非惯性系中的质点动力学

x0 y0 z h 1 gt 2
2
< 2 > 竖直上抛物体落点偏西
900
z k
x2ysin
1
y2x sin2z c os2
zg2y c os
3
由初始条件:
o yj
x 0 y 0 z 0 0x 0 y 0 0z 0 v 0 重复前面的解题过程可得:
R
x v 0 s 4 2 is n 2 i t n v 0 s 2 2 it n g s 8 2 2 i c n 2 o t 1 s g s 4 2 it 2 n
900
zk
g c os g c os y 4 2s2 i tn 2 t
5
z g c 4 2 2 o c s2 o t s 1 1 2 g 2c t2 o 1 s h6
o
yj
这就是考虑科氏惯性力影响的自由落体公式
R
x i
这里, 地球的自转的角速度 7.2 910 5ra/sd
d~r Vr dt
FgC Vr F g C d ~ r F g C d ~ r 0
m V r d ~ V r F d ~ r F g ed ~ r C
d ~ 1 2mr2 V W F W g C 14
质点在非惯性系中的动能的微分, 等于作用于质点上的真实力与牵连惯性 力在相对运动中的元功之和.
由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式, 有:
maa m(ae ar aC)F
F在这里应理解为 质作 点用 或在 平动刚体 力.上的合
上式可写 : 成 mar Fmae maC
我们定义 牵： 连惯性 Fge力 mae 科氏惯性 FgC 力 maC
即有 mar FFgeFgC
写成微分方程的 : m 形d~d式 2tr2 有 FFgeFgC
取 s2 i tn 2 t 4 3 t3 c2 o t 1 s 2 2 t2 2 4 t4
3
3
代入 上 式 可得:
x13v02t3
sin24g2t4 3
sin2
yv0t2
co
s 1gt3 3
co
s 13v03t4
cos
z
v0t
1gt2 2
32v02t3
co2s1g2t4 6
co2s
y v0 4 g v 2 0 2c o1 3 sg 8 g v 3 0 3c o s4 g v 2 0 3 c o(s落地偏西 )
§1 – 2 非惯性系中的动能定理
前面我们使用的动能定理是在惯性参考系下成立的, 它只适合于惯性系.
对于在非惯性系下运动的物体, 质点在此参考系下的动能的变化, 除与真实力 的功有关, 还与惯性力的功有关.
其解为:
yC co 2 s tD si2 ntgcto s 2
y 2 C si2 n t 2 D co 2 ts gco s 2
R
900 z k o yj
x i
yC co 2 s tD si2 ntgcto s 2
y 2 C si2 n t 2 D co 2 ts gco s 2
x 0 y 0 0 ,z 0 h . x 0 y 0 z 0 0
R
x i
将( 1 ) 、( 3 ) 式分别积分:
x 2 ysi n A
z g 2 t y c o B s
由初始条件可得: A = 0, B = 0
x 2ysi n z g t2 yco s
代入( 2 ) 式整理可得: y 2 2y2g tco s
对于地球上的许多大尺寸的运动学问题, 科氏惯性力的影响不容忽视. 下面, 我们来研究 地球上物体的运动与科氏惯性力.
建立地面坐标系如图示
质点相对于地球的运动微分方程为
900 z k
m rmgFgC
o
R
yj x i
即为: m r mkg 2m r
r gk2 r I
i
jk
2r2cos 0 sin
O φ
l
F l
mg F ge
mar F mg F ge 将其沿切向投影:
ml mgsin mao sin
(g ao ) sin 由微振动, sin l
(g ao ) 0 l
n2 0
n2
g ao l
T 2 2 l
n
g ao
例二. ( 参见书上 习 1 – 4 )
两端积分可得: 1 2m r2 2 V 1 2m r 1 2 V W F W g e 1 5
质点在非惯性系中的相对动能的改变量, 等于作用于质点上的真实力与牵 连惯性力在相对运动的路程上所作的功之和.
例1 – 4 一平板与水面成角, 板上有一质量为 m 的小球, 如图示. 若不计摩 擦等阻力, 问平板以多大的加速度向右平移时, 小球能保持相对静止? 若平
由 y 0 0y 0 0可 C 得 0D g 4 c 2 os
y g 4 c 2 ossi2 n tg c 2 ots 5
代入 x 2ysi n 可得 z g t2 yco s
x gsi2 nsi2 n tgsi2 nt
4
2
积:x 分 g s 8 2 2 i得 n c2 o t sg s4 2 i n t2 E
质点的相对运动的动力学方程可以写为:
注意:
m d ~ d V rtFF geF gC A
d~Vr ,d~r表示相对矢量在动系( 这里指非惯性参考系)内的改变量.
( 这种记法诣在与第八章的记法一致, 想必不难理解.)
显然, d~r 就是质点的相对位移.
将(A)式两端同乘 d~r
注意:
~
m d d V rd ~ tr F d ~ r F g ed ~ r F g C d ~ r B
A
Bτ
m2rcos mgsin
即
2r tg
g
M r
θ
θ
F
F
N
n ge
O mg
若r为任意值即是变量y. 于是有:
y
dz 2 tg y
dy g
z 2 y2 C 2g
由图示坐标系的选择知 可 C 0
x
z 2 y2 ( AOB线为抛物线) 2g
习 1 – 5 . 图示一离心分离机的鼓室, 鼓室的半径为R , 高为H . 以匀角速度ω 绕 Oy 轴转动. 当鼓室无盖时, 为使被分离的液体不致溢出. 试求:
借助于幂级数, 我们来分析上面的方程.
取 s2 i tn 2 t 4 3 t3 c2 o t 1 s 2 2 t2 2 4 t4
3
3
代入 ( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 式 可得:
si2 ntn 01n2 2 nt21n1 ! co2 stn 01n22 nt2!n
x 1 g sin 2 2t 4 12
则牵连惯性力 Fge 2mg tg
质点M其质量为m, 被限制在旋转面容器内光滑的经线AOB运动. 旋转面容器绕 其几何轴Oz 以匀角速度ω 转动.
求: M点相对静止处曲线的切线斜率与回转半径r 的关系. 如果r为任意值时M点 都静止, 求旋转面经线AOB的形状.
解: 若 小 球 相 对 静则止a,r 0
z ω
将 0 FN Fge mg 沿 切 向 投 影 0 Fgecosmgsin
R
900 z k
x13v02t3
sin24g2t4 3
sin2
yv0t2
co
s 1gt3 3
co
s 13v03t4
cos
z
v0t
1gt2 2
32v02t3
co2s1g2t4 6
co2s
o yj
若去掉 ²以上的项则有:
x0
x i
y
v0t
2
cos
1 3
gt
3
co
s
z
v0t
Leabharlann Baidu
1 2
gt2
设z0时t 2v0 ( 物体返回地面 ) g
板又以这个速度的两倍向右平移时, 小球沿板向上运动. 问小球沿板走了l 距离后, 小球的相对速度是多少?
y´
解: (1) 令板向右平移, 则无科氏惯 性力.
y
o y´
F ge
FN
mg
x´ o´
若相对静止, 则受力如图
由几何法可得:
Fge mgtg mae mgtg
ae ?
ae gtg
x
( 2 ) 若板的平移加速度 ae2gtg 而小球沿板走了l 距离
理论力学 ( II )
第一章 非惯性系中的质点
动力学
第一章 : 非惯性系中的质点动力学
§1 – 1 非惯性系中质点动力学的基 本方程
前面讲过, 牛顿第二定律只适用于惯性系. 如果在非惯性系内建立动力学方程, 则 质量与非惯性系下的加速度乘积的度量, 除了与真实力有关, 还与非惯性系下产生 的各种惯性力有关.
x
v
R
2 xydx
R 2 x 3 dx 2 R 4
0
0g
4g
静止时 , xz 面以上的液体体积为
R 2 yo
H –h R
由题意得
R 2 yo
v
2 4g
R4
yo
2R 2 4g
由曲线方程可知
h 2 R2 2g
H ' H h yo H
2 R2 4g
认识地球上的 科氏惯性力
x y z
2ysini 2x sinz cos j y cosk
∴( I ) 式的投影方程为:
x2ysin
1
y2x sin2z c os2
zg2y c os
3
x2ysin
1
y2x sin2z c os2
900 z k
zg2y c os
3
o
< 1 > 自由落体偏东
yj
设运动初始条件:
由x0 0得:
gsi n2 E 82
x g s 8 2 2 i n c2 o t s 1 g s4 2 i n t24
同理可得:
z g c 4 2 2 o c s2 o t s 1 1 2 g 2c t2 o 1 s h6
x g s 8 2 2 i n c2 o t s 1 g s4 2 i n t24
地球本身就是一非惯性系, 而且是一有转动的非惯性系. 所以, 严格地讲,以 地球作为 参照 系 的上的力学现象中, 应有牵连惯性力和科氏惯性力的效应.
如果考察地球上局部空间内的力学现象, 把地球的这一部分运动空间视为‘ 匀速直 线平动’, 则许多力学现象的分析与计算结果是可用的.
但是, 对于一些精确的力学问题, 以及大尺度的力学问题, 必须考虑相应的惯性力.
(1) 鼓室旋转时, 在平面内液面所形成的曲线形状.
(2) 注入液体的最大高度H´ .
解: (1)设曲线方程y为 f (x)
对曲线上相对静止意的点任 m进行受力分, 析
y ω
由上一题的解答可线知方曲程为 y 2 x2 2g
( 2 ) 设旋转抛物面下
xz 面以上的液体体积为
v
H
yo
h F
n ge
o mg F
x0 y 1 g cos t 3
3 z h 1 gt 2
2
如果不考虑地球的角速度, 即是略去、²项, 则有:
从这几组方程可明确得知:
自由落体运动, 在考虑地球的自 转效应时, 落到地面后位置偏东, 若在精确一点讲, 还有一点偏南 (北半球) 或偏北( 南半球) .
( 只有两极处无此现象 )
d~2r dt2
称 为 相 对r矢 的径 局 部.导 (参数 见 五 版P3上3)2册
例一 . (书上P2 例1－1) 单摆的摆长为L, 小球的质量为m , 其悬挂点O以加速度 ao 向上运动. 求此单摆的微振动周期.
解 : (分析: 求运动周期就要先求动 运方程)
a0
取小球分析,小球相对以O为原点的平动参考系动 的力学方程为
xi
y v 0 2 c o cs 2 o t s 1 g 4 c 2 o s2 s i t n g c 2 o t s
z s2 i v n 0 t 1 2 g 2 tv 0 c 2 2 o s2 s i tn g c 4 2 2 o cs 2 o t 1 s
在非惯性系下的力学系统, 无论处于什么状态, ( 静止、运动 ) 必存在着惯性力. 这些惯性 力所产生的力学效应, 可以通过相关的仪器测出, 或可以通过人的感官感觉到.
公共汽车在转弯的时候对车上的物体作用有离心惯性力, 这已是常识. 还有一些感觉是一般人体会不到的 . 飞机加速上升, 使人身上的血往下流, 脑中失血, 眼睛失明 — 这就是飞行中的 ‘ 黑晕’ 现象. 飞机加速下降, 使人身上的血往上流, 脑中充血, 眼睛红视 — 这就是飞行中的 ‘ 红视’ 现 象.
y 1 g cos t 3 3
z h 1 gt 2 1 g cos 2 2t 4 26
900 z k
o yj
R
x i
x 1 g sin 2 2t 4 12
y 1 g cos t 3 3
z h 1 gt 2 1 g cos 2 2t 4 26
如果略 2项 去上式变 : 为