线性空间上的线性变换

线性空间上的线性变换6.1 特征多项式Cayley-Hamilton 定理是特征多项式中的一个重要定理，其传统证明方法是通过其伴随矩阵的变换来证明，过程较为繁长。

我们可以利用分块矩阵简化Cayley-Hamilton 定理的证明过程。

首先，我们先引进两个引理。

引理1：令n n A P ⨯∈.则A 总复相似于证明：A 的特征多项式在复数域上恒有根，令其中一根为11b ，1β为其对应的特征向量，即1111A b β=β.将1β扩充为W 的一个基底12n )βββ（，，，，从而有因此，A 总复相似于引理2：令，若f(x)为数域P 上的一多项式，则f(A)可如下分块接下来，我们来证明Cayley-Hamilton 定理，引入记号A ()∆λ表示E A λ－。

定理1（Cayley-Hamilton ）[4]：令n n ij A A=(a )P ,(A)=0⨯∈∆则。

证明：数学归纳法。

当n=1时，结论显然成立。

1112n n22b B C 0B ⨯⎛⎫∈ ⎪⎝⎭111212n 12n 22bB A A A ))0B ⎛⎫βββ=βββ ⎪⎝⎭（，，，（，，，1112n n22b B C 0B ⨯⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。

1112n n22A A A P 0A ⨯⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，111222f (A )B 0f (A )⎛⎫ ⎪⎝⎭。

假设定理对于任意阶数为n-1（n ≥2）的矩阵都成立。

由上引理1可知，存在可逆矩阵n n T C ⨯∈，使得再由引理2及知存在某个D 12使得由归纳法假设知，因此，A (B)=0∆，从而得证。

利用分块矩阵，我们还可以证明另一个与特征多项式有关的定理。

定理2[3]：令m n n m m n AB BA A P B P m n (x)=x *(x)⨯⨯-∈∈≥∆∆，，。

则。

特别地，当m=n 时，AB BA (x)=(x).∆∆证明：（1）当m=n ，且A 可逆时，有BA=A -1(AB)A ，由于相似矩阵有相同的特征多项式，因此AB BA (x)=(x)∆∆。

（2）当利用分块矩阵，将B 分块为 其中r r (n r)(n r)14B P B P ⨯-⨯-∈∈，。

于是因此m rn rA B mr 1B A n r 1(x )=x E AB xx E B ,(x )=x EBA x x E B --∆-=-∆-=-。

联立两式即可得m n AB BA (x)=x *(x)-∆∆。

（3）考虑一般情况。

令r A =r ，由于任意矩阵A 都等价于其等价标准形故存在可逆矩阵m m n n P P Q P ⨯⨯∈∈，，使得(r)A=PE Q 。

再反复（1）（2）步骤，有(r )(r )(r )(r )m n m n m n AB BA PE QB E QBP QBPE BPE Q (x)=(x)=(x)x (x)x (x)x (x)---∆∆∆=∆=∆=∆。

1112-11122bB T AT B b C0B ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，()222222B 111212B 11n B 2211n 1B 22(b )D 0B (B)=B bE (B)0B b E 0(B )-∆⎛⎫⎛⎫∆∆= ⎪ ⎪ ⎪-∆⎝⎭⎝⎭－。

22B 22(B )=0∆，()22B 11B ()=b ()∆λλ-∆λ，-1A B (A)=T (B)T =∆∆0。

r E 0A=00⎛⎫ ⎪⎝⎭，1234BB B=B B ⎛⎫⎪⎝⎭，1123B 0B B AB=BA=B 000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，r(r)m nE 0E00⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭。

6.2 最小多项式最小多项式在代数中占有非常重要的地位，在求某些特殊形式的矩阵的最小多项式时，适当利用分块矩阵可以简化运算。

对于准对角矩阵，我们有以下定理： 定理3：设A 是由若干矩阵组成的准对角矩阵，其中i A 的最小多项式为i g (x)(i 12s)=，，，，，那么A 的最小多项式为12s [g (x)g (x)g (x)]，，，。

由于相似的矩阵具有相同的最小多项式，最小多项式相同的矩阵不一定相似，因此，我们可以利用最小多项式来判断两个矩阵是否相似。

例：设判断A ，B 是否相似。

解：令其中我们可以算出1A 的最小多项式为(x-1)2，2A 的最小多项式为(x-1)(x-2)，故A 的最小多项式为(x-1)2 (x-2)；1B 的最小多项式为(x-1)，2B 的最小多项式为(x-2)2，故B 的最小多项式为(x-1) (x-2) 2。

由于A 和B 的最小多项式不同，故A 与B 不相似。

利用矩阵的最小多项式，我们还可以进一步判断矩阵是否可以对角化：数域P 上的n 阶矩阵A 与对角矩阵相似，即可对角化的充分必要条件是A 的最小多项式是数域P 上互素的一次因式的乘积。

6.3 矩阵的分解矩阵在很多地方都有大量的应用，但有时候直接应用，很难看出其性质及优1s A A=A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，11111A=B=12122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，1122A B A=B=A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121110A =A =0102⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，121021B =B =0102⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点。

然而若将一些矩阵分解为某些特殊矩阵或比较简单的矩阵的运算，一方面可以反映原矩阵的秩，特征值，奇异值等某些数值特性，另一方面矩阵分解可以利用特殊矩阵的特殊性质，简化计算，有利于我们对分解矩阵的讨论。

以下，我们将利用分块矩阵分解几个特殊矩阵。

例1：矩阵A m ×n 的秩为r ，则存在m×r 的列满秩矩阵P ，及r×n 的行满秩矩阵Q ，使得A=PQ 。

证明：已知A 的秩为r ，则存在m 阶可逆方阵P 1，n 阶可逆方阵Q 1，使例2：设n 阶方阵A 的n-1个顺序主子式∣A 1∣，∣A 2∣，…，∣A n-1∣皆不为零，则A 存在如下分解A =LDM ，其中M ，L 分别是上，下三角可逆矩阵，D 是对角矩阵。

证明：利用分块矩阵及归纳法。

对n 作归纳法。

n=1时显然成立，设n-1时结论已经成立，要证n 时结论成立。

进一步变化，1()()()1r 11m n r r 1r n m r r r 1r n m r 1P P E O A=P Q O O E E O Q O E E O Q O PQ ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=。

n-1nn A A=n-1n-11a β⎛⎫α⨯β⨯ ⎪α⎝⎭令，其中为1（）阵，为（）阵。

-1-1n-1n-1n-1n-1n-1n-1n-1-1-1n-1nn nn n-1n-1-1nn n-1E 0A A E -A E -A =-A 1a 0a -A 0101A 0=0a -A ββ⎛⎫⎛⎫ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪αααβ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪αβ⎝⎭()r r1r n m r1E P=Q=E O Q P O P Q ⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭其中，。

且，分别是行满秩和列满秩矩阵。

由以上假设可知，n-1A 为n-1阶，故存在M 1，L 1分别是上，下三角可逆矩阵，D 1是对角矩阵，使L 1D 1M 1=A n-1。

令-1-11111Q =M P =L ，，它们仍为上，下三角可逆矩阵，且1n-111P A Q =D 。

则有例3[6]：n×n 复方阵A 称为半单的，如果A 相似于对角形。

证明对n×n 复方阵A 存在n×n 复方阵B 及C 使得1） A=B+C ；2） B 是半单的，C 是幂零的； 3） BC=CB 。

证明：A 可相似与若尔当形矩阵，即有可逆阵T 使T -1JT=A.其中它们满足1）B 相似对角阵，故是半单的。

2）N i 皆幂零，故C 为幂零的。

3）λi E i 与N i 都交换，故B 与C 是交换的。

4）B+C=T -1JT=A 。

得证。

n-1111-1-1nn n-1nn n-1-1n-111-1-1n-1n-1-1n-1A 0D 0P 0Q 0=D 0Q -A 0a -A 0101E 0P 0Q 0E -A L =M =-A 1010101L M A=LDM ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪αβαβ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫β⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪α⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为对角形。

令及，它们是下，上三角可逆矩阵。

则，分别仍是下，上三角可逆阵。

这时有，得证。

i i i1i i k i i n k k 00000J 10000J J =E N N i 12s 01000J 00010⨯⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=λ+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭。

而，，，，，。

1s 1k 1-1-1s k s E N B=T T C T T E N 0000⎛⎫λ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ⎝⎭⎝⎭令，，定理1[7]：设λ1是矩阵A ∈C n×n 的特征值，n 1=dimN[(A －λ1E n )u1]，u 1为λ1的指标，则存在n×n 1的列满秩矩阵 使这里是n 1阶矩阵。

它由0ρ个Jordan 块组成，且只有特征值λ1。

定理2[7]：设λ1，λ2，…，λi 是矩阵A ∈C n×n 的互异特征值，λi （i=1，2，…，s ）的代数重数为n i ，则必存在满秩矩阵P ，使其中J i 是由λi 的Jordan 块组成的n i 阶准对角阵。

我们称上式右边的矩阵为A 的Jordan 标准型，记为J ，即()1111u 1u 1u 10111(u )(u )(u 1)(u 1)(1)(1)11121P V V ,V V V V ----ρρ+ρ-ρ+ρ=，，，，，，，，111AP P J =1111111(u )1u 1(u )1(u 1)1u -2u 11(u 1)1(1)101(1)1J J J -J J J -J ----⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ρ⎨⎬⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭ ⎪⎧⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ρρ⎨⎬⎪=⎪⎪ ⎪⎩⎭⎪⎪ ⎪⎧⎫ ⎪⎪⎪⎪ρρ⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭个个个12-1s J J P AP=J ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12s J J J=J ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭从而有A=PJP-1，称为A的Jordan标准分解。