宜阳一高五月第2次模拟

正视图俯视图宜阳一高2012年高考五月冲刺白金考卷数 学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A a =，b ，}c 中任意两个不同元素的和的集合为{1，2，}3，则集合A 中 的任意两个不同元素的差的绝对值所组成的集合为（ ）A ．{1，2，}3B ．{1，}2C ．{0，}1D ．{0，1，}22．设i 是虚数单位，则复数=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+ 2012313i i （ ）A ．i -B ．-1C ．1D ．i3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如 图所示，则它的体积是 A3225π B．3225πC．3225π D．12825π 4．关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； ④若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥.n ． 其中真．命题的序号是 A ．①② B ． ③④ C ．①④ D ．②③ 5．“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件6. 已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 15=45,M 为a 5, a 11的等比中项，则M 的最大值为（ ）(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 367. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象可由函数y=cosx 的图象（纵坐标不变）（ ）(A) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位 (B) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 (C) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位 (D) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位8．已知dx x a ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ06cos 2，则二项式52⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 的系数为 （ ）A ．10B ．-10C ．80D ．-809. 某运输公司有7辆载重量为8吨的J 型卡车与4辆载重量为10吨的5型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务.己知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车5次，B 型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A 型车160元，B 型车180元.该公司每天合理派出A 型车与B 型车，使得每天所花的最低成本费为（ ）(A) 1200 元 (B) 1320 元 (C) 1340 元 （D) 1520 元10. 形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0, 1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为 (A)(B)(C)(D)11. 已知双曲线C:(a >09 b >0)的右焦点为F ，过F 且斜率为的直线交C 于A,B 两点,若，则C 的离心率为（ ）(A) (B) (C) 2 (D)12．定义在（—1，1）上的函数f (x )满足：)1()()(xyy x f y f x f --=-；当)0,1(,-∈y x 时，有 0)(>x f ；若221111()()()()5111201220121P f f f f r r =++++++-+- ， 1()2Q f =，R ＝f (0)．则P ，Q ，R 的大小关系为A ．R Q P >>B ．P R Q >>C ．R P Q >>D ．不能确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E 是侧棱1AA 的中点，F 是正方形ABCD 的中心，则直线EF 被球O 所截得的线段长为 ．14．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6+15=0，则d 的取值范围是 ．15．如图①②③…是由花盆摆成的图案,根据图中花盆摆放的规律,第n 个图案中花盆数n a =(3)(2)(1)16.在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =则ABC ∆的面积S 的最大值为 ． 三．解答题（本题共6小题，满分共70分）17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足).c BA BC cCB CA -⋅=⋅（1）求角B 的大小；（2）若||BA BC -=ABC ∆面积的最大值．18．（本小题满分12分）如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3AB =，4BC =，作1BB 1AA ，分别交11A D ，1AD 于点1B ，P ，作1CC 1AA ，分别交11A D ，1AD 于点1C ，Q ，将该正方形沿1BB ，1CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求四棱锥A BCQP -的体积； （3）求平面PQA 与平面BCA 所成角的余弦值．19. 某电视台有A 、B 两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A ，丙丁两人各自独立进C 1B 1A 1D 1C 1B 1A 1CBAQPPQDC B A行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.(I )求游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关成功的人数的概率； (II) 记游戏A 、B 被闯关成功的总人数为，求的分布列和期望. 20．已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．21.如图，过点(0,2)D -作抛物线22(0)x py p =>的切线l ，切点A 在第二象限．.（1）求切点A 的纵坐标；（2）若离心率为23的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 恰好经过切点A ，设切线l 交椭圆的另一点为B ，记切线l 、OA 、OB 的斜率分别为k k k k k k 42,,,2121=+若，求椭圆方程．宜阳一高2012年高考五月冲刺白金卷（参考答案）BCCDA,ABDAD,AC.,(),⎡-∞-⋃+∞⎣,1332+-n n,1．【解析】不妨设a < b < c ，则：123a b a c b c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩， 解之的012a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 故121a b a c b c ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，由此知所求集合为{1，}2．12．【解析】∵函数f (x )满足：)1()()(xyy x f y f x f --=-；当)0,1(,-∈y x 时，有0)(>x f ；令0==y x 得f (0)=0；令x =0得()()y f y f -=-．∴()f x 在（—1，1）为奇函数，单调减函数且在（—1，0）时，()f x 0>，在（0，1）时()f x 0<；∴R ＝f (0)=0，)21(f Q =0R <<．∵)11()1()1111111()1)1(1()11(2+-=+⋅-+-=-+=-+r f r f r r r r f r r f r r f ,∴221111()()()()5111201220121P f f f f r r =++++++-+- 111111[()()][()()][()()]233420122013f f f f f f =-+-+⋅⋅⋅+-11()()22013f f =-=Q —1()2013f Q >． P =11()()022013f f R -<<． 14．【解析】因为01565=+S S ，08)105(221≥-=+d d a ，则d 的取值范围),22()22,(+∞⋃--∞ （等于不等的转化）另解：0110922121=+++d d a a （确定主元1a ）0≥∆得．16.【解析】由3A π=，得203B π<<，根据正弦定理，得sin 4sin sin BC AC B B A ==，2sin 4sin()sin 3BC AB C B A π==-，12sin sin()23S AB AC A B B π=⋅⋅=-s i n (236x π=-，其中203B π<<，故得S的最大值为17．[解析】：（1）条件可化为：)cos cos c B b C -= ．根据正弦定理有s i n s i n)c o ss i n c o s A C B B C-=．cos sin()A B C B =+cos sin A B A =．因为sin 0A >，所以c o s B =B π=． …………………6分 （2）因为 ||B A BC -所以 ||CA，即 26b =， 根据余弦定理2222c o s ba c a B=+-，可得226a c =+．有基本不等式可知2262(2ac ac ac =+≥=．即3(2ac ≤， 故△ABC 的面积1sin 2S ac B ==≤． 即当a =c=236+时， △ABC 的面积的最大值为2)12(3+． ……… 12分18．．解：（1）在正方形11ADD A 中， 因为5CD AD AB BC =--=， 所以三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =． 因为3AB =，4BC =，所以22A B B C A C +=，所以AB BC ⊥．因为四边形11ADD A 为正方形，11AA BB ，所以1AB BB ⊥，而1BC BB B = ，所以AB ⊥平面11BCC B ．----------- 4分（2）因为AB ⊥平面11BCC B ，所以AB 为四棱锥A BCQP -的高．因为四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，所以梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=． 所以四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCQP V S AB -=⨯=．-----------8分（3）由（１）（２）可知，AB ，BC ，1BB 两两互相垂直． 以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,3A ，()0,0,0B ，()4,0,0C ，()0,3,0P ，()4,7,0Q ，所以AP =u u u r （０,３，－３），A =u u r Ｑ（４,７，－３）， 设平面PQA 的一个法向量为1(,,)x y z =n ．则1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ＡＰＡＱn n uuur uuu u r ，即3304730y z x y z -=⎧⎨+-=⎩ 令1x =-，则1y z ==．所以1(1,1,1)=-n ．显然平面BCA 的一个法向量为2(0,1,0)=n ． 设平面PQA 与平面BCA 所成锐二面角为θ， 则121212cos cos ,θ⋅===n n n n n n ．所以平面PQA 与平面BCA ． ------- 12分19. 解：（I ）设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件A i (i =0，1，2)，“j 个人游戏B 闯关成功”为事件B j (j =0，1，2)，则“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0． ∴P (A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0)=P (A 1B 0)+P (A 2B 1)+P (A 2B 0)=P (A 1)·P (B 0)+P (A 2)·P (B 1)+P (A 2)·P (B 0)C 1B 1A 1D 1C 1B 1A 1CBAQPPQDC B A=202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C 367=． 即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367．……4分 （II ）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．361)31()21()0(202202=⋅⋅==C C P ξ，61366)21(3132)31(2121)1(2021222212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C P ξ，361331322121)21()32()31()21()2(1212222222222222=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C C C P ξ， 3136122121)32(3132)21()3(1222212222==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==C C C C P ξ， 91364)32()21()4(22==⋅==ξP ．∴ ξ的分布列为：10分 ∴ E ξ=37914313361326113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． ………………………12分 20．解：（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x'=+．又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直， 所以(1)12f a '=+=，即1a =．--------- 4分（2）由于21()ax f x x +'=． 当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a=-∈+∞．当1(0,)x a ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．----------- 8分（3）当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞．令1()ln(1)251g x x x x =---+-．2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减．又(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负． ------- 10分 所以当[2,)x ∈+∞时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+-≤．故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成立．--------- 12分。