新课标高三第一次月考数学文科试题1
黑龙江省哈尔滨2019届高三第一次月考文科数学试卷(含答案)
2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试题(文科)考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.5sin3π=1.2A -1.2B .2C-2D 2.已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则.A {|0}A B x x =< .B A B =R .C {|1}A B x x => .D A B =∅ 3.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =.11A .5B .11C -.8D -4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是.A y x =.2x B y =.lg C y x=.D y =5.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 6.函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是.(,1)A -∞.(,2)B -∞.(2,)C +∞.(3,)D +∞7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a .12A -.10B -.10C .12D 8.已知03x π=是函数()sin(2)f x x =+ϕ的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是2.(,)63A ππ5.(,)36B ππ.(,)2C ππ2.(,)3D ππ9.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=.7A .5B .5C -.7D -10.将函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是.12A x π=.6B x π=.3C x π=.12D x π=-11.已知函数(),2x x e e f x x R --=∈，若对(0,]2π∀θ∈，都有(sin )(1)0f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是.(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞.(,1]D -∞12.已知()ln xf x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2019a =_________14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则n a =_________15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =______16.已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分12分)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A B b a A C+=-+.(1)求角B 的大小；(2)若b =，3a c +=，求ABC 的面积.18.（本题满分12分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎣⎦，上的取值范围．19.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n S n n N n *∈均在函数2y x =+的图像上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .20.(本题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 与圆3222=+y x 相切，求证：OB OA ⊥（O 为坐标原点）．21.（本题满分12分）已知函数()()ln R f x ax x a =-∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为312()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-．(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)已知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()22f x x =-+，()()g x m x m R =∈．（1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试卷(文科)答案一．选择题1-6CACDCD7-12BBDADA 二．填空题13.1-14.12n --15.211316.三．解答题17.（1）c a b b a a c+=-+ 2222cos a c b ac ac B ∴+-=-=1cos 2B ∴=-120B ∴=︒（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+-- 1ac ∴=1sin 24S ac B ∴==18.（Ⅰ）1cos2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．19.2n S n n=+ 22n S n n ∴=+1(1)2,21n n n n a S S n -≥=-=+1(2)1,3n a ==，适合上式21n a n ∴=+1111(2)((21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111((23557212323236n T n n n ∴=-+-++-=-<+++ 1102063m m ∴≥∴≥m Z ∈ min 4m ∴=20.（1）因为22c e a == ，222a b c =+222a b ∴=∴椭圆方程为222212x y b b∴+=2(1,2在椭圆上221,2b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）因为直线l 与圆2223x y +=3=即223220m k --=由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，()()()2222121212122212m k y y kx m kx m k x x km x x m k -∴⋅=++=+++=+2222212122222223220121212m m k m k OA OB x x y y k k k ----∴⋅=+=+==+++ OA OB∴⊥21．（1）()()110ax f x a x x x-=-=>'当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()0f x '=，得1x a =10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +>只需证：12112a x x +>只需证：12122x x a x x +>只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-只需证：22212121ln 2x x x x x x ->只需证：2211121ln 2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t t φ'--=<，即函数()t φ在()1,+∞单调递减，则()()10t φφ<=，即得12112ln ln x x +>22.解：(1)由直线l的参数方程为12()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数消去参数t ，可得：10x -=圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-.所以圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++=则(2,0)C -．所以圆心(2,0)C -到直线l 的距离21322d --==(2)已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B 两点，将312()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=得：250t ++=设,A B 对应参数为12,t t，则12t t +=-，125t t =因为120t t >，12,t t 是同号．所以1212121111335t t PA PB t t t t ++=+==．23.（1）由()5f x >，得23x ->,即23x -<-或23x ->,1x ∴<-或5x >.故原不等式的解集为{}15x x x <->或（2）由()()f x g x ≥，得2+2≥-x m x 对任意x R ∈恒成立,当0x =时，不等式2+2≥-x m x 成立,当0x ≠时，问题等价于22x m x -+≤对任意非零实数恒成立,22221 , 1x x m x x -+-+=∴ ≥≤，即m 的取值范围是( , 1]-∞.。
高三上册文科数学第一次月考试题(有答案)
高三上册文科数学第一次月考试题（有答案）2021高三上册文科数学第一次月考试题〔有答案〕测试时间：120分钟全卷总分值150分第一卷一、选择题：(本大题共有12道小题，每题5分，在每题所给的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的。
)1.集合，，那么 ( )A. B. C. D.2. 设，那么 ( )A. B. C. D.3.假定偶函数在上是增函数，那么以下关系式中成立的是( )A. B.C. D.4.函数的定义域是( )A. B. C. D.5.设表示中的最小数，表示中的最大数，假定是恣意不相等的两个实数，，那么 ( )A. B. C. D.6.设点 ( )都在函数 ( 且 )的图象上，那么与的大小关系是( )A. B.C. D. 与的大小与的取值状况有关7.下面给出四个命题：：假定，那么的逆否命题是假定，那么：是假命题，那么都是假命题;：的否认是：设集合，，那么是的充沛不用要条件其中为真命题的是( )A. 和B. 和C. 和D. 和8.设实数是函数的零点，那么( )A. B. C. D.9.函数的图象大致是( )10.函数与函数互为反函数，且有，假定，那么的最小值为( )A. B. C. D.11.函数，关于，以下不等式恒成立的是( )A. B. C. D.12.定义在上的奇函数，当时，，那么在上关于的函数 ( )的一切的零点之和为( )A. B. C. D.第二卷二、填空题：(本大题共有4道小题，每题5分)13.幂函数的图象经过点，那么此函数的解析式表达式是 .14.设，那么的最小值是 .15.命题，命题，假定是的必要条件，那么实数的取值范围是 .16.下面给出四个命题：①函数的零点在区间内;②假定函数满足，，那么③假定都是奇数，那么是偶数的逆否命题是假定不是偶数，那么都不是奇数④假定，那么函数只要一个零点的逆命题为真命题.其中一切正确的命题序号是 .三、解答题：(有6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤)17.(此题总分值12分)设函数f(x)=log2(ax-bx) 且f(1)=1，f(2)=log212.(1)求a、b的值;(2)当x[1,2]时，求f(x)的最大值.18.(此题总分值12分)函数f(x)=x+1x+2.(1) 求f(x)的值域;(2) 假定g(x)=f(x)x+ax，且g(x)在区间(0,1)及(1,2)上区分存在一个零点，务实数a的取值范围.19.(此题总分值12分)函数f(x)=(x+2)|x-2|.(1) 假定不等式f(x)a在[-3,1]上恒成立，务实数a的取值范围;(2) 解不等式f(x)3x.20.(此题总分值12分)某服装厂消费一种服装，每件服装的本钱为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓舞销售商订购，决议当一次订购量超越100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，依据市场调查，销售商一次订购量不会超越600件.(1)设一次订购x件，服装的实践出厂单价为p元，写出函数p=f(x)的表达式;(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂取得的利润最大?其最大利润是多少?21.(此题总分值12分)设函数，其中，区间 .(1)求区间的长度;(区间的长度定义为 )(2)给定常数，当时，求区间长度的最小值.四、选做题：22.(此题总分值10分)选修41：几何证明选讲如图，是直角三角形，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，衔接交圆于点 .(1)求证：、、、四点共圆;(2)求证：23.(此题总分值10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相反的长度单位，树立极坐标系，设曲线C 参数方程为 ( 为参数)，直线的极坐标方程为 .(1)写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)求曲线C上的点到直线的最大距离.24.(此题总分值10分)选修45：不等式选讲(1) 、都是正实数，求证： ;(2)设不等的两个正数、满足，求的取值范围.。
湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,04.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A.21B.19C.12D.425.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D.820人6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ，求CD 的长．16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张1.9 1.982.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A.21 B.19C.12D.42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A.136人B.272人C.328人D.820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 64αβαβ⋅+⋅=，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+，即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=，即()()21f x g x +−=①，用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②，由①+②得()()222f x f x ++−=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−，所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>.构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ，所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞.故答案为：()()1,01,−∪+∞14.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】 【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ∠=∈ ，由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C =（2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值； （2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−．函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． ②若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥，所以当232ι=时，线段PQ .【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=.直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−−代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=，220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛． 参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t +（2）433774n n P =+⋅− （3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,a b 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新，12345678959t ++++++++=新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−，所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列，故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−.【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
2022-2023学年四川省内江市威远中学高三年级下册学期第一次月考数学文试题【含答案】
高三下第一次月考文科数学第I 卷（选择题）一、单选题1．已知全集，集合，则A =（ ）{62}U x x =-<<∣{}2230A x x x =+-<∣C U A ．B ．C ．D ．()6,2-()3,2-()()6,31,2--⋃][()6,31,2--⋃2．已知，则（ ）()1i 75iz +=+z =A ．B ．C ．D ．6i-6i+32i-12i-3．素数对称为孪生素数，将素数17拆分成个互不相等的素数之和，其中任选(,2)p p +n 2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．151314124．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？” （ ）A ．28B ．32C ．35D ．425．设，是两个向量，则“”是“且”的．a b a b = ||a b |=|a b A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知各顶点都在球面上的正四棱锥的高度为，椎体体积为6，则该球的表面积为3（ ）A ．B ．C ．D ．32π16π24π20π7．某程序框图如图所示，则输出的S =（ ）A ．8B ．27C ．85D ．2608.已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一1l 2l1l半，则直线的斜率为（ ）A ．． C D ．不2l 存在9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质.已知函数的图象可能为sin ()2cos x xf x x =-A．B ．C ．D ．10．函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()f x π6单位长度，得到函数的图象，则（ ）()g x A ．B ．()sin 2g x x=()cos 2g x x=C ．D ．()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2πcos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．10．设，，，则（ ）0.302a =.3log 4b =4log 5c =A ． B ． C ．D ．a b c <<b a c <<c a b<<a c b <<12．已知函数的定义域为R ，且满足，，()f x ()()110f x f x -+-=()()8f x f x +=，，，给出下列结论：()11f =()31f =-()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩①，；②；③当时，的解集为；1a =-3b =-()20231f =[]4,6x ∈-()0f x <()()2,02,4- ④若函数的图象与直线在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是()f x y mx m =-.其中正确结论的个数为（ ）111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题）二、填空题13．若实数、满足，则的取值范围是_________.x y 430x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩23x y +14．已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为(4,2)A -224x y +=B AB P ___________．15．数列满足，其前项和为若恒成立，则{}n a 1,N (21)(23)n a n n n *=∈++n n S n S M <的最小值为________________________M 16．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为()y f x =(),a b ()f x '()f x '(),a b，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已()f x ''(),a b ()0f x ''<()f x (),a b 知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是_____43213()1262m f x x x x =--()1,3m 三、解答题（本大题共5小题，共60分.17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．ABC （1）求A ；（2）若BC =3，求周长的最大值.ABC 18．热心网友们调查统计了柳州市某网红景点在2022年6月至10月的旅游收入y （单位：万元），得到以下数据：月份x678910旅游收入y1012111220(1)根据表中所给数据，用相关系数r 加以判断，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？若可以，求出y 关于x 之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；(2)为调查游客对该景点的评价情况，网友们随机抽查了200名游客，得到如图列联表，请填写2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”喜欢不喜欢总计男100女60总计110，3.162≈注：r 与的计算结果精确到0.001．参考公式：相关系数2K r =线性回归方程：，其中，，ˆˆˆybx a =+()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx =-．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：()20P K k ≥0.0100.0050.0010 k 6.6357.87910.82819.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，，45BAD∠=1,AD AB ==是正三角形，平面平面PBD .PADPAD ⊥(1)求证：；PA BD⊥(2)求三棱锥P -BCD 的体积.20．已知椭圆C 的方程为，右焦点为．22221(0)x y a b a b +=>>F （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线与曲线相切．证明：MN 222(0)x y b x +=>M ，N ，F 三点共线的充要条件是．||MN 21．已知函数．()()21ln 2f x x a x a R =-∈(1)若，求函数在处的切线方程；2a =()f x ()()11f ，(2)若函数在上为增函数，求的取值范围；()f x ()1+∞，a (3)若，讨论方程的解的个数，并说明理由．0a ≠()0f x =四、选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数），以坐xOy 12cos 22sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩α标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是.cos 2sin 40ρθρθ-+=(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知，设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，线段的中点为Q ，求的值.(4,0)P -AB ||PQ [选修4—5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 均为正数，且，证明：22243a b c ++=(1)；23a b c ++≤(2)若，则．2b c =113a c +≥高2023届第六学期第一次月考试题文科数学参考答案选择题 1-5 DBBCA 6-10 BCCAA 11-12 DC1．D 因为，A=.故选：D.{}}{223031A x x x x x =+-<=-<<∣U ][()6,31,2--⋃2．B 因为，所以.故选：B.()()()()75i 1i 75i 122i6i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-6i z =+3．B 素数，可拆成4个互不相等的素数，在4个互不相等的素数中，任取172357=+++两个的所有情况为共6种，其中为孪生素数的情况有2{}(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)种，分别是,，所以孪生素数的概率为．故选：B ．{(3,5)(5,7)}2163=4．C 解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为，设其每日增加的尺数{}n a 为，其前项和为，所以，，即，解得，，d n n S 123246915a a a a a a ++=⎧⎨++=⎩113393915a d a d +=⎧⎨+=⎩112d a =⎧⎨=⎩所以，她前七日共织布尺.故选：C71721142135S a d =+=+=5．A 【详解】由“”可推出“且”；但反之不成立．所以“”是“且”a b = ||||a b =a b a b = a b = a b的充分而不必要条件．选．A 6．B 设正四棱锥底面边长为，则()0a a >2136,3a a ⨯⨯==，则，解得，则球的表面积为.r ()2223r r -+=2r =24π16πr =故选：B7．C 由图可知,初始值；第一次循环，，不成2,1S k ==112,3228k S =+==⨯+=23k =>立；第二次循环，，不成立；第三次循环，213,38327k S =+==⨯+=33k =>，成立；退出循环，输出的值为.故选：C.314,327485k S =+==⨯+=43k =>S 858. C 由直线的斜率为，设其倾斜角为，则1l1θ1tan θ=由直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，设直线的倾斜角为，则，2l 1l 2l 2θ212θθ=，，解得212222tan tan tan 21tan θθθθ===-)(221tan 0θθ+=2tan θ=由倾斜角的取值范围为，则故选：C.[)0,p 2tan θ=2l9．A 解：由题意可得，所以函数为偶函数，排()sin()sin ()()2cos()2cos x x x xf x f x x x ---===---()f x 除B 、C 当略大于0时，，，所以，排除D 故选：A.x sin 0x x >2cos 0x ->()0f x >10．A 结合图像，易得，则，所以由得，所以，17πππ41234T =-=πT =2πT ω=2ππω=2ω=又，所以，则，又因为落在上，所以0ω>2ω=()()sin 2f x x ϕ=+7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ，即，所以，得7πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭7π3π2π,Z62k k ϕ+=+∈，ππ,Zk k ϕ=+∈23因为，所以当且仅当时，满足要求，所以，π2ϕ<0k =π3ϕ=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，()f x π6()g x 所以.故选：A.()ππsin 2sin 263xg x x ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎣⎦=⎝⎭11．D 因为单调递减，所以，又与均单调递0.2x y =0.3002021..a =<=3log y x =4log y x =增，故，，其中，33log 4log 31b =>=44log 5log 41c =>=3ln 4log 4ln 3b ==，4ln 5log 5ln 4c ==，其中，故，2ln 4ln 5ln 4ln 3ln 5ln 3ln 4ln 3ln 4-⋅-=⋅ln 30,ln 40>>ln 3ln 40⋅>其中，故，2222ln 3ln 5ln15ln16ln 3ln 5ln 4222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ln 4ln 5ln 4ln 3ln 50ln 3ln 4ln 3ln 4-⋅-=>⋅所以，即，故.故选：D ln 4ln 5ln 3ln 4>b c >a c b <<12．C 【详解】因为，所以，所以函数为奇函数，()()110f x f x -+-=()()f x f x -=-()f x .因为，所以的周期为8.又()00f =()()8f x f x +=()f x ，所以，所以，，()()21111f a =-++=10a +=1a =-()3311f b =+-=-所以，故①正确.3b =-因为，，故②错误.()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-易知，作出函数在上的图象，()()211,0231,24x x f x x x ⎧--+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩()f x []0,4根据函数为奇函数，及其周期为8，得到函数在R 上的图象，如图所示，()f x ()f x 由的图象知，当时，的解集为，故③正确.()f x []4,6x ∈-()0f x <()()2,02,4- 由题意，知直线恒过点，与函数的图象在y 轴右侧有3个()1y mx m m x =-=-()1,0()f x 交点根据图象可知当时，应有，即，且同时满足，0m >51m m ⨯-<14m <()mx m f x -=无解，即当时，，无解，所[]8,10x ∈[]8,10x ∈()()()108f x x x =--()()108x x mx m--=-以，解得，所以.当时，应有Δ0<1616m -<<+1164m -<<0m <，即，且同时满足，无解，即当时，31m m ⨯->-12m >-()mx m f x -=[]6,8x ∈[]6,8x ∈，()()()68f x xx =--无解，所以，解得，所以()()58x x mx m --=-Δ0<1212m --<<-+综上，或④错误.故选：C.1122m -<<-+1164m -<<1122m -<<-+13．设，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：0,11⎡⎤⎣⎦23z x y =+430x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩联立，可得，即点，平移直线，当该直线经过34y x x y =⎧⎨+=⎩13x y =⎧⎨=⎩()1,3A 23z x y =+可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，A 23z x y =+x z 即，当直线经过原点时，该直线在轴上的截max 213311z =⨯+⨯=23z x y =+x 距最小，此时取最小值，即，因此，的取值范围是.z min 0z =23x y +0,11⎡⎤⎣⎦14．设线段中点为，， 则，22(2)(1)1x y -++=AB (,)P x y (,)B m n 42m x +=22ny-+=即，因为点为圆上的点，所以24m x =-22n y =+B 224x y +=224m n +=所以，化简得：故答案为：22(24)(22)4x y -++=22(2)(1)1x y -++=22(2)(1)1x y -++=15．，()()1111212322123n a n n n n ⎛⎫==-⎪++++⎝⎭则，因为恒成立，所以，1112121111111123557233236n S n n n --++ +⎛⎫⎛⎫=-+-++=<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ n S M <16M ≥即的最小值为 故答案为：M 161616因为，，由题意在上恒成立，即321()332mf x x x x '=--2()3f x x mx ''=--()0f x ''<()1,3在上恒成立，分离参数，而在上的最大值为2，230x mx --≤()1,33m x x ≥-3y x x =-()1,317.（1）由正弦定理可得：，222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，.()0,A π∈ 23A π∴=（2）由余弦定理得：，2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=即.()29AC AB AC AB +-⋅=（当且仅当时取等号），22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ AC AB =，()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭解得：（当且仅当时取等号），AC AB +≤AC AB =周长周长的最大值为ABC ∴ 3L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 3+18.（1）由已知得，，67891085x ++++==1012111220135y ++++==，，，()52110ii x x =-=∑()52164ii y y =-=∑()()5120iiix y y x =-=-∑所以，0.791r ===≈因为，||0.791[0.75,1]r ≈∈说明y 与x 的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，设线性回归方程为，ˆˆˆybx a =+∴，．2020ˆ1b ==ˆˆ13163a y bx =-=-=-则y 关于x 线性回归方程为；23y x =-（2）由题可得2×2列联表，喜欢不喜欢总计男7030100女4060100总计11090200，()222007060403018.18210.82810010011090K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”．19.（1）证明：取中点，连接，PD E AE 因为是边长为1正三角形，所以，PAD AE PD ⊥又因为平面平面PBD ，平面平面PBD ，所以平面PAD ⊥PD =PAD ⋂⊥AE PBD ，又因为平面PBD ，所以①，又因为在中，，BD ⊂AE BD ⊥ABD △45BAD∠=，所以1,AD AB ==2222cos 451BD AD AB AD AB =+-⋅⋅⋅︒=,所以②，又因为③，由①②③2222BD AD AB +==AD BD ⊥AE AD A ⋂=可得平面，又因为平面，所以；BD ⊥PADPA ⊂PAD PA BD ⊥（2）解：取中点，连接，AD F PF 因为是边长为1正三角形，所以且(1)可知PAD PF AD ⊥PF =平面，BD ⊥PAD 平面，所以，又因，所以平面，即有PF ⊂PAD BD ⊥PF BD AD D Ç=PF ⊥ABCD 平面，所以为三棱锥P -BCD 的高，又因为ABCD 为平行四边形，所以PF ⊥BCD PF,111122BCD ABD S S ==⨯⨯= 所以111332P BCD BCDV S PF -=⋅=20.（1）由题意，椭圆半焦距，所以c=c e a ==a =2221b a c =-=椭圆方程为；2213x y +=（2）由（1）得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，221(0)x y x +=>MN :1MN x =不合题意；当直线的斜率存在时，设，MN ()()1122,,,M x y N x y 必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线即，(:MN y k x =0kx y --=由直线与曲线，解得，MN 221(0)x y x +=>11k =±联立可得，所以，(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩2430x -+=121234x x x x +=⋅==所以必要性成立；充分性：设直线即，():,0MN y kx b kb =+<0kx y b -+=由直线与曲线，所以，MN 221(0)x y x +=>1=221b k =+联立可得，2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=所以，2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++==化简得，所以，()22310k -=1k =±所以或，所以直线或，1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b=-⎧⎪⎨=⎪⎩:MNy x =y x =-所以直线过点，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；MN F 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =21（1） 时，， ， ，2a =()212ln 2f x x x =-()'2f x x x ∴=-()'11k f ∴==-又，函数在处的切线方程为：；()112f =∴()f x ()()11f ，2230x y +-=（2）函数在上为增函数，则 在恒成立，()f x ()1+∞，()'0a f x x x =-≥()1x ∈+∞，即在恒成立，故，经检验，符合题意，2a x ≤()1x ∈+∞，1a ≤；1a ∴≤（3），()'af x x x =-时， 在上恒成立，在是增函数，0a <①()'0f x >()0+∞，()f x \()0+∞，取，，11x =212eax =由， ，()10f >11121121111e e ln e e e 102222a a a aa f a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在时存在唯一零点，即时，方程有唯一解；12e ,1a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0a <()0f x =时，，0a >②()'af x x x =-=在递减，在递增，()f x\(0)+∞ ，()min 1()1ln 2fx fa a ∴==- 时，，此时方程无解，0e a <<0f>()0f x = 时， ， 时方程存在一个解，e a >()110,02f f =><(x ∴∈()0f x =又 ，()211e e e e e 22a a a a a f a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令 ，即 是增函数，()()'e 1111e ,e 1,e,e 1e 102222a a a p a a p a a =-=->∴->-> ()p x ，即 ，即 时，()()e e 121111e e e e e 1e e 10222p a p --⎛⎫⎛⎫>=-=->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()e 0a f >)ax ∈方程存在一个解；()0f x =所以： 时，无解，0e a <<()0f x =或 时，有唯一解，0a <e a =()f x时，有个解；e a >()0f x =2综上， 时，无解，或 时，有唯一解， 时，0e a <<()0f x =0a <e a =()f x e a >有个解；()0f x =222.（1）由（为参数），得，故曲线C 的普通方程为12cos ,22sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩α22(1)(2)4x y ++-=.由，得，故直线l 的直角坐标方程22(1)(2)4x y ++-=cos 2sin 40ρθρθ-+=240x y -+=为；240x y -+=（2）由题意可知点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为（t 为参数），4,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得，25450t -+=，(245453800∆=-⨯⨯=>设A ，B 对应的参数分别为，则12,t t 12t t+=故122t t PQ +==23.（1）由柯西不等式有，()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦所以，当且仅当时，取等号，所以.23a b c ++≤21a b c ===23a b c ++≤（2）证明：因为，，，，由（1）得，2b c =0a >0b >0c >243a b c a c ++=+≤即，所以，043a c <+≤1143a c ≥+由权方和不等式知，()22212111293444a c a c a c a c ++=+≥=≥++当且仅当，即，时取等号，124a c =1a =12c =所以.113a c +≥所以实数的取值范围是.m [)2,+∞。
新疆乌鲁木齐市第八中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学(文)试题及答案
乌鲁木齐市第八中学2022-2023学年第一学期高三年级第一阶段考试文数问卷（命题人：高三数学组考试时间： 120 分钟卷面分值： 150 分）（命题范围：高考）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A∩B的真子集个数为．( )A. 1B. 3C. 2D. 42.命题“∀x∈[1,2]，x 2−2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. a≤2B. a≥2C. a≥4D. a≤43.函数y=sin x cos x+3cos2x−3的图像的一个对称中心是．( )B. C. −2π3D.4.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为元( )A. a(1+r)17B. ar [(1+r)17−(1+r)]C. a(1+r)18D. ar[(1+r)18−(1+r)]5.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC=λAM+μBD，则λ+μ=( )A. 43B. 2 C. 158D. 536.设数列{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S5<S6，S6=S7>S8，则下列结论不正确的是( )A. d<0B.S9>S5C. a7=0D. S6与S7均为S n的最大值7.已知θ∈(0,π2)，sin (π4−θ)=55，则sin (2θ+π3)的值为( )A. 43+310B. 43−310C. 33+410D.33−4108.若点O 和点F 分别为椭圆x24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ⋅FP 的最大值为．( )A. 2B. 3C. 6D. 89.在公比q 为整数的等比数列{ a n }中，S n 是数列{ a n }的前n 项和，若a 1+a 4=18，a 2+a 3=12，则下列说法错误的是( )A. q =2B. 数列{ S n +2 }是等比数列C.数列{ lga n }是公差为2等差数列D. S 8=51010.已知关于x 的不等式x 2−4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2)，则x 1+x 2+ax 1x 2的最大值是( )A.63B. −433C. 433D. −23311.在△ABC 中，AC =3，AB =1，O 是△ABC 的外心，则BC ⋅AO 的值为( )A.4B. 6C. 8D. 312.已知函数f(x)=|sinx|+|cos x|−sin 2x−1，则下列说法正确的是( )A. x =π2是函数f(x)的对称轴B. 函数f(x)在区间(π2,5π6)上单调递增C. 函数f(x)的最大值为2，最小值为−2D. 函数f(x)在区间(0,Mπ)上恰有2022个零点，则1011<M ⩽20232二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x >0，y >0，且32x +6y =2，求4x +2y 的最小值____________14.若函数f(x)=2x +mx +1在区间[0,1]上的最大值为3，则实数m =___________.15.已知当a ∈[0,1]时，不等式x 2+(a−4)x +4−2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是 ．16.数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n−1，前16项和为540，则a 1= ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
高三数学上学期第一次月考试题 文扫描 试题
HY中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一中第一期联考文科数学答案命题、审题组老师 杨昆华 彭力 杨仕华 王佳文 张波 毛孝宗 丁茵 易孝荣 江明 李春宣一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBCDADDCAAB1. 解析：由题意，因为集合{}1>=x x A ，所以=B A {}31<<x x ，选B ． 2. 解析：因为2i 12i i i)i)(1(1i)i(1i 1i 2+=-=-+-=+，选C ． 3. 解析：18=0.4540，选B ． 4. 解析：由得54)cos(-=--αβα，即54cos )cos(-==-ββ，又πβ（∈，）23π，所以0sin <β，且53cos 1sin 2-=--=ββ，选C ．5. 解析：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥A DBC -，那么最长棱为2222116AB =++=，选D ．6. 解析：对于B ，函数的周期是π，不是π4；对于C ，函数在3π=x 时不取最值；对于D ，当∈x 65(π-，)6π时，34(32ππ-∈+x ，）32π，函数不是单调递增，选A ． 7. 解析：因为()()11f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，选D ．8. 解析：由垂径定理可知直线CM 的斜率为2-，所以直线CM 的方程是)2(21--=+x y ，即032=-+y x ，选D ．9. 解析：设外接球的半径为R ，因为PA ⊥平面ABC ，所以BC PA ⊥，又BC AB ⊥，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，易知：OA OB OC OP ===，故O 为四面体P ABC -的外接球的球心，又2PA AB BC ===，所以22AC =，23PC =，半径3R =，四面体P ABC -的外接球的外表积为()24312ππ=，选C ．10. 解析：由()y f x =,()01f =-排除B ，()f x 是偶函数排除C,()20f =和()40f =排除D ，选A ．11. 解析：由题设得3=ab，2)(12=+=a b e ，所以b e a +2362322323322=≥+=+=aa a a ，选A ． 12. 解析：由余弦定理及22b ac a -=得，22222cos b a c ac B a ac =+-=+，所以有2cos c a B a =+，因此sin 2sin cos sin C A B A =+，故有()sin 2sin cos sin A B A B A +=+，即()sin sin A B A =-，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以A B A =-，即2B A =，所以022A π<<，所以04A π<<，又3B A A +=，所以32A ππ<<，所以63A ππ<<，综上,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()sin sin 22cos 2,3sin sin B At A A A===∈，选B ．二、填空题13. 解析：由22a b a b -=+解得0a b ⋅=，所以向量a 与b 夹角为90︒． 14. 解析：N=126+146+96+136=288⨯⨯⨯⨯．15. 解析：由图知，直线4z y x =-过()1,0时，4y x -有最小值1-. 16. 解析：由得()()22log 1933f x x x -=+++，所以()()6f x f x +-=，因为2lg 3⎛⎫ ⎪⎝⎭与3lg 2⎛⎫⎪⎝⎭互为相反数，所以23lg lg 632f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3lg 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 三、解答题〔一〕必考题17. 解：〔1〕证明：设1122n n nn a a d ---=那么122n n n a a d --= 所以1122n n n a a d ++-=,11122222n n n n n n a a da a d++--==-所以}{12n na a +-是首项为4,公比为2的等比数列. ………6分〔2〕因为{}2n n a 是等差数列，所以1221122=-=a a d ,所以11(1)22n n a a n d =+-⨯ , 所以1()22nn a n =-所以123113531222...()2()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-① 2311333222...()2()22222n n n S n n +=⨯+⨯++-+-②由①-②得23111=2+2+2...2()222n n n S n +-⨯++-- 13=(n-)232n n S ++． ………12分18. 解：〔1〕 选派B 同学参加比拟适宜．理由如下：1(7580808385909295)858A x =+++++++=，1(7879818284889395)858B x =+++++++=，22222221[(7885)(7985)(8185)(8285)(8485)(8885)8B S =-+-+-+-+-+-+22(9385)(9585)]35.5-+-=，22222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)8A S =-+-+-+-+-+-+22(9285)(9585)]41-+-=，从A B x x =，22B A S S <可以看出：A ，B 两位同学的平均程度一样而B 的成绩较稳定，所以选派B 参加比拟适宜． ………7分〔2〕任选派两人有(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E 一共10种情况；所以A ，B ，C 三人中至多有一人参加英语口语竞赛有7种情况； 所以710P =． ………12分19. 解：〔1〕在直角梯形ABCD 中，2BC AD AB ⋅=，即AB ADBC AB=， 因为90DAB PBC ∠=∠=, 所以tan AB ACB BC ∠=，tan ADABD AB∠=， 所以ABD ACB ∠=∠，又因为90ACB BAC ∠+∠=， 所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥图2的四棱锥1P ABCD -中，1P A AB ⊥，由题知1P A AD ⊥，那么1P A ⊥平面ABCD ， 所以1BD P A ⊥，又1P AAC A =所以BD ⊥平面1P AC . ………6分(2)在图1中，因为AB =,1AD =，2BC AD AB ⋅=，所以3BC =因为PAD ∆∽PBC ∆，所以13PA AD PA PB BC ==⇒=，即1P A = 由〔1〕知1P A ⊥平面ABCD ，那么1C P BD V -1P CBD V -=1P CBD V -=111111133332324CBD S P A BC AB P A ∆⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯=. ………12分20. 解：〔1〕由椭圆定义知，224AF BF AB a ，又222AF BF AB ，得43ABa ，l 的方程为y x c ，其中22c a b .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将y x c 代入22221x y a b 得，2222222()2()0a b x a cx a c b . 那么212222-a c x x a b ，2221222)a cb x x a b （.因为直线AB 的倾斜角为4π，所以212122()4ABx x x x ，由43AB a 得，222443a ab a b ，即222a b .所以C的离心率2222c a b e a a. ………6分 (2) 设AB 的中点为0,0()N x y ，由〔1〕知，2120222--23x x a c c x a b ，003cy x c .由PA PB 得，PN 的斜率为-1，即001-1y x ，解得，3c ，32a ，3b .所以椭圆C 的方程为221189x y . ………12分21. 解：〔1〕()f x 的定义域为(,)-∞+∞,因为()e x f x a '=+，由(0)0f '=，得1a =-, 所以()e 2x f x x =--，由()e 10x f x '=->得0x >，由()e 10x f x '=-<得0x <，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. ………6分 (2) 因为0x >,所以()e 1e 1xxm x -<+可化为e 1e 1x x x m +<-，令e 1()e 1x x x F x +=-，那么()2e (e 2)()e 1x x x x F x --'=-， 由〔1〕得()e 2x f x x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)e 30f =-<,2(2)e 40f =->,所以()f x 在(1,2)上存在唯一的0x ， 使0()0f x =，所以()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 所以0()F x 是()F x 00e 20x x --=得00e 2x x =+， 所以00000000e 1(2)1()11e 1x x x x x F x x x +++===++-， 又因为012x <<，所以02()3F x <<，所以[]max 2m =. ………12分 〔二〕选考题：第22、23题中任选一题做答。
湖南省2025届高三上学期第一次月考数学试题含答案
2025届高三月考试卷（一）数学（答案在最后）命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （）A.{}32xx -≤≤∣ B.{32}xx -≤<∣C.{12}xx <≤∣ D.{12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2.若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.2B.54C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上的投影向量为（）A.()6,3- B.()4,2- C.()2,1- D.()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A.21 B.19C.12D.42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X N μσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A.136人B.272人C.328人D.820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.(D.(【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以5e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：B8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1-∞⋃ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0ff x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10.已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=，所以()f x 的图象关于点2,1对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】231,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()13,,1,0,cos ,sin 22A B C θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()13cos ,sin ,1,022θθλμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理得1cos ,sin 22λμθλθ+==，解得cosλμθ==-，则323ππcos cos sin ,0,3333λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+=-=+=+∈ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 33332θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以231,3λμ⎡+∈⎢⎣⎦.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB 的中点时，123332k λμ=+==，所以231,3λμ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：231,3⎡⎢⎣⎦四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB 于点,313,13D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C =（2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a =（2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在1,+∞上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,2BC AB BC PA PB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD 所成角的余弦值为14．【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．【小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos 14θ=，得sin 14θ=．所以314sin cos ,14m EF m EF m EF θ⋅====，整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD 所成角的余弦值为7014．18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240rx r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111712222PQ PE -≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ 长度取最小值12-.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴.设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b -=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=.同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--.代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()1122211ˆˆ,n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+（2）433774nn P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.42.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a=-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故1493(7284n n P --=--，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中[]x 表示取整函数，当347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
2019-2020年高三上学期第一次月考数学文试卷 含答案
2019-2020年高三上学期第一次月考数学文试卷含答案试卷分值：150 分答题时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合，那么是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知等差数列中，（）A． B． C．30 D．153．函数的零点所在的大致区间是（）A．（3，4） B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为，已知则B＝（）A． B． C． D．或5．已知是定义在上周期为的奇函数，当时，，则（）A．-2 B． C．2 D．56．下列函数中，周期为的偶函数是（A）（B）（C）（D）7．函数的图象大致为（）8．正数yxyxyxyx++=++则满足,loglog)3(log,222的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知三点、、，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C． D．10．已知数列满足，则数列的最小值是A．25 B．26 C．27 D．28 11．已知，，，点在上，且，设，则等于（）A． B． C． D．12．设函数，则函数的零点的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，且，则实数的值为．14．已知，则曲线在点处的切线方程为．15．在中，，，，其的面积为．16．已知函数，给出下列五个说法：①；③在区间上单调递增；④将函数的图象向右平移个单位可得到的图象；⑤的图象关于点成中心对称．其中正确说法的序号是_____________．三、解答题17．（本小题满分12分）设函数＝，且图象的一个对称中心到离它最近的对称轴的距离为．（1）求的值；（2）求在区间上的最大值和最小值，并求取得最大值与最小值时相应的的值．18．设△的内角所对的边为，且有．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，为的中点，求的长．19．（12分）已知在锐角△ABC中，a，b, c分别为角A，B，C的对边，且sin（2C－）＝．（1）求角C的大小；（2）求的取值范围．20．（本小题满分12分）已知是等差数列的前项和，满足；是数列的前项和，满足：。
【高三】高三数学上册第一次月考文科试卷(含答案)
【高三】高三数学上册第一次月考文科试卷(含答案)第ⅰ卷一、（本主题共有12个子主题，每个子主题得5分，满分60分。
每个子主题中给出的四个选项中只有一个符合主题要求。
）1．设，则a、或者b.c.d2．函数的最小正周期为a、 4b.2c.d。
3．函数的图象如图所示，则导函数的图像的大致形状如下所示4.已知复数是虚数单位，则复数的虚部是a、不列颠哥伦比亚省。
5.下列大小关系正确的是a、 b。
c.d.6.以下陈述是正确的a.“”是“在上为增函数”的充要条件b、对“make”命题的否定是：c.“”是“”的必要不充分条件d、命题p:''，那么p是真命题7.函数的部分图像如图如图所示，如果，则a、 b.c.d.18.已知，且则的值为a、不列颠哥伦比亚省。
9.函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是a、不列颠哥伦比亚省。
10.已知函数满足对恒成立，则a、函数必须是偶数函数B.函数必须是偶数函数c.函数一定是奇函数d.函数一定是奇函数11.如果已知函数，则以下结论是正确的a．b．c、 d。
12.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间[-1,3]内，函数有4个零点，则实数的取值范围是a、不列颠哥伦比亚省。
第ⅱ卷本卷由两部分组成：必修问题和选修问题。
问题13至21是必修问题，考生必须回答每个问题。
问题22到24是可选问题，考生可以根据需要回答二、题：本大题共4小题，每小题5分．13.如果已知函数的图像经过点a（1,1），则不等式的解集为__14.已知为钝角，且，则。
15.如果只有一个公共点有两个函数图像_____16.函数的图象与函数的图象的公共点个数是个。
三、答：答案应该写一个书面描述。
验证过程或计算步骤17.（本题满分12分）已知功能。
（ⅰ）若在是增函数，求b的取值范围；（二）如果在时间点获得极值且时间常数保持不变，则找到C的值范围。
18.（本题满分12分）已知函数（ⅰ）若,求的最大值和最小值；（二）如果是，请计算的值。
新人教版2高三数学上学期第一次月考试题文科版
数学（文）一．选择题：本大共10小题，每小题5分，共50分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合2{1},{M x y x N y y ==+==，则M N =（ ）A. {(0,1)}B. {1}x x ≥-C. {0}x x ≥D. {1}x x ≥2、复数31i z i=-（其中i 为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数122i z =-- C ．若复数1()z z b b R =+∈为纯虚数，则12b =-D ．复数z 的模1||2z = 3. 设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的 条件 A.充要B.充分而不必要C.必要而不充分D.既不充分也不必要4.已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于A.1B.2D.125．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.6. 三棱锥S ABC -及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为A. B.7. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若()222tan a c b B +-=，则角B 的值为 A.6πB.3πC. 566ππ或D.233ππ或8.已知函数()()1ln 1f x y f x x x ==--，则的图象大致为9．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数p ,q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为A ．[15,)+∞B ．](,15-∞C ．](12,30D ．](12,15-10．若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A B ．8C ．D ．2二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。
高三第一次月考文科数学试卷
高三第一次月考文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1.222()22i -=（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．-i2.函数(21)y f x =-的定义域为[0,1] ，则()y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B ．1[,1]2C ．[0,1]D ．[1,0]-3.一组数据1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x 的方差为1，则121x -、221x -、321x -、421x -、521x -、621x -的方差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44.若函数2()sin 22sin sin 2f x x x x =-⋅，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（ ）A ．14πB ．12πC ．8πD ．16π6.满足()f x x '=的()f x （ ）A ．存在且有无限个B ．存在且只有有限个C ．存在且唯一D ．不存在7.若等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 错误！未找到引用源。
成等差数列，则3q 等于（ ）A ．1错误！未找到引用源。
B ． 12- C ．错误！未找到引用源。
或1 D ．错误！未找到引用源。
8.面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积不小于14的概率是（ ）A ．错误！未找到引用源。
15B ．12C ．13D ．14错误！未找到引用源。
9.已知双曲线方程:C 22221x y a b-= (0)b a >>的离心率为1e ，其实轴与虚轴的四个顶点和椭圆G 的四个顶点重合，椭圆G 的离心率为2e ，一定有（ ） A ．22122e e += B ．2212112e e += C ．222212122e e e e +=+ D ．12122e e e e +=+ 10.如图，已知正方体1111D C B A ABCD -上、下底面中心分别为21,O O ，将正方体绕直线21O O 旋转一周，其中由线段1BC 旋转所得图形是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设(2,4)a = ，(1,1)b = ，若()b a mb ⊥+，则实数m =________． 12.执行如图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为 ．13.记不等式2y x xy x ⎧≥-⎨≤⎩所表示的平面区域为D ，直线1()3y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是________14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，有下列结四个论：① ()31f =；②函数()f x 在[]6,2--上是增函数；③函数()f x 关于直线4x =对称；④若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -= 在[]8,8-上所有根之和为-8，其中正确的是________(写出所有正确命题的序号) 15.若关于实数x 的不等式2|1||2|3x x a a ---≤--的解集是空集, 则实数a 的取值范围是____________．三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．DC B A O 2O 1C 1D 1C B 1A 1A BD16.（本小题满分12分）已知函数()4cos sin()6f x x x a π=++的最大值为2.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期； （2）在坐标纸上做出()f x 在[0,]π 上的图像．17.（本小题满分12分）某种产品按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级.现从一批该产品中 随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级 12 3 45频率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20个产品中，等级为5的恰有2个，求m ,n ；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有产品中，任意抽取2个，求抽取的2个产品等级恰好相同的概率.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 各项均为正数，满足22(1)0n n na n a n +--=．（1）计算12,a a ，并求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD PA -，⊥平面ABCD ， 底面ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=，且AB CD ∥,12AB CD =. （1）点F 在线段FC 上运动，且设PF FCλ=，问当λ为何值时，BF ∥平面PAD ，并证明你的结论；（2）当BF ∥面PAD ，且4PDA π∠=，23AD CD ==，求四棱锥F BCD -的体积.20.（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，离心率32e =，点2(2)2Q ,在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k (0)k ≠的直线n 交椭圆C 与A 、B 两点，且OA k 、k 、OB k 成等差数列， 点M （1,1），求ABM S ∆的最大值.21.（本小题满分14分）设321()2x e f x x ax e=++.（1）若3(,)2x ∈ +∞时，()f x 单调递增，求a 的取值范围； （2）讨论方程()|ln |0f x x ax b +--=的实数根的个数.参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DADACABBCD11. 3- 12. 43- 13. 16[]37- , 14. 15.12a -<< 解答题16.解：（1）()2sin(2)16f x x a π=+++ 最大值为2∴1a =- T π=（2）如右图 17.解：（1）0.35m =,0.1n =（2）等级为3的有3个，等级为5的有2个， 由枚举得，共有10种取法，抽取的2个产品等级恰好相同的取法有4种，故概率为2518.解： （1）11a = 22a =∵ 22(1)0n n na n a n +--= ⇒ (1)()0n n na an +-= 又 ∵ 数列{}n a 各项均为正数 ∴ n a n =（2）231232222n n n S =+++⋅⋅⋅+ 2112321222n n nS -=+++⋅⋅⋅+ ∴2111121222222n n n n n n S -+=+++⋅⋅⋅+-=-19.解：（1）当1PFFC λ==时，取PD 中点G ，连接AG 、FG ，则1CD AB 2FG ∥∥ ∴BF AG ∥ 且 BF ⊆/平面PAD ∴BF ∥平面PAD（2）∵PA ⊥平面ABCD 且 4PDA π∠= ∴PDA ∆为等腰直角三角形∴11113213232F BCD BCD V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯= 20.解 1)1422=+y x ……………………(4分)2) 由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为mkx y +=1122(,),(,)P x y Q x y 满足22440y kx m x y =++-=⎧⎨⎩ ，消去y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=．2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，且122814km x x k -+=+，．因为直线OB AB oA ,,的斜率依次成等差数列，所以，k x y x y 22211=+，即2112212x kx y x y x =+，又m kx y +=，所以0)(21=+x x m ，即m=0． ……………………(9分)联立kx y y x ==+⎩⎨⎧1422 易得弦AB 的长为224141k k ++又点M 到kx y =的距离112+-=k k d所以11414121222+-++=k k k k s 24112kk +-=平方再化简求导易得41-=k 时S 取最大值5……………………(13分)21.解：（1）∵ 321()2x e f x x ax e =++ ∴ 3()x e f x x a e'=+-∵ 当3(,)2x ∈ +∞时，()f x 单调递增 ∴当3(,)2x ∈ +∞时，3()0xe f x x a e '=+->∴3x e a x e >- 函数3()x e g x x e =- 在3(,)2x ∈ +∞上递减 ∴33()22a g ≥=-（2）()|ln |0f x x ax b +--= ∴ 321|ln |2x e x x b e ++=令321()|ln |2x e h x x x e=++① 当1x >时 31()x e h x x e x '=-+∵ 12x x+≥ 32x e e e ≤< ∴()0h x '>即()h x 在(1,) +∞递增② 当01x <≤时 31()x e h x x e x'=--∵ 10x x-< 30x e e > ∴()0h x '<即()h x 在(0,1] 递减∵121(1)2h e =+当0x →时 321()|ln |2x e h x x x e=++ → +∞当x →+∞时 321()|l n |2x e h x x x e=++ → +∞ ∴① 当1212b e <+时，方程无解② 当1212b e =+时，方程有一个根③ 当1212b e >+时，方程有两个根。
2023—2024学年黑龙江省高三上学期第一次月考考试数学试题(含答案)
2023-2024学年黑龙江省高三上册第一次月考考试数学试题．．．．．函数()2ln(f x x =--的单调递减区间为（）．(,1)-∞-B (1,1)-D7．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '满足：对任意x ∈R 都有()()f x f x '<，则下列各式恒成立的是（）A ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f <⋅<⋅B ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f >⋅>⋅C ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f >⋅<⋅D ．()()()()20181<e 0,2018e 0f f f f ⋅>⋅二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（）A ．()f x 在()4,3--上是减函数B ．()f x 在()1,2-上是减函数C ．3x =-时，()f x 有极小值D ．2x =时，()f x 有极小值10．对于定义在R 上的函数()f x ，下述结论正确的是（）A ．若()()11f x f x =+-，则()f x 的图象关于直线1x =对称B ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图象关于点()1,0A 对称C ．函数()1y f x =+与函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称D ．若函数()1f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数16．已知定义在R 上的函数f ()()2log a f x x =+，则(2022f 四、解答题：本题共6小题，共由图象可知：函数12xy=与y∴函数()213 2xf x x=+-的零点个数为故答案为.214．2【分析】根据对数函数的性质求出函数过定点坐标，再代入直线方程，即可得到。
2021-2022年高三第一次月考文科数学试题
2021年高三第一次月考文科数学试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、经过空间任意三点作平面（）A．只有一个 B．可作二个 C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个2．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，，则α⊥β3．正四棱柱的对角线长为3cm，它的全面积为16，则它的体积为（）A．4 B.8 C.12 D. 4或4．二项式的展开式的第3项与第8项的二项式系数相等，则二项展开式的中间项是（）A．第5项或第6项 B.第6项 C．第6项或第7项 D.第5项5.等于（）A． B. C. D.6.甲，乙两人能独立解答某题，甲能解出的概率为P，乙不能解出的概率为q，则两人都能解出的概率为（）A.pqB.(1-p)(1-q)C.1-pqD.p(1-q)7.从0，1，2，3，4，5，6，7， 8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数，组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有（）A．1480个 B.1440个 C.1200个 D.1140个8.曲线在点P处的切线斜率为K，当K=3时的P点坐标为（）A．（-2，-8） B.(-1,-1),(1,1) C.(2,8) D.(-4,6)9.已知的导数为f＇(x),则等于（）A．f＇ B.2 f＇ C. D.不存在10过正方体的顶点A作直线，使与棱所成的角都相等，这样的直线可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的相应位置上。
11．过点P（-1，2）且与曲线在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是12．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为2：3：5。
现用分层抽样方法抽出一个容量为N的样本，样本中A型号产品16件，那么此样本的容量N=13．一批产品，有2件次品，4件正品，每次抽一件测试，直到2件次品全部找到为止， 假定抽后不放回，则在第四次测试测试后停止的概率是 14．函数的单调减区间为15．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后（未弄破冰），冰面上留下了一个直径为24cm ， 深为8cm 的空穴，则该球的半径为三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2021年高三第一次月考数学试题(文科)
2021年高三第一次月考数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共22小题,共150分,共3页,考试时间120分钟,考试结束后,将答题卡和答题纸一并交回. 注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上.2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超过答题区域书写的答案无效;试题卷及草纸上的答题无效.3.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题 A 共60分)一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求1. 若集合P=｛x ｜x ｜>2｝,Q=｛x ︳3x>1｝,则C r P ∩C r Q= A.(-∞,0) B. C [-2,0] D.[-2,2] 2.已知函数f(x)=A. 9 B C. -9 D. - 3.下列四个数中最大的是A. (ln2)2B. ln(ln2)C. lnD.ln24.已知函数y=log a (2-ax)在区间[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(2,+∞)5.根据表格中的数据,可以判定方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)6若关于x 的方程x 2-x-(m+1)=0在[-1,1]上有解,则m 的取值范围是 A. -1≤m ≤1 B.m ≥- C.m ≤1 D. -≤m ≤17.函数f(x)=log 2︳x ︳,g(x)=-x 2+2,则f(x)g(x)的图象只可能是8.定义在R上的奇函数f(x)，满足f(3+x)=f(3-x),若x(0,3)时，f(x)=,则x(-6,-3)时，f(x)等于A． B． C． D．9.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时，f(x)= 为常数)则f(-1)=A.-3B. -1C. 1D.310.f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，满足f(x﹒y)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8) ≤2,则x的取值范围是A.（8，+∞）B.（8,9 ]C. [8,9]D.（0,8）11.函数y= 4-的值域为A. B. C. D.12.定义在R上的偶函数f(x)在上是减函数，且f(1)=0,则不等式f()>0的解集为A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题,本大题共4小题,每题5分,共20分13、设x(0,1)，幂函数y=的图象在直线y=x的上方，则实数a的取值范围是14.已知函数f(x)= 定义域为R,则实数a的取值范围 .15.函数y=a x+5-3(a>0且a≠1)恒过定点 .16.定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下面关于f(x)的判断:①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于直线x=2对称;③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在[1,2]上是减函数;⑤f(4)=f(0).其中正确的判断的序号是 .三.解答题(本大题共6个小题,共70分)17.(本小题满分12分)设集合A=｛x|log(x-3)≥-2｝, 求实数a的取值范围.(其中a>0)18.(本题满分12分)已知x>1,y>1且2log x y-2log y x+3=0.求x2-4y2的最小值.19.(本小题满分12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x吨之间的函数关系式可以近似地表示为y=已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?20.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-x2.(1)求函数f(x)的表达式并画出其大致图象;(2)若当x∈[a,b]时,f(x)∈若0<a<b≤2,求a、b的值.21、(本小题满分12分) 已知函数f(x)= （a>0，a≠1）,如果对于任意x都有|f(X)|≥1成立，试求a的取值范围。
2021-2022年高三上学期第一次月考文科数学 含答案
绝密★启用前2021年高三上学期第一次月考文科数学 含答案注意事项：1. 本试题共分三大题，全卷共150分。
考试时间为120分钟。
2．第I 卷必须使用2B 铅笔填涂答题纸相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。
3. 第II 卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效。
作图时，可用2B 铅笔，要求字体工整、笔迹清晰。
第I 卷（共60分）一、 选择题 (本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.)1. 设全集，集合，，则( )A.{5}B.{1,2,5}C.D.2．定义映射，若集合A 中元素在对应法则f 作用下象为，则A 中元素9的象是( )A ．－3B ．－2C ．3D ． 2 3.已知命题：（ ）A ．B ．C ．D ．4.函数的定义域是 （ ）A ．B ．C ．D ．5.是三个集合，那么“”是“”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6．若2313log 3,log 2,2,log 2,,,a b c a b c ===则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若为奇函数且在）上递增，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知命题：关于的函数在上是增函数，命题：函数为减函数，若为真命题，则实数的取值范围是 ( ) A ． B. C ． D.9.下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数的零点的个数（ ）A ．4 B. 3C ．2D ．111．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）A .B .(1,2] C. (1，3) D. 12．若存在负实数使得方程 成立，则实数的取值范围是（ ）A ． B. C. D.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分,请将答案填在答题纸上)13.已知函数的图象在处的切线方程是,则 .14．函数的极值点为 .15.已知函数满足，且时，,则函数与的图象的交点的个数是 .16.用表示不超过的最大整数，如，设函数，关于函数有如下四个命题：①的值域为； ②是偶函数 ； ③是周期函数，最小正周期为1 ； ④是增函数.其中正确命题的序号是： .三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知集合}.02|{},,116|{2<--=∈>+=m x x x B R x x x A（I ）当=3时，求； （Ⅱ）若，求实数的值.18．（本小题满分12分）已知，设命题P ： ；命题Q ：函数f （x ）＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点．求使命题“P 或Q ”为真命题的实数的取值范围．19.（本小题满分12分）已知函数是定义在上的偶函数，且时，,函数的值域为集合. （I ）求的值；（II ）设函数的定义域为集合，若，求实数的取值范围.20.（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数是奇函数． （I ）求a 的值；（Ⅱ）判断的单调性并证明； （III ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．21．（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）若上是增函数，求实数的取值范围。
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三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知命题p:?x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:“?x0¡ÊR,x20+2ax0+2-a=0”,若命题¡°p且q是真命题,求实数a的取值范围.¡±
18.若 是定义在 上的增函数，且对一切 满足 .
(1)根据图象数据,求y与x之间的函数关系式;
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克?
22.设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公共切线．
(1)求a、b的值；
(2)对任意x＞0，试比较f(x)与g(x)的大小．
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
12.若函数 是奇函数，且在（ ），内是增函数， ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
2、填空题（4*5=20分）
14．函数f(x)=2x3+3x2－12x－5,则函数f(x)的单调增区间是______.
15．函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 _______.
高三第一次月考试卷
（文科数学）
1、选择题（12*5=60分）
1.设集合 ,则满足 的集合B的个数是（）
A．1B．3C．4D．8
2．函数 的定义域是（）
A． B． C． D．
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）
A． B．
C． D．
4．曲线y= x5+3x2+4x在x=－1处的切线的倾斜角是（）
（1）求 的值;
（2）若 解不等式 .
19.已知函数 满足 且对于任意 ,恒有 成立.
（1）求实数 的值;
（2）解不等式 .
20.已知函数f(x)＝x3＋x－16，求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
21.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.如果超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y(元)是关于行李质量x(kg)的一次函数,其图象如图所示.
王维的《相思》诗,在这4句诗中,哪句可作为命题( )
A.红豆生南国B.春来发几枝
C.愿君多采撷D.此物最相思
8.函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()
A．3 B．0 C．－1 D．－2
9.设aБайду номын сангаасlog54，b＝(log53)2，c＝log45，则()
A．a＜c＜bB．b＜c＜a
A．－ B． C． D．
5.曲线y=4x－x3在点(－1,－3)处的切线方程是（）
A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x－4 D．y=x－2
6．设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的（）
Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人
C．a＜b＜cD．b＜a＜c
10.若f(x)=x2+2mx+m2-2m在(-∞,3]上单调递减,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-3]B.[-3,+∞) C.(-∞,3]D.[3,+∞)
11.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()
A．(－2,2) B．[－2,2]