理论力学简答题

简答题答案

1、说明科里奥利加速度产生的原因。

答：（1）质点具有相对速度v

'时，致使质点在活动参考系中的位置发生变化，

从而改变了速度的大小；

（2）质点跟随活动参考系转动时，相对速度方向的变化。

2、试推导出质点在非惯性系中的动力学方程，并说明方程中各项的含义。

答：在非惯性系中v r r a a '⨯-'⨯⨯-'⨯-=' ωωωω2)(

动力学方程为v m r m r m a m a m '⨯-'⨯⨯-'⨯-=' ωωωω2)(

a m

表示外力；

r m '⨯ ω

是由非惯性系的加速转动引起的，与非惯性系的角加速度有关； )(r m '⨯⨯ ωω成为惯性离心力；v m '⨯

ω2科里奥利惯性力。

3.试举两例说明由于地球自转而产生的力学效应,并简述其原因.

答：①如物体的重力随地理纬度的增大而增大，这是地球自转产生惯性离心力

的影响。

②自由落体的偏东。地球上物体的运动方程为：

x 的正方向向南，y 的正方向向东，z 的正方向竖直向上。自由落体的运动方向

向着z 轴的负方向，

z

小于零，从运动方程知，物体向东方向受到附加的科里奥利力的作用，即自由落体的偏东。 4.为什么落体会偏东？

答：地球上物体的运动方程为：

⎪⎩⎪

⎨⎧+-=+-=+=λωλλωλωcos 2)cos sin (2sin 2y m mg F z

m z x m F y m y m F x m z y x

x 的正方向向南，y 的正方向向东，z 的正方向竖直向上。自由落体的运动方向向着z 轴的负方向，

z

小于零，从运动方程知，物体向东方向受到附加的科里奥利力的作用，即自由落体的偏东。

5、应用非惯性系动力学方程导出质点组对质心的角动量定理．

答：在非惯性系中

对质心的角动量定理:dt L d M '='

6、分别说明质点组动量守恒定律、动量矩守恒定律、机械能守恒定律成立条件。

答：动量守恒定律成立的条件：合外力为零； 动量矩守恒定律成立的条件；合外力矩为零；

机械能守恒定律成立的条件：外力和非保守内力作功为零。

7.写出在惯量主轴坐标系中，刚体对定点的惯量张量、动量矩以及动能的表达式。

⎪⎩⎪

⎨⎧+-=+-=+=λωλλωλωcos 2)cos sin (2sin 2y m mg F z

m z x m F y m y m F x m z y x )(d 'd )

()(22

C i i i e i i i r m F F t

r m -++=∑∑∑===⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∴n i i i C e i n i i n

i i i i r m r F r t r m r t 1

)(11''d 'd 'd d

'1

=∑=n

i i i r m )(1

1'd 'd 'd d e i

n i i n

i i i i F r t r m r t

∑∑==⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∴

答：①惯量主轴坐标系中，刚体对定点的惯量张量为

⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=z y x J J J J 0

000

00 ②惯量主轴坐标系中，刚体对定点的动量矩为

k J j J i J L z z y y x x

ωωω++=

③惯量主轴坐标系中，刚体对定点的动能表达式为

)(2

122

2z z y y x x J J J T ωωω++=

8.写出刚体对定点O 的转动惯量的一般表达式，以及各元素的名称。写出在惯量主轴坐标系中的转动惯量表达式，并说明各元素的物理意义。

答：αβγαβγγ

βαxy zx yz zz yy xx J J J J J J J 2222

22---++=

J xx 、J yy 、J zz 表示在以O 点为原点的直角坐标系中，刚体对x 轴、y 轴和z 轴的转

动惯量；

J xy 、J yz 、J zx 表示在以O 点为原点的直角坐标系中，刚体对x 轴、y 轴和z 轴的惯量积；

α、β和γ分别表示瞬时轴对x 轴、y 轴和z 轴的方向余弦； 如果x 轴、y 轴和z 轴为惯量主轴，则

J xy ＝J yz ＝J zx ＝0，α＝β＝γ＝1

x xx J J = ， y yy J J =，z zz J J =

J xx 、J yy 、J zz 表示在以O 点为原点的直角坐标系中，刚体对x 轴、y 轴和z 轴的转动惯量。

9.作平面平行运动的刚体对瞬心轴的角动量定理是否成立？为什么？

答：不成立。

因为：建立瞬心坐标系

)]([)()(22'⨯⨯-'⨯-++='i i i i i i e i i i r m r dt d m F F dt

r d m ωωω

)]([)]dt r d m r ([1

)(1)(1i i i n i i '⨯⨯-'

⨯-⨯'+⨯'+⨯'='⨯'='∑∑∑∑====i i i i n i i i i n i i e i n

i i r m r dt d m r F r F r dt d dt L d ωωω等式右边第2项为零，即

0)

(1

=⨯'∑=i i n i i F r （内力与相对位矢在同一直线上）

但第3项（惯性力矩）不为零，故对瞬心来说，dt

L d M '

≠'

或答：转动瞬心的瞬时速度为零，瞬时加速度并不为零，否则为瞬时平动瞬心

参考系是非惯性系，应用动量矩定理是必须计入惯性力系对瞬心的力矩。而惯性力系向瞬心简化的结果，惯性力系的主矩一般不为零（向质心简化的结果惯性力系的主矩为零），故相对瞬心与相对定点或者质心的动量矩定理有不同的形式；另外，转动瞬心在空间中及刚体上的位置都在不停的改变，（质心在刚体上的位置是固定的），故对瞬心的写出的动量矩定理在不同时刻是对刚体上不同点的动力学方程，即瞬心参考系具有不定性；再者，瞬心的运动没有像质心一点定理那样的原理可直接应用。故解决实际问题一般不对瞬心应用动量矩定理写其动力学方程。

10、确定惯量主轴有几种方法？并解释说明。

答：两种方法：（1）对称轴方法：例如，若x 轴是对称轴，则刚体上位于(x, y ,

z )的质点必存在于(x,-y ,- z )处与其对称的质点。故惯量积J xy =J xz =0，x 轴是惯量主轴；

（2）对称面的法线。若yz 面是通过定点的对称面，则x 轴便是该面的法线。由对称性知，刚体上(x, y , z )的质点必存在于(-x, y , z )处与其对称的质点，同样可以得出J xy =J xz =0，即x 轴是惯量主轴。 11 在求解刚体的定点转动问题时, 为什么常采用固联于刚体的惯量主轴坐标系? 答：这样选取的坐标系，必然是与刚体关联着转动的活动坐标系，在此坐

标系中刚体的惯量矩阵是对角化的，且不随时间变化：⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=zz yy xx J J J J 0

00

00 角动量为：k J j J i J J L z z y y x x

ωωωω++=⋅=