广东省深圳高级中学09-10学年高一下学期期末考试(数学)
(高一下数学期末10份合集)广东省深圳市高一下学期数学期末试卷合集
2024届广东省深圳市高级中学数学高一下期末调研试题含解析
2024届广东省深圳市高级中学数学高一下期末调研试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在 ABC 中， 80,100,45a b A ===︒，则此三角形解的情况是( ) A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解2．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ） A ．22(6)(5)10x y -+-= B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-= D ．22(5)(6)10x y +++=3．51(1)x x++展开式中的常数项为（ ） A ．1B ．21C ．31D ．514．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ） A ．1B ．5C ．9D ．45．同时具有性质：“① 最小正周期是π；② 图象关于直线3x π=对称；③ 在5[,]6ππ上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ） A ．cos()26x y π=+B ．5sin(2)6y x π=+C ．cos(2)3y x π=-D ．sin(2)6y x π=-6．为了治疗某种疾病，研制了一种新药，为确定该药的疗效，生物实验室有6只小动物，其中有3只注射过该新药，若从这6只小动物中随机取出2只检测，则恰有1只注射过该新药的概率为( ) A ．23B ．35C ．25D ．157．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称8．使函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++是偶函数，且在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数的θ的一个值是( )A ．6π B ．3π C ．23π-D ．56π-9．函数()22f x x x m =--的零点有两个，求实数m 的取值范围（ ） A ．10m -<<B ．0m >或1m =-C ．0m >或10m -≤<D ．01m <<10．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届深圳高级中学数学高一下期末检测试题含解析
2024届深圳高级中学数学高一下期末检测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4π B ．2π C ．34π D ．π2．已知等比数列{}n a ，若141,8a a =-=，则3a =( ) A ．22B ．22-C ．4D ．4-3．一个扇形的弧长与面积都是3，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．1radB ．32rad C ．2rad D ．52rad 4．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（ ） A ．12B ．32C ．3D ．235．直线2320x y +-=的斜率为（ ） A ．23-B ．1-C ．32-D ．126．如图：样本A 和B 分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s ，则（ ）A ．,AB A B x x s s >> B ．,A B A B x x s sC ．,A B A B x x s s ><D ．,A B A B x x s s <<7．在正三棱锥P ABC -中，4,AB 3PA ==，则侧棱PA 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ） A ．14B ．154C ．18D ．6388．若不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则+a b 的值为（ ） A ．12B ．14-C ．12-D ．109．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，ABC ∆是正三角形，若1223AA AB ==，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A ．323πB ．8πC ．16πD ．64π10．在等差数列{}n a 中，1713a a a π++=，则212cos()a a +的值=（） A ．32-B ．12-C ．12D ．32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
深圳市高一下学期期末考试数学试卷含答案
A D CB E 深圳市高一年级第二学期期末考试数学题卷本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．已知角θ的顶点与原点重合, 始边与x 轴正半轴重合, 终边过点()12P ,-, 则tan 2=θ（A ）43 （B ）45 （C ）45- （D ）43- 2．已知3cos 5α=，3(,2)2παπ∈，则cos()4πα-= （A ）7210 （B ）7210- （C ）210 （D ）210- 3．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出 的结果为56，则判断框中应填入的条件是 （A ）5i < （B ）6i < （C ）5i ≥ （D ）6i ≥ 4．已知3sin(),cos(2)25παπα-=-=则（A ）2425- （B ）2425（C ）725-（D ）7255．平面向量a 与b 的夹角为60°,(2,0),1,==a b 则2+=a b（A ）3（B ）23（C ）4（D ）126．如图，在△ABC 中,DC BD 21=,ED AE 3=，若a AB =,b AC =，则=BE（A ）b a 3131+ （B ）b a 4121+-（C ）b a 4121+ （D ）b a 3131+-7．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．某地对涉嫌酒后驾车的28800人进行血液检测，根据检测结果绘制的频率分布直方图如图所示．则这28800人中属于醉酒驾车的人数约为 A ．8640 （B ）5760 （C ）4320 （D ）28808．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为 （A ）31 （B ）41 （C ）51 （D ）61 10．下边茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数为甲组数据的中位数，则,x y 的值分别为 （A ）4，5（B ）5，4 （C ）4，4 （D ）5，511．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 （A ）14 （B ）π8 （C ）12（D ）π4（第7题图）12．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 （A ）关于点)0,6(π对称 （B ）关于6π=x 对称 （C ）关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 （D ）关于12x π=对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则p q +的值为__________. 14．若tan 13θ=，则cos 2θ=__________. 15．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=__________.16．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为__________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分． 17．（本小题满分10分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． 18. （本小题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+. （1）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （2）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 19.（本题满分12分）已知向量()sin ,cos m A A =,()3,1n =-,且1m n ⋅=，A 为锐角.（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试， 求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？21.（本题满分12分）已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图象上一个最低点为2π(,1)3M -． （1）求()f x 的解析式；（2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域．某商场对A 商品近30 天的日销售量y （件）与时间t （天）的销售情况进行整理，得到如下数据：经统计分析，日销售量y （件）与时间t （天）之间具有线性相关关系.（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法原理求出y 关于t 的线性回归方程ˆybt a =+； （2）已知A 商品近30 天内的销售价格Z （元）与时间t （天）的关系为：20,(020,N)100,(2030,N)t t t z t t t +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩，，根据（1）中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，A 商品的日销售额最大.（参考公式： 121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y b t =-⋅）第二学期期末考试 高一年级数学试题参考答案一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．13．45. 15．6．16．58． 三、解答题：17．（本小题满分10分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． 解：（1）∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ， ∴sin cos 21θθ=，即θθcos 2sin =. …… 2分 ∵ 1cos sin 22=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 解得55cos ,552sin ==θθ. …… 5分 （2）∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.∵3sin(), 5θω-=∴ 4cos()5θω-==. …… 7分 ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+- ……9分=分18．（本小题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+. （1）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （2）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值.解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos x x 11()1sin 12222x x +=++………（2分） sin()13x π=++ ………………………………………………（4分）（1） 函数)(x f 的值域是[]0,2；………………………………………………（5分） 令πππππk x k 22322+≤+≤+-，解得52266k x k ππππ-+≤≤+………………（7分） 所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-++∈.……………………（8分） （2）由9()sin()1,35f παα=++=得4sin()35πα+=,因为2,63ππα<<所以,23ππαπ<+<得3cos()35πα+=-,………………………（10分） 2sin(2+)sin 2()33ππαα=+ 432sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯ 2425=-………（12分）19．（本小题满分12分）已知向量()sin ,cos m A A =,()3,1n =-,且1m n ⋅=，A 为锐角.（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（1）由题意得3sin cos 1m n A A =-=………2分2sin()16A π-= ， 1sin()62A π-= ………4分由A 为锐角 ， 得(,)663A πππ-∈-,,663A A πππ-== ………6分（2）由（1）可得1cos 2A = ………7分 所以()cos 22sin f x x x =+ 212sin 2sin x x =-+ 2132(sin )22x =--+ ………9分因为x R ∈，则sin [1,1]x ∈-，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32. 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-， ………11分 故所求函数()f x 的值域是3[3,]2-. ………12分20．（本小题满分12分）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人, ……………… 1分第3组的频率为300.300100=, ……………… 2分 频率分布直方图如下: ……………… 5分（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人, ……… 6分第4组:206260⨯=人, ……… 7分第5组:106160⨯=人, ……… 8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。
广东省深圳市高级中学2024届数学高一下期末教学质量检测试题含解析
广东省深圳市高级中学2024届数学高一下期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量()1,a m =，()2,5b =，若//a b ，则m =（ ） A ．1B ．52-C ．25-D ．522．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是A ．)+∞ B ．[)2,+∞C ．(D ．(]0,2 3．已知函数()()32110,032f x ax bx x a b =+->>在1x =处取得极小值，则14a b+的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．9D ．104．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为 （ ）A ．B C ．12D ．235．平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，将其终边绕O 点逆时针旋转34π后与单位园交于点B ，则B 的横坐标为（ ）A ．5-B ．10-C ．10D ．10-6．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V ＝112×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A ．3B ．3.14C ．3.2D ．3.37．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c b c a bc +++-=，那么A =（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒8．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．两条平行直线250x y --=与42350x y -+=间的距离等于（ ）A ．12B ．2C ．52D ．410．若圆()()()222120x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线260x y -+=的距5r 的取值范围是（ ） A ．(0,25B ．5,35C ．5,25D ．(25,35二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省深圳市高级中学高中部2022-2023学年高一下学期期中数学试题
广东省深圳市高级中学高中部2022-2023学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥-P ABC 的三个侧面都相切，则球2O 的表面积为__________.参考答案：1．C【分析】根据题意设()i R z a a =Î，根据复数的四则运算可得出关于a 的等式与不等式，求出a 的值，即可得解.【详解】因为z 为纯虚数，设()i R z a a =Î，则()()()()22228i 2i 8i 448i z a a a ++=++=-++，由题意可得2048040a a a ¹ìï+¹íï-=î，解得2a =，因此，2i z =.故选：C.2．B【解析】根据空间中直线与直线的位置关系，以及直线与平面的位置关系，对选项进行逐一判断即可.【详解】对A ：若m //l ，则m 与α，β都平行，或m 在平面a ，或者b 内，故A 错误；对B ：若m 与α，β都平行，容易知m //l ，故B 正确；对C ：若m 与l 异面，则m 与α，β都相交，或m 与其中一个平面相交，与另一个平行，故C 错误；对D ：若m 与α，β都相交，则m 与l 异面，或者m 与l 相交，故D 错误.综上所述，B 选项正确.故选：B.【点睛】本题考查空间中直线与平面，直线与直线之间的位置关系，属基础题.3．B则1222MB MC MD AM +==´uuur uuu u r uuu u r uuuu∴MA MB MC MA AM ++=+uuu r uuu r uuu u r uuu r uuuu r 对于D ，∵AM x AB y AC =+uuuu r uuu r uuu 故选：ACD ．11．ACD【分析】由正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角形三边关系及基本不等式可求解。
广东省深圳市高级中学高一数学下学期期末考试试题 理
高级中学2014—2015学年第二学期期末测试高一理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（本卷共60分）一、 选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={}|(1)(4)0x x x +-<，集合B={}|2sin3y y x =，则A B= ( )A (-1 , 2] B ( 2 , 4 ) C [-2 , -1 ) D [-2 , 2]答案 C2.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 （ ）A. ()3f x x =-B. 2()3f x x x =- C . ()1xf x x =+ D.2()log f x x =-答案：C3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2答案 D4.在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状是 ( )．A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B5.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是( )答案：D6. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = A ．35 B ．33 C ．3l D ．29 答案 C7.在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M ，N 分别是对角线AC 与BD 的中点，则MN 与( ) A ．AC ，BD 之一垂直 B ．AC ，BD 都垂直 C ．AC ，BD 都不垂直D ．AC ，BD 不一定垂直答案 B8.设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥110y y x x ，则()2x y +的最大值是 （ ）A 9B 3C 2D 1 答案 A9.设l 为直线，αβ、两个不同的平面．下列命题中正确的是 ( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β答案 B10. 两圆相交于两点(1,3)A 和(, )B m n ，且两圆圆心都在直线20x y --=上，则m n +的值是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案 D11．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1答案 C12.已知向量a 与b 的夹角为θ，定义b a ⨯为a 与b 的“向量积”，且b a ⨯是一个向量，它的θ=，若(2,0)u =r ，(1,u v -=r r=+)(v u （ ）.A 34.B 3 .C 6 .D 32答案 D第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，则b a ＝____________.14.等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,若1171024,a S S ==.则n S 取最大值时n 的值为_____________. 答案 13或1415.已知正方体的棱长为a a=________． 答案 216.曲线1y =(2)4y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是_______________.答案 53124⎛⎤⎥⎝⎦， 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 17.（本题满分10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B2－1且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2B2－1＝－3cos 2B ，∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3.又B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3 …………5分(2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ，得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式， 得ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，即S △ABC 的最大值为 3.……10分18.（本题满分12分）如图，正四面体S ABC -中，其棱长为2. （1）求该几何体的体积；（2）已知M ，N 分别是棱AB 和SC 的中点.求直线BN 和直线SM 所成的角的余弦值. 223ABC SO =MC ，取MC BN NE =2，直线和直线所成的角的余弦值为B M AN CS19.（本题满分12分）已知直线l :y =k (x +22)与圆O:224x y +=相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S .（1）试将S 表示成k 的函数S (k )，并求出它的定义域； （2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值. 解：:如图,(1)直线l 议程 ),0(022≠=+-k k y kx 原点O 到l 的距离为2122kk oc +=弦长222218422K K OC OA AB +-=-=△ABO 面积2221)1(2421K K K OC AB S +-==),0(11,0≠<<-∴>K K AB )011(1)1(24)(222≠<<-+-=∴K k kk k k S 且 ……6分(2) 令.81)43(224132241)1(24)(22222+--=-+-=+-=∴t t t k k k k S∴当t=43时, 33,31,431122±===+k k k 时, 2max =S ……12分 20. （本题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且12AA AB ==(1) 求证：AB BC ⊥；(2) 若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，求锐二面角1A AC B --的大小.BA 1CAB 1C 1,121,112<<=+t tk解：（1）证明：如右图，取1A B 的中点D ，连接AD ， 因1AA AB =，则1AD A B ⊥ 由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ， 且平面1A BC侧面11A ABB 1A B =，得1AD A BC ⊥平面，又BC ⊂平面1A BC ， 所以AD BC ⊥.因为三棱柱111ABC A B C —是直三棱柱， 则1AA ABC ⊥底面， 所以1AA BC ⊥. 又1=AA AD A ，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥. ………………6分（2）连接CD ，由（1）可知1AD A BC ⊥平面，则CD 是AC 在1A BC 平面内的射影 ∴ ACD ∠即为直线AC 与1A BC 平面所成的角，则=6ACD π∠在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点∴ 112AD A B ===2ADC π∠，=6ACD π∠AC = 过点A 作1AE AC ⊥于点E ，连DE由（1）知1AD A BC ⊥平面，则1AD AC ⊥，且AEAD A =∴ AED ∠即为二面角1A AC B --的一个平面角BA1CAB 1C 1DE且直角1A AC ∆中：11A A AC AE AC ===又AD =2ADE π∠∴ sin =AD AED AE ∠==1A AC B --为锐二面角∴ =3AED π∠，即二面角1A AC B --的大小为3π…………12分 21. （本题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项, 数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上.(1) 求,n n a b ；(2) 若数列{}n b 的前n 项和为n B ，比较12111nB B B +++与2的大小； (3) 令1212nn nb b b T a a a =+++，是否存在正整数M ，使得n T M <对一切正整数n 都成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由。
广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试数学试卷
广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试数学试卷一、单选题 1．命题“210,0x x x∃>-<”的否定为（ ） A ．210,0x x x ∃>-≥ B ．210,0x x x ∃≤-≥ C ．210,0x x x∀>-≥ D ．210,0x x x∀≤-≥ 2．从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.0612m f m <>⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（元）决定，其中0m >，m <>是不小于m 的最小整数（如：33<>=， 3.84<>=， 5.16<>=）， 则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为（ ） A ．4.24元B ．4.77元C ．5.30元D ．4.93元3．若函数()f x 的定义域为R ，则“(2)(3)f f <”是“()f x 是增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．甲、乙两人解关于x 的不等式20x bx c ++<，甲写错了常数b ，得到的解集为{}6<<1x x -；乙写错了常数c ，得到的解集为{}1<<4x x ．那么原不等式的解集为（ ） A ．{}1<<6x xB ．{}1<<4x x -C ．{}4<<1x x -D ．{}1<<6x x -5．函数[)2235,4,22x y x x +=∈---的值域为（ ）.A ．5317,142⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5317,142⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5317,142⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5317,142⎛⎤ ⎥⎝⎦6．已知不等式2320ax x -+>的解集为(,1)(,)b -∞+∞U ，则,a b 的取值分别为（ ） A ．3，1-B ．2，1C ．1-，3D ．1，27．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上递减，且(3)0f -=， 则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．{|30x x -<<或3}x >B ．{|3x x <-或3}x >C ．{|3x x <-或03}x <<D ．{|30x x -<<或03}x <<8．对于集合M ，N ，定义{},M N x x M x N -=∈∉且，()()M N M N N M ⊕=--U ，设94A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，{}0B y y =<，则A B ⊕=A ．9,04⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．9,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[)9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭UD ．()9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U二、多选题9．下表表示y 是x 的函数，则（ ）A ．函数的定义域是(0,20]B ．函数的值域是[2,5]C ．函数的值域是{}2,3,4,5D ．函数是增函数10．已知243fx =-，则下列结论错误的是（ ）A ．()11f =B ．2()21f x x =-C ．()f x 是偶函数D ．()f x 有唯一零点11．给出以下四个命题，其中为真命题的是（ ）A ．函数y yB ．若函数(2)f x 的定义域为[0,2]，则函数()f x 的定义域为[0,4]C ．若函数()y f x =是奇函数，则函数()()y f x f x =--也是奇函数D ．函数1y x=-在(,0)(0,)-∞+∞U 上是单调增函数12．下列命题正确的是（ ）A ．若对于1x ∀，2x ∈R ，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则函数y =f x 在R 上是增函数B ．若对于1x ∀，2x ∈R ，12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->--，则函数()y f x x =+在R 上是增函数C ．若对于x ∀∈R ，都有()()1f x f x +<成立，则函数y =f x 在R 上是增函数D ．若对于x ∀∈R ，都有()f x ，()g x 为增函数，则函数()()y f x g x =⋅在R 上也是增函数三、填空题13．A ={}|03x x << ，{}|24B x x =<<，则A B ⋃=.14．若“2,1000x mx mx ∀∈++>R ”是真命题，则m 的取值范围是. 15．已知函数()()11xf x x x =>-，())2g x x ≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()(),G x F x f x g x g x f x =⋅=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是.16．已知函数()2cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则满足()06f x f π⎛⎫> ⎪⎝⎭的0x 的取值范围为．四、解答题17．（1）设0x y <<，试比较22()()x y x y +-与22()()x y x y -+的大小； （2）已知a ，b ，x ，(0,)∈+∞y 且11,x y a b>>，求证：x y x a y b >++．18．求下列不等式的解集. (1)202735x x <---<； (2)1123x x +≤- 19．冰墩墩（BingDwenDwen ）、雪容融（ShueyRhonRhon ）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？20．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*N x x ∈名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元()0a >，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？ 21．已知函数()2f x x x=+. (1)判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)用函数单调性的定义证明函数()f x 在)+∞上是增函数； (3)当[]1,3x ∈时，求函数()f x 的值域.22．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋8,()x x x N ≥∈层，每层2800平方米的楼房.经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为56570x +(单位：元). (1)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少?最少为多少元?(2)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层?（注：综合费用=建筑费用＋购地费用）。
广东省深圳市高一数学下学期期末考试试题(含解析)
广东省深圳市2020-2021学年高一数学下学期期末考试(qī mò kǎo shì)试题（含解析）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.若集合A={-2，1，2，3}，B={x|x=2n，n∈N}，则A∩B=（）A. {-2}B. {2}C. {-2，2}D. ∅【答案】 B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵∴故答案为：B【分析】通过集合B中,用列举法表示出集合B,再利用交集的定义求出。
2.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）A.B.C.D.【答案】 C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：出现正面向上与反面向上各一次的概率为：故答案为：C【分析】本题考查古典概型，利用古典概型的定义即可求出。
3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是（）A. y=x3B.y=|x| C. y=sinx D. y=【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除A；由于函数是偶函数,但它在区间(0，+∞)上单调递增，故排除B；由于函数是奇函数,不是偶函数，故排除C；由于函数是偶函数,且满足在区间(0，+∞)上单调递减，故满足条件。
故答案为：D【分析】利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论。
4.如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A.B. 2πC. 3πD. 4π【答案(dá àn)】 C【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：由已知可得：以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，半球的半径为1，故半球的表面积为：故答案为：C【分析】以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得。
广东省深圳市高级中学高一数学下学期期末考试试题 文
高级中学2014-2015学年第二学期期末测试 高一数学（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分，满分150分．考试用时l20分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60分) 一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{0，1，2，3，4}B ．{0，4}C ．{1，2}D ．{3} 2．已知向量(1,2),(3,1),a b =-=，那么a b ⋅的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3.等差数列{}n a 中, 1510a a +=,47a =,则数列{}n a 的公差为( ) A.1 B.2 C.3 D.44．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝05.在ABC △中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=( ) A.4π或34πB.34πC.4π D.6π6.设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A ．若//l α,//l β,则//αβ B ．若l α⊥,l β⊥,则//αβ C ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥7. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．118.在空间四边形ABCD 中，E,F 分别是AB 和BC 上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则AC 和平面DEF 的位置关系是( )A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定9．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形10.将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）11. 若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为( )AB ．2C ．D ．412.定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，则称变换T 是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于)(x f 的同值变换的是A ．2)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称B ．12)(1-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称 第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13. 若等比数列{}n a 满足241,2a a =则2135a a a =______ 14. 设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23， 则a ＝________．15.函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为______．16.如图3，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线MN 与AC 所成角是60︒；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为______ (注：把你认为正确的结论的序号都填上)． 图3 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）(1)已知x >1，求f (x )＝x ＋1x －1的最小值；图5FEPODBA图4OFEDCBA(2)已知0<x<25，求y＝2x－5x2的最大值.18. （本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c ＝1，△ABC的面积为 2.求cos A与a的值．19. （本小题满分12分）四面体ABCD所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱ABBD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．图420．（本小题满分12分）已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．21. （本小题满分12分）如图5，在边长为4的菱形ABCD中，60DAB︒∠=，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC EF O=．沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA,PB,PD，得到如图6的五棱锥P ABFED-，且PB=（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求四棱锥P BFED-的体积.22. （本小题满分12分）已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足11a=,图5 图6()()1112n n n n nS n S ++-+=, n ∈N *. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k ，使k a ，2k S ， 4k a 成等比数列? 若存在，求k 的值； 若不存 在，请说明理由.高一下期末数学（文）答案一、选择题答卷（每题5分，12题共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A B A C B C A C B D B二、填空题答卷（每题5分，4题共20分）13.14; 14. 0; 15. 32 ; 16. ①③④三、解答题：本大题6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17. （本小题满分10分）(1)∵x >1，∴x －1>0， ∴f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1＝2＋1＝3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立.∴f (x )的最小值为3.…………5分 (3)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，HEPODA∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1， ∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. …………10分18. （本小题满分12分）解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. ……2分因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ……6分 ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2. …………9分 ②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3. ……12分19. （本小题满分12分）解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ， …………3分∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23. …………6分(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . …………8分 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形． …………10分 又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形． …………12分 20. （本小题满分12分）解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， …………2分 ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. …………4分(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ① …………6分 又直径|CD |＝410，∴r=|PA |＝210， …………7分∴(a ＋1)2＋b 2＝40 ② …………8分由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－2 …………10分∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)， ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. …………12分21. （本小题满分12分）（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. …………………………2分∴EF AO ⊥，EF PO ⊥.∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AOPO O =，∴EF ⊥平面POA . …………………………4分 ∴BD ⊥平面POA . …………………………5分 （2）解：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ︒∠=，∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==.在R t△BHO 中，BO …………………………7分在△PBO 中，22210+==BO PO PB ， ∴PO BO ⊥. ∵PO EF ⊥，EFBO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED . …………………………10分梯形BFED 的面积为()12S EF BD HO =+⋅=，………………………11分∴四棱锥P BFED -的体积11333V S PO =⋅=⨯=.………………12分22. （本小题满分12分）解：（1）解：∵11a =, ()()1112n n n n nS n S ++-+=, ∴2112212S S ⨯-==. ∴ 21112123S S a =+=+=. ∴ 2212a S a =-=. ………………2分（2）解法1: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=, 得1112n n S S n n +-=+. ……………………3分∴ 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111S =, 公差为12的等差数列. ∴()()1111122n S n n n =+-=+. ∴ ()12n n n S +=. …………………………5分 当2n ≥时, 1n n n a S S -=- …………………………7分 ()()1122n n n n+-=- n =.而11=a 适合上式，∴ n a n =. …………………………9分解法2: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=, 得()()112n n n n n n S S S ++--=，∴()112n n n n na S ++-=． ① …………………………4分 当2n ≥时，()()1112n n n n n a S ----=，② ①-②得()()()()1111122n n n n n n n n na n a S S +-+-----=-， ∴1n n na na n +-=． …………………………5分 ∴11n n a a +-=． …………………………６分 ∴ 数列{}n a 从第２项开始是以22a =为首项, 公差为1的等差数列. ………７分 ∴ ()22n a n n =+-=. …………………………８分而11=a 适合上式，∴ n a n =. …………………………9分（3）解：由(2)知n a n =, ()12n n n S +=. 假设存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列,则224k k k S a a =⋅.即()222142k k k k +⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦. …………………………10分∵ k 为正整数, ∴()2214k +=.得212k +=或212k +=-, 解得12k =或32k =-, 与k 为正整数矛盾. …………………………11分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列. …………………………12分。
2022-2023学年广东省深圳高级中学高中园高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省深圳高级中学高中园高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分） 1．已知复数z =1+ii，则|z |是（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．√32．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，t ），若a →∥b →，则t ＝（ ） A ．﹣4B ．1C ．2D ．43．已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（ ） A ．√33π B ．√3π C ．23πD ．2π4．用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（ ） A ．12倍B ．2√2倍C ．2倍D ．√24倍 5．已知cosα+cosβ=12，sinα−sinβ=13，则cos （α+β）的值为（ ） A ．−1372B ．1372C ．−5972D ．59726．在△ABC 中，AN →=14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →=m AB →+25AC →，则实数m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．47．已知△ABC 的外接圆圆心O ，且2AO →=AB →+AC →，|OA →|=|AB →|，则向量BA →在向量BC →上的投影向量为（ ） A ．14BC →B ．√34BC →C ．−14BC →D ．−√34BC →8．红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分．如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的面积S ＝2πRh ．如图1，已知该灯笼的高为58cm ，圆柱的高为5cm ，圆柱的底面圆直径为14cm ，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（ ）A ．1940πcm 2B ．2350πcm 2C ．2400πcm 2D ．2540πcm 2二、多项选择题：（本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9．下列结论正确的个数是（ ）A ．经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面B ．经过两条相交直线，可以确定一个平面C ．经过两条平行直线，可以确定一个平面D ．经过空间任意三点可以确定一个平面 10．下列命题错误的有（ ） A ．若a →、b →都是单位向量，则a →=b →B ．若a →∥b →，且b →∥c →，则a →∥c →C ．若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线D ．向量AB →的模与向量BA →的模相等11．要得到y ＝sin x 函数的图象，只需将函数y =sin(2x −π4)的图象（ ） A ．向左平移π8个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍B ．向左平移π4个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍C ．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π8个单位长度D ．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π4个单位长度12．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，BC ＝7，则下列结论正确的有（ ） A ．△ABC 为钝角三角形B ．△ABC 为锐角三角形 C ．△ABC 面积为15√34D ．AB →⋅AC →=152三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在复数范围内，方程4x 2+8＝0的解集为 ．14．已知向量a →=(−3，4)，b →=(5，2)，θ为向量a →与b →的夹角，则cos θ＝ ． 15．函数f(x)=sin(π3+4x)+sin(4x −π6)的单调递减区间为 ．16．如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB ，该学生先在钟楼的正西方点C 处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进60m 到达点D 处，在D 处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB 的高度是 ．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知z 1＝5+10i ，z 2＝3﹣4i ，1z =1z 1+1z 2．求（1）z 1z 2； （2）z ．18．（12分）如图，一块边长为100cm 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．（1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；（不需要写步骤及作图过程）（2）求该正四棱锥形容器的体积． 19．（12分）已知tan （π4+α）=12．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求sin(2α+2π)−sin 2(π2−α)1−cos(π−2α)+sin 2α的值．20．（12分）在①acosB −12b =c ；②a 2﹣b 2＝c （b +c ）这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．问题：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知_____________． （1）求角A ；（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√34，求△ABC 的周长．21．（12分）如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，且BD →=2DC →，过D 的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 两点不重合）． （1）用AB →，AC →表示AD →；（2）若AE →=λAB →，AF →=μAC →，求2λ+μ的最小值．22．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝5，AD ＝2DC ＝4，且AC →⋅BD →=0，E 是线段AB 上一点，且AE ＝4EB ，F 为线段BC 上一动点． （1）求∠DAB 的大小；（2）若F 为线段BC 的中点，直线AF 与DE 相交于点M ，求cos ∠EMF ； （3）求AF →⋅DF →的取值范围．2022-2023学年广东省深圳高级中学高中园高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分） 1．已知复数z =1+ii，则|z |是（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．√3解：复数z =1+ii ，则|z |=|1+i||i|=√1+11=√2．故选：B ．2．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，t ），若a →∥b →，则t ＝（ ） A ．﹣4B ．1C ．2D ．4解：∵a →=（1，2），b →=（﹣2，t ），且a →∥b →，∴1×t ﹣2×（﹣2）＝0，即t ＝﹣4． 故选：A ．3．已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（ ） A ．√33π B ．√3π C ．23πD ．2π解：如图所示，圆锥的母线为l ＝2，底面半径为r ＝1， 所以圆锥的高为ℎ=√l 2−r 2=√3，所以圆锥的体积为V =13×πr 2×ℎ=13×π×√3=√3π3． 故选：A ．4．用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（ ） A ．12倍B ．2√2倍C ．2倍D ．√24倍 解：以三角形的一边为x 轴，高所在的直线为y 轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y ′轴，长度减半， 所以三角形的高变为原来的12sin45°=√24，所以直观图中三角形面积是原三角形面积的√24， 即原三角形面积是直观图面积的√2=2√2倍．故选：B ．5．已知cosα+cosβ=12，sinα−sinβ=13，则cos （α+β）的值为（ ） A ．−1372B ．1372C ．−5972D ．5972解：∵cosα+cosβ=12，sinα−sinβ=13， 平方可得cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=14 ①， sin 2α﹣2sin αsin β+sin 2β=19 ②，把①和②相加可得 2+2cos αcos β﹣2sin αsin β=1336，即2+2cos （α+β）=1336，解得cos （α﹣β）=−5972．故选：C ．6．在△ABC 中，AN →=14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →=m AB →+25AC →，则实数m 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4解：由题意，设BP →=n BN →，则 AP →=AB →+BP →=AB →+n BN →=AB →+n （AN →−AB →）=AB →+n （14NC →−AB →）=AB →+n （15AC →−AB →）＝（1﹣n ）AB →+n 5AC →，又∵AP →=m AB →+25AC →，∴m ＝1﹣n ，且n 5=25，解得；n ＝2，m ＝﹣1，故选：B ．7．已知△ABC 的外接圆圆心O ，且2AO →=AB →+AC →，|OA →|=|AB →|，则向量BA →在向量BC →上的投影向量为（ ） A ．14BC →B ．√34BC →C ．−14BC →D ．−√34BC →解：根据题意，△ABC 中，2AO →=AB →+AC →，则O 是BC 的中点， 又由O 是BC 的中点，则BC 为圆O 的直径，则有|AO →|＝|BO →|＝|CO →|， 又由|OA →|=|AB →|，则△ABO 为等边三角形，∠ABO =π3，则向量BA →在向量BC →上的投影向量为|BA →|cos π3×BC →|BC →|=14BC →．故选：A ．8．红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分．如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的面积S ＝2πRh ．如图1，已知该灯笼的高为58cm ，圆柱的高为5cm ，圆柱的底面圆直径为14cm ，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（ ）A ．1940πcm 2B ．2350πcm 2C ．2400πcm 2D ．2540πcm 2解：由题意得：R 2−(58−102)2=72，所以R ＝25cm ， 所以ℎ=25−58−102=1cm ， 所以两个球冠的面积为2S ＝2×2πRh ＝2×2×π×25×1＝100πcm 2，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：4πR 2﹣2S ＝4×π×252﹣100π＝2400πcm 2， 故选：C ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9．下列结论正确的个数是（ ）A ．经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面B ．经过两条相交直线，可以确定一个平面C ．经过两条平行直线，可以确定一个平面D ．经过空间任意三点可以确定一个平面 解：根据公理的推论即可判断A ，B ，C 正确，选项D ：经过不共线的三点可以确定一个平面，故D 错误， 故选：ABC ．10．下列命题错误的有（ ） A ．若a →、b →都是单位向量，则a →=b →B ．若a →∥b →，且b →∥c →，则a →∥c →C ．若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线D ．向量AB →的模与向量BA →的模相等解：对于A ：若a →，b →都是单位向量，则|a →|=|b →|，因为a →，b →的方向不一定相同，故a →，b →不一定相等，故A 错误；对于B ：因为a →∥b →，且b →∥c →，当b →=0→时，b →与任何向量都平行，故不能得到a →∥c →，故B 错误； 对于C ：非零向量AB →与CD →而是共线向量，即AB →∥CD →，不能得到A 、B 、C 、D 四点共线，故C 错误； 对于D ：向量AB →与向量BA →互为相反向量，故向量BA →与向量AB →的模相等，故D 正确． 故选：ABC ．11．要得到y ＝sin x 函数的图象，只需将函数y =sin(2x −π4)的图象（ ） A ．向左平移π8个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍B ．向左平移π4个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍C ．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π8个单位长度D ．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π4个单位长度解：法一：将函数y =sin(2x −π4)的图象先向左平移π8个单位长度，可得到函数y =sin[2(x +π8)−π4]=sin2x 的图象，再将所得函数的图象上每点的横坐标伸长为原来的2倍，可得到函数y ＝sin x 的图象；法二：将函数y =sin(2x −π4)的图象每个点的横坐标伸长为原来的2倍，可得到函数y =sin(x −π4)的图象，再将所得图象向左平移π4个单位长度，可得到函数y ＝sin x 的图象．故选：AD ．12．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，BC ＝7，则下列结论正确的有（ ） A ．△ABC 为钝角三角形B ．△ABC 为锐角三角形 C ．△ABC 面积为15√34D ．AB →⋅AC →=152解：在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，BC ＝7，∴cosA =32+52−722×3×5=−12＜0，∴A ＝120°，∴△ABC 为钝角三角形，故A 正确；故B 错误； S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sinA =15√34，故C 正确；AB →⋅AC →=|AB →||AC →|⋅cosA =−152，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在复数范围内，方程4x 2+8＝0的解集为 {−√2i ，√2i}． 解：由4x 2+8＝0得x 2＝﹣2，所以x =√2i 或x =−√2i ， 故答案为：{−√2i ，√2i}．14．已知向量a →=(−3，4)，b →=(5，2)，θ为向量a →与b →的夹角，则cos θ＝−7√29145． 解：因为向量a →=(−3，4)，b →=(5，2)，且a →与b →的夹角θ，所以cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−3×5+4×2√(−3)2+4⋅√52+2=−7√29145．故答案为：−7√29145．15．函数f(x)=sin(π3+4x)+sin(4x −π6)的单调递减区间为 [kπ2+5π48，kπ2+17π48]，k ∈Z ． 解：因为f(x)=sin(π3+4x)+sin(4x −π6) =sin(π2+4x −π6)+sin(4x −π6) =cos(4x −π6)+sin(4x −π6) =√2[√22cos(4x −π6)+√22sin(4x −π6)]=√2sin[(4x −π6)+π4]=√2sin(4x +π12)， 令π2+2kπ≤4x +π12≤3π2+2kπ，k ∈Z ， 求得kπ2+5π48≤x ≤kπ2+17π48，k ∈Z ，所以函数的单调递减区间为[kπ2+5π48，kπ2+17π48]，k ∈Z ． 故答案为：[kπ2+5π48，kπ2+17π48]，k ∈Z ． 16．如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB ，该学生先在钟楼的正西方点C 处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进60m 到达点D 处，在D 处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB 的高度是 30m ．解：设AB ＝x ，x ＞0，Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ＝x ， Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，所以BD =√3AB =√3x ， △BCD 中，∠BCD ＝90°﹣30°＝60°，CD ＝60， 由余弦定理得：BD 2＝CD 2+CB 2﹣2CD •CB •cos ∠BCD ， 即3x 2＝3600+x 2﹣2×60×x ×cos60°， 整理得x 2+30x ﹣1800＝0，解得x ＝30或x ＝﹣60（不合题意，舍去）， 所以钟楼AB 的高度是30m ． 故答案为：30m ．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知z 1＝5+10i ，z 2＝3﹣4i ，1z =1z 1+1z 2．求（1）z 1z 2； （2）z ．解：（1）z 1z 2=(5+10i)(3−4i)=15−20i +30i −40i 2=55+10i ； （2）由题可知1z =1z 1+1z 2=z 1+z 2z 1z 2，所以z =z 1z 2z 1+z 2=55+10i 8+6i =(55+10i)(8−6i)(8+6i)(8−6i)=5−52i ， z =5+52i ．18．（12分）如图，一块边长为100cm 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．（1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；（不需要写步骤及作图过程）（2）求该正四棱锥形容器的体积．解：（1）根据题意画出该四棱锥的直观图，如下：【注】（i ）作图共（8分），分解为：①基本结构满足锥体要求（3分）（底面两边夹角45°、平行四边形、1个顶点各1分）．②比例正确（3分）（底面边长、锥体的高，顶点在底面投影为底面中心各1分）．③虚实线标准规范（2分）（无虚线扣（1分），画直线不用尺扣1分）．（ii ）直观图整体可进行平移和放缩，按比例作出直观图即可给分．（2）设加工后的正四棱锥为P ﹣ABCD ，易得底面是边长为60cm 的正方形，斜高为50，所以四棱锥的高为OP ＝40cm ，计算正四棱锥形容器的体积为V P−ABCD =13S 正方形ABCD ⋅OP =13×60×60×40=48000．所以正四棱锥形容器的体积为48000cm 3．19．（12分）已知tan （π4+α）=12． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求sin(2α+2π)−sin 2(π2−α)1−cos(π−2α)+sin 2α的值．解：（Ⅰ）∵tan （π4+α）=tan π4+tanα1−tan π4tanα=1+tanα1−tanα=12，解得tan α=−13． （Ⅱ）sin(2α+2π)−sin 2(π2−α)1−cos(π−2α)+sin 2α=sin2α−cos 2α1+cos2α+sin 2α =2sinαcosα−cos 2α2cos 2α+sin 2α =2tanα−12+tan 2α=−1519． 20．（12分）在①acosB −12b =c ；②a 2﹣b 2＝c （b +c ）这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．问题：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知___________．（1）求角A ；（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√34，求△ABC 的周长． 解：（1）选择①：由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC =2R 得，sinAcosB −12sinB =sinC ，由C ＝π﹣（A +B ）得sinAcosB −12sinB =sinAcosB +cosAsinB ，即−12sinB =cosAsinB ．又sin B ≠0，∴cosA =−12，又A ∈（0，π），∴A =2π3． 选择②：由选择条件可得a 2＝b 2+c 2+bc由余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc得cosA =b 2+c 2−(b 2+c 2+bc)2bc =−12， 又A ∈（0，π），∴A =2π3． （2）因为S △ABC =12bcsinA∴S △ABC =12bcsin 2π3=√34bc ，即√34bc =√34，∴bc ＝1， 又由余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc =−12，化简得b 2+c 2﹣4＝﹣bc ， 即（b +c ）2＝bc +4，所以b +c =√5，a +b +c =2+√5所以△ABC 的周长为2+√5．21．（12分）如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，且BD →=2DC →，过D 的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 两点不重合）．（1）用AB →，AC →表示AD →；（2）若AE →=λAB →，AF →=μAC →，求2λ+μ的最小值．解：（1）因为BD →=2DC →，所以AD →−AB →=2AC →−2AD →，化简得AD →=13AB →+23AC →；（2）因为AE →=λAB →，AF →=μAC →，AD →=13AB →+23AC →， 所以AD →=13λAE →+23μAF →，由图可知λ＞0，μ＞0 又因为D 、E 、F 三点共线，所以13λ+23μ=1， 所以2λ+μ=(2λ+μ)⋅(13λ+23μ)=43+μ3λ+4λ3μ≥43+2√μ3λ⋅4λ3μ=83， 当μ3λ=4λ3μ，即μ=2λ=43时，2λ+μ取最小值83．22．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝5，AD ＝2DC ＝4，且AC →⋅BD →=0，E 是线段AB 上一点，且AE ＝4EB ，F 为线段BC 上一动点．（1）求∠DAB 的大小；（2）若F 为线段BC 的中点，直线AF 与DE 相交于点M ，求cos ∠EMF ；（3）求AF →⋅DF →的取值范围．解：（1）连接AC ，BD ，由AB ∥CD ，AB ＝5，DC ＝2，则AB →∥DC →，AB →=52DC →，∴＜AD →，AB →＞=＜AD →，DC →＞=θ，θ∈（0，π），又AB ＝5，AD ＝2DC ＝4，∴AC →⋅BD →=(AD →+DC →)⋅(AD →−AB →)=(AD →+DC →)⋅(AD →−52DC →)=|AD →|2−32AD →⋅DC →−52|DC →|2=|AD →|2−32|AD →|⋅|DC →|⋅cosθ−52|DC →|2， 又AC →⋅BD →=0，∴16−32×4×2cosθ−52×4=0，∴cosθ=12， 又θ∈（0，π），∴θ=π3，∴∠DAB =π3．（2）如图，过点D 作DO ⊥AB 于O ，则AO ＝AD cos ∠DAB ＝2，DO =ADsin ∠DAB =2√3，建系如图，则根据题意可得：A （﹣2，0），D(0，2√3)，E （2，0），B （3，0），C(2，2√3)，F(52，√3)， ∴AF →=(92，√3)，DE →=(2，−2√3)， ∴cosθ=AF →⋅DE →|AF →|⋅|DE →|=92×2−2√3×√3√814+3×=√9362； （3）根据（2）得BC →=(−1，2√3)，设BF →=λBC →，λ∈[0，1]，∴（x F ﹣3，y F ）＝λ（﹣1，2√3），解得{x F =3−λy F =2√3λ，∴F(3−λ，2√3λ)， ∴AF →=(5−λ，2√3λ)，DF →=(3−λ，2√3λ−2√3)，∴AF →⋅DF →=(5−λ)×(3−λ)+2√3λ×(2√3λ−2√3)=13λ2−20λ+15=13(λ−1013)2+9513， 又λ∈[0，1]，∴当λ=1013时，(AF →⋅DF →)min =9513；当λ＝0时，(AF →⋅DF →)max =15，∴AF →⋅DF →的取值范围为[9513，15]．。
高中数学：2022-2023学年广东省深圳市高一(下)期末数学试卷(附参考答案)
2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}2．（5分）设复数z 满足iz ＝1+i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．12B ．2C ．√22D ．√23．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．极差D ．标准差5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．37．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√28．（5分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x +lg |x |，则不等式f （x +1）＞f （2x ﹣1）的解集为（ ） A ．（0，2） B ．(0，12)∪(12，2)C ．（0，3）D ．(0，12)∪(12，3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C ．|A 1M |+|C 1M |的最小值为3+√5D ．当M 是BC 的中点时，过A 1，M ，C 1三点的平面截三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球所得的截面面积为269π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg 2+lg 5+π0＝ ．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为 ．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D ．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B的概率．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E ﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．22．（12分）已知函数f(x)=|14x2−x|，g（x）＝kx，f（x）与g（x）的图象恰有三个交点．（1）求实数k的取值范围；（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m 分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D．2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．12B．2C．√22D．√2【解答】解：∵iz＝1+i，∴z=1+ii=(1+i)(−i)i(−i)=−i−i2−i2=1﹣i，∴|z|=√1+(−1)2=√2．故选：D．3．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．45B．35C．−45D．−35【解答】解：因tanα＝2，则cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=−35．故选：D．4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A．平均数B．中位数C．极差D．标准差【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9﹣4.0，错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96﹣4.0，所以中位数没有变化，极差变化了．故选：B ．5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，由平面与平面平行的性质，可得A 正确； 对于B ，由直线与平面平行的判定定理，可得B 正确；对于C ，m 与n 的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C 错误； 对于D ，由平面与平面垂直的性质，D 正确． 故选：C ．6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【解答】解：∵AB →=2DC →，∴DC →=12AB →，∴AC →=AD →+DC →=AD →+12AB →，∴x =12，y ＝1，∴x +y =32．故选：A ．7．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√2【解答】解：对于A ：∵m ＞0，n ＞0，m +n ＝2，∴由基本不等式可得m +n ≥2√mn ， ∴mn ≤1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，lnm +lnn ＝lnmn ≤ln 1＝0，故A 错误； ∵2（m ²+n ²）＝（m ²+n ²）+（m ²+n ²）≥m ²+n ²+2mn ＝（m +n ）2＝4，可得m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，B错误．对于C：1m+1n=12（1m+1n）（m+n）=12（2+nm+mn）≥12（2+2√nm⋅mn）＝2，当且仅当nm=mn，即m＝n＝1时，等号成立，故C正确；（√m+√n）2＝m+n+2√mn≤2（m+n）＝4，因为√m+√n＞0，故√m+√n≤2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，D错误；故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．（0，2）B．(0，12)∪(12，2)C．（0，3）D．(0，12)∪(12，3)【解答】解：因为f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，x≠0，所以f（﹣x）＝e x+e﹣x+lg|﹣x|＝e x+e﹣x+lg|x|＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝e x+e﹣x+lgx，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1 x ，∵y＝e x与y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均为单调递增，∴y＝e x﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，∴e x﹣e﹣x＞e0−1e0=0，即当x＞0时，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1x＞0恒成立，∴偶函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上为增函数，∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）⇔|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，解得：0＜x＜12，或12＜x＜2．即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为(0，12)∪(12，2)．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减【解答】解：函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确，f（−π12）＝cos（−π12×2+π6）＝cos0＝1≠0，即函数f（x）的图象关于(−π12，0)不对称，故B错误，f（5π12）＝cos（2×5π12+π6）＝cosπ＝﹣1，即f（x）的图象关于x=5π12对称，故C正确，当0＜x＜π2时，0＜2x＜π，π6＜2x+π6＜7π6，则f（x）不单调，故D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正确；B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以P（A）•P（C）＝P（AC），所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD．（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2【解答】解：对于A，由题意可得f（12）=12+[12]=12+0=12，故正确；对于B，取x＝1.2，则f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），所以f（x）不是奇函数，故错误；对于C，由[x]的定义可知，∀x1＞x2，有[x1]≥[x2]，所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，即f（x1）＞f（x2），故错误；对于D，f（x）＝3x﹣1，即为x+[x]＝3x﹣1，整理得2x﹣[x]﹣1＝0，所以[x]＝2x﹣1，又因为x﹣1＜[x]≤x，所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，当x＝1时，满足方程，即x＝1是方程的根，当0＜x＜1时，x+[x]＝x，方程可转化为x＝3x﹣1，解得x=1 2，故根的和为32，故正确．故选：AD．（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+√5D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为26 9π【解答】解：连接A1B，如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；由直三棱柱的结构特征，V C1−AMB1=V A−B1C1M=13S△B1C1M⋅AB=13×12×B1C1⋅CC1⋅AB=43，故三棱锥C1﹣AMB1的体积为定值，B选项正确；设BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，A1M2=A1A2+AM2=A1A2+AB2+BM2=8+t2，C1M2=C1C2+MC2=22+(2−t)2，|A1M|+|C1M|=√(2√2)2+t2+√22+(2−t)2，其几何意义是点(2√2，0)和点（2，2）到点（0，t）的距离之和，最小值为点(−2√2，0)到点（2，2）的距离，为√16+8√2，C选项错误；当M是BC的中点时，A1M=3，A1C1=2√2，C1M=√5，cos∠MA1C1=A1M2+A1C12−C1M22⋅A1M⋅A1C1=2×3×2√2=√22，sin∠MA1C1=√22，S△MA1C1=12A1C1⋅A1M⋅sin∠MA1C1=12×2√2×3×√22=3，S△CC1M =12×2×1=1，设点C到平面MA1C1的距离为h C，由V C−A1MC1=V A1−CC1M，得3ℎc=2×1，ℎc=23，直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1O=12A1C=√3，点O到平面MA1C1的距离为ℎO =12ℎC=13，则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圆的半径为√(√3)2−(13)2=√263，截面面积为269π，D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg2+lg5+π0＝2．【解答】解：lg2+lg5+π0＝lg10+1＝2．故答案为：2．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为2√23π．【解答】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3，∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=2π，侧面展开图的弧长＝底面周长，即2π＝2πr，∴r＝1，∴圆锥的高h=√9−1=2√2，∴圆锥体积V=13×π×r2×h=2√23π．故答案为：2√23π．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 212 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．【解答】解：由∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，可得∠CBD ＝45°，又CD ＝100米， 由正弦定理可得CD sin∠CBD=BC sin∠BDC，即√22=√32，可得BC ＝50√6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，所以AB ＝BC •tan ∠ACB ＝50√6×√3=150√2≈150×1.414≈212米． 故答案为：212．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 2 ．【解答】解：以E 为圆心，12AB 为半径作圆，∵EF =1=12AB ，∴F 在圆上，∵PA →⋅PB →=0，∴P 在圆上，∴PC →⋅PD →=14[(PC →+PD →)2−(PC →−PD →)2]=14[(2PF →)2−DC →2]=PF →2−14×(2√2)2=PF →2−2， ∵F ，P 都在以E 为圆心，12AB 为半径的圆上，∴|PF →|max =2r =AB ＝2，∴(PC →⋅PD →)max =(PF →)2max −2=22−2=2． 故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．【解答】解：（1）因为f(π6)=1，代入到f （x ）＝sin （2x +θ），得f （π6）＝sin （π3+θ）＝1，其中θ∈(0，π2)，所以θ=π6；（2）x ∈[0，π4]，（2x +π6）∈[π6，23π]，此时，f （x ）∈[12，1]．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ． 【解答】解：（1）因为b ＝2c ﹣2a cos B ， 由正弦定理可得2sin C ﹣2sin A cos B ＝sin B ， 而sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ， 代入化简得2cos A sin B ＝sin B ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ＞0， 所以cosA =12，因为A ∈（0，π）， 故A =π3；（2）由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 由（1）可知A =π3，又a =3√3，c ＝2b ，代入上式可得，27＝b 2+4b 2﹣2b ×2b ×12，解得b ＝3，c ＝6，所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×3×6×√32=9√32．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）当0＜a ＜1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递减， 此时f （x ）max ＝f （1）＝0≠3，不满足题意； 当a ＞1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递增， 此时f （x ）max ＝f （8）＝log a 8＝3， 解得a ＝2； （2）令m ＝log 2x ，因为x ∈[1，8]，所以m ∈[0，3]， 所以2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ≥0⇔2﹣m﹣m +t ≥0⇔t ≥m ﹣2﹣m在m ∈[0，3]上恒成立，令g （m ）＝m ﹣2﹣m，m ∈[0，3]，易知g （m ）在[0，3]上为增函数， 所以g （m ）max ＝3﹣2﹣3=238， 所以实数t 的取值范围为[238，+∞）．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A ＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B ＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B 的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，因为0.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，所以75%分位数落在[40，50）内，设其为x，则0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，解得x≈46.7，即75%分位数约为46.7；（2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，区间[40，50）内的3件产品记为a1，a2，a3，区间[50，60）内的2件产品记为b1，b2，区间[60，70）内的1件产品记为c，从这6件产品中任选3件，所有情况为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，事件A∩B分为：①从[40，50）抽0个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（b1，b2，c），共1种，所以P1=1 20，②从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽1个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6种，所以P2=620=310，③从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽0个，包含基本事件为：（a1，b1，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2，），共3种，所以P3=3 20，所以P（A∩B）＝P1+P2+P3=120+310+320=12．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．【解答】解：（1）因为AB为圆O的直径，所以∠ACB＝90°，由AC2＝AB2﹣BC2，可得AC＝4．因为PA=PC=2√2，满足P A2+PC2＝AC2，所以P A⊥PC．因为平面P AC⊥平面PCB，平面P AC∩平面PCB＝PC，P A⊂平面P AC，所以P A⊥平面PCB，又BC⊂平面PCB，所以P A⊥BC．因为BC⊥AC，P A，AC⊂平面P AC，且P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC，因为BC⊂平面ABC，所以平面P AC⊥平面ABC．（2）取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME．在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，则∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．证明如下：因为P A＝PC，且O1是AC的中点，所以PO1⊥AC．由（1）知平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，PO1⊂平面P AC，所以PO1⊥平面ABC．因为EM是△PO1B的中位线，则EM∥PO1，所以EM⊥平面ABC．因为BF⊂平面ABC，所以BF⊥EM．因为BF⊥MN，MN，ME⊂平面ENM，且MN∩ME＝M，所以BF⊥平面ENM．又EN⊂平面ENM，所以BF⊥EN，由二面角的平面角的定义可知∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．连接FM，并延长FM交BC于点T．由EM是△BPQ的中位线，得EM∥PO1，PO1⊂平面P AC，EM⊄平面P AC，所以EM∥平面P AC．当EF∥平面P AC时，EM，EF⊂平面EFM，且EM∩EF＝E，所以平面EFM∥平面P AC．由平面与平面平行的性质定理可知TF∥AC．因为点M是O1B的中点，所以FT过点O，由此可知FT＝5．因为AC⊥BC，所以FT⊥BC，且BT＝CT．由FT2+BT2＝BF2，可知BF=√30，由△FTB∽△FNM得MNFM=BTBF，所以MN =23√6，EM =12PO 1=1，因此tan ∠EMM =EM MN =√64，所以二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角的正切值为√64． 22．（12分）已知函数f(x)=|14x 2−x|，g （x ）＝kx ，f （x ）与g （x ）的图象恰有三个交点．（1）求实数k 的取值范围；（2）用max {α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x ）＝max {f （x ），g （x ）}（1⩽x ⩽6），用M ，m 分别表示φ（x ）的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M ﹣m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得f(x)={ 14x 2−x ，x ＜0−14x 2+x ，0≤x ≤414x 2−x ，x ＞4，显然f （x ）≥0，且（0，0）是函数f （x ）与g （x ）图象的一个交点， 当k ＜0时，g （x ）＜0在区间（0，+∞）上恒成立，与f （x ）图象无交点； 在区间（﹣∞，0），g （x ）与f （x ） 图象至多有一个交点，不合题意．当k ＝0时，函数f （x ）与g （x ）图象有且仅有两个交点（0，0），（4，0），不合题意． 当k ＞0时，若函数f （x ）与g （x ）图象有三个交点，则方程−14x 2+x =kx ，14x 2−x =kx 均有正根，分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），由{k ＞04(1−k)＞04(k +1)＞0，可得0＜k ＜1，所以实数k 的取值范围是（0，1）；（2）由（1）可知，当k ∈（0，1）时，f （x ）与g （x ）的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），当x ∈（0，x 1）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ）， 当x ∈（x 1，x 2）时，f （x ）≤g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝g （x ）， 当x ∈（x 2，+∞）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ），当34≤k ＜1时，x 1＜1，x 2＞6，φ（x ）＝g （x ）（1≤x ≤6），M ＝φ（6）＝6k ，m ＝φ（1）＝k ，M ﹣m ＝5k ∈[154，5）；当12≤k ＜34时，1＜x 1≤2，x 2≥6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤6，f （x ）在[1，x 1）上为增函数，且g （x ）为增函数， 故φ（x ）在[1，6]上为增函数，M ＝φ（6）＝6k ， m ＝f （1）=34，M ﹣m ＝6k −34∈[94，154），当14＜k ＜12时，2＜x 1＜3，5＜x 2＜6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）＞f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （1）=34，M ﹣m =94；当0＜k ≤14时，3≤x 1＜4，4＜x 2≤5，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）≤f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （x 1）＝f （4﹣4k ）＝﹣4k 2+4k ，M ﹣m ＝4k 2﹣4k +3∈[94，3）；综上，当34≤k ＜1时，M ＝6k ，m ＝k ；当12≤k ＜34时，M ＝6k ，m =34；当14＜k ＜12时，M ＝3，m =34；当0＜k ≤14时，M ＝3，m ＝﹣4k 2+4k ，所以M ﹣m 的取值范围为：[94，5）．。
广东深圳高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试数学试卷
2024-2025学年深圳市高一上第一次月考试卷数学试卷注意事项:1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好.2.本卷考试时间120分钟，满分150分.3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内.作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效.4.考试结束后，谙将答题卡交回. 一、单选题（共8小题，共40分）1. 命题“210,0x x x ∃>−<”的否定为（ ）A. 210,0x x x ∃>−≥ B. 210,0x x x ∃≤−≥ C 210,0x x x∀>−≥ D. 210,0x x x∀≤−≥ 2. 从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.0612m f m <>=+（元）决定，其中0m >，m <>是不小于m 的最小整数（如：33<>=， 3.84<>=， 5.16<>=）， 则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为（ ） A. 4.24元B. 4.77元C. 5.30元D. 4.93元3. 若函数()f x 定义域为R ，则“(2)(3)f f <”是“()f x 是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 甲、乙两人解关于x 的不等式20x bx c ++<，甲写错了常数b ，得到的解集为{}6<<1x x −；乙写错了常数c ，得到的解集为{}1<<4x x ．那么原不等式的解集为（ ） A. {}1<<6x xB. {}1<<4x x −C. {}4<<1x x − D. {}1<<6x x −.的5. 函数[)2235,4,22x yx x +∈−−−的值域为（ ）. A. 5317,142B. 5317,142C. 5317,142D. 5317,1426. 已知不等式2320ax x −+>的解集为(,1)(,)b −∞+∞ ，则,a b 的取值分别为（ ） A. 3，1−B. 2，1C. 1−，3D. 1，27. 设()f x 是定义在R 上奇函数，在(,0)−∞上递减，且(3)0f −=， 则不等式()0xf x <的解集为（ ）A. {|30x x −<<或3}x >B. {|3x x <−或3}x >C. {|3x x <−或03}x <<D. {|30x x −<<或03}x <<8. 对于集合M ，N ，定义{},M N x x M x N −=∈∉且，()()M N M N N M ⊕−− ，设94A y y=≥−，{}0B y y =<，则A B ⊕=A. 9,04 −B. 9,04−C. [)9,0,4−∞−+∞D. ()9,0,4−∞−+∞二、多选题（共4小题，共20分）9. 下表表示y 是x 的函数，则（ ）x 05x <<510x ≤<1015x ≤<1520x ≤≤y2345A. 函数的定义域是(0,20]B. 函数的值域是[2,5]C. 函数的值域是{}2,3,4,5D. 函数是增函数10. 已知243fx =−，则下列结论错误的是（ ）的A. ()11f =B. 2()21f x x =−C. ()f x 是偶函数D. ()f x 有唯一零点11. 给出以下四个命题，其中为真命题的是（ ） A. 函数y与函数y表示同一个函数B. 若函数(2)f x 的定义域为[0,2]，则函数()f x 的定义域为[0,4]C. 若函数()y f x =奇函数，则函数()()yf x f x =−−也是奇函数D. 函数1y x=−在(,0)(0,)−∞+∞ 上是单调增函数 12. 下列命题正确的是（ ）A. 若对于1x ∀，2x ∈R ，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则函数yy =ff (xx )在R 上是增函数B. 若对于1x ∀，2x ∈R ，12x x ≠，都有()()12121f x f x x x −>−−，则函数()y f x x =+在R 上是增函数 C. 若对于x ∀∈R ，都有()()1f x f x +<成立，则函数yy =ff (xx )在R 上是增函数D. 若对于x ∀∈R ，都有()f x ，()g x 为增函数，则函数()()y f x g x =⋅在R 上也是增函数三、填空题（共4小题，共20分）13. A ={}|03x x << ，{}|24B x x =<<，则A B ∪=___________.14. 若“2,1000x mx mx ∀∈++>R ”是真命题，则m 的取值范围是__________.15. 已知函数()()11xf x x x =>−，())2g x x =≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()(),G x F x f x g x g x f x =⋅=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是_________.16. 已知函数()2cos ,,22f x x x x ππ=−∈−，则满足()06f x f π >的0x 的取值范围为__________． 四、解答题（共6小题，共70分）17. （1）设0x y <<，试比较22()()x y x y +−与22()()x y x y −+大小；是的（2）已知a ，b ，x ，(0,)∈+∞y 且11,x y a b>>，求证：x y x a y b >++．18. 求下列不等式的解集. （1）202735x x <−−−<； （2）1123x x +≤− 19. 冰墩墩（Bing Dwen Dwen ）、雪容融（Shuey Rhon Rhon ）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共4020. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*N x x ∈名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为310500x a −万元()0a >，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？ 21. 已知函数()2f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）用函数单调性的定义证明函数()f x 在)+∞上是增函数；（3）当[]1,3x ∈时，求函数()f x 的值域.22. 某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋8,()x x x N ≥∈层，每层2800平方米的楼房.经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为56570x +(单位：元). （1）当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少?最少为多少元?（2）若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层?（注：综合费用=建筑费用＋购地费用）。
广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(无答案)
深圳市高级中学2024－2025学年第一学期期中考试高一数学试卷说明：1、本试卷满分150分，考试时间为120分钟；2、本试卷分试题卷、答题卷两部分．考试结束，只交答题卷．一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．若（且），则（ ）A. B. C. D.2．命题“，”的否定为（ ）A.，B.，C.，D.，3．设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4（ ）B.5C.D.255．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D.6．设函数．若，则实数a 的值为（ ）A.4 B.2C. D.7．已知函数，且对任意实数t ，都有，则（ ）A. B. C. D.8．函数的图象如图所示，则关于x 的不等式的解集为（ ）2024m n =0m >1m ≠log 2024m n =log 2024n m =2024log m n =2024log n m=2x ∀>226x +>2x ∃≥226x +>2x ∃≤226x +≤2x ∃≤226x +>2x ∃>226x +≤x ∈R 03x <<11x -<=()f x []1,3()g x =(]1,2(]1,5[]1,2[]1,5()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩()()1f a f a =+1412()2f x x bx c =++()()22f t f t +=-()()()214f f f <<()()()124f f f <<()()()241f f f <<()()()421f f f <<()f x ()10x f x ⋅->A. B.C. D.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．下列说法正确的是（ ）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，则10．下列各组函数是同一个函数的是（ ）A.与B.与C.与D.与11．已知函数．设命题p ：“关于x 的不等式解集为空集”，则命题p 的必要条件可以是（ ）A. B. C. D.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知幂函数的图象经过点，则________．13．已知函数的单调增区间为________．14．已知a ，b 为正实数，则的最小值为________．四、解答题（本大题共5个大题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程和演算步骤）15．（13分）已知集合，．（1）若，求；()(),22,-∞-+∞ ()()(),10,13,-∞-+∞ ()()0,12,+∞ ()()(),20,12,-∞-+∞ a b >1a b>a b >c d >a d b c ->-a b >11a b <22ac bc >a b>()f x x =()g x =()f x x =()g x =()1f x x =-()211x g x x -=+()0f x x =()01g t t =()2224f x x ax a =-+-()()0ff x <4a ≤-5a ≤-6a ≤-7a ≤-()n f x mx k =+11,164⎛⎫⎪⎝⎭23m n k -+=()f x =()f x 2a b a b a b+++{}23180A x x x =--≤{}()232B x m x m m =-≤≤+∈R 0m =A B R ð（2）若，求实数m 的取值范围．16．（15分）已知是定义在上的奇函数．（1）求；（2）求函数在上的值域．17．（15分）国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象．已知某火车站候车厅的候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足，．经测算，当时，候车厅为满厅状态，候车人数为5000人；而当时，候车人数相对于满厅人数有所减少，减少人数与成正比，且6点时候车厅的候车人数为3800人．记候车厅的候车人数为．（1）求，并求11点时候车厅的候车人数；（2）铁路局为体现人性化管理，每整点时会给旅客提供免费面包，面包数量P 满足，则当t 为何值时，需要提供免费面包的数量最少？18．（17分）已知函数．（1）若对，都有，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式．19．（17分）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．（1）求，；（2）判断并证明的单调性；（3）解不等式：．B A =∅R ð()130,03x x a f a b b+-=>>+∥R ()f x ()()()3191x x g x f x =⋅++-[]0,1x ∈024t <≤t ∈N 1624t ≤≤016t <<()16t t -()f t ()f t ()3000400f t P t-=+()()()21f x ax a x a =++∈R x ∀∈R ()1f x ≤()1f x <-()f x ()0,+∞x ∀0y >()()1x f f x f y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭1x >()1f x >()22f =()1f ()4f ()f x ()()245f x f x ++-<。
广东省深圳高级中学09-10学年高一上学期期末考试(数学)
广东省深圳高级中学09-10学年高一上学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（本卷共计40分）一. 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题只有一个正确答案）。
1．直线的倾斜角为（）A.B.C.D.2．如图1，正方体中，异面直线所成角等于（）A．B．C．D．3．已知直线和平面，下列推论中错误的是（）A.B.C.D.4．若在轴上的截距分别是－3和4,则和和值分别是（）A. 4, 3 B. －4, 3 C. 4, －3 D. －4, －35．已知几何体的三视图如图2所示，它的表面积是（）A.B.C.D.66．给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：①若②若是异面直线，；③若；④若∥，∥，则∥，其中为假命题的是（）A．① B．② C．③ D．④7．对任意实数，圆C：与直线的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．与取值有关8．分别是三棱锥的棱的中点，则下列各式成立的是（）A.B.C.D.与无法比较9．半球的全面积为，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是（）A.B.C.D.10 过点（－4，0）作直线L与圆交于A、B两点，如果|AB|=8，则L的方程为 ( )A 5x+12y+20=0B 5x-12y+20=0C 5x-12y+20=0或x+4=0D 5x+12y+20=0或x+4=0第Ⅱ卷（本卷共计60分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．空间直角坐标系中，点与点的距离是__________.12. 已知长方体的全面积为11,所有棱长之和为24,则这个长方体的体对角线的长为______.13.与直线关于轴对称的直线的方程为___________.14.已知直线直线.若∥,则____.15.一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)矩形；(3)正方形；(4)正六边形。
其中正确的结论是_ _.（把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共5小题,每小题8分，共40分。
广东省深圳市深圳高级中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(1)
深圳高级中学（集团）2021-2022学年第一学期期末考试高一数学一､单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项符合题目要求.1 已知集合U =R ,{}220A x x x =-<∣,{}lg(1)B x y x ==-∣,则A B = （ ）A. (0,2)B. (0,1)C. (1,2)D. [1,2)-【结果】C 【思路】【思路】解一圆二次不等式求出集合A ,解不等式10x ->求出集合B ,再进行交集运算即可求解.【详解】因为{}(){}{}2|20|20|02A x x x x x x x x =-<=-<=<<,{}{}{}lg(1)|101B x y x x x x x ==-=->=>∣∣,所以{}()|121,2A B x x ⋂=<<=,故选：C.2. 若命题“R x ∀∈,210x ax ++≥”是假命题,则实数a 地取值范围为（ ）A. ()(),22,∞∞--⋃+ B. (],2-∞-C. [)2,+∞ D. (][),22,-∞-+∞U 【结果】A 【思路】【思路】由题意知原命题为假命题,故命题地否定为真命题,再利用0∆>,即可得到结果.【详解】由题意可得“2000,10x R x ax ∃∈++<”是真命题,故240,2a a ∆=->⇒>或2a <-.故选：A.3. “0x >”是“20x x +>”地（ ）A. 充分不必要款件B. 必要不充分款件C. 充分必要款件D. 既不充分也不必要款件【结果】A.【思路】【思路】化简不等式20x x +>,再利用充分款件，必要款件地定义直接判断作答.【详解】解不等式20x x +>得：1x <-或0x >,所以“0x >”是“20x x +>”地充分不必要款件.故选：A4. 已知函数42x y a +=+（0a >,且1a >）地图象恒过点P ,若角α地终边经过点P ,则sin α=（ ）A.35B. 35-C.45D. 45-【结果】A 【思路】【思路】由题可得点()43P ,-,再利用三角函数地定义即求.【详解】令40x +=,则4,3x y =-=,所以函数42x y a +=+（0a >,且1a ≠）地图象恒过点()43P ,-,又角α地终边经过点P ,所以3sin 5α=,故选：A.5. 设tan 92a =︒,21b π⎛⎫= ⎪⎝⎭,log 92c π=,则a ,b ,c 地大小关系是（ ）A. c a b>> B. c b a>> C. a b c>> D.b a c>>【结果】B 【思路】【思路】依据正切函数,指数函数,对数函数性质估计a b c ，，地大小,由此确定它们地大小关系.【详解】∵92︒是第二象限角,∴tan 920a =︒<,∵ 指数函数1xy π⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数,且023<<,∴3211101πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴ 01b <<,∵log y x π=为(0,)+∞上地增函数,92π<∴log 921c π=>,∴c b a >>故选：B.6. 设正实数,x y 满足21x y +=,则xy 地最大值为（ ）A.12B.14C.18D.116【结果】C 【思路】【思路】依据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得2x y +≥,即1≤,解得18xy ≤,当且仅当2x y =,即14x =,12y =时,取等号,故选：C.7. 函数()()3ln 33x f x x -=-地部分图象大约为（ ）A. B.C. D.【结果】C 【思路】【思路】依据给定函数探讨其对称性可排除选项A ,B 。
广东省深圳市高级中学2022年高一数学理期末试卷含解析
广东省深圳市高级中学2022年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，，则三角形的形状为A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形参考答案：A2.参考答案：3. （4分）设D、E、F分别是△A BC的三边 BC、C A、A B上的点，且=2，=2，=2，则++与（）A．互相垂直B．既不平行也不垂直C．同向平行D．反向平行参考答案：D考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则、共线定理即可得出．解答：解：∵=2，=2，=2，∴++=++=，因此++与反向共线．故选：D．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线定理，属于基础题．4. （5分）设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f（x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（）A．f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5）B．f（6.5）＜f（3.5）＜f（1.5）C．f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）D．f（3.5）＜f（6.5）＜f（1.5）参考答案：C考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可知函数f（x）的周期为6，利用函数周期性，对称性和单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：∵f（x）=f（x+6），∴f（x）在R上以6为周期，∵函数的对称轴为x=3，∴f（3.5）=f（2.5），f（6.5）=f（0.5）∵f（x）在（0，3）内单调递减，0.5＜1.5＜2.5∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）即f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）故选：C点评：本题主要考查了函数的周期性与单调性的综合运用，利用周期性把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法．5. 已知定义域为的函数满足，则函数在区间[－1,1)上的图象可能是参考答案：C6. 若非零平面向量，，满足，则A．，一定共线 B．，一定共线C．，一定共线 D．，，无确定位置关系参考答案：A略7. 已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）参考答案：D略8. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就匀速跑步，等跑累了再匀速走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离d，横轴表示出发后的时间t，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A B C D参考答案：D9. 已知函数则的是A. B. C. e D. 3参考答案：D【分析】根据自变量的范围确定表达式，从里往外一步步计算即可求出.【详解】因为，所以，因为，所以＝＝3.【点睛】主要考查了分段函数求值问题，以及对数的运算，属于基础题.对于分段函数求值问题，一定要注意根据自变量的范围，选择正确的表达式代入求值.10. 已知是上的奇函数，且当时，，那么的值为（）A．0 B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 时钟从6时走到9时，时针旋转了_____________弧度参考答案：试题分析：因为是顺时针所以是负角，时钟从6时走到9时，所转过的弧度数为，所以时针旋转了弧度.考点：弧度12. =参考答案：略13. （6分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为．参考答案：πcm3考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积．解答：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：4，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，∴d=8﹣6=2，∴球的半径为：R=，R=5∴球的体积为π×（5）3=πcm3故答案为．点评：本题考查了球的几何性质，运用求解体积面积，属于中档题．14. 如图，程序执行后输出的结果为．参考答案：略15. “”是“有且仅有整数解”的__________条件。
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深2009－2010学年第二学期期末测试高一数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个正确答案）1.已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=（A ） （B ）19- （C ）19 （D 2.设向量11(1,0),(,)22a b == ,则下列结论中正确的是（A ） ||||a b = （B ） a b =（C ） a ∥b （D ） a b - 与b垂直3.在等差数列}{n a 中，686a a +=，则数列}{n a 的前13项之和为（A ）239 （B ） 39 （C ）1172 （D ） 784.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是（A ）23 （B ） 43 （C ） 32（D ） 35．在△ABC 中，060,sin sin sin a b c A a A B C++==++则等于（A ） 2 （B ）12 （C （D ）26.已知平面内不共线的四点C B A O ,,,满足3231+== （A ） 3:1 （B ） 1:3 （C ） 2:1 （D ） 1:27．函数6cos 2cossin 2sin55y x x ππ=-的单调递增区间是（A ）3[,]()105k k k Z ππππ++∈ （B ）37[,]()2020k k k Z ππππ-+∈ （C ）3[2,2]()105k k k Z ππππ++∈ （D ） 2[,]()510k k k Z ππππ-+∈ 8.在等差数列{n a }中，4681012120,a a a a a ++++=则9102a a -=（A ） 20 （B ） 22 （C ）24 （D ）289.在等比数列{n a }中，记12...,n n S a a a =+++已知546523,23,a S a S =+=+则此数列的公比q 为（A ） 2 （B ）3 （C ）4 （D ）510．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2010项2010a 满足 （A ）20101010a << （B ）20101110a ≤< （C ）2010110a ≤≤ （D ）201010a >二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.已知向量(3,4)a =，则与a 垂直的单位向量的坐标是12.在ABC ∆中，已知222,a b ab c ++=则C ∠=____________. 13.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是______14、设各项都不同的等比数列{n a }的首项为a ，公比为q ，前n 项和为n S ，要使数列{n p S -}为等比数列，则必有q =________.三、解答题（本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题8分） 已知函数2()sin 22sin f x x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期.（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.16. （本小题8分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n S n n 在直线11122y x =+上；数列{}n b 满足2120()n n n b b b n N *++-+=∈，且311b =，它的前9项和为153. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设3(211)(21)n n n c a b =--，求数列{}n c 的前n 项和为n T .17. （本小题8分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （－1,－2）、B （2,3）、C （－2,－1）。
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足（OC t AB -）·OC =0，求t 的值。
18. （本小题10分）已知,,OA a OB b ==点G 是OAB ∆的重心，过点G 的直线PQ 与,OA OB 分别交于,P Q 两点.（1）用,a b 表示OG ；（2）若,,OP ma OQ nb == 试问11m n+是否为定值，证明你的结论.19.（本小题10分）“雪花曲线”因其形状类似雪花而得名，它可以以下列方式产生，如图，有一列曲线123,,...P P P ，已知1P 是边长为1的等边三角形，1n P +是对n P 进行如下操作得到：将n P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（1,2,3...n =）.（1）记曲线n P 的边长和边数分别为n a 和n b （1,2,...n =）,求n a 和n b 的表达式; （2）记n S 为曲线n P 所围成图形的面积,写出n S 与1n S -的递推关系式，并求n S .深圳高级中学2009－2010学年第二学期期末测试 高一数学答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 43(,)55-或43(,)55-; 12. 23π13. y =1sin()210x π-14. 1a p -三、解答题（本大题共5小题，共44分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数2()sin 22sin f x x x =-（I ）求函数()f x 的最小正周期。
（II ） 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n S n n 在直线11122y x =+ 上；数列{}n b 满足2120()n n n b b b n N *++-+=∈，且311b =，它的前9项和为153.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设3(211)(21)n n n c a b =--，求数列{}n c 的前n 项和为n T 。
解：（1）因为n n S n 211212+=；故 当2≥n 时；51+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，611==S a ；满足上式；所以5+=n a n ；又因为0212=+-++n n n b b b ，所以数列}{n b 为等差数列； 由1532)(9739=+=b b S ，113=b ，故237=b ；所以公差3371123=--=d ； 所以：23)3(3+=-+=n d n b b n ； （2）31111()(211)(21)(21)(21)22121n n n c a b n n n n ===----+-+∴1221n n nT c c c n =+++=+17. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （－1,－2）、B （2,3）、C （－2,－1）。
(3)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (4)设实数t 满足（OC t AB -）·=0，求t 的值。
（1）法1:由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则 (2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以|||AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为。
法2设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则:E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=AD=；（2）由题设知：OC =（－2,－1），(32,5)AB tOC t t -=++。
由（OC t AB -）·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=， 从而511,t =-所以115t =-。
18.已知,,OA a OB b ==点G 是OAB ∆的重心，过点G 的直线PQ 与,OA OB 分别交于,P Q 两点.（1）用,a b 表示OG ；（2）若,,OP ma OQ nb == 试问11m n+是否为定值，证明你的结论。
解：（1）1()3OG a b =+（2）1111(),()3333PG m a b GQ a n b =-+=-+-PG GQ λ= 设得1111()[()]3333m a n b λλ-+=--又,a b 不共线，故1111()03333m n λλ-+=--= 故113m n+= 19．“雪花曲线”因其形状类似雪花而得名，它可以以下列方式产生，如图，有一列曲线123,,...P P P ，已知1P 是边长为1的等边三角形，1n P +是对n P 进行如下操作得到：将n P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（1,2,3...n =）. 记S n 为曲线P n 所围成图形的面积.(1) 记曲线n P 的边长和边数分别为n a 和n b （1,2,...n =）,求n a 和n b 的表达式; (2) 记n S 为曲线n P 所围成图形的面积,写出n S 与1n S -的递推关系式，并求n S .解（1）: 11()3n n a -=,113()4n nb -= （2） 11134()49n n n S S S --=+ 11134()49n n n S S S --=+ 212134()49n n n S S S ---=+………………2113449S S S =+将上面试式子累加得21111113444[()...()]4999834[()]559834()]4559n n n n S S S S ---=++++=-=-。