ）A.4B.5C.6D.7 6. “ϕπ=”是“函数()sin 2y x ϕ=+为奇函数” 的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.既不充分也不必要条件7.）A.2±B.8.在ABC ∆中，::1:2:3A B C =，则 A.1:2:3 B.3:2:1C.9．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．310．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B.3C.3＋12D.5＋12二、填空题：本大题共5小题，每小题 11.已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且，则2014a 的值为 . 12.与双曲线221x y -=过一、三象限的渐近线平行且距离为的直线方程为 .13.如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线)1(-=x k y 将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.14.若实数x,y 满足x 2+y 2+xy=1,则x+y 的最大值是 .15.当a>0,a ≠1时,函数f (x )=log a (x-1)+1的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx-y+n=0上,则4m +2n 的最小值是 .二、解答题：本大题共6小题，共75分。

【新结构】(潍坊二模)山东省潍坊市2024届高三下学期4月高考模拟考试数学试题+答案解析

【新结构】(潍坊二模)山东省潍坊市2024届高三下学期4月高考模拟考试数学试题+答案解析

【新结构】(潍坊二模)山东省潍坊市2024届高三下学期4月高考模拟考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则A.B.C.D.2.已知随机变量，且，则A. B. C.D.3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则A. B. C.D.4.已知，，，则A.B.C.D.5.在平面直角坐标系xOy 内，将曲线：绕原点O 逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为A.B.C. D.6.如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为A. B. C. D.7.已知函数则图象上关于原点对称的点有A.1对B.2对C.3对D.4对8.已知P 为抛物线上的一动点，过P 作圆的切线，切点分别为A ，B ，则的最大值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知椭圆C：的焦点分别为，，P为C上一点，则A.C的焦距为B.C的离心率为C.的周长为D.面积的最大值为10.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，N可以得到一列值，，，…，，…．如果存在一个正数M，使得对任意N都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是A. B. C. D.11.已知向量，，为平面向量，，，，，则A.B.的最大值为C.D.若，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知命题p：，，则为__________.13.请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式__________.①；②至少有两个零点；③有最小值．14.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，其外接圆半径为1，，则的面积为__________；当A取得最大值时，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。

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高二数学（理）下册四月份月考试卷
一、选择题：（共50分，每题5分） 1．若n
x
x )1(+
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A.10 B.20 C.30 D.120
2．高三（八）班要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出 顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
A ．1800
B ．3600
C ．4320
D ．5040
3．设随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ，若)(c P >ξ=)2(-<c P ξ，则c 的值是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4．已知随机变量ξ的概率分布列如下：
A.239
B.2310
C.139
D.1
3
10 5．若对于任意实数x ，有323
0123(
2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
6．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有（ ）
A ．288种
B ．144种
C ．72种
D ．36种
7．在24
的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（ ） A ．3项 B ．4项 C ．5项
D ．6项
8．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率为1
2
，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
A.
164 B.5564 C.18 D.1
16
9. 一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记。

该运动员在练习时击中10环的概率为a ，击中9环的概率为b ，既未击中9环也未击中10环的概率为c （a ，b ，c ∈)1,0[），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当
b
a 91
10+取最小值时，c 的值为（ ） A.
111
B.
11
2 C.
11
5 D. 0
10．利用下列盈利表中的数据进行决策，应
选择的方案是( ) A.A 1 B ．A 2 C ．A 3 D ．A 4
二、填空题：（共25分，每题5分）
11．已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 .
12.从1,3,5, 7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到 lga －lgb 的不同值的个数是 种（用数字作答）.
13. 省工商局于2003年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x 饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶x 饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的x 饮料的概率是 ．
14.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色.要求最多使
用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共__________种(用数字作答).
15. 某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是 ．
三. 解答题：（共75分）
16（12分）：用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的整数？ （Ⅰ）所有的四位数；
（Ⅱ）比21000大的没有重复的五位数.
17.（12分）已知n x x 223)(+的展开式的二项式系数和比n x )13(-的展开式的二项式系
数和大992。

求n x x 2)1
2(-的展开式中：
（Ⅰ）二项式系数最大的项。

（Ⅱ）求含
21
x
的项。

18.（12分） 某鱼类养殖户在一个鱼池中养殖一种鱼，每季养殖成本为10000元，此鱼的市场价格和鱼池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
(Ⅰ）设X 表示在这个鱼池养殖1季这种鱼的利润，求X 的分布列和期望；
（Ⅱ）若在这个鱼池中连续3季养殖这种鱼，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．20000元的概率．
19．（12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南
方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.
概不
20.（13分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得
10
1
80i
i x
==∑，101
20i i y ==∑，10
1
184i i i x y ==∑，
10
21
720i
i x
==∑．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （Ⅱ）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y bx a =+中，12
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-，
其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y bx a =+．
21．（14分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N （800，502
）的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p 。

（1） 求0p 的值；
（参考数据：若2
(,)X N μσ-，有()0.6826,P X μσμσ-<≤+=
(22)0.9544,(33)0.9974.P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=
（2）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次。

A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆。

若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？
18.解：（Ⅰ）因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X 所有可能的取值为
5001001000040000,500601000020000⨯-=⨯-=
3001001000020000,30060100008000⨯-=⨯-=……………………2分 (40000)0.50.60.3P X ==⨯=，(20000)0.50.40.50.60.5P X ==⨯+⨯= (8000)0.50.40.2P X ==⨯=……………………4分
所以X 的分布列为
则()400000.3200000.580000.223600E X =⨯+⨯+⨯=……………………6分
（Ⅱ）设i C 表示事件“第i 季利润不少于20000元”(1,2,3i =)， 由题意知123,,C C C 相互独立，由（Ⅰ）知，
()(40000)(20000)0.30.50.8(1,2,3)i P C P X P X i ==+==+==…………………8分
3季的利润均不少于20000元的概率为
3123123()()()()0.80.512P C C C P C P C P C ===
3季中有2季利润不少于20000元的概率为2
23(0.8)0.20.384C ⨯⨯=
所以3季中至少有2季的利润不少于．．．20000元的概率为0.5120.3840.896+=………12分
19. 解：（1）
面有差异”
方的学生在甜品饮食方的把握认为“南方和北所以，有%95841
.376.4≈3
710030702080)1020-1060(100χ22
>•=•••••= （2）
10
7
76116111035=
=+p 所以，所求事件的概率种人喜欢甜品的情况有种，所以至多有学生喜欢甜品的情况有个种，只有欢甜品的情况有种；其中，没有学生喜人，共有人中选从
20.解 (1)由题意知，
，，由
此得
，
故所求回归方程为
(2)由于变量
的值随的值增加而增加，故与之间是正相关。

(3)将代入回归方程可以榆次该家庭的月储蓄为。

21、（1）由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．
由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=。

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