第三章_ 矩阵力学基础——力学量和算符
力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常 把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
i (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)
0
a1 a2
把波函数归一化
/2
a1 a1
/2 /2
a1*
a2*
a1 a1
2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2
1 2
11
同理
/ 2
1 2
11
最后，把矩阵对角化。
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m* dx，得
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
Fk1
Fk 2
F1k a1(t)
F2k
a2
(t
)
Fkk
ak
(t
)
对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表
力学量与算符
表象与矩阵力学思考题：3-1力学量的本征态在该力学量自身的表象中的矩阵表示是什么？3-2左矢与右矢能相加吗？3-3一个力学量算符在一个表象中表示成一个矩阵，该矩阵的维度由什么决定？3-4如果一个表象是无穷维，而实际的数值计算中又不能进行无穷维的计算，哪该怎么办？ 3-5在第一章介绍了薛定谔方程，其中的波函数是在什么表象中的表示？3-6比较力学量分别为连续谱和离散谱时，它们的本征函数簇作为基组的完备性和归一性关系式。
习题：3-1写出动量表象中的薛定谔方程。
3-2写出动量表象中粒子在常力作用下的运动方程。
3-3粒子在一维无限深势阱V (x )=0,0£x £a ¥,x <0,x >aìíïîï 中运动。
求动量算符在该体系能量表象中的矩阵。
3-4已知体系的哈密顿算符H 和另一力学量算符A 在能量表象中的矩阵分别为H = w 010*******éëêêêùûúúú，010100001A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0(a ω和均为正的实数）在初始时刻，体系在能量表象中的态函数为210)121t ψ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（，求（1）体系在能量表象中的态函数)t ψ（；（2）体系的能量可能值及相应的几率；（3）体系能量的期望值；（4）力学量A 的可能取值及相应的几率；（5）力学量A 的期望值；（6）体系态矢量)t ψ（在A 表象中的矩阵表示；（7）能量表象与A 表象间的变换矩阵。
3-5已知体系的哈密顿算符在某一表象中的矩阵表示为H =e 201020102éëêêêùûúúú（1）求体系能量的本征值和相应的本征函数；（2）求出将H对角化的幺正变换矩阵。
第三章 力学量与算符
H
U t , t0 e
力学量与算符
• • • • • 作业： 1、分析厄米算符 2、讨论幺正算符（投影算符、宇称算符） 3、算符运算的证明 4、讲课过程中的简单证明，一些概念、或 是各算符的特性
力学量与算符
定义
r r
性质 （1） 2 1 ，本征值为 1 ； （2）是厄米、幺正算符 （3）波函数和算符按宇称分类
A, 0
r r
偶宇称
奇宇称
A, 0 r r
力学量与算符
性质12完备性三宇称算符定义2是厄米幺正算符3波函数和算符按宇称分类力学量与算符4宇称算符的选择定律力学量与算符四时间演化算符不显含时间力学量与算符力学量与算符力学量与算符
力学量与算符
力学量与算符
算符的定义及运算 算符的定义 单位算符 算符的和 积 转置
ˆ F
I
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
d
d A B A B A B d
力学量与算符
3.2.2设算符 A、B 不可对易： A , B C ，但
A, C ， B , C ，试证明Glauber公式：
e A B e A e B e
n n 1
C1 A C 0，则
A有 n 个本征值，且满足
Cnan Cn 1an 1 C1a C 0
。
力学量与算符
二、算符导数 1.定义
F F ，
为参量，
dF F F lim 0 d
2.基本性质 d A B A B
Aij
第三章-力学量的算符表示
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix
苏汝铿量子力学讲义 第三章 矩阵力学基础
若[F, G] = 0 必有共同本征函数系 • 充要条件 • 有简并时可重新组合
§3.5 量子力学中力学量的测量值
• 注意： 如果F和G不对易，必无共同本征函数系，但不 排除在某些特殊态中测量时有确定值，例如
Lx和Ly不对易，但在 得到零 中测量Lx,Ly均
§3.5 量子力学中力学量的测量值
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的性质 • 厄米算符的平均值是实数(充分性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.4 连续谱本征函数
线性厄米算符的本征函数示例
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
连续谱本征函数归一化 • 无穷空间：归delta函数，连续谱 • 箱归一化：引入周期性边界条件，分立谱
§3.4 连续谱本征函数
• 周期性边界条件
§3.4 连续谱本征函数
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
讨论： • 不确定性原理是波粒二象性的反映，与是否 测量无关 • 单缝衍射实验 • 零点能
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
• 角动量算符
§3.6 不确定性原理
• 互补原理及其哲学探讨
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
宇称算符P
• 直角坐标 x-x, y-y, z-z • 球坐标 r不变, θπ-θ, φ-φ • 宇称算符既是厄米的，又是么正的
矩阵力学中的态矢与算符
矩阵力学中的态矢与算符矩阵力学是量子力学的一种重要表述方式，它建立在线性代数的基础上。
在矩阵力学中，态矢与算符是其核心概念之一，它们扮演着连接物理实体和数学形式的桥梁。
一、态矢的物理意义态矢是描述一个物理系统的状态的数学工具。
在量子力学中，物理系统的状态可以用一个波函数表示，它可以是位置、动量或自旋等物理性质的函数。
波函数可以展开为基态矢量的线性组合，而基态矢量经过归一化后可以形成一个完备的正交基。
即任意一个态矢都可以写成基态矢量的线性组合形式。
二、算符的作用算符是描述量子力学中物理量的数学工具，它起到了在矩阵力学中描述物理量与态矢之间的转换的作用。
在矩阵力学中，一个算符的作用可以用矩阵与态矢的乘法表示。
该算符作用在态矢上可以得到一个新的态矢，也可以得到与原态矢正交的态矢。
常见的算符包括位置算符、动量算符、自旋算符等。
它们对应不同的物理量，并且具有特定的数学性质，如厄米性。
三、态矢与算符的关系态矢与算符的关系可以通过算符的本征值和本征矢来描述。
对于一个物理量对应的算符，它的本征矢是该算符作用后仍保持不变的态矢。
当算符作用在一个本征矢上，结果就是该本征值与原本征矢的乘积。
而不同本征值对应的本征矢是正交的。
这意味着，测量某个物理量时，系统只能处于本征态中的一个，并得到对应的本征值。
通过态矢与算符之间的变换，在矩阵力学中可以得到一些重要的结论。
如动量算符与位置算符的对易关系，即它们的对易子等于零。
四、态矢与算符的演化矩阵力学描述的是量子系统在不同时间点的演化过程。
态矢随着时间的演化可以通过薛定谔方程来描述。
薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了态矢的时间演化规律。
在方程中，算符作用在态矢上，产生了对应的时间导数。
通过求解薛定谔方程，可以得到系统在不同时间点的态矢。
另外，态矢与算符之间的演化也可以通过算符的时间依赖性来描述。
算符的时间演化可以利用海森堡绘景来处理，其中算符的时间演化是由算符自己决定的。
五、应用举例矩阵力学的态矢与算符概念在各个领域都得到了广泛应用。
三章量子力学中的力学量
例如，角动量算符：
Lrp
Lˆ i
i
x
j y
k
z
量子力学中的角动量算符：
x
y
z
Lˆ rˆ pˆ i r (7)
二、力学量用厄米算符表示(Hermit operator)
１、当体系处于定态，即哈密顿算符Hˆ 的本征态
时，能量有确定值 E ，E 即本征值。当体系处于 动量算符的本征态 p时，动量有确定值，这个值 即 pˆ 在 p 态中的本征值。
定义：若
Fˆ
dx
(Fˆ
)
dx (8)
则 Fˆ 称为厄米算符。式中 x 代表所有变量，积分范围
为所有变量变化的整个区域。
４、证明厄米算符的本征值是实数。
证： Fˆ ,
Fˆ
dx
(
Fˆ
)
dx,
和为任意函数，
取 ，则 dx dx
, 为实数
验证：坐标算符和动量算符是厄米算符。
2
pˆ 2 22 代入 Hˆ 中：
2
Hˆ 2 U (r )
2
<4> 量子力学中力学量用算符表示的规则：
如果量子力学中的力学量 F 在经典力学中有相 应的力学量的算符 Fˆ 由经典表示式 Fˆ (r , p) 中将 p 换为 算符 pˆ 而得出：
Fˆ Fˆ (rˆ, pˆ ) Fˆ (r , i ) (6)
２、算符的本征值方程
如果一个算符Fˆ作用于一个函数，结果等于 乘
上一个常数，
Fˆ （2） 则称为Fˆ的本征值， 为属于的本征函数。上式(2)称
为算符Fˆ的本征值方程。
如定态薛定谔方程Hˆ E，是哈密顿算符Hˆ的本征
值方程，E为本征值。 举例：无限深势阱，一维线形谐振子。
矩阵力学基础力学量和算符共90页
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
Hale Waihona Puke 10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
第三章矩阵力学基础——力学量和算符
第三章矩阵力学基础(I)—力学量和算符ψ。
薛定谔从粒子的波动性动身，上一章，中咱们系统地介绍了波动力学。
它的着眼点是波函数),(t xψ猫述粒子的运动状态。
通过在波函数的运动方程中引入 的方式进行量子化，在必然的用波函数),(t x边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明关于束缚态，会显现量子化的、分立的本征谱。
在本章和下一章中，咱们将介绍另一种量子化的方案。
它是海森伯（Heisenberg）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。
着眼点是力学量和力学量的测量。
他们将力学量看成算符。
通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都看成算符的方式，引入r和p的对易关系.将经典的泊松括号改成量子的泊松括号，实现量子化。
这种量子化，通常称为正那么量子化。
在选定了必然的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。
算符的运算归结为矩阵的运算。
本章将第一讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证明量子力学中的力学量必需用线性厄米算符表示。
在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值和具有确信值的条件。
咱们将证明算符的运动方程中含有对易子，显现 。
在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—一样的作用。
§3. 1力学量的平均值在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确信了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确信”是什么意思，在什么意义下讲“确信”?在本章中咱们将看到:所谓“确信”，是在能给出概率和求得平均值意义下说的。
一样说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确信的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以必然的概率显现。
当给定描述这一运动状态的波函数ψ后，力学量显现各类可能值的相应的概率就完全确信。
利用统计平均的方式，能够算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相较较。
矩阵力学基础I
)31.1.3( )21.1. 3( )11.1. 3(
成写可值均平的解时数整正为 n 当�实证难不�理同 rd) t , r( ψ p ) t , r( * ψ∫ = p
∧
rd) t , r( ψn )
x∂ h i−() t , r( * ψ∫ = ∂
x n
p
∇h i− = p
∧
成写式)01.1.3(将可
rdψ) 2 ∇
m2 m2 −( ψ∫ = = T p h * 2
2
是值均平的能动�方比
)41.1 .3(
rd) t , r( ψ)p ( f ) t , r( * ψ∫ = )p ( f
∧
有而从�值均平 的它得求式)31.1.3(和)21.1.3(式公值均平用利后然�分积项逐并开展勒泰作 p 按
z p、 y p 对出给可还理同 )p( f 将可总 �)p( f.数函析解的 p 量动何任于对 。值均平的 n n
之 2F 合集到照映, ) 1F ⊂ 1x ( 1x 素元的中 1F 合集将� F ˆ 照映在存若�上学数在
∧
。符算位单为 I 称则�数函意任为 υ
�3.2.3�
υ = υˆI
∧
足满 I 符算若。符算性线为均等符算 分积、符算量动。符算性线为称 F 则�数常是2C、1C�数函意任是
力学量的算符
pˆ x , pˆ y , pˆ z .
例 2： 一维谐振子，只需要一个力
学量就可完全确定其状态：
Hˆ
（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同
（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间 的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开
§3-7 测不准关系的严格证明
两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来 说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
2.性质 I: 若算符Ô之逆Ô-1存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0
证: ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ 因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立. 同理,ÔÔ-1=I 亦成立.
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
问题： 两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中
究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？
I . 证明：若Fˆ为厄密算符，则偏差Fˆ Fˆ F仍为厄密算符。
证： （Fˆ） （Fˆ F ) Fˆ F * Fˆ F Fˆ
II 测不准关系的严格推导
设二厄密算符对易关系为： FˆGˆ GˆFˆ ikˆ
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态， 上式即是算符F的本征方程。求解时，ψ 作为力学量 的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求 即波函数的标准条件。
问题：本征值、本征态、本征方程
（7）逆算符
1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出ψ, 则可定义 算符Ô之逆Ô-1 为:Ô-1 φ = ψ
4第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系
所以 可以推出
ˆ = −ih x ∂ − y ∂ = −ih ∂ Lz ∂x ∂ϕ ∂y
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ L2 = −h 2 sin θ + 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
* * = ∑ cn cm f mδ nm = ∑ cn cn f n = F nm
nm
n
且
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F 2 = ∫ψ * F 2ψ dτ = ∫ψ * F ( Fψ )dτ = ∫ ( Fψ )( Fψ )* dτ
ˆ = ∫ Fψ dτ ≥ 0
* F 2 = ∑ f n2 cn cn = ∑ f n2 cn n n 2
2.厄米算符（自共轭算符） 厄米算符（自共轭算符）
ˆ ˆ A+ = A
或
∫
∞
ˆ ˆ ψ 1* Aψ 2 dτ = ∫ ψ 2 ( Aψ 1 )* dτ
∞
一般力学量算符都是厄米算符。 一般力学量算符都是厄米算符。
性质1：厄米算符的本征值为实数。 性质1 厄米算符的本征值为实数。 ˆ 设 Aψ = λψ ，则 ˆ ψ * Aψ dτ = λ ψ *ψ dτ
ψ = ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 ,L ,ψ n ,L
ˆ 的可能取值， 本征值 λ 就是力学量算符 A 的可能取值，测量时只能测得这些
2 ˆ ˆ 的平方 A2的本征值就是 An 。这是因为 算符 A ˆ ˆ ˆ ˆ A2ψ = A ⋅ Aψ = AA ψ = A2ψ
n n n n n n
当 m 取整数时
m ˆ Amψ n = An ψ n
ˆ 对 A−1，有 ˆ 对 A1/ 2，有
第三章 矩阵与算符
如直角坐标中： a i ax j a y k az 列矩阵(Column matrix)
a1 a a2 a 3
ax 直角坐标中： a ay a z
2
量子化学
若：
矢量的加减法
a11 a 21 an1 a1m a22 a2 m an 2 anm a12
1 矩阵的定义：按矩形排列的一组数。如：
A [aij ]nm
A称为（nm）矩阵，它有n行和m列。矩阵中 包含的数称为矩阵的元素，简称矩阵元。第 i 行第 j 列的矩阵元以 aij 表示。 13
A = AH
1 如： A i e i i
aij=aji*
i
e 2 a i 就是Hermite矩阵 H ∵ A=A ai 3
当A元素aij全部为实数，且aij= aji时，则称A为 对称矩阵 25
量子化学
凡方阵的逆矩阵等于转置共轭矩阵的，称为酉 阵（ Unitary matrix ），用U表示，即：
A ax i ay j az k
则：C (ax bx ) i (a y by ) j (az bz ) k
C A B
B bx i by j bz k
C A B
A
B
B C A B
A = [aij]nm
AH = [aji*] mn
18
量子化学
例2
1 2i A i 2
3-4 力学量算符
f x, y
其中
1 f n ,m 0, 0 x n y n n 0 m 0 n !m !
(33)
f n ,m 0, 0
n m f x, y x n y n x y 0
(34)
ˆ, B ˆ, B ˆ 0 ，则可以定义算符的函数 ˆ 是两个互相对易的算符， A 若A
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A , BC B A, C A, B C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AB , C A B, C A, C B
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A , C, A C, A, B 0
的定义直接验证，其中(20)式还要根据单位算符的性质和算符的线性性质，将其作用于矢量 来证明。 练习
ˆ, p ˆ x i 和对易子代数恒等式，证明 利用基本对易关系 x
ˆn , p ˆx ˆ n 1 x i nx
n n 1 ˆ, p ˆx ˆx x i np
(16)
i ψ
以上结果对任意
r
ˆ, p ˆ i 。 中的矢量都成立，根据算符相等的定义可知 x
ˆi , x ˆj ˆi , p ˆj x p 0
根据坐标算符和动量算符的坐标表象表达式，容易验证 (17)
这个对易关系也是算符恒等式，与表象无关。 练习 证明如下对易关系
ˆ xa ei p ψ x ψ x a
ˆ xa i p
(32)
由此可知， e
的作用是将波函数平移 a ，因此称为平移算符。
ˆx ˆ ，证明由(27)式可以重新得到(18)式。此时结论依赖 (2) 对于算符的函数(30)，设 A
矩阵力学知识点
矩阵力学知识点矩阵力学是量子力学的一个重要分支，它通过矩阵和线性代数来描述物理系统的性质和演化规律。
在这篇文章中，我们将介绍一些矩阵力学的基本概念和关键知识点。
1. 矩阵和矢量在矩阵力学中，我们使用矩阵来表示物理量和物理系统。
一个矩阵可以看作是一个有序的数值集合，它们按照一定的规则排列在一个矩形的方阵中。
而矢量则是矩阵的一种特殊形式，它可以被表示为一个列矩阵或行矩阵。
2. 矩阵的运算矩阵力学中，有许多重要的矩阵运算，其中包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
矩阵加法和减法遵循矩阵对应元素相加（或相减）的规则。
数乘则是将矩阵中的每一个元素乘以一个常数。
矩阵乘法是矩阵力学中最重要的运算，它的结果是两个矩阵之间的线性组合。
3. 基态和本征值在矩阵力学中，基态是指物理系统的最低能量状态，通常用一个矢量表示。
本征值则是描述物理量的特征值，它是通过使用特征方程来计算得到的。
4. 变换矩阵变换矩阵在矩阵力学中扮演着重要的角色。
变换矩阵用于描述物理系统在不同坐标系下的变换规律，通过矩阵乘法来实现这种变换。
5. 算符和力学量算符是矩阵力学中另一个重要概念，它用于描述物理系统的力学量。
算符可以对矢量进行操作，从而得到该物理量的测量结果。
算符也可以用于描述系统的演化规律。
6. Heisenberg方程和Schrödinger方程Heisenberg方程和Schrödinger方程是矩阵力学中的两个基本方程。
Heisenberg方程描述了物理系统的演化，它通过施加算符对矢量进行变换，得到测量结果。
Schrödinger方程则是用于描述物理系统的波函数演化，它通过线性方程组来计算波函数的变化。
7. 不确定性原理不确定性原理是矩阵力学中一个非常重要的概念。
根据这一原理，无法同时确切知道一个粒子的位置和动量，而只能知道它们的概率分布。
总结：本文简要介绍了矩阵力学的一些核心概念和知识点。
矩阵力学通过矩阵和线性代数的方法描述了物理系统的性质和演化规律。
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§3.1 力学量的平均值
结论：平均值公式
§3.2 算符的运算规则
定义
§3.2 算符的运算规则
算符运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
宇称算符P
• 直角坐标 x-x, y-y, z-z • 球坐标 r不变, θπ-θ, φ-φ • 宇称算符既是厄米的，又是么正的
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
宇称算符P • 本征值为+1或-1 • 若体系的哈密顿量H在空间反演下不变，则 宇称算符P与H对易：[P，H]＝0 • 宇称守恒：若初态有确定宇称，则以后任何 时刻，体系的状态均有相同宇称
• 厄米算符的本征值为实数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的简并本征函数经重新组合后可以 正交归一
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
宇称算符P •
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
宇称算符P • 偶宇称算符
• 奇宇称算符
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
宇称算符P • 选择定则： 偶宇称算符的矩阵元只在初、末态具有相同 宇称时才不为零 奇宇称算符的矩阵元只在初、末态具有相反 宇称时才不为零
结论： • 体系的一个量子态希尔伯特空间中一个向 量 • 给定一组基矢，即给定一个表象，量子态 波函数 • 一个算符一个矩阵
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的引入
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.4 连续谱本征函数
线性厄米算符的本征函数示例
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
连续谱本征函数归一化 • 无穷空间：归delta函数，连续谱 • 箱归一化：引入周期性边界条件，分立谱
§3.4 连续谱本征函数
• 周期性边界条件
§3.4 连续谱本征函数
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
讨论： • 不确定性原理是波粒二象性的反映，与是否 测量无关 • 单缝衍射实验 • 零点能
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
• 角动量算符
§3.6 不确定性原理
• 互补原理及其哲学探讨
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
不同力学量同时有确定值的条件
若[F, G] = 0 必有共同本征函数系 • 充要条件 • 有简并时可重新组合
§3.5 量子力学中力学量的测量值
• 注意： 如果F和G不对易，必无共同本征函数系，但不 排除在某些特殊态中测量时有确定值，例如
Lx和Ly不对易，但在 得到零 中测量Lx,Ly均
§3.5 量子力学中力学量的测量值
第三章 矩阵力学基础 ——力学量和算符
复旦大学 苏汝铿
第三章 矩阵力学基础 ——力学量和算符
本章目的： 建立另外一套量子化的方案，即通过算符的 对易关系进行正则量子化的方案 研究量子力学中的算符的性质，特别是线性 厄米算符 讨论力学量的测量，特别是不确定性原理； 以及力学量随时间的变化 守恒律
算符的运动方程式
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
若F不显含t， 且[F, H]＝0，则F守恒 • 守恒量在任何态下的平均值与t无关 • 在任何态下，测F可能值，出现各种可能值的几 率分布与t无关 • 若t＝0时，F有确定值t＝t时也有确定值 若t＝0时，F无确定值t＝t时也无确定值 • 守恒量对应好量子数 • 若F与G不对易，且F、G均为守恒量能级简并
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的性质 • 厄米算符的平均值是实数(充分性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.1 力学量的平均值
问题： 何谓波函数完全地描述了一个量子态？ 力学量用算符表示的实质是什么？为什么力 学量可用算符表示？
§3.1 力学量的平均值
坐标函数的平均值：
§3.1 力学量的平均值
§3.1 力学量的平均值
§3.1 力学量的平均值
§3.1 力学量的平均值
§3.1 力学量的平均值
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
算符的矩阵形式
二维矢量空间
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.2 算符的运算规则
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
§3.5 量子力学中力学量的测量值
在F的本征态中测量F有准确值
§3.5 量子力学中力学量的测量值
§3.5 量子力学中力学量的测量值
在非F的本征态中测量F，有可能值及平均值
§3.5 量子力学中力学量的测量值
本章小节
本章小节
本章小节
本章小节
本章小节
本章小节
本章小节
完全集 如{px, py, pz}, {H, L^2, Lz}等等
简并来自不完全测量
§3.6 不确定性原理
问题： • 若算符A, B不对易，在A本征态中测A有确定 值，测B如何? • 在非A，非B的本征态中测A及B，结果如何?
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
• 厄米算符的本征函数有完备性
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的本征函数有封闭性
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
结论 • 厄米算符的本征函数系：正交、归一、完备、 封闭 • 厄米算符的本征值、平均值均为实数 • 量子力学中的力学量对应线性厄米算符