9月28号 2.2.2平面与平面平行的判定
2.2.2平面与平面平行的判定(解析版)
人教版A版高中数学必修二2.2.2平面与平面平行的判定学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面D．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面【答案】C【解析】【分析】根据面面平行的判定定理或定义可得出结论.【详解】根据面面平行的定义可知，若两个平面没有公共点，则这两个平面平行，则一个平面内所有直线都与另一个平面没有公共点，则这两个平面平行.由面面平行的判定定理可知，一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.故选：C.【点睛】本题考查面面平行的判断，一般利用面面平行的定义或判定定理来判断，考查对面面平行的定义和判定定理的理解，属于基础题.2．下列说法正确的是（）A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行【答案】C【解析】【分析】利用逐一验证法，结合面面平行的判定以及线线平行的特点，可得结果.A 错，由两条直线与同一条直线所成的角相等，可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面；B 错，若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行或相交；C 正确，设,l m αβ⋂=//,m α//β，利用线面平行的性质定理，在平面α中存在直线a //m ，在平面β中存在直线b //m ，所以可知a //b ，根据线面平行的判定定理，可得b //α，然后根据线面平行的性质定理可知b //l ，所以m //l ；D 错，两个平面可能平行，也可能相交.故选：C【点睛】本题考查面面平行的判定，还考查线面平行的判定定理以及性质定理，重点在于对定理的熟练应用，属基础题.3．已知,αβ是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（ ）A ．α内有无穷多条直线与β平行B ．直线a //,a α//βC ．直线,a b 满足b //,a a //,b α//βD ．异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α【答案】D【解析】【分析】采用逐一验证法，根据面面平行的判定定理，可得结果.【详解】A 错α内有无穷多条直线与β平行，B 错若直线a //,a α//β，则平面α与平面β可能平行，也可能相交，C 错若b //,a a //,b α//β，则平面α与平面β可能平行，也可能相交，D 正确当异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α时，可在α上取一点P ，过点P 在α内作直线'b //b ，由线面平行的判定定理，得'b //β，,a b 异面，所以',a b 相交，再由面面平行的判定定理，得α//β，故选：D.【点睛】本题考查面面平行的判定，属基础题.4．已知三条互不相同的直线l m n ，，和三个互不相同的平面αβγ，，，现给出下列三个命题：①若l 与m 为异面直线，l m αβ⊂⊂，，则αβ∥；②若αβ∥，l m αβ⊂⊂，，则l m P ；其中真命题的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】【分析】通过线面平行的性质与判定，以及线面关系，对三个命题进行判断，得到答案.【详解】①中，两平面也可能相交，故①错误；本题考查线面平行的判定和性质，线面关系，属于简单题.5．设α，β表示两个不同平面，m 表示一条直线，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，//αβ，则//m β.B ．若//m α，//m β，则//αβ.C ．若m α⊂，//αβ，则//m β.D ．若m α⊂，//m β，则//αβ.【答案】C【解析】【分析】由//m β或m β⊂判断A ；由//αβ，或αβ、相交判断B ；根据线面平行与面面平行的定义判断C ；由//αβ或αβ、相交，判断D .【详解】若//m α，//αβ，则//m β或m β⊂，A 不正确； 若//m α，//m β，则//αβ，或αβ、相交，B 不正确；若m α⊂，//αβ，可得m 、β没有公共点，即//m β，C 正确；若m α⊂，//m β，则//αβ或αβ、相交，D 不正确,故选C.【点睛】本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6．能够推出平面α∥平面β的是（ ）A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对；对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确考点：空间线面平行的判定与性质7．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ等价于（ ） A ．存在两条异面直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂.B ．存在一条直线a ，//,//a a αβ.C ．存在一条直线a ，,//β⊂a a a .D ．存在两条平行直线,a b ，,,//,//αββ⊂⊂a b a b a .【答案】A【解析】【分析】根据面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A 选项，如图：,a b 为异面直线，且,,//,//a b a b αββα⊂⊂，在β内过b 上一点作//c a ，则β内有两相交直线平行于α，则有//αβ；故A 正确；对于B 选项，若//,//a a αβ，则a 可能平行于α与β的交线，因此α与β可能平行，也可能相交，故B 错；对于D 选项，若,,//,//αββ⊂⊂a b a b a ，则α与β可能平行，也可能相交，故D 错.故选：A【点睛】本题主要考查探求面面平行的充分条件，熟记面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系即可，属于常考题型.8．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m βP ，n P P βαβ⇒ ②n m ∥，n m αα⊂⇒P ③αβ∥，m α⊂，n m n P β⊂⇒ ④m αP ，n m n α⊂⇒P 其中正确命题的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】①m α⊂，n α⊂，m P β，n βP ，则α与β可能相交，①错；②n m P ，n α⊂，则m 可能在平面α内，②错；③αβP ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 可能异面，③错；④m αP ，n α⊂，则m 与n 可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选A ．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 9．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在两条不同的直线l ，m ，使得l ⊂β，m ⊂β，使得l ∥α，m ∥α③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B利用直线与平面、平面与平面的位置关系,对选项进行逐一判断,确定出正确选项即可.【详解】对于①:由平行于同一平面的两个平面平行可知①正确;对于②:由面面平行的判定定理知,若,l m 是同一平面内的两条相交直线时,可以判定α与β平行,反之不成立,故②不正确;对于③:若,αβ是两个相交平面时,如果平面α内不共线的三点在平面β的异侧时，此三点可以到平面β的距离等,此时不能判定α与β平行,故③不正确;对于④:在平面α内作''//,//l l m m ,因为,l m 是两条异面直线,所以必有'',l m 相交,又因为//,//l m ββ,所以''//,//l m ββ,由面面平行的判定定理知,α与β平行,故④正确;故选:B【点睛】本题考查面面平行的判定及线面平行的判定;熟练掌握面面平行的判定定理是求解本题的关键;重点考查学生的逻辑思维能力;属于中档题、常考题型.10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，点P 是侧面11CDD C 上的动点，且1MP AB C P ，则线段MP 长度的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 取CD 的中点N ，1CC 的中点R ，11B C 的中点H ，根据面面平行的判定定理，得到平MRN ∠是直角，进而即可求出结果.【详解】取CD 的中点N ，1CC 的中点R ，11B C 的中点H ，则1////MN B C HR ，//MH AC ， ∴平面//MNRH 平面1AB C ，∴MP ⊂平面MNRH ，线段MP 扫过的图形是MNR V∵2AB =，∴MN NR MR ===∴222MN NR MR =+，∴MRN ∠是直角，∴线段MP 长度的取值范围是. 故选B.【点睛】本题主要考查面面平行的判定，熟记面面平行的判定定理即可，属于常考题型.二、填空题11．给出下列命题：①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；其中说法正确的有_____（填序号）.【答案】②③【解析】【分析】对四个选项进行逐一分析即可.对①：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误. 综上所述，正确的有②③.故答案为：②③.【点睛】本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.12．过平面外两点，可作______个平面与已知平面平行．【答案】0或1【解析】【分析】当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，结论不唯一，得到结果．【详解】两点与平面的位置不同，得到的结论是不同的，当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行， 这样的平面可能有，可能没有，故答案为0或1．【点睛】本题考查平面的基本性质及推论，考查过两个点的平面与已知平面的关系，本题要考查学生的空间想象能力，是一个基础题．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面ABCD平行的面是____________．【答案】面A1B1C1D1【分析】根据正方体的性质，得到答案.【详解】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中根据正方体的性质，对面互相平行所以与面ABCD 平行的面是A 1B 1C 1D 1【点睛】本题考查正方体的基本性质，属于简单题.14．设直线,l m ，平面,αβ，下列条件能得出//αβ的是_____.l m αα⊂⊂①,，且//,//l m ββ；l m αβ⊂⊂②,且//l m ；③,l m αβ⊥⊥，且//l m ；//,//l m αβ④，且//l m .【答案】③【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题分析判断得解.【详解】设直线,l m ，平面,αβ，①,l m αα⊂⊂，且//,//l m ββ；l 与m 不相交时不能得出//αβ.②,l m αβ⊂⊂且//;l m α与β可能相交.③,l m αβ⊥⊥，且//l m ；能得出//αβ.④//,//l m αβ，且//l m .可能得出α与β相交.故答案为：③.【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点（包括边界），且11//A F D AE 平面，则11FA FB ⋅u u u v u u u v的最小值为____．【答案】12【解析】【分析】 根据题意1111ABCD A B C D -，可知2211111111111()||||FA FB FB B A FB FB B A FB FB ⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，即求21||FB u u u r 的最小值.在侧面11BCC B 内找到满足1//A F 平面1D AE 且21||FB u u u r最小的点即可.【详解】 由题得21111111()||FA FB FB B A FB FB ⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，取1BB 中点H ，11B C 中点G ，连结1A G ，1A H ，GH ，11//A H D E Q ，∴1//A H 平面1D AE ，1//GH AD Q ，//GH ∴平面1D AE ，∴平面1//GA H 平面1D AE ，1//A F 平面1D AE ，故F ⊂平面1GA H ，又F ⊂平面11BCC B ，则点F 在两平面交线直线GH 上，那么1FB 的最小值是1FB GH ⊥时，11=1B G B H =，则211||=2FB u u u r 为最小值. 【点睛】本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.三、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，//AB CD ，E ，F 分别为棱PC ，CD的中点，3AB =，6CD =，且AC =（1）证明：平面//PAD 平面BEF .（2）若四棱锥P ABCD -的高为3，求该四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）9【解析】【分析】（1）根据3AB =,6CD =可知2CD AB =,由//AB DF 可证明//BF AD ,又根据中位线可证明//EF PD 即可由平面与平面平行的判定定理证明平面//PAD 平面BEF . （2）利用勾股定理,求得DC .底面为直角梯形,求得底面积后即可由四棱锥的体积公式求得解.【详解】（1）证明：因为F 为CD 的中点,且2CD AB =,所以DF AB =.因为//AB CD ,所以//AB DF ,所以四边形ABFD 为平行四边形,所以//BF AD .在PDC ∆中,因为E ,F 分别为PC ,CD 的中点,所以//EF PD ,因为EF BF F =I ,PD AD D ⋂=,所以平面//PAD 平面BEF .（2）因为AD CD ⊥,所以AC ==又AC =所以2AD =. 所以四边形ABCD 的面积为()123692⨯⨯+=, 故四棱锥P ABCD -的体积为13993⨯⨯=. 【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定,四棱锥体积的求法,属于基础题.17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1AD ，1BD B C ，的中点. 求证：（1）MN ∥平面11CC D D ；（2）平面MNP P 平面11CC D D .【答案】证明见解析【解析】【分析】（1）连接1,AC CD ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）连接1BC ，1C D ，先由线面平行的判定定理，得到PN P 平面11CC D D ，再由（1）的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.【详解】（1）如图，连接1,AC CD .∵四边形ABCD 是正方形，N 是BD 的中点，∴N 是AC 的中点.又∵M 是1AD 的中点，∴1//MN CD .∵MN ⊄平面11CC D D ，1CD ⊂平面11CC D D ，∴//MN 平面11CC D D .（2）连接1BC ，1C D ，∵四边形11B BCC 是正方形，P 是1B C 的中点，∴P 是1BC 的中点.又∵N 是BD 中点，∴1PN C D P .∵PN ⊄平面111,CC D D C D ⊂平面11CC D D ，∴PN P 平面11CC D D .由（1）知MN ∥平面11CC D D ，且MN PN N ⋂=，∴平面//MNP 平面11CC D D .【点睛】本题主要考查证明线面平行与面面平行，熟记线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ；（2）平面1APC P 平面1B CD ．【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，证明1OD AC P ，再由线面平行的判定可得1AC ∥平面1B CD ；（2）由P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，证得四边形1ADB P 为平行四边形，得到1AP DB P ，进一步得到AP ∥平面1B CD ．再由1AC ∥平面1B CD ，结合面面平行的判定可得平面1APC P 平面1B CD ．【详解】证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD AC P ，又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，∴1AC ∥平面1B CD ；（2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，∴1AD B P P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形，∴1AP DB P ，又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，∴AP ∥平面1B CD ．又1AC ∥平面1B CD ，1AC AP P =I ，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ， ∴平面1APC P 平面1B CD ．【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别是平面11AA D D ､平面1111D C B A 的中心，证明:（1）1//D Q 平面1C DB ；（2）平面1//D PQ 平面1C DB .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)证明1//D Q DB 即可.(2)根据(1)中的结论再证明11//D P C B 即可.【详解】（1）由1111ABCD A B C D -是正方体,可知,1//D Q DB ,∵1D Q ⊄平面1C DB ,DB ⊂平面1C DB ,∴1//D Q 平面1C DB .（2）由1111ABCD A B C D -是正方体,可知,11//D P C B ,∵1D P ⊄平面1C DB ,1C B ⊂年平面1C DB ,∴1//D P 平面1C DB ,由（1）知,1//D Q 平面1C DB ,又111D Q D P D =I , ∴平面1//D PQ 平面1C DB .【点睛】本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题.20．如图，矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，2,1EP BP AD AE ====，,//,,AE EP AE BP G F ⊥分别是,BP BC 的中点．求证：平面//AFG 平面PCE ；【详解】因为G 是BP 的中点，2BP =，所以112PG BP ==． 又因为1AE =， //AE BP ，所以//AE PG ，且AE PG =，所以四边形AEPG 是平行四边形，所以//AG EP ．又因为AG ⊄平面,PCE EP ⊂平面PCE ，所以//AG 平面PCE ． 因为G F 、分别是BP BC 、的中点，所以//FG PC ．又因为PC ⊂平面,PCE FG ⊄平面PCE ，所以//FG 面PCE 又因为,AG FG G AG ⋂=⊂平面,AFG FG ⊂平面AFG ， 所以平面//AFG 平面PCE ．。
2.2.2 平面与平面平行的判定
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 ∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG.
√D.相邻的侧面解析 由正体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.
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3.已知α，β是两个不同的平面，下列条件中可以判断平面α与β平行的是
(1)α内存在不共线的三点到β的距离相等；
(2)l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；
(3)l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
A.(1)(2)
√C.(3)
B.(1)(3) D.(1)(2)(3)
解析 平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β可能平行也可 能相交，故(1)不正确； 当l与m平行时，不能推出α∥β，故(2)不确定； l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α内存在两条相交直线与平面 β平行，根据面面平行的判定定理，可得α∥β，故(3)正确.故选C.
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5.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面 DEF与平面ABC的位置关系是__平__行____.
解析 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC， AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC. 同理可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
2.2.2平面和平面平行的判定(1课时)
2.2.2平面与平面平行的判定学习目标：掌握平面与平面平行的判定定理；掌握转化的思想“线面平行转化为面面平行”. 学习重点、难点：掌握平面与平面平行的判定定理.学习过程：一、复习准备：1、平面与平面有哪几种位置关系？（1）；（2）；2、直线与平面平行的判定定理.图形表示: 符号语言:二、探究新知：平面与平面平行的判定定理：图形表示: 符号语言:定理告诉我们，可以通过推证，这是处理空间位置关系一种常用的方法，即将平面与平面平行关系（空间问题）转化为直线与平面的平行问题并最终转化为直线间平行关系（平面问题）。
三、知识应用：例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1, 求证：平面AB1D1//平面C1BD.练习1：判断：.//,////,,,,)1(βαββααβα面则面面，面面面若和直线，已知平面n m n m n m ⊂⊂（ ）.//,)2(βαβα面则面平行于另一平面内两条不平行的直线都一个平面（ ）练习2：）平行的条件可以是（与平面平面..........βα 平行。
内的任何直线都与面面面面且面直线面）直线（面，面，且直线面，面）直线（平行。
平面内有无数多条直线都与平面βααββαβαβαβα)(.//,//,,C .////B )(D b a b a a a a a A ⊂⊂⊄⊄ 练习3： 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，M,N,E,F 分别是棱A 1B 1,A 1D 1,B 1C 1,C 1D 1的中点，求证：平面AMN //平面EFDB.例题2：如图：A,B,C 为不在同一直线上的三点，且AA 1//BB 1//CC 1,且AA 1=BB 1=CC 1,求证：平面ABC//平面A 1B 1C 1.练习4：如图，直线AA 1，BB 1,CC 1相交于点O ，AO=A 1O,BO=B 1O,CO=C 1O ,求证：平面ABC //平面A 1B 1C 1.四、知识小结：。
公开课2.2.2平面与平面平行的判定
———
线线平行
作
业： P58
2
1.判定平面与平面平行的关键是什么？ 根据定义可知，判断平面与平面平行 的关键在于判断他们有没有公共点.如果一 个平面内的所有直线都与另一个平面平行， 那么这两个平面一定平行. 这样，两个平面平行的问题就转化为 一个平面内的直线与另一个平面平行的问题. 实际上，判定两个平面平行不需要判定一个 平面内的所有直线都平行与另一个平面.
AD1//平面C1BD,B1D1//平面C1BD,AB1//平面C1BD
AD //BC ，B D //BD, 四种方法之一： ABC D , BB D D 一组对边平行且
1 1 1 1
1 1 1 1
相等
正方体性质
证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， BB1 //DD1 四边形BB1D1是平行四边形
B1D1 平面 C1BD BD 平面 C1BD B1D1 //平面 C1BD B1D1 / / BD
BD / / BD
1
1
同理，AD1 //平面 C1BD
AD1 平面AB1D1 B1D1 平面AB1D1 AD1 B1D1 D1 平面AB1D1 //平面 C1BD AD1 //平面C1BD B1D1 //平面C1BD
分层训练
必做题： P62—7 如图，A,B,C为不在同一条直线上的三点
AA// BB//CC ,且AA=BB=CC 求证：平面ABC / /平面ABC
人教版高中数学必修22.2.2 平面与平面平行的判定
题型一 题型二
题型二
易错辨析
易错点:不满足面面平行的判定定理的条件而致错 【例2】
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AA1,BB1,CC1,DD1 的中点,求证:平面EG∥平面AC.
题型一 题型二
错解:因为E,F分别是AA1和BB1的中点,所以EF∥AB.又EF⊄平面 AC,AB⊂平面AC,所以EF∥平面AC.
题型一 题型二
【变式训练边形,点
M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平
面MNQ∥平面PBC.
题型一 题型二
证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP. 因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,所以NQ∥平面PBC. 又底面ABCD为平行四边形, 所以BC∥AD,所以MQ∥BC. 因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,所以MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥ 平面PBC.
题型一 题型二
反思判定平面与平面平行的常用方法有: (1)根据定义:证明两个平面没有公共点,通常要采用反证法. (2)根据判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内 找到两条相交直线平行于另一个平面. 判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则, 即先在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面平行,若找不到 再作辅助线.
2020版人教A数学必修2：2.2.2 平面与平面平行的判定
A)
解析:如图,因为EG∥E1G1,EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1,所以EG∥平面 E1FG1,又G1F∥H1E,同理可证H1E∥平面E1FG1,又H1E∩EG=E,所以平面 E1FG1∥平面EGH1.故选A.
4.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中:
①BM∥平面ADNE;
②CN∥平面ABFE;
方法技巧
解决此类问题的关键有两点:(1)借助常见几何体进行分析,使得抽象 问题具体化.(2)把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两 条相交直线均平行于另一个平面”.
即时训练1-1:已知三个平面α ,β ,γ ,一条直线l,要得到α ∥β ,必须满 足下列条件中的( ) (A)l∥α ,l∥β ,且l∥γ (B)l⊂γ ,且l∥α ,l∥β (C)α ∥γ ,且β ∥γ (D)l与α ,β 所成的角相等
2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两
个平面的位置关系是( C )
(A)一定平行
(B)一定相交
(C)平行或相交
(D)以上判断都不对
解析:可借助于长方体判断两平面对应平行或相交.故选C.
3.在正方体EFGHE1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是( (A)平面E1FG1与平面EGH1 (B)平面FHG1与平面F1H1G (C)平面F1H1H与平面FHE1 (D)平面E1HG1与平面EH1G
课堂达标
1.下列命题正确的是( D )
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面
2.2.2平面与平面平行的判定
又 A1E 平面 ADC1,AD 平面 ADC1, 所以 A1E∥平面 ADC1.………………………… （9 分) 由 A1E∥平面 ADC1,EB∥平面 ADC1, A1E 平面 A1EB,EB 平面 A1EB,且 A1E EB=E, 所以平面 A1EB∥平面 ADC1.…………………(12 分)
对面面平行的判定定理的 理解
【例 1】 已知直线 l,m,平面α ,β ,下列命题正确
的是( ) (A)l∥β ,l α α ∥β (B)l∥β ,m∥β ,l α ,m α α ∥β (C)l∥m,l α ,m β α ∥β (D)l∥β ,m∥β ,l α ,m α ,l m=M α ∥β
平面与平面平行的判定定理
三角板有两条边与课桌面平行,那 么两个平面有什么位置关系?课本的两条边与 课桌面平行呢?
(当三角板两条边平行于课桌面时,两个平面平行, 课本的两条边平行于课桌面时,两个平面位置不能 确定,需要考虑是哪两条边,若是平行边则不能判 定平行,相交的两边则可以)
(1)文字语言:一个平面内的两 条相交直线与另一个平面平行,则这两个 平面平行. (2)符号语言:a β ,b β , a ∥α ,b∥α
平面与平面平行的判定
【例 2】 (12 分)如图所示,在三棱柱
ABC A1B1C1 中,点 D,E 分别是 BC 与 B1C1 的中点. 求证:平面 A1EB∥平面 ADC1.
名师导引:(1)证明平面 A1EB∥平面 ADC1 的关 键是什么? (在一个平面内找两条相交直线平行于另一个 平面) (2)可以选用哪两条相交直线进行证明? (可以选用 EB 和 A1E,证明与平面 ADC1 平行) 证明:由棱柱性质知,B1C1∥BC,B1C1=BC, 又 D,E 分别为 BC,B1C1 的中点, 所以 C1E∥DB,C1E=DB, 则四边形 C1DBE 为平行四边形,
2.2平面与平面平行的判定和性质定理
已知：如图，α∥β，AB∥CD，A∈α，
C∈α,B∈β，D∈β， 求证:AB=CD 第二步:分析,作出辅助线；
A
C
β B
γ
D
第三步:书写证明过程.
证明：
AB / / DC 过AB，CD可作平面
AC BD / /
a
答:如果两个平面平行，那么一个 平面内的直线与另一个平面平行.
如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，交线具有什么位置关系？
D1
C1 B1
A1
D
C
A
B
一、平面与平面平行的性质定理:
两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行.
（面面平行 线线平行）
// a a // b b
例2. 如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线， M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、 D∈β. 求证：MN∥α.
证明：连接BC，取BC的中
点E，分别连接ME、NE， 则ME∥AC， ∴ ME∥平面α， 又 NE∥BD， ∴ NE∥β， 又ME∩NE=E， ∴平面MEN∥平面α， ∵ MN平面MEN， ∴MN∥α.
符号表示： ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ b P a 图形表示：
线不在多，重在相交
判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； × （4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 行； × （5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面．×
2.2.2平面与平面平行的判定
已知平面α，β和直线m，n，若m α，n α， m∥β，n∥β，则α∥β．这个命题是否正确？为 什么？
∩
只有当α内的两 条相交直线平行于β时，
才有α//β．
β
m
α
n
∩
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F 分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证： 平面AMN∥平面EFDB．
平面与平面 平行的判定
三角板有一条边与平面平行，当三角板怎么 放置时，三角板所在的平面与桌面平行？
怎样判定平面 与平面平行呢？
思考：如果平面内有一条直线与平面平行，那么 平面是否与平面平行？为什么？
怎样才能使 α//β呢？
α
思考：如果平面内有两条直线与平面平行，那么 平面与平面平行吗？为什么？ 两个图形：一个是有两条平行直线与平面平行， 一个是相交直线与平面平行．
β
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
求证:平面AB1D1∥平面BDC1.
证明:如右图所示, ∵AB ∴AB A1B1, C1D1 C 1D1. A1B1,
∴四边形ABC1D1为平行四边形, ∴AD1∥BC1. 又AD1
平面BDC1,BC1 平面BDC1,
∴AD1∥平面BDC1. 同理,B1D1∥平面BDC1,
N
A1
D D1
F M
B1
E
C1
证明：∵MN∥EF，NA∥EB ∴平面AMN∥平面EFDB
你知道这是为什 么吗？
C
A
B
基础强化
1.α,β是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是( )
A.平面α内有一条直线与平面β平行,那么α∥β
B.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β
2.2.2平面和平面平行的判定
4、平面α//β，A,C 在α内，B,D在β内， AB=a是α，β的公垂 线，CD是斜线， 若 AC=BD=b,CD=c, M、N分别是AB、 CD的中点， （1）求证：MN// β; (2)求MN的长。
α
A
C
M N B
P
β
D
E
4、平面α//β，A,C 在α内，B,D在β内， AB=a是α，β的公垂 线，CD是斜线， 若 AC=BD=b,CD=c, M、N分别是AB、 CD的中点， （1）求证：MN// β; (2)求MN的长。
β
b
α r
a
两个平面平行的其它性质
性质 如果两个平面平行，那么其中一个平 面内的所有直线一定都和另一个平面平行． 性质：夹在两个平行平面间的平行线段 相等． 性质：经过平面外一点只有一个平面和已知 平面平行
1、如果两个平面分别平行于第三个平面，那么 这两个平面互相平行。
a
α
b
c β
d
e
f
γ
3、平面α∥β， △ABC在β内，P是 α、β间的一点，线 段 PA、PB、PC 分别交α于A ‘、B ’、 C ‘，若BC=12cm、 AC＝5cm， AB＝ 13cm，且PA ＇∶ PA= 2∶3， 求△ A‘B’C‘面 积。
平面和平面平行的判定
复习：
如何判定直线和平面平行？有几种方法？ （１）用定义判定． （２）用判定定理． 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条 直线平行，则该直线与此平面平行． 符号表示：
ａ，ｂ，ａｂ
>ａ
两个平面的位置关系
1、两个平面平行 ——没有公共点；
2、两个平面相交 ——有一条公共直线（至少有一个公共点）． 如何判定两个平面平行？ 定义 难
2.2.2平面与平面平行的判定教案
课题：2.2.2平面与平面平行的判定一：教学内容分析
二：教学目标
三：学情分析
四：教学策略选择与设计
五：教学重点及难点
六：教学过程：开场白
（一）知识准备，引入新知，
（1）巩固旧知，铺垫新知，
（2）享受美图，呈现新知
（3）情境创设，孕育新知
（二）师生协助，探究新知
（三）尝试应用，小试新知
（四）回归生活，应用新知
（五）合作交流，例范新知
（六）方法归纳，升华新知
（七）变式强化，熟练新知
（八）畅谈感受，提炼新知
（九）当堂检测，检验新知
（十）布置作业，巩固新知
结束语：
七：板书设计
八：教学说明
，那么
，那么直线
一定平行吗？
mαn a b。
2.2.2 平面与平面平行的判定
关系,如果换成课本与课桌面,课本的两条边与课桌面平行时,两个平面
有什么关系.
想一想
三角板有两条边与课桌面平行,那么两个平面有什么位置关
系?课本的两条边与课桌面平行呢?
(当三角板两条边平行于课桌面时,两个平面平行,课本的两条边平行于
课桌面时,两个平面位置不能确定,需要考虑是哪两条边,若是平行边则 不能判定平行,相交的两边则可以)
四边形,平面ABC与平面A1B1C1是否平行
.(填“是”或“否”)
答案:是
4.(判定定理)已知a,b是两条直线,α ,β 是两个平面,Ρ 是一个点,若a∥β ,
b∥β ,a⊂α ,b⊂α ,且
答案:a∩b=P
(填上一个条件即可),则有α ∥β .
课堂探究
题型一 【思考】 对面面平行判定定理的理解
典例剖析·举一反三
1.平面α 内有无数条直线与β 平行,α 与β 平行吗?
平面α 内任一条直线与平面β 平行,α 与β 平行吗?
提示:不一定,平行.
2.如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交 直线.那么这两个平面平行吗?
提示:平行.
【例1】 已知直线l,m,平面α ,β ,下列命题正确的是( (A)l∥β ,l⊂α ⇒α ∥β
自我检测
1.(理解定理)下列说法中正确的是( C ) (A)如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行 (B)如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行
(C)如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行
(D)如果两个平面平行于同一直线,则这两个平面平行
证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP,
2.2.2平面与平面平行的判定1
D
C
A
B
2. 已知四棱维P-ABCD中，底面ABCD为平 行四边形，点M,N,Q分别在PA,BD,PD上， 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.
求证：平面MNQ∥平面PBC.
小结
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。
b a∩b=P
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
//
2.2.2平面与平面平行的判定
复习:
直线和平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行.
（线线平行
线面平行）
a
b
α
a b a / / a / /b
课前自主复习：
平面与平面的位置关系
1、 两个平面平行——没有公共点； 2、 两个平面相交——有一条公共直线；
A1
E D1 B1 D F C C1
A
B
两个平面平行的判定定理：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两 个平面平行. （线面平行 面面平行）
P
b
a
符号表述：
b a∩b=P a∥ b∥
a
//
巩固练习：
1.下列命题中正确的是 ． ①平行于同一直线的两平面平行； ②平行于同一平面的两平面平行； ③垂直于同一直线的两平面平行； ④与同一直线成等角的两平面平行．
巩固练习：
，下列条件能 2.设直线l，m，平面 ， 得出 ∥ 的是 ．
(1)l ，m ，且l //，m / / (2)l ，m ，且l //m (3)l ，m ，且l //m (4)l / /，m / / ，且l //m
课件2：2.2.2 平面与平面平行的判定
例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，如图, 求证：平面AB1D1∥平面BDC1.
证明：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体， ∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1. 又∵AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB. ∴四边形ABC1D1为平行四边形.∴AD1∥BC1.
若α∩β=AB,则α与β相交.
总结：
由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直 线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如 果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个 平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了. 另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行， 那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那 么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个 平面.
又AD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1
∴BC1∥平面AB1D1. 同理，BD∥平面AB1D1. 又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.
如图,在正方体ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分别是EH、 EF、BC、CD、AD的中点，求证：平面MNA∥平面PQG. 证明：∵M、N、P、Q、R分别是EH、EF、 BC、CD、AD的中点，∴MN∥HF,PQ∥BD. ∵BD∥HF,∴MN∥PQ. ∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR, ∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行四边形. ∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG.
知识拓展：
图中B′D′所在直线与平面AC内所有直线的位置关系是 什么？
借助长方体模型，我们看到， B′D′所在的平面A′C′与平面AC 平行，所以B′D′与平面AC没有公共点.也就是说， B′D′与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线 B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么 是平行直线.
平面与平面平行的判定
完成56页的探究题。（借助 完成 页的探究题。（借助 页的探究题。（ 长方体模型） 长方体模型）
D' A' D B' C C'
A
B
两个平面平行的判定定理： 两个平面平行的判定定理：如果一 个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面， 另一个平面，那么这两个平面平 行．
符号表示： 符号表示：
a ⊂ β,b ⊂ β, a ∩ b = P, a α,b α ⇒ β α
线面平行⇒ 面面平行
例2：已知正方体 ：已知正方体ABCD–A'B'C'D‘ 求证：平面 求证：平面A B'D‘‖平面 ‖平面C&#在两个平行平面内的两条直线 ． 都平行． 都平行． 2．如果一个平面内的两条直线平行于 ． 另一个平面，那么这两个平面平行． 另一个平面，那么这两个平面平行． 3．如果一个平面内的任何一条直线都 ． 平行于另一个平面， 平行于另一个平面，那么这两个平面 平行． 平行．
2.2.2 平面与平面平行的判定
直线与平面的位置关系： 直线与平面的位置关系： 1.直线在平面内 直线在平面内——有无数个公共点； 有无数个公共点； 直线在平面内 有无数个公共点 2.直线与平面相交 直线与平面相交——有且只有一个公共点； 有且只有一个公共点； 直线与平面相交 有且只有一个公共点 3.直线与平面平行 直线与平面平行——没有公共点。 没有公共点。 直线与平面平行 没有公共点 直线与平面平行的判定定理： 直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行， 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行 .
a ⊄ α b ⊂ α ⇒ a // α a // b
两个平面的位置关系可分为 几种情况 ？ 什么是平行的平面？ 什么是平行的平面？ 如何判定平面和平面平行呢？ 如何判定平面和平面平行呢？
2.2.2平面与平面平行的判定
2．直线 a⊂平面α，直线 b⊂平面β，且α∥β，
则 a、b 的位置关系为__平___行__或___异___面_．
3.棱长为 a 的正方体中，E、F、G 分别为中点.
求证：平面 EFG//平面 A1BD.
D1
思路：
FG//D B 又D B
11
11
/
/
DB
FG
/
/
DB
A1
FG / /面DBA1 同理FＥ/ /面DBA1
又D1A 平面C1BD， C1B 平面C1BD，
∴D1A//平面C1BD,
同理D1B1//平面C1BD,
又D1A D1B1=D1,
D1A 平面AB1D1 , D1B1 平面AB1D1,
∴平面AB1D1//平面C1BD.
例AMB，2C.N如D，-图AE1，B，1正FC方分1D体别1证中是明，：∵A连1MD结，1，BN1B，D11CF1，，EC分1D别1的是中棱点A1，B1，
面EFG / /面DBA1
D
F
C1
G
B1
E
C
2.2.2平面与平面平行的判定
A
B
C
5 选4做5.选 ．做 如． 图如 所图 示C所 ，示 正， 方正 体方AB体CADB－CAD1－B1AC11BD11C1中D，1 中 O ， 为O 为
底面底A面 BCADB的CD中的 心中 ，心 P 是 ，PD是 D1D的D中1 的 点中 ，点 点，Q点在QC在 C1 C上C．1 上．
（5）设 a、b 为异面直线，则存在平面α、β，使a ,b 且 // .√( )
例题讲解：
例1 如图 已知 正方体ABCD-A1B1C1D1
求证:平面AB1D1∥平面C1BD.
【数学】2.2.2《平面与平面平行的判定》课件(新人教A版必修2).pptx
作业布置: 第62页习题2.2 AB平面C1BD.
由直线与平面平行的判定,可知 D1A∥平面C1BD， 同理 D1B1∥平面C1BD,又D1A∩D1B1=D1,
所以，平面AB1D1∥平面C1BD。
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 若M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN// 平面EFDB。
（1）若平面内 的两条直线分别与平面平行，则
与平行；
×
（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则
与平行；
×
（3）平行于同一直线的两个平面平行； ×
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行；
×
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面． ×
例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平 面AB1D1//平面C1BD 证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以 D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1 又AB∥A1B1，AB＝A1B1， ∴D1C1∥AB，D1C1＝AB， ∴D1C1BA是平行四边形， ∴D1A∥C1B，
2.2.2《平面与平面 平行的判定》
教学目标
• 理解并掌握两平面平行的判定定理。会用 这个定理证明两个平面的平行。
• 教学重点：两个平面平行的判定定理及应 用。
• 教学难点：两个平面平行的证明。
复习回顾：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢?
（1）定义法； （2）直线与平面平行的判定定理：
如果平面β内的两条直线 Q
是相交的直线，两个平 面会不会一定平行？
P
直线的条数不是关键 直线相交才是关键
2.2.2平面与平面平行的判定
2.2.2平面与平面平行的判定知识点平面与平面平行的判定定理思考1三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案不一定．思考2三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案平行．思考3如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？答案无数条．不平行．梳理面面平行的判定定理表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⇒β∥α类型一面面平行的判定定理例1下列四个命题：(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；(2)若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；(3)平行于同一直线的两个平面平行；(4)两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行．其中正确的个数是______________．答案0反思与感悟在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．跟踪训练1设直线l, m, 平面α，β，下列条件能得出α∥β的有()①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P, l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.A．1个B．2个C．3个D．0个答案 A解析①错误，因为l, m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确．类型二平面与平面平行的证明例2如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明如图，连接B1C.由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C，∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.连接B1D1，同理可证PN∥平面A1BD.又∵MN⊂平面MNP，PN⊂平面MNP，且MN∩PN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.引申探究若本例条件不变，求证：平面CB1D1∥平面A1BD.证明因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，同理A1D∥平面CB1D1.又BD∩A1D＝D，所以平面CB1D1∥平面A1BD.反思与感悟判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A 1E ∥平面BCHG . 因为A 1E ∩EF ＝E ， 所以平面EF A 1∥平面BCHG .类型三 线线平行与面面平行的综合应用命题角度1 线线、线面、面面平行的相互转化的证明问题例3 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点，求证： (1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.证明 (1)如图，连接SB .∵E ，G 分别是BC ，SC 的中点， ∴EG ∥SB .又∵SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1， ∴EG ∥平面BDD 1B 1. (2)连接SD .∵F ，G 分别是DC ，SC 的中点， ∴FG ∥SD .又∵SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， ∴FG ∥平面BDD 1B 1.又EG ∥平面BDD 1B 1，且EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.反思感悟 解决线线平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．(2)线线平行――→判定线面平行――→判定面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面HB 1D 1.证明 (1)如图，取BB 1的中点M ，连接C 1M ，HM ，易知HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1， 又由已知可得MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接OE ，D 1O ，则OE 綊12DC .又D 1G 綊12DC ，∴OE 綊D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，EG ⊄平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知HD 1∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面HB 1D 1，BF ，BD ⊂平面BDF ， 且B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， ∴平面BDF ∥平面HB 1D 1.命题角度2 线线与面面平行的探索性问题例4 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO ?解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，连接PQ ，如图，易证四边形PQBA 是平行四边形，∴QB ∥P A .又∵AP ⊂平面APO ，QB ⊄平面APO ，∴QB ∥平面APO .∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 同理可得D 1B ∥平面P AO ， 又D 1B ∩QB ＝B ， ∴平面D 1BQ ∥平面P AO .反思感悟 对于探索性问题，一是可直接运用题中的条件，结合所学过的知识探求；二是可先猜想，然后证明猜想的正确性．跟踪训练4 在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，M 为PE 的中点，在棱PC 上是否存在一点F ，使平面BFM ∥平面AEC ？并证明你的结论．解 当F 是棱PC 的中点时，平面BFM ∥平面AEC . ∵M 是PE 的中点，∴FM ∥CE . ∵FM ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ， ∴FM ∥平面AEC . 由EM ＝12PE ＝ED ，得E 为MD 的中点，连接BM ，BD ，如图所示，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点． 连接OE ，则BM ∥OE .∵BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BM∥平面AEC.又∵FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，FM∩BM＝M，∴平面BFM∥平面AEC.1．下列命题中正确的是()A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行答案 B解析如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确．2．在正方体中，相互平行的面不会是()A．前后相对侧面B．上下相对底面C．左右相对侧面D．相邻的侧面答案 D解析由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，所以选D.3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案 A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥EGH1.4．如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱P A，PB，PC的中点，则平面DEF 与平面ABC的位置关系是________．答案平行解析在△P AB中，因为D，E分别是P A，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点．能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面P AC？证明你的结论．解能作出满足条件的平面α，其作法如下：如图，连接BD1，取AA1的中点M，连接D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则PO∥D1B，故D1B∥平面P AC.又因为M为AA1的中点，所以D1M∥P A，从而D1M∥平面P AC.又因为D1M∩D1B＝D1，D1M⊂α，D1B⊂α，所以α∥平面P AC.证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．课时作业一、选择题1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定答案 B解析因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.2．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定α∥β的是()A．α、β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，α∥β，b∥β答案 D解析A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若三点不在β的同一侧，α与β相交；C错，若a∥b，则不能断定α∥β.故选D.3．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析设m∩n＝P，记m与n确定的平面为γ.由题意知：γ∥α，γ∥β，则α∥β.故①正确．②、③均错误．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是()A．面ABB1A1B．面BCC1B1C．面BCFE D．面DCC1D1答案 C解析取AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1(如图)，故面A1E1F1D1∥面BCFE.5．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案 D解析由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 A解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1. ∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；∵FG∥BC1，FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，FG∥平面BC1D1，故③正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.7．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面P AD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面P AD∥平面P AB. 其中正确的有()A．①③B．①④C．①②③D．②③答案 C解析把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面P AD，平面PBC，平面P AB，平面PDC 均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB.同理平面P AD∥BC.二、填空题8．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是_____．答案相交或平行解析b、c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．9．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．答案平行解析假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β. 10．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．答案平行解析在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l⊂β，∵a∥β，∴a与l无公共点，∴a∥l，∴l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.三、解答题11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.证明连接B1D1，B1C.∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.12．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在P A，BD，PD 上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，可知平面MNQ∥平面PBC.13．如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，G，F分别是线段EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．(1)证明如图，连接AE，由F是线段BD的中点得F为AE的中点，∴GF为△AEC的中位线，∴GF∥AC.又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)解平面GFP∥平面ABC，证明如下：在CD上取中点P，连接FP，GP.∵F，P分别为BD，CD的中点，∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，∴FP∥平面ABC，又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP⊂平面GFP，GF⊂平面GFP，∴平面GFP∥平面ABC.四、探究与拓展14．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下面四个命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l∥α，m∥l，则m∥α.其中所有真命题的序号是________．答案②解析当l∥m时，平面α与平面β不一定平行，故①错误；②正确；若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故③错误；④中直线m有可能在平面α内，故④错误．15．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥ADD1A1？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由．解当F为AB的中点时，平面C1CF∥ADD1A1.理由如下：∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，F为AB的中点，∴CD綊AF綊C1D1，∴AFCD是平行四边形，且AFC1D1是平行四边形，∴CF∥AD，C1F∥AD1.又CF∩C1F＝F，CF，C1F都在平面C1CF内，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.。
2.2.2 平面与平面平行的判定
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即时训练2-1:已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别
在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求证:平面MNQ∥平面PBC.
探究1:如果两个平面都与第三个平面平行,这两个平面平行吗? 答案:平行. 探究2:如果两个平面都平行于某一条直线,这两个平面平行吗? 答案:不一定平行.
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自我检测
1.(理解定理)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条 直线,则这两个平面的位置关系是( C ) (A)一定平行 (C)平行或相交 (B)一定相交 (D)以上判断都不对
2.(面面平行的判定)如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1
的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是
( A ) (B)相交 (A)平行
(C)异面
(D)不确定
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3.(理解定理)平面α 内有两条直线a和b,且a∥β ,b∥β ,则α 与β 的位置
(D)直线a在α 内,直线b在β 内,且a∥β ,b∥α
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解析:A,如图所示
可知 A 不正确.
B, C,正确; D,如图所示 故选 C.
当 a∥b 时,a∥α,a∥β,但α与β不平行;
可知 D 不正确.
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【备用例1】 给出下列三个结论:
①一个平面α 内有两条不平行的直线都平行于另一个平面β ,则α ∥β ;
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图1Βιβλιοθήκη 图21. 如果平面α 内有一条直线a平行于平面β 那么α 与β 平行吗？
α α α α a
β
模型１
1. 如果平面α 内有两条直线平行于平面β 那 么α 与β 平行吗？ 2. 如果平面α 内有无数条直线平行于平面β 那么α 与β 平行吗？ 3. 如果平面α 内任意直线都平行于平面β ， 那么α 与β 平行吗？ a// β α b// β a// β
2.2.2平面与平面平行的判定
重庆市綦江南州中学 周柱来
一、两个平面的位置关系
位置关系
公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交
有一条公共直线
α∩β=a
两个平面平行的画法
画两个互相平行的平面时，要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行，如图1， 而不应画成图2那样．
BC1 C1D=C1
如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1 的中点,求证：平面AMN∥平面EFDB； F D1 C1 N E A1 B1 M
D
C
A
B
练习：在正方体AC中，E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB AD、DC、DD的中点， 求证：平面PQR∥平面EFG。
A P D Q B
C
R
D
G
C B F
A
E
判定定理
平面与平面平行 的判定
注意 三个 条件
线线平行线面平行面面平行
正方体ABCD A1B1C1 D1中， 证明平面C1BD // 平面AB1 D1 .
证明：
A1
D1
C1
B1
AB CD
C1 D 1
D
C
ABC1D1是平行四边形 BC1 // AD1
A
B
BC1 平面AB1D1 AD1 平面AB1D1
BC1//平面AB1D1
同理C1D//平面AB1D1
平面C1DB//平面AB1D1
b// β a// b
β
a
b
α
P
b a
β
c
二、两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行．
图形语言：
A
b
a
a, b ,
符号语言：
a b A / / a / / ,b / /
判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； × （4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 行； × （5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面．×