26.2.4 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(很好) 2019年自做
26.1二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
y
观察图象,回答问题
8 6 4
1 2 y x 1 2
-10 -5
2
O
-2
1 2 y x 2
5
x
10
-4
1 2 y x 1 1 2
?
我思，我进步
1 1 在同一坐标系中作出二次函数y= x² ,y= (x+1)2 2 2 1 和y= (x+1)2-1的图象. 2 1 1 1 2 二次函数y= x² ,y= (x+1) 和y= (x+1)2-1 2 2 2
复
习
回味无穷
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
2.不同点: 只是位置不同:(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (2)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x+h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象 先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向左 平移;当h<0时,向右平移),再沿对称轴整体上(下) 平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向 下平移)得到的.
y
8
顶点是 (-1,1).
y 1 x 12 1 2
X=-1
6
1 2 y x 1 1 2
4
对称轴仍是平行于y 轴的直线(x=-1);增减 性与y= 1x2类似. 1 2 2 y x
2
开口向上, 的图象可以看作是抛物线 O 1 2 当x=-1时y有 1 y= x 先沿着x轴向左平移1个 在同一坐标系中作二次函数 y= 最小值 (x-1)2 +1, 2 : 且 2 单位,再沿直线y=1向左 会是什么样? 最小值= 1 平移1个单位后 得到的.
26.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
y 1 (x 1)2 1
2
1个单位
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 x2 1 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
河南淮阳羲城中学
怎样移动抛物线 y 1 x2就可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1？
向下
直线x=h （h,k）
当x＞h时，y随x 当x=h时， 的增大而减小；
y最大值=k x＜h时，y随x的 增大而增大.
河南淮阳羲城中学
顶点式
y a x h2 k a 0
h 0, k 0 y ax2 h 0, k 0 y ax2 k
k 0, h 0 y a x h2
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
y = a(x - h )2
简记为：
上加下减常数项， 左加右减自变量。
上下平移
河南淮阳羲城中学
y = ax2 左右平移
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平 移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2 形状相
3
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式. 中考链接：
抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2 .
河南淮阳羲城中学
课堂小结
二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
26.2(4) 二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质
4米
3米
20
9
4米
8米
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为 多少时能将篮球投入篮圈?
6y
4
0,
20 9
2
（4，4）
（8，3）
8,
20 9
01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
x
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是(C)
A y=-2x2-2
B y=2x2-2
C y=-1/2(x+2)2-2 D y=-5(x-2)2-6
2.抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个
各种形式的二次函数的关系
|k| |h|
左 个右 单平 位移
y = a( x - h )2 + k
上 个下 单平 位移
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2 |h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下；
对称轴： 直线 x = h
顶点坐标：（h，k）
最值 当a>0时 x=h时，y有最小值k 当a<0时 x=h时，y有最大值k
各种形式的二次函数的关系
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
当点 B 与 O 重合时，－12m2＋4＝0， 解得 m＝2 2或 m＝－2 2， 当点 B 与点 D 重合时，如图②， 顶点 A 也与 B、D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)，∴－12m2＋4＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图②的位置继续向左平移 时，如图③，点 B 不在线段 OD 上， ∴B 点在线段 OD 上时，m 的取值范 围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
(1)试确定 a、h、k 的值； 解：a＝12，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标．
【答案】①②④
10．【中考·舟山】二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当 m≤x≤n 且
mn<0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 m＋n 的
值为( )
A．52
2.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质wyc
复习引入
y=ax2
左加 右减
上加 下减
y=ax2+k
左加 右减
y=a(x－h)2
上加 下减
y=a(x－h)2+k
温故知新 二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称轴
顶点 增减性
最值
h>0
h<0
h>0
的增大而小
y (x 2)2 3
当x= - 1时， y最大值= - 2
练习
1.已知二次函数 y (x 2)2 3， 当x_____2______时，y随x的增大而减小。 2.抛物线 y 4(x 3)2 12 的对称轴是____x_____3___，顶点是___(_-3__，__1_2__)_______. 3.抛物线 y 2(x 5)2 4 的对称轴是___x______5___，当_______x_____5______时，
y 1 (x 1)2 2 2
向下
当x≤1时， y随x的
x=1
(1，2)
增大而增大； 当x＞ 1时， y随x
当x= 1时， y最大值=2
的增大而减小
y 1 (x 1)2 2 2
向下
y 2(x 5)2 4 y 4(x 3)2 12
x=-1
当x≤-1时， y随x的
(-1，-2)
增大而增大； 当x＞ - 1时， y随x
直线x=1 (1,2)
当x≤0时， y随x的增大而减小； 当x≤1时， y随x的增大而减小； 当x＞0时， y随x的增大而增大 当x＞1时， y随x的增大而增大
二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质__教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校二次函数y=a(x-h)2+k 的图像和性质执教者：付义成教学目标：1、 会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k 的图像，并通过图像认识函数的性质。
2、 能运用二次函数的知识解决简单的实际问题。
重点难点：1、 二次函数y=a(x-h)2+k 的性质2、 把实际问题转化为数学问题情境引入：1、 由前面的知识我们知道，函数y=12 x 2的图像，向下平移1个单位，可以得到函数y=12 x 2-1的图象；函数y=12 x 2的图像，向左平移1个单位，可以得到函数y= 12（x+1）2的图象，那么函数y=12 x 2的图象，如何平移，才能得到函数y= 12（x+1）2-1的图象呢？2、 引出课题：二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质及实际应用。
自主探究： 1、探究在同一坐标系中画出y=—12 x 2，y=—12 x 2-1，y=— 12（x+1）2-1的图象，指出它们的开口方向、对称轴、及顶点。
通过观察图象探究下列问题：1、 抛物线y=—12 x 2经过怎样的变换可以得到抛物线y=— 12（x+1）2-1？ 2、 对于抛物线y=— 12（x+1）2-1，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数值取得最 值，最 值y= 。
2. 观察归纳观察：（1）抛物线y=—12 x 2，y=—12 x 2-1，y=— 12（x+1）2-1的开口方向、对称轴以及顶点坐标，猜想抛物线y=a(x-h)2+k 的开口方向、对称轴以及顶点坐标。
（2）由y=— 12 （x+1）2-1与y=—12x 2的关系，推广到抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系。
归纳：（1）抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同，位置不同。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教案、教学设计、导学案、同步练习
《第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质》教案【教学目标】1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象．2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．【教学过程】一、情境导入对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．解析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴．解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x＝1.当x＝1时，y最小值＝－2.方法总结：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y 1)，(32，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是( )A．①②③ B．①③④C．①②④ D．②③④解析：∵－b2a＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y1)到对称轴x＝－1的距离小于点(32，y2)到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确．综上所述，选B.方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－b2a；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0.【类型三】利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式将抛物线y＝13x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A．y＝13(x－2)2－1 B．y＝13(x－2)2＋1C．y＝13(x＋2)2＋1 D．y＝13(x＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝13x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝13(x－2)2－1，故选A.探究点二：二次函数y＝a(x－h)2＋k的应用【类型一】y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB＝4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO ＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－110(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低．(2)当x＝10时，y＝－110(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59.(3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x －h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质《第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质》教案【教学目标】：1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
二次函数的图像和性质 优秀教学设计(教案)
26.2 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
一、教学目标：
知识与技能
使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象，通过
“探究----感悟----总结——练习”，采用探究、讨论等方法进行归
纳总结得出函数性质。
过程与方法
通过类比二次函数y=ax2、y=ax2+k的图像，让学生经历探究函
数y＝a(x－h)2的性质的过程，体现类比的数学思想方法。
情感态度与价值观
在证明过程中培养学生良好的学习、思维习惯，以及不畏困难的
钻研精神
二、教学重难点：
重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次
函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次
函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x
－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系也是教学的难点。
三、教学过程：
（一）、复习导入
1、二次函数y=ax
2、y=ax2+k图象是什么？(1)分别说出它们的
对称轴、开口方向和顶点坐标以及增减性。
(2)说出它们所具有的公
共性质。
的图象有什么联系和区别?
2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗?
3．谈谈本节课的收获和体会。
七：板书：
函数y=a(x-h)2的图象和性质
1、复习引入
2、探究新知(得出函数的图像和性质)
3、例题讲解(1)、(2)
4、课堂练习
5、小结(1)(2)(3)
八、作业
1、教科书17页第5、7、8题
2、三导81页。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》课件
知识回顾 y＝ax2
图象
位置、开 口方向 对称性
顶点、 最值
增减性a>0yOx开口向上，在x轴上方.
a<0
y Ox
开口向下，在x轴下方.
a的绝对值越大，开口越小.
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0.
顶点坐标是（0，0）.
当x=0时，y最小值=0.
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
24
-2
-4
-6
y=−
12(x+1)
向左平移
2
1个单位长度
y=-12x2
向右平移 1个单位长度
y=-12(x-1) 2
二次函数 y=a(x±h)2(h>0) 的图象与 y=ax2 的图象的关系
y=ax2
向右平移 h 个单位长度时 向左平移 h 个单位长度时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律：左加右减
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
··· -4.5 -2
-1
2
0
-12 -2 -4.5 ···
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
-4.5 -2 ···
-12
0
-12
-2 -4.5 ···
在同一坐标系中画出函数 y=-12(x+1)2，y=-12(x-1) 2 的 图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
2.描点
3.连线
思考：y=2x2 +1， y=2x2 -1的图象与 y=2x2 的图象有什 么关系？
10 8 6 4 2
-4 -2 -2
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时)》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章 二次函数22.1二次函数的图象和性质 二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和性质教学设计 第 1 课时一、教学目标1．使学生理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系． 2．会确定二次函数y =ax 2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．二、教学重点及难点重点：理解二次函数y =ax 2＋k 的性质及其图象与y =ax 2的图象之间的关系． 难点：正确理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系以及二次函数y =ax 2＋k 的性质．三、教学用具多媒体课件，三角板或直尺。
四、相关资源《二次函数y =ax 2图象与性质的复习》动画，《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象画法》动画，《《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象》图片，《函数2133y x =+，2123y x =-》动画）。
五、教学过程【复习提问】你能说出二次函数y =ax 2的性质吗？师生活动：教师提出问题，全班学生回顾，一起回答问题．小结：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2y ax =，|a |越大，抛物线的开口越小，|a |越小，抛物线的开口越大．如果a ＞0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大； 如果a ＜0，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．设计意图：让学生温习已学的知识，巩固上节课的内容，为本节课作铺垫． 【合作探究】1．在同一直角坐标系中，画出二次函数y =2x 2＋1，y =2x 2－1的图象．师生活动：师生一起完成列表，再由学生画出图象，交流成果，如图所示，教师投影订正．在学生画函数图象时，教师巡视指导．解：（1）列表：（2）描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象．设计意图：通过学生动手画二次函数2y ax k =+的图象，给学生创设活动时间和空间，体现教师是主导，学生是主体的教学地位，让学生经历知识的发生、发展的过程，并通过观察、分析、探索出二次函数2y ax k =+的图象的有关性质，培养学生数形给合的思想．2．思考：（1）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【知识探究】画二次函数平移的图象》，可以对y =ax 2图象上下平移得出y =ax 2±k 的图象,观察、分析函数y =ax 2±k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.师生活动：让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见．教师聆听，关注学生回答是否正确．小结：抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口都是向上，对称轴都是y 轴，顶点分别是（0，1）与（0，－1）．（2）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1与抛物线y =2x 2有什么关系？师生活动：让学生观察三个函数图象，说出把抛物线y =2x 2的图象向上平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2＋1；把抛物线y =2x 2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2－1．（3）抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2有什么关系？师生活动：四人一小组，小组讨论、交流．教师巡查，关注学生是否认真讨论，能否讨论归纳得出结论．归纳：抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2形状相同，位置不同；当k ＞0时，抛物线y =ax 2向上平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ； 当k ＜0时，抛物线y =ax 2向下平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ．设计意图：通过分析、小组合作探究，引导学生完成对知识的归纳，符合学生的认知规律，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力，完成由实践上升到理论这一认知过程．【例题分析】例 分别在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：2133y x =+，2123y x =-。
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.二次函数t;0
a<0
h>0 图
象 h<0
二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线 x=h 是 (h,0) . 2.二次函数y=a(x-h)2的性质
,顶点坐标
a的符号 开口方向
对称轴 顶点坐标
a>0 向上
3.(沈阳中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是( D )
4.抛物线y=-2(x-1)2的顶点坐标和对称轴分别是( B )
(A)(-1,0),直线x=-1
(B)(1,0),直线x=1
(C)(0,1),直线x=-1
(D)(0,1),直线x=1
5.对于函数y=-3(x+1)2,当 x>-1 得最 大 值,最大值y= 0 .
类型二:二次函数y=a(x-h)2的图象和性质的应用 例2 已知抛物线y=5(x-1)2,下列说法中,你认为不正确的是( B ) (A)顶点坐标为(1,0) (B)对称轴为直线x=0 (C)当x>1时,y随x的增大而增大 (D)当x<1时,y随x的增大而减小
【思路点拨】 根据二次函数y=5(x-1)2的性质,可利用排除法求解.
抛物线 y=2(x+3)2 y=-3(x-1)2 y=-4(x-3)2
开口方向 向上 向下 向下
对称轴 直线x=-3 . 直线x=1 直线x=3
顶点坐标 (-3,0) . (1,0) (3,0)
【思路点拨】 开口方向以a的正负确定,a>0,开口向上;a<0,开口向下;找对称轴 时可以令y=a(x-h)2中的x-h=0,从而求得x=h,即对称轴为直线x=h,只要求出h值则 顶点坐标即为(h,0).
27.2.4二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质___课件
例2.按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物 线的解析式； （2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点 坐标是（1，0）的抛物线解析式； （3）已知二次函数图像的顶点坐标（1，-8），且图像经过点（2， -2）。求此函数解析式；
9
例1：根据箭头叙述下列函数的平移关系
3 2 y ( x 1) 4
向上平移 3个单位 向右平移 4个单位 向下平移
向上平移
2个单位
3 2 y ( x 1) 2 4
向右平移 4个单位
3 2 y ( x 3) 3 4
5个单位
向左平移 8个单位
3 2 y ( x 5) 2 4
向左(右)平移 2 向上(下)平移y=a(x－h)2+k |h|个单位 y=a(x－h) |k|个单位 向上(下)平移 y=ax2+k 向左(右)平移 y=a(x－h)2+k |h|个单位 |k|个单位
思考：抛物线y=a(x－h)2+k开口、对称轴、顶点、极值有何特点？ (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k). (4)当x=h时,y极值=k;（a>0,有最小值；a<0有最大值）
5
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
向下
向上 向下
直线x=3
直线x=2
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
o
x
函数 函数
的图象
向右 平移 1个 单位
的图象
向上平移 2个单位
函数
向上平移 2个单位
函数
的图象
向右 平移 1个 单位
的图象
【规律方法】
（当k,h都大于0时）的图象特点. 的图象
的图象
的图象
直线x=h
直线x=h
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
顶点坐标
(h,k) (h,k)
二．二次函数
.2 二次函数的图象与性质
● 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质 的过程.
体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
能够作出y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象，并能理解 它与y=ax2的图象的关系.理解a，h和k对二次函数图象的影响.
能够正确说出y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对 称轴和顶点坐标.
1.函数
的图象的顶点坐标是
； (0,3)
开口方向是
向上；最
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数
值是 小
图象向
平移
个单位得到.
.
3
的 y=-2x2
3.把函数y=-上3x2的图象向下平移32个单位可得到函数
__________的图象.
y=-3x2-2
探究一
在同一坐标系中画出下列函数 的图象：
思考：它们的图象之间有 什么关系？
4 课题：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质-精选文档
课题：二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质【学习目标】1．使学生能利用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象．2．让学生经历二次函数y ＝a(x －h)2性质探究的过程，理解函数y ＝a(x －h)2的性质，理解二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系．【学习重点】掌握二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质．【学习难点】二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质的运用．【导学流程】一、情景导入 感受新知问题1：说说二次函数y ＝ax 2＋k 的图象的特征．问题2：二次函数y ＝x 2＋3的图象是一条抛物线，它的开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，3)；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当x ＝__0时，y 取最小值．这节课我们继续探究二次函数y ＝a(x －h)2的图象．(板书课题)二、自学互研 生成新知【自主探究】阅读教材P 33～P 35“思考”的内容，思考并填写课本中的问题，然后完成下列问题：①画出二次函数y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x －1)2的图象；在列表时，你会发现在0的两边等距离选取x 值时，对应的y 值不等，这样描出的点不对称，因此，需要修正x 的取值．请填写下表，然后对称性描点． x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－12(x ＋1)2… －92 －2 －12 0 －12 －2 －92 －8 －252 … x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－12(x －1)2… －252 －8 －92 －2 －12 0 －12 －2 －92 … ②观察图象，说出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标(提示：把过(－1，0)且与x 轴垂直的直线记作直线x ＝－1)．y ＝－12(x ＋1)2的开口向下，对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，0)；y ＝－12(x －1)2的开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，0)．【合作探究】抛物线y ＝a(x －h)2有怎样的性质？与y ＝ax 2有什么联系？归纳：1.二次函数y ＝a(x －h)2(a ≠0)的图象性质：开口方向：a>0时，开口向上，a<0时，开口向下，顶点(h ，0)，对称轴x ＝h ．最值：a>0时，有最小值y ＝0；a<0时，有最大值y ＝0，增减性：a>0且x>h 时，y 随x 的增大而增大，x<h 时，y 随x 的增大而减小；a<0且x>h 时，y 随x 的增大而减小，x<h 时，y 随x 的增大而增大．2．y ＝ax 2和y ＝a(x －h)2的图象有如下关系：y ＝ax 2――→h>0，向右平移h 个单位h<0，向左平移|h|个单位y ＝a(x －h)2. 3．由抛物线y ＝ax 2的图象通过平移得到y ＝a(x －h)2的图象左右平移的规律是(四字口诀)左加右减．4．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状相同，只是开口方向不同，且|a|越大，开口越小． 师生活动：①明了学情：观察学生的图象的画法和阅读图象的能力．②差异指导：根据学情进行针对性指导．③生生互助：小组内相互交流研讨、修正结论，形成统一认识．三、典例剖析 运用新知【合作探究】典例：抛物线y ＝15(x －4)2的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，0)，当x <4时，y 随x 的增大而减小；当x ＝4时，函数y 取得最小值，值为__0．变式1：把抛物线y ＝x 2向左平移2个单位，所得抛物线的函数表达式为( B )A ．y ＝x 2＋2B ．y ＝(x ＋2)2C ．y ＝x 2－2D ．y ＝(x －2)2变式2：已知二次函数y ＝3(x －a)2的图象上，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是a ≤2． 师生活动：①明了学情：了解学生对y ＝a(x －h)2(a ≠0)的图象和性质的掌握情况．②差异指导：根据学情适时个别或分类点拨．③生生互助：先独立思考完成，再小组内交流、讨论，互纠并找出原因．四、课堂小结 回顾新知(1)抛物线y ＝a(x －h)2的开口方向、对称轴和顶点坐标．(2)图象的平移：抛物线y ＝ax 2――→h ＞0向右平移|h|个单位h ＜0向左平移|h|个单位抛物线y ＝a(x －h)2 五、检测反馈 落实新知1．对于抛物线y ＝12(x －2)2，下列说法错误的是( D ) A ．开口向上B ．对称轴是直线x ＝2C ．最低点的坐标是(2，0)D ．当x>2时，y 随x 的增大而减小2．对于任何实数h ，抛物线y ＝x 2与抛物线y ＝(x －h)2( A )A ．形状与开口方向相同B ．对称轴相同C ．顶点相同D ．都有最高点3．抛物线y ＝3(x －2)2可以由抛物线y ＝3x 2向右平移2个单位得到．4．二次函数y ＝－2(x －1)2的图象开口方向向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是直线x ＝1．六、课后作业 巩固新知(见学生用书)。
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(2)方法一： 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2， ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
4.画出下列函数草图，并说出抛物线的开口方向、对称轴、 顶点坐标，增减性、最大值或最小值.
（1）y= 2（x－5）2 + 4
（2）y= −3（x+6）2 －2
5.比较二次函数y ax2, y ax2 k, y a(x h)2, y a(x h)2 k的形状、开口方向、开口大小、 对称轴、顶点坐标
方法二： ∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点 (1，－4)，且平行于y轴的直线， ∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2.
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的 坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数 解析式．
例3 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根 水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线 形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度 为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
课外提升
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示， 则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是 二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数 y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
例2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两 点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．
y=a(x-h)2+k
a＞0
a＜0
h
图象
K
K
h
开口方向 对称轴
顶点坐标
向上
向下
直线 x = h （h,k）
性质
当x＜h时，y随x的增大 而减小；
当x＞h时，y随x的增大 而增大.
当x=h时，y最小值=k
当x< h时，y随x的增大 而增大；
当x＞h时，y随x的增大 而减小.
当x=h时，y最大值=k
1.抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 2.抛物线y =－5(x+2)2 －6由抛物线y=－5x2怎样平移得到?
6.抛物线 y 3(x 4)2 8先向右平移2个单位，再向上平 移4个单位得到的抛物线是__________ .
7.将抛物线 y （2 x 2）2 3先向下平移7个单位，再向左平 移3个单位得到的抛物线是__________ .
小结 拓展 二次函数 y=a(x-h)²+k 与 y=ax²的关系
4.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
驶向胜利的 彼岸
1.到目前为止，我们研究了哪几种二次函数的图象和性质？ 你能说明它们之间的关系吗？
y
x
向上平移3个单位 2.把y=－2x2的图象
向左平移2个单位
y=－2x2+3 y=－2(x+2)2
3.二次函数y=－2(x+2)2+3的图象是否可以由y=－2x2平移 得到？你认为该如何平移呢？请画出草图说明平移过程 .
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. y
因此可设这段抛物线对应的函数是 3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
A 2
∵这段抛物线经过点(3,0)， 1
∴ 0=a(3－1)2＋3.
B(1，3)
解得:
a=－
3 4
O 12
因此抛物线的解析式为:
y=
－3 4
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
驶向胜利 的彼岸
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增 大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x 的增大而减小 .
平移方法: y=ax2 向|左h|(个右单)平位移y=a(x－h)2移向|上k|(个下单)平位y=a(x－h)2+k
y=ax2
向上(下)平 移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平 移|h|个单位
y (h 0, k 0)
y
y ax2
x
y a(x h)2 +k (h 0, k 0)
二次函数y=－2(x+2)2+3的图象是否可以由y=－2x2平移得到？
y
y 2x 22 3 3
y
y 2x 22 3
y 2x2 3
3
-2 O
X
-2 O
X
y 2x2 y 2x 22
y 2x2
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同. 把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线 y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
C(3,0)
3x
例4.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是 由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数 的解析式.
y=a(x-h)2+k
2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴. (2)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单 位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0 时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
动画演示：将抛物线y 1 x2通过平移得到抛物线y 1 (x 1)2 1
2
2
y 1
y
1
(x
-5 -4 -3
1)2 1
-2
-1-1 -2
o
1
2
3
4
5
x
2
-3
-4
-5
-6
-7
-8 -9
-10
（1）将二次函数 y 2x2 的图象怎样平移得到 y 2(x 4)2 5 的图象？ （2）画出 y 2(x 4)2 5 的草图，并说出开口方向、 对称轴、顶点坐标、性质、最大值（最小值）.
3.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向上 向下 向上 向下
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1, －2 ) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )