安徽省淮南市2016届高三第一次模拟数学(理)试题

2016年淮南市高三数学一模理科试题一、选择题1. 复数2＋i1－2i 的虚部是 ( )A ．1 B.－1 C ．－i D ．i2．已知集合{}1,2,3,4U =,{}1,2,3B =,且{}1,2A B ⋂=,则满足条件的A 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.43．下面的程序框图（如图所示）能判断任意输入的数x 的奇偶性：其中判断框内的条件是（ ） A ．0=m B. 0=xC. 1=xD. 1=m4. 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )(),AB ACOP OA AB ACλ→→→→→→=++A ．2，－π3 B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π35. 经过抛物线y ＝14x 2的焦点和双曲线x 217－y28＝1的右焦点的直线方程为( )A ．x ＋48y －3＝0B ．x ＋80y －5＝0C ．x ＋3y －3＝0D ．x ＋5y －5＝06．设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ） A.a c b >> B.b c a >> C. c a b >> D. c b a >> 7． O 是平面上一定点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足[)0,λ∈+∞ 则P 点的轨迹一定经过∆ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心8．如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒的所经过的最短路程是（ ）1π+9. 已知{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. (2,)-+∞； B. [2,)-+∞ C. (3,)-+∞ D. [3,)-+∞10. 椭圆C: 22143x y +=的左、右顶点分别为1A , 2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 ( )A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2211112222438316311. 如图，是某多面体的三视图， 则该多面体的体积为（ ）A. B. C. D. 正视图 侧视图俯视图12. 设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（ ）A.0B. 2C.98 D.94二、填空题13. 过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线,切点分别为,A B ,记APB α∠=,当α最小时,点P 坐标为 。

14. 已知过点(3,3)M --的直线l 被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为8，则直线l 的方程为 。

15．定义在上的偶函数f(x)在上为增,若满足f(1-m) ＜f(m),则m 的取值范围是 . 16．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于1y x =-+对称，且(3)(7)1f f -+-=，则a 的值为 。

17. 在△ABC 中，B ＝3π，AC ＝3，求AB ＋BC 的最大值并判断取得最大值时△ABC 的形状。

C 1B 1A 1CBA18. 在公差为d 的等差数列{}n a 中,已知110a =,且123,22,5a a a +成等比数列. (1)求d, n a(2)若d<0,求|1a |+|2a |+|3a |+…+|n a |.19.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1A B AC ⊥,且15A B AC ==，113AA BC ==,且12AB =。

（1）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ;(2)求二面角1A BB C --的正切值的大小。

20．已知点A （2，0），椭圆E ：22221y x a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为2，F 是椭圆E的上焦点，直线AF的斜率为2-，O 为坐标原点。

（1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于点P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程。

21.已知函数2()ln (21)1f x x x a x ax a =+---+，（1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）若[1,)x ∈+∞时恒有()0f x ≤，求a 的取值范围。

22.以下三题任选一题①已知函数f(x)＝ 3 2sin()cos()cos ()x x x ϕϕϕ----＋12( 02πϕ≤≤)为偶函数．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调减区间； (2)把函数f(x)的图像向右平移6π个单位(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的对称中心．②已知1:13x p --＜2；22:21q x x m -+-＜0，若p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，求实数m 的取值范围．3C π=③在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0 ，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．2016年淮南市高三数学一模理科试题答案一、选择题1. A 2． B 3． D 4. A. 5. D 6． C 7．B 8．D 9．C 10. C 11. B 12. B 二、填空题13.（－4，－2） 14. 4x+3y+21=0或x=-3 15． 211〈≤-m 16． 217. 解：在△ABC 中，根据AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝332sin C ＝2sin C ，同理BC ＝2sin A ，因此AB ＋BC ＝2sin C ＋2sin A .......................................... 4分 ＝2sin C＋2sin(23π－C )＝)6C π+，......................................................................... 8分 因此AB ＋BC 的最大值为. ........................................................................................ 10分取最大值时， ，因而△ABC 是等边三角形............................................................ 12分18. 解(1)由题意得,5a 3·a 1=(2a 2+2)2, ..................................................... 2分 d 2-3d-4=0,解得d=-1或d=4, ........................................................................ 4分所以n a =-n+11或n a =4n+6. ........................................................................... 5分(2)设数列{n a }前n 项和为n S , 因为d<0,所以d=-1,n a =-n+11, ....................................................................6分则n ≤11时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|n a |=n S =-12n 2+212n; ................. 8分 n ≥12时,|a 1|+|a 2|+…+|a 11|+|a 12|+…+|n a | =a 1+a 2+…+a 11-a 12-…-n a =S 11-(n S -S 11) = -n S +2S 11=12n 2-212n+110. ................................................................... 10分综上所述,|a 1|+|a 2|+…+|n a |=22121,11,22121110,12.22≤≥⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩n n n n n n ..........................12分xB 19.（1）证明：在ABC ∆中，222AB AC BC += ，AC AB ∴⊥，............................................................................................................. 2分又 1A B AC ⊥且1A B 、AC 是面11ABB A 内的两条相交直线，AC ∴⊥平面11ABB A ，.............................................................................................. 4分 又AC ⊂平面11ACC A ，∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A ;............................................................................... 5分（2）在ABC ∆中，22211A B AB AA += ，1A B AB ∴⊥，又 1AB A C ⊥且AB 、AC 是面ABC 内的两条相交直线，1A B ∴⊥面ABC ，...................................................... 7分因而，可建立如图所示的坐标系：则B （0，0，0），A （12，0，0），C （12，5，0），1(0,0,5)A ,由11BB AA = 得1(12,0,5)B -，...............................................................8分取平面11ABB A 的一个法向量1(0,1,0)n =， 设平面BCC 1B 1的一个法向量2(,,)n x y z =，由⎩⎨⎧=⋅=⋅.0;0212BC n BB n 得 1250;1250.x z x y -+=⎧⎨+=⎩取5x =，则2(5,12,12)n =-........................................................................... 10分∴111122cos ,n n n n n n ⋅==⋅设1A BB C --的大小为θ，则31312cos =θ，13tan 12θ=.∴二面角1A BB C --的正切值的大小为1312................................................. 12分 20．解：（1）222234a b e a -==，2214b a =，................................................ 2分 设F （0，c），则2c -=，c =a 2-b 2=c 2=3 ∴224,1,a b == ∴E 的方程是2214y x +=.................................................................................. 4分（2）设l 的方程为2x my =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由222,1.4x my y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(41)16120m y my +++=，........................................... 6分222(16)412(41)16(43)m m m ∆=-⨯⨯+=-＞0，1212122OPQS y y y y ∆=⨯⨯-=-==........... 10分令t =，则24444OPQ t S t t t∆==++，而44t t +≥当且仅当2t =，即m =时等号成立，此时1OPQ S ∆≤.∴当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程为2x y =+， 即240x -=.......................................................................................... 12分21.解：（1）'()ln 2(1)f x x a x =--当12a =时，'()ln (1)f x x x =--.................................................................. 2分令()ln (1)g x x x =--，则'11()1x g x x x-=-=. (0,1)x ∈时'()g x ＞0；(1,)x ∈+∞时'()g x ＜0.∴()(1)0g x g ≤=，即'()0f x ≤（只在1x =处取等号） ∴()f x 的单减区间是(0,)+∞；........................................................................4分（2）'()ln 2(1)f x x a x =--，令'()0f x =，则ln 2(1)x a x =-且函数ln x 在1x =处的切线为1y x =-，由（1）知，12a =时， ()f x 在[1,)+∞上单减且(1)0f =， ∴()0f x ≤，合题意. ....................................................................................... 6分当a ＞12时，数形结合知，()f x 在[1,)+∞上仍单减且(1)0f =， ∴()0f x ≤，合题意. ....................................................................................... 8分当0＜a ＜12时，数形结合知，0x ∃＞1，使得'0()0f x =.即0(1,)x x ∈时'()f x ＞0，()f x 在0(1,)x 上单增，()f x ＞(1)0f =，不合题意. ......................................... 10分当a ≤0时，数形结合知，(1,)x ∈+∞时，'()f x ＞0，()f x 在(1,)+∞上单增，()f x ＞(1)0f =，不合题意.综上，若[1,)x ∈+∞时恒有()0f x ≤，则a 的取值范围是12a ≥................................................................................. 12分22.解析： (1)f(x)＝32sin(2x －2φ)－cos 2x－2φ ＋12＋12＝32sin(2x －2φ)－12cos(2x －2φ)＝sin(2x －2φ－6π)．................................... 2分 ∵函数f(x)为偶函数，∴2φ＋6π＝k π＋2π，k ∈Z. ∴φ＝2k π＋6π，k ∈Z.又∵0≤φ≤2π，∴φ＝6π.∴f(x)＝sin(2x －3π－6π)＝－cos2x...................................................................... 4分∴f(x)的最小正周期为T ＝22ππ=.......................................................................... 5分由2k ππ-≤2x≤2k π，k ∈Z ，得k π－2π≤x≤k π，k ∈Z. ∴f(x)的单调减区间为[k π－2π，k π](k ∈Z)．................................................... 7分(2)函数f(x)＝－cos2x 的图像向右平移6π个单位，得到 g(x)＝－cos2(x －6π)的图像，即g(x)＝－cos(2x －3π)．................................ 8分 令2x －3π＝k π＋2π，k ∈Z ，∴5212k x ππ=+，k ∈Z. ∴g(x)的对称中心为(5212k ππ+，0)，k ∈Z. ......................................................... 10分23.解：113x --＜2⇔－2＜x ＜10，............................................................ 2分 记{A x =－2＜x ＜10}，B {x =2221x x m -+-＜0}，由题知，B , .... A............................................................................................ 4分记，22()21f x x x m =-+-则(2)0,(10)0.f f -≥⎧⎨≥⎩即2290,810.m m ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩ 解此不等式组得，33m -≤≤........................................................................... 8分经检验3m =±时上等式组中两不等式的等号不同时成立.∴m 的取值范围是33m -≤≤………….......................................................... 10分24.解：(1)∵PA →＋PB →＋PC →＝0 ，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，.............................................................................................. 2分即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2........................................................................................... 4分其它方法参考给分.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，............................................................................................. 8分令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1. ............................................................................. ....................... 10分其它方法参考给分.。