2013年高二新课程数学(新课标人教A版)课件选修1-2《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》

解 x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18， y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
5
x2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
i＝1
5
xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
所以b^ ＝
6
6
x2i ＝2 275，xiyi＝1 076.2
i＝1
i＝1
计算得，b^≈0.183，a^≈6.285，
所求回归直线方程为y^＝0.183x＋6.285.
•(2)列表如下：
yi－y^i 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025 yi－ y －2.24 －1.37 －0.54 0.41 1.41 2.31
• (1)画出数据对应的散点图； • (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归
直线； • (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的
销售价格．
解 (1)数据对应的散点图如下图所示：
(2) x ＝15i＝51xi＝109，i＝51 (xi－ x )2＝1 570，
5
y ＝23.2， (xi－ x )(yi－ y )＝308.
y 7 11 21 24 66 115 325
• (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关 系；
• (2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残 差；
• (3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．
•
(1)画出散点图或进行相关性检验，确
定两变量x、y是否线性相关．由散点图得x、y之
间的回归模型．
•规律方法 当资料点较少时，也可以利用残差表 进行残差分析，注意计算数据要认真细心，残差 分析要全面．
• 【变式2】 已知某种商品的价格x(元)与需求量 y(件)之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3
• 求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟 合效果的好坏．
物理成绩(y) 78 65 71 64 61
•(1)画出散点图；
•(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；
•(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成 绩．
•[思路探索] 先利用散点图分析物理成绩与数学成 绩是否线性相关，若相关再利用线性回归模型求 解．
解 (1)散点图如图．
(2) x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
6
所以
(yi－y^ i)2≈0.013
6
18，
(yi－ y )2＝14.678 4.
i＝1
i＝1
所以，R2＝1－01.40.16378184≈0.999 1， 回归模型的拟合效果较好．
•(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残 差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否 有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重 新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比 较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中， 说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分 析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．
i＝1
≈0.625.
a^＝ y －b^ x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以 y 对 x 的回归直线方程是 y^＝0.625x＋22.05. (3)x＝96，则y^＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是 82.
•规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两 个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据， 可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的 密切程度，然后再进行相关回归分析．
•[思路探索] 作残差分析时，一般从以下几个方面 予以说明：(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中 的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄．
解 (1)散点图如图
x ＝16(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5， y ＝16(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
数 R2
n
yi－ y 2
i＝1
化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好
•想一想：回归分析中，利用线性回归方程求出的 函数值一定是真实值吗？为什么？
•提示 不一定是真实值，利用线性回归方程求的 值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与 身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的 影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜 欢运动等．
• 2．回归模型的选择，特别是非线性回归模 型．(难点、易错点)
• 自学导引
• 1．回归分析
•
回归分析是相对关具关系有
的两个变量进行
统计分析的一种常用方法．
• 2．线性回归模型
• (1)由散点图易发现，样本点散布在某一条
直线附近，而不是一条直线上，不能用一次函
数y＝bx＋a描述它们之间的关系，因此用线性
•1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
•【课标要求】 •1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； •2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合 效果；
•3．掌握建立回归模型的步骤； •4．通过对典型案例的探究，了解回归分析 的基本思想方法
• 和初步应用．
• 【核心扫描】
• 1．利用散点图分析两个变量是否存在相关关 系，求线性回归方程．(重点)
等，这样作出的图形称为残差图
残差 图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 说明模型拟合精度越高
残差平
残差平方和为
n

(yi－y^ )2，残差平方和
越小
，模型
i＝1
方和
拟合效果越好
n

yi－y^ i2
i＝1
相关指 R2＝1－
，R2 表示 解释 变量对 预报 变量变
拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即
3．建立回归模型的基本步骤
•(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量， 哪个变量是预报变量．
•(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图， 观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．
•(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到 数据呈线性关系，则选用线性回归方程)．
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
其中 x ＝1ni＝n1xi， y ＝1ni＝n1yi，( x ， y )称为样本点的中心．
•(3)解释变量和预报变量
•线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加
了随机误自差变项量xe，因变随量机y误由差e
和
共同确定，即自变量x只解释部分y的变化，在统
• 题型二 线性回归分析
• 【例2】 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度 y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体 进行测量，数据如下表所示：
•
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
• (1)作出散点图并求线性回归方程； • (2)求出R2； • (3)进行残差分析．
• 则u＝nv＋b，图象为一直线．
• ②y＝cax(a＞0，c＞0)(指数型函数)
名师点睛 1．线性回归方程
(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定 两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回 归直线方程． (2)求线性回归方程^y＝b^x＋a^的关键是求未知参数a^和b^，其中b^ 可借助于计算器求出，因为a^＝ y －b^ x ，即 y ＝b^ x ＋a^，所以点 ( x ，y )一定满足线性回归方程，即回归直线一定过点( x ，y )．
•(2)进行拟合，预报回归模型，求回归方程．
•[规范解答] (1)作出散点图如下图，从散点图可以 看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可 以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝ c1ec2x的周围，其中c1、c2为待定的参数．(4分)
5
所以，
(yi－y^ i)2＝0.3，
5

(yi－ y )2＝53.2，
i＝1
i＝1
5

yi－y^ i2
i＝1
R2＝1－
≈0.994，
5
yi－ y 2
i＝1
所以回归模型的拟合效果很好．
• 题型三 非线性回归分析 • 【例3】 下表为收集到的一组数据：
x 21 23 25 27 29 32 35
5
＝62106－605－×51×8×1872.4＝－1.15.
x2i －5 x 2
i＝1
a^ ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是：y^＝－1.15x＋28.1. 列出残差表：
yi－y^i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ y 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
•3．刻画回归效果的方式
残差
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi－y^i)是随机 误差．称e^i＝yi－y^i 为残差，e^i 称为相应于点(xi，yi)的残
n
差.
(yi－y^ i)2
称为残差平方和
i＝1
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差 ，横 残差图 坐标可以选为样本编号 ，或 身高数据 ，或体重估计值
•(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点 图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际 意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．
• 【变式1】 以下是某地搜集到的新房屋的销售 价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积/m2 115 110 80 135 105