第一章 1[1].2流体流动的基本方程1

1-2-1 流量及流速
引言
化工生产中的流体极大多数在密闭的管道或设备中流动，本节主要讨论流体在管内流动的规律，即讨论流体在流动过程中，流体所具有的位能、静压能和动能是如何变化的规律。

从而为解决流体流动这一单元操作中出现的工程问题打下基础。

流体流动应服从一般的守恒原理：质量守恒和能量守恒。

从这些守恒原理可得到反映流体流动规律的基本方程式连续性方程式（质量守恒）
柏努利方程式（能量守恒）
这是两个非常重要的方程式，请大家注意。

一. 流量
单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。

若流体量用体积来计算，称为体积流量，以V s表示，其单位为m3/s；若流体量用质量来计算，则称为质量流量，以w s表示，其单位为kg/s。

体积流量与质量流量的关系为：w s = V sρ
式中ρ-------- 流体的密度，kg/m3。

注意，流量是一种瞬时的特性，不是一段时间的累计量。

二. 流速
单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。

以u表示，其单位为m/s。

流体流过管路时，在管路任一截面上各点的流速沿管径而变化，即在管截面中心处流速最大，越靠近管壁流速就越小，在管壁处的流速为零。

流体在管截面上各点的流速分布规律较为复杂，在工程中为简便起见，流速通常采用整个管截面上的平均流速，即
用流量相等的原则来计算平均流速。

其表达式为：
式中 A -------- 与流动方向相垂直的管路截面积，m2 。

流量与流速的关系为：w s = V sρ= uAρ
由于气体的体积流量随温度和压强而变化，因而气体的流速亦随之而变。

因此采用质量流速就较为方便。

质量流速即单位时间内流体流过管路截面积的质量，以G表示，其Array
表达式为：
式中G -------- 质量流速，亦称质量通量；kg/m2 s 。

必须指出，任何平均值不能全面代表一个物理量的分布。

前述平均流速在流量方面与速度分布是等效的，但在其它方面则并不等效。

三. 管路直径的估算及选择
一般管路的截面均为圆形，若以d表示管路内径，则
于是。

所以流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。

实际管路选择：如图所示，因为d正比于u-1/2，所以选择的u越小，则d越大，那么对于相同的流量，所用的材料就越多，所以材料费、检修费等基建费也会相应增加。

相反，选择的u越大，则d就越小，材料费等费用会减少，但由于流体在管路中流动的阻力与u 成正比，所以阻力损失会增大，即操作费用就会增加。

所以应综合考虑，使两项费用之和最小。

通常流体流动允许压强降：水24.5kpa/100m管
空气5.1kpa/100m管
可以此来衡量所选择的管径是否合适。

对于长距离与大流量输送流体，d应按前述的经济核算原则进行选择；而对于车间内部，通常管道较短，也不太粗，这时可根据经验来选择d。

一般液体流速为0.5—3m/s，气体为10—30m/s，蒸汽为20—50m/s。

某些流体在管路中常用流速范围列于下表中。

1-2-2 稳定流动与不稳定流动
流体流动时流速等有关参数只随空间位置的变化而变化，而不随时间的变化而变化，称之为稳定流动（亦称定常流动）。

以u为例，则u =f（x，y，z）
流体流动时，有关参数不仅与空间位置有关，而且随时间的变化也发生变化，则称为不稳定流动（亦称非定常流动）。

以u 为例，则u = f（x，y，z，θ）
式中 x，y，z -------- 空间坐标；
θ------- 时间。

如下图所示，水箱4中不断有水从进水管3注入，而从排水管5不断排出。

进水量大于排水量，多余的水由溢流管1溢出，使水位维持恒定。

在此流动系统中任一截面上的流速及压强不随时间变化，故属稳定流动。

若将进水管阀门2关闭，水仍由排水管排出，则水箱水位逐渐下降，各截面上水的流速与压强同时也随之降低，这种流动属不稳定流动。

化工生产中，流体流动大多为稳定流动，故非特别指出，一般所讨论的均为稳定流动。

1-2-3 连续性方程
设流体在管道中作连续稳定流动，从截面2 -- 2流出，若在管道两截面之间流体无漏损，根据质量守恒定律，从截面1 -- 1
进入的流体质量流量w s1应等于从2 -- 2截面流出的流体质量流量w s2，即
w s1= w s2
因为w s= uAρ，所以
u1A1ρ1 = u2A2ρ 2
此关系可推广到管道的任一截面，即
w s= u1A1ρ1 =u2A2ρ 2 = uAρ= 常数
上式称为连续性方程。

若流体不可压缩，ρ= 常数，则上式可简化为
Vs = u1A1 = u2A2=uA= 常数
由此可知，在连续稳定的不可压缩流体的流动中，流体流速与管道的截面积成反比，截面积越大流速越小，反之亦然。

管道截面大多为圆形，故连续性方程又可改写为
由上式可知，管内不同截面流速之比与其相应管径的平方成反比。

-2-4 柏努利方程
下面通过流体流动系统总能量衡算的方法进行推导。

在上图所示的稳定流动系统中，流体从1 -- 1截面流入，从2 -- 2截面流出。

流体本身所具有的能量有以下几种形式：
1. 位能相当于质量为m的流体自基准水平面升举到某高度Z 所作的功，即位能 = mgZ
位能的单位[ mgZ ] = kg m = N m = J
2．动能质量为m、流速为u的流体所具有的动能为
动能=
动能的单位
3．静压能设质量为m、体积为V1的流体通过如图所示的1-1截面时，把该流体推进此截面所流经的距离为V1/A1，则流体带进系统的静压能为：输入静压能=p1A1V1/A1= p1V1
静压能的单位
4．内能单位质量流体的内能以U表示，质量为m的流体所具有的内能为：内能=mU
内能的单位
除此之外，能量也可以其它途径进入流体，它们是：
（1）热单位质量流体通过时吸热或放热，以Qe表示，质量为m 的流体吸收或放出的热量为：
热量=mQe
热量的单位
（2）功单位质量流体获得的能量以We表示，质量为m的流体接受的功为：功 = mWe
功的单位
流体接受外功为正，向外界作功则为负。

流体通过截面1 -- 1输入的总能量用下标1标明，经过截面2 -- 2输出的总能量用下标2标明，则对此流动系统的总能量衡算为：
将上式的每一项除以m，其中V/m = v比容，则得到以单位质量流体设流体是不可压缩的，上式中的v1 = v2 = v = 1/ρ；流动系统中无换热设备，式中Qe = 0；流体温度不变，则U1 = U2。

流体在流动时，为克服流动阻力而消耗一部分机械能，这部分能量转变成热，致使流体的温度略微升高，而不能直接用于流体的输送。

从实用上说，这部分机械能是损失掉了，因此常称为能量损失。

设单位质量流体在流动时因克服流动阻力而损失的能量为∑h f，其单位为J/kg。

于是上式成为
若流体流动时不产生流动阻力，则流体的能量损失∑h f = 0，这种流体称为理想流体。

实际上这种流体并不存在。

但这种设想可
以使流体流动问题的处理变得简单，对于理想流体流动，又没有外功加入，即∑h f =0，We = 0时，上式可简化为：
此式即为柏努利方程。

下面根据流体流动的动量原理推导柏努利方程。

假定：流体在圆形管道中作连续稳定流动，流体无粘性，即所谓理想流体。

那么流体在流动过程中无摩擦损失，流速分布均匀。

已知条件：如下图所示，已知流体质量流量w s管道截面积A。

推导：
（1）在流体流动管道中任取一微元段流体，长为dx，质量为dm；（2）分析微元段流体的受力情况：
x向压力为 pA 和 -（p+dp）A
重力在x向分力为 -gdmsinθ
因为 dm=ρAdx，dxsinθ=dZ
所以 -gdmsinθ=-gρA dxsinθ=-gρA dZ
则x向合力为pA-（p+dp）A- gρA dZ=-Adp- gρA dZ （3）分析微元段流体的动量变化率：
设流体经过微元段速度变化了du，那么动量变化率为
w s du =V sρdu =uAρdu
（4）根据动量原理，作用于微元段流体上的力的合力等于该流体的动量变化速率。

所以 uAρdu = -Adp - ρgAdZ
即 udu+dp/ρ+gdZ=0
对于不可压缩流体（ρ为常数），即有gZ +p/ρ+u2/2= C
这就是理想流体的柏努利方程式。