可化为一元一次方程的分式方程
八年级数学上册《可化为一元一次方程的分式方程》教案、教学设计
（1）已知两个数的和为15，它们的比值为3：4，求这两个数。
（2）小华和小明去书店买书，小华花费了40元，小明花费的钱数是小华的1.2倍。问：两人一共花费了多少钱？
要求：写出详细的解题步骤，并注明关键点。
3.拓展题：探讨以下问题，将实际问题抽象为分式方程模型，并求解。
3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，可能在遇到困难时产生挫败感，需要教师的关心和鼓励。
4.学生在解决实际问题时，可能难以将问题转化为分式方程模型，需要培养建模能力。
针对以上学情，教师在教学过程中应关注以下几点：
1.通过生动有趣的实例，帮助学生理解分式方程的概念，降低学习难度。
2.设计具有层次性的练习题，让学生在巩固基础知识的同时，逐步提高解题能力。
二、学情分析
八年级学生在数学学习上已经具备了一定的基础，对一元一次方程的解法有了较为熟练的掌握。在此基础上，学生对分式方程的学习将面临以下挑战：
1.分式方程的概念与一元一次方程有所不同，学生需要适应这一变化，理解分母不为零的条件。
2.在解分式方程的过程中，学生容易在去分母、合并同类项等步骤上出现错误，需要加强练习和指导。
2.教学过程：
a.让学生独立思考，列出实际问题中的等量关系。
b.引导学生将等量关系转化为分式方程，为新课的学习做好铺垫。
c.通过这个实例，让学生感受到分式方程在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.教学内容：分式方程的概念、解法步骤，以及与一元一次方程的联系。
2.教学过程：
a.介绍分式方程的定义，强调分母不为零的条件。
八年级数学上册《可化为一元一次方程的分式方程》教案、教学设计
一、教学目标
可化为一元一次方程分式方程课件
练习题的答案和解析
答案1
$x = 4$
解析1
首先将方程两边同乘以公共分母$2(x-2)$，得到整式方 程$x(x-2) - 4 = 2(x-2)$，整理后得到$x^2 - 4x + 4 = 0$，解得$x = 4$。
程转化为整式方程。
解法2
利用等式的性质消去分 母，将分式方程转化为
整式方程。
解法3
利用换元法将分式方程 转化为整式方程。
解法4
利用待定系数法将分式 方程转化为整式方程。
02
可化为简单一元一次方程的分式方程
简单的分式方程
定义
简单的分式方程是指只包 含一个分式，且分母中不 含有未知数的方程。
求解方法
可化为一元一次方程分 式方程ppt课件
目 录
• 分式方程的定义和性质 • 可化为简单一元一次方程的分式方程 • 分式方程的应用 • 分式方程与一元一次方程的联系和区别 • 练习和巩固
01
分式方程的定义和性质
分式方程的基本概念
01
02
03
分式方程
分母中含有未知数的方程 。
定义
分式方程是数学中一类含 有分式的方程。
解法步骤
分式方程需要先进行通分，然后 进行化简和求解；一元一次方程
直接进行化简和求解。
解法难度
分式方程的解法相对复杂，需要 更多的计算步骤和技巧。
分式方程与一元一次方程的应用范围和限制条件
应用范围
分式方程适用于解决具有分数的实际 问题，如速度、时间、距离等问题； 一元一次方程适用于解决单一未知数 的实际问题，如年龄、工作量、价格 等问题。
可化为一元一次方程的分式方程_图文
解 设该款空调补贴前的售价为每台x元， 由上述等量关系可得如下方程：
即
方程两边同乘最简公分母x(x-200)，
得
1.1(x-200)= x.
解得
x = 2200.
检验：把x=2200代入x(x-200)中，它的值不等于0，
因此x=2200是原方程的根，且符合题意.
答：该款空调补贴前的售价为每台2200元.
例1 解方程 ：
解 方程两边同乘最简公分母x(x-2)，
得 5x -3(x-2)= 0 .
解得
x = -3.
检验：把x=-3代入原方程，得
左边 =
= 右边
因此x=-3是原方程的解.
分式方程的解也叫作分式方程的根.
例2 解方程 ：
解 方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-2)， 得 x+2=4. 解得 x=2.
练习
1. 某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，
那么180天就可盖成；如果由建筑一队、二队 同时施工，那么30天能完成工程总量的 . 现 若由二队单独施工，则需要多少天才能盖成？
解 设由二队单独施工需x天完成任务， 则
答：由二队单独施工，则需225天才能盖成.
2. 一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km
中考 试题
例2
解分式方程
方程的解为（ D ）
，可知
A. x=2 C. x=3
B. x=4 D. 无解
解析 在方程两边同乘以(x-2)，约去分母， 得 1-x+2(x-2)=-1，1-x+2x-4=-1，x=2. 检验，当x=2时，x-2=2-2=0， 所以x=2是增根. 原方程无解.
可化为一元一次方程的分式方程课件
目录
• 分式方程的概述 • 分式方程的解法 • 分式方程的解的验证 • 分式方程的应用实例 • 分式方程的注意事项
01
分式方程的概述
分式方程的定义
总结词
分式方程是含有分式的等式，通常表 示为ax+b=c的形式，其中a、b、c是 已知数，x是未知数。
详细描述
分式方程是数学中一种常见的方程形 式，其特点是等号两边都含有分式。 分式方程通常用于解决具有实际背景 的问题，如物理、工程和经济领域。
供需关系
在市场经济中，供需关系决定了商品的价格。当市场上 的供给量大于需求量时，商品价格会下降；反之则会上 升。这种关系可以用分式方程来表示，通过求解可以预 测商品价格的走势。
日常生活问题中的分式方程
时间分配
在日常生活中，时间是一种宝贵的资源。如何合理分 配时间以完成各种任务是一个常见的问题。通过建立 时间分配的分式方程，可以找到最优的时间分配方案 。
02
分式方程的解法
消去分母法
通过消除分母，将分式方程转化为整 式方程，然后求解。
首先找到分母的最小公倍数，然后将 方程两边都乘以这个最小公倍数，从 而消除分母。
转化为一元一次方程法
通过代数变换，将分式方程转化为可以直接求解的一元一次方程。
根据方程的特点，通过移项、合并同类项等代数操作，将分式方程转化为标准形式的一元一次方程。
检验解的有效性
解出分式方程后，需要进行解的检验，以确保解是有效 的，可以通过将解代入原方程进行验证。
解的范围限制
考虑分母不为零
在解分式方程时，需要注意分母不能为零，否则会导致无意义的情况。
考虑变量的取值范围
在解分式方程时，需要考虑变量的取值范围，以确保解是合理的。
可化为一元一次方程的分式方程知识讲解
可化为一元一次方程的分式方程知识讲解一元一次方程是指方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的方程。
分式方程是含有分式的方程。
将一个分式方程化为一元一次方程的过程叫做“分式方程的通分运算”。
先来看一个简单的分式方程：$$\frac{3}{x} - \frac{2}{x+1} = 5$$我们的目标是将这个方程化为一元一次方程。
首先，我们需要通分。
分母相同的两个分式，我们可以直接将分子相减。
对于这个例子，我们可以通分得到：$$\frac{3(x+1)}{x(x+1)} - \frac{2x}{x(x+1)} = 5$$下一步，我们将分数转换成整数，将分子乘以分母的倒数。
得到：$$\frac{3x+3 - 2x}{x(x+1)} = 5$$再化简得到：$$\frac{x+3}{x(x+1)} = 5$$再进一步，可以将分式转化为乘法：$$(x+3)(5)=x(x+1)$$展开并合并同类项，得到一元一次方程：$$5x+15=x^2+x$$通过整理，可以将方程化为标准形式：$$x^2+x-5x-15=0$$得到一元一次方程：$$x^2-4x-15=0$$这就是最终化简得到的一元一次方程。
这个方程可以通过求解，得到未知数x的值。
总结分式方程化为一元一次方程的步骤如下：1.通分，使分母相同。
2.将分子相减或相加。
3.将分数转换为整数，将分子乘以分母的倒数。
4.化简，将分式转换为乘法。
5.展开并合并同类项，得到一元一次方程。
6.整理方程，将方程化为标准形式。
下面我们来看一个更复杂的例子：$$\frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} - \frac{4}{x+2} = 2$$首先，我们通分得到：$$\frac{2(x-1)(x+2)}{x(x-1)(x+2)} + \frac{3x(x+2)}{x(x-1)(x+2)} - \frac{4x(x-1)}{x(x-1)(x+2)} = 2$$整理后可得：$$\frac{2(x-1)(x+2) + 3x(x+2) - 4x(x-1)}{x(x-1)(x+2)} = 2$$继续化简得到：$$\frac{2x^2 - 2 + 3x^2 + 6x - 4x^2 + 4x}{x(x-1)(x+2)} = 2$$合并同类项，得到一元一次方程：$$\frac{x^2 + 10x - 2}{x(x-1)(x+2)} = 2$$继续化简得到：$$(x^2+10x-2)(2)=x(x-1)(x+2)$$展开并合并同类项，得到一元一次方程：$$2x^2+20x-4=x^3+x^2+2x^2-2x$$整理得到标准形式：$$x^3-x^2-22x+4=0$$这就是将分式方程化为一元一次方程的过程。
可化为一元一次方程的分式方程
可化为一元一次方程的分式方程【教材研学】一、可化为一元一次方程的分式方程的解法1．数字系数分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程求解．去分母即在方程两边同乘以最简公分母，若分母可以分解因式，应首先分解．由整式方程得到的解，需代人最简公分母中检验，使最简公分母不为零的解，才是原方程的解；使最简公分母为零的解，是原方程的增根，应舍掉．2．含有字母系数的分式方程的解法此类方程与数字系数分式方程的解法基本相同，只是在系数化为1时．要讨论系数是否为零．3．增根增根的产生是由于在去分母时，方程两边同乘的整式恰好为零所致．是方程变形造成的，不是解题错误．方程的增根不是分式方程的根．但是增根是变形后所得到的整式方程的根．4．分式方程有增根与无解的关系不仔细推敲，会认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事．事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程变形后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，即这个根使最简公分母为0．比如：方程23132--=--xx x ，可解得：x=3，而x=3是原方程的增根，此方程无解．本题中，分式方程有增根，方程无解，但并不是说只要有增根方程就无解，等大家进入高年级，学习了更多的知识，会发现有增根的分式方程并不全是无解的．问题：若关于x 的方程m x m x =-+3无解，求m 的值。
探究：（1）将分式方程去分母，整理为：（1一m）x＝一4 m．①当1一m=0，而4m≠0时方程无解．此时，m=l （依据是形如ax=b的方程在a=0，b≠0时无解）（2）如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，原分式方程无解．根据这种思路，可先确定增根后，再求m的值．原方程若有增根，增根为x＝3，把x＝3代入方程①中，求出m＝一3．综上所述，m＝1或m＝一3时，原分式方程无解．而此分式方程有增根时，m＝一3．结论：通过本例可以发现，（1）现阶段学习的分式方程有增根时，一定无解；（2）分式方程无解，可能是因为有增根，也可能是由分式方程转化所得的整式方程ax=b中的a=0、b≠0造成的．三．分式方程的应用1．列分式方程客观世界中存在大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题．此类题目接近生活，取材广泛，做题时，要注意题目的情境，弄清是行程问题、增长率问题等中的哪一类，当然也有一些跨学科的综合题，比如：杠杆问题等，无论哪一类都要根据相关的基本量寻找关系．2．列分式方程解应用题的一般步骤：①弄清题意；②设未知数，列出有关的代数式；③依题意找等量关系，列出分式方程；④解方程；⑧检验：一方面要检验所求出的解是否为原方程的根，另一方面还要检验所求的解是否符合实际意义；⑥答。
可化为一元一次方程的分式方程
1．了解分式方程的概念和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的 分式方程. 3. 会检验一个数是不是原分式方程的增根.
轮船在顺水中航行80 km所需的时间和逆水航行60km 所需的时间相同.已知水流的速度是3km/h，求轮船在静水 中的速度(只列方程).
x+1=2
解这个整式方程得 x 1
x=1究竟是不是原方程的根 把x=1代入原方程检验
?
x=1使分式的分母的值为零
1 也就是使分式 x 和1
2 没x2有意1 义
∴ x=1不是原方程的根，原分式方程无解.
⑴在原方程变形时，有时可能产生不适合原方
程的根，这种根叫做原方程的增根.
⑵增根是如何产生的？
x 2 3
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
去分母
整式方程 解整式方程
目 标
a是分式
方程的解
检
x=a
验
检
验
最简公分 母不为0
最简公分 母为0
a不是分式
方程的解
【跟踪训练】
1.关于x的方程
ax1 x
=4
的解是x=
1, 2
则a=
2
.
2.如果 1 3 1 x 有增根，那么增根为 x=2 . x2 2x
3.若分式方程 a 4 0 有增根x=2,则a= -1 . x2 x24
0
会产生增根？
解析: 去分母，得 2（x 2) mx 0
若有增根，则 x2 4,那 么0 x= 2
(1)当x=2ห้องสมุดไป่ตู้ 2（2 2) 2m 0，所以m 4
(2)当x=-2时 2（ 2 2) （ 2）m 0，所以m 0
湘教版数学八年级上册1.5可化为一元一次方程的分式方程课件
解得
x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是
原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
x
x 1
2.
4. 解方程：
x 1
x
2
x
( x 1)( x 1) 2 x( x 1).
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
学习目标
1.理解分式方程的概念；
2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；（重点）
3.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.
（难点）
4.理解数量关系正确列出分式方程.（难点）
5.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决
实际问题.（重点）
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
议一议
分式方程
25
−
30
1.5
=
1
6
的分母中含有未知数，我们该如何来求解呢？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
“去分母”
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
2 = 8
2 = 0
=4
=0
经检验 = 0是原方程的解，
∴原分式方程的解是 = 0 ；
经检验 = 4是原方程的解，
∴原分式方程的解是 = 4.
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
3.解方程
x
八年级数学上册课件 3.7 可化为一元一次方程的分式方程
100310100 100 8 100个工件需要＿＿x 天；采用新工艺后每天加工 1.5x 个
x 1.5x 210
工件，加工剩余的工件用了＿1 .＿5 x 天。
问题中的等量关系是：
采用新工艺前工作天数+采用新工艺后工作天数=8
对比下面两组方程（组）， 分析第二组方程特征：
擦亮慧眼
5(12y)4y31 3
5x4y31
1003101008 x 1.5x
x 2 x2
3x 1 2y 5x 4y 31
x11x41x221
讨论： 它们有什么共同的特点？
方程的分母中都含有未知数
1003101008 x 1.5x
x11x41x221
x 2 x2
9000 15000
x
x3000
1、在这个问题中，哪些是已知量，哪些是未知量？
2、如果选取某一个未知量用x表示，那么其他未知量怎样用
关于x的代数式表示？
3、这个问题中的等量关系是什么？
4、选择哪个等量关系，可以得到关于未知数x的方程？
境问题
1. 王师傅承担了310个工件的焊接任务，加工了 100个工件后开始采用焊接新工艺，工效提高到 原来的1.5倍,共用8天完成了任务。请问采用新工 艺前，王师傅每天焊接多少个工件?
例１ 解方程：x231x2111x
解： 原方程可化为
3 21
(x1)(x1) x1 1x
方程两边都乘 最简公分母 (x1)(x1)，得
32(x1)(x1)
解这个方程，得 x 6
检验: 把x = 6代入原方程，左边=右边
∴ x = 6 是原方程的根.
注意：解分式方程一定要检验.
可化为一元一次方程的分式方程
可化为一元一次方程的分式方程一元一次方程的分式方程是一类有用的数学方程式，它可以通过将一元多项式分式化来解决复杂的表达式问题。
它的基本形式是：a/b = c，用分数的形式表示。
该方程的本质是变形，我们可以把它化成一元一次方程来解决。
首先，我们可以利用乘法来变换这个分式方程。
首先，我们将二分之一乘以a变成a/2，然后再乘以c，得到a/2 * c = b。
这样，就将分式方程变成一元一次方程a/2 * c - b = 0，即a/2c - b = 0。
接下来，我们可以利用反相法将这个方程进一步化简。
首先，我们可以把a/2c乘以2，变成2a/2c，然后用2a减去2b，得到2a/2c - 2b = 0。
这样，就将分式方程变成了一元一次方程2a - 2b = 0，即2a - 2b = 0。
最后，我们可以将这个方程进一步化简。
首先，我们可以把2a 除以2，变成a，然后用a减去b，得到a - b = 0。
这样，就将分式方程变成了一元一次方程a - b = 0，即a - b = 0，这就是最终的结果。
总之，一元一次方程的分式方程是一类重要的数学方程，它的基本形式是：a/b = c，用分数的形式表示。
我们可以通过乘法和反相法将这个方程变换为一元一次方程，从而解决复杂的表达式问题。
而且，这种变形的方法也可以应用在多元方程的解决中，这样就可以让复杂问题变得更加容易处理。
从上面的讨论可以看出，一元一次方程的分式方程是一类具有重要意义的数学方程式。
它不仅可以用来解决简单的表达式问题，而且也可以应用在多元方程中，让复杂问题变得更加容易处理。
因此，一元一次方程的分式方程受到广泛的应用，不管是在数学领域还是其他领域。
华师版八年级数学下册_16.3可化为一元一次方程的分式方程
感悟新知
知3－练
解：设平常的速度是 x km/h，易知行驶12的路程用时 2 h. 根据题意，得1x－－122·04x＋2＝5，解得 x＝60， 经检验，x＝60 是原分式方程的解，且符合题意． 4×60＝240(km)． 答：小强家到他奶奶家的距离是 240 km.
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90 m．
感悟新知
知3－练
4-1. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800 件 投入市场， 服装厂有A，B 两个制衣车间，A 车间每 天加工的数量是B 车间的1.2倍，A，B 两车间共同完 成一半后，A 车间出现故障停产，剩下的全部由B 车 间单独完成，结果前后共用20 天完成， 求A，B 两车 间每天分别加工多少件.
感悟新知
知3－练
解：设妈妈开车的平均速度为x km/h，则小明骑自
x
行车的平均速度为 4 km/h，
根据题意得
16 x
－1
16 x
，解得x=48，
经检验，x=448 是原分式方程的解，且符合题意.
答：妈妈开车的平均速度是48 km/h．
感悟新知
知3－练
3-1.[中考·常德] 小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家， 1
(1)
x x－4
x＋2 x－6
;(2)
2－x x－3
1 3－x
－2;
(3)
4 3
x＋6 x－3
－
5 x－4 x－1
1;(4)
4 ＋7 x2＋2x x2－4
可化为一元一次方程的分式方程(讲课)
分式方程的解也叫作分式方程的根.
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
怎样解分式方程
如 何 解 这 个方 程 ？
通过前面回顾一元一次方程的解法，若有分母，应先去分母， 所以此题可通过去分母，将分式方程转化为一元一次方程来求解.
4、检验
5、下结论
方程两边都乘以最简公分母
解得x=c
把x=c代入最简公分母检验
1、找最简公分母
各分母的最简公分母
当堂检测
课后延伸：
3.
4.
5.
【重点难点】：
使学生领会“ 转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解. 培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。
学习目标
辨析：判断下列哪些是整式方程， 哪些是分式，剩下的是什么呢？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
分析：根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是这一节课我们要学习的分式方程．
分析：去分母，将分式方程转化为整式方程，方程的每一部分都要乘最简公分母.
解：方程两边同乘 得
化简得 4x = 4
x = 1 不是原分式方程的解，原分式方程无解
解得 x = 1
检验：当 x =1时
小结
本节课的重点就是解可化为一元一次方程的分式方程的解法，其步骤为：
2、去分母
3、解整式方程
下结论.
解分式方程的步骤
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的检验.
八年级数学上11.5可化为一元一次方程的分式方程及其应
实际生活中的应用
金融问题
分式方程在金融领域也有广泛的应用。例如，复利的计算、 投资回报率的计算等可以用分式方程来表示和解决。
交通问题
在交通管理中，分式方程可以用于描述车辆行驶的速度和时 间关系，以及道路交通流量等问题。例如，在高速公路上， 车辆的平均速度和行驶时间的关系可以用分式方程来表示和 计算。
根据方程定义取舍
有些分式方程在特定条件下无解 或无穷多解，需要根据方程的定 义和条件进行取舍。
解的适用范围
注意变量的取值范围
在分式方程中，变量的取值范围可能 会影响解的存在性和唯一性，因此需 要注意变量的取值范围。
注意方程的定义域
分式方程可能只在特定的定义域内有 解，因此需要注意方程的定义域，确 保解的适用范围。
转化原理和方法
1 2
消除分母
通过通分或消去分母，将分式方程转化为整式方 程。
转化为一元一次方程
将转化后的整式方程整理为一元一次方程的形式。
3
求解一元一次方程
解出转化后的一元一次方程的解。
转化过程和步骤
01
02
03
04
确定最简公分母
找到分式方程中各分母的最小 公倍数，作为最简公分母。
通分
将方程两边的分式通分，使分 式方程转化为整式方程。
移项与合并同类项
将整式方程中的项移至等号同 一边，并合并同类项。
化简整理
将整式方程化简整理为标准的 一元一次方程形式。
转化后的解法
01
02
03
直接求解法
对于简单的分式方程，可 以直接求解得到解。
换元法
对于复杂的分式方程，可 以通过换元法简化计算过 程。
图解法
可化为一元一次方程的分式方程分式方程及其解法
物体加热或冷却的过程。
工程问题
01
02
03
建筑设计
在建筑设计领域，分式方 程可以用来优化设计方案， 例如，计算建筑物的最佳 尺寸和比例。
机械设计
在机械设计中，分式方程 可以用来分析机器的性能 和效率，例如，计算齿轮 的转速和扭矩等。
电子工程
在电子工程中，分式方程 可以用来描述电路的工作 状态，例如，计算电流、 电压和电阻等。
解的验证
验证解的有效性
在得到分式方程的解后，应进行验证，确保解是有效的并且满足原方程。
考虑特殊情况
在验证解的过程中，应考虑特殊情况，如分母为零、无穷大等情况，以确保解 的全面性和准确性。
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分子有理化的方法是将分子与适当的表达式相乘，以消去根号或使分数形式简化。
分子有理化有助于简化方程，使其更容易求解。
03 可化为一元一次方程的分 式方程
方程的转化
1 2
将分式方程化为整式方程
通过通分、消去分母，将分式方程转化为整式方 程。
展开整式方程
将整式方程展开，整理成标的解
02
对代回后的分式方程进行化简，得到最终的分式方程的解。
检查解的合理性
03
对求出的分式方程的解进行检验，确保其满足原分式方程的定
义域和值域条件。
04 分式方程的解法
公式法
定义
公式法是一种通过对方程进行整 理，将其转化为标准的一元二次 方程，然后利用一元二次方程的 解公式来求解分式方程的方法。
定义域问题
确定分母不为零的解
在解分式方程时，需要特别注意定义 域问题，确保分母不为零，否则会导 致无解或解不合法。
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17.3 可化为一元一次方程的分式方程
一、填空题（每小题2分，共20分）
1.在分式12
111F f f =+中,12f f ≠-,则F=_________. 2.当x=_______,2x-3 与
543
x + 的值互为倒数. 3.当k=_____时,分式方程0111
x k x x x x +-=--+有增根. 4.若关于x 的方程1a b a x b ++=- 有惟一解,则a,b 应满足的条件是________. 5.某中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观,一部分同学骑自行车走40分钟后,其余同学乘汽车出发,结果他们同时到达科技馆, 已知汽车的速度是自行车速度的3倍,求汽车的速度.设汽车的速度是x 千米/小时,则汽车行驶时间为______, 自行车行驶时间为______.根据题意列方程________.解得汽车的速度为_______.
6.为改善生态环境,防止水土流失,某村拟在荒坡地上种植960棵树, 由于青年团员的支持,每日比原计划多种20棵,结果提前4天完成任务,原计划每天种植多少棵?设原计划每天种植x 棵,根据题意得方程____________.
7. 已知311=-y x ，则分式y
xy x y xy x ---+2232的值为 ． 8. 已知，关于x 的方程22112()1x x x x +
++=，那么11x x
++的值为 ． 9. 若分式421x x -与分式212x x +-的值相等，则x ＝＿＿＿. 10. 一水池有甲、乙两个进水管，若单独开甲、乙管各需a 小时、b 小时可注满空地；现
两管同时打开，那么注满空池的时间是＿＿＿.
二、选择题（每小题3分，共30分）
11.当a 为何值时与121
a a -+的值相等（ ）
A.a ＝0
B.a ＝12
C.a ＝1
D.a ≠1 12.下列说法中：①含有分母的方程是分式方程；②分母中含有分母的方程是分式方程；③
分母中含有未知数的方程是分式方程；④解分式方程可能会产生增根，所以一定要验根；⑤解分式方程一定要先去分母；⑥解分式方程过程中，使公分母为0的未知数的值一定是增根.其中正确的序号有（ ）
A.①②⑤
B.③④⑥
C.①②③
D.④⑤⑥
13.若x ＝－
12
是下列某方程的解，则此方程为（ ） A.312x +＝2 B.22114
x x +-＝0 C.21x x -＝14 D.241x x -＝14 14. 若分式方程424-+=-x a x x 有增根，则a 的值为（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0
15.某施工队挖掘一条长96米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前4天完成
任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x 米，则依题意列出正确的方程为( ) A.
496296=--x x B.429696=--x x C.429696=+-x x D.496296=-+x
x 16.在方程：①73x -＝8+152x -，②1626x -＝x ，③281x -＝81x x +-，④x －112x -＝0中，是分式方程的有 （ ）
A.①和②
B.②和③
C.③和④
D.①和④
17.甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地.已知A 、B 两地的距离为30km ，甲每小
时比乙多走3km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为（ ） A.30x －303x -＝23 B.30x －303x +＝23 C.303x +－30x ＝23 D.303x -－30x ＝23 18. 若边长为a 的正方形与长、宽分别为m 、n 的矩形的面积相等，则下列等式中，不正
确的是 （ ） A.n a a m = B. a m a n n a +=+ C. a n a m n a =-- D. 1
111+-=+-a n m a
19.已知122
432+--=--+x B x A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ） A.7 B.9 C.13 D.5 20.解分式方程
2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1
三、解答题（共43分）
21. 解方程：（每题3分，共18分）
（1）13x x -+－1
5＝0.
（2）3x ＋61x -＝27x x -.
（3）1+5
4x x --＝1
4x -.
（
4）31x x -+＝41x x -+－2.
（5）
2
2
x
x
-
+
－
2
16
4
x-
＝
2
2
x
x
+
-
. （6）
1
32x
-
+
1
23
x+
＝
2
4
49
x
x-
.
22.已知：
23
(1)(2)12
x A B
x x x x
-
=+
-+-+
，求A、B的值.（5分）
23列方程解应用题（每题5分，共20分）
（1）重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值.
（2）某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的普通公路.又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间.
（3）从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地，先走40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达.已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度.
（4）A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B 两人共做35个机器零件.求A、B每小时各做多少个零件.
四、探究题（7分）
24.请先阅读下列一段文字，然后解答问题：
初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零，”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以.
问题：甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同）甲每次购买粮食100kg，乙每次购粮用去100元.
（1）设第一、第二次购粮单价分别为x元/kg和y元/kg，用含x、y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付粮款＿＿＿元，乙两次共购买＿＿＿kg粮食.若甲两次购粮的平均单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价和每千克Q2元，则Q1＝＿＿＿，Q2＝＿＿＿.
（2）若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算，并说明理由.
参考答案
一、1.1212
f f f f + 2.3 3.-1 4.a+b ≠0 5.
15x 小时, 45x 小时, 45x -15x =4060
,45千米/时 6.960960420x x +=+ 7.53 8. ±2 9. 81 10. b a ab +小时 二、 11. B 12. B 13 C 14 A 15 C 16 C 17 B 18. D. 19.C 20. D 三、21.（1）x ＝2；（2）x ＝
109；（3）x ＝5；（4）x ＝－12；（5）无解；（6）无解； 22. 212(1)(2)A B Ax A Bx B x x x x ++-+=-+-+=()2(1)(2)
A B x A B x x ++--+ ∴23()2(1)(2)(1)(2)x A B x A B x x x x -++-=-+-+∴223A B A B +=⎧⎨-=-⎩∴13123A B ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
23. （1）分别为每千克450元和每千克750元
（2）设该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间为x 小时，则有456002480-=x
x .解得x=8，则该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间.为8小时.
（3）设A 的速度为x 千米/时，则B 的速度是3x 千米/时，则有
604031515+=x x 解得x=15，3x=45，则两车的速度分别为15千米/时，45千米/时； （4）A 每小时做15个，B 每小时做20个.
四、24. （1）100(x +y )，100(1x +1y )，2
x y +，2xy x y +， （2）乙低，理由略；。