厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学试题(理)及答案

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（ U R ={}{}260,1,2,3,4A x x x B =--<=Venn ）A ．B ．C ．D ．{}1,2{}2,3{}3,4{}2,3,42.已知，则的值是（ ）4sin ,025πααπ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭sin 2αA ． B ． C ． D ． 2425-1225-122524253.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）3nx⎛+ ⎝A ．1215 B ．135 C ．18 D ．94.执行如图的程序框图，若输出的值为55，则判断框内应填入（ ）SA ．B ．C ．D ．9?n ≥10?n ≥11?n ≥12?n ≥5.等边的边长为1，是边的两个三等分点，则等于（ ）ABC ∆,D E BC AD AE ⋅A ．B ．C ．D 131834136.从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ）A ．B ．C ．D ． 151413127.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”21212S ⨯⨯=⨯弦矢+等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：圆面积12V =⨯矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育⨯312+⨯矢馆占地面积约为18000，建筑容积约为340000，估计体育馆建筑高度(单位：)所在区间为（ 2m 3m m ）参考数据: ，，，3321800032608768+⨯=3341800034651304+⨯=3361800036694656+⨯=，.3381800038738872+⨯=3401800040784000+⨯=A ．B ．C ．D ．()32,34()34,36()36,38()38,408.设满足约束条件且的最大值为8，则的值是（ ）,x y 0,20,0,x y x y a x -≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩3z x y =+a A ． B ． C ． D ．216-6-2-9.函数在区间单调递减，在区间上有零点，则的取值范()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭ϕ围是（ ）A ．B ．C ．D ． ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.已知函数，若，则（ ）()x a x a f x e e --+=+33log a b c ==A ． B ．()()()f a f b f c <<()()()f b f c f a <<C ． D ．()()()f a f c f b <<()()()f c f b f a <<11.抛物线的准线与轴的交点为，直线与交于两点，若2:4E y x =x K ():1l y k x =-E ,A B ，则实数的值是（ ）:3:1AK BK =kA ．． C ． D ．1±12.已知函数，若关于的方程有两个不等实根()3sin f x x x =+()()11,0,2ln 1,0,x x g x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩x ()()0f g x m += ，且，则的最小值是（ ）12,x x 12x x <21x x -A ．2 B ． C ． D ． 3ln 22-4ln 23-3ln 2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知复数满足，则等于 ．z ()31i z i -=z 14.斜率为2的直线被双曲线截得的弦恰被点平分，则的离心率是 l 2222:10,0()x y C a b ab-=>>()2,1M C ．15.某四面体的三视图如图所示，则该四面体高的最大值是 ．16.等边的边长为1，点在其外接圆劣弧上，则的最大值为 ．ABC ∆P AB PAB PBC S S ∆∆+三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列满足.{}n a ()212,n n a n n k k R +=++∈（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和.214n n n n b a a +={}n b n n S 18.已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为P ABCD -ABCD //AD BC ,22AB BC AB BC AD ⊥===E 的中点，.CD PB AE ⊥（1）证明:平面平面；PBD ⊥ABCD （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.,PB PD PC =ABCD 4πB PDC --19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴.其R 补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如图所示.R 用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台； 交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台.该企业现有两种购置方案：方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）=-20.椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为的上顶点，的()2222:10x y E a b a b +=>>12,F F 12P E 12F PF ∆内切圆面积为.3π（1）求的方程；E （2）过的直线交于点，过的直线交于，且，求四边形面积的取值范1F 1l E ,A C 2F 2l E ,B D 12l l ⊥ABCD 围.21.设函数，.()()2ln 1f x x x ax b x =-+-()x g x e ex =-（1）当时，函数有两个极值点，求的取值范围；0b =()f x a （2）若在点处的切线与轴平行，且函数在时，其图象()y f x =()()1,1f x ()()()h x f x g x =+()1,x ∈+∞上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求的取值范围.a 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线，曲线(为参数）.以坐标原点为极点，以xOy 221:14x C y +=222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ϕ轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x （1）求的极坐标方程；12,C C （2）射线的极坐标方程为，若分别与交于异于极点的两点，求的最大值.l ()0θαρ=≥l 12,C C ,A B OB OA 23.选修4-5：不等式选讲已知函数，其中.()2f x x x a =--+0a >（1）求函数的值域；()f x （2）对于满足的任意实数，关于的不等式恒有解，求的取值范围.221b c bc ++=,b c x ()()3f x b c ≥+a试卷答案一、选择题1-5: CABCA 6-10: DBBCC 11、12：DD二、填空题12三、解答题17. 解：（1）（法一）由，令，()212nn a n n k+=++1,2,3n=得到12331021,,234k k ka a a+++===∵是等差数列，则，即{}na2132a a a=+202321324k k k+++=+解得：1k=-由于()()()2121211n n a n n n n +=+-=-+∵，∴10n +≠21n a n =-（法二）∵是等差数列，公差为，设{}n a d ()()111n a a d n dn a d =+-=+-∴()()()211111n n a n dn a d dn a n a d+=++-=++-∴对于均成立22112dn a n a d n n k ++-=++*n N ∀∈则，解得，1121d a a d k =⎧⎪=⎨⎪-=⎩1k =-21n a n =-（2）由()()2222214441121214141n n n n n n b a a n n n n +====+-+--()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭11111111111111112323525722121n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111112335572121221n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+=-+ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭2222121n n n n n n +=+=++18.（1）证明：由是直角梯形，，ABCD 22AB BC AD ===可得2,,23DC BCD BD π=∠==从而是等边三角形，，平分BCD ∆3BCD π∠=BD ADC∠∵为的中点，，∴E CD 1DE AD ==BD AE⊥又∵，∴平面,PB AE PB BD B ⊥⋂=AE ⊥PBD∵平面，∴平面平面AE ⊂ABCD PBD ⊥ABCD（2）法一：作于,连,PO BD ⊥O OC ∵平面平面,平面平面PBD ⊥ABCD PBD ⋂ABCD BD=∴与平面平面PO ⊥ABCD∴为与平面所成的角，，PCO ∠PC ABCD 4PCO π∠=又∵,∴为中点,PB PD =OBD ,OC BD OP OC ⊥==以为轴建立空间直角坐标系，,,OB OC OP ,,x y z()()()(1,0,0,,1,0,0,B C D P -，((,1,0,PC PD ==- 设平面的一个法向量，PCD (),,n x y z = 由得，00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00x =+=⎪⎩令得，1z=()n = 又平面的一个法向量为，PBD ()0,1,0m = 设二面角为，则 B PD C --θcos n m n mθ⋅===⋅ 所求二面角.B PD C --解法二：作于点,连，PO BD ⊥O OC ∵平面平面，平面平面PBD ⊥ABCD PBD ⋂ABCD BD=∴平面PO ⊥ABCD∴为与平面所成的角,PCO ∠PC ABCD 4PCO π∠=又∵,∴为中点，PB PD =O BD ,OC BD OP OC ⊥==作于点,连,则平面，则，OH PD ⊥H CH PD ⊥CHO PD HC ⊥则为所求二面角的平面角CHO ∠BPD C --由，得,∴,∴OC =OH =CH =cos CHO ∠=19.（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)30.240.5 4.50.3 3.95⨯+⨯+⨯=（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）3010049006600⨯+⨯=可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）()2560000.26600.85001008090040000⨯⨯+⨯-⨯-⨯=0若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆） 3020044007600⨯+⨯=可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元)2560000.270000.376000.55002008040045500()⨯⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=20.解：（1）设内切圆的半径为，则，得12F PF ∆r 23r ππ=r =设椭圆的焦距，则，E 122F F c =()12122F PF S c b bc ∆=⋅⋅=又由题意知，122PF PF a +=所以，()12121212F PF S PF PF F F r ∆=⋅++⋅=())1222a c a c ⋅+=+，)a c bc +=结合及，解得，2c e a==222a b c =+2,1a b c ===所以的方程为.E 22143x y +=（2）设直线的交点为，,AC BD M 则由知，点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为.12MF MF ⊥M 12F F 221x y +=该圆在椭圆内，所以直线的交点在椭圆内，从而四边形面积可表示为E ,AC BD M E ABCD .12S AC BD =⋅⋅①当直线与坐标轴垂直时，.AC 12S AC BD =⋅⋅22122262b a b a =⋅⋅==②当直线与坐标轴不垂直时，设其方程为，设，AC ()10x ty t =-≠()()1122,,,A x y C x y 联立，得，221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690t y ty +--=其中，()()()()222643491441t t t ∆=--⨯+⨯-=+，12122269,3434t y y y y t t -+==++所以.()2212134t AC t +==+由直线的方程为，同理可得.BD 11x y t =-+()2222112112143134t t BD t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以()()()()()222222221211217211234433443t t t S t t t t +++=⋅⋅=++++()()()2222721311411t t t +=⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦.()()()222222227217211121111211t t t t t +==⎛⎫+++--++ ⎪++⎝⎭令，所以，()21,0,11m m t =∈+222211121211m m t t ⎛⎫-++=-++ ⎪++⎝⎭令，()()212,0,1g m m m m =-++∈所以，()4912,4g m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦从而.288,649S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭综上所述，四边形面积的取值范围是.ABCD 288,649⎡⎫⎪⎢⎣⎭21.解：法一：（1）当时，，，0b =()2ln f x x x ax x =--()ln 2f x x ax '=-令，()ln 2p x x ax =-()1122ax p x a x x-'=-=①时，，∴在单调递增，不符合题意；(],0a ∈-∞()0p x '>()p x ()0,+∞②时，令，，∴在单调递增；令，()0,a ∈+∞()0p x '>10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()p x 10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0p x '<，∴在单调递减；1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()p x 1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭令，∴ 1ln 2102p a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又因为，，且，()120p a =-<22111ln 0442p a a a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭211124a a <<所以时，有两个极值点.10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2ln f x x x ax x =--即与的图像的交点有两个.2y a =()ln x m x x=法二：（1) ）当时，，，0b =()2ln f x x x ax x =--()ln 2f x x ax '=-所以有两个极值点就是方程有两个解，()2ln f x x x ax x =--ln 20x ax -=即与的图像的交点有两个.2y a =()ln x m x x =∵，当时，，单调递增；当时，，单调()21ln x m x x -'=()0,x e ∈()0m x '>()m x (),x e ∈+∞()0m x '<()m x 递减.有极大值()m x 1e又因为时，；当时，.(]0,1x ∈()0m x ≤()1,x ∈+∞()102m x e <<当时与的图像的交点有0个；1,2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭2y a =()ln x m x x =当或时与的图像的交点有1个；(],0a ∈-∞12a e =2y a =()ln x m x x=当时与的图象的交点有2个；10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2y a =()ln x m x x =综上.10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）函数在点处的切线与轴平行，所以且，因为()y f x =()()1,1f x ()10f '=()10f ≠，()ln 2f x x ax b '=-+所以且；2b a =1a ≠在时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-()1,x ∈+∞即当时，恒成立，即1x >()()()0h x f x g x '''=+>，ln 220x x e ax a e +-+->令，∴()ln 22x t x x e ax a e =+-+-()12x t x e a x '=+-设，，因为，所以，∴，()12x x e a x ϕ=+-()21x x e x ϕ'=-1x >21,1x e e x><()0x ϕ'>∴在单调递增，即在单调递增，()x ϕ()1,+∞()t x '()1,+∞∴，当且时，，()()112t x t e a ''>=+-12e a +≤1a ≠()0t x '≥所以在单调递增；()ln 22x t x x e ax a e =+-+-()1,+∞∴成立()()10t x t >=当，因为在单调递增，所以，，12e a +>()t x '()1,+∞()1120t e a '=+-<()1ln 2220ln 2t a a a a '=+->所以存在有；()01,ln 2x a ∈()00t x '=当时，，单调递减，所以有，不恒成立；()01,x x ∈()0t x '<()h x ()()010t x t <=()0t x >所以实数的取值范围为.a ()1,11,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦22.解：（1），∵，221:44C x y +=cos ,sin x y ρθρθ==故的极坐标方程：.1C ()223sin 14ρθ+=的直角坐标方程：，2C ()2224x y -+=∵，故的极坐标方程:.cos ,sin x y ρθρθ==2C 4cos ρθ=（2）直线分别与曲线联立，得到l 12,C C ，则，()223sin 14ρθθα⎧+=⎪⎨=⎪⎩2243sin 1OA α=+，则，4cos ρθθα=⎧⎨=⎩2216cos OB α=∴()22224cos 3sin 1OBOA αα=+()()2244sin 3sin 1αα=-+令，则2sin t α=()()22244311284OBt t t t OA =-+=-++所以，即时，有最大值13t =sin α=OB OA23.解：（1）∵，∴0a >2a -<∴()2,22,22,2a x a f x x a a x a a +≤-⎧⎪=--+-<<⎨⎪--≥⎩故.()[]2,2f x a a ∈--+（2）∵，∴，()221024b c bc b c +⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∵，∴，∴.()21b c bc +=+()2212b c b c +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭b c ≤+≤当且仅当时，，∴b c ==()max b c +=()max 3b c +=⎡⎤⎣⎦关于的不等式恒有解x ()()3f x b c +()()max max 3f x b c ⇔≥+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即，故，又，所以. 2a +≥2a ≥-0a>2a ≥。