高中数学必修四第三章三角恒等变换知识点总结及练习

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高中数学必修四第三章三角恒等变换章末整合

=
2(2+2cos22��) 2sin22��
=
2(1+cos22��) 4sin2��cos2��
(sin2�� + cos2��)2 + (cos2��-sin2��)2
=
2si n2 ��cos2 ��
=
2(sin4��+cos4��) 2sin2��cos2��
求��, ��的值.
解:(1)当 a=1 时,f(x)=2cos2x+2sin xcos x+b
=cos 2x+1+sin 2x+b=
2sin
2��
+
π 4
+ 1 + ��,
则 f(x)的周期为 T=π.
令
2kπ−
π2≤2x+
π4≤2kπ+
π 2
(��
∈Z),
2tan��
tan2�� = 1-tan2��
应用——三角函数式的求值、化简和证明,讨论三角函数的性质
专题一专题二专题三专题四
专题一三角函数与向量的结合三角函数与平面向量相结合是近几年来的高考亮点,它常常包括向量与三角函数化简、求值及证明的结合,向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目主要考查三角函数的图象与性质,以及三角函数的化简、求值.
高中数学必修四
第三章三角恒等变换本章整合
知识总结与综合应用
cos(��-��) = cos��cos�� + sin��sin��

人教版高中数学必修四《三角恒等变换-复习小结》

2 3 8 5 3 . tan A tan B 11 1 tan A tan B 1 2 3
[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
1 tan B 3 , 1 tan B
(1 , 3 ) (cos A , sinA) 1 , 即 3 sinA cos A 1 , 2( 3 sin A 1 cos A) 1 , 2 2 sin(A ) 1 . 6 2 0 A , A 5 , 6 6 6 A , 即 A . 6 6 3

tan12 tan33 (5) 1 tan12 tan33
（
1 4
公式变，逆用）
2 2
质疑再探
例1：已知，为锐角， cos 1 13 , cos( ) 求 cos 的值 7 14
注：⑴ 常用角的变换：
① ( ) ② 2 ( ) ( )
设疑自探 5.三角变换的方针是什么？遵循原则
寻求差异
注意常识
消除差异
解疑合探
计算：
(1) cos74 sin 14 sin 74 cos14
(2) sin 20 cos110 cos160 sin 70

3 2
1
(3)1 2 sin 22.5
2

(4) sin 15 cos15
设疑自探
4．三角变换常识有哪些？
(1)sinα，cosα→凑倍角公式． (2)1± cosα→升幂公式． π α α2 (3)1± sinα 化为 1± cos(2± α)，再升幂或化为(sin2± cos2) . (4)asinα＋bcosα→辅助角公式 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· sin(α＋ b φ)，其中 tanφ＝a或 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· cos(α－φ)，其中 tanφ a ＝b.

高中数学必修4第三章_三角恒等变换知识点

111高中数学必修4第三章三角恒等变换知识点⑴商的关系： ① tan y sin x cos ②cotx cos y sin ③sin y cos ta n④cosx .r r⑵倒数关系： tan cot 1⑶平方关系： sin 2 cos 212、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴cos cos cos sin sin:⑵ cos cos cos ⑶sin sin cos cos sin :⑷ sinsin cos ⑸ta ntan tan(tan tantan 1 1 tan tan ⑹ta n tan tan (tan tantan 11 tan tan1、同角关系: cos sintan tan 余弦和正切公式: 3、二倍角的正弦、 sin sin tan tan⑴ si n2 2sin cos 1 sin 2 sin 2 cos 22si n cos (sincos )2⑵ cos2 2 cos.2 sin 2cos 21 1 2si n 2升幕公式 cos 降幕公式 cos 2c 22cos — 2 cos2 1 1 cos 2sinsin 221 cos2⑶tan2羊1 tan 24、万能公式: ① sin 22 ta n 1 tan 2② cos2ta n 2 tan 2 ③ tan 22ta n 1 tan 2④ si n 2tan 21 tan 2⑤ cos 2_____1 tan 25、半角公式cos—2sin —2cos tan2 cossin 1 cos1 cos sin（后两个不用判断符号，更加好用）6、asin bcos . a2b2sin(（其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tanb-)a2。

三角函数三角恒等变换知识点总结

高中数学苏教版必修4 三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合：；与α角终边关于x 轴对称的角的集合：；与α角终边关于y 轴对称的角的集合：；与α角终边关于x y =轴对称的角的集合：；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ；（5）由α的终边所在的象限，通过来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl=||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式：；半径公式：；扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αs in ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：。

三角恒等变换知识点及题型归纳总结

三角恒等变换知识点及题型归纳总结(共8页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-三角恒等变换知识点及题型归纳总结知识点精讲常用三角恒等变形公式和角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-差角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+倍角公式sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===半角公式sin 22αα== sin 1cos tan.21cos sin a αααα-==+辅助角公式sin cos ),tan (0),ba b ab aαααϕϕ+=+=≠角ϕ的终边过点(,)a b ，特殊地，若sin cos a b αα+=或tan .b aα= 常用的几个公式sin cos );4πααα±=±sin 2sin();3πααα±=±cos 2sin();6πααα±=±题型归纳总结题型1 两角和与差公式的证明题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例证明(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=-(2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβαβαβ+++=-解析(1)证法一：如图4－32（a ）所示，设角,αβ-的终边交单位圆于12(cos .sin ),(cos(),sin()),P P ααββ--,由余弦定理得2221212122()PP OP OP OP OP cos αβ=+-⋅+22[cos cos()][sin sin()]22cos()αβαβαβ⇒--+--=-+22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ⇒--=-+:cos()cos cos sin sin .C αβαβαβαβ+⇒+=-证法二：利用两点间的距离公式.如图4－32（b ）所示12(1,0),(cos ,sin ),(cos(),sin(),A P P αααβαβ++3(cos(),sin()),P ββ--由231;OAP OP P ∆≅∆得，213.AP PP =故2222(1cos())(0sin())[cos()cos ][sin()sin ],αβαββαβα-++-+=--+--即222222[1cos()]sin ()cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin αβαββααββααβ-+++=+-+++化简得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-(2)sin()[()][()]22cos cos ππαβαβαβ+=+-=+-cos()sin sin()22cos ππαβαβ=---sin sin cos cos αβαβ=+:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ+⇒+=+ sin(sin cos cos sin (3)tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβ+-tan tan :tan().1tan tan T αβαβαβαβ++⇒+=- 变式１证明：(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ--=+ (2):sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ--=- tan tan (3):tan().1tan tan T αβαβαβαβ---=+题型2 化简求值思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角. 一、化同角同函例已知3cos()45x π+=则2sin 22sin ()1tan x xx -=-7.25A 12.25B 11.25C 18.25D 解析解法一：化简所求式22sin 22sin 2sin cos 2sin sin 1tan 1cos x x x x xx x x--=--cos 2sin (cos sin )2sin cos .cos sin xx x x x x x x=-=-由3cos()45x π+=得3,225x x -=即cos sin 5x x -=两边平方得 2218cos sin 2sin cos ,25x x x x +-=即1812sin cos .25x x -= 所以72sin cos .25x x =故选Ａ. 解法二：化简所求式2sin 22sin 2sin cos sin 21tan x xx x xx-==-27sin[2()]cos 2()12cos ().424425x x x ππππ=+-=-+=-+=故选Ａ. 评注解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单. 变式1 若13cos(),cos(),55αβαβ+=-=则tan tan _______.αβ=变式2 若4cos 5α=-，α是第三象限角，则1tan2()1tan 2αα+=- 1.2A - 1.2B .2C .2D -变式3 （2012江西理４）若1tan 4tan θθ+=，则sin 2().θ= 1.5A 1.4B 1.3C 1.2D 二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式.常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等. 1.和、差角变换如α可变为()αββ+-；2α可变为()()αβαβ++-；2αβ-可变为()αβα-+ 例若330,cos ,sin(),255παβπααβ<<<<=+=-则cos β的值为（）. .1A - .1B -或725 24.25C - 24.25D ±分析建立未知角与已知角的联系，().βαβα=+-解析解法一：cos cos[()]cos()cos sin()sin .βαβααβααβα=+-=+++因为3(,)22ππαβ+∈所以，则 4cos(),(0,),sin 0,52παβαα+=-∈>4sin 5,α=433424cos ()().555525β=-⨯+-⨯=-解法二：因为(,)2πβπ∈，所示cos (1,0).β∈-故选Ｃ.评注利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：();();()()βαβαβααβαβαγβγ=+-=--+=-++等.解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号. 变式1已知sin ),(0,)2πααβαβ=-=∈则().β=.3B π .4C π .6D π变式2 若3335(,),(0,),cos(),sin()44445413πππππαβαβ∈∈-=+=，则 sin()______.αβ+=二、辅助角公式变换例已知cos()sin 65παα-+=，则7sin()6πα+的值为（）..5A -.5B 4.5C - 4.5D分析将已知式化简，找到与未知式的联系. 解析由题意，cos cossin sinsin 66ππααα++=3cos sin )2265πααα⇒+=+=，得4sin().65πα+= 所以74sin()sin[()]sin().6665πππαπαα+=++=-+=-故选Ｃ. 变式1设6sin14cos14,sin16cos16,,2b c α=+=+=则a,b,c 的大小关系为（）. <b<c <c<a <c<b <a<c变式2设sin15cos15,sin17cos17,b α=+=+则下列各式中正确的是（）.22.2a b A a b +<< 22.2a b B a b +<<5.12A π22.2a b C b a +<< 22.2a b D b a +<<3.倍角，降幂（次）变换例（2012大纲全国理7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=则cos 2().α=.A .B - C D分析利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解.解析解法一：；因为sin cos αα+=所以21(sin cos )3αα+=得22sin cos 3αα=-，即2sin 23α=-.又因为α为第二象限角且sin cos 0αα+=>，则3(2,2)().24k k k Z ππαππ∈++∈所以32(4,4)().2k k k Z παπππ∈++∈故2α为第三象限角，cos 2α==.故选Ａ.解法二：由α为第二象限角，得cos 0,sin 0αα<>，cos sin 0,αα-<且2(cos sin )12sin cos αααα-=-，又sin cos αα+=，则 21(sin cos )12sin cos 3αααα+=+=22sin cos 3αα⇒=-，得25(cos sin )3αα-=，所以cos sin 3αα-=-22cos2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα=-=+-(==故选Ａ. 变式1 若1sin()63πα-=则2cos()().3πα+= 7.9A - 1.3B - 1.3C 7.9D变式2设α为锐角，若4cos()65πα+=，则7sin(2)12πα+的值省为 .变式3已知312sin(2),sin 513αββ-==-且(,),(,0),22ππαπβ∈∈-求sin α值. 变式4若31sin ,(,),tan()522πααππβ=∈-=，则tan(2)().αβ-= 24.7A - 7.24B - 24.7C 7.24D 变式5已知1sin cos 2αα=+，且(0.)2πα∈，则cos 2_____.sin()4απα=-4.诱导变换例若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )().f x =.3cos 2A x - .3sin 2B x - .3cos 2C x + .3sin 2D x +分析化同函(cos )(sin())f x f =以便利用已知条件. 解析解法一：(cos )[sin()]3cos 2()3cos(2)3cos 2.22f x f x x x x πππ=+=-+=-+=+故选Ｃ.解法二：22(sin )3cos23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+则2()22,[1,1]f x x x =+∈-故22(cos )2cos 22cos 13cos2 3.f x x x x =+=-+=+故选Ｃ.变式1α是第二象限角，4tan(2)3πα+=-，则tan _______.α= 变式2若5sin(),(0,)4132ππαα-=∈，则cos 2_____.cos()4απα=+最有效训练题1.已知函数()sin ,f x x x =设(),(),()763a fb fc f πππ===，则,,a b c 的大小关系为（）.<b<c B. c<a<b <a<c <c<a2.若1sin()34πα+=，则cos(2)().3πα-= 1.4B - 7.8C - 7.8D3.若1tan 2α=，则cos(2)().2πα+= 4.5A 4.5B - 1.2C 1.2D - 4.已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，则2().αβ-= .4A π 3.4B π- 5.,44C ππ 35.,,444D πππ-1.4A5.函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图像如图4－33所示，设Ｐ是图像的最高点，Ａ，Ｂ是图像与x 轴的交点，则tan ().APB ∠=Ａ.10 Ｂ.8 8.7C 4.7D6.函数sin 3cos 4x y x -=+的最大值是（）.1.2A -1226.15B -- 4.3C - 1226.15D -+ 7.已知tan()34πθ+=，则2sin 22cos ______.θθ-=8.已知,x y 满足1sin sin 31cos cos 5x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则cos()______.x y += 9.23tan101________.(4cos 102)sin10+=- 10.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα<<<，则tan 2____,____.αβ== 11.已知函数2()2cos 3sin .2x f x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若α是第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值.12.已知三点3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,).22A B C ππααα∈（1）若AC BC =，求角α；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值.。

(完整版)三角恒等变换知识总结及基础训练

第四讲三角恒等变形一、三角恒等变形知识点总结1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 。

2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。

（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

高中数学必修4第三章3.2简单的三角恒等变换

sin( ) sin cos cos sin 简记为:S(α-β)
一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan
tan tan 1 tan tan
二sin 2 2sin cos
＝3(cosx 2)2 1 33
又 x 2 , 1 cosx 1 ,
3 当x＝ 2
3
32
时，(cosx) min
1 2
,
y2max＝145
;
当x＝
3
时，(cosx) max
1 2
, ymin＝
1 4.
七、y （a sinx+cosx)+bsinxcosx型
例7 求函数y sinx+cosx+sinxcosx的最值. <分析>注意到（sinx+cosx）2＝1 2sinxcosx.可把sinx+cosx
sin2 1 cos 2
2
降幂升角公式
二、讲授新课：
例1.试以cos表示sin2 ,cos2 ,tan2 .
2
2
2
半角公式
sin 1 cos ,
2
2
cos 1 cos ,
2
2
tan 1 cos .
符号由α所在象限决定. 2
1 cos
2
1．半角公式
sin 1 cos
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
解在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin 在Rt△OAD中,

人教版高中数学高一-必修4第三章《三角恒等变换》专题归纳

►专题归纳对于三角函数求值主要有三种类型，即“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．三种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．►例题分析例1 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β ＝－1213，求cos(α＋β)．分析：由已知条件要求cos(α＋β)，应注意到角之间的关系，α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α，可应用两角差的余弦公式求得．解析：由已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，3π4得－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π4，－π4， ∴π4－α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝－45. 由β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4得π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，π2，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β＝－1213，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β＝1213， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β＝513.由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β－⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝α＋β，得 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β·sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝513×35＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365. 点评：三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键．所谓变换是指函数名称类型的变换及角的变换，两种变换相辅相成，互相利用．例2 已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值．分析：本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，可先将条件式3sin β＝sin(2α＋β)展开后求α＋β的正切值．解析：∵3sin β＝sin(2α＋β)，即3sin ⎝⎛⎭⎫α＋β－α＝sin(α＋β＋α)，整理得2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. 即tan(α＋β)＝2tan α.又∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝12，tan(α＋β)＝2tan α＝2×12＝1.又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴α＋β＝π4.点评：对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段．►跟踪训练1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是(C ) A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋sin α＝45 3.∴32cos α＋32sin α＝453， 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝453，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6＋α＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋α＝－45.故选C.►专题归纳三角函数式的化简是对给定的三角函数式通过适当的三角变换，使之变为较简单的形式．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切割化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方去根号．三角函数式的化简是三角变换中非常重要的一种题型，是高考命题的热点，它常与三角函数的图象和性质联系出题，题型灵活多变，因而三角函数的化简也是需要掌握的基本知识和基本技能．►例题分析例3 化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α. 分析：本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.π4－α与π4＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类．或π4－α与π4＋α均化为α的三角函数．解析：方法一原式＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.方法二原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α·⎝⎛⎭⎫sin α＋cos α2 ＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. 点评：(1)切弦共存时，两种方法均采用了切化弦这种技巧． (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，以上三个公式熟练地交替使用，可使问题得以顺利解决．(3)一公式结构的三角函数式化简一般需要分子、分母出现可约式，再进行约分．例4 化简(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°.分析：本题中含有正切、正弦、余弦，一般先切化弦，还要注意到特殊值，联想到表示特殊角的三角函数．解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－3·cos 10°sin 50°＝sin 10°－3cos 10°sin 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 10°－32cos 10°sin 50°＝2sin （10°－60°）sin 50°＝－2sin 50°sin 50°＝－2.►跟踪训练2.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝(B ) A ．tan α B ．tan 2α C ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2α cos 2α＝sin 2αcos 2α＝tan 2α.故选B.►专题归纳三角函数等式的证明，包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与欲证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法，消元法等方法进行证明．►例题分析例5 求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x2.分析：本题主要考查二倍角公式及变形应用，因等式右端为tan x2，故可将在左边的角4x ，2x ，x 化为x2形式．证明：∵左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x1＋cos x＝2sin 2x ·cos 22x ·cos x 2cos 22x ·2cos 2x ·2cos 2x 2＝sin 2x2cos x ·2cos 2x2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sinx2cosx 2＝tan x 2＝右边．∴等式成立．点评：要熟练掌握下列二倍角公式的变形． sin α＝sin 2α2cos α，cos α＝sin 2α2sin α，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α， cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.例6 已知tan(α＋β)＝2tan β，求证：3sin α＝ sin(α＋2β)．分析：观察条件与结论间的差异可知：(1)函数名称的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同． (2)角的差异是α＋β，β；α，α＋2β.通过观察可得已知角与未知角之间关系如下：(α＋β)－β＝α；(α＋β)＋β＝α＋2β，由此可化异为同．证明：由已知tan(α＋β)＝2tan β可得sin （α＋β）cos （α＋β）＝2sin βcos β，∴sin(α＋β)·cos β＝2cos(α＋β)·sin β. 而sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β] ＝sin(α＋β)·cos β＋cos(α＋β)·sin β ＝2cos(α＋β)·sin β＋cos(α＋β)·sin β ＝3cos(α＋β)·sin β，又sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)·cos β－cos(α＋β)·sin β ＝2cos(α＋β)·sin β－cos(α＋β)·sin β ＝cos(α＋β)·sin β，故sin(α＋2β)＝3sin α.点评：三角式的证明要注意观察函数的特点，角的特点，结构特点． ►跟踪训练3．求证：1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－tan x 1＋tan x.证明：证法一右边＝1－sin x cos x 1＋sin x cos x ＝cos x －sin xcos x ＋sin x＝（cos x －sin x ）2（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）＝cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x cos 2x －sin 2x＝1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝左边．∴原命题成立．证法二左边＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos xcos 2－sin 2x ＝（cos x －sin x ）2cos 2x －sin 2x＝cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1－tan x 1＋tan x ＝右边， ∴原命题成立．►例题分析例7 (1)①证明两角和的余弦公式C α＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sinαsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cosαsin β.(2)已知△ABC 的面积S ＝12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C .解析：(1)①如右图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1，0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))，由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展示并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α， sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－（α＋β）＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＋（－β）＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12，AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0， ∴A ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，cos A ＝3sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010. 由题意，cos B ＝35，得sin B ＝45. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. 故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1010. 例8 已知a ＝(3sin ωx ，1)，b ＝(cos ωx ，0)，其中ω>0，又函数f (x )＝b ·(a －b )＋k 是以π2为最小正周期的周期函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的最小值为－2.(1)求f (x )的解析式；(2)写出函数f (x )的单调递增区间．分析：本题主要考查平面向量的坐标运算、二倍角公式及三角函数的性质，先化简f (x )，然后求解．解析：(1)a －b ＝(3sin ωx ，1)－(cos ωx ，0)＝(3sin ωx －cos ωx ，1)，∴f (x )＝(cos ωx ，0)·(3sin ωx －cos ωx ，1)＋k＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx －π6－12＋k . ∴T ＝2π2ω＝π2，∴ω＝2. ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4，则4x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，5π6， ∴f (x )的最小值为f (0)＝－12－12＋k ＝k －1＝－2. ∴k ＝－1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6－32. (2)当4x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，即x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π2－π12，k π2＋π6(k ∈Z)时，函数f (x )为增函数． ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π2－π12，k π2＋π6(k ∈Z)．点评：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最值时，若x ∉R ，要考虑ωx ＋φ所在的区间及单调性．►跟踪训练4．已知向量OA→＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])，向量m ＝(2，1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA→－n )． (1)求向量OA→；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)．解析：(1)∵OA→＝(cos α，sin α)， ∴OA→－n ＝(cos α，sin α＋5)． ∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA→－n )＝0，即2cos α＋(sin α＋5)＝0.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②联立方程解得，cos α＝－255，sin α＝－55. ∴OA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－255，－55. (2)∵cos(β－π)＝210，即cos β＝－210，0<β<π， ∴sin β＝7210，∴π2<β<π.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210＝25250＝22. 5．已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0.(1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋tan A sin x (x ∈R)的值域．解析：(1)∵m ·n ＝0，∴sin A －2cos A ＝0，即sin A ＝2cos A ．∴tan A ＝sin A cos A ＝2cos A cos A＝2. (2)f (x )＝cos 2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32， ∵sin x ∈[－1，1]，∴当sin x ＝12时，取得最大值32；当sin x ＝－1时，取得最小值－3.∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.。

高中数学必修4(人教A版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习及答案

半角的正弦、余弦、正切公式
α 1 − cos α = 2 2 α 1 + cos α = cos2 2 2 α 1 − cos α = tan2 2 1 + cos α α sin α 1 − cos α tan = = 2 1 + cos α sin α sin 2 12 3 例题：已知，α ∈ (π, π) ，求sin 2α ，cos 2α，tan 2α的值． cos α = − 13 2 12 3 解：因为cos α = − ，α ∈ (π, π) ．所以 13 2 − − − − − − − − − − 5 12 2 − − − − − − − − ． sin α = −√1 − cos2 α = −√1 − (− ) =− 13 13 5 12 120
)
C．
1 9
D．
√5 3
答案： B
因为 sin α =
2 1 ，所以 cos (π − 2α) = − cos 2α = − (1 − 2sin 2 α) = − ． 3 9 )
B．−
3. 化简 A．
sin 2 35∘ − sin 20∘
1 2 = (
答案： B
1 2
1 2
C．−1
D．1
4. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ，延长 BA 至 E，使 AE = 1 ，连接 EC , ED，则 sin ∠CED =
（1）已知 sin α =
= (− cos 83∘ )(− cos 23∘ ) + sin 83∘ sin 23∘ = cos(83∘ − 23∘ ) 1 = cos 60∘ = . 2
sin(
π π π + α) = sin cos α + cos sin α 3 3 3 4 1 3 √3 = × + × 2 5 2 5 4√3 + 3 = 10 π π π − α) = sin cos α − cos cos α 3 3 3 4 1 3 √3 = × − × 2 5 2 5 3 − 4√3 = 10

高中数学必修四三角恒等变换题型归纳及训练题

三角恒等变换一、知识概括：1．两角和与差的三角函数公式2．二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．(2)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2.二、方法归纳总结：1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．三、典例剖析：题型一、【公式顺用、逆用、变用】例1、sin 75= ； cos15= ； 2、sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.123．设sin 2sin ,(,)2παααπ=-∈，则tan 2α的值是________．4、若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= （） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625专题二：【凑角应用】例3、已知0<β<π4<α<34π，135)43sin(,53)4cos(=+=-βπαπ，求)sin(βα+的值．注：常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－()4πα-变式1、若0＜α＜π2，π2＜β＜3π2，14cos(),cos(),43425ππβα+=-=则cos()2βα+=________.变式2、已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______.题型三、【三角恒等变换的综合运用】1.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.2.已知函数()sin(),4f x A x x R π=+∈，且53()122f π=. ①求A 的值； ②若f (θ)＋f (－θ)＝32，(0,)2πθ∈，求3()4f πθ-3.已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．三角恒等变形课后训练题1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为 ( ）A. 0B. 12C.D. 12-2. =+-)12sin 12(cos )12sin12(cosππππ（）A. 23-B. 21-C. 21D.23 3.设1tan 2,1tan xx +=-则sin 2x 的值是 ( )A. 35B. 34-C. 34D. 1-4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（）A. 47-B. 47C. 18D. 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（）A. 3365B.1665C. 5665D. 63656.)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（）A. 725-B. 2425-C. 2425D. 7257.cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是 ( )A. 2521≤≤aB. 21≤aC. 25>aD. 2125-≤≤-a 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（）A.1010 B. 1010- C. 10103 D. 10103-9. 函数sin22x xy =的图像的一条对称轴方程是（） A. x =113π B. x =53π C. 53x π=- D. 3x π=-10.在ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=，则C 等于 ( )A.3π B. 23π C. 6π D. 4π11.若βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2,2(,ππβα-∈则βα+等于． 12. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ． 13. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为．14. 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合．其中正确的命题序号．（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：15.在ABC ∆中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．16.已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．17. 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.18已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值．19.已知函数)0)(6sin(2)(>-=ωπωx x f 的最小正周期为π6（1）求)0(f （2）设56)23(,1310)23(0,2,2,0=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβπαf f ，求)cos(βα+的值.20.已知函数22sin sin 23cos y x x x =++，求（1）函数的最小值及此时的x 的集合。

《三角恒等变换》知识点及常见题型总结

简单的三角恒等变换一、考点、热点回顾模块一、两角和与差的三角函数要点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-要点二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路①巧变角：()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等②三角函数名互化：切割化弦③公式变形使用：tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±， 1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sinα·cosα=（sinα±cosα）2 ④三角函数次数的降升：降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=；升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-= ⑤常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+tan sin 42ππ===等模块二、简单的三角恒等变换要点三、半角公式：sin α2＝cos 2α= tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 要点四、三角函数的积化和差公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。

三角恒等变换与方程知识点总结

三角恒等变换与方程知识点总结三角函数是数学中重要的概念之一，它们在解决各种数学问题和实际应用中发挥着重要作用。

其中，三角恒等变换和方程是学习三角函数的重点内容之一。

本文将就三角恒等变换和方程的相关知识点进行总结和归纳。

一、三角恒等变换1. 三角函数的基本关系三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。

它们之间存在一些基本的关系，如正弦函数与余弦函数的关系sin(x) = cos(π/2 - x)、正切函数与余切函数的关系tan(x) = 1 / cot(x)等。

这些基本的关系可以帮助我们简化和转化三角函数的表达式。

2. 三角函数的倒数关系根据三角函数的定义，我们可以得到正弦函数与余切函数、余弦函数与正切函数、正弦函数与余弦函数之间的倒数关系。

例如，sin(x) / cos(x) = tan(x)、cos(x) / sin(x) = cot(x)等。

这些倒数关系可以帮助我们互相转化三角函数的表达式。

3. 三角函数的周期性三角函数在定义域内都具有周期性。

对于正弦函数和余弦函数来说，它们的周期都是2π；对于正切函数和余切函数来说，它们的周期都是π。

这个周期性的特点使得我们在计算和求解问题中可以将一个周期内的结果推广到整个定义域。

4. 三角函数的和差化简公式三角函数的和差化简公式是指将两个三角函数相加或相减之后能够转化为一个三角函数的公式。

常见的和差化简公式有正弦函数的和差化简公式sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)、余弦函数的和差化简公式cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)等。

这些化简公式在计算中可以简化运算步骤，提高计算效率。

二、三角方程的求解1. 三角方程的基本性质三角方程是指含有三角函数的方程。

解三角方程的关键是找到满足方程的三角函数的取值范围和周期性。

高中数学第三章三角恒等变换知识点归纳 A必修4 试题

卜人入州八九几市潮王学校平潭县城东高中数学第三章三角恒等变换知识点归纳教A 必修424、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()coscos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan1tan tan αβαβαβ--=+⇒〔()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+〕； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⇒〔()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-〕． 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．26、 ⇒〔后两个不用判断符号，更加好用〕 27、合一变形⇒把两个三角函数的和或者差化为“一个三角函数，一个角，一次方〞的B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，进步三角变换才能，要学会创设条件，灵敏运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：〔1〕角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：ααααααααααα半角公式sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan2cos 12sin ;2cos 12cos :-=+=+-±=-±=+±=①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515oo o o o o =-=-=；问：=12sinπ；=12cos π； ③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+； ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等〔2〕函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

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24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
--=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
++=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ⇒2
sin 2cos 1,2cos 2cos 122α
ααα=-=+ ⇒2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2
αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα
=-． 26、
27、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A ． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角
ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2
tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :
2
22αααααα万能公式+-=+=
与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是
2α的二倍；2α是4
α的二倍； ②2304560304515o
o o o o o =-=-=；问：=12sin π ；=12cos π ； ③ββαα-+=)(；④)4(24απ
π
απ
--=+； ⑤)4()4()()(2απ
απ
βαβαα--+=-++=；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余
弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例
如常数“1”的代换变形有：
o o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处
理的方法。

常用降幂公式有：；。

降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-α
α； ____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα；
____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；
=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；
=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；
=+ααcos sin = ；
=+ααcos sin b a = ；（其中=ϕtan ；）
=+αcos 1 ；=-αcos 1 ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理
化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：=+)10tan 31(50sin o o ；
=-ααcot tan 。