2013高考总复习数学(文)配套课时巩固与训练10章2课时训练

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2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练4章5课时训练

1.函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[0,3]D ．[－3,0] 解析：选B.当0≤sin x ≤1时，y ＝sin x －2sin x ＝－sin x ，此时y ∈[－1,0]；当－1≤sin x <0时，y ＝－sin x －2sin x ＝－3sin x ，此时y ∈(0,3]，求其并集得y ∈[－1,3]．2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π4解析：选A.由题意知T ＝π4 ，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tanπ＝0.3．(2009年高考重庆卷)下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11° 解析：选C.∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°， cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.又∵g (x )＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数， ∴sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.4．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是( )A.π2 B ．πC ．2π D.π4解析：选A.依题意得T 4＝π8，所以最小正周期为T ＝π2.5．已知函数y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ，则它的周期T 和图象的一条对称轴方程是( )A ．T ＝2π，x ＝π8B ．T ＝2π，x ＝3π8C ．T ＝π，x ＝π8D ．T ＝π，x ＝3π8解析：选 D.∵y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ＝1－cos(2x ＋π2)－cos2x ＝1＋sin2x －cos2x ＝1＋2sin(2x －π4)，所以其周期T ＝π，对称轴方程的表达式可由2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，故当k ＝0时的一条对称轴方程为x ＝3π8，故答案为D.6．(2008年高考天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a ＝f (sin 2π7)，b ＝f (cos 5π7)，c ＝f (tan 5π7)，则( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A.sin 27π＝sin(π－57π)＝sin 57π. 又π2＜57π＜34π.由三角函数线tan 57π＜cos 57π＜sin 57π且cos 57π＜0，sin 57π＞0.如图．∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 57π＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 57π＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan 57π. 又f (x )在[0，＋∞)上递增且为偶函数，∴f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 57π)＜f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 57π)＜f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan 57π)，即b ＜a ＜c ，故选A.7．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为________．解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎨⎧sin x >0cos x －12≥0，即⎩⎨⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎨⎧2k π<x <π＋2k π－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．答案：{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }8．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析：由题意知T 4≤π3，T ＝2πω，∴2ω≥3，ω≥32，∴ω的最小值等于32.答案：329．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)解析：画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象．答案：③④10.已知函数f (x )＝log 2[2sin(2x －π3)]．(1)求函数的定义域；(2)求满足f (x )＝0的x 的取值范围．解：(1)令2sin(2x －π3)>0⇒sin(2x －π3)>0⇒2k π<2x －π3<2k π＋π，k ∈Z ⇒k π＋π6<x <k π＋23π，k ∈Z .故函数的定义域为(k π＋π6，k π＋23π)，k ∈Z .(2)∵f (x )＝0，∴sin(2x －π3)＝22⇒2x －π3＝2k π＋π4或2k π＋34π，k ∈Z⇒x ＝k π＋724π或x ＝k π＋1324π，k ∈Z ，故x 的取值范围是{x |x ＝k π＋724π或x ＝k π＋1324π，k ∈Z }．11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围．解：(1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12.因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，所以0≤sin(2x －π6)＋12≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]．12．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]， ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12， ∴π6＋2k π<2x ＋π6<56π＋2k π，k ∈Z ，由π6＋2k π<2x ＋π6≤2k π＋π2，得k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z . 由π2＋2k π≤2x ＋π6<56π＋2k π得 π6＋k π≤x <π3＋k π，k ∈Z .∴函数g (x )的单调递增区间为(k π，π6＋k π](k ∈Z )，单调递减区间为[π6＋k π，π3＋k π)(k ∈Z )．。

2013高考总复习数学(文)配套课时巩固与训练9章2课时训练

1．(2009年高考全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6解析：选A.∵双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，则圆心(3,0)到2y ＋x ＝0的距离为r ，∴r ＝33＝ 3.故选A.2．(2009年高考江西卷)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1、F 2、P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．2 C.52D ．3 解析：选B.由2b c ＝3，令b ＝3，得c ＝2，∴a ＝1，∴e ＝ca＝2.3．设P 是双曲线x 222－y2b2＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9解析：选C.由渐近线方程y ＝32x ，且a ＝2，得b ＝3.∵|PF 1|＝3＜2a ＝4，∴P 点在双曲线左支上．据定义有|PF 2|－|PF 1|＝4， ∴|PF 2|＝7.4.(2008年高考山东卷)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 解析：选A.在椭圆C 1中，由⎩⎨⎧2a ＝26，c a ＝513，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，c ＝5，椭圆C 1的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C 2的标准方程为：x 242－y 232＝1，故选A.5．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1||PF 2|＝2，则双曲线方程是( )A.x 22－y 23＝1B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选C.∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|＝|F 1F 2|2，又||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝25，|PF 1|·|PF 2|＝2， ∴(2a )2＋2×2＝(25)2，解得a 2＝4，又c 2＝5，∴b 2＝1，∴双曲线方程为x24－y 2＝1.6．过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB |＝|BC |，则双曲线M 的离心率是( )A.10B. 5C.103D.52解析：选A.据题意可设l AB ：y ＝x ＋1，l OC ：y ＝bx ，l OB ：y ＝－bx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝bx解得C 点纵坐标为b b －1，B 点纵坐标为b 1＋b ，因为|AB |＝|BC |，所以b b －1＝2 b b ＋1，解得b ＝3，所以e ＝ca ＝10.7．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．答案：x 24－y 212＝18．(2009年高考湖南卷)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°，又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12，∴ca＝2.答案：29．(2008年高考海南、宁夏卷)设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5，∴A (3,0)，F (5,0)，不妨设BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B (175，－3215)．∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215.答案：321510．已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)，求双曲线的标准方程．解：法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜y P ＝3.∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x24a2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上， ∴9a 2－164a2＝1，解得a 2＝5.∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，即x2－y ＝0， ∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0.设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)， ∴424－32＝λ，即λ＝－5. ∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x220＝1. 11.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|. 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝2 3. ∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3. ∴|PF 1|·|PF 2|＝8.∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.12．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2. 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋mx 23－y 2＝1整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0，可得m 2＞3k 2－1且k 2≠13①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝6km1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k2， y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2.由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)．整理得3k 2＝4m ＋1②将②代入①，得m 2－4m ＞0，∴m ＜0或m ＞4.又3k 2＝4m ＋1＞0(k ≠0)，即m ＞－14∴m 的取值范围是(－14，0)∪(4，＋∞)．。

2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练2章3课时巩固

1．(2010年皖南八校联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－3)＝－2，则f (3)＋f (0)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．7解析：选C.由题意得f (3)＋f (0)＝－f (－3)＋f (0)＝2＋0＝2.故选C.2．(2009年高考福建卷)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，在A 中，由f ′(x )＝－1x 2＜0得f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；在B 中，由f ′(x )＝2(x －1)＜0得x ＜1，所以f (x )在(－∞，1)上为减函数．在C 中，由f ′(x )＝e x ＞0知f (x )在R 上为增函数．在D 中，由f ′(x )＝1x ＋1且x ＋1＞0知f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)＜f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.∵f (x )在R 上为减函数且f (|1x |)＜f (1)，∴|1x |＞1，即|x |＜1且x ≠0，得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.4．(原创题)已知f (x )＝x 2＋x ，则f (a ＋1a )________f (1)．(填“≤”“≥”)．解析：∵a ＋1a ≥2或a ＋1a ≤－2，f (x )的对称轴为x ＝－12.∴f (x )在(－12，＋∞)上为增函数，在(－∞，－12)上为减函数．又f (2)＝22＋2＝6>2＝f (1)，f (－2)＝(－2)2＋(－2)＝2＝f (1)，∴f (a ＋1a )≥f (1)．答案：≥5．(2008年高考上海卷)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________________.解析：由于f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]，可知b ≠0，∴f (x )为二次函数，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.∵f (x )为偶函数，∴其对称轴为x ＝0，∴－2a ＋ab 2b ＝0，∴2a ＋ab ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.若a ＝0，则f (x )＝bx 2与值域是(－∞，4]矛盾，∴a ≠0，若b ＝－2，又其最大值为4，∴4b ×2a 24b ＝4，∴2a 2＝4，∴f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋46.已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．解：(1)证明：设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2，代入可得a ＝25.。

2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练15章3课时训练

1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确解析：选B.首先要注意n为奇数，其次还要使n＝2k－1能取到1，故选B.2．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到() A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2解析：选B.∵n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)＝k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2.故选B.3．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：选C.当n＝1时，左端＝1＋a＋a2.4．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)解析：选D.(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析：选A.∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c 1＋2×3＝32(2a －b )＋c 1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.6．在数列{a n } 中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C.由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，得S 2＝2(2×2－1)a 2，即a 1＋a 2＝6a 2，∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3，即13＋115＋a 3＝15a 3.∴a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9.故选C . 7．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．解析：当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k ) ·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)8．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)29．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．解析：计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜想a n ＝n 2.答案：n 210．对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)．证明：设f (n )＝1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1.(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n ＝k 时等式成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1·(k ＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－2]·3＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1＝f (k )＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1)＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)．∴由(1)(2)可知当n ∈N *时等式都成立．11.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a n (n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．解：(1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 12＝13. a 2＝a 1·b 2＝13.∴点P 2的坐标为(13，13)∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a k 2(2a k＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．12．已知正项数列{a n }和{b n }中，a 1＝a (0＜a ＜1)，b 1＝1－a .当n ≥2时，a n ＝a n －1b n ，b n ＝b n －11－a 2n －1. (1)证明：对任意n ∈N *，有a n ＋b n ＝1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1＋b 1＝a ＋(1－a )＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立，即a k ＋b k ＝1，则当n ＝k＋1时，a k ＋1＋b k ＋1＝a k b k ＋1＋b k ＋1＝(a k ＋1)·b k ＋1＝(a k ＋1)·b k 1－a k 2＝b k 1－a k＝b k b k＝1. ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①、②可知，a n ＋b n ＝1对n ∈N *恒成立．(2)∵a n ＋1＝a n b n ＋1＝a n b n 1－a n 2＝a n (1－a n )1－a n 2＝a n 1＋a n， ∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n＋1，即1a n ＋1－1a n＝1. 数列{1a n }是公差为1的等差数列，其首项为1a 1＝1a ， 1a n ＝1a ＋(n －1)×1，从而a n ＝a 1＋(n －1)a .。

2013高考总复习数学(文)配套课时巩固与训练7章1课时训练

1．已知a 1b B ．ab <1C.a b >1 D ．a 2>b 2解析：选D.若b ＝0，可排除A ，C ，无论b >0还是b <0，D 均成立．2．下列命题中的真命题是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若|a |>b ，则a 2>b 2C ．若a >b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2 解析：选D.∵a >|b |≥0，∴a 2>b 2，故选D.3．如果a ，b ，c 满足c acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：选C.当b ＝0时，b 2＝0，cb 2＝ab 2，故选C.4．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b解析：选C.法一：∵A 、B 、C 、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．令a ＝2，b ＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，即a >－b >b >－a .法二：∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0，－a －b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .5．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值为( )A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．符号不能确定解析：选A.法一：因为a <0，ay >0，所以y <0，又x ＋y >0，所以x >－y >0，所以x －y >0.应选A.法二：a <0，ay >0，取a ＝－2得：－2y >0，又x ＋y >0，两式相加得x －y >0.应选A.6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：选B.设步行速度与跑步速度分别为v 1，v 2，显然v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s 1＋s 2－4s v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2) ＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 7．设A ＝1＋2x 4，B ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则A ，B 的大小关系是________．解析：∵A －B ＝1＋2x 4－2x 3－x 2＝2x 3(x －1)－(x 2－1)＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)，∵(x －1)2≥0,2x 2＋2x ＋1>0，∴A －B ≥0，即A ≥B .答案：A ≥B8．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b 成立的充分条件有________．解析：1a <1b ⇒b －a ab <0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．答案：①②④9．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这件事实中提炼出一个不等式组是________．解析：依题意47＋47k <1，且三次后全部进入，即47＋47k ＋47k 2≥1，故不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <147＋47k ＋47k 2≥1.k ∈N *答案：⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <147＋47k ＋47k 2≥1k ∈N *10．已知：a >b >0，c >d >0，求证：a d >b c .证明：∵c >d >0，∴1d >1c >0，又∵a >b >0，∴a d >b c >0.11.已知a >0，b >0，试比较a b ＋b a 与a ＋b 的大小．解：(a b ＋b a)－(a ＋b ) ＝a a ＋b b －ab (a ＋b )ab＝a a ＋b b －a b －b a ab＝a (a －b )－b (a －b )ab ＝(a －b )(a －b )ab＝(a ＋b )(a －b )2ab. ∵a >0，b >0.∴a ＋b >0，ab >0.又∵(a －b )2≥0(当且仅当a ＝b 时等号成立)，∴(a ＋b )(a －b )2ab≥0. 即a b ＋b a≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时等号成立)． 12．2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得了51金、21银、28铜的骄人成绩．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12000元预订15张下表中球类比赛的门票：订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数．解：设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n (n ∈N *)张，则男篮比赛门票预订(15－2n )张，得⎩⎪⎨⎪⎧ 800n ＋500n ＋1000(15－2n )≤12000800n ≤1000(15－2n )，解得427≤n ≤5514.由n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5.∴可以预订男篮比赛门票5张．。

2013高考总复习数学(文)配套课时巩固与训练6章1课时训练

1．已知数列3，7，11，15，…，则53是数列的( )A ．第18项B ．第19项C ．第17项D ．第20项解析：选B.∵7－3＝11－7＝15－11＝4，即a n 2－a n －12＝4，∴a n 2＝3＋(n －1)×4＝4n －1，令4n －1＝75，则n ＝19.故选B. 2．已知数列的通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1 (n 为奇数)2n －1 (n 为偶数)，则a 2009－a 2010等于( )A ．2007B ．2008C ．2009D ．2010解析：选C.a 2009＝3×2009＋1＝6028；a 2010＝2×2010－1＝4019.故a 2009－a 2010＝6028－4019＝2009.故应选C.3．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1； ③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.①错误，如a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，a 1＝1就无法写出a 2；②错误，a n ＝n ＋1n ＋2；③正确；④两数列是不同的有序数列．故应选A.4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38解析：选C.由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2， ∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 解析：选B.a n ＝⎩⎨⎧ S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)，＝⎩⎨⎧－8 (n ＝1)，－10＋2n (n ≥2). ∵n ＝1时适合a n ＝2n －10，∴a n ＝2n －10. ∵5<a k <8，∴5<2k －10<8，∴152<k <9，又∵k ∈N ＋，∴k ＝8，故选B.6．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 17＝( )A ．1B ．2C.12 D ．2－987解析：选C.由已知得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，a 9＝2，a 10＝1，a 11＝12，a 12＝12，即a n 的值以6为周期重复出现，故a 17＝12.7.已知数列{a n }的通项a n ＝na nb ＋c(a ，b ，c 均为正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是________．解析：∵a n ＝na nb ＋c ＝a b ＋c n，c n 是减函数， ∴a n ＝a b ＋c n是增函数，∴a n <a n ＋1.答案：a n <a n ＋18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1(3n －1)2(对n ≥1恒成立)且a 4＝54，则a 1＝________.解析：法一：由S 4＝S 3＋a 4，得a 1(34－1)2＝a 1(33－1)2＋54，即a 1(34－33)2＝54，解得a 1＝2. 法二：由S n －S n －1＝a n (n ≥2)可得a n ＝a 1(3n －1)2－a 1(3n －1－1)2＝a 1(3n －3n －1)2＝a 1·3n －1， ∴a 4＝a 1·33，∴a 1＝5427＝2.答案：29．已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝5n 2，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝T 1＝512＝5；当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝5n 25(n －1)2＝52n －1(n ∈N *)．当n ＝1时，也适合上式，所以当n ∈N *时，a n ＝52n －1.答案：a n ＝52n －1(n ∈N *)10．已知数列{a n }中，a n ∈(0，12)，a n ＝38＋12a 2n －1，其中n ≥2，n ∈N ＋，求证：对一切正整数n 都有a n <a n ＋1成立．证明：a n ＋1－a n ＝38＋12a n 2－a n＝12(a n －1)2－18，∵0<a n <12，∴－1<a n －1<－12.∴18<12(a n －1)2<12.∴12(a n －1)2－18>0.∴a n ＋1－a n >0，即a n <a n ＋1对一切正整数n 都成立．11．(2010年邯郸模拟)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1n (n ≥2)，23(n ＝1).(2)∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<0，∴{c n}是递减数列．12．已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2＋pn，数列{b n}的前n项和为T n＝3n2－2n.(1)若a10＝b10，求p的值．(2)取数列{b n}的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{c n}，求数列{c n}的通项公式．解：(1)由已知，a n＝S n－S n－1＝(n2＋pn)－[(n－1)2＋p(n－1)]＝2n－1＋p(n≥2)，b n＝T n－T n－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5(n≥2)．∴a10＝19＋p，b10＝55.由a10＝b10，得19＋p＝55，∴p＝36.(2)b1＝T1＝1，满足b n＝6n－5.∴数列{b n}的通项公式为b n＝6n－5.取{b n}中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b2k－1＝6(2k－1)－5＝12k－11.∴c n＝12n－11.。

2013高考总复习数学(文)配套课时巩固与训练3章2课时训练

1．已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则( )A ．f (x )在x ＝1处取得极小值B ．f (x )在x ＝1处取得极大值C ．f (x )是R 上的增函数D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数解析：选C.由图象易知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上是增函数．2．函数f (x )＝x 3－6b 2x ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．b ＞0B ．b ＜12C ．0＜b ＜22D ．b ＜1 解析：选C.f ′(x )＝3x 2－6b 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±2b .∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴0＜2b ＜1.∴0＜b ＜22. 3．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：选B.可以求出f (x )＝x 4－2x 2＋c ，其中c 为常数．由于f (x )过(0，－5)，所以c ＝－5，又由f ′(x )＝0，得极值点为x ＝0和x ＝±1.又x ＝0时，f (x )＝－5.故x 的值为0.4.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2上的值域为( ) A ．[12，12e π2] B ．(12，12e π2) C ．[1，e π2] D ．(1，e π2)解析：选A.f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0， ∴f (x )是[0，π2]上的增函数． ∴f (x )的最大值为f (π2)＝12e π2f (x )的最小值为f (0)＝12. 5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为( )A ．(-∞，12)∪(12,2)B ．(－∞，0)∪(12，2) C ．(－∞，12∪(12，＋∞) D ．(－∞，12)∪(2，＋∞) 解析：选B.由f (x )图象单调性可得f ′(x )在(－∞，12)∪(2，＋∞)大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，0)∪(12，2)． 6．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (b )g (a )解析：选C.令y ＝f (x )·g (x )，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )，由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，所以y 在R 上单调递减，又x f (b )g (b )．7．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6，若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，所以c ＝6.答案：68．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图所示，－2<a <2时，恰有三个不同公共点．答案：(－2,2)9．将长为52 cm 的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为________．解析：设剪成2段中其中一段为x cm ，另一段为(52－x ) cm ，依题意知：S ＝x 6·2x 6＋3(52－x )10·2(52－x )10＝118x 2＋350(52－x )2， S ′＝19x －325(52－x )，令S ′＝0，则x ＝27.另一段为52－27＝25.此时S min ＝78.答案：7810．(2010年合肥质检)设函数f (x )＝ln x －2ax .(1)若函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线为直线l ，且直线l 与圆(x ＋1)2＋y 2＝1相切，求a 的值；(2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间．解：(1)依题意有，f ′(x )＝1x－2a . 因此过(1，f (1))点的直线的斜率为1－2a ，又f (1)＝－2a ，所以，过(1，f (1))点的直线方程为y ＋2a ＝(1－2a )(x －1)．即(2a －1)x ＋y ＋1＝0又已知圆的圆心为(－1,0)，半径为1，依题意，|1－2a ＋1|(2a －1)2＋1＝1，解得a ＝12. (2)依题知f (x )＝ln x －2ax 的定义域为(0，＋∞)，又知f ′(x )＝1x－2a 因为a >0，x >0，令1x －2a >0，则1－2ax >0 所以在x ∈(0，12a)时，f (x )＝ln x －2ax 是增函数；在x ∈(12a，＋∞)时，f (x )＝ln x －2ax 是减函数． 11．已知函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (a ，b 为实数，且a >1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 在区间[－2,2]上为减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3ax ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝a ，∵a >1，∴f (x )在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数．∴f (0)＝b ＝1， ∵f (－1)＝－32a ，f (1)＝2－32a ，∴f (－1)<f (1)， ∴f (－1)＝－32a ＝－2，a ＝43. ∴f (x )＝x 3－2x 2＋1.(2)g (x )＝x 3－2x 2－mx ＋1，g ′(x )＝3x 2－4x －m .由g (x )在[－2,2]上为减函数，知g ′(x )≤0在x ∈[－2,2]上恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(－2)≤0g ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧20－m ≤04－m ≤0∴m ≥20. ∴实数m 的取值范围是m ≥20.12．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax .(1)当x ＝0时，函数f (x )取得极大值，求实数a 的值；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f ′(x )≥2x 成立，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求实数a 的取值范围；(3)求函数f (x )的单调区间．解：(1)f ′(x )＝1x ＋1＋a 由f ′(0)＝0，得a ＝－1，此时f ′(x )＝1x ＋1－1. 当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(－1,0)上单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减；∴函数f (x )在x ＝0处取得极大值，故a ＝－1.(2)∵f ′(x )≥2x ，∴1x ＋1＋a ≥2x ，∴a ≥2x －1x ＋1. 令g (x )＝2x －1x ＋1(1≤x ≤2)， ∴g ′(x )＝2＋1(x ＋1)2>0，∴g (x )在[1,2]上是增函数， ∴a ≥g (1)＝32. (3)f ′(x )＝1x ＋1＋a . ∵1x ＋1>0， ∴当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．当a <0时，令f ′(x )＝0，x ＝－1a－1；若x ∈(－1，－1a－1)时，f ′(x )>0，若x ∈(－1a－1，＋∞)时，f ′(x )<0；综上，当a ≥0时，函数f (x )递增区间是(－1，＋∞)；当a <0时，函数f (x )递增区间是(－1，－1a －1)，递减区间是(－1a－1，＋∞)．。

2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练8章2课时训练

1．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＋k ＋12＝0相交于一点，则k ＝( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12解析：选 B.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得交点为(－1，－2)，代入x ＋ky ＋k ＋12＝0，得k ＝－12.2．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，k AB ＝2－(－1)3－a＝1，a ＝0. 由l 1∥l 2，－2b ＝1，得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.3.点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3解析：选C.直线l ：y ＝k (x －2)的方程化为kx －y －2k ＝0，所以点P (－1,3)到该直线的距离为d ＝3|k ＋1|k 2＋1＝3k 2＋2k ＋1k 2＋1＝31＋2k k 2＋1，由于2k k 2＋1≤1，所以d ≤32，即距离的最大值等于32，选C.4．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－2,1)解析：选C.设P 点坐标为(a,5－3a )，由题意知：|a －(5－3a )－1|2＝ 2. 解之得a ＝1或a ＝2，∴P 点坐标为(1,2)或(2，－1)．故应选C.5．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 1与l 2关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B.在l 2上任取一点(x ，y )，关于l ：x －y －1＝0的对称点(x 0，y 0)在l 1上，根据点关于线的对称关系列方程组解出x 0，y 0，代入l 1即可得出方程x －2y －1＝0.6．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1 解析：选C.由l 1∥l 3得k ＝5，由l 2∥l 3得k ＝－5，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10. 故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10.7．已知直线l 1：kx －y ＋1－k ＝0与l 2：ky －x －2k ＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为________．解析：解⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1－k ＝0ky －x －2k ＝0，得⎩⎨⎧x ＝k k －1y ＝2k －1k －1， ∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧ k k －1＞02k －1k －1＞0，∴k ＞1或k ＜0. 答案：k ＜0或k ＞18．设直线l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为______________．解析：设A (－1,1)，B (2，－1)，当AB ⊥l 时，点B 与l 距离最大，此时l 的方程为：y －1＝－11＋1－1－2(x ＋1)，即为：3x －2y ＋5＝0.答案：3x －2y ＋5＝09．已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是________(填上所有正确答案的序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x解析：根据题意，看所给直线上的点到定点M 距离能否取4.可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析．①d ＝|5＋1|12＋(－1)2＝32＞4，故直线上不存在点到点M 距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|(－3)2＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”．答案：②③10．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程．(1)l ′与l 平行且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4；(3)l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线．解：(1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k l ＝－34，又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34.∴直线l ′：y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43. 设l ′在x 轴上截距为b ，则l ′在y 轴上截距为－43b ，由题意可知，S ＝12|b |·|－43b |＝4，∴b ＝±6.∴直线l ′：y ＝43x ＋6或y ＝43x － 6.(3)∵l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线，∴l ′与l 关于原点对称．在l 上任取点(x 0，y 0)，则在l ′上对称点为(x ，y )．x ＝－x 0，y ＝－y 0，则－3x －4y －12＝0.∴l ′为3x ＋4y ＋12＝0.11.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0②由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a 1－a，故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4|a －1a |＝|a 1－a|，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．光线通过点A (－2,4)，经直线2x －y －7＝0反射，若反射线通过点B (5,8)．求入射光线和反射光线所在直线的方程．解：如右图，已知直线l ：2x －y －7＝0，设光线AC 经l 上点C 反射为BC ，则∠1＝∠2.再设A 关于l 的对称点为A ′(a ，b )，则∠1＝∠3.∴∠2＝∠3，则B ，C ，A ′三点共线．∵A ′A ⊥l 且AA ′中点在l 上，∴⎩⎨⎧2·a －22－b ＋42－7＝0，b －4a ＋2·2＝－1.解得a ＝10，b ＝－2，即A ′(10，－2)．∴A ′B 的方程为y ＋2＝8＋25－10(x －10)，即2x ＋y －18＝0.∴A ′B 与l 的交点为C (254，112)．∴入射光线AC 的方程为y －4＝4－112－2－254(x ＋2)．即2x －11y ＋48＝0.∴入射光线方程为2x －11y ＋48＝0，反射光线方程为2x ＋y －18＝0.。

【步步高】高考数学总复习第十章 10.2排列与组合强化训练理北师大版

§10.2排列与组合1．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中任意取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝1.2．组合(1)组合的定义：从n个不同的元素中，任取出m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，由于0！＝1，所以C0n＝1.(4)组合数的性质：①C m n＝C n－mn __；②C m n＋1＝C m n__＋C m－1n__.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！. (√)(5)A m n＝n A m－1n－1. (√)(6)k C k n＝n C k－1n－1. (√) 2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有() A．4种B．10种C．18种D．20种答案 B解析方法一不同的赠送方法有A45A22A33＝10(种)．方法二从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本．由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C14＝4(种)赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C24＝6(种)赠送方法．因此共有4＋6＝10(种)赠送方法．3．(2012·大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有() A．12种B．18种C．24种D．36种答案 A解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．4．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为() A．8 B．24 C．48 D．120答案 C解析分两步：(1)先排个位有A12种排法．(2)再排前三位有A34种排法，故共有A12A34＝48种排法．5．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有______种．答案14解析①有1名女生：C12C34＝8.②有2名女生：C22C24＝6.∴不同的选派方案有8＋6＝14(种)．题型一排列问题例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．思维启迪这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)．解 (1)方法一 (元素分析法) 先排甲有6种，其余有A 88种，故共有6·A 88＝241 920(种)排法．方法二 (位置分析法)中间和两端有A 38种排法，包括甲在内的其余6人有A 66种排法，故共有A 38·A 66＝336×720＝241 920(种)排法．方法三 (等机会法)9个人的全排列数有A 99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A 99×69＝241 920(种)．方法四 (间接法)A 99－3·A 88＝6A 88＝241 920(种)．(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A 22·A 77＝10 080(种)排法． (3)(插空法)先排4名男生有A 44种方法，再将5名女生插空，有A 55种方法，故共有A 44·A 55＝2 880(种)排法．思维升华本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？解本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A 44＝24；第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，这一步有A 13＝3种方法．又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，这一步有方法A 13＝3(种)．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，这一步有方法A 33＝6(种)．根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A 13·A 13·A 33＝54. 由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78(个)．题型二组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维启迪可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法．解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种)．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)选取3件的总数有C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．题型三排列与组合的综合应用问题例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？思维启迪把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空．解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法． (3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种)．思维升华排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．(1)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种(2)(2013·重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)答案 (1)B (2)590 解析 (1)先放1、2的卡片有C 13种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有C 24A 22·A 22种，故共有C 13·C 24＝18种． (2)分三类：①选1名骨科医生，则有C 13(C 14C 35＋C 24C 25＋C 34C 15)＝360(种)． ②选2名骨科医生，则有C 23(C 14C 25＋C 24C 15)＝210(种)； ③选3名骨科医生，则有C 33C 14C 15＝20(种)．∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.排列、组合问题计算重、漏致误典例：(5分)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．易错分析易犯错误如下：先从一等品中取1个，有C116种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C219种不同取法，共有C116×C219＝2 736种不同取法．上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复．解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有C116C24＋C216C14＋C316＝1 136(种)．方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1 136(种)．答案 1 136温馨提醒(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题．(2)“至少、至多型”问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解．方法与技巧1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．2．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．失误与防范1．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．2．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．A组专项基础训练(时间：35分钟)一、选择题1．(2012·课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有() A．12种B．10种C．9种D．8种答案 A解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．2．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为() A．C27A55B．C27A22C．C27A25D．C27A35答案 C解析从后排抽2人的方法种数是C27；前排的排列方法种数是A25.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25.3．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有() A．36种B．42种C．48种D．54种答案 B解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法．依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42(种)编排方案．4．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()A．11种B．20种C．21种D．12种答案 C解析当第一组开关有一个接通时，电路接通有C12(C13＋C23＋C33)＝14(种)方式；当第一组开关有两个接通时，电路接通有C22(C13＋C23＋C33)＝7(种)方式．所以共有14＋7＝21(种)方式，故选C.5．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为() A．232 B．252C．472 D．484答案 C解析分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．二、填空题6．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．答案60解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A35＝60(种)．7．(2013·北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案96解析将5张参观券分成4堆，有2个连号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A44种分法，∴不同的分法种数共有4A44＝96.8．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．答案8解析先把两奇数捆绑在一起有A22种方法，再用插空法共有个数A22·C12·A22＝8.9．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．答案24解析甲、乙排在一起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A22·A23二、解答题10．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C518＝8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418＋C318＝6 936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14 656(种)．方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．B组专项能力提升(时间：15分钟)1．(2012·北京)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为() A．24 B．18 C．12 D．6答案 B解析当选0时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，剩余1个数字排在首位，共有C23C12＝6(种)方法；当选2时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，其余2个数字全排列，共有C23C12A22＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．2．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有()A．2 680种B．4 320种C．4 920种D．5 140种解析先将7盆花全排列，共有A77种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5A33 A44(种)，故所求摆放方法有A77－5A33A44＝4 320(种)．3．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有() A．A44A55B．A33A44A35C．C13A44A55D．A22A44A55答案 D解析先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A22种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有A22A44A55种．4．(2013·浙江)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．答案480解析分类讨论：A、B都在C的左侧，且按C的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况．所以共有2(A22·A33＋C13A33·A22＋C23A44＋A55)＝480(种)．5．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴省运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．答案 1 080解析先分组再分配，共有C16C15C242A22·A44＝1 080(种)分配方案．6．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种(用数字作答)．答案96解析甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A44种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A44种方法．丙传第一棒，共有C12·A44种方法．由分类加法计数原理得，共有A44＋A44＋C12·A44＝96(种)方法．7．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8种卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种(用数字作答)．答案432解析取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有三种情况：1144,2233,1234.所取卡片是1144的共有A44种排法．所取卡片是2233的共有A44种排法．所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法A44＋C14A44＋C24A44＋C34A44＋A44＝16A44(种)，∴共有排法18A44＝18×4×3×2×1＝432(种)．。

2013年高考数学总复习高效课时作业1-2 文新人教版

2013年高考数学总复习高效课时作业1-2 文新人教版一、选择题1．(2012年黄冈模拟)“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2＝xz ”成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件答案：A2．(2011年湖南)“x >1”是“|x |>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵x >1⇒|x |>1，|x |>1⇒/ x >1，∴“x >1”是“|x |>1”的充分不必要条件．答案：A3．(2012年天津卷)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A4．(2012年日照二模)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m ”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由l ⊥α，α∥β，得l ⊥β，又m ⊂β∴l ⊥m ；但由l ⊥m ，m ⊂β不能得出l ⊥β， ∴α不一定平行于β.选C.答案：C5．(2011年湖北)若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析：由a 2＋b 2＝a ＋b ，可得a 2＋b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b2＋2ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a ＋b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a ≥0，b ≥0，故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．答案：C二、填空题6．(2011年陕西)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝______解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n ≥0得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.答案：3或47．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________．解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23. 答案：－238．已知p ：x ≤1，q ：1x＜1，则綈p 是q 的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选择恰当的一个填写)解析：p ：x ≤1，綈p ：x ＞1，q ：1x＜1，即x ＞1或x ＜0. 綈p ⇒q 但q ⇒/ 綈p .故綈p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要9．设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x ||x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．解析：A ＝{x |－1＜x ＜1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则有－1≤b －1＜1或－1＜b ＋1≤1，所以b ∈(－2，2)．答案：(－2，2)三、解答题10．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.证明：(1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 02＋2ax 0＋b 2＝0，x 02＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a ，将此式代入x 02＋2ax 0＋b 2＝0可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°.(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.将此式代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.11．已知命题p: 对m ∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥ m 2＋8 恒成立；命题q ：不等式x2＋ax ＋2<0有解，若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围．解析：∵m ∈[－1，1]，∴ m 2＋8∈[2 2，3]．∵对m ∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥ m 2＋8 恒成立，可得a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.故命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.又命题q ：不等式x 2＋ax ＋2<0有解，∴Δ＝a 2－8>0.∴a >2 2或a <－2 2.从而命题q 为假命题时，－2 2≤a ≤2 2，∴命题p 为真命题，q 为假命题时， a 的取值范围为－2 2≤a ≤－1.12．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解析：(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0，由4x ＋p <0得x <－p 4，故－p 4≤－1时， “x <－p 4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”． ∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．(2)若“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件，则x2－x－2>0的解集是4x＋p<0的解集的子集，由题知不存在．故不存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件．。

2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练3章3课时巩固

2．(原创题)用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．⎠⎛a c f (x )d xB ．|⎠⎛acf (x )d x | C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛b c f (x )d x D ．⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛a bf (x )d x 解析：选D.由定积分的几何意义知选项D 正确．3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12C.23D.16解析：选A.由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12 (x 2－x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 221＝56. 4．若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14 (1＋2x )d x ，则公比等于________．解析：本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解．由已知得a 4＝(x ＋x 2)|41＝18，故q 3＝1823＝27⇒q ＝3. 答案：35.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.解析：⎠⎛-11(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )| 1-1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－1或a ＝13.答案：－1或136．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛01(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10＝13.。

2013届高考数学(文科)大纲版一轮总复习课件10.4二项式定理(第2课时)

•
4(C解n05：n (C1n1 )5证n-1 明Cn:2因5n-为2 4·6Cnn+n-155n)+1-9=4(6n-
1)+5(5 -1) n5(Cn0 4n Cn1 4n-1 Cn2 4n-2

C n-1 n

4)
•
20=(C4n0［5n(-15+C1n1 )5nn--12 ］Cn2+55n［-3 (4+1C)nnn-1-)1］

P
•
x 103 1- 1.1 (1 0.01)10
1.22
,
•
化简得
,
• 因为
103

1
1.1
(1+0.01)10 1.22

=103

1-
1.1 1.22

(1+C110

0.01+C120

0.012
+
)
•
103 (1- 1.1 1.1045) 4.1 1.22
•
2S n(Cn0 Cn1 Cn2 Cnn ) n 2n
，
•
Cn1 两2C式n2 相加 nC，nn 得 n 2n-1
题型5 利用二项式定理解决整除性和余数问题
•
2. (1)求证：4·6n+5n+1-9(n∈N*)能
被20整除；
•
(2)求5555除以8的余数.
少公顷(精确到1公顷)？
=
(粮食单产= 总—总人—产口—量数—)
耕—总地—产面—量积—,人均粮食占有量
•
解：设耕地平均每年至多只

2013高考总复习数学(文)配套课时巩固与训练11章2课时训练

2013高考总复习数学(文)配套课时巩固与训练11章2课时训练1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110解析：选C.从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A )包含8个基本事件，所以所求的概率为P (A )＝810＝45.故选C. 2．从标有1号到100号的100张卡片中任意抽取1张，取出的卡片号是7的倍数的概率是( )A.320B.325C.750D.13100解析：选C.根据等差数列的性质1≤7＋7(m －1)≤100，得所求事件的基本事件数为m ＝14，故取出的卡片号是7的倍数的概率为P ＝14100＝750. 3．(2008年高考辽宁卷)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选C.从4张卡片中任取两张的方法数为1,2；1,3；1,4；2,3；2,4；3,4，共6种．其中和为奇数的情况有1,2；1,4；2,3；3,4，共4种．求P (A ∪B )．解：基本事件总数为7，记i ＝{取出的数字为i }，(1)A ＝{3,4,5,6,7}，B ＝{1,2,3,4,5,6}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}，所以P (A ∪B )＝1.(2)A ＝{4,5,6,7}，B ＝∅，所以P (A ∪B )＝P (A )＝47. (3)A ＝{2,4,6}，B ＝{2}，所以P (A ∪B )＝P (A )＝37. 11．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N *}，M ＝P ∪Q ，在平面直角坐标系中，点A (x ′，y ′)的坐标x ′∈M ，y ′∈M ，计算：(1)点A 正好在第三象限的概率；(2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在圆面x 2＋y 2≤10上的概率．解：由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N *}可得Q ＝{1,3}，M ＝P ∪Q ＝{－6，－4,0,1,3}．因为点A (x ′，y ′)的坐标x ′∈M ，y ′∈M ，由列举法可得满足条件的A 点共有25个．(1)正好在第三象限的点有(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4) 4个点．故点A 正好在第三象限的概率P 1＝425. (2)在y 轴上的点有(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3) 5个点．故点A 不在y 轴上的概率P 2＝1－525＝45. (3)正好落在圆面x 2＋y 2≤10上的点A 有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(0,1)，(3,1)，(1,3) 6个点．故点A 落在圆面x 2＋y 2≤10上的概率为P 3＝625. 12.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个小球，每个小球被取出的可能性相等．(1)求取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率；(2)求取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率；(3)求取出的两个小球上的标号之和大于5的概率．解：由题意可知，从甲、乙两个盒子中各取1个小球的基本事件总数为16.(1)记“取出的两个小球的标号为相邻整数”为事件A ，则事件A 的基本事件有：(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)共6个．∴P (A )＝616＝38. (2)记“取出的两个小球上的标号之和能被3整除”为事件B ，则事件B 包含：(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)共5个基本事件．∴P (B )＝516， (3)记“取出的两个小球上的标号之和为6”为事件C ，则事件C 包含：(2,4)，(4,2)，(3,3)共3个基本事件．∴P (C )＝316，记“取出的两个小球上的标号之和为7”为事件D ，则事件D 包含：(3,4)，(4,3)共2个基本事件．∴P (D )＝216＝18，记“取出的两个小球上的标号之和为8”为事件E ，则事件E 包含(4,4)共1个基本事件．∴P (E )＝116， ∴取出的两个小球上的标号之和大于5的概率为：P (C )＋P (D )＋P (E )＝38.。

2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练6章5课时训练

1．已知a ，b ∈(0，＋∞)，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定解析：选C.依题意A ＝a ＋b 2，G ＝ab ，∴AG －ab ＝a ＋b 2·ab －ab ＝ab (a ＋b 2－ab ) ＝ab ·(a －b )22≥0，∴AG ≥ab .2．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4.∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴S △OP 1P 2＝1.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A ．(2,4)B ．(－13，－43)C ．(－12，－1)D ．(－1，－1)解析：选B.由S 2＝10，S 5＝55，得2a 1＋d ＝10,5a 1＋10d ＝55，解得a 1＝3，d ＝4，可知直线PQ 的一个方向向量是(1,4)，只有(－13，－43)与(1,4)平行．故选B.4．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能构成一等差数列，则这群羊共有( )A ．6只B ．5只C ．8只D ．7只错误!解析：选A.依题意除去一只羊外，其余n －1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列，设a 1＝7，d >0，S n －1＝65－10＝55.∴有(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)2d ＝55. 即7(n －1)＋(n －1)(n －2)d 2＝55， (n －1)[7＋(n －2)d 2]＝55，∵55＝11×5且(n －1)∈Z ，[7＋(n －2)d 2]∈Z .∴⎩⎨⎧ n －1＝5，7＋n －22d ＝11.∴n ＝6.5．2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾．大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止第5天(包括第5天)捐款总数将达到( )A ．4800元B ．8000元C ．9600元D ．11200元解析：选B.由题意知，5天共捐款10×10＋(10×2)×(10＋5)＋(10×4)×(15＋5)＋(10×8)×(20＋5)＋(10×16)×(25＋5)＝8000(元)．6．已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．(－72，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)解析：选 D.∵{a n }是递增数列，∴a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，∴λ＞－2n －1对于n ∈N *恒成立．而－2n －1在n ＝1时取得最大值－3，∴λ＞－3，故选D.7．凸多边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n 等于________．解析：由条件得，(n －2)×180°＝120°×n ＋n (n －1)2×5°，∴n ＝9或n ＝16，∵a 16＝120°＋(16－1)×5°＝195°>180°，∴n ＝16(舍去)，而a 9＝160°<180°，∴n ＝9.答案：98．已知函数f (x )＝a ·b x 的图象过点A (2，12)，B (3,1)，若记a n ＝log 2f (n )(n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 的最小值是________．解析：将A 、B 两点坐标代入f (x )得⎩⎨⎧ 12＝ab 21＝ab 3，解得⎩⎨⎧a ＝18，b ＝2 ∴f (x )＝18·2x ，∴f (n )＝18·2n ＝2n －3，∴a n ＝log 2f (n )＝n －3.令a n ≤0，即n －3≤0，n ≤3.∴数列前3项小于或等于零，故S 3或S 2最小．S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－2＋(－1)＋0＝－3.答案：－39．某纺织厂的一个车间有n (n >7，n ∈N *)台织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1,2,3，…，n .定义记号a ij ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定a ij ＝1，否则a ij ＝0.若第7号织布机有且仅有一人操作，则a 17＋a 27＋a 37＋a 47＋…＋a n 7＝________；若a 31＋a 32＋a 33＋a 34＋…＋a 3n ＝2，说明________________________．解析：依题意，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a 17，a 27，a 37，…，a n 7中有且仅有一个值为1，其余值为0，∴a 17＋a 27＋a 37＋…＋a n 7＝1.同理，由a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝2.说明a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机．答案：1 a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机10．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1.(2)10年出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．11．已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3，….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项．解：(1)证明：a 1＝12，2a n ＋1＝a n ＋n ，∵a 2＝34，a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又b n ＝a n ＋1－a n －1，b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1，∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1＋(n ＋1)2－a n ＋n 2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12.b n ＝－34×(12)n －1＝－32×12n ，∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)∵a n ＋1－a n －1＝－32×12n ，∴a 2－a 1－1＝－32×12，a 3－a 2－1＝－32×122，…∴a n －a n －1－1＝－32×12n －1，将以上各式相加得：∴a n －a 1－(n －1)＝－32(12＋122＋…＋12n －1)， ∴a n ＝a 1＋n －1－32×12(1－12n －1)1－12＝12＋(n －1)－32(1－12n －1)＝32n ＋n －2. ∴a n ＝32n ＋n －2.12.在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{S n }的通项公式；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n <k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 32＋2a 3a 5＋a 52＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4.而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n .(2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n (9－n )2.(3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2.当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n >9时，S n n <0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n n ＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n <k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.。

2013年走向高考·高考数学文理总复习(新人教B版课后练习+单元测试)2-2

1.(文)(2011·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 0.5(1－x ) B ．y ＝x 0.5 C ．y ＝0.51－xD ．y ＝12(1－x 2)[答案] D[解析] ∵u ＝1－x 在(0,1)上为减函数，且u >0，∴y ＝log 0.5(1－x )为增函数，y ＝0.51－x 为增函数；又0.5>0，∴幂函数y ＝x 0.5在(0,1)上为增函数；二次函数y ＝12(1－x 2)开口向下，对称轴x ＝0，故在(0,1)上为减函数．(理)(2011·广州模拟)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)”的函数是( )A ．f (x )＝－x ＋1B ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝ln(－x ) [答案] C[解析] f (x )＝－x ＋1为减函数，f (x )＝x 2－1在(－∞，1)上为减函数；f (x )＝2x 为增函数，f (x )＝ln(－x )为减函数，由条件知f (x )在(－∞，0)上为增函数，故排除A 、B 、D 选C.2．(2011·湖北理，2)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞)B ．(0，12)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪[12，＋∞)[答案] A[解析] ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)， P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝(0，12)，∴∁U P ＝[12，＋∞)．3．(文)(2011·上海文，15)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13[答案] A[解析] y ＝x －1是奇函数，y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，y ＝x 13是奇函数．(理)(2011·课标全国文，3)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x | [答案] B[解析] A 项中y ＝x 3是奇函数而不是偶函数，C 项中y ＝－x 2＋1是偶函数，但在(0，＋∞)单调递减，D 项中y ＝2－|x |是偶函数但在(0，＋∞)上单调递减．4．(2011·江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a ＝log 132，b ＝log 1213，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c [答案] B[解析] ∵log 132<log 131＝0，∴a <0；∵log 12 13>log 1212＝1，∴b >1；∵⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3<1，∴0<c <1，故选B. 5．(文)(2011·北京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧23x －1x ≥01x x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1) [答案] B [解析]f (a )>a 化为⎩⎨⎧ a ≥023a －1>a或⎩⎨⎧a <01a >a，∴a <－1.(理)(2011·衡水模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)[答案] A[解析] 当2x －1≥0，即x ≥12时，由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则由f (2x －1)<f (13)得2x －1<13，即x <23，故12≤x <23；当2x －1<0，即x <12时，由于函数f (x )是偶函数，故f (2x －1)＝f (1－2x )，此时1－2x >0，由f (2x －1)<f (13)得1－2x <13，即x >13，故13<x <12.综上可知x 的取值范围是(13，23)．[点评] (1)由于f (x )为偶函数，∴f (2x －1)<f (13)⇔f (|2x －1|)<f (13)．(2)可借助图形分析作出示意图可知：f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔－13<2x －1<13，即13<x <23.故选A. 6．(2011·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12 B .14 C ．2 D ．4 [答案] C[解析] f (x )在[1,2]上是单调函数，由题意知，a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，∴a 2＋a －6＝0，∵a >0，∴a ＝2.7．(文)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－14，0][解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述－14≤a ≤0.(理)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] (0,1][解析] 由f (x )＝－x 2＋2ax 得函数对称轴为x ＝a ，又在区间[1,2]上是减函数，所以a ≤1，又g (x )＝ax ＋1在[1,2]上减函数，所以a >0，综上a 的取值范围为(0,1]．8．(文)f (x )＝x ln x 的单调递减区间是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫0，1e[解析] f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )<0得x <1e ，∴0<x <1e ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减．(理)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≤－4[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x∈(0,1)时，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立，∵g (x )的对称轴x ＝－12，x ∈(0,1)，∴g (1)≤0，即a ≤－4.9．(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________． [答案] (－12，＋∞)[解析] ∵2x ＋1>0，∴x >－12.所求单调增区间为(－12，＋∞)．10．(文)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．[解析](1)证明：设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2) (x1＋2)(x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)解：设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1) (x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述知0<a≤1.[点评]第(2)问中，由f(x)单调递减知x1<x2时，f(x1)－f(x2)>0恒成立，从而(x1－a)(x2－a)>0恒成立，由于a>0，x1>1，x2>1，故只有当0<a≤1时才满足．(理)已知函数f(x)对任意的a、b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.[解析](1)证明：任取x1、x2∈R且x1<x2，∴x2－x1>0.∴f (x 2－x 1)>1. ∴f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)] ＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)－1>f (x 1)， ∴f (x )是R 上的增函数． (2)解：f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.∴f (3m 2－m －2)<3化为f (3m 2－m －2)<f (2)．又由(1)的结论知f (x )是R 上的增函数， ∴3m 2－m －2<2，∴－1<m <43.11.(文)(2011·平顶山一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) [答案] A[解析] 由题意f (x )在[0，＋∞)上为减函数， ∴f (3)<f (2)<f (1)，又f (x )为偶函数，∴f (－2)＝f (2)，故选A.(理)(2011·山东聊城一中期末)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13[答案] B[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )＝3x －1为增函数，故当x <1时，f (x )为减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∵13<12<23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，故选B.12．(2011·西安模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >00，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞) [答案] A[解析]依题意得，g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >10，x ＝1－x 2，x <1，所以g (x )的递减区间为(0,1)．13．(文)(2011·抚顺模拟)已知f (x )＝⎩⎨⎧a x (x >1)(4－a2)x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8) [答案] B[解析] 由y ＝a x (x >1)单调增知a >1；由y ＝(4－a 2)x ＋2(x ≤1)单调增知，4－a2>0，∴a <8；又f (x )在R 上单调增，∴a ≥(4－a2)＋2，∴a ≥4，综上知，4≤a <8.[点评] 可用筛选法求解，a ＝2时，有f (1)＝4＝f (2)，排除A 、D.a ＝4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x (x >1)2x ＋2 (x ≤1)，在R 上单调递增，排除C ，故选B.(理)(2011·北京学普教育中心)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1，32)C ．[1,2)D ．[32，2)[答案] B[解析] 因为f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.据题意，⎩⎨⎧k －1<12<k ＋1k －1≥0，解得1≤k <32，选B. 14．(2011·天津四校联考)已知函数f (x )＝x 2＋ax －1在区间[0,3]上有最小值－2，则实数a 的值为________．[答案] －2[解析] 当－a 2≤0，即a ≥0时，函数f (x )在[0,3]上为增函数，此时，f (x )min ＝f (0)＝－1，不符合题意，舍去；当－a 2≥3，即a ≤－6时，函数f (x )在[0,3]上为减函数，此时，f (x )min ＝f (3)＝－2，可得a ＝－103，这与a ≤－6矛盾；当0<－a 2<3，即－6<a <0时，f (x )min ＝f (－a 2)＝－2，可解得a ＝－2，符合题意．15．(文)(2010·北京市东城区)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围．[解析] (1)要使f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1. 解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}．(理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0. (1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0.[解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .①因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .②又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3.从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2 x >03(x ＋1)2 x <0. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3，所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3.由g (x )在[－1,1]上是单调函数知：－k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0.(3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0.因此f (x )＝ax 2＋c .又因为mn <0，m ＋n >0，可知m ，n 异号．若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c＝a (m ＋n )(m －n )>0.若m <0，则n >0.同理可得F (m )＋F (n )>0.综上可知F (m )＋F (n )>0.*16.已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，a ∈R.(1)若a ＝1，求f (x )的极小值；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3.[解析] (1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当1<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，x ∈[0，e ]有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，①当a ≤0时，f (x )在(0，e ]上单调递增，f (x )min ＝f (e )＝ae －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f (x )最小值不为3；②当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； ③当1a ≥e 时，f (x )在(0，e ]上单调递减，f (x )min ＝f (e )＝ae －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f (x )最小值不为3.综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e ]时，f (x )有最小值为3.1．(2011·上海理，16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝ln 1|x |B ．y ＝x 3C ．y ＝2|x |D ．y ＝cos x[答案] A[解析] 排除法：B 、C 在(0，＋∞)上单调递增，D 在(0，＋∞)上不单调，故选A.2．函数f (x )＝x －3x ＋a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(3，＋∞)[答案] D[解析] f (x )在(－a ＋2，＋∞)上是增函数，由条件知－a ＋2<－1，且－a －1<0，∴a >3.3．若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[－2,2]C ．{2}D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－6a ，若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－2a <x <2a 时，f (x )单调减，∴f (x )的单调减区间为(－2a ，2a )，从而2a ＝2，∴a ＝2.[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．4．(2010·海南华侨中学期末)函数f (x )＝ln(x ＋1)－mx 在区间(0,1)上恒为增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(－∞，12]D ．(－∞，12) [答案] C[解析] ∵f (x )＝ln(x ＋1)－mx 在区间(0,1)上恒为增函数，∴f (x )＝ln(x ＋1)－mx 在区间[0,1]上恒为增函数，∴f ′(x )＝1x ＋1－m ≥0在[0,1]上恒成立， ∴m ≤(1x ＋1)min ＝12. 5．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (13)＝0，则适合不等式f (log 127x )>0的x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(0，13) C ．(0，＋∞) D ．(0，13)∪(3，＋∞) [答案] D[解析] ∵定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则由f (log 127 x )>0，得|log 127 x |>13，即log 127 x >13或log 127 x <－13.选D. 6．(2010·南充市)已知函数f (x )图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f (x )单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a[答案] D[解析] ∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称，∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1)<f (2)<f (2)，即a <b <c .7．(2011·四川一模)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12[答案] C[解析] 由⊕的定义知1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，－2≤x ≤1x 2 1<x ≤2，2⊕x ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 －2≤x ≤1x 3－2 1<x ≤2，显然f (x )在[－2,2]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝23－2＝6.。

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1．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A.233π B ．23π
C.736π
D.733π
解析：选D.S 1＝π，S 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，
S ＝6π＝π(r ＋R )l ，∴l ＝2，∴h ＝ 3.
∴V ＝13π(1＋4＋2)×3＝733π.
2.如图，已知一个多面体的平面展开图由一
个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是( )
A.36
B.26
C.12
D.23
解析：选B.由题知该多面体为正四棱锥，
底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连结顶点和底面中心即为高，
可得高为22，所以体积为V ＝13·1·1·22＝26.
3.一个几何体的三视图如图所示，其
中正视图与侧视图都是边长为2的正三角
形，则这个几何体的侧面积为( )
A.33π B ．2π
C ．3π
D ．4π
解析：选B.由三视图可知几何体为一
圆锥，其中圆锥底面半径为1，母线长为2，
故其侧面积S ＝12(2π×1)×2＝2π(其侧面展
开图为一扇形，扇形半径为2，弧长为圆锥底面圆周长)，故选B.
4．三棱锥P －ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底
面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )
A ．7
B ．7.5
C ．8
D ．9
解析：选C.设球的半径为R ，43πR 3＝5003π，
R ＝5.设小圆半径为r ，πr 2＝16π，∴r ＝4.当三棱
锥的高过球心O 时，取得最大值，OO 1＝52－42
＝3，PO 1＝5＋3＝8.故选C.
5.(2009年高考陕西卷)若正方体的棱长为
2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多
面体的体积为( ) A.26 B.23
C.33
D.23
解析：选B.所求八面体体积是两个底面边长为1，高为22的四棱
锥的体积和，一个四棱锥体积V 1＝13×1×22＝26，故八面体体积V
＝2V 1＝23.故选B.
6．把由曲线y ＝|x |和y ＝2围成的图形绕x 轴旋转360°，所得旋转体的体积为( ) A.8π3 B.10π3
C.6π3
D.32π3
解析：选D.由题意，y ＝|x |和y ＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱
挖去两个相同的共顶点的圆锥．
∵V 圆柱＝π·22·4＝16π，
2V 圆锥＝2×13π×22×2＝16π3，
∴所求几何体体积为16π－16π3＝32π3.
7．正三棱台高为12 cm ，上、下底面面积之比为1∶4，它的体积为28 cm 3，则下底面面积为__________．
解析：设下底面面积为S cm 2，
则上底面面积为14S cm 2，
∴13(S ＋14S ＋ S ×14S )×12＝28，
∴S ＝4.
答案：4 cm 2
8.已知一个圆锥的展开图如图所示，其
中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为
1，则该圆锥的体积为 .
解析：因为扇形弧长为2π，所以圆锥母
线长为3，高为22，所求体积V ＝13
×π×12×22＝22π3.
答案：223π
9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
D 为棱AA1的中点．若截面△BC1D 是面
积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积
为 .
解析：设AC ＝a ，CC 1＝b ，则由(a 2＋14b 2)×2＝a 2＋b 2，
得b 2＝2a 2，又12×32a 2＝6，
∴a 2＝8，∴V ＝34×8×4＝8 3.
答案：8 3
10．已知圆台的母线长为4 cm ，母线与轴的夹角为30°，上底面半
径是下底面半径的12，求这个圆台的侧面积．
解：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，
由题意知AC ＝4 cm ，∠ASO ＝30°，
O 1C ＝12OA ，
设O 1C ＝r ，则OA ＝2r ，
又O 1C SC ＝OA SA ＝sin30°，
∴SC ＝2r ，SA ＝4r ，
∴AC ＝SA －SC ＝2r ＝4 (cm)，
∴r ＝2 cm.
所以圆台的侧面积为S ＝π(r ＋2r )×4＝24π(cm 2)．
11．在底面直径和高均为2R 的圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的体积最大？
解：如图，作出圆锥的轴截面，
设圆柱的高为h ，
底面半径为r (0<r <R )，体积为V ，
则h 2R ＝R －r R ，
∴h ＝2(R －r )，
∴V ＝πr 2h ＝2πr 2(R －r )．
＝2πRr 2－2πr 3.
∴V ′＝4πRr －6πr 2，
由V ′＝0得r ＝23R ，
当r ＝23R 时，圆柱的体积V 取得最大值，
此时圆柱的高h ＝2(R －23R )＝23R .
12.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
解：(1)直观图如图所示：
(2)法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几
何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34，
在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，则AA 1EB 是正方形， ∴AA 1＝BE ＝1.
在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1，
∴BB 1＝ 2.
∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1
＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2
＝7＋2(m 2)．
∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)，
∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3.
法二：几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一，
V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh
＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)．
∴几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3.。