最新---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题

2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -；4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。

6、在2012,,2,1 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ； 8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2012年自主招生北约联考数学试题解答2013年北约自主招生数学试题解析11为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦和1-和1 5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为和1,,,,a b c d e不全为0，则：420(42)(2020a c eg a c e b db d++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c=-+----+++++702320a b c d ea b c d+---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb da b c d ea b c da b c++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d++-=（6）由（6）+（2）得：1130a b c++=（7）由（6）+（4）得：13430a b c++=（8）由（7）-（5）得：0a=，代入（7）、（8）得：0b c==，代入（1）、（2）知：0d e==.于是知0a b c d e=====，与,,,,a b c d e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和1-和1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。

三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。

所以共有36654614400C⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法.3．已知2225,25x y y x=+=+，求32232x x y y-+的值.解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x-+=+-++++1515450x y xy=---由2225,25x y y x=+=+两式相减得()()22x y x y y x-+=-故y x=或2x y+=-①若x y=则225x x=+，解得1x=±于是知1x y==+1x y==当1x y ==+3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.4．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由.解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以B M C N B M B E M E +=+>=.5．数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a .解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-，则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2nnna c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.6．模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.解析：根据公式z =1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CAA B C++=++=1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R ∈、、、、，满足12320130a a a a ++++=，且122334201220132013122222a a a a a a a aa a -=-=-==-=-，求证：12320130a a a a =====.解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++=，（1）另一方面，令12233421312222a a a a a a a a m -=-=-==-=，则1223342222a a a a a a a a ----、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=-（2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a =====.从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ====.命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m =、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnija 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnij a '，即对任意的123j n =、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnija '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m =、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，其中1231j n =-、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m =、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m =.则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)tti q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i =、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnij a '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m =、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。