可化为一元一次方程的分式方程
可化为一元一次方程的分式方程(教案)
可化为一元一次方程的分式方程教材分析1本章是学生已掌握了整式的四则运算，多项式的因式分解的基础上，通过对比分数的知识来学习的，包括分式的概念，分式的基本性质，分式的四则运算，这一章的内容对于以后的公式变形以及可化为一元二次方程的分式方程、函数等内容的学习都是一本章为基础的。
所以学好本节内容能为以后的进一步学习奠定良好基础。
2可化为一元一次方程的分式方程是在学生已熟练地掌握了一元一次方程的解法,分式四则运算等有关知识的基础进行学习的.它既可看着是分式有关知识在解方程中的应用;也可看着是进一步学习研究其它分式方程的基础(可化为一元二次方程的分式方程).同时学习了分式方程后也为解决实际问题拓宽了路子,打破了列方程解应用题时代数式必须是整式这一限制.教学重点、难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2教学难点：理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法，明确分式方程验根的必要性。
教学目标知识目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．能力目标1培养学生将实际问题转化为数学问题的能力2培养学生观察、比较、抽象、概括的能力3训练学生思维的灵活性德育目标1激发学生的内在动机2养成良好的学习习惯教学手段演示法和同学练习相结合，以练习为主教学过程设计：教学过程(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的（二）问题情境导入问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
青岛版八年级上册数学《可化为一元一次方程的分式方程》PPT教学课件(第1课时)
可化为一元一次方程的分式方程 第2课时
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多 做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的 时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
请审题分 析题意设元
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x－6）个零件，
依题意得：
90 60 , x x6
这个方程有何特点？ 特点：方程两边的代数式是分式. 或者说未知数在分母上的方程.
分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特点： （1）含有分式 ； （2）分母中含有未知数； （3）是等式.
判断下列说法是否正确：
(1) 2x 3 5是分式方程 2
(2)
3 4 是分式方程
44x x 3
(3) x2 1是分式方程 x
(4) 1 1 是分式方程 x1 y1
（× ） （√ ） （× ） （√ ）
分式方程的解法
80 60 x3 x3
分式方程
两边都乘以最简公分母 (x+3)(x-3) 得方程
两边乘以 最简公分
母
80(x 3) 60(x 3).
解这个整式方程得 x 21.
验x=5是所列分式方程的根，故x=5.
答案：5
2.（江西·中考）解方程：
x x
2 2
4 x2
4
1
【解析】方程两边同乘以 x2 4 ，得 (x 2)2 4 x2 4
解得x=3
检验：x=3时，x2 4 ≠0 所以，x=3是原分式方程的解.
3.当m为何值时，去分母解方程
x
2
2
mx x2 4
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出等量关系.
3.7.1可化为一元一次方程的分式方程课件 青岛版数学八年级上册
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
1
(1) 2; 分式方程
x
x
(2)
2;
x2
1
x4
(3) ( x 3) 2
; 整式方程
4
3
1
4
2
(4)
2 ; 分式方程
x 1 x 1 x 1
2 x x4
(5)
0;整式方程
3
5
xm
xm
(6)
2
. 整式方程
简称：
一化,
二解方程的解(增根)
课本 P103、105
同步练习册
解： 方程两边都乘最简公分母（x2-1），得
3=2(x-1)-(x+1)
一转化
解得 x=6
二求解
经检验，x=6是原方程的根.
三检验
∴ x=6是原方程的解。
四结论
1.分式方程
6
2−1
2.把分式方程
−
1
−2
2
+1
-
=
1−
−2
3
−1
两边同时乘以 (x+1)(x-1)
化为整式方程.
=1的两边同时乘以 (x-2) ，约去分母，得（
3、这个问题中的等量关系是什么？
4、选择哪个等量关系，可以得到关于未知数x的方程？
100
设采用新工艺前，王师傅每天焊接x个工件，采用新工艺前王师傅工作了 ____
310−100
天，采用新工艺后，每天加工____个工件，加工剩余的工件用了__
__天。
1.5x
1.5
等量关系是： 焊接100个工件用的时间+焊接剩余工件用的时间=8天
16.3.1可化为一元一次方程的分式方程1
分式方程的解法： 解下列分式方程 = 4 . x - 2 x2 - 4
分式没有意义. ∴ x=2不是原分式方程的根，应当舍去，原分式方程无解.
强调：因为解分式方程时可能会产生增根，所以解分式方程必须检验。
可化为一元一次方程的分式方程
方程两边同乘各个分式的最简公分母
一元一次方程
求解
一元一次方程的解
检验
把求得的未知数的值代入最简公分母中，若它的值不等于0，则这 个解是原分式方程的根；若它的值等于0，则是增根，应舍去，原分式 方程无解.
第16章
16.3.1
分式
可化为一元一次方程的分式方程
将下列分式通分： 注意：通分的关键是
确定几个分式的最简
公分母。
各分母系数的最小公倍数，含 有的所有因式的最高次幂。所得的 系数与各字母（或因式）的最高次 幂的积即为最简公分母。
甲乙两人制做某种零件，已知甲每小时比乙可多做2个，甲做40个所 用时间与乙做30个所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？
思考探究：如设甲每小时做x个零件，那么乙每小时做(x-2)个。
甲做40个所用的时间为： 乙做30个所用的时间为：
根据题意,本题出现了关于分式的计算， 你认为该怎样来进行解答呢？
分式方程：
甲乙两人制做某种零件，已知甲每小时比乙可多做2个，甲做40个所 用时间与乙做30个所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？
思考探究：如设甲每小时做x个零件，那么乙每小时做(x-2)个。
根据题意，可列出方程：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
以前学过的分母不含有未知数的方程叫做整式方程.
分式方程： A
分式方程的解法：
分式方程
解：两边都乘以最简公分母 x(x-2)，约去分母， 得
可化为一元一次方程的分式方程》教案
可化为一元一次方程的分式方程》教案教学目标：1、让学生理解分式方程的含义，掌握解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤。
2、使学生了解增根的概念，知道解分式方程需要验根并掌握验根的方法。
3、让学生领会“转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解。
4、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。
一、问题情境导入问题：一艘轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
读题、审题、设元、列方程。
二、实践与探索1：分式方程的概念分析]：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得frac{80}{x+3}=\frac{60}{x-3}$$方程(1)有何特点？概括]方程(1)中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程。
提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？辨析：判断下列各式哪个是分式方程。
1) $2x+3=5$；(2) $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x^2-1}$；3) $\frac{1}{x-1}$；(4) $\frac{2x+1}{x-2}=\frac{x-1}{x+1}$；(5) $\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程。
学生观察分析后，发表意见，达成共识。
根据分式方程的概念进行判定，加深对分式方程概念的理解。
三、实践与探索2：分式方程的解法1、思考：怎样解分式方程呢？为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？方程(1)可以解答如下：方程两边同乘以(x+3)(x-3)，约去分母，得80(x-3)=60(x+3)。
可化为一元一次方程的分式方程知识讲解
可化为一元一次方程的分式方程知识讲解一元一次方程是指方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的方程。
分式方程是含有分式的方程。
将一个分式方程化为一元一次方程的过程叫做“分式方程的通分运算”。
先来看一个简单的分式方程：$$\frac{3}{x} - \frac{2}{x+1} = 5$$我们的目标是将这个方程化为一元一次方程。
首先，我们需要通分。
分母相同的两个分式，我们可以直接将分子相减。
对于这个例子，我们可以通分得到：$$\frac{3(x+1)}{x(x+1)} - \frac{2x}{x(x+1)} = 5$$下一步，我们将分数转换成整数，将分子乘以分母的倒数。
得到：$$\frac{3x+3 - 2x}{x(x+1)} = 5$$再化简得到：$$\frac{x+3}{x(x+1)} = 5$$再进一步，可以将分式转化为乘法：$$(x+3)(5)=x(x+1)$$展开并合并同类项，得到一元一次方程：$$5x+15=x^2+x$$通过整理，可以将方程化为标准形式：$$x^2+x-5x-15=0$$得到一元一次方程：$$x^2-4x-15=0$$这就是最终化简得到的一元一次方程。
这个方程可以通过求解，得到未知数x的值。
总结分式方程化为一元一次方程的步骤如下：1.通分，使分母相同。
2.将分子相减或相加。
3.将分数转换为整数，将分子乘以分母的倒数。
4.化简，将分式转换为乘法。
5.展开并合并同类项，得到一元一次方程。
6.整理方程，将方程化为标准形式。
下面我们来看一个更复杂的例子：$$\frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} - \frac{4}{x+2} = 2$$首先，我们通分得到：$$\frac{2(x-1)(x+2)}{x(x-1)(x+2)} + \frac{3x(x+2)}{x(x-1)(x+2)} - \frac{4x(x-1)}{x(x-1)(x+2)} = 2$$整理后可得：$$\frac{2(x-1)(x+2) + 3x(x+2) - 4x(x-1)}{x(x-1)(x+2)} = 2$$继续化简得到：$$\frac{2x^2 - 2 + 3x^2 + 6x - 4x^2 + 4x}{x(x-1)(x+2)} = 2$$合并同类项，得到一元一次方程：$$\frac{x^2 + 10x - 2}{x(x-1)(x+2)} = 2$$继续化简得到：$$(x^2+10x-2)(2)=x(x-1)(x+2)$$展开并合并同类项，得到一元一次方程：$$2x^2+20x-4=x^3+x^2+2x^2-2x$$整理得到标准形式：$$x^3-x^2-22x+4=0$$这就是将分式方程化为一元一次方程的过程。
可化为一元一次方程的分式方程
可化为一元一次方程的分式方程【教材研学】一、可化为一元一次方程的分式方程的解法1．数字系数分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程求解．去分母即在方程两边同乘以最简公分母，若分母可以分解因式，应首先分解．由整式方程得到的解，需代人最简公分母中检验，使最简公分母不为零的解，才是原方程的解；使最简公分母为零的解，是原方程的增根，应舍掉．2．含有字母系数的分式方程的解法此类方程与数字系数分式方程的解法基本相同，只是在系数化为1时．要讨论系数是否为零．3．增根增根的产生是由于在去分母时，方程两边同乘的整式恰好为零所致．是方程变形造成的，不是解题错误．方程的增根不是分式方程的根．但是增根是变形后所得到的整式方程的根．4．分式方程有增根与无解的关系不仔细推敲，会认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事．事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程变形后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，即这个根使最简公分母为0．比如：方程23132--=--xx x ，可解得：x=3，而x=3是原方程的增根，此方程无解．本题中，分式方程有增根，方程无解，但并不是说只要有增根方程就无解，等大家进入高年级，学习了更多的知识，会发现有增根的分式方程并不全是无解的．问题：若关于x 的方程m x m x =-+3无解，求m 的值。
探究：（1）将分式方程去分母，整理为：（1一m）x＝一4 m．①当1一m=0，而4m≠0时方程无解．此时，m=l （依据是形如ax=b的方程在a=0，b≠0时无解）（2）如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，原分式方程无解．根据这种思路，可先确定增根后，再求m的值．原方程若有增根，增根为x＝3，把x＝3代入方程①中，求出m＝一3．综上所述，m＝1或m＝一3时，原分式方程无解．而此分式方程有增根时，m＝一3．结论：通过本例可以发现，（1）现阶段学习的分式方程有增根时，一定无解；（2）分式方程无解，可能是因为有增根，也可能是由分式方程转化所得的整式方程ax=b中的a=0、b≠0造成的．三．分式方程的应用1．列分式方程客观世界中存在大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题．此类题目接近生活，取材广泛，做题时，要注意题目的情境，弄清是行程问题、增长率问题等中的哪一类，当然也有一些跨学科的综合题，比如：杠杆问题等，无论哪一类都要根据相关的基本量寻找关系．2．列分式方程解应用题的一般步骤：①弄清题意；②设未知数，列出有关的代数式；③依题意找等量关系，列出分式方程；④解方程；⑧检验：一方面要检验所求出的解是否为原方程的根，另一方面还要检验所求的解是否符合实际意义；⑥答。
可化为一元一次方程的分式方程 教案
沪教版七年级第一学期《可化为一元一次方程的分式方程》教案数学与应用数学（师范）世承班徐张帆 1一、教学目标1.知识与技能：了解分式方程的定义，掌握将分式方程化为一元一次方程求解的方法，理解增根的产生原因，掌握验根方法。
2.过程与方法：通过先自己寻找解分式方程的方法，再总结一般步骤，体会从特殊到一般的思想方法，了解化归思想，通过学习验根的过程，体会数学的严谨性。
3.情感态度价值观：通过自己探究解决方法，再概括一般方法的过程，提高探究意识和概括能力，通过解决实际应用问题，体会数学源于生活用于生活，提高学习兴趣。
二、教学重难点1. 重点：将分式方程转化为整式方程的思想和方法（即去分母）。
由于学生要用化归的思想方法解方程，所以这样的思想方法是课堂上要着重说明的，在步骤中就体现为去分母这一步为什么要去怎么去去分母之后方程会化为什么形式2. 难点：分式方程增根产生的原因及验根过程。
难点在于学生第一次接触到增根这个概念，学生的思维还不够严谨，所以难以理解增根，也容易忘记验根。
为攻破难点，课堂上一方面应该讲清楚增根是如何产生的，以及验根的必要性；另一方面应该在讲解习题时要不断强调验根的过程和方法。
三、教学用具PPT（展示例题）、黑板四、教学过程（一）情景引入，感受新知【例】小白和小绿一起雕刻水仙花，小绿每天比小白少雕刻1个水仙花，小白雕刻4个水仙花的时间，与小绿雕刻3个水仙花的时间相同，问小白和小绿每天分别能雕刻几个水仙花【复习】列方程解应用题步骤：① 找等量关系：小白雕刻4个水仙花的时间=小绿雕刻3个水仙花的时间② 写设句：设小白每天雕刻x 个水仙花，小绿每天雕刻(x-1)个水仙花。
③ 列方程：④ 解方程⑤ 写答句 （二）自主探究，理解概念1. 分式方程的概念【提问】这个方程是我们之前学过的一元一次方程吗哪里不一样（预设回答：分母中有未知数）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程以前学过的像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含有未知数的方程叫整式方程。
湘教版数学八年级上册1.5可化为一元一次方程的分式方程课件
解得
x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是
原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
x
x 1
2.
4. 解方程：
x 1
x
2
x
( x 1)( x 1) 2 x( x 1).
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
学习目标
1.理解分式方程的概念；
2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；（重点）
3.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.
（难点）
4.理解数量关系正确列出分式方程.（难点）
5.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决
实际问题.（重点）
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
议一议
分式方程
25
−
30
1.5
=
1
6
的分母中含有未知数，我们该如何来求解呢？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
“去分母”
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
2 = 8
2 = 0
=4
=0
经检验 = 0是原方程的解，
∴原分式方程的解是 = 0 ；
经检验 = 4是原方程的解，
∴原分式方程的解是 = 4.
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
3.解方程
x
可化为一元一次方程的分式方程
可化为一元一次方程的分式方程一元一次方程的分式方程是一类有用的数学方程式，它可以通过将一元多项式分式化来解决复杂的表达式问题。
它的基本形式是：a/b = c，用分数的形式表示。
该方程的本质是变形，我们可以把它化成一元一次方程来解决。
首先，我们可以利用乘法来变换这个分式方程。
首先，我们将二分之一乘以a变成a/2，然后再乘以c，得到a/2 * c = b。
这样，就将分式方程变成一元一次方程a/2 * c - b = 0，即a/2c - b = 0。
接下来，我们可以利用反相法将这个方程进一步化简。
首先，我们可以把a/2c乘以2，变成2a/2c，然后用2a减去2b，得到2a/2c - 2b = 0。
这样，就将分式方程变成了一元一次方程2a - 2b = 0，即2a - 2b = 0。
最后，我们可以将这个方程进一步化简。
首先，我们可以把2a 除以2，变成a，然后用a减去b，得到a - b = 0。
这样，就将分式方程变成了一元一次方程a - b = 0，即a - b = 0，这就是最终的结果。
总之，一元一次方程的分式方程是一类重要的数学方程，它的基本形式是：a/b = c，用分数的形式表示。
我们可以通过乘法和反相法将这个方程变换为一元一次方程，从而解决复杂的表达式问题。
而且，这种变形的方法也可以应用在多元方程的解决中，这样就可以让复杂问题变得更加容易处理。
从上面的讨论可以看出，一元一次方程的分式方程是一类具有重要意义的数学方程式。
它不仅可以用来解决简单的表达式问题，而且也可以应用在多元方程中，让复杂问题变得更加容易处理。
因此，一元一次方程的分式方程受到广泛的应用，不管是在数学领域还是其他领域。
可化为一元一次方程的分式方程(讲课)
分式方程的解也叫作分式方程的根.
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
怎样解分式方程
如 何 解 这 个方 程 ？
通过前面回顾一元一次方程的解法，若有分母，应先去分母， 所以此题可通过去分母，将分式方程转化为一元一次方程来求解.
4、检验
5、下结论
方程两边都乘以最简公分母
解得x=c
把x=c代入最简公分母检验
1、找最简公分母
各分母的最简公分母
当堂检测
课后延伸：
3.
4.
5.
【重点难点】：
使学生领会“ 转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解. 培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。
学习目标
辨析：判断下列哪些是整式方程， 哪些是分式，剩下的是什么呢？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
分析：根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是这一节课我们要学习的分式方程．
分析：去分母，将分式方程转化为整式方程，方程的每一部分都要乘最简公分母.
解：方程两边同乘 得
化简得 4x = 4
x = 1 不是原分式方程的解，原分式方程无解
解得 x = 1
检验：当 x =1时
小结
本节课的重点就是解可化为一元一次方程的分式方程的解法，其步骤为：
2、去分母
3、解整式方程
下结论.
解分式方程的步骤
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的检验.
【初中数学精品资料】可化为一元一次方程的分式方程
年 级 初二学科数学内容标题 可化为一元一次方程的分式方程 编稿老师丁国迎一、学习目标：1. 理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.2. 理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.3. 领会“转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.二、重点、难点：1. 会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.2. 利用分式方程组解决实际问题.3. 列分式方程表示实际问题中的等量关系.三、考点分析：分式方程及其实际应用是初中阶段数学学习的重点.据近几年中考对分式方程的考查主要是选择题、填空题，分值一般在3～5分，在计算题和解答题中，其分值一般在5～8分.知识点一：分式方程例1. 解方程：12112-=-x x . 思路分析：题意分析：本题考查解分式方程. 解题思路：把分式方程化为整式方程.解答过程：方程两边同乘以（x 2－1），约去分母，得x ＋1＝2.解这个整式方程，得x ＝1.把x ＝1代入x 2－1得0，所以原方程无解.解题后的思考：解到x ＝1，我们能不能说x ＝1就是原分式方程的解（或根）呢？细心的同学可能会发现，当x ＝1时，原分式方程左边和右边的分母（x －1）与（x 2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x ＝1不是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.例2. 解方程：（1）730100-=x x ； （2）21212339x x x +=+--； （3）()b a xb b x a a ≠+=+11（未知数为x ）.思路分析：题意分析：本题考查解分式方程.解题思路：（1）首先将分式方程去分母化为整式方程.（2）注意应先分解因式找到最简公分母.（3）注意a 、b 为常数，可将其当成已知数去分母解分式方程. 解答过程：（1）方程两边同乘以x （x －7），约去分母，得100（x －7）＝30x .解这个整式方程，得x ＝10.检验：把x ＝10代入x （x －7），得10×（10－7）≠0所以，x ＝10是原方程的解. （2）121233(3)(3)x x x x +=+-+- 方程两边同乘以（x ＋3）（x －3），得x －3＋2（x ＋3）＝12x －3＋2x ＋6＝123x ＝9 x ＝3经检验：x ＝3是原方程的增根，所以原方程无解. （3）两边同乘以abx ，得bx ＋a 2b ＝ax ＋ab 2bx －ax ＝ab 2－a 2b （b －a ）x ＝ab （b －a ） ab x =（（解析：0≠-b a ） 经检验：x ＝ab 是原方程的解.解题后的思考：解可化为一元一次方程的分式方程，也是以一元一次方程的解法为基础，只是需把分式方程化成整式方程，学习中应注意新旧知识的联系与区别，注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法.至于解分式方程时产生增根的原因同学们了解就可以了，重要的是掌握验根的方法.要使学生掌握解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程，具体的方法是“去分母”，即方程两边同乘以最简公分母.例3. k 取何值时，方程xx k xx x x +=+-+2112会产生增根？思路分析：题意分析：本题考查分式方程的根的情况.解题思路：若分式方程产生增根，则公分母的值为零.解答过程：原分式方程可化为整式方程：k x x =--122，若原分式方程产生增根，则增根是使公分母为零的x 的值（0或1-），令x 0=，则1-=k ，令1-=x ，则2=k . 解题后的思考：分式方程产生增根的原因是：把分式方程转变为整式方程后扩大了x 的取值范围，所以产生增根，但增根仍是整式方程的解.小结：解分式方程的一般步骤：在方程的两边同乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原分式方程的根；若结果是0，说明此根是原分式方程的增根，必须舍去．知识点二：列分式方程解应用题列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； （4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； （5）写出答案（要有单位）.例4. 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？ 思路分析：题意分析：本题考查列分式方程解应用题.解题思路：（1）如何设元，（2）题目中有几个相等关系？（3）怎样列方程（时间单位要统一）.读题、审题、设元、找相等关系列方程.本题有两个相等关系：（1）甲速＝2乙速，（2）甲时＋120＝乙时，其中（1）用来设元，（2）用来列方程. 解答过程：设乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则甲每分钟能输入2x 名学生的成绩，根据题意得x 22640＝6022640⨯-x. 解得 x ＝11.经检验，x ＝11是原方程的解.并且x ＝11时，2x ＝2×11＝22，符合题意. 答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.解题后的思考：注意：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验其是否符合题意.例5. 购一年期债券，到期后本利共获2700元，如果债券的年利率为12.5%，那么利息是多少元? 思路分析：题意分析：本题考查分式方程的应用.解题思路：本利＝本金＋利息，利息＝本金×利率. 解答过程：设利息为x 元，则本金为（2700－x ）元，依题意列分式方程为：%.%xx5121002700=⨯-解此方程得 x ＝300经检验x ＝300为原方程的根 答：利息为300元.解题后的思考:此题是一道与实际生活相结合的问题，同学们应当学会观察生活，我们的身边到处存在着数学，日常生活中的很多问题，如存款问题、打折问题、交费问题（电费、水费、电话费）都可改编成应用问题.例6. 某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成； （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 思路分析：题意分析：本题考查分式方程的应用.解题思路：本题是一道工程问题的应用题，基本关系是：工作量＝工作效率×工作时间.题中没有具体的工作量，工作量可虚拟为1，工作的时间单位为“天”.等量关系是：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（2）甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成 解答过程：设甲队工作x 天完成任务，则乙队工作（x ＋5）天完成任务20520455415451142==++=++=+-+++x xx )x (x x )x (x x )x x (经检验可知：x ＝20是原方程的根.x ＋5＝25所以甲队独做需20天完成任务，乙队独做需25天完成任务. 方案一：需工程款305.120=⨯万元 方案二：不能如期完成任务，故不可行. 方案三：需工程款281.1205.14=⨯+⨯万元 所以方案三最节省工程款.解题后的思考：列分式方程解应用题的一般步骤：注意分析题目中的数量，分清哪些是未知数，哪些是已知数，再找出这些数量间的关系，尽量找出多的数量关系，一般地，其中一个用来设立未知数，另一个用来列方程.例7. 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款，购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60支，那么可按批发价付款，同样需要120元，（1）八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6支与按零售价购买5支的款项相同，那么小明所在学校八年级的学生有多少人？ 思路分析：题意分析：本题考查分式方程的应用与不等式.解题思路：如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，说明八年级的学生数小于等于300人，如果多购买60支，那么可按批发价付款，说明八年级的学生数加60大于300.则小明所在学校八年级的学生总数的范围应在240到300人之间，若按批发价购买6支与按零售价购买5支的款项相同，则这个等量关系可用来设立未知数解答过程：（1）小明所在学校八年级的学生总数的范围应在大于240人小于等于300人之间.（2）方法一：设用零售价买一支铅笔用6x 元，用批发价买一支铅笔用5x 元3006120526151120180018007206006051206120====-=-=xx x x x xx经检验，可知x ＝151是原方程的解. 答：小明所在学校八年级的学生有300人.方法二：设小明所在学校八年级学生有x 人3003600012036000 720600720 36000600720 6060060120 6120 5=-=--=-=+=++⨯=⨯xxxxx xx)x(xx经检验，可知x＝300是原方程的解答：小明所在学校八年级的学生有300人.解题后的思考：方法一是从学生人数入手找到等量关系，利用比值设未知数.方法二是从钱数入手，直接设学生数为未知数.在解应用题时应从多方面考虑问题，一般情况下问什么设什么，但有时设不同的未知数可能会起到事半功倍的效果.例8.面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动扩大内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买入选产品，政府按原价购．买总额的．．．．13%．．．给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱的总额为40000元、电视机的总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买了多少台.（1）设购买电视机x台，依题意填充下列表格：项目家电种类购买数量（台）原价购买总额（元）政府补贴返还比例补贴返还总金额（元）每台补贴返还金额（元）冰箱40000 13%电视机x15000 13%思路分析：题意分析：本题考查分式方程的应用.解题思路：由题意已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，可设购买电视机的数量为x，冰箱的数量为2x.另外表中各信息也是重要的信息.解答过程：（1）2x400013%4000013%⨯或52004000013%2x⨯或52002x或2600xx15000 13% 15 000×13%或19501500013%x⨯或1950x（2）依题意得4000013%2x ⨯－1500013%65x⨯=解得10x =经检验，10x =是原分式方程的解220x ∴=．答：电视机购买了10台，冰箱购买了20台. 解题后的思考:此题是中考应用题中的新题型，此类题题目较长，信息量较大，有时还附有表格或图形，考查同学们分析问题、解决问题的能力，是近几年中考的热点题型. 小结：列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； （4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； （5）写出答案（要有单位）.1. 解分式方程的一般步骤：在方程的两边同乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去.2. 设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础.可多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须进行双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.（答题时间：60分钟）一、选择题1. 在下列方程中，关于x 的分式方程的个数有（ ） ①0432212=+-x x ；②4=a x ；③;4=x a④;1392=+-x x ⑤;621=+x ⑥211=-+-ax a x . A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个 2. 关于x 的方程4332=-+x a ax 的根为x ＝1，则a 应取值（ ）A . 1B . 3C . －1D . －33. 方程xx x -=++-1315112的根是（ ）A . x ＝1B . x ＝－1C . x ＝83D . x ＝2 4. ,04412=+-x x 那么x2的值是（ ） A . 2 B . 1 C . －2 D . －15. 下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ）A .11211-++=-x x x 去分母得，1)2)(1(1-+-=+x x x ； B . 125552=-+-x x x ，去分母得，525-=+x x ；C . 242222-=-+-+-x x x x x x ，去分母得，)2(2)2(2+=+--x x x x ； D . ,1132-=+x x 去分母得，23)1(+=-x x6. 赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是（ ）A . 21140140-+x x ＝14 B .21280280++x x ＝14 C . 21140140++x x ＝14D . 211010++x x ＝1 二、填空题7. 满足方程：2211-=-x x 的x 的值是________. 8. 当x ＝________时，分式xx ++51的值等于21.9. 分式方程0222=--x xx 的增根是 . 10. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前________小时到达.11. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为 .12. 已知,54=y x 则=-+2222y x y x . 三、解答题13. 解下列方程 （1）xxx --=+-34231（2）2123442+-=-++-x x x x x 14. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期内完成，若乙队单独做，则要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？15. 在一次军事演习中，红方装甲部队按原计划从A 地向距离150km 的B 地的蓝方一支部队直接发起进攻，但为了迷惑蓝方，红方先向蓝方另一支部队所在的C 地前进，当蓝方在B 地的部队向 C 地增援后，红方在到达D 地后突然转向B 地进发.一举拿下了B 地，这样红方比原计划多行进了90km ，且实际进度每小时比原计划增加了10km ，正好是原计划所用时间的65达到B 地，试求红方装甲部队的实际行进速度.（由于实际地形条件的限制，速度不能超过每小时50km ）一、选择题1. B （解析：关键是看方程里是否含有分母，分母里是否含有未知数x ，故③④⑤入选）.2. D （解析：先把x ＝1代入方程得43132=-+a a ，解得3-=a ，故选D ）. 3. C4. B （解析：把x 2看作一个整体，原方程转化为：（1－0)22=x ，解得x2＝1）.5. D （解析：A 去分母时漏乘，B 、C 去分母没变号，故选D ）.6. C （解析：本题的等量关系为“两周借期内读完”，设他读前一半时平均每天读x 页，则他读后一半时每天读（x ＋21）页，他读前一半所用的时间为x140天，读后一半所用的时间为21140+x 天，又因为要在两周借期内读完，因此列方程：21140140++x x ＝14）. 二、填空题7. 08. 3 （解析：根据题意得x x ++51＝21，解得3=x ）. 9. 2=x （解析：分式方程有增根说明02=-x ，即2=x ）.10. 212v v t v +11. 3215315-=x x（解析：本题的等量关系是汽车所用的时间＝自行车所用时间－32小时）.12. 941- （解析：将54=y x 化为y x 54=代入原式即可）.三、解答题13. （1）1146246214)3(2134231=--=--=-+-=-+--=+-x x x x x x x x xx 经检验，可知x ＝1，是原方程的解. （2）1886423523654)2)(1()2)(3(4212344222-=-=--=++-=+++--=++++-=-++-x x x x x x x x x x x x x x x x x 经检验，可知x ＝－1是原方程的根.14. 解：设完成该工程的规定日期为x 天， 根据题意得，132=++x x x ， 解得x ＝6，经检验，6=x 是原分式方程的根.答：规定日期是6天.15. 解：设红方装甲部队的实际行进速度为每小时xkm ，由题意得xx 901506510150+⋅=- 解这个方程得40=x ，经检验，40=x 是原方程的解，但实际条件限制4050=∴≤x ,x 符合题意.。
可化为一元一次方程的分式方程分式方程及其解法
物体加热或冷却的过程。
工程问题
01
02
03
建筑设计
在建筑设计领域，分式方 程可以用来优化设计方案， 例如，计算建筑物的最佳 尺寸和比例。
机械设计
在机械设计中，分式方程 可以用来分析机器的性能 和效率，例如，计算齿轮 的转速和扭矩等。
电子工程
在电子工程中，分式方程 可以用来描述电路的工作 状态，例如，计算电流、 电压和电阻等。
解的验证
验证解的有效性
在得到分式方程的解后，应进行验证，确保解是有效的并且满足原方程。
考虑特殊情况
在验证解的过程中，应考虑特殊情况，如分母为零、无穷大等情况，以确保解 的全面性和准确性。
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分子有理化的方法是将分子与适当的表达式相乘，以消去根号或使分数形式简化。
分子有理化有助于简化方程，使其更容易求解。
03 可化为一元一次方程的分 式方程
方程的转化
1 2
将分式方程化为整式方程
通过通分、消去分母，将分式方程转化为整式方 程。
展开整式方程
将整式方程展开，整理成标的解
02
对代回后的分式方程进行化简，得到最终的分式方程的解。
检查解的合理性
03
对求出的分式方程的解进行检验，确保其满足原分式方程的定
义域和值域条件。
04 分式方程的解法
公式法
定义
公式法是一种通过对方程进行整 理，将其转化为标准的一元二次 方程，然后利用一元二次方程的 解公式来求解分式方程的方法。
定义域问题
确定分母不为零的解
在解分式方程时，需要特别注意定义 域问题，确保分母不为零，否则会导 致无解或解不合法。
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例3:解方程: 解(略)
随堂练习: P57练习
小结:解分式方程的一般步骤：
1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．
概 括:上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1解方程:
解:方程两边都乘最简公分母x(x-2),得
5x=3(x-2)
解这个一元一次方程,得
x= -3
检验:把x= -3带入原方程的左边和右边,得
(三)德育渗透点：转化的数学思想.
(四)美育渗透点：通过本节的学习,进一步渗透化归的数学美
教学重点
分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想的渗透
教学难点
了解产生增根的原因,掌握验根的方法
教学程序
(一)课堂引入
1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程
2．提出P53的问题
李老师的家离学校3千米,某一天早晨7点30分,她离开家骑自行车去学校.开始以每分钟150米的速度匀速行驶了6分钟,遇到交通堵塞,耽搁了4分钟;然后她以每分钟v米的速度匀速行驶到学校.设她从家到学校总共花的时间为t分钟.
骥村镇中学导学案
备课日期：年月日星期：学科：备课人：审核人：
课题
2.5.1可化为一元一次方程的分式方程
教学目标
(一)知识教育点：1理解分式方程的意义,掌握分式方程的一般解法.
2了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握验根的方法.
(二)能力训练点：1培养学生的分析能力.2训练学生的运算技巧,提高解题能力.
2．解这个整式方程．
3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．作业: P60第1题
时量
方法与措施
教学反思
观察(2)有何特点？
概括]方程（2）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
辨析：判断下列各式哪个是分式方程．
(1)；(2)；(3)(4)；(5)
根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．
1、思 考:怎样解分式方程呢？
这节课我们就来研究一下怎样解一个分式方程.(板书:可化为一元一次方程的分式方程)
左边= ,右边= =-1
因此x=-3是原方程的解
例2解方程:
解:方程两边都乘最简公分母(x+2)(x-2),得
x+2=4
解这个一元一次方程,得
x=2
检验:把x=2代入原方程的左边,得
左边=
由于0不能作除数,因此 不存在,说明x=2不是分式方程的根,从而原分式方程没有根.
注意：由于分式方程转化为一元一次方程过程中，要去掉分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.为了解决本问题来自请同学们先思考并回答以下问题：
1）回忆一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？
2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？
上面的例子可以整理成: 10=
两边乘以v,得10v=2100
两边除以10,得v=210
因此,李老师想在7点50分到达学校,她在后面一段的路上骑车速度应为每分钟210米.
问: (1)写出t的表达式;
(2)如果李老师想在7点50分到达学校,v应等于多少?
分析:①李老师在遇到交通堵塞时,已经走了多少米?还剩下多少米?
②剩下的这一段路需要多少分钟?
③如果李老师想在7点50分到达学校,那么她从家到学校总共花的时间t等于多少?
由此可以得出:
(1)t的表达式t=6+4+
(2)v应满足20=6+4+