高考数学一轮复习第十一章计数原理.二项式定理的应用课时练理
高考数学总复习第十一章计数原理11.3二项式定理课件理新人教A版
1
2n-5k=0,得 n=2k,∴n 的最
5
小值是 5.
关闭
C
解析 答案
-8知识梳理 考点自测
1 2 3 4 5
4.(2017山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54, 则n= .
关闭
������ ������ r 2 二项展开式的通项 Tr+1=C������ (3x)r=3r· C������ · x ,令 r=2,得 32· C������ =54,解得 n=4.
关闭
4
解析 答案
-9知识梳理 考点自测
1 2 3 4 5
1 2 ������ 5.1+3C������ +9C������ +…+3nC������ =
.Hale Waihona Puke 关闭0 1 2 2 ������ n 1 2 ������ ∵(1+3)n=C������ + C������ · 3+C������ · 3 +…+C������ · 3 ,∴1+3C������ +9C������ +…+3nC������ =4n.
关闭
4n
解析 答案
-10考点1 考点2 考点3
考点 1
通项公式及其应用(多考向)
考向1 已知二项式求其特定项(或系数) 5 例1(1)(2017吉林长春模拟) ������ 2 - 2 的展开式中的常数项为 ������3 ( ) A.80 B.-80 C.40 D.-40
8 2 1 2 ������ ,x7 的系数为 (2) ������ - ������ 的展开式中 ������ 10-5r -r 2 5 (1)∵Tr+1=������ C5 (x ) - ������ 3 =(-2)rC5 x ,
高三数学一轮复习 第11章第1课时课件
两个计数原理的综合应用
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理， 又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用， 并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理 解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情 的含义和标准是什么． (2)明 确 完 成 这 件 事 情 需 要 “ 分 类 ” 还 是 “ 分
2．混合问题一般是先分类再分步． 3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分
析更直观、清楚，便于探索规律．
从近两年的高考试题来看，分类加法计数 原理和分步乘法计数原理是考查的热 点．题型为选择题、填空题，分值在5分左 右，属中档题．两个计数原理较少单独考 查，一般与排列、组合的知识相结合命 题．
(2010·广东卷)为了迎接 2010 年广州亚运会，某大
楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每
个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜
色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5
个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪
烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一 步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法； 第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方 法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点 的个数是 3×2＝6.
(3)点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a ＝b.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素， 共有 6 种取法，即在直线 y＝x 上的点有 6 个．由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－ 6＝30(个)．
高考数学复习热点11 计数原理
热点11 计数原理【命题趋势】计数原理包含排列组合与二项式定理，在高考数学中通常是以选择题的形式呈现.另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍.高考中通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合.二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开.本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解.【满分技巧】捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如 此继续下去，依次即可完成.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n 项即可，但是应注意是二项式系数还是系数.【考查题型】选择题【限时检测】（建议用时：35分钟）1．（2021·全国高三专题练习）的展开式中各项的()()()()()234511111x x x x x -----指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（）A ．0B ．C ．D ．5590120【答案】C【分析】()()()()()234511111x x x x x -----，151413109876521x x x x x x x x x x x =--+++---++-所以，的展开式中各项的指数之和为()()()()()234511111x x x x x -----，15141310987652190++++++++++=展开式中各项系数乘以各项指数之和为，1514131098765210--+++---++=因此，所求结果为.90090-=故选：C.2．（2021·山东高三专题练习）已知若()20121nn n px b b x b x b x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ）123,4b b =-=，p =A ．1B ．C ．D ．121314【答案】C【分析】展开式的通项为：，()1n px -()()()11n rr rrrr n n T C px C px -+=⋅⋅-=⋅-故，，解得，.()113nb C p pn =⋅-=-=-()2222142n n n b C p p -=⋅==9n =13p =故选：C.3．（2021·山东高三专题练习）2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、A A B 乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种【答案】B【分析】根据医院A 的情况分两类：第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有种不2232C A 同分配方案，当医院B 有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人1222C A 时，共有种不同分配方案；2232C A +122210C A =第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有种不同分配方案，当乙不在A 医33A 院，在B 医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时，1222C A 共有种不同分配方案；33A +122210C A =共有20种不同分配方案.故选：B4．（2021·全国高三专题练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方ABCD A 形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆()1,2,,6i i =⋅⋅⋅时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的i A所有不同走法共有（ ）A ．21种B ．22种C ．25种D ．27种【答案】D【分析】由题意，正方形的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16，ABCD ①点数之和为8的情况有：；；；；，排列方法共有1,1,61,2,51,3,42,2,42,3,3种；133113333321C A A C C ++++=②点数之和为16的情况有：；，排列方法共有种.4,6,65,5,611336C C +=所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有种.A 21627+=故选：D.5．（2021·山东高三专题练习）已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ）A ．240种B ．360种C ．480种D ．600种【答案】C【解析】：用分类讨论的方法解决．如图中的6个位置，123456①当领导丙在位置1时，不同的排法有种；55120A =②当领导丙在位置2时，不同的排法有种；143472C A =③当领导丙在位置3时，不同的排法有种；2323233348A A A A +=④当领导丙在位置4时，不同的排法有种；2323233348A A A A +=⑤当领导丙在位置5时，不同的排法有种；143472C A =⑥当领导丙在位置1时，不同的排法有种．55120A =由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种．故选C ．6．（2021·山东高三专题练习）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种【答案】D【详解】最前排甲，共有种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根55A 120=据加法原理可得，共有种，故选D ．7．（2020·全国高三专题练习（理））某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）A ．72种B ．48种C ．36种D ．24种【答案】C【分析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，336A =再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有种排法，236A =则后六场开场诗词的排法有种，6636⨯=故选：C.8．（2020·全国高三专题练习（理））为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程､20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是（）A ．B ．C ．D ．12131416【答案】D【分析】记第名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类i 分别为事件，，，.i A i B i C 1,2,3i =由题意，事件，，，相互独立，i A i B i C 1,2,3i =则，，，，301()602i P A ==201()603i P B ==101()606i P C ==1,2,3i =故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是.331111()62366i i i P A P A B C ==⨯⨯⨯=故选：D.9．（2020·全国高三专题练习（理））在()()()()()2345111111x x x x x ++++++++++的展开式中，含项的系数是（ ）2xA ．B ．1015C ．D ．2025【答案】C【分析】解法一：中含的项为，中含的项为，中()21x +2x 222C x ()31x +2x 223C x ()41x +含的项为，中含的项为，2x 224C x ()51x +2x 225C x 则含项的系数为．2x 2222234520C C C C +++=故选：C ．解法二：由等比数列求和公式知：，()()()()()()6234511111111x x x x x x x+-++++++++++=中含的系数为，原式含项的系数为.()31x + 3x 3620C =∴2x 20故选：C .10．（2020·全国高三专题练习（理））若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝（）A ．284B ．356C ．364D ．378【答案】C【分析】令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， ①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ②①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730，所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，再令x ＝0，则a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364.故选：C.11．（2020·山西高三月考（理））如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面m 积之比为，则的展开式中的常数项是（ ）n 621m x nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．15B ．-15C ．D ．13541354-【答案】A【分析】：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的体积R R 2R ，球的体积，所以.又圆柱的表面23122V R R R ππ=⨯=3243V R π=313223423V R m V R ππ===积为，球的表面积为，所以2212226S R R R R πππ=⨯+=224S R π=，，，展开式的通项21226342S R n S R ππ===1m n =662211m x x nx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令，解得，其常数项为.()123161rr rr T C x-+=-1230r -=4r =()42426115C x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A12．（2020·江西吉安市·白鹭洲中学高三期中（理））已知随机变量，且()2~1,X N σ，则的展开式中的系数为（ ）()()0P X P X a ≤=≥()43221ax x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭2x A ．40B ．120C ．240D ．280【答案】D【分析】根据正态曲线的性质可知，，解得，012a +=⨯2a =的展开式的通项公式为，，()312x +132r r r r T C x +=⋅{}0,1,2,3r ∈的展开式的通项公式为，，422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()243814422s s s s s s s s T C x c x -+--++=⋅=⋅{}0,1,2,3,4s ∈令两式展开通项之积的指数为，可得或，x 382r s -+=33r s =⎧⎨=⎩02r s =⎧⎨=⎩∴的展开式中的系数为()432212x x x ⎛+⋅⎫+ ⎪⎝⎭2x ，333300223434222225624280C C C C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=13．（2020·湖南长沙市·高三月考）某单位有6名员工，2020年国庆节期间，决定从6人中留2人值班，另外4人分别去张家界､南岳衡山､凤凰古城､岳阳楼旅游.要求每个景点有1人游览，每个人只游览一个景点，且这6个人中甲､乙不去衡山，则不同的选择方案共有（）A ．120种B ．180种C ．240种D ．320种【答案】C【分析】以人为对象，分类讨论：甲不值班乙值班：；甲值班乙不值班：；31343372C C A =31343372C C A =甲乙都不值班；；甲乙都值班；.21342372C C A =4424A =故不同的选择方案.72727224240N =+++=故选：C14．（2020·全国高三专题练习（理））中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）A ．种B ．种C ．种D ．种30506090【答案】B【分析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1121020C C ⋅=若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1131030C C ⋅=所以共有种203050+=故选B15．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三其他模拟（理））2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北，某地有3名医生、6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（）A ．B ．C ．D ．16121813【答案】D【分析】3名医生平均分成3组，有1种分法，6名护士平均分成3组有种分法，226433156156C C A ⨯==3名医生、6名护士分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士的分配方法有（种），333315540A A ⨯⨯=医生甲和护士乙分到同一家医院的分配方法有（种），211224532222180C C C A A A ⨯⨯⨯=则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为.18015403=故选：D .16．（2020·全国高三其他模拟（理））公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范π围是：，为纪念数学家祖冲之在圆周率研究上的成就，3.141592631415927π<< ．某教师在讲授概率内容时要求学生从小数点后的6位数字1，4，1，5，9，2中随机选取两个数字做为小数点后的前两位（整数部分3不变），那么得到的数字大于3.14的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．15174567【答案】D【分析】由题意从小数点后的6位数字中随机选取两个数字做为小数点后的前两位，可分为以下情况：①选出两个1，共可组成1个数字；②选出一个1，共可组成个不同数字；12428C A ⋅=③没有选出1，共可组成个不同数字；2412A =所以共可组成个不同的数字；181221++=其中小于等于3.14的数字有：3.11、3.12、3.14，共3个，则大于3.14的数字个数为18，故所求概率.186217P ==故选：D.17．（2020·全国高三专题练习（理））某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）.A ．444种B ．1776种C ．1440种D ．1560种【答案】B【分析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有（种）.14C 4=对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有（种）；114244192C C A =第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有（种），133C =语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有（种），14C 4=其他三科可以全排列，有（种）.()12332334252C A A +=综上，共有（种）.()41922521776⨯+=故选：B18．（2020·全国高三专题练习）函数的导函数为，则的展开261()(=-f x x x ()f x '()f x '式中含项的系数为（ ）2x A ．20B ．C ．60D ．20-60-【答案】D【分析】函数导函数为，()f x 25211()6()(2)f x x x x x '=-+则的展开式的通项公式为，251(x x -251031551()()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-令，则，此时含项为，1031r -=3r=x 335(1)10C x x -=-再令，则，此时含项为，1034r -=2r =4x 22445(1)10C x x -=所以含的项为，2x 4221(10210660x x x x x -⨯+⨯⨯=-故含项的系数为，2x 60-故选：．D 19．（2020·湖南郴州市·高三二模（理））中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种.A ．408B ．120C ．156D ．240【答案】A【分析】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种），66720A =当“乐”排在第一节有（种），55120A =当“射”和“御”两门课程相邻时有（种），2525240A A =当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种），242448A A =则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种），72012024048408--+=故选：．A 20．（2020·全国高三专题练习）展开式中的常数项为（）6331x x ⎫⎫-⎪⎪⎭⎭A ．B ．15C ．D ．6666-15-【答案】C展开式的通项公式为，而61x ⎫-⎪⎭()363216611rrrr r rr T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，故要想产生常数项，则或3323323x x x ---=-333122r r -=⇒= ，则所求常数为.33302rr -=⇒=()106621315C C ⨯⨯--⨯=-故选：C．。
(全国通用)高考数学一轮总复习第十一章计数原理11.2二项式定理课件理新人教B版
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…
= ,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…= .
例2f (1)(20f1(6江1)西横峰一模,17,12分)已知(1-2x)7=a0+a1f x(1+)a2xf2(+…1) +a7x7,求:
高考(ɡāo kǎo)理数
§11.2 二项式定理(dìnglǐ)
第一页，共9页。
知识清单
1.二项式定理 (a+b)n= an+ an-1b1+…+ an-kbk+…+ bn(n∈N*) . 这个公式所C表0n 示的C1n 定理叫做二C项kn 式定理,等C号nn 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中的系 数 (k=0,1,2,…,n)叫做 二项式系数 .二项展开式中的 an-kbk叫做二项展开式的 通项 ,用 Tk+C1kn表示,即通项为展开式的第k+1项:Tk+1= an-kbk . Ckn 注意:(1)Tk+1指的是第k+1项, 是第k+1项的二C项kn 式系数. (2)(a+b)n与(b+a)n相同,但具体C到kn 它们展开式的某一项却是不同的,所以(suǒyǐ)公式中的a与b位置不能 颠倒.
第八页，共9页。
(3)奇数项的二项式系数(xìshù)和为 C10+0 C+…120 + =2C9,1100 偶数项的二项式系数(xìshù)和为C 110+ C+13…0 + =2C919.0
高考数学一轮总复习 专题11 计数原理 11.2 二项式定理
3.在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式:(1+x)n=1+ C1n x+ C2n x2+ C3n x3 +…+ Cnn xn.如果设a=1,b=-x,则得到公式:(1-x)n=1+(-1)1 C1n x+(-1)2 C2n x2+…+(-
1)n Cnn xn. 4.二项式系数与项的系数是不同的,如(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中,第r+1
考向突破
考Байду номын сангаас一 求指定项或指定项系数
例1
(2018浙江温州二模(3月),5)在
1 x
9
2x
的展开式中,常数项是
()
A. C39
B.- C92
C.8 C39
D.-8 C39
解析
1 x
9
2x
的展开式的通项为Tr+1= C9r
·
1 x
9r
·(-2x)r=(-2)r·C 9r
项的二项式系数是 Crn ,而第r+1项的系数为 Crn an-rbr. 5.通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项或系数,求展开式
的某一项或系数.在运用公式时要注意以下几点:
(1) Ckn an-kbk是第k+1项,而不是第k项; (2)运用通项公式Tk+1= Ckn an-kbk解题时,一般都需先转化为方程(组)求 出n、k,然后代入通项公式求解;
(3)求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出k,再求所需的某 项;有时需要求n,计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系. 6.在(a+b)n的展开式中,令a=b=1,得 C0n + C1n +…+ Cnn =2n;令a=1,b=-1,得 C0n - C1n + C2n - C3n +…=0,∴ C0n + C2n + C4n +…= C1n + C3n + C5n +…=2n-1. 7.对二项式系数性质的理解 (1)对称性:由组合数的性质“ Cmn = Cnnm ”,得从“ C0n = Cnn =1”开始,由左右 分别向中间靠拢,便有 C1n = Cnn1 , C2n = Cnn2 ,…… (2)最大值:当n为偶数时,(a+b)n的展开式共有n+1项,n+1是奇数,这时展 开式的形式是
2020届高三理科数学一轮复习 第十一章 第3节 二项式定理
令10－3 2k＝r(r∈Z)，则 10－2k＝3r，k＝5－32r，∵k∈N，∴r 应为
－2，即 k 可取 2，5，8，∴第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它
24556x－2.
规律方法 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后， 要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出 通项公式即可.
019＋C22 018＋C42
019＋…＋C22 018＋…＋C22
019
001198的值
018
A.2
B.4
C.2 019
D.2 018×2 019
解析 原式＝222 201081－9 1＝22＝4.
答案 B
4.(2018·全国Ⅲ卷)x2＋2x5的展开式中 x4 的系数为(
)
A.10
B.20
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2 ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39， ∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3， ∴m＝－3或m＝1. 答案 (1)3 (2)1或－3
2.(选修2－3P31T4改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(
A.Cmn
B.Cmn ＋1
C.Cmn －1
D.(－1)m－1Cmn －1
解析 (x－y)n 展开式中第 m 项的系数为 Cmn －1(－1)m－1.
答案 D
3.(选修
2－3P35
练习
A1(3)改编)CC0202
019＋C12 018＋C22
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷改编)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 二项式定理
§11.3 二项式定理考纲展示►1.能利用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．考点1 二项展开式中特定项或系数问题二项式定理二项式定理(a＋b)n＝________________二项式系数二项展开式中各项系数C k n (k＝0，1，…，n)二项式通项T k＋1＝________,它表示第________项答案：C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－k b k＋…＋C错误!b n（n∈N*）C k，n a n－k b k k＋1（1）[教材习题改编]（1－2x）7的展开式的第4项的系数是________．答案：－280解析：展开式中,T r＋1＝C错误!·（－2x)r＝C错误!·(－2）r x r，当r ＝3时，T4＝C错误!·（－2）3·x3＝－280x3，所以第4项的系数为－280.（2)[教材习题改编]错误!12的展开式的常数项是________．答案：495解析：展开式中，T r＋1＝C错误!x12－r·错误!r＝（－1）r C错误!x12－3r，当r＝4时,T5＝C412＝495为常数项。
[典题1] (1)在二项式错误!5的展开式中，含x4的项的系数是（)A．10 B．－10 C．－5 D．20[答案］A［解析] 由二项式定理可知，展开式的通项为C错误!（－1)r x10－3r，令10－3r＝4,得r＝2,所以含x4项的系数为C错误!（－1）2＝10，故选A.（2）[2017·吉林长春模拟]错误!5的展开式中的常数项为（)A．80 B．－80 C．40 D．－40［答案］C[解析］∵T r＋1＝C错误!(x2）5－r错误!r＝(－2)r C错误!x10－5r，由10－5r＝0，得r＝2，∴T3＝(－2）2C错误!＝40.(3)[2015·湖南卷]已知错误!5的展开式中含x错误!的项的系数为30,则a＝( )A.错误!B．－错误!C．6 D．－6［答案］D[解析] T r＋1＝C错误!（错误!)5－r·错误!r＝C错误!（－a)r x，由错误!＝错误!，解得r＝1.由C错误!（－a)＝30，得a＝－6。
2025年高考数学一轮复习-第十一章-第二节-二项式定理【课件】
【解析】(2x+1)4的展开式通项为Tr+1=C4 2 4− ,令r=2,得T3=C42 2 2 =24x2,
故x2的系数为24.
解题技法
形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项的求解策略
(1)写出并化简通项;
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解
[例1](1)设 1 + =a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a2=a3,则n=(
A.5
B.6
C.7
)
D.8
【解析】选A.(1+x)n展开式第r+1项Tr+1=C xr,因为a2=a3,所以C2 =C3 ,所以n=2+3=5.
24
(2)(2023·南昌模拟)在(2x+1)4的展开式中,x2的系数为
(4)二项式的展开式中系数最大的项与二项式系数最大项是相同的.(
× )
提示:由二项展开式某一项的系数与某一项的二项式系数的定义可知(4)错误.
2.(选修第三册P31练习T4)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是(
A.C
C.C−1
B.C+1
D.(-1)m-1C−1
【解析】选D.(x-y)n的展开式中,
2
【解析】选A.(1-2 )8展开式的通项公式为Tk+1=C8 (-2 )k=(-2)kC8 .
要求x项的二项式系数,只需 =1,解得k=2,
2
2 8×7
所以x项的二项式系数为C8 = =28.
2×1
)
核心考点·分类突破
核心考点·分类突破
计数原理知识梳理-2024届高三数学一轮复习
计数原理知识梳理一、两个原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．推广：如果完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，…，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N ＝m 1＋m 2＋…＋m n ．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．推广：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…,做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N ＝m 1×m 2×…×m n ．(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏； ②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复； ③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法． 5.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件． (3)对完成各步的方法数要准确确定． 6. 应用两种原理解题要注意 (1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； (3)有无特殊条件的限制； (4)检验是否有重漏．7.与两个计数原理有关问题的解题策略(1)在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理. (2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．二、排列与组合 1.排列；如果与顺序无关，则是组合． 2.排列数、组合数的定义、公式、性质全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，全排列数公式：所有全排列的个数，即(1)(2)21!nn A n n n n =⨯-⨯-⋅⋅⋅⨯⨯=．3.排列、组合问题的求解常用方法与技巧解排列组合综合问题，先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，具体有下面几种常用方法： (1)特殊元素或特殊位置优先法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．优先安排．(2)相邻问题捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列． (3)相间问题插空法：对不相邻问题，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．(4)定序问题倍除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (5)多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理． (6)分球问题隔板法：相同元素的分配问题常用“隔板法”,每组至少一个．(7) 分组分配问题的策略：对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．对于整体均分，分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．对于部分均分，若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！．(8)间接法：正难则反、等价转化的方法，比如“至少”或“至多”含有几个元素的题型． 三、二项式定理 1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝(n ∈N *)，等号右边的式子称为()na b +的二项展开式．(2)通项公式：T k ＋1＝ ，它表示第 项；注意：(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题． 2.二项展开式的特征：（1）二项展开式共有 项；（2）二项式系数依次为组合数012,,,,,,knn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅；（3）各项次数都等于二项式的幂指数n ；（4）字母a 的指数由n 开始按降幂排列到0，b 的指数由0开始按升幂排列到n ． 注意：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是特指相应的组合数C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关． 3.4.(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝ .(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝ .5.求二项展开式中特定项(或系数)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项T k ＋1＝C k n a n －k b k，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k ；第三步，把k 代入通项中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量． 6.求三项展开式中某些特定项(或系数)的策略(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．7.二项式定理中的字母可取任意数或式，在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.8.二项展开式中系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，注意解出k 后要检验首末两项．。
(浙江专用)2020届高考数学一轮复习第十一章计数原理11.2二项式定理教师用书(PDF,含解析)
＝ａ０ ＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２ ＋…＋ａ２
ｘ２
０１７
０１７ ，则
ａ１ ２
＋
ａ２ ２２
＋…＋ａ２２２
０１７ ０１７
的值是
（ ）
Ａ．－２
Ｂ．－１
Ｃ．０
Ｄ．１
２－３ 答案 Ａ
解析
当 ｘ ＝ ０ 时，ａ０ ＝ １；当 ｘ ＝
１ ２
时，（
－ １）
２
０１７
＝
ａ０
＋
ａ１ ２
＋
ａ２ ２２
＋…
＋ａ２ ２２
０１７ ０１７
２．二项式系数的性质
性质
内容
对称性
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
Ｃ
ｍ ｎ
＝
Ｃｎ－ｍ ｎ
增减性
当
ｋ＜ｎ＋２ １时，二项式系数逐渐增大；当
ｋ＞
ｎ＋１ ２
时，二项
式系数
逐渐减小
对应学生用书起始页码 Ｐ２３９ 续表
性质
内容
最大值
( ) 当 ｎ 是偶数时，中间一项
第 ｎ ＋１ 项 ２
的二项式系数最大，
Ｄ．
解法二：（
１＋ｘ）
４
＋（
１＋ｘ）
５
＋…＋（
１＋ｘ）
２
０１７
＝
（
１＋ｘ）
４［（１＋ｘ） ２ （１＋ｘ） －１
０１４
－１］
＝ （ １＋ｘ） ２ ０１８ －（ １＋ｘ） ４ ，
ｘ
ｘ
∴
ａ３
＝
Ｃ
４ ２
０１８
－Ｃ
４ ４
＝ Ｃ４２ ０１８ －１，故选
Ｄ．
答案 Ｄ
１－１
高考数学总复习第十一章计数原理课时规范练57二项式定理理新人教A版(2021学年)
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为（福建专用)2０1８年高考数学总复习第十一章计数原理课时规范练５7 二项式定理理新人教A版的全部内容。
课时规范练５7 二项式定理一、基础巩固组1。
(２０17湖南邵阳模拟)在(1+3ｘ)n的展开式中,若x5与x6的系数相等，则x４的二项式系数为(）A。
２1 B.35 C。
4５ﻩD。
28２.若+3+32+…+３ｎ—2+3n—1＝85,则n=()Ａ.６B。
5ﻩC．４D。
３3.设n为正整数，展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为()A.１6B.1０C．４D．24．(２017河南郑州一中质检一,理7）若a=sin xｄx,则二项式展开式的常数项是()A.1６0B.20ﻩC。
-2０ﻩＤ。
—16０5。
(x2-3)的展开式中的常数项是()A。
－2ﻩ B.2 C。
－3 Ｄ。
３6。
若(１+)4＝a+b(ａ，b为有理数)，则a+b等于()A.36ﻩB．4６ﻩＣ。
３４D。
447.(x2+3y-ｙ2)7展开式中x１2ｙ2的系数为（）Ａ。
７ﻩB。
-7ﻩC。
4２ﻩD。
—42８.(2017甘肃会宁月考)1-９0＋902—９0３+…+(—1）k90k+…＋9０10除以88的余数是()A。
—１ﻩB。
1ﻩC。
-8７D。
８7 〚导学号21500588〛９.(201７浙江，13)已知多项式(x+１）3(ｘ+2)2=x5＋a１x４+a2ｘ3+a3x２+a4ｘ＋a5,则a 4= ，a5= 。
2020届高考数学一轮复习第十一章计数原理11.2二项式定理课件理
4.(2018天津,10,5分)在
x
2
1
x
5
的展开式中,x2的系数为
.
答案 5
2
解析 本题主要考查二项展开式特定项的系数.
由题意得Tr+1= C5r
x5-r
2
1
x
r
=
1 2
r
C5r
5 3r
x 2
,
令5- 3r =2,得r=2,所以 2
高考理数 (课标Ⅰ专用)
§11.2排列、组合
五年高考
A组
考点 二项式定理的应用
统一命题·课标卷题组
1.(2019课标Ⅲ,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( ) A.12 B.16 C.20 D.24
答案 A 本题考查二项式定理的应用,通过求解二项展开式中指定项的系数考查学生对公 式的运用能力,考查了数学运算的核心素养. (1+x)4的二项展开式的通项为Tk+1= C4k xk(k=0,1,2,3,4),故(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为C 34 +2C14 =12.故选A. 解题关键 掌握多项式乘法的展开式,熟记二项展开式的通项是解决本题的关键.
5.(2015课标Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60
答案 C (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有C 52 (x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为C 52 C 13 =30, 故选C.
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及分布列第3讲二项式定理课件
A．－10
B．－5
C．5
D．10
答案 B
解析 (x＋y)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝C5rx5－ryr，令 5－r＝1，得 r＝4， 令 5－r＝2，得 r＝3，∴(x－y)(x＋y)5 的展开式中 x2y4 的系数为 C45×1＋(－ 1)×C35＝－5.故选 B.
4．设(5x－ x)n 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，
M－N＝240，则展开式中 x3 的系数为( )
A．500
B．－500
C．150
D．－150
答案 C
解析 由题意可得 N＝2n，令 x＝1，则 M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－ 2n＝240，2n＝16(负值舍去)，n＝4.展开式中第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr4(5x)4－r(－
6．在(1－3
x)7＋
x＋ ax6的展开式中，若 x2 的系数为 19，则 a＝
____2____．
解析
(1－3
x)7＋
x＋ ax6的展开式中 x2 的系数为 C67(－1)6＋C16a1＝C67
＋aC16，则 aC16＋C67＝19，解得 a＝2.
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 求展开式中的特定项或特定项系数
2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋a4 的值为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
答案 B
解析 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令 x＝－1，则 a0－a1＋a2 －a3＋a4＝16，两式相加，得 a0＋a2＋a4＝8.
3．(x－y)(x＋y)5 的展开式中 x2y4 的系数为( )
高考数学一轮复习 第十一篇 计数原理 第3讲 二项式定理教案 理 新人教版 试题
第3讲 二项式定理【2013年高考会这样考】1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【复习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．基础梳理1．二项式定理 (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n的二项展开式． 其中的系数C rn (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的C r n an －r b r叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn . 3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n ＝C n －rn . (2)增减性与最大值： 二项式系数C kn ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项Cn －12n，Cn ＋12n 取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.一个防X运用二项式定理一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部分．前者只与n和r 有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．双基自测1．(2011·某某)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )．A．80 B．40 C．20 D．10解析T r＋1＝C r5(2x)r＝2r C r5x r，当r＝2时，T3＝40x2.答案 B2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝( )．A．45 B．55 C．70 D．80解析(1＋2)5＝1＋52＋10(2)2＋10(2)3＋5(2)4＋(2)5＝41＋29 2由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70.答案 C3．(人教A 版教材习题改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )．A ．9B ．8C ．7D ．6解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16 ∴a 0＋a 2＋a 4＝8. 答案 B4．(2011·某某)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析 T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r由已知条件35C 5n ＝36C 6n 即C 5n ＝3C 6nn ！5！n －5！＝3n ！6！n －6！整理得n ＝7 答案 B5．(2011·某某)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 解析 T r ＋1＝C r21x21－r(－1)r ＝(－1)r C r 21x21－r由题意知a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021， ∴a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0. 答案 0考向一 二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】►已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．[审题视点] 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．解 通项公式为T r ＋1＝C rn x n －r3(－3)r x －r 3＝(－3)r C r n x n －2r 3.(1)∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，解得n ＝10.(2)令n －2r3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴x 2的项的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r∈Z ，∴k 应为偶数，∴k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．【训练1】 (2011·某某)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x 6－3r (－a )r，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4. 答案 4考向二 二项式定理中的赋值【例2】►二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．[审题视点] 此类问题要仔细观察，对二项式中的变量正确赋值． 解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1 (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．二项式定理给出的是一个恒等式，对a ，b 赋予一些特定的值，是解决二项式问题的一种重要思想方法．赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f (a ，b )＝(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n.对a ，b 赋予一定的值，就能得到一个等式．【训练2】 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.考向三 二项式的和与积【例3】►(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为________．[审题视点] 求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式．解析 (1＋2x )3(1－x )4展开式中的x 项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C 03(2x )0·C 14(－x )1＋C 13(2x )1·C 0414(－x )0，其系数为C03·C 14(－1)＋C 13·2＝－4＋6＝2. 答案 2对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．【训练3】 (2011·某某)x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________(用数字作答)．解析 原问题等价于求⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中x 3的系数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x7－2r，令7－2r ＝3得r ＝2，∴x 3的系数为(－2)2C 27＝84，即x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中x 4的系数为84. 答案 84难点突破23——排列组合在二项展开式中的应用(a ＋b )n展开式可以由次数、项数和系数来确定． (1)次数的确定从n 个相同的a ＋b 中各取一个(a 或b )乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是ma p b q ，其中p ∈N ，q ∈N ，p ＋q ＝n . (2)项数的确定满足条件p ＋q ＝n ，p ∈N ，q ∈N 的(p ，q )共n ＋1组． 即将(a ＋b )n展开共2n项，合并同类项后共n ＋1项． (3)系数的确定展开式中含a p b q(p ＋q ＝n )项的系数为C qn (即p 个a ，q 个b 的排列数)因此(a ＋b )n展开式中的通项是T r ＋1＝C r n an －r b r (r ＝0,1,2，…，n ) (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C n n b n这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．【示例】► 若多项式x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )． A ．9 B ．10 C ．－9 D ．－10。
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2017高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.2 二项式定理的应用课时练 理时间：60分钟基础组1. [2016·武邑中学模拟]二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x n 的展开式中第4项为常数项，则常数项为( )A ．10B ．－10C ．20D ．－20答案 B解析 由题意可知常数项为T 4＝C 3n (x )n －3⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝(－1)3C 3n x n －52，令n －52＝0，可得n＝5.故所求常数项为T 4＝(－1)3C 35＝－10，选B.2．[2016·枣强中学一轮检测]在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 11的展开式中，系数最大的项为( )A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第六项或第七项答案 C解析 依题意可知T r ＋1＝C r11(－1)r x22－3r，0≤r ≤11，r ∈Z ，二项系数最大的是C 511与C 611.所以系数最大的是T 7＝C 611，即第七项．3．[2016·衡水中学周测]已知f (x )＝(ax ＋2)6，f ′(x )是f (x )的导数，若f ′(x )的展开式中x 的系数大于f (x )的展开式中x 的系数，则a 的取值范围是( )A ．a >25或a <0B ．0<a <25C ．a >25D ．a >52或a <0答案 A解析 f (x )的展开式中x 的系数是C 5625a6－5＝192a ，f ′(x )＝6(ax ＋2)5(ax ＋2)′＝6a (ax ＋2)5，f ′(x )的展开式中x 的系数是6a C 4524a5－4＝480a 2，依题意得480a 2>192a ⇒a >25或a <0，故选A.4. [2016·冀州中学月考]若(1－2x )2013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2013x2013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201322013的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 C解析 令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201322013＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 201322013＝－1.故选C.5．[2016·武邑中学周测]若(ax －1)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．2 2 C.34 D ．2答案 D解析 (ax －1)5的展开式的通项是T r ＋1＝(－1)r·C r 5a5－r x 5－r，令5－r ＝3，得r ＝2，故x 3的系数为(－1)2C 25a 3＝80，所以a ＝2.故选D.6．[2016·衡水中学月考]二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax6(a >0)展开式中x 2项的系数为15，则实数a ＝________.答案 1解析 由题意可知T r ＋1＝C r 6x 6－2r(－1)r ·a－r,0≤r ≤6，r ∈Z ，则x 2项的系数是C 26a －2＝15，又a >0，则a ＝1.7．[2016·衡水二中一轮检测]二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x2n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________．答案 5解析 二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x3n －3r x －2r＝C r n x3n －5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r 3(r ＝0,1,2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.8．[2016·枣强中学猜题]已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．答案 7x 5解析 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不符合题意，舍去)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋128的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r，令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7x 5.9．[2016·衡水中学期中]设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 答案 0解析 (x －1)21的展开式的通项为T k ＋1＝C k 21x21－k·(－1)k .由题意知a 10，a 11分别是第x10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.10．[2016·武邑中学期中]⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．答案212解析 由已知条件第五项和第六项的二项式系数最大，得n ＝9，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 9的展开式中第四项为T 4＝C 39(x )6⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＝212. 11．[2016·衡水中学期末]已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1093.(4)∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6都大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7都小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)， ∴由(2)、(3)即可得其值为2187.12. [2016·冀州中学猜题]已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n， 又展开式中各项的二项式系数之和为2n， 由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n－32)＝0， ∴2n ＝－31(舍)或2n＝32，∴n ＝5. 由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x223. (2)展开式中的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r )．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！ 5－r ！r ！×3≥5！6－r ！ r －1 ！，5！ 5－r ！r ！≥5！4－r ！ r ＋1 ！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92. ∵r ∈N ，∴r ＝4.∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23·(3x 2)4＝405x 263.能力组13.[2016·武邑中学仿真]设a ，b ，m 为整数(m >0)，若a 和b 被m 除的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记a ＝b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，则a ＝b (mod10)，则b 的值可以为( )A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014答案 A解析 ∵a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220＝(1＋2)20＝320＝(32)10＝(10－1)10＝1010－C 110·109＋C 210·108－…－C 910·10＋C 1010＝1010－C 110·109＋C 210·108－…－C 910·10＋1＝10(109－C 110·108＋C 210·107－…－C 910)＋1，因此a 除10的余数为1，即a ＝1(mod10)，因此b 的值可以为2011，故选A.14．[2016·衡水中学模拟]若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析 由x 5＝[－1＋(1＋x )]5，所以a 3＝C 35(－1)2＝10. 15．[2016·冀州中学期中]在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和即为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29. 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29. (4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项的系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项的系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.16．[2016·衡水中学仿真]当n ∈N *时，求证：2≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3(n ∈N *)．证明 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n ＋…＋C n n ·1n ≥1＋C 1n ·1n＝2，又Ck n·1n k＝n ！k ！ n －k ！n k ＝n n －1 n －2 ·…· n －k ＋1k ！n k＝1k ！·n n ·n －1n ·n －2n ·…·n －k ＋1n＝1k ！⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n ·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1n ≤1k ！＝11·2·3·…·k ≤11·2·2·…·2＝12k －1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ≤2＋12！＋13！＋…＋1n ！≤2＋12＋122＋…＋12n －1＝2＋12－12n 1－12＝3－12n －1<3.。