可以化成一元一次方程的分式方程
可化为一元一次方程的分式方程(教案)
可化为一元一次方程的分式方程教材分析1本章是学生已掌握了整式的四则运算，多项式的因式分解的基础上，通过对比分数的知识来学习的，包括分式的概念，分式的基本性质，分式的四则运算，这一章的内容对于以后的公式变形以及可化为一元二次方程的分式方程、函数等内容的学习都是一本章为基础的。
所以学好本节内容能为以后的进一步学习奠定良好基础。
2可化为一元一次方程的分式方程是在学生已熟练地掌握了一元一次方程的解法,分式四则运算等有关知识的基础进行学习的.它既可看着是分式有关知识在解方程中的应用;也可看着是进一步学习研究其它分式方程的基础(可化为一元二次方程的分式方程).同时学习了分式方程后也为解决实际问题拓宽了路子,打破了列方程解应用题时代数式必须是整式这一限制.教学重点、难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2教学难点：理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法，明确分式方程验根的必要性。
教学目标知识目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．能力目标1培养学生将实际问题转化为数学问题的能力2培养学生观察、比较、抽象、概括的能力3训练学生思维的灵活性德育目标1激发学生的内在动机2养成良好的学习习惯教学手段演示法和同学练习相结合，以练习为主教学过程设计：教学过程(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的（二）问题情境导入问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
青岛版八年级上册数学《可化为一元一次方程的分式方程》PPT教学课件(第1课时)
可化为一元一次方程的分式方程 第2课时
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多 做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的 时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
请审题分 析题意设元
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x－6）个零件，
依题意得：
90 60 , x x6
这个方程有何特点？ 特点：方程两边的代数式是分式. 或者说未知数在分母上的方程.
分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特点： （1）含有分式 ； （2）分母中含有未知数； （3）是等式.
判断下列说法是否正确：
(1) 2x 3 5是分式方程 2
(2)
3 4 是分式方程
44x x 3
(3) x2 1是分式方程 x
(4) 1 1 是分式方程 x1 y1
（× ） （√ ） （× ） （√ ）
分式方程的解法
80 60 x3 x3
分式方程
两边都乘以最简公分母 (x+3)(x-3) 得方程
两边乘以 最简公分
母
80(x 3) 60(x 3).
解这个整式方程得 x 21.
验x=5是所列分式方程的根，故x=5.
答案：5
2.（江西·中考）解方程：
x x
2 2
4 x2
4
1
【解析】方程两边同乘以 x2 4 ，得 (x 2)2 4 x2 4
解得x=3
检验：x=3时，x2 4 ≠0 所以，x=3是原分式方程的解.
3.当m为何值时，去分母解方程
x
2
2
mx x2 4
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出等量关系.
可以化成一元一次方程的分式方程优质课教案
可以化成一元一次方程的分式方程【教学目标】1．进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径。
2．在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性。
3．在讨论可以化为一元一次方程的分式方程时，提高学生综合分析和解决实际问题的能力。
【教学重难点】1．探索如何将分式方程转化为整式方程。
2．探索分式方程产生增根的原因。
【教学过程】一、情景引入小明和小丽比赛打字的速度，小丽每分钟比小明少打30个字，在相同的时间里，小丽打了2400个字，小明打了3000个字。
请问：小丽和小明每分钟分别可打多少个字？解：设小明每分钟可打x 个字，则小丽每分钟可打（x-30）个字。
根据题意可列出以下等量关系：xx 3000302400=-。
这个方程的分母中含有未知数，与以前学过的方程不同，这就是我们要学习的分式方程。
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
以前学过的像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含有未知数的方程叫整式方程。
二、引发思考如何解这个方程呢？先由学生讨论如何解这个方程，教师可适当引导，可以设法去掉方程中分式的分母，转化为以前学过的方程来求解。
方程两边同时乘以x （x-30），得2400x=3000（x-30）。
这就转化成我们以前学过的整式方程，得x=150得，x-30=120。
如果我们想检验一下这种方法的正确性，就需要检验一下求出的数是否是方程的解。
检验：把x=150代入原方程，因为：左边=301502400-=20，右边=1503000=20。
所以：左边=右边。
所以x=150是原方程的解。
答：小明每分钟可打150个字，小丽每分钟可打120个字。
三、学习新课1．练习：判断下列哪些方程是分式方程？（1）x+3y=121； （2）1x x +=5； （3）273x =； （4）351221x x -=-+； （5）51323x x +-+。
可化为一元一次方程的分式方程知识讲解
可化为一元一次方程的分式方程知识讲解一元一次方程是指方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的方程。
分式方程是含有分式的方程。
将一个分式方程化为一元一次方程的过程叫做“分式方程的通分运算”。
先来看一个简单的分式方程：$$\frac{3}{x} - \frac{2}{x+1} = 5$$我们的目标是将这个方程化为一元一次方程。
首先，我们需要通分。
分母相同的两个分式，我们可以直接将分子相减。
对于这个例子，我们可以通分得到：$$\frac{3(x+1)}{x(x+1)} - \frac{2x}{x(x+1)} = 5$$下一步，我们将分数转换成整数，将分子乘以分母的倒数。
得到：$$\frac{3x+3 - 2x}{x(x+1)} = 5$$再化简得到：$$\frac{x+3}{x(x+1)} = 5$$再进一步，可以将分式转化为乘法：$$(x+3)(5)=x(x+1)$$展开并合并同类项，得到一元一次方程：$$5x+15=x^2+x$$通过整理，可以将方程化为标准形式：$$x^2+x-5x-15=0$$得到一元一次方程：$$x^2-4x-15=0$$这就是最终化简得到的一元一次方程。
这个方程可以通过求解，得到未知数x的值。
总结分式方程化为一元一次方程的步骤如下：1.通分，使分母相同。
2.将分子相减或相加。
3.将分数转换为整数，将分子乘以分母的倒数。
4.化简，将分式转换为乘法。
5.展开并合并同类项，得到一元一次方程。
6.整理方程，将方程化为标准形式。
下面我们来看一个更复杂的例子：$$\frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} - \frac{4}{x+2} = 2$$首先，我们通分得到：$$\frac{2(x-1)(x+2)}{x(x-1)(x+2)} + \frac{3x(x+2)}{x(x-1)(x+2)} - \frac{4x(x-1)}{x(x-1)(x+2)} = 2$$整理后可得：$$\frac{2(x-1)(x+2) + 3x(x+2) - 4x(x-1)}{x(x-1)(x+2)} = 2$$继续化简得到：$$\frac{2x^2 - 2 + 3x^2 + 6x - 4x^2 + 4x}{x(x-1)(x+2)} = 2$$合并同类项，得到一元一次方程：$$\frac{x^2 + 10x - 2}{x(x-1)(x+2)} = 2$$继续化简得到：$$(x^2+10x-2)(2)=x(x-1)(x+2)$$展开并合并同类项，得到一元一次方程：$$2x^2+20x-4=x^3+x^2+2x^2-2x$$整理得到标准形式：$$x^3-x^2-22x+4=0$$这就是将分式方程化为一元一次方程的过程。
可化为一元一次方程的分式方程
可化为一元一次方程的分式方程【教材研学】一、可化为一元一次方程的分式方程的解法1．数字系数分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程求解．去分母即在方程两边同乘以最简公分母，若分母可以分解因式，应首先分解．由整式方程得到的解，需代人最简公分母中检验，使最简公分母不为零的解，才是原方程的解；使最简公分母为零的解，是原方程的增根，应舍掉．2．含有字母系数的分式方程的解法此类方程与数字系数分式方程的解法基本相同，只是在系数化为1时．要讨论系数是否为零．3．增根增根的产生是由于在去分母时，方程两边同乘的整式恰好为零所致．是方程变形造成的，不是解题错误．方程的增根不是分式方程的根．但是增根是变形后所得到的整式方程的根．4．分式方程有增根与无解的关系不仔细推敲，会认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事．事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程变形后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，即这个根使最简公分母为0．比如：方程23132--=--xx x ，可解得：x=3，而x=3是原方程的增根，此方程无解．本题中，分式方程有增根，方程无解，但并不是说只要有增根方程就无解，等大家进入高年级，学习了更多的知识，会发现有增根的分式方程并不全是无解的．问题：若关于x 的方程m x m x =-+3无解，求m 的值。
探究：（1）将分式方程去分母，整理为：（1一m）x＝一4 m．①当1一m=0，而4m≠0时方程无解．此时，m=l （依据是形如ax=b的方程在a=0，b≠0时无解）（2）如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，原分式方程无解．根据这种思路，可先确定增根后，再求m的值．原方程若有增根，增根为x＝3，把x＝3代入方程①中，求出m＝一3．综上所述，m＝1或m＝一3时，原分式方程无解．而此分式方程有增根时，m＝一3．结论：通过本例可以发现，（1）现阶段学习的分式方程有增根时，一定无解；（2）分式方程无解，可能是因为有增根，也可能是由分式方程转化所得的整式方程ax=b中的a=0、b≠0造成的．三．分式方程的应用1．列分式方程客观世界中存在大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题．此类题目接近生活，取材广泛，做题时，要注意题目的情境，弄清是行程问题、增长率问题等中的哪一类，当然也有一些跨学科的综合题，比如：杠杆问题等，无论哪一类都要根据相关的基本量寻找关系．2．列分式方程解应用题的一般步骤：①弄清题意；②设未知数，列出有关的代数式；③依题意找等量关系，列出分式方程；④解方程；⑧检验：一方面要检验所求出的解是否为原方程的根，另一方面还要检验所求的解是否符合实际意义；⑥答。
可化为一元一次方程的分式方程
可化为一元一次方程的分式方程一元一次方程的分式方程是一类有用的数学方程式，它可以通过将一元多项式分式化来解决复杂的表达式问题。
它的基本形式是：a/b = c，用分数的形式表示。
该方程的本质是变形，我们可以把它化成一元一次方程来解决。
首先，我们可以利用乘法来变换这个分式方程。
首先，我们将二分之一乘以a变成a/2，然后再乘以c，得到a/2 * c = b。
这样，就将分式方程变成一元一次方程a/2 * c - b = 0，即a/2c - b = 0。
接下来，我们可以利用反相法将这个方程进一步化简。
首先，我们可以把a/2c乘以2，变成2a/2c，然后用2a减去2b，得到2a/2c - 2b = 0。
这样，就将分式方程变成了一元一次方程2a - 2b = 0，即2a - 2b = 0。
最后，我们可以将这个方程进一步化简。
首先，我们可以把2a 除以2，变成a，然后用a减去b，得到a - b = 0。
这样，就将分式方程变成了一元一次方程a - b = 0，即a - b = 0，这就是最终的结果。
总之，一元一次方程的分式方程是一类重要的数学方程，它的基本形式是：a/b = c，用分数的形式表示。
我们可以通过乘法和反相法将这个方程变换为一元一次方程，从而解决复杂的表达式问题。
而且，这种变形的方法也可以应用在多元方程的解决中，这样就可以让复杂问题变得更加容易处理。
从上面的讨论可以看出，一元一次方程的分式方程是一类具有重要意义的数学方程式。
它不仅可以用来解决简单的表达式问题，而且也可以应用在多元方程中，让复杂问题变得更加容易处理。
因此，一元一次方程的分式方程受到广泛的应用，不管是在数学领域还是其他领域。
可化为一元一次方程的分式方程(讲课)
分式方程的解也叫作分式方程的根.
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
怎样解分式方程
如 何 解 这 个方 程 ？
通过前面回顾一元一次方程的解法，若有分母，应先去分母， 所以此题可通过去分母，将分式方程转化为一元一次方程来求解.
4、检验
5、下结论
方程两边都乘以最简公分母
解得x=c
把x=c代入最简公分母检验
1、找最简公分母
各分母的最简公分母
当堂检测
课后延伸：
3.
4.
5.
【重点难点】：
使学生领会“ 转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解. 培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。
学习目标
辨析：判断下列哪些是整式方程， 哪些是分式，剩下的是什么呢？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
分析：根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是这一节课我们要学习的分式方程．
分析：去分母，将分式方程转化为整式方程，方程的每一部分都要乘最简公分母.
解：方程两边同乘 得
化简得 4x = 4
x = 1 不是原分式方程的解，原分式方程无解
解得 x = 1
检验：当 x =1时
小结
本节课的重点就是解可化为一元一次方程的分式方程的解法，其步骤为：
2、去分母
3、解整式方程
下结论.
解分式方程的步骤
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的检验.
可化为一元一次方程的分式方程分式方程及其解法
方程两边同乘以 x 4,
得x-4≠0
得， x4x51
∴x=5是原分式方程的解.
解得： x5
例题讲解
(2)
x2 16 x2 x2 x24 x2
解：方程两边同乘以 (x2)(x2), 得
(x2)216 (x2)2,
去括号，得
x2 4 x 4 1 6 x2 4 x 4 , 一
整理，得 8x=-16
定
解得x： 2.
x+1=2.
解这个整式方程，得
x=1.
事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分
母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分
式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应
当舍去. 所以原分式方程无解.
为什么出现这 种情况？
探究分式方程产生增 根的原因
在将分式方程变形为整式方程时，方程 两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了 分母，有时可能产生不适合原分式方程的解 （或根），这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验.
那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
探究分式方程产生增 根的原因
对于原分式方程的解来说，必须要求使 方程中各分式的分母的值均不为零，但变形 后得到的整式方程则没有这个要求.如果所 得整式方程的某个根，使原分式方程中至少 有一个分式的分母的值为零，也就是说使变 形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的 值为零，它就不适合原方程，即是原分式方 程的增根.
可化为一元一次方程的分式方程 分式方程及其解法
可化为一元一次方程的分式方程 ---分式方程及其解法
复习提问
1、什么叫做方程？什么是一元一次方程？什么 是方程的解？
2、解一元一次方程的基本方法和步骤是么？ 3、分式有意义的条件是什么？ 4、分式的基本性质是怎样的？
可化为一元一次方程的分式方程分式方程及其解法
物体加热或冷却的过程。
工程问题
01
02
03
建筑设计
在建筑设计领域，分式方 程可以用来优化设计方案， 例如，计算建筑物的最佳 尺寸和比例。
机械设计
在机械设计中，分式方程 可以用来分析机器的性能 和效率，例如，计算齿轮 的转速和扭矩等。
电子工程
在电子工程中，分式方程 可以用来描述电路的工作 状态，例如，计算电流、 电压和电阻等。
解的验证
验证解的有效性
在得到分式方程的解后，应进行验证，确保解是有效的并且满足原方程。
考虑特殊情况
在验证解的过程中，应考虑特殊情况，如分母为零、无穷大等情况，以确保解 的全面性和准确性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
分子有理化的方法是将分子与适当的表达式相乘，以消去根号或使分数形式简化。
分子有理化有助于简化方程，使其更容易求解。
03 可化为一元一次方程的分 式方程
方程的转化
1 2
将分式方程化为整式方程
通过通分、消去分母，将分式方程转化为整式方 程。
展开整式方程
将整式方程展开，整理成标的解
02
对代回后的分式方程进行化简，得到最终的分式方程的解。
检查解的合理性
03
对求出的分式方程的解进行检验，确保其满足原分式方程的定
义域和值域条件。
04 分式方程的解法
公式法
定义
公式法是一种通过对方程进行整 理，将其转化为标准的一元二次 方程，然后利用一元二次方程的 解公式来求解分式方程的方法。
定义域问题
确定分母不为零的解
在解分式方程时，需要特别注意定义 域问题，确保分母不为零，否则会导 致无解或解不合法。
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2014年11月19日
复习旧知
下列方程分别属于什么方程？ （ 1）2 x 5 7 x （一元一次方程）
2
（2）x 5x 6 0 (一元二次方程) (二元一次方程) （3） 5x 2y 4
2
（4）y 2x 5x 2
(二元二次方程)
x 1 x 3 （5） 0（一元一次方程） 4 6
2x=2
x=1
经检验，x=1不是原方程的根，舍去. ∴原方程无解.
新学知识
在分式方程变形时，有时可能产生不适合 原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根.
增根一定要舍去！
新学知识 为什么会产生增根？
分式方程转化为整式方程时，必须两边同时 乘以一个适当的整式. 如果这个整式为零,就算原方程两边不可能 相等也会变成相等,这时便产生了增根.
4 x 6 x 12 6 2 x 6
4 6 0 x 1 x 3
分式方程
x3
去分母 转化 整式方程
经检验, X=3是原方程的解. ∴ 原方程的解为X=3.
新学知识 一元方程的解也叫做方程的根（root）.
4 6 0 的解. 我们可以说，x=3是方程 x 1 x 3 4 6 0 的根. 也可以说，x=3是方程 x 1 x 3
整式方程： 等号两边都是整式的方程
新学知识
例题1、怎样才能求出此方程的解？
4 6 （ x 1）(x 3） （ x 1）(x 3） 0（ x 1）(x 3） 解： x 1 x3 （ 4 x 3） 6( x 1) 0 小结： 4 x 12 6 x 6 0
3( x 1) 2( x 3) 0
这是什么方程呢？ 分式方程： 分母中含有未知数 的有理方程叫做分 式方程. 没有分母的方程
3x 3 2 x 6 0
3 x 2 x 3 6 x3
小结： 有分母的方程
转化 去分母
新学知识
分式方程： 分母中含有未知数的方程
4 x 6 x 12 6 2 x 6
4 6 0 x 1 x 3
x3
经检验, X=3是原方程的解. ∴ 原方程的解为X=3.
新学知识
1 1 2 2 例题2 .解方程： x 1 x 1 x 1 解： 1 1 2 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 1 x 1 ( x 1)( x 1)
新学知识
1 1 2 2 例题2 .解方程： x 1 x 1 x 1 解： 1 1 2 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 1 x 1 ( x 1)( x 1)
x 1 x 1 2
所以解分式方程必须检验！ 检验的方法是：看所得的解是否使所乘的式子 （最简公分母）为零.
新学知识
例题1、怎样才能求出此方程的解？
4 6 （ x 1）(x 3） （ x 1）(x 3） 0（ x 1）(x 3） 解： x 1 x3 （ 4 x 3） 6( x 1) 0 4 x 12 6 x 6 0
整式方程： 等号两边都是整式的方程，叫做整 式方程.包括一元一次方程、一元二 次方程、二元一次方程、二元二次 方程等.
引入课题
怎样才能求出此方程的解？ 解： x 1 12 x 3 12 0 12
4 6
x 1 x 3 （5） 0 4 6
4 6 0 x 1 x 3
x 1 x 1 2
2x=2
x=1
经检验，x=1是增根，舍去. ∴原方程无解.
课堂练习
解方程：
1. 2x 8 1 x 3 x 3
1 1 4 2 x2 x2 x 4
2.
课堂练习
3. 上海至南京的路程约为390千 米，2004年4月全国第五次火车 大提速，上海至南京的火车提速 后的运行速度是提速前的2倍， 并且比提速前快3小时到达，那么提速前和提速后 上海至南京火车的速度分别是多少千米/小时？
设提速前火车的速度为x千米/小时，则提速后火车 的速度为 千米/小时，根据题意，列方程：
2x
390 390 3 x 2x
.
课堂练习
当m为何值时，关于x的方程
2x 3 m 4 x2 x2
会产生增根？
解：
课堂小结
对自己说,你有什么收获?
对老师说,你有什么疑惑?Βιβλιοθήκη 对同学说,你有什么温馨提示?
课外作业
1、练习册 10.5 ；
2、上网搜索解分式方程产生增根的原因.
课堂小结
1、分式方程：分母中含有未知数的方程， 叫做分式方程. 2、解分式方程的基本思想：
分式方程
转化 （去分母）
整式方程
3、转化思想（化归思想）在数学的发展史上起着 无比重要、无可替代的作用.同学们在今后的 学习生涯中，乃至生活处事都要善于灵活运用 转化的思想方法. 4、注意：解分式方程在去分母时有可能产生增根， 因此解分式方程一定要检验!