10.5相似三角形的性质(1)
相似三角形的性质及判定(1)含答案 非常的全面
一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC kA B B C A C ===''''''（k 为相似比）．相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC kA B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BCAHkS B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法 欲证AB BC BEBF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB D E BCEF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是D E 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC D EF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
苏教版八下10.5_相似三角形的性质(1)
知识归纳 相似三角形周长比等于相似比.
类似地，我们还可以得到：
相似多边形周长比等于相似比.
探索活动
猜想：两个相似三角形的面积比等于相似比的平方. 已知△ABC∽ △DEF,相似比为k, AM、 DN分别是△ABC 和△DEF的高. ∵∠B= ∠E, ∠AMB= ∠DNE=90°
∴ △ABM∽ △DEN
AM AB ∴ DN DE k , 即 AM kDN. E 1 1 BC AM kEF kDN ABC 的面积 2 2 k2 . ∴Байду номын сангаас1 DEF的面积 1 EF DN EF DN 2 2
B A
M C D
N
F
知识归纳
相似三角形面积比等于相似比的平方.
类似地，我们还可以得到：
∵ △ABC∽ △DEF
答：这个地块的实际周长为60m, 面积为150m2.
例题教学
例2.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,DE∥BC, AD:DB＝3:2,求四边形DBCE与△ADE的面积比. 解：∵ DE∥BC ∴△ABC∽ △DEF S ADE AD 2 ( ) ∴ S ABC AB ∵ AD:DB＝3:2 ∴ AD:AB＝3:5
课堂小结
通过这节课的学习你有什么收获？ 还有什么困惑？
布置作业
课本P108习题：1、2、3.
课堂练习
3.如图,△ABC中,DE∥FG∥BC,AD＝DF＝FB,
则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=_________. 1:3:5
A D F B E G C
拓展提高
（2009年孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分 别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角 形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9 和49．则△ABC的面积是 144 ．
苏教版八下10.5相似三角形的性质
在实际问题中，可以利用相似三角形 的面积和周长变化规律来解决一些与 比例、测量和计算相关的问题。
另外，还可以利用相似三角形的面积和周长 变化规律来解决一些与面积或周长相关的实 际问题，如计算不规则图形的面积或周长等 。
例如，可以通过测量相似三角形的一组对 应边长，计算出另一组对应边长，从而得 到一些难以直接测量的长度或距离。
通过已知条件确认两个三角形的三组 对应边成比例，从而证明两三角形相 似。
利用SAS判定定理证明
通过已知条件确认两个三角形的一组 对应边成比例且夹角相等，从而证明 两三角形相似。
判定定理在几何问题中应用
解决线段比例问题
利用相似三角形的性质，可以 解决涉及线段比例的问题，如 证明两条线段成比例或求解未 知线段的长度。
解决角度问题
通过相似三角形的性质，可以 求解或证明与角度相关的问题 ，如证明两个角相等或求解未 知角的度数。
解决面积问题
相似三角形的面积比等于对应 边比的平方，利用这一性质可 以解决涉及面积的问题，如求 解未知三角形的面积或比较两 个三角形的面积大小。
03
相似三角形中线段比例关系
中线、高、角平分线等线段比例关系
【解答】∵ (S△ABC/S△DEF) = (AB/DE)² = 4/9，∴ AB/DE = 2/3。又∵ CD/DH = AB/DE = 2/3，∴ DH = (3/2) × CD = (3/2) × 6cm = 9cm。
04
面积与周长在相似三角形中变化规律
面积比等于相似比平方原理
相似三角形的面积比 等于其对应边长的相 似比的平方。
易错难点剖析及注意事项
易错点
01
02
忽视相似三角形的对应关系和方向；
相似三角形的基本定义与性质
相似三角形的基本定义与性质相似三角形是中学数学中一个非常重要的概念。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。
本文将介绍相似三角形的基本定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用相似三角形的知识。
1. 基本定义：相似三角形的定义是：两个三角形的对应角度相等，对应边线之比相等。
换句话说，如果两个三角形的三个角度分别相等，且三边之比相等，那么它们就是相似三角形。
例如，若三角形ABC和三角形DEF的对应角度分别是∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且边线之比为AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似三角形。
2. 性质一：相似三角形的对应边线比例相等如果两个三角形相似，那么它们的对应边线之比相等。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
这一性质在实际应用中非常有用。
例如，当我们在地图上测量两个城市之间的距离时，可以利用相似三角形的边线比例来计算实际距离。
3. 性质二：相似三角形的对应角度相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角度相等。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
这一性质使我们能够根据已知的相似三角形，推导出其他角度的大小关系。
例如，如果我们已知两个三角形相似，且其中一个角度的大小，就可以通过对应角度相等的性质，计算出其他角度的值。
4. 性质三：相似三角形的边线比例等于对应边线的平方如果两个三角形相似，那么它们的边线比例等于对应边线的平方。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2。
这一性质可以应用于解决各种问题。
例如，当我们已知三角形的某一边线比例，可以利用相似三角形的边线比例等于对应边线的平方的性质，计算其他边线的比例。
综上所述，相似三角形的基本定义与性质已经介绍完毕。
相似三角形的性质(1)(教案)
DB 10．5相似三角形的性质（1）响水县实验初中教育集团 赵志勇 教材分析：本节课是在相似行、相似三角形、相似多边形概念的理解，及相似三角形判断的条件基础上对相似概念的一种扩展，其实概念就可以当性质来用；性质的学习是为了能运用到实际生活事例中，这一节在这里起到一个承前启后的作用，相似的学习为三角函数又打下了基础；学习方法上，在前面原有知识基础下，相似是全等的一种扩充，是特殊到一般的变化，学生完全可以通过类比的方法自主学习，在学习中培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度；在中考中相似的性质运用也得到了很好的体现。
教学目标：知识与技能: 利用已有知识内容推导相似三角形的性质掌握相似三角形（多边形）的周长及面积与相似比的关系过程与方法：通过相似三角形（多边形）的性质的推导，引导学生自主学习，激发探究知识的欲望，加强创新意识的提升，培养学生合情推理和有条理的表达能力 情感、态度与价值观：掌握初步的逻辑推理及类比的思维方法，感受从一般到特殊的认知规律；通过主动探索，体验成功的喜悦。
教学重点：相似三角形性质的探索及应用教学难点：相似三角形性质的归纳推理，特别是面积之间的关系 相似三角形的性质的运用，及相似三角形的性质的逆向运用教学方法：启发引导 自主探究 类比 化归 教具准备：幻灯片 教学过程： 一、情境引入：问题情境：某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB 的长由原来的30米缩短成18米。
现在的问题是：被削去的部分面积有多少？周长是多少？ 思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？ 将如何通过数学知识解决这个问题呢？ 二、质疑讨论： 1、如图:△ABC 与△A ′B ′C ′边长分别为3、4、5、和6、8、10、这两个三角形相似吗？1）如果相似，相似比是多少？2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？ 面积比是多少？23、结论1：若△ABC ∽△A ’B ’C ’，那么△问题1.为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k ，那么哪些线段的比等于k ？ 问题2.这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？ 问题3. 如何得出这两个三角形的周长比与相似比k 的关系？ 问题4.引申这个结论在相似多边形中是否也适合？你能通过类似的方法推出两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗？4、结论2：若△ABC ∽△A ’B ’C ’，那么△ABC 与△A ’B ’C ’的面积比等于相似比的平方 问题1. 有了前面探究的经验，你能想到一个合理的方法来研究这个问题吗？ 问题2. 若AD 与A ’D ’是这两个三角形的高，如何将面积向线段进行转化？ 说理过程应分3步：第一， 根据题设条件说明这两个直角三角形相似； 第二， 由两个直角三角形相似得对应线段成比例；第三，利用三角形面积公式，得出相应结论。
10.5相似三角形的性质(1)
证明△AEF与△ABD相似且相似比是1︰2是关键。
教学后记：
课本P106练习题
五、课堂小结与思考
(一)小结：本节课你有什么收获？
(二)思考：1、如图，□ABCD中，M是BC边上的一点，
且AM交与BD与N，AM∶NM=4∶1
（1）试说明△AND∽△MNB；
（2）若CM=2cm，试求BC和BM的长.
2、如图，已知，D为△ABC中AC边的中点，
AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，
问题2.要解决这个问题，需要什么知识？
问题3.在没有了解这些知识前，你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？
问题4.如何说明你的猜想是否正确呢？
(二)、探索活动：
（课本P101）章头图图（3）和图（4）中的相似多边形。
1、问题1.你能通过操作、观察、归纳、思考发现这两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗？
七、布置作业
课本P108习题10.5第1、2、3、4题
课外作业《数学补充题》P65～66 10.5相似三角形的性质(1)
填空题填好后并说明理由。
有条理地书写解题过程。
操作、观察、思考，小组讨论、交流。写出讨论的结果。
思考，小组讨论、交流。写出讨论的结果。
说出解题思路。
写出解题的过程。
确定对应元素是关键：公共角是对应角。
(1)求⊿AEF与⊿CDF的周长的比；
(2)若S⊿AEF=8cm2,求S⊿CDF。
二、新课
(一)、情境创设：
情境1：在比例尺为1︰500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长及面积。
问题1.在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1︰500表示什么含义？
相似三角形的性质(一)
练习
巩固新知
例题
巩固新知，规范书写
四、练习：
1.两个相似五边形的面积比为9:16,其中较大的五边形的
周长为64cm,则较小的五边形的周长为_______cm.
2.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O,则△DOE与
△BOC的周长之比是_________,面积比是________.
快速独立完成
基础题
给基础差的学生机会和信心。
五、课堂小结：1、基础知识：
2、方法：
六、作业：
授后小记：
2、如图:在△ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,
(1)△AMN与△ABC的面积比是____;
(2)△AMN与四边形MNCB的面积比是_________;
三、例题讲解
1.在比例尺为1:500的地图上,测得一个三角形地块ABC的周长为12cm,面积为6 ,求这个地块的实际周长和面积.
2.四边形ABCD是平行四边形,点E是BC的延长线上的一点,而CE:BC=1:3,试求:
教学课题
10.5相似三角形的性质（1）
教学目标：1、探索相似三角形 的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；2、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线 段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。3、发展学生合情推理，和有条理的表达能力。
3.已知两个相似多边形的相似比是4:5,周长的和是18cm,则两个
多边形的周长分别是___________.
证明：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比。
画图，写清已知、求证，再证明
探究相似三角形的面积之比与相似比的关系。
结论：相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
10.5相似三角形的性质(1)
4、如图，在正方形网格上有 △A1B1C1 和△A2B2C2 ，这两个 三角形相似吗？如果相似，求 出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比。
B2
A1 B1 A2 C2 C1
拓展提升
• 如图、把三角形ABC沿AB边 平移到三角形ABC的位置，它 们的重叠部分（阴影部分） 的面积是三角形ABC面积的一 半。若AB= ，求此三角形 2 平移的距离AA
• 于是 • 所以
AB kAB, BC kBC , CA kC A
AB BC CA kAB kBC kC A k AB BC C A AB BC C A
归纳： 相似三角形周长的比等 于相似比。
类似的，我们不难得到：
D
Bபைடு நூலகம்
E
C
典型例题
例3、若△ABC∽△DEF,△ABC的面 积为81cm2, △DEF的面积为36cm2,且AB=12cm, 则DE= cm
典型例题
例4、如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置， 它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是 △ABC的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动 的距离BE的长。
1 1 BC AD kB C kAD 所以 ABC的面积 2 2 k2 1 AB C 的面积 1 BC AD B C AD 2 2
得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方
试一试：
2、你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比 的关系吗？
归纳总结
1、相似三角形的周长的比等于相似比 2、相似多边形的周长等于相似比 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方 4、相似多边形的面积比等于相似比的平方
两个相似多边形的周长之比 等于相似比。
《相似三角形的性质(1)》教学设计与反思
《相似三角形性质》教学反思篇1《相似三角形的性质》是北师大版九年级上册第四章第七小节内容。
本节课的教学重点是探索相似三角形的性质并能用相似三角形的性质解决简单的实际问题。
实际上就是在了解相似三角形基本性质和判定方法的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。
这节课我以合作探究的形式展开，让学生探究发现结论，体验成功的乐趣，培养学生探究问题的科学态度，促进创造性思维的发展。
通过学生独立思考、小组交流、学生展示、师生共评等环节，让学生在学习探究中，体会、理解、掌握相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比。
并通过教师设问，学生大胆猜想，分组交流讨论，类比得出相似三角形对应线段的比等于相似比这一结论。
在此基础上，让学生趁热打铁，适时训练，在“我来抢答”环节中，设置了不同层次的问题，以使不同层次的同学都能获得应用知识的快乐，激发学生的学习热情，特别是练习第3题，涉及到了分类讨论的思想，使学生在学习的同时渗透数学的思想与方法，为学生的终身学习打下基础。
学以致用环节中，我对教材稍作处理，所增添的题为后面二次函数的学习做好铺垫，在作业的设计上体现了分层布置，同时课外作业主要是为了拓展学生的思维，提高学生思考问题、分析问题、解决问题的能力，同时进一步体会分类讨论的数学思想。
本节课总体上学生的学习积极性高，参与率高，而且学生能做到在自己独立思考的基础上，与同伴交流互动，大胆发言，小结部分也能对照目标进行自查。
但是在今后教学中，特别是在学生活动中，教师还是应该给学生稍微留出相对宽松的时间和空间，多让学生去展示，学会去放手，让学生自身在经历中成长，在交流中获知和进步。
《相似三角形性质》教学反思篇2我在上《相似三角形的性质》这节课时，先复习全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等；对应边相等；对应中线、对应角平分线、对应高线相等；周长相等；面积相等。
根据全等三角形是特殊的相似三角形，诱导学生们在类比中，猜想相似三角形的性质，同学们积极性很高，抢着猜，猜完后，我又重点对三角形中的中线、角平分线、高线、周长、面积在相似三角形中与相似比的关系进行了讲解。
10.5相似的性质(1)学案
§10.5 相似三角形的性质（1）班级__________姓名_________学号_________完成日期_________ 知识要点：1、 相似三角形周长的比等于 ；相似多边形周长的比等于 .2、 相似三角形面积的比等于 ；相似多边形面积的比等于 .基础与巩固1、已知△ABC ∽△A ′B ′C ′,且AB=2 A ′B ′.若△ABC 的周长是2 6㎝，则△A ′B ′C ′ 的周长是 ㎝.2、把一个四边形放大成与其相似的四边形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的 倍，如果面积扩大为原来的25倍，那么边长扩大为原来的 倍. 3、要把一根1m 长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形，且相似比为35，那么截成的两段铜丝长度的差应是 m.4、等腰三角形ABC 的腰的长为12，底的长为10，等腰三角形A ′B ′C ′的两边长分别为5和6，且△ABC ∽△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的周长为（ ） A 、17 B 、16 C 、17或16 D 、345、两个相似多边形的一组对应边分别为3㎝和4.5㎝，如果它们的面积和为782cm ,那么较大的多边形面积为（ ）A 、46.82cmB 、422cmC 、522cmD 、542cm 6、如图，在△ABC 中，D 、E 是AB 上的点， AD=DE=EB ，DF//EG//BC ，交AC 于F 、G ，求::AD F D EG F EBC G S S S 梯形梯形= .7、在一张比例尺为1:5000的地图上,一块多边形区域的周长是72cm ，面积是3202cm ,求这个区域的实际周长和面积.8、已知△ABC 的三边长分别为3、4、5，与它相似的△A ′B ′C ′的最大边长为15.求 △A ′B ′C ′的周长和面积.G F EDCBA9、如图，把△ABC 沿边AB 平移到△A ′B ′C ′的位置，它们重叠部分（既图中的阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若AA ′的长.拓展与延伸10、如图，M的AB 边的中点，CM 与BD 相交于点E ，的面积为1，则图中阴影部分的面积是 . 11、某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示）他们想在△AMD 和△BMC 地带种植单价为10元/平方米的太阳花，当△AMD 地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC 地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.12、如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，以斜边BC 上距点B3cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°成图中的△DEF 位置.求旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是多少？20米。
苏教版八下10.5相似三角形的性质⑴
---我能行--5.如图:在△ABC中,M、N分别是AB、 AC的中点,
1:2 (1)△AMN与△ABC的周长比是____;
(2)△AMN与△ABC的面积比是____; 1:4
1:3 (3)△AMN与四边形MNCB的面积比是_____; A N M
B C
---我能行--6.如图:在△ABC中,D、M在AB上，E、N在AC上 且AD=DM=MB,AE=EN=NC。 △ADE、梯形DMNE、梯形MBCN的面积比为（ C ） A A.1:2:3 B.1:4:9 C.1:3:5 D.1:3:7 M B
D
C
F
---我能行--1.已知△ABC∽△ A'B'C'其相似比是2, △ABC 的周长是36,则A'B'C'的周长是______. 18 2.小明把1米长的铜丝截成两段，用它们围成两个 相似三角形且相似比为3：5，那么截成的两段铜丝 0.25米 的长度差是________. 3.已知两个相似三角形的相似比是4:5,周长的和 是18cm,则两个多边形的周长分别是_________. 8cm,10cm
A
问题2：相似三角形还具有哪些性质？ 如果△ABC∽△DEF，相似比为k AB BC AC 那么 k DE EF DF 则AB=kDE，BC=kEF，AC=kDF AB BC AC kDE kEF kDF B DE EF DF DE EF DF 相似三角形周长 k DE EF DF DE EF DF 的比等于相似比 =k E
探索--思考
相似多边形周长的 比等于相似比
猜想：相似多边形的周长有怎样的关系？ 如图五边形ABCDE∽A1B1C1D1E1 ，相似比为k
相似三角形的性质一课件
角边相似
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的一对对应角相等，并且这两个 角的夹边成比例，则这两个三角形相 似。
如果两个三角形的三组对应边成比例 ，则这两个三角形相似。
性质与定理
对应角相等
相似三角形对应角相等，即 $angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$。
对应边成比例
如果两个三角形相似，则它们的对应边长之间存在一定的比例关系。
这个比例称为相似比，是判定两个三角形是否相似的重要依据。
对应边之间的比例关系可以用数学公式表示，即 a/b = c/d = ... = k，其中 a, b, c, d, ... 是对应边的长度，k 是相似比。
面积比等于相似比的平方
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
相似三角形的性质一ppt课
件
• 相似三角形的定义 • 相似三角形的性质 • 相似三角形的应用 • 相似三角形的判定定理 • 相似三角形的性质定理 • 相似三角形的综合应用
目录
CONTENTS
01
相似三角形的定义
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
应用。
在数学竞赛中的应用
相似三角形是数学竞赛中常见的知识点之一，对于提高学生的数学竞赛 成绩有着重要的作用。
在数学竞赛中，相似三角形常常与其它知识点结合，形成综合性题目， 考察学生的数学综合素质。
掌握相似三角形的性质和判定方法，对于解决数学竞赛中的难题和压轴 题至关重要。
THANKS
感谢观看
04
相似三角形的判定定理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
10.5相似三角形的性质(1)1
B
C
拓展延伸
探究： 探究： (1)如图 已知D ΔABC的边BC的中点 如图， 的边BC的中点， (1)如图，已知D是ΔABC的边BC的中点，则 =__________． SΔABD: SΔACD =__________． 1:1 (2)如图，已知D ΔABC的边BC上的点， (2)如图，已知D是ΔABC的边BC上的点，且 如图 的边BC上的点 BD:CD=1:2， =__________． BD:CD=1:2，则 SΔABD: SΔACD =__________． 1:2 (3)如图，已知D ΔABC的边BC上的点， (3)如图，已知D是ΔABC的边BC上的点，且 如图 的边BC上的点 BD:CD=2:3， =__________． BD:CD=2:3，则 SΔABD: SΔACD =__________． 2:3
1.如何求三角形的面积？需要添加什么辅助线？ 1.如何求三角形的面积？需要添加什么辅助线？ 如何求三角形的面积 2.对应高的比与相似比 之间有什么数量关系？ 对应高的比与相似比k 2.对应高的比与相似比k之间有什么数量关系？ A' 3.如何求三角形的面积比 如何求三角形的面积比？ 3.如何求三角形的面积比？
探索活动
1、若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，说明： ABC∽△A′B′C′，相似比为k 说明： ABC与 A′B′C′的周长比等于相似比 的周长比等于相似比． △ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比． 哪些线段的比等于相似比？ 1. 哪些线段的比等于相似比？ 对应线段AB A’B’与相似比 与相似比k 2. 对应线段AB、A’B’与相似比k之间有什么 数量关系？ 数量关系？ A' 3.如何求三角形的周长及周长比 如何求三角形的周长及周长比？ 3.如何求三角形的周长及周长比？
相似三角形的性质(一)
7.相似三角形的性质（一）【学习目标与重难点】1、经历探索相似三角形性质的过程，进一步体会由特殊到一般的归纳思想和方法。
2、重难点：理解相似三角形的性质及应用。
【教学过程】1、复习与引入：复习三角形全等对应高、中线、角平分线的性质及证明过程，为三角形相似的性质证明做好准备。
2、探究活动一：在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC ，以1：2的比例建造了模型房梁△A /B /C /，CD 和C /D /分别是它们的立柱。
（1） 试写出△ABC 与△A /B /C /的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
（2） △ACD 与△A /C /D /相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
（3） 如果CD=1.5cm ，那么模型房的房梁立柱有多高？（4） 据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？总结：相似三角形对应高的比等于相似比3、探究活动二：如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠BAC ，A /D /平分∠B /A /C /；E 、E /分别为BC 、B /C /的中点。
试探究AD 与 A /D /的比值关系，AE 与A /E /呢？小结：相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. A C D E A / B / /D /E /4、探究活动三：（3）你能得到哪些结论？类比总结：相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比.【学以致用】例题一（重点讲解）：如图，AD是ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，AB=AC.四边形PQRS是正方形。
（1）ASR与ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长。
巩固练习：随堂练习【内容升华】本节课的收获和疑问是什么？【布置作业】习题3、4上作业本。
10.5相似三角形的性质(1)
课题：10.5相似三角形的性质（1）班级 组别 姓名 使用日期【学习目标】1. 探索相似三角形、相似多边形的性质，会运用相似三角形、相似多边形的性质解决有关的问题；2. 经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力.【导学提纲】阅读课本P105-106，思考下列问题：1．根据相似三角形、相似多边形的概念，如果两个三角形或两个多边形相似，那么它们的对应角 、对应边 .2．若两正方形的相似比为1:2，则这两个正方形的周长比为 ，面积比为 .3．若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ， 那么AB BC AC A B B C A C ===''''''. 于是__AB A B ''=,__BC B C ''=,__AC A C ''=. 所以______AB BC AC A B B C A C A B B C A C A B B C A C ''''''++++=''''''''''''++++__()A B B C A C A B B C A C''''''++==''''''++ . 由此可得，△ABC 与△A′B′C′的周长比等于 .4．相似多边形的周长和相似比之间有什么关系？你能说明理由吗？5．（1）如图，△ABC ∽△A′B′C′，相比为k ，AD 与A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高. 试说明：AD k A D =''.由此可得：相似三角形对应高的比等于 . （2）若△ABC ∽△A′B′C′，那么△ABC 与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？（3）相似多边形的面积比与相似比之间是否有相同的关系呢？为什么？【展示交流】1. 在比例尺为1：400的地图上，测得一个四边形地块ABCD 的周长为12cm ，面积为6cm 2，求这个地块的实际周长和实际面积．2. 如图，在等腰△ABC 中，点D 、E 分别是两腰AC 、BC 上的点，连接AE 、BD 相交于点O ，A ’BC ’D ’A B C D∠1=∠2．（1）试说明：OD=OE ；（2）若AB=3DE ，△DOE 的面积为2，求四边形ABED 的面积．【课堂反馈】1．完成课本P101练习1、2、3.2．一张比例尺为1：4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2，则这个地区的实际周长 m ，面积是 m 2．3．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为 （ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：164．如图，△ABC 中，BC = 2，DE 是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE ∽△ABC ；⑶△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1 : 4．其中正确的有 （ ）A . 0 个 B.1个 C . 2 个 D. 3个5．如图，在△ABC 中，DE//BC ，若21 EC AE ，试求△DOE 与△BOC 的周长比与面积比．【盘点收获】【个案补充】【迁移创新】如图，△ABC 是边长为2的等边三角形．取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的面积记作S 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2．照此规律作下去，则S 2019= .．【课堂作业】课本P108 习题10.5 第1，2，3题．O E D CB A。
10.5相似三角形的性质(1)
6、如图，△ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ ⁄⁄ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ
1:Ｓ2:Ｓ31=：___3_：__5___ .
S1
S2 S3
第二十一页，共25页。
7.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE
交于点O,则△DOE与△BOC的周长之
比是___1_:_3____,面积比是 1:9
M
N
B
C
第十八页，共25页。
3.已知△ABC∽△ A'B'C'其相似比是 2, △ABC的周长是36,则A'B'C'的周
长是_____1_8__.
第十九页，共25页。
4.小明把1米长的铜丝截成两段，用 它们围成两个相似三角形且相似比 为3：5，那么截成的两段铜丝的长度 差是0_._2_5_米______. 5.已知两个相似多边形的相似比是 4:5,周长的和是18cm,则两个多边形 的周长分别是__8_c_m_,_1_0_c_m__.
________.
A
1
D
E
2
O
B
C
第二十二页，共25页。
小结：全等三角形与相似三角形性质比较
相等 相等
相等 相等
相似比
相等
相似比 相似比的平方
第二十三页，共25页。
作业：
习题10.5 1，2，3
第二十四页，共25页。
谢谢大家
2023/6/11
生产计划部
第二十五页，共25页。
1、给形状相同且对应边的比为1：2 的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用
漆0.5听，那么大标牌用漆需要____2听.
第十七页，共25页。
2、如图:在△ABC中,M、N分别是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
前一个三角形与后一个三角形的相似比为（），而它们的周长比
是（），它们的相似比与周长比是（）。
2、若△ABC∽△A′B′′C，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？说出理由：
我们得到：相似三角形周长比等于（）
类似地，我们得到：相似多边形周长比等于（）
___。
3、如图，在□ABCD中，AE︰AB=1︰2。
(1)求⊿AEF与⊿CDF的周长的比；
(2)若S⊿AEF=8cm2,求S⊿CDF。
：
四、拓展
中考链接
如图，在△ABC中，DE//BC，若=，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比。
2、如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF。
(1)求证：EF∥BC；
若四边形BDFE的面积为6，求⊿ABD的面积。
三、反馈
1、一个三角形变成和它相似的三角形，若边长扩大为原来的4倍，则面积扩大为原来的______倍。
2、一个三角形的三边之比为2︰3︰4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的长是_____，周长是_____。
七雄中学2009—2010学年度第二学期
八年级数学教学案
课题
10.5相似三角形的性质(1)
课型
新授
时间
备课组成员
初二数学组
主备
周建中
审核
教学目标
1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；
2、发展学生合情推理和有条理的表达能力。
重点
相似三角形的性质。
难点
有条理的表达与推理。
一、预习
3、第1题中的两个三角形是直角三角形吗？那么它们的面积比是（），
它们的面积比是相似比的（）。
4、那么若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比是相似比的平方吗？说出理由：
5、我们得到：相似三角形面积比等于（）
类似地，我们也得到：相似多边形面积比等于（）。
二：展示
1、在比例尺为1︰500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长及面积。