《信号与系统导论》课件03(3.7)

说明见后
说明见后
对应式（3-55）
证明
因为
综合上述两种情况
3．意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频 带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比， 有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
•用性质求F(ω)；
•了解在通信系统领域中的应用。
主要内容
对称性质 线性性质
奇偶虚实性
时移特性
尺度变换性质
频移特性
微分性质
时域积分性质
一．对称性质
1．性质
证明：
例如，矩形脉冲信号的频谱为抽样函数，则抽样函数信 号的频谱必为矩形脉冲。图3-30，P124 直流信号的频谱为冲激函数，则冲激函数信号的频谱必 为常数。图3-31，P125








E 2
F
0
O
0
0
2

(b)矩形调幅信号的频谱
教材例3-5，P135
利用频移定理，求出余弦信号f t cos0t 的频谱. 解 : 取f ( t ) 1为直流信号，由傅氏变换1 2 ( ), 1 所以f ( t )cos(0 t ) [F( 0 ) F( 0 )] 2 [ ( 0 ) ( 0 )] 可见周期信号的频谱集中于两点 0，是冲激信号。
等效脉冲宽度与等效频带宽度
f 0
f t
F 0
F
O
t
O




f t d t f 0


t 0

1 f 0 2 1 2



F e jt d F d
F 0

F d F 0B
解：
课本P138-139，例题3-7
显然，对比上题，截平斜变函数的频谱，可由上 题作平移得到。
频域积分特性
设f(t)是实奇函数：
例3-7-3：偶实函数的频谱必为偶实函数
对称性
例3-7-3：奇实函数的频谱必为奇虚函数
• 参课本P127，例3-1 • 波形与频谱见P128，图3-32。
四．尺度变换性质
证明见下页
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
说明见后
信号在时域反褶等效于频域反褶。
下面从另一个角度说明尺度变换特性
（1）、（2）两式表明：f（t）与F（ω）所覆盖的面积分别等于F（ω） 与2π f（t）在零点时的数值F（0）与2π f（0）。 如果F（0）与 f（0）各自等于相应曲线的最大值，见P130 （图3-34），这是定
义τ和B分别对应f（t）与F（ω）的等效宽度，则有以下关系是：
§3.7 傅里叶变换的性质
正变换 变换对 逆变换
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特 性之间的确定的内在联系。其中一个函数确定，另一 个函数随之被确定下来。在实际信号分析过程中，我 们既可以借助以上关系由此及彼直接变换，也可借助 于一些傅氏变换的基本性质间接进行。
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： •了解特性的内在联系；
例3-7-1 例3-7-2
相移全通 网络
二．线性性质
1．性质
2．例3-7-3
傅里叶变换是一种线形变换。相加信号的频谱 等于各个信号频谱之和。
三．奇偶虚实性
在§3.4的“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。
证明： 由定义 可以得到
证明
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
显然
进一步设f(t)是实偶函数，以上结论进一步简化：

B
f t d t
等效脉冲宽 度与占有的 等效带宽成 反比。

B
2

Bf
1

五．时移特性
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
时移加尺度变换
证明
课本公式（P130-131）
P127 （3-55）
例3-7-9(尺度变换，时移特性)
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
相同
课本例题P131，例3-2
课本例题P131，例3-3
单Sa信号由直流分量，双Sa信号无直流分量，更利于传输。
六．频移特性
1．性质
2．证明
3．说明
4．应用
通信中调制与解调、变频、频分复用等 技术都是在频移特性基础上实现的。
例3-7-6（教材例3-4），P134 f t 已知矩形调幅信号 f t Gt cos 0 t ,
其中G t 为矩形脉冲，脉冲幅度 E， 为
E
脉宽为 , 试求其频谱函数。 o t 解： 2 2 已知矩形脉冲Gt 的频谱G 为 (a)矩形调幅信号的波形 G E Sa 2 因为 1 f t G t e j 0t e j 0t 2 根据频移性质， t 频谱F 为 f 1 1 F G 0 G 0 2 2






频谱图（P135，图3-39）
1 1 F G 0 G 0 2 2 E 0 E 0 Sa Sa 2 2 2 2 将包络线的频谱一分为 二，向左、右各平移 0
2．频域微分性质
推广 或
如何证明？
例3-7-8
解：
例3-7-9
解：
八．时域积分性质
也可以记作：
证明
变上限,积分用带时移 的单位阶跃的无限积分 表示成为
交换积分顺序 ， 即先求时移的单位阶跃 信号的傅里叶变换
续……
……续
即下节的卷积定理
例3-7-10
1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换 解：
七．微分性质
时域微分性质（证明在后页）
频域微分性质（证明在后页）
或
1．时域微分
注意
证明即应用举例来自例3-7-5(课本例题3-6，P137)
求三角脉冲函数的频谱密度函数．
分析
我们先解决其二阶导数的频 谱，再利用微分性质，导出 原函数的频谱。
X
第
解：
37 页
X
注意
如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里 变换，余下部分再用微分性质。否则容易丢失频谱中 的冲激函数项。