解直角三角形及其应用
《28.2解直角三角形及其应用》教案
一、教学内容
本节课选自八年级下册《28.2解直角三角形及其应用》章节。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握解直角三角形的方法，包括正弦、余弦和正切的定义及运用。
2.了解解直角三角形在实际问题中的应用，例如测量物体的高度、距离等。
具体内容包括：
（1）回顾锐角三角函数的定义，学习正弦、余弦、正切的概念。
2.加强对难点内容的讲解和练习，帮助学生克服理解上的困难。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的团队协作和沟通能力。
4.提高学生的实践操作能力，让他们在动手实践中加深对知识的理解。
在接下来的教学中，我会根据今天的反思，不断调整和优化教学方法，以期提高学生们的学习效果。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-难点三：在解决实际问题时，学生可能不知道如何选择合适的三角函数进行计算。教师应通过典型例题，教授学生分析问题、选择合适三角函数的方法，并强调在实际应用中灵活运用三角函数的重要性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《28.2解直角三角形及其应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量旗杆高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
解直角三角形及其应用说课稿
解直角三角形及其应用说课稿解直角三角形及其应用说课稿1一、教材分析（一）、教材的地位与作用本节是在掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等有关知识的基础上，能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形。
通过本小节的学习，主要应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题。
从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。
它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。
它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（数学建模、转化化归），在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
（二）教学目标：1、知识与技能：使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角（直角三角形两锐角互余），边与边（勾股定理），边与角（三角函数）的关系，完成解直角三角形。
2、过程与方法：从复习直角三角形相关性质和锐角三角函数入手，让学生对直角三角形的必备知识做一个必要的回顾，然后通过实例引出利用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形。
3、情感态度与价值观：让学生经历从实际问题中提炼出数学问题的过程，培养学生在生活中应用数学的习惯及数学的兴趣。
（三）教学重难点：1、重点：会利用已知条件解直角三角形。
2、难点：根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。
二、教法设计与学法指导（一）、教法分析本节课采用的是“探究式”教法。
在以最简洁的方式回顾原有知识的基础上，创设问题情境，引导学生从实际应用中建立数学模型，引出解直角三角形的定义和方法。
接着通过例题，让学生主动探索解直角三角形所需的最简条件。
学生在过程中克服困难，发展了自己的观察力、想象力和思维力，培养团结协作的精神，可以使他们的智慧潜能得到充分的开发，使其以一个研究者的方式学习，突出了学生在学习中的主体地位。
教法设计思路：通过例题讲解，使学生熟悉解直角三角形的一般方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题能力。
（二）、学法分析通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况。
初中九年级数学 解直角三角形及其应用
0.1m)?
B
A
D
C
3海里内有暗礁，一艘客轮以每小
时9海里的速度由西向东航行，行
至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,
继续行驶20分钟后，到达B处，又
测得灯塔P在它的北偏东45°,问客
轮不改变方向，继续前进有无触礁
解：过P的点作危P险D垂？直于AB，交AB的延
P
长∵线∠于1＝D60∠2＝45°∴
在R°t△BDP∠PBD∠=P4AD=30°,∠PBD=45°
例l3.一铁路路基的l 横断面是等腰梯 形,路基顶部的宽为9.8米,路基高为 5.8米,斜坡与地面所成的角A为60 度.求路基低部的宽(精确到0.1米)
❖ 练习：热气球的探测器显示，从热 气球看一栋高楼顶部的仰角为30°， 看这栋高楼底部的俯角为60°，热 气球与高楼的水平距离为120m，这 栋高楼有多高？（结果精确到
3 山坡与地面成300的倾斜角，某人上坡走 60米，则他
（目标3） 上升 米，坡度是
D
C
4 如图已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面
的水平宽度为
A
B
3√3米，DC=4米，B=600，则
（1）斜坡AD 的铅直高度是
（2）斜坡AD 的长是 （3）坡角A的
（目标3） 6 如图从山 顶A望地面的C、D 两点，俯角分别时 A
α
练习： 如图，某飞机于空中A 处探测到目标C，此时飞行高 度AC=1200米，从飞机上看低 平面控制点B的俯角α=16031／，
练习 某人在A处测得大厦的仰角∠BAC
为300 ,沿AC方向行20米至D处,测得仰角 ∠BDC 为450,求此大厦的高度BC.
B
A 300
450
D
解直角三角形及其应用
01 Chapter定义30度45度60度030201特殊角的三角函数值03利用三角函数分析物理现象01利用三角函数求解直角三角形02利用三角函数制作图表三角函数的应用02 Chapter直角三角形锐角三角形钝角三角形定义利用勾股定理利用三角函数利用面积法解直角三角形的方法几何学在工程学中，解直角三角形被广泛应用于测量、设计和建造建筑物和桥梁等结构。
工程学物理学应用03 Chapter面积三角形面积定义一般三角形面积计算公式直角三角形面积计算公式计算公式为进一步计算三角形周长、判断三角形形状等提供基础数据。
应用数学学科中实际生活中04 Chapter01 020102构。
架等。
梁、道路等。
05 Chapter三角形全等如果两个三角形完全相同，即它们的对应边和对应角都相等，则称这两个三角形全等。
全等符号在数学中，我们用“≌”表示两个三角形全等。
定义01020304边边边定理（SSS）角边角定理（ASA）边角边定理（SAS）角角边定理（AAS）判定方法应用证明几何命题全等三角形是证明几何命题的有力工具，通过证明两个三角形全等，可以得到一些线段或角相等的关系。
计算距离在解直角三角形中，全等三角形可以帮助我们计算距离、高度、角度等。
构造全等在数学竞赛中，常常需要构造全等三角形来解决问题。
06 Chapter定义相似三角形相似比定义法两角对应相等两边对应成比例且夹角相等平行线分线段成比例判定方法测量可以利用相似三角形的原理进行距离、高度的测量和计算。
证明利用相似三角形的性质可以证明一些几何命题，如等腰三角形的判定、直角三角形的勾股定理等。
建筑设计在建筑设计中，可以利用相似三角形的原理进行构图和设计。
应用THANKS。
解直角三角形及其应用题目
解直角三角形是数学中的一个重要概念，它涉及到利用三角函数来求解三角形的未知元素。
在解直角三角形的问题中，我们通常知道三角形的一个锐角及其对应的两边（直角边和斜边），或者知道两个锐角和一边。
通过使用正弦、余弦和正切等三角函数，我们可以找到三角形的其他元素。
下面解直角三角形的题目示例：1、【题目】在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 5cm，BC = 4cm。
求AC 的长度。
【解析】利用勾股定理求解。
在直角三角形中，AC2= AB2–BC2。
代入已知数值，AC2 = 52– 42 = 9，所以AC = 3cm。
2、【题目】在直角三角形中，∠A = 30°，∠C = 90°，BC = 3cm。
求AB 的长度。
【解析】利用正弦函数求解。
sin A = BC/AB，所以AB = BC/sin A = 3/sin 30° = 6cm。
3、【题目】在直角三角形中，∠B = 45°，∠C = 90°，AC = 2cm。
求AB 的长度。
【解析】利用正切函数求解。
tan B = AC/BC，所以BC = AC/tan B = 2/tan 45° = 2cm。
因为∠B = 45°，所以AB = sqrt(2) * BC = 2sqrt(2)cm。
4、【题目】在直角三角形中，∠A = 60°，∠C = 90°，AB = 4cm。
求BC 和AC的长度。
【解析】利用余弦函数和勾股定理求解。
cos A = AC/AB，所以AC = AB * cos A = 4 * cos 60° = 2cm。
然后利用勾股定理，BC2 = AB2– AC2 = 16 - 4 = 12，所以BC = 2sqrt(3)cm。
5、【题目】一艘船以15节（海里/小时）的速度向正北方向航行。
同时，一股水流以5节的速度从东向西流过。
求船的实际航向和速度。
解直角三角形及其应用--知识讲解
解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边 (如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA ，PB ，PC 的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2016•包头）如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ． （1）若∠A=60°，求BC 的长； （2）若sinA=，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【思路点拨】（1）要求BC 的长，只要求出BE 和CE 的长即可，由题意可以得到BE 和CE 的长，本题得以解决； （2）要求AD 的长，只要求出AE 和DE 的长即可，根据题意可以得到AE 、DE 的长，本题得以解决． 【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE ﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ， ∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10， ∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．【总结升华】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵ AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ． 在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD ＝52， ∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB ＝525552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DE DB AD=，∴ 2AD DE DB =．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BEsin∠AEB＝32355452⨯=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE∽△DBC．(2)利用(1)的结论，将∠AEB转化为Rt△BCD中的DCB∠．(3)在Rt△ABE中求AB．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532， 在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。
直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。
本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。
一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。
通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。
例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。
二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。
在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。
直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。
通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。
三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。
然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。
通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。
四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。
例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。
通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。
五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。
例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。
通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。
六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。
通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。
这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。
解直角三角形的方法,步骤与应用
解直角三角形的方法,步骤与应用
几何学中最常见的形状之一是直角三角形，它的特点是一个锐角90度，三
条边均不等的三角形。
学习有关直角三角形的方法有助于理解和应用几何学。
一、如何确定一个三角形是直角三角形？
若要确定一个三角形是否为直角三角形，可以使用斜边-直角定理：如果一个
三角形的斜边的平方等于另外两边相加的平方，则此三角形正是直角三角形。
另外，我们可以使用勾股定理快速判断一个三角形是否为直角三角形，即两个直角边的平方等于对角边的平方。
二、如何确定一个直角三角形的高度？
要计算直角三角形的高度，可以使用直角三角形高度公式：高度=斜边×正弦
度数，其中斜边是三角形斜边的长度；正弦度数是三角形斜边相对应的角度，也就是直角相对应的角度。
三、直角三角形的应用
直角三角形在工程学、护理学、机械学、建筑学等领域都有广泛应用。
在工程学中，直角三角形可以用来计算坡度，从而实现控制俯仰角；在护理学中，直角三角形可以帮助计算肌肉拉伸时的牵力；在机械学中，直角三角形的绘制可以帮助机械工程师确定轴的夹角；在建筑学中，直角三角形可以帮助建筑师设计建筑物的外形和内部空间结构。
综上所述，学习有关直角三角形的方法有助于我们更好地理解几何学知识，并将其应用于各个领域。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计3
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计3一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节课主要让学生掌握直角三角形的性质，学会运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的边长关系和三角函数的概念，使学生能够理解直角三角形在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、勾股定理等知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，学生对直角三角形的应用可能还不够深入，需要通过实例分析和练习来提高。
此外，学生可能对锐角三角函数的概念和应用还不够熟悉，需要通过引导和讲解来帮助他们理解和掌握。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的概念。
2.学会运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数的概念及应用。
2.教学难点：勾股定理的证明和锐角三角函数的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形的性质和应用，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生思考和探索直角三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论和解决问题，提高学生的团队合作能力。
4.巩固练习：通过适量练习，使学生掌握勾股定理和锐角三角函数的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示直角三角形的性质和应用。
2.教学素材：准备相关的实际问题，用于引导学生解决实际问题。
3.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个直角三角形，引导学生回顾直角三角形的性质。
然后，提出问题：“你能用勾股定理解决直角三角形的问题吗？”让学生思考并回答。
2.呈现（15分钟）展示教材中的实例，引导学生分析直角三角形的性质和应用。
解直角三角形及其应用
2013年中考数学深度复习讲义- 1 - 解直角三角形及其应用◆备考兵法正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，•工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键．注意：（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角．（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形．（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，•从而转化为解直角三角形的问题．◆识记巩固1．直角三角形的边角关系：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边．（1）三边之间的关系：a 2+b 2=_____；（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=______；（3）直角三角形斜边上的中线等于_______；（4）在直角三角形中，30°角所对的边等于_______．2．解直角三角形的四种类型：已知条件解法 两条直角边a 、bc=______,tanA=______,∠B=_______. 一条直角边a 和斜边cb=______,sinA=_____,∠B=______. 一条直角边a 和锐角Ac=_______,b=_______,∠B=_______ 斜边c 和锐角A a=_______,b=_______,∠B=_______3．坡面的_________的比叫坡度i （•也叫坡比）•，•坡度越大，•坡面越陡；•坡面与______的夹角，用a 表示，tana=i=h l． 4．视线在水平线上方的角叫做_______；视线在水平线下方的角叫________．5．方向角：正北或正南方向与目标方向线所成的_______的角叫方向角，•常用“北偏东（西）××度”或“南偏东（西）××度”来描述．。
23.2 解直角三角形及其应用
23．2 解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形教学目标【知识与技能】在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．【情感、态度与价值观】在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用．重点难点 【重点】直角三角形的解法． 【难点】灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 教学过程 一、复习回顾师：你还记得勾股定理的内容吗？ 生：记得．学生叙述勾股定理的内容．师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？ 生：两锐角互余．师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？ 生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半． 师：很好！二、共同探究，获取新知 1．概念．师：由sin A ＝ac ，你能得到哪些公式？生甲：a ＝c ·sin A . 生乙：c ＝a sin A.师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．这些公式有一个共同的特点，就是式子的右端至少有一条边，为什么会是这样的呢？学生思考．生：因为左边的也是边，根据右边边与角的关系计算出来的应是长度．师：对！解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角，我们现在看看解直角三角形的概念．教师板书：在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形． 2．练习教师多媒体课件出示：(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形；师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？ 生1：根据cos 60°＝AC AB ，得到AB ＝ACcos 60°，然后把AC 边的长和60°角的余弦值代入，求出AB 边的长，再用勾股定理求出BC 边的长，∠B 的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B 为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB 的值，再由sin 60°＝BC AB得到BC ＝AB ·sin 60°，从而得到BC 边的长．师：你们回答得都对！还有没有其他的方法了？生3：可以求出AB 后用AB 的值和∠B 的余弦求BC 的长． 生4：可以在求出AB 后不用三角函数，用勾股定理求出BC .师：同学们说出这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形． 学生思考，计算．师：这两个题目中已经给出了图形，现在我们再看几道题．教师多媒体课件出示课本第124页例1. 师：你怎样解答这道题呢？先做什么？ 生：先画出图形．师：很好！现在请同学们画出大致图形． 学生画图．教师找一生说说解这个直角三角形的思路，然后让同学们自己做，最后集体订正． 解： ∠A ＝90°－42°6′＝47°54′. 由cos B ＝ac，得a ＝c cos B ＝287.4×0.7420≈213.3. 由sin B ＝bc得b ＝c sin B ＝287.4×0.670 4≈192.7.教师多媒体课件出示课本第125页例2.师：这道题是已知了三角形的两条边和一个角，求三角形的面积．要先怎样？ 学生思考．生：先画出图形．师：对，题中没有已知图形时，一般都要自己画出图形．然后呢？你能给出解这道题的思路吗？生1：先计算AB边上的高，以AB为底，AB边上的高为三角形的高，根据三角形的面积公式，就能计算出这个三角形的面积了．生2：还可以先计算AC边上的高，然后用三角形的面积公式计算这个三角形的面积．师：很好！我们现在讨论以AB为底时求三角形面积的方法，怎样求AB边上的高呢？教师找一生回答，然后集体订正．解：如图，作AB上的高CD.在Rt△ACD中，CD＝AC·sin A＝b sin A，∴S△ABC＝12AB·CD＝12bc sin A.当∠A＝55°，b＝20 cm，c＝30 cm时，有S△ABC＝12bc sin A＝12×20×30×sin 55°＝12×20×30×0.819 2≈245.8(cm2)．三、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．第2课时解直角三角形的应用(1)教学目标【知识与技能】使学生掌握仰角、俯角的概念，并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．【过程与方法】让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点难点【重点】将实际问题转化为解直角三角形问题．【难点】将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．教学过程一、创设情境，导入新知教师多媒体课件出示：操场上有一根旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．师：请同学们思考这个问题，想想他是如何计算的．学生思考，讨论．师：如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素，你能不能算出？生：能．师：很好！现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量，需要求的是什么量？生：已知了一个直角梯形的一条底边，一条腰长，并且容易算出它的一个内角，求它的另一底．师：对，那你知道小明是怎么算的吗？学生思考，交流．生：先把各个顶点用字母标出，然后作辅助线，构造直角三角形．教师找一生板演，并让他解释自己的思路．二、共同探究，获取新知1．讲解．师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线以下的角叫做俯角．注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．师：我们自己测量角时用什么工具啊？生：量角器．量：测量仰角、俯角也有专门的工具，是测角仪．2．练习新知．教师多媒体课件出示：(1)如图，∠C＝∠DEB＝90°，FB∥AC，从A看D的仰角是________；从B看D的俯角是________；从A看B的________角是________；从D看B的________是________；从B 看A的______角是________．师：你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗？ 生：能．教师找一生回答，然后集体订正得到：从A 看D 的仰角是∠2，从B 看D 的俯角是∠FBD ，从A 看B 的仰角是∠BAC ，从D 看B 的仰角是∠3，从B 看A 的俯角是∠1.教师多媒体课件出示：(2)如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α＝30°，测得乙楼底部D 的俯角β＝60°.已知甲楼的高AB ＝24米，求乙楼的高CD .学生看题思考．师：这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决，但现在还没有直角三角形呢，你怎样求？生：因为AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，所以过A 作AE ∥BD ，即有AE ⊥BD ，得到 Rt △ACE 和Rt △ADE ，确定仰角和俯角．已知AB ＝24米，可知DE ＝24米，可求出AE ，进而求出CE .教师作图．师：然后怎样做呢？老师找两生板演，其余同学在下面做，然后集体订正． 解：在Rt △AEC 中，∠AEC ＝90°，∠EAC ＝α＝30°. ∵tan α＝CE AE ＝CE 83，∴CE ＝83tan α＝83×tan 30°＝83×33＝8(米)． ∴CD ＝CE ＋DE ＝24＋8＝32(米)． 三、例题讲解教师多媒体课件出示课本第126页例3. 解：在Rt △ACD 中，∠ACD ＝52°，CD ＝EB ＝8 m. 由tan ∠ACD ＝ADCD，得AD ＝CD ·tan ∠ACD ＝8×tan 52°＝8×1.279 9≈10.2(m)． 由DB ＝CE ＝16 m 得AB ＝AD ＋DB ＝10.2＋1.6＝11.8(m)． 答：树高AB 为11.8 m.教师多媒体课件出示课本第127页例4. 解：设AB 1＝x m.在Rt △AC 1B 1中，由∠AC 1B 1＝45°， 得C 1B 1＝AB 1.在Rt △AD 1B 1中，由∠AD 1B 1＝30°，得tan∠AD1B1＝AB1D1B1＝AB1D1C1＋C1B1，即33＝x50＋x.解方程，得x＝25(3＋1)≈68.∴AB＝AB1＋B1B≈68＋1＝69(m)．答：电视塔的高度为69 m.四、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．第3课时解直角三角形的应用(2)教学目标【知识与技能】会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题．【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的思想方法．【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点难点【重点】解决有关坡度的实际问题．【难点】理解坡度的概念和有关术语．教学过程一、创设情境，导入新知师：在现实生活中，经常会有建筑大坝、修地基等，它们的截面上底和下底不是同样宽的，侧面是有斜坡的，且倾斜程度是不一样的，这些在设计图纸上都要注明，以便施工时遵循．教师多媒体课件出示：已知一个大坝的横截面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m)．学生思考．二、新课讲授1．回忆旧知识．师：我们先来回忆一下坡度与坡角的概念．学生看课本．老师作图：师：坡面的铅直高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的坡度或坡比，通常用小写字母i 表示，坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角，一般用α表示．坡度与坡角的关系是：坡度越大，坡角越大．2．例题讲解．教师多媒体课件出示课本第127页例5.分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C 到AB 航线的距离是否大于10 n mile. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝x n mile. 在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan ∠CAD ＝xtan 30°.在Rt △BCD 中，BD ＝CD tan ∠CBD ＝xtan 60°.由AB ＝AD －BD ，得AB ＝x tan 30°－x tan 60°＝20，即x 33－x3＝20，解方程，得x ＝103>10.答：这船继续向东航行是安全的． 教师多媒体课件出示课本第129页例6. 解：过点C 作CD ⊥AD 于点F ，得 CF ＝BE ，EF ＝BC ，∠A ＝α，∠D ＝β. ∵BE ＝5.8 m ，BE AE ＝11.6，CF DF ＝12.5， ∴AE ＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF ＝2.5×5.8＝14.5(m)． ∴AD ＝AE ＋FE ＋DF ＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)． 由tan α＝i ＝11.6，tan β＝i ′＝12.5，得α≈32°，β≈21°.答：铁路路基下底宽为33.6 m ，斜坡的坡角分别为32°和21°. 三、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？ 学生回答．师：你们还有什么不懂的地方吗？ 学生提问，教师解答．。
九年级数学-解直角三角形及其应用
第26讲 解直角三角形及其应用知识导航1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形边角之间的关系：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有：(1)a 2＋b 2＝c 2；(2)∠A ＋∠B ＝90°；(3)sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a． 3．解直角三角形实际应用时常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度．【板块一】解直角三角形及实际应用方法技巧1．灵活运用边角关系求边与角；2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，应注意设元，借助方程来解决； 3．如果图形中没有直角时，要添加垂线将其转化为直角三角形求解． ▶题型一 可直接解直角三角形【例1】在△ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)c ＝2，∠A ＝30°； (2)a ＝b ＝9； (3)∠A ＝2∠B ，c －b ＝4．【解析】(1)∵∠A ＝30°，∠B ＝60°．∴a ＝c sin ∠A ＝2×12＝1．b ＝c cos ∠A ＝2(2)由勾股定理得c＝tan ∠A ＝ab．∴∠A ＝30°．∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．(3)∵∠A ＝2∠B ，∠A ＋∠B ＝90，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°．∴c ＝20，c －b ＝4．∴b ＝4，c ＝8．∴a＝【点评】在已知条件中，如有针边，用正弦或余孩，无针边时用正切，求边时，要灵活运用三角函教和勾股定理．▶题型二 “不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解【例 2】如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，∠B ＝120°，ADAB ＝6，点E 是边AB 上一动点，且∠DEC ＝120°，求AE 的长．【解析】过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，则CH ＝AD∵∠ABC ＝120°，∴∠CBH ＝60°，∴BH ＝tan CH CBH ∠＝1，BC ＝cos CH CBH ∠＝2，又AB ＝6,∴CD ＝AH ＝7．易证△BCE ∽△ED C ．∴BE EC ＝CEDC，∴CE 2＝BE ·DC ，设BE ＝x ．∴CE 2＝7x ．在Rt △CEH 中，CE 2＝EH 2＋CH 2＝(x ＋1)2＋2＝7x ，∴解得x ＝1或4．当x ＝1时，AE ＝5；当x ＝4时，AE ＝2．∴AE 的长为5或2． ▶题型三 “化斜为直“解斜三角形【例3】在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，求BC 的长．EDCBAHABCDE【解析】当△ABC是钝角三角形时，如图1，作AH⊥BC于点H．在Rt△ABH中．AH＝AB·sin∠ABC＝4．∴BH＝Rt△AHC中．HC＝3．∴BC＝3．当△ABC是纯角三角形时，如图2，同上可求得BC＝3．综上所述，BC＝3或3．【点评】1．解斜三角形时，要结合已知条件恰当地引垂线，构造可解的直角三角形；2．已如三角形的两边及某中一边的对角(为锐角)，注意分类讨论．▶题型四方位角、俯角、仰角、坡角等的应用【例4】如图，一般渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，岛礁P正东方向上的避风港继续航行1．5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁Ｐ正东方向上的避风港Ｍ在北偏东60°方向，为了在合风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)【解析】过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q．过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，在直角△AQP 中．∠P AQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1．5＋BQ＝90＋BQ，所以BQ＝PQ－90．在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ·tan30PQ，所以PQ－90PQ，所以PQ＝45(3，所以MN＝PQ＝45(3，在直角△BMN中．∠MBN＝30°，所以BM＝2MN＝90(3，所以t＝(90375＝小时)．【占评】1．将实际问题转化为数学模型，再将数学模型转化为解直角三角形问题；2．当图中无直角三角形时，通过作垂线，可把问题转化为解直角三角形．【例5】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处调得真立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿同一副面的斜坡AB行走13米至放顶B处，然后两沿水平方向行走6米至大树脚底店D处，涂料面AB的城度(或坡比)＝1：2：4，那么大树CD的高度约为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin36°≈0．59，cos36°≈0．81，tan36°≈0．73)图2图1H HCABAB C避风港北PA BMNMBAPQ北避风港EDCBA ABCDEF【解析】过点B作BF⊥AE于点F，则FE＝BD＝6米，∴DE＝BF，∵鞋面AB的放度i＝1：2：4，∴AE ＝2．4BF．设BF＝x米，则AF＝2．4x米，在RT△ABF中，由勾股定理得x2＋(2．4x)2＝132，解得x＝5，∴DE＝BF＝5米，AF＝12米．∴AE＝AF＋FE＝18米，在Rt△ACE中，CE＝AE·tan36°＝18×0．73＝13．14米．CD＝CE－DE＝13．14－5≈8．1米．针对练习11．如图，一般海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD＝4，∠DAC＝30°，解Rt△AB C．解：∵AD平分∠CAB，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝30°，∠CAB＝60°，∵∠C＝90°，∴∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝4，∴在Rt△ACD中，CD＝12AD＝2，∴AC＝AD cos30°＝AB＝2AC ＝BC＝BD＋CD＝6．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，点D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，求AD的长．解：过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DG⊥AM于点G，设CM＝a，∵AB＝AC，∴BC＝2CM＝2a，∵tan∠ACB＝AMCM＝2，∴AM＝2a，AC＝a，S△BDC＝12BC·DH＝BAPDCBADCBA12·2a ·DH ＝10，∴DH ＝10a ，易证四边形DHMG 为矩形，△ADC ≌△CDH ，∴DG ＝DH ＝MG ＝10a，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AM ＝AG ＋MG ，即2a ＝a ＋10a ＋10a，∴a 2＝20，在Rt △ADC中，AD 2＋CD 2＝AC 2，又AD ＝CD ，∴2AD 2＝5a 2＝100，AD ＝4．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48°，测得底部C 处的俯角为58°，求甲、乙两座建筑物的高度AB 和D C ．(结果取整数)(参考数据：tan 48°≈1．11，tan 58≈1．60)解：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ，则∠AED ＝∠BED ＝90°，由题意可知BC ＝78m ，∠ADE ＝48°，∠ACB ＝58°，∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°，可得四边形BCDE 为矩形，∴ED ＝BC ＝78m ，DC ＝E B ．在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝ABBC ，∴AB ＝BC ·tan 58≈78×1．60≈125(m )． 在Rt △AED 中，tan ∠ADE ＝AEED，∴AE ＝ED ·tan 48°≈78×1．11≈87(m )．∴EB ＝AB －AE ＝125－87＝38(m )，∴DC ＝EB ＝38m答：甲建筑物的高度约为125m ，乙建筑物的高度约为38m ．5．为了测量竖直旗杆的高度，某综合实践小组在地面D 处竖直放置标杆CD ，并在地面上水平放置一个平面镜E ，使得点B ，E ，D 在同一水平线上，如图所示。
第07讲 解直角三角形及其应用(教师版)
第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用课程标准课标解读能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
能够利用锐角三角函数的边角关系，求解直角三角形角或者边，从而解决实际问题知识点01 解直角三角形1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫作解直角三角形.2.直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。
(1)三边之间的关系：a²+b²=c².(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系：sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab,sinB=bc,cosB=ac,tanB=ba.【即学即练1】已知ABC中，90C∠=︒，1tan2A=，D是AC上一点，CBD A∠=∠，则cos CDB∠的值为（）目标导航知识精讲A ．12 B C D ．35【答案】B【分析】根据tan tan DCA CBD BC==∠∠求得BC =2DC ，再在Rt ∠DCB 中，运用勾股定理求得BD =，即可作答．【详解】∠∠C =90°，∠A =∠CBD ， ∠tan tan DCA CBD BC==∠∠， ∠1tan 2A ∠=， ∠12DC BC =， ∠BC =2DC ，∠在Rt ∠DCB 中，BD =，∠cosCD CDB DB ∠==， 故选：B ．知识点02 解直角三角形的应用1.解直角三角形的几种类型及解法(1)已知一条直角边和一个锐角(如a ，∠A )，其解法为 ∠B =90∘−∠A,c =a sinA ,b =atanA (或 b =√c 2−a 2).(2)已知斜边和一个锐角(如c ，∠A )，其解法为∠B =90°-∠A ，a =c·sin A ，b =c·cos A (或 b =√c 2−a 2). (3)已知两直角边a ，b ，其解法为 c =√a 2+b 2,由 tanA =ab 得∠A ，∠B =90°-∠A .(4)已知斜边和一直角边(如c ，a )，其解法为b = √c 2−a 2,由 sinA =ac 求出∠A ，∠B =90°-∠A .2.解直角三角形的应用(1)仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.(2)坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i 表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念和勾股定理的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生学会解直角三角形，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
教材中通过丰富的实例，引导学生探究直角三角形的边角关系，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数的概念有一定的了解。
但在解决实际问题时，还可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为解直角三角形的问题，并运用相应的解决方法。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究解直角三角形的方法。
2.实例分析法：教师通过展示实例，让学生观察、操作，培养学生的动手操作能力。
3.小组合作法：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、实例、习题等。
2.学生准备：学生需要预习相关内容，了解直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜边长度等，引导学生思考如何解决这些问题。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初中的重点和难点内容。
本节课的主要内容包括解直角三角形的定义、解直角三角形的步骤和方法、解直角三角形的应用等。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对锐角三角函数有一定的了解。
但是，解直角三角形这一概念对于学生来说比较抽象，不易理解。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过实际操作来理解解直角三角形的概念，并通过大量的练习来巩固解直角三角形的方法和应用。
三. 教学目标1.理解解直角三角形的定义和意义。
2.掌握解直角三角形的步骤和方法。
3.能够应用解直角三角形解决实际问题。
四. 教学重难点1.解直角三角形的概念和步骤。
2.解直角三角形的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来理解解直角三角形的概念和方法。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图片来形象地展示解直角三角形的步骤和应用。
3.学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学PPT。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜面积等，引导学生思考如何利用几何知识解决这些问题。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现解直角三角形的定义、步骤和方法，并配以动画和图片，帮助学生形象地理解解直角三角形的概念。
3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，让学生通过实际操作来巩固解直角三角形的方法。
可以让学生分组测量教室内的物品长度、高度等，并计算其斜边长度。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些解直角三角形的练习题，检验学生对解直角三角形方法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将解直角三角形的方法应用到实际问题中，如测量山峰的高度、计算桥梁的跨度等。
解直角三角形及其应用
解直角三角形及其应用一、基础知识整理 1、锐角三角函数：（1）定义：在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.（2）如图,在Rt △ABC 中, ∠C 为直角,其余5个元素之间有以下关系:1)三边之间关系： （勾股定理） 2)锐角之间的关系：∠A+ ∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余) 3)边角之间的关系：注意：(a)定义是以直角三角形为条件的；没有直角三角形时作辅助线构造，或将角转化； (b)在直角三角形中，首先确定锐角，再分清这个锐角的对边和邻边，最后才是这个锐角的各个三角函数的定义．（3）互余两角的三角函数关系；若α＋β＝90o，则 sin α＝cos β；cos α＝sin β；（4）同角三角函数关系：sin 2α＋cos 2α＝12、特殊角的三角函数值：见书中表格，知道三角函数值随α的变化情况3、解直角三角形（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；（逆命题不成立） （4）勾股定理：即：在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a 2+b 2=c 2；（5）勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三 角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2，则∠C ＝90°； （6）边角关系：锐角三角函数；（7）三角形的面积计算公式：三角形的面积等于底乘高的积的一半；三角形的面积等于三角形的两边与其夹角正弦乘积的一半；二、典型例题解析【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，a=5，解这个直角三角形。
[点拨]解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角 （两个已知元素中至少有一条边）222a b c +=a sin ,cos ,tan ba bA A A c c===[练习]在Rt △ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B, ∠C 的对边。
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解直角三角形及其应用♦课前热身1. 图1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图•其中地面的水平线，Z ABC=150 ,BC 的长是8 m 则乘电梯从点沿着长方体的表面从点 A 爬到点B,需要爬行的最短距离是（）3.如图3,先锋村准备在坡角为:的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那5.如图5,在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m 如果在坡度为0.75的山坡上种树, 也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为（）A. 5m B . 6m C . 7m D . 8mA.B. 4 mC .4.3 mD. 8 m 5，一只蚂蚁如果要2.如图 2,长方体的长为15,宽为10,高为2 0 ,点B 离点 C 的距离为 AB CD 分别表示一楼、二楼 B 到点C 上升的高度h 是（）25 C. 10 .55 D. 35么这两树在坡面上的距离 AB 为（）A. 5cos ：B.C. 5sin ：D.5cos ：54.如图 4，在 RtA ABC 中，/ACB =90°,BC =1,则下列结论正确的是（A.)1B. tan A=—C. cosB .3D. tan B =、3B图4【参考答案】1. BCE【解析】过点B作直线AB的垂线，，垂足为E,在Rt△ BCE中，sin / CBE= ，即BCh 1sin3 0° = ，所以h=4m.【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利8 2用已知锐角的正弦关系解答即可•本题还可以利用“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”来求解•2. B【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点B,较短爬行路线有以下4条（红色线段表示）.计算可知最短的是第2条.【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论53.B【解析】利用锐角三角函数解答，在以AB为斜边的直角三角形中，cos ，所AB5以AB= .【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系.cos-4.D【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知/ A=30°,Z B=60°,对照30°、60°的三角函数值选择正确答案.【点评】熟记特殊角30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出AC,然后根据锐角三角函数定义判断.5.A【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在这里设铅直高度为h米，则有h:4=0.75 , h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离为・ 32 42=5m.【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上，通过直角三角形的知识来解答♦考点聚焦1 •掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点.2 •了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，？怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点.♦备考兵法正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，？工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键.注意：(1)准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角.(2)将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形.(3)在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，？从而转化为解直角三角形的问题.♦考点链接1 •解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_________________ 叫做解直角三角形.2•解直角三角形的类型已知_______ .____ ;已知 _____________________3.如图(1)解直角三角形的公式：(1) _____________________________ 三边关系： .(2) _______________________ 角关系：/ A+Z B= ,(3)边角关系：sinA=___ , sinB= ___ , cosA= _______cosB= ___ , tanA= _____ , tanB= ____4•如图(2)仰角是_________________ ,俯角是_______________ .5.如图（3）方向角：0A _______ , OB _______ , OC ________ , OD ________6._________________________________ 如图（4）坡度：AB的坡度i AB= ____ , Z a 叫 , tana = i = _________________________________ •♦典例精析 例1（安徽省）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整成60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 __________ m .【答案】2（,3 - ,2）（约0.64 ）.【解析】涉及知识点有锐角三角函数的应用 .4m 的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当 梯子搭在墙上与地面成 45°的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4X sin45 ° =2 ... 2，当梯 子搭在墙上与地面成 60°的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4X sin60 ° =2 •_ 3 .则梯子的 顶端沿墙面升高了 2（・3 - 2）（约0.64 ） m.【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形， 利用锐角三角函数或勾股定理解答即可 •例2 （山东临沂）如图，A , B 是公路I （I 为东西走向）两旁的两个村庄， A 村到公路I 的距离AC=1km B 村到公路I 的距离BD=2km B 村在A 村的南偏东45°方向上. （1）求出A , B 两村之间的距离；（2 ）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）.北（图2） （图3） （图4）AC东【分析】（1）设AB与CD的交点为0,那么三角形A0C和BOD是两个等要直角三角形，根据A B到公路的距离，利用勾股定理计算AO B0进而计算AB的长度.或者以AB为斜边构造直角三角形解答•（2）作AB的垂直平分线，与公路I的交点即为所求•【答案】解：（1）方法一：设AB与CD的交点为0根据题意可得N A二NB=45°.-△ ACO和厶BDO都是等腰直角三角形.AO 二、2 , BO = 2、2 •.A B 两村的距离为 AB =AO B^ 2 22 =3、2 (km ).方法二：过点B 作直线I 的平行线交 AC 的延长线于E . 易证四边形CDBE 是矩形，CE =BD =2 .在 RtA AEB 中，由 N A = 45° 可得 BE = EA = 3 . 二 AB =~+ 3 =3^2 （ km ）.A B 两村的距离为3& km.（2 ）作图正确，痕迹清晰.1作法：①分别以点 A B 为圆心，以大于AB 的长为2半径作弧，两弧交于两点M, N , 作直线MN ;②直线MN 交I 于点P ，点P 即为所求.【点评】（1）点到线的距离是垂线短的长，所以图形中就包含了直角三角形，然后利用勾股定理计算便是•本题也可以利用锐角三角函数计算 • （2） “到线段两个端点的距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础 ♦迎考精练 、选择题1.（山东泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东 60°方向走又测得AC =50米，则小岛B 到公路I 的距离为（ ）米.2题了 5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A 、C 两地的距离为A.3 km 3B.5^km3 C. 5.2kmD.5.3km2.（山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路l 的距离，在A 点测得N BAD =30° ,在C 点测得N BCD =60° ,、填空题1.（四川遂宁） 如图，已知△ ABC 中, AB=5cm BC=12cm AC=13cm 那么 AC 边上的中线 BD 的长为 _cm.3（湖南益阳）如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到厶 A B C ,使点B ■与 C 重合，连结 A B ，则tan. ABC •的值为4.（山东济南） 如图，/ AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则是 __________ .//AO第题图5.（山东泰安） 如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , / Av/ B,沿△ ABC 的中线 CMW^ CMA折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为A. 25B. 25.3C.100 .3D. 25 25 J32.（浙江宁波）如图，在坡屋顶的设计图中,AB 二AC ，屋顶的宽度 I 为10米，坡角为35°，则坡屋顶高度 h 为 _________ 米.（结果精确到0.1米）cos / AOB 的值C6.（湖南衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2^5米，则这个坡面的坡度为____________ .7.（湖北孝感）如图，角:-的顶点为0,它的一边在x轴的正半轴上，另一边0A上有一点P（3，4），贝U si.三、解答题1.（河南省）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m矩形面与地面所成的角a为78° .李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05〜0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？（参考数据：sin78 °~ 0.98 , cos78°~ 0.21 , tan78 °~ 4.70.）2.（福建福州）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔画AD// BC（ D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为________;（3）请你在△ ACD的三个内角中任选一个锐角.，若你所选的锐角是__________ ，则它所对应的正弦函数值是（4）若E为BC中点，贝U tan / CAE的值是______3.（山东德州）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1: .3 , AO 10米.坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB= 14米.试求旗杆BC的高度.4.（浙江台州）如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角ZCBD =12，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°(1)求半径OD(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干?6.(江苏省)如图，在航线I 的两侧分别有观测点 A 和B ,点A 到航线I 的距离为2km,点B 位于点A 北偏东60。