高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战60999

合集下载

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战16669

第3题第11题图（2）′图（1）左视图主视图4理科数学3月注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合{}220,A xx x x =∣--≤∈R ，{}lg(1)1,B x x x =∣+<∈Z ，则A B =A.(0,2)B.[]0,2C.{}0,2D.{}0,1,2(2)已知复数1z =+，则22z z =- A.2B.2- C.2i D.2i -(3)执行右面的程序框图()N *∈N ，那么输出的p 是 A.33A N N ++ B.22A N N ++ C.11A N N ++D.A NN(4)离心率为2的双曲线E 的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E 的标准方程可以是 A.2231x y -= B.2213xy -= C.2231x y -= D.2213y x -= (5)已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意,n m *∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n S 是数列{}n a的前n 项和，则42S S = A.2B.3C.4D.5满足事件A 发生的概率()1P A =的平面区域E 可以是A.20x x y ≤⎧⎨+≥⎩ B.20x x y ≥⎧⎨+≤⎩ C.20x x y ≥⎧⎨-≤⎩ D.2x x y ≤⎧⎨-≥⎩(7)已知函数()y f x =的图像为如图所示的折线ABC ，则11[(1)()]d x f x x -+=⎰A.2B.2-C.1D.1-(8)甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人，其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有 A.36B.39C.42D.45(9)在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等腰三角形，120BAC ∠=，2BC=，PA ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为A.9 B.9 C.3 D.9(10)已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与C 交于A 、B 两点，与l 交于点P ，若3AF FB =，则PF = A.7B.7.5C.8D.8.5(11)某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中116O A =，112O C =，则该几何体的侧面积为A.48B.64C.96D.128(12)对于函数(),()f x g x 满足：对任意x ∈R ，都有2(23)()f x x g x -+=，若关于x 的方程()sin02g x x π+=只有5个根，则这5个根之和为第13题图FD第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战16459

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式： ·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（）Ａ．1i +Ｂ．1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（）Ａ．4 Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的离心率为，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（）Ａ．142(2)x x y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)xx y x +=->Ｄ．242(1)xx y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（）Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b << Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中mλα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（）Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ．Ｄ．普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a =（用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-=．14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则直线AB 的方程是．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =·． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；ABDCABCDPE（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小． 20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．314．30x y +=15．83-16．390 三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由图象得函数()f x 在区，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件AB ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P AB P A P B ==⨯=··．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·．x故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=．（Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴．又AB AEA =∵，综上得PD⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥．因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角．由已知，得30CAD ∠=°．设ACa =，可得PA a AD PD AE ====，，，．在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则3a PA AD AM PD===··． ABCDPEM在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==．所以二面角A PD C --的大小是arcsin4．解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角．由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得13326PA a AD a PD a CF a FD =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴．于是，3a aFD PA FM PD ===··．在CMF Rt △中，1tan aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =，又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-．所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--，即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变ABCDPEF M化情况如下表：所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =．（2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数．函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=．解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=．由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以2212132F AF A F A a F A==-，解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =．（Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=，整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412kmx x k+=-+，21222212m b x x k -=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k ---=++=+++··．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==，12y =，．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=，解得22023x b =．这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=．综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ② 由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=．整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=，整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=，于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++， 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式，得2220023x y b +=．所以，点D 的轨迹方程为22223x y b +=． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+-②当1λ≠时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n nn a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.故答案为：.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣.（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos（﹣2α）的值为：﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可. 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1.（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大. 【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴.设AF=4x（m），则BF=3x（m）.∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m.∵，∴CE=（m）.∴（m）.∴，解得：x=20.∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm，则OP=m，PM=m.∴PC=m，PQ=m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80.解得：10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时，保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题.19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m.（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立.①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出.（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2.当n=1时，S1=a1.当n≥2时，Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1.。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战77847

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数)421sin(2π+=x y 的周期是（）A ．4π B ．π4 C ．π2D ．2π 2．函数)10lg(1)(22x x x x f -+-=的定义域为（）A ．RB ．[1，10]C ．（1，10）D ．)10,1()1,(⋃--∞3．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120的扇形，则圆锥的体积等于A.π322 B.π22 C.π324 D.π4835 4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（） A ．3x y -=)(R x ∈B ．x y sin =)(R x ∈C ．x y tan -=D ．xy )21(=)(R x ∈5.若向量)2,1(=a ，)4,3(-=b ，则)()(b a b a +⋅⋅等于（） A ．20 B ．），（3010- C ．54 D ．），（248-6.如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界）. 若21OP b OP a OP +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数b a 、满足（） A ． 0,0>>b a . B. 0,0<>b a . C ． 0,0><b a . D. 0,0<<b a .y xO6π 2 512π 7．在ABC ∆中,角2120,tan tan 33C A B =+=则tan tan A B 的值为 ( ) A ．41 B ．13 C ．21 D ．538.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示.则函数()f x 的解析式为( )A ．)621sin(2)(π+=x x fB ．)621sin(2)(π-=x x fC ．)62sin(2)(π-=x x fD ．()2sin(2)6f x x π=+9．在ABC ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形. 上述命题正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.②③④100≠=b a ，且关于x 的方程02=⋅++b a a x 有实数根，则a 与b 的夹角的取值范围是 ( ) A.[,]3ππ B.[0,]6π C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 把答案填在答卷的相应位置． 11．=-57sin 333cos 33sin 27sin ；12.已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为； 13．将函数x y 2sin =的图象按向量)0,6(π-=平移后的图象的函数解析式为；14．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．15．对于任意向量a 、b ，定义新运算“※”：a ※b =||||sin a b θ⋅⋅（其中 θ为a 与b 所的角）。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战48533

高三11月月考试卷(三)数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集I 是实数集R ，{}()(){}3,310M x x N x x x =≥=--≤都是I 的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为A.{}13x x <<B ．{}13x x ≤<C ．{}13x x <≤D ．{}13x x ≤≤ 2．设()1+1i x yi =+，其中,x y 是实数，则x yi +=A.1 B ．2C.3 D ．2 3．已知命题p ：函数12x y a +=-的图象恒过定点(1，2)；命题q ：若函数()1y f x =-为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是A.p q ∨ B ．p q ∧ C ．p q ⌝∧ D ．p q ∨⌝4．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56 B ．60 C ．120D ．1405．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =；②()cos f x x =；③()1f x x =；④()2.f x x =则输出的函数是A.()sin f x x =B.()cos f x x =C.()1f x x =D.()2f x x = 6．若变量,x y 满足222,239,0,x y x y x y x +≤⎧⎪-≤+⎨⎪≥⎩则的最大值是A.4 B ．9 C.10 D ．127．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.则下列说法错误的是A. 此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路 8．如图，下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中12F F ，为焦点．设图①②③中双曲线的离心率分别为123,,e e e ，则A.123e e e >>B.321e e e >>C.213e e e >=D.132e e e =>9．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，P 为△ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为A.3-B ．6-C ．2-D ．83-10．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为A.92B ．4C ．3D.310 11．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则9PN QM +的最小值为A.36B ．42 C.49D ．50 12．已知函数()23236,0,34,0,x x x f x A x x x ⎧-+≥⎪==⎨--+<⎪⎩设()({}0x Z x f x a ∈-≥，若A 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a 的个数为A.31B ．32 C.33D.34 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若212593,10a a S a +=-=，则的值是___________．14．定义在区间[]03π，上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是___________．15．若直线1ax by +=(,a b 都是正实数)与圆221x y +=相交于A ，B 两点，当△AOB(O 是坐标原点)的面积最大时，a b +的最大值为________．16．如右图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，作以A 为顶点，分别以AB ，AD ，AA1为轴，底面圆半径为()01r r <≤的圆锥．当半径r 变化时，正方体挖去三个14圆锥部分后，余下的几何体的表面积的最小值是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c ABC ∆的面积S 满足2223S a b c -=+-． (1)求角C 的值；(2)求()cos2cos A A B +-的取值范围．18.(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC= 90°．(1)证明：PC BC ⊥；(2)若直线PC 与平面PAD 所成角为30°，求二面角B —PC —D 的余弦值．19．(本小题满分12分) 已知椭圆22124x y +=两焦点分别为12,F F P 、是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121PF PF =，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点．(1)求P 点坐标；(2)求证：直线AB 的斜率为定值；(3)求△PAB 面积的最大值．20．(本小题满分12分)十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率；(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)2300X ∈，27时，没有影响；当[)270310X ∈，时，经济损失为10万元；当X ∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数()()28ln f x x x a x a R =-+∈． (1)当1x =时，()f x 取得极值，求a 的．(2)当函数()f x 有两个极值点()12121,1x x x x x <≠，且时，总有()()21111ln 2431a x m x x x >-+--成立，求m 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线22:sin 4cos C ρθθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为12,232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)(1)求12,C C 的直角坐标方程；(2)C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为P ，Q ，R ，S ，求PQ RS -的值.23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()243f x x a x =-++．(1)若2a =时，解不等式：()22f x >；(2)对任意实数x ，不等式()34f x a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．一、填空题（共14题，满分56分）1.（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=.2.（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是.3.（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程.4.（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为.5.（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为.6.（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.7.（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是.8.（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=.9.（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是.10.（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）.11.（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=.12.（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=.13.（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为.14.（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为.二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15.（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A.1B.2C.3D.417.（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解18.（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A.[﹣1，2]B.[﹣1，0]C.[1，2]D.[0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19.（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.20.（14分）设常数a≥0，函数f（x）=.（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由.21.（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）.22.（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.23.（16分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1.（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围.（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(9)参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1.（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 .【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可.【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•==（1+2i）（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6.故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查.2.（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是.【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期.【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）=﹣[2cos2（2x）﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题.3.（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 x=﹣2 .【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2.故答案为：x=﹣2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题.4.（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]. 【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围.【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2].【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题.5.（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2.【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得.【解答】解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式，属基础题.6.（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）.【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角.【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键.7.（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是.【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离.【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=.故答案为：.【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键.8.（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=. 【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值.【解答】解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，a1=（a3+a4+…an）=（﹣a1﹣a1q）=，∴q2+q﹣1=0，解得q=或q=（舍）.故答案为：.【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用.9.（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1） .【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可.【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）.故答案为：（0，1）.【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力.10.（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）.【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案.【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：.【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题.11.（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 .【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论.【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件.若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1.【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论.12.（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=.【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可.【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=.故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质.运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题.13.（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 0.2 .【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果.【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E（ξ）=4.2，∴4（1﹣x）+5x=4.2，解得x=0.2.故答案为：0.2.【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用.14.（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3].【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可.【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3].故答案为：[2，3].【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想. 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15.（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定.【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础.16.（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A.1B.2C.3D.4【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案.【解答】解：=，则•=（）=||2+，∵，∴•=||2=1，∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，故选：A.【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段.17.（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可.【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1.∴方程组有唯一解.故选：B.【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用.18.（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A.[﹣1，2]B.[﹣1，0]C.[1，2]D.[0，2]【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决.【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D.【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题.三、解答题（共5题，满分72分）19.（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积.【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，VP﹣ABC==【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法. 20.（14分）设常数a≥0，函数f（x）=.（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由.【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决.【解答】解：（1）∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）.（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0.∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f（x）=，满足条件；当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数.当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题.21.（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）.【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论. （2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论.【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β＞0，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米.（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米.【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键.23.（16分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1.（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围.（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差.【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围. （3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差.【解答】解：（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q=1时，Sn=n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立.当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：.（3）设a1，a2，…ak的公差为d.由，且a1=1，得即当n=1时，﹣≤d≤2；当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…ak的公差为﹣.【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题.22.（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论.（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围.（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①.由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解.把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线.【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔.（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或k≥.曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔.（3）证明：设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①.y轴为x=0，显然与方程①联立无解.又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线.若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线.∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题.。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战48577

数学（文科）.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集}4,3,2,1{=U ，集合}2,1{=P ，}3,1{=Q ，则=)(Q C P UA ．{1}B ．{2}C ．{4}D ．{1，2，4}2．若向量a=（1，—1），b=（—1，1），c=（5，1），则c+a+b=A ．aB ．bC ．cD ．a+b 3．抛物线24y x =的焦点坐标为A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,1)D ．(1,0)4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 A ．85 B ．86 C ．87 D ．88 6．右图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其体积是A 342C 43D ．837．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A ．827 B ．271 C ．2627 D ．1527 8．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第项2010a 满足A ．20101010a <<B ．20101110a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ．201010a >第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．函数y x=的定义域是__. 10．=8cos8sinππ.11．如图，是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是. 12．若函数2)(3++-=cx x x f )(R c ∈，则/3()2f -、/(1)f -、/(0)f 的大小关系是_.13．如图，直角POB ∆中，90=∠PBO ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB=α弧度，则tan α=α.14．已知函数⎩⎨⎧>-≤++-=0,20,)(2x x c bx x x f ，若1)1(=-f ，2)0(-=f ，则函数x x f x g +=)()(的零点个数为____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分12分）已知函数)2cos(cos )(x x x f -+=π．（Ⅰ）求)3(πf 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．（Ⅰ）求证：MD//平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ． 17．（本小题满分13分）已知函数b ax x x f ++=23)(的图象在点)0,1(P 处的切线与直线03=+y x 平行．（Ⅰ）求常数a 、b 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,0[上的最小值和最大值．18．（本小题满分13分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130~140分数段的人数为2人．（Ⅰ）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数；（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为21，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点（0，—2）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求直线l 的方程．20．（本小题满分14分）当n p p p ,,,21 均为正数时，称np p p n+++ 21为n p p p ,,,21 的“均倒数”．已知数列{}n a 的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为121+n ．（Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12+=n a c nn ，试判断并说明()*1n n c c n N +-∈的符号；（Ⅲ）已知(0)n an b t t =>，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，试求1n nS S +的值．怀柔区～度第二学期高三数学期中练习参考答案及评分标准(文科).3 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDACCBB9. }0{>x x 10.4211. 20n ≤ 12./(0)f ＞/(1)f -＞/3()2f -13. 2 14. 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()coscos()3323f ππππ=+-=4分（Ⅱ） x x x x x f cos sin )2cos(cos )(+=-+=π2()22coscos sin )44)84x x x x x πππ=+=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分由232422πππππ+≤+≤+k x k 得45242ππππ+≤≤+k x k∴)(x f 的递减区间为]452,42[ππππ++k k ，)(Z k ∈12分16．（本小题满分14分）解（Ⅰ）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD//AP ，又MD ⊄平面ABC ， ∴MD//平面APC 。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战19903

数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >，（2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。

2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。

3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．9122π+ B ．9182π+ C ．942π+ D ．3618π+答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。

正视图侧视图俯视图图1由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是（）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（） A ．4 B ．3 C．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战16469

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式()123hV S S =，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240的值为A．12C ．12-D．-2．已知函数()3xf x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b -=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为 A ．12B．2C．2D．24．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是56．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1--7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为 A ．2121n -+B ．2121n --C ．221n +D ．221n -8．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425B ．12C ．23D ．19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A C D ．210．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为 A ．14B ．12C ．34D ．1 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z =． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y +=．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为b ()km ．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b ()km ，则这辆车的行驶速度为（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为．15．（坐标系与参数方程选做题）在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t AVCB图2图3为参数），则曲线1C 和2C 的交点有个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =．（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．年龄分组抽取份数答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率 [20,30) 40 28 0.7[30,40) n 27 0.9[40,50) 10 4 b[50,60] 20 a 0.1 （1）分别求出n ，a ，b ，c 的值；（2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率． 18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，M ，N 分别是棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}na 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x ax x =++()a ∈R ．C 1 ABA 1B 1D 1C D MN图4频率/组距 0.01 c0.04 0.03（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值；（2）求函数()f x 的单调区间． 21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~1516．（本小题满分12解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc+-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯ (3)分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以sin A ==．…………………………………………6分由正弦定理2sin aR A=，…………………………………………………………………………………7分得2sin 2142a R A ==⨯⨯=．…………………………………………………………………8分由（1）设7a k =，即k =所以5b k ==3c k ==．………………………………………………………………10分所以1sin 2ABC S bc A ∆=122=⨯……………………………………………………11分=所以△ABC 的面积为…………………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以200.1a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=，解得0.02c =．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 是平行四边形．所以11A BD C ．…………………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以1AM ANAA AB=，所以1MN A B ．…………………………………………………………………………………………4分所以1MND C ．所以M ，N ，C ，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥，所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333AMN ADN CDN S D A S D D S D D ∆∆∆=++………9分111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． C 1 ABA 1B 1D 1C DMNC 1 A B A 1B 1D 1C D M N所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN平面1DD C ．延长CN 与DA 相交于点P ，因为AN DC ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =．延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以111191333222AMN DD CV V -⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =．所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分 ①当k 为奇数时，3k +为偶数，则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分 ②当k 为偶数时，3k +为奇数，则有()()31432k k +-=-，解得1011k =，不合题意．..........................................................................................13分综上可知，存在11k =符合条件． (14)分20．（本小题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++，所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分依题意有()10f '=，即1210a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x'=++221ax x x ++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>，此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=．因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中1x =，2x =．因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分 21．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r-+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在，设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -，所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x =分因为()220044y x =--，所以AB =…………………………………………………………………………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭，所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ，则直线PA ：00y a y a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=，因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ② 由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===．……………………………………………………………………9分因为()220044y x =--，所以AB =分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==，………………………………………12分当532t =时，max 4AB =，当14t =时，min AB =所以AB 的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.故答案为：.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣.（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos（﹣2α）的值为：﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可. 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1.（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大. 【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴.设AF=4x（m），则BF=3x（m）.∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m.∵，∴CE=（m）.∴（m）.∴，解得：x=20.∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm，则OP=m，PM=m.∴PC=m，PQ=m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80.解得：10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时，保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题.19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m.（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立.①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出.（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2.当n=1时，S1=a1.当n≥2时，Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1.。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战36583

一．基础题组1.（北京市昌平区高三二模理3）已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（） A. 4- B. 6- C. 8- D. 10- 【答案】C考点：等差数列与等比数列.2.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（）（A ）4（B ）8（C ）16（D ）64 【答案】B 【解析】试题分析：由于数列{}n a 是正各项都是正数的等比数列，所以根据等比数列的性质可知：248664,2a a a a ==∴=，356768a a a a ==，所以答案为B.考点：1.等比数列的性质;2.等比数列的求值.3.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理2）在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（）A ．2B ．1或2C ．1D ．1或2 【答案】B 【解析】试题分析：∵344a a +=，∴2224a q a q +=∴解得1q =或2q =-，故选B.考点：等比数列的通项公式.4.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理11）已知无穷数列{}n a 满足：1110,2()n n a a a n N *+=-=+∈.则数列{}n a 的前n 项和的最小值为.【答案】30考点：等差数列. 二．能力题组1.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理6）等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（） A ．12mk - B ．2mk C ．12mk + D ．12mk+ 【答案】C 【解析】试题分析：设公差为,d 由已知1111111,(1)(1),kk m d a a k d k m k mk m mk mk -===--=--⋅=-所以，1(1)1(1)11,222mk mk mk mk mk mk S mka d mk mk mk --+=+=⋅+⋅=选C .考点：等差数列及其求和公式.2.（北京市西城区高三一模考试理12）若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数列{}n a 前10项的和10S =____．【答案】8-,682 【解析】试题分析：由m n m n a a a +=⋅得2113214,8,a a a a a a =⋅==⋅=-由m n m n a a a +=⋅得112n n n a a a a +=⋅=-，所以数列{}n a 为等比数列，因此10102[1(2)]682.1(2)S ---==---考点：等比数列通项与和项3.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理13）已知点()11,1a A ，()22,2a A ，⋅⋅⋅，(),n n a n A （n *∈N ）在函数13log y x =的图像上，则数列的通项公式为__________；设O 为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．【答案】13n⎛⎫ ⎪⎝⎭,16考点：1.对数函数性质；2.求数列通项；3.数列单调性.4.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理10）在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和，则使n S 取最小值的n 是．【答案】10 【解析】试题分析：因为数列的公差为正数，所以数列为递增数列，又因为0,011101110<<+a a a a 且，所以0,01110><a a ，所以前10项的和最小，即使n S 取最小值的。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战70039

本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

选择题部分（共50分）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V sh =如果事件,A B 相互独立，那么其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式 13V sh =一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0(),x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a =（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 （2）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +⋅= （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3（3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（4）下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，cos ()423πβ-=，则cos ()2βα+= （A）3 （B）3- （C）9 （D）9-（6）设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 （7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆22122:1x y C a b+=（a >b >0）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）2a =13 （C ）212b = （D ）2b =2（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战16599

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．356437-⎛⎫⎪⎝⎭； 2.34； 3．(,1)-∞-； 4．4π； 5．(,0)-∞6．(0,2)； 7．13b -≤≤； 8．10082017； 9.π32； 10.16； 11．3； 12.(),1n n -+；13.；14.66a -≤≤. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.A ；16. A ； 17．B ；18.D .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.19.解：（1）证明：AB PAD ⊥平面，PH PAD ⊆平面，AB PH ⊥又PAD ∆中，PD PA =，点H 为线段AD 的中点，PH AD ⊥PH ADPH ABPH ABCD AD AB A ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩平面（2）1,PH AD AH DH ===，又PH AD ⊥，PA PD ∴== 连结BH ，可得PBH ∠是PB 与平面ABCD 所成角，又PB 与平面ABCD 所成角的大小为45，1BH ∴=，在Rt ABH ∆中，AB =， 1111()3322P ABCDABCD V S PH AB CD AD PH -∴==⨯+⋅⋅=梯形.分 20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为抛物线24y x =的焦点F 是椭圆M 的一个焦点，即(1,0)F又椭圆M 的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为22221,0x y a b a b+=>>,且221a b -=又以F 为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线20l x -+=：相切即1b ==,所以椭圆M 的方程是2212x y += （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y22223422022y x mx mx m x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩ 222(4)12(22)8240m m m ∆=--=-+>m ⇒<<1212,(,)OP OA OB P x x y y =+∴++又121242,33x x m y y m +=-+=，即42(,)33P m m -在椭圆2212x y +=上,即2242()2()233m m m -+=⇒=21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题10分. 解：（1）1212sin12032ABCDS=⨯⨯⨯=当点F 与点D 重合时，由已知134CDEABCDS S ==，又13sin12012CDESCE CD x x =⋅⋅==⇒= ,E 是BC 的中点（2）①当点F 在CD上，即12x ≤≤时，利用面积关系可得1CF x=，再由余弦定理可得y =≥1x =时取等号 ②当点F 在DA 上时，即01x ≤<时，利用面积关系可得1DF x =-，（ⅰ）当CE DF <时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,12,60EG GF x EGF ==-∠=，利用余弦定理得y =（ⅱ）同理当CE DF ≥，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,21,120EG GF x EGF ==-∠=，利用余弦定理得y =由（ⅰ）、（ⅱ）可得y =，01x ≤<y∴==，01x ≤< ,min y ∴=12x =时取等号 ,由①②可知当12x =时，路EF 的长度最短为2．22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.解：（1）因为(,)n n n P a S 、*111(,),n n n P a S n N +++∈都在直线y kx b =+上，所以11n nn nS S k a a ++-=-，即1(1)n n k a ka +-=，又0k ≠，且1k ≠，所以11n n a ka k +=-为非零常数，所以数列{}n a 是等比数列（2）由12log n n b a =得31()22nb n n a -==，即21kk =-得2k =．由*(,),n n n P a S n N ∈在直线y kx b =+上得n n S ka b =+上，令1n =得111124b S a a =-=-=-（3）由12log n n b a =知1n a >恒成立等价于0n b <恒成立．因为存在*,,t s N s t ∈≠使得点(),s t b 和(),t s b 都在直线在21y x =+上，所以21s b t =+，21t b s =+即2()t s b b s t -=-，另1,2s t t =-≥，易证12(1)2t t b b t t --=--=-，又1(1)(2)21s b b s t =+--=+12()10b t s ⇒=+->，即{}n b 是首项为正，公差为2-的等差数列．所以一定存在自然数M ，使100M M b b +≥⎧⎨<⎩即2()1(1)(2)02()1(2)0t s M t s M +-+--≥⎧⎨+-+-<⎩，解得1122t s M t s +-<≤++，*M N ∈，M t s ∴=+．存在自然数M ，其最小值为t s +使得当n M >（*n N ∈）时，1n a >恒成立时，1n a >恒成立．23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1） x x x f sin cos )(+=，2πα=∴x x x f sin cos )(-=+α；∴x x g 2cos )(=（2）()2cos (cos )4cos cos()3g x x x x x x π=+=-，若()2cos f x x =，则()()2cos()33f x f x x ππα+=-=-(2)33k ππααπ⇒∴=-=-∈取,k Z 中一个都可以，()2cos f xx =(3)()sin cos f x x x =+,()()()g x f x f x α∴=⋅+=(sin cos )x x +(cos sin )x x -cos 22,2,2sin 212,2,23cos 22,2,2312sin 22,22.2x x k k x x k k k Z x x k k x x k k πππππππππππππππ⎧⎛⎤∈+ ⎪⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎤--∈++⎪ ⎥⎪⎝⎦=∈⎨⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝⎦⎪⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝⎦⎩显然，(2)()g x g x π+=即()y g x =的最小正周期是2π，因为存在12,x x R ∈，对任意x R ∈，12()()()g x g x g x ≤≤恒成立，所以当12x k ππ=+或12,2x k k Z ππ=+∈时，1()()1g x g x ≥=-当272,4x k k Z ππ=+∈时，2()()2g x g x ≤= 所以12121272(2),4x x k k k k Z ππππ-=+-+∈、或12121272(2),24x x k k k k Z ππππ-=+-+∈、所以12x x -的最小值是34π. 说明：写出分段函数后画出一个或多个周期上的函数图像，用数形结合的方法解同样给分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.故答案为：.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣.（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos（﹣2α）的值为：﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可. 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1.（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大. 【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴.设AF=4x（m），则BF=3x（m）.∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m.∵，∴CE=（m）.∴（m）.∴，解得：x=20.∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm，则OP=m，PM=m.∴PC=m，PQ=m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80.解得：10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时，保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题.19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m.（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立.①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出.（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2.当n=1时，S1=a1.当n≥2时，Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1.（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，cn=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列.数列{bn}的前n项和Tn=，令Tn=（2﹣m）a1，则.当n=1时，m=1；当n=2时，m=1.当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列.数列{cn}的前n项和Rn=，令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=.∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列.因此命题得证.【点评】本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论.【解答】证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠D，∴∠OCB=∠D.【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题. 【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【分析】利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y 的值.【解答】解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，∴，∴x=﹣，y=4，∴x+y=【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长.【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，∴交点A（1，2），B（9，﹣6），∴|AB|==8.故答案为：8.【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论.【解答】证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【点评】本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证.【解答】解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）又===，∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时.等式也成立，由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nfn﹣1（）+fn（）=sin（+）=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.【点评】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力. 25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可.【解答】解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=.（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=.【点评】本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题.。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战35989

高三数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}-（D ）{|22}x x -≤≤2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3（B ）13（C ）13-（D ）3-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34（B ）45（C ）56 （D ）674．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =. 若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（A ）30 （B ）45 （C ）90（D ）1865．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（A ）2 （B（C ）（D ）6．设a ，b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件俯视图侧（左）视图正（主）视图7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（A ）65（B ）54（C ）32（D ）528．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（A（B ）1 （C（D ）2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战69279

一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（）A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5} 2．（5分）（•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．143．（5分）（•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2B．3C．4D．54．（5分）（•天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣=16．（5分）（•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．7．（5分）（•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．（5分）（•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•天津）i是虚数单位，计算的结果为．10．（5分）（•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）（•天津）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．12．（5分）（•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为时，log2a•log2（2b）取得最大值．13．（5分）（•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．14．（5分）（•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．16．（13分）（•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．17．（13分）（•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．18．（13分）（•天津）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．19．（14分）（•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．20．（14分）（•天津）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（）A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合B的补集，然后求解交集即可．解答：解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁UB={2，5}，又集合A={2，3，5}，则集合A∩∁UB={2，5}．故选：B．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）（•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．14考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x+y的最大值为9．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）（•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2B．3C．4D．5考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=10，i=0i=1，S=9不满足条件S≤1，i=2，S=7不满足条件S≤1，i=3，S=4不满足条件S≤1，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）（•天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．解答：解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A点评：本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．5．（5分）（•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．解答：解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴，∴b=a，∵焦点为F（2，0），∴a2+b2=4，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．点评：本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．6．（5分）（•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．解答：解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．点评：本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）（•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a考点：对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．解答：解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），m=0，∵f（x）=2|x|﹣1=，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，∴c＜a＜b，故选：B点评：本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．8．（5分）（•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：开放型；函数的性质及应用．分析：求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解答：解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，故选：A．点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•天津）i是虚数单位，计算的结果为﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．解答：解：i是虚数单位，===﹣i．故答案为：﹣i．点评：本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．10．（5分）（•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π．故答案为：π．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．11．（5分）（•天津）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为3．考导数的乘法与除法法则．点：专题：导数的综合应用．分析：由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．解答：解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=f（x）=lna•axlnx+ax，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．点评：本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．12．（5分）（•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．解答：解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．13．（5分）（•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．解答：解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=，=，∴•=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：点评：本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．14．（5分）（•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．解答：解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，27×=3，9×=1，18×=2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6），共15种；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6）共9个基本事件，∴事件A发生的概率P==点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．16．（13分）（•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．解答：解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，咋地了一余弦定理的应用，考查计算能力．17．（13分）（•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接A1B，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得；（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得．解答：（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE∥B1B，且NE=B1B，∴NE∥A1A，且NE=A1A，∴A1N∥NE，且A1N=NE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1==4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°点评：本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．18．（13分）（•天津）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．考点：等差数列与等比数列的综合．专等差数列与等比数列．题：分析：（Ⅰ）设出数列{an}的公比和数列{bn}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{cn}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{an}的通项公式为，n∈N*；数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{cn}的前n项和为Sn，则，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．∴．点评：本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．19．（14分）（•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、a2=b2+c2、B（0，b），计算即得结论；（Ⅱ）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．（i）通过（I），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得xP=﹣，利用BQ⊥BP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得xQ=，计算即得结论；（ii）通过=可得|PQ|=|PM|，利用|PM|sin∠BQP=，可得|BP|=，通过yP=2xP+2c=﹣c计算可得c=1，进而可得结论．解答：解：（Ⅰ）设左焦点F（﹣c，0），∵离心率e=，a2=b2+c2，∴a=c，b=2c，又∵B（0，b），∴直线BF的斜率k===2；（Ⅱ）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．（i）由（I）知a=c，b=2c，kBF=2，∴椭圆方程为+=1，直线BF方程为y=2x+2c，联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得xP=﹣，∵BQ⊥BP，∴直线BQ的方程为：y=﹣x+2c，联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x2﹣40cx=0，解得xQ=，又∵λ=，及xM=0，∴λ===；（ii）∵=，∴==，即|PQ|=|PM|，又∵|PM|sin∠BQP=，∴|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=，又∵yP=2xP+2c=﹣c，∴|BP|==c，因此c=c，即c=1，∴椭圆的方程为：+=1．点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）（•天津）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函析：数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，有F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）=a的根，由g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′．同理得到x1′≤x1，则可证得．解答：（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x4，可得f′（x）=4﹣4x3．当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f′（x0）=﹣12，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x ﹣x0），令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．∵F′（x0）=0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）=a的根为x2′，可得．∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（x2′），因此x2≤x2′．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x4≤0，即f（x）≤h（x）．设方程h（x）=a的根为x1′，可得，∵h（x）=4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）=a=f（x1）≤h（x1），因此x1′≤x1，由此可得．点评：本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；w3239003；sdpyqzh；刘长柏；maths；742048；changq；caoqz；lincy；sxs123；cst（排名不分先后）菁优网6月15日第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战51794

一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A.3﹣4iB.3+4iC.﹣3﹣4iD.﹣3+4i2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A.{0，1}B.{﹣1，0，1，2}C.{﹣1，0，2}D.{﹣1，0，1}3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A.5B.6C.7D.84.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A.（﹣1，1，0）B.（1，﹣1，0）C.（0，﹣1，1）D.（﹣1，0，1）6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.200，20B.100，20C.200，10D.100，107.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为.10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为.11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=.13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=.（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为.【几何证明选讲选做题】15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1 f1（45，50] n2 f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (3)参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A.3﹣4iB.3+4iC.﹣3﹣4iD.﹣3+4i【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值.【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题.2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A.{0，1}B.{﹣1，0，1，2}C.{﹣1，0，2}D.{﹣1，0，1}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，∴M∪N={﹣1，0，1，2}，故选：B.【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A.5B.6C.7D.8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B.【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.4.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论.【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A.【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键.5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A.（﹣1，1，0）B.（1，﹣1，0）C.（0，﹣1，1）D.（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论.【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A.若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件.B.若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件.C.若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件.D.若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件.故选：B.【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键.6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.200，20B.100，20C.200，10D.100，10【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，∴样本容量=10000×2%=200，分层抽样抽取的比例为，∴高中生抽取的学生数为40，∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20.故选：A.【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键.7.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定.【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定.故A、B、C错误.故选：D.【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面.8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论.【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：.∴总共方法数是++=130.即元素个数为130.故选：D.【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题.其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法.二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞） .【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③.解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2.综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题.10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为 y=﹣5x+3. .【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程.【解答】解；y′=﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3.故答案为：y=﹣5x+3【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题.11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，故答案为：.【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的.比较基础.12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 .【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果.【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2.故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=50 .【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案.【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50.故答案为：50.【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题.（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1） .【分析】首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标.【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，化为普通方程为：y2=x，曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）.故答案为：（1，1）.【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= 9 .【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求.【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，∴=，∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△CDF∽△AEF，∴=（）2=9.故答案为：9.【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值.（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值.【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=.（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=.∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=.【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题. 17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1 f1（45，50] n2 f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率.【解答】解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，∴P（A）==，∴P（）=1﹣P（A）=，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为.【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题.18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可.【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，∴DF=，AF==，∴CF==，又FE∥CD，∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ=|cos＜，＞|===∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题.19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明.【解答】解：（1）由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：S2=4a3﹣20 ①又S3=S2+a3=15 ②联立①②解得：a3=7.再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：a1=2a2﹣7 ③又S3=a1+a2+7=15 ④联立③④得：a2=5，a1=3.∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7；（2）∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1.由此猜测an=2n+1.下面由数学归纳法证明：1、当n=1时，a1=3=2×1+1成立.2、假设n=k时结论成立，即ak=2k+1.那么，当n=k+1时，由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，得，，两式作差得：.∴==2（k+1）+1.综上，当n=k+1时结论成立.∴an=2n+1.【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题.21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域.（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论.（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.【解答】解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）.（2）f′（x）===﹣，由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0 解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）.（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，∵k＜﹣6，∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f （1）的集合为：（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）.【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大.20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得.（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1•k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程.【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1.（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，∴﹣1=k1•k2==﹣1，∴x02+y02=13.把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系.一．基础题组1.（北京市昌平区高三二模理3）已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（） A. 4- B. 6- C. 8- D. 10- 【答案】C考点：等差数列与等比数列.2.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（）（A ）4（B ）8（C ）16（D ）64 【答案】B 【解析】试题分析：由于数列{}n a 是正各项都是正数的等比数列，所以根据等比数列的性质可知：248664,2a a a a ==∴=，356768a a a a ==，所以答案为B.考点：1.等比数列的性质;2.等比数列的求值.3.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理2）在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（）A ．2B ．1或2C ．1D ．1或2 【答案】B 【解析】试题分析：∵344a a +=，∴2224a q a q +=∴解得1q =或2q =-，故选B.考点：等比数列的通项公式.4.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理11）已知无穷数列{}n a 满足：1110,2()n n a a a n N *+=-=+∈.则数列{}n a 的前n 项和的最小值为.【答案】30考点：等差数列. 二．能力题组1.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理6）等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（） A ．12mk - B ．2mk C ．12mk + D ．12mk+ 【答案】C 【解析】试题分析：设公差为,d 由已知1111111,(1)(1),kk m d a a k d k m k mk m mk mk -===--=--⋅=-所以，1(1)1(1)11,222mk mk mk mk mk mk S mka d mk mk mk --+=+=⋅+⋅=选C .考点：等差数列及其求和公式.2.（北京市西城区高三一模考试理12）若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数列{}n a 前10项的和10S =____．【答案】8-,682 【解析】试题分析：由m n m n a a a +=⋅得2113214,8,a a a a a a =⋅==⋅=-由m n m n a a a +=⋅得112n n n a a a a +=⋅=-，所以数列{}n a 为等比数列，因此10102[1(2)]682.1(2)S ---==---考点：等比数列通项与和项3.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理13）已知点()11,1a A ，()22,2a A ，⋅⋅⋅，(),n n a n A （n *∈N ）在函数13log y x =的图像上，则数列的通项公式为__________；设O 为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．【答案】13n⎛⎫ ⎪⎝⎭,16考点：1.对数函数性质；2.求数列通项；3.数列单调性.4.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理10）在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和，则使n S 取最小值的n 是．【答案】10 【解析】试题分析：因为数列的公差为正数，所以数列为递增数列，又因为0,011101110<<+a a a a 且，所以0,01110><a a ，所以前10项的和最小，即使n S 取最小值的。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战19899

数学（供理科考生使用）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．a 为正实数，i 为虚数单位，2=+iia ，则=a A ．2B 3C 2D ．12．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N =M I∅，则=N MA ．MB ．NC ．ID ．∅3．已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 A ．34B ．1C ．54D ．744．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos2A=a 2，则=ab A ．23B ．22C 3D 25．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）=A ．18B ．14 C ．25D ．126．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3 D ．27．设sin1+=43πθ（），则sin 2θ= A ．79- B ．19-C ．19D ．798．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是 A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]10．若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为 A ．12-B ．1C ．2D ．211．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）12．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为 A ．33B ．32C ．3D ．1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为．14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是． 16．已知函数)(x f =Atan （ωx+ϕ）（2||,0πϕω<>），y=)(x f的部分图像如下图，则=)24(πf ．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=10 （I ）求数列{an}的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和． 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AB=12P D ．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值． 19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲 403397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+；（III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x0，证明：f '（x0）＜0．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC=ED ．（I ）证明：CD//AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF=EG ，证明：A ，B ，G ，F四点共圆．23．（本小题满分10分）选修44：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（II ）设当α=4π时，l 与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=4π-时，l 与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．24．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数)(x f =|x2||-x5|．（I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x28-x+15的解集．参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 二、填空题 13．2 14．0.254 15．23163三、解答题 17．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-………………5分（II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122nn n a a S a S -=+++=故， 12.2242n nnS a a a =+++ 所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a a a n n------=+++--=-+++--=---.2nn所以1.2n n n S -=综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和………………12分 18．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===- 所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC. 故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CB BP ==--设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即因此可取(0,1,2).n =--设m是平面PBQ的法向量，则0,0. m BPm PQ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取15 (1,1,1).cos,.5 m m n=<>=-所以故二面角Q—BP—C的余弦值为15.5-………………12分19．解：（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P XCC CP XCC CP XCC CP XCP XC===============即X的分布列为………………4分X的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………6分（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8xS=+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8xS=+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.20．解：（I ）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C1，C2的方程联立，求得((A t B t ………………4分当1,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a ===………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率kBO 与AN 的斜率kAN 相等，即,a b t t a=-解得222221.ab e t a a b e-=-=---因为221||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO//A N. ………………12分 21．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. （ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a''∈>><时当时所以1()(0,)f x a在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. ………………4分（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x=+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>-………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是由（I ）知，0()0.f x '<………………12分22．解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ，又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分 23．解：（I ）C1是圆，C2是椭圆.当0α=时，射线l 与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3. 当2πα=时，射线l 与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b=1.（II ）C1，C2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4πα=时，射线l 与C1交点A1的横坐标为2x =，与C2交点B1的横坐标为10x '=当4πα=-时，射线l 与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x 轴对称，因此，四边形A1A2B2B1为梯形. 故四边形A1A2B2B1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-=…………10分24．解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤………………5分（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为. 综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 (10)分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.故答案为：.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣.（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos（﹣2α）的值为：﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可. 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1.（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大. 【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴.设AF=4x（m），则BF=3x（m）.∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m.∵，∴CE=（m）.∴（m）.∴，解得：x=20.∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm，则OP=m，PM=m.∴PC=m，PQ=m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80.解得：10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时，保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题.19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m.（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立.①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出.（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2.当n=1时，S1=a1.当n≥2时，Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1.（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，cn=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列.数列{bn}的前n项和Tn=，令Tn=（2﹣m）a1，则.当n=1时，m=1；当n=2时，m=1.当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列.数列{cn}的前n项和Rn=，令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=.∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列.因此命题得证.【点评】本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论.。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战56069

试卷说明：1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。

2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．若集合{}02A x x =≤≤，{}21B x x =>，则=A B ⋂( )A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x x ><-或C ．{}12x x <≤D ．{}02x x <≤ 2．若复数312a ii+-（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ( ) A ．2B ．4C ．6D ．63．甲、乙两名运动员各自等可能的从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为( ) A ．13B ．12C ．14D ．164．已知等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=( ) A ．21B. 42C. 63 D.845．设函数()f x ={1-33,11log ,1x x x x ≤->，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是( )A ．[)0+∞，B ．[]-1,3C ．[]0,3D ．[)1+∞，6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.233 B.476 C ．6 D ．7 7．过三点()()()13,42,17A B C -，，，的圆交y 轴于,M N 两点，则=MN ( ) A ．26B ．8 C ．46D ．108．当m ＝7，n ＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．7B ．42C ．210D ．8409．在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，90,301ACB BAC BC ∠=∠==，，且三棱柱111ABC A B C -的体积为3，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为 ( )A ．16πB ．12πC ．8πD ．4π10．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．811．已知集合()22,1,94x y M x y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭(){},,N x y y kx b ==+若k R ∃∈，使得M N ⋂=∅成立，则实数b 的取值范围是( )A ．[]-3,3B ．()()--33+∞⋃∞，，C ．[]-2,2D ．()()--22+∞⋃∞，，12．设()()2,,,f x ax bx c a b c R e =++∈为自然对数的底数.若()()'ln f x f x x x>，则( ) A ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e <> B ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e << C ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e >< D ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e >> 第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知平面向量()()2,3,,6p q x =-=，且//p q ，则p q +的值为________。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战19963

数学说明：一、本试卷共6页，包括三道大题37道小题，共120分。

其中第一道大题（15个小题）为选择题二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。

不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。

三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。

四、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.设集合{|||2}A x x =<，集合{2,0,1}B =-，则AB =（）A ．{|02}x x ≤<B ．{|22}x x -<<C ．{|22}x x -≤<D ．{|21}x x -≤< 2.设a b >，c d <，则（）A ．22ac bc >B ．a c b d +<+C ．ln()ln()a c b d -<-D ．a d b c +>+ 3.“AB B =”是“A B ⊆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设奇函数()f x 在[1,4]上为增函数，且最大值为6，那么()f x 在[4,1]--上为（） A ．增函数，且最小值为6-B ．增函数，且最大值为6 C ．减函数，且最小值为6-D ．减函数，且最大值为65.在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 的形状为（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6.已知向量(2,)a x =-，(,1)b y =-，(4,2)c =-，，且a b ⊥，b ∥c ，则（）A ．4,2x y ==-B ．4,2x y ==C ．4,2x y =-=-D ．4,2x y =-= 7.设α为第三象限角，则点(cos ,tan )P αα在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.设{}n a 为等差数列，3a ，14a 是方程2230x x --=的两个根，则前16项的和16S 为（）A ．8B ．12C ．16D ．209.若函数2log a y x =在(0,)+∞内为增函数，且函数4xa y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，则a 的取值范围是（）A ．(0,2)B ．(2,4)C ．(0,4)D ．(4,)+∞10.设函数()f x 是一次函数，3(1)2(2)2f f -=，2(1)(0)2f f -+=-，则()f x 等于（）A ．86x -+B ．86x -C ．86x +D ．86x --11.直线21y x =+与圆22240x y x y +-+=的位置关系是（）A ．相切B ．相交且过圆心C ．相离D ．相交且不过圆心12.设方程224kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞ 13.二项式2017(34)x -的展开式中，各项系数的和为（）A ．1-B ．1C ．20172D ．2017714.从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（）A ．81种B ．64种C ．24种D ．4种 15.设直线1l ∥平面α，直线2l ⊥平面α，则下列说法正确的是（）A ．1l ∥2lB ．12l l ⊥C ．12l l ⊥且异面D ．12l l ⊥且相交二、填空题（本大题有15个小题，每小题２分，共30分。

高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战6092

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= A. 1i +B. 1i -C. 1i --D. 1i -+2. 已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（） A.16B.13C.12D.233.直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是 A ．01m << B ．42m -<< C ．1m < D ．31m -<<4.在线段AB 上任取一点P,以P 为顶点,B 为焦点作抛物线,则该抛物线的准线与线段AB 有交点的概率是 ()A. B. C. D.5. 若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的（） A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等6．棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（） A ．45π B ．87π C ．π D ．47π 7．（理）已知ABC ∆和点M 满足=++，若存在实数m ，使得m =+成立，则m 等于A ．2B ．3C ．4D ．58、已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（A ）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ （B ）511[,],1212k k k Zππππ++∈（C ）[,],36k k k Z ππππ-+∈ （D ）2[,],63k k k Zππππ++∈9.执行如图所示的程序框图，若输出的5k =，则输入的整数p 的最大值为（） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63输入开始p1,0k S ==输出k 开始S p<12k S S -=+1k k =+否是10.若直线3x+(a+1)y1=0与直线ax2y+1=0互相垂直,则展开式中x 的系数为 ( ) A.40B.10C.10D.4011.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A ．16π3B ．8π3C ．4 3D ．23π12. 设函数f(x)＝12x2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤313. 已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f _________14. 设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________15.实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，y ≤2.设z ＝x2＋y2，则 z 的取值范围_______16、在△ABC 中,∠C=90°,M 是BC 的中点.若1sin 3BAM ∠=,则sin ∠BAC=. 17、在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n an n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

18．在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值; (Ⅲ)二面角的余弦值．19.某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有A,B,C 三种软件投入使用,经一使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数如表:班级一二三四人数3234(1)从这12人中随机抽取2人,求这2人恰好来自同一班级的概率.(2)从这12名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择一款软件,其中选A,B 两个软件学习的概率都是,且他们选择A,B,C 任一款软件都是相互独立的.设这三名学生中下午自习时间选软件C 的人数为X,求X 的分布列和数学期望.20. 设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已知1232ABF F ．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率． 21. 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.(1) 若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(2) 设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.22．如图，P 为⊙O 外一点，PC 交⊙O 于F ，C ，PA 切⊙O 于B A ，为线段PA 的中点，BC 交⊙O 于D ，线段PD 的延长线与⊙O 交于E ，连接FE ．求证：（Ⅰ）PBD ∆∽CBP ∆；（Ⅱ）FE AP //．23. （本小题满分10分）选修44: 坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C方程为2sin ρθ=．2C 的参数方程为1123x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围． 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.高考数学模拟试卷（二）参考答案 1.答案：A 2.答案：A 解：()6122sin 1222cos 1242cos 14cos 2=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπα。

3.答案 A4．答案 B 【解析】选B.由题意,要使该抛物线的准线与线段AB 有交点,则需使点P 在线段AB 的中点与B 之间,故由几何概型得,所求概率为P=. 5.答案D6．答案A ．解析：S=41π·12×3+81×4π·12=45π。

7．答案B 试题分析：MA MB MC ++=0∵，∴M 是ABC ∆的重心， 33AB AC AM m +==∴，∴8.答案C .[解析]()2sin()6f x x πω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，由222262k x k πππππ-≤+≤+得，,36k x k k z ππππ-≤≤+∈9.答案：B10．答案 D 【解析】由题意可得·=1,解得a=2.则=的通项公式为Tr+1=·25r·(1)rx103r,令103r=1,求得r=3,故展开式中x 的系数为10×4=40.11．答案选 A 试题分析：由三视图知该几何体为三棱锥，底面是等腰三角形，其底长为2，高为1，棱锥高为3，顶点在底面的射影为等腰三角形底边的中点，直观图如图，BD ⊥AC ，PD ⊥平面ABC ，DA=DB=DC=１，故球心O 在PD 上，设OP ＝R ，则3∴23, ∴S 球=4πR2=16π312. 答案A 解：()9'f x x x =-，当()9'0f x x x=-≤时，03x <≤，即在(]0,3上f(x)是减函数，()f x 在[]1,1a a -+上单调递减,1013a a ->⎧∴⎨+≤⎩,解得12a <≤.故A 正确. 13. 答案：114. 答案：12322=+y x 15. 答案：(1，5]16．【答案】3AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM 中由正弦定理得 12sin sin ac BAM BMA=∠∠①,因为sin sin AC BMA CMA AM ∠=∠=,又AC b ==AM ==所以sin BMA ∠=.又由①得1213a =,两边平方化简得4c412a2c2+9a4=0,所以2c23a2=0,所以sin 3a BAC c ∠==. 17. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由2421n n S n S n +=+得：1213a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，()n d n a a n =-+=∴11，即n a n =。

（Ⅱ）由n an n b a p =，得nn b np =。

所以23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+，当1p =时，()21+=n n T n ；当1p ≠时， 234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+，23111(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p p npnp p-++--=+++++-=--()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+=∴+1,11112112p p np p p p p n n T n n n ， 18．试题解析：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，又BC CD ⊥，且PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面．而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥．又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥．而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ．而PB PBC ⊂平面，所以又，DEEF E =，所以PB ⊥平面DEF ．（2）不妨设，则，，就是异面直线与所成的角。

在中，，故异面直线与所成角的余弦值为。

(Ⅲ)由（Ⅰ）知DE ⊥平面PBC ．从而，就是二面角的平面角。

在中，，故二面角的余弦值为。

19．【解析】(1)设“从这12人中随机抽取2人,这2人恰好来自同一班级”的事件为M.则P(M)==.因此从这12人中随机抽取2人,这2人恰好来自同一班级的概率是.(2)X=0,1,2,3.由题设知,每个人选软件C 的概率均为.所以:P(X=0)==, P(X=1)=×=,P(X=2)=×=X 的分布列如下:X 的期望是EX=0×+1×+2×+3×=2.20 。