数学解题方法及精要讲解及青年教师选拔试题

本文发表于《数学通讯》2004.10月第19期高中数学之解题歌诀如何解题，是高考数学复习研究的一个重要课题，笔者结合多年学习实践和教学研究摸索出了一套行之有效的高中数学解题口诀，现将它奉献给教师朋友们.【口诀】 【简短说明】 审题领先， 审题始终是解题的第一步，翻译作签. 审题时把文字信息译成数学知识或几何图形，标出重点，提醒注意. 】草拟局限， 打草稿，画草图.注意思维定势和负迁移都容易造成思路片面或错误，只管半边. 因此“草拟”有很大的局限性. 】联系找区别， 联系、联想已学过的知识或模型，但不能简单地套用，必须弄清区别，还原无缺陷. 作必要修改，做到毫无缺陷. 】特殊提前， 解题时先把特殊情况罗列于前，防遗漏，如子集为空集、公比1q =、 通法接连. 20ax bx c ++=中0a =、直线斜率k 不存在等，然后做“通法”. 】 乘除有条件， 运算化简时，乘除的因子不能为 0（为0的情况单列）， 轨迹要增添. 在求动点轨迹时，要特别重视特殊点的增添、取舍. 】取舍找外援 要取舍、增添一些结果，可以从其它途径考虑，比如问题的实际意义、数形总并肩. 问题的几何意义，等等，数形结合的思想，在检验中往往发挥重要作用. 】麻烦在端点， 区间端点能否取到、等号是否成立，不能忽视，否则会带来麻烦， 消除可检验. 消除端点、等号问题，可以对它们单独检验. 】思路有偏， 解题时思路受阻、卡壳，往往是因第一步“审题”没有做好， 读题一遍. 这时需要再细审一遍，看条件是否用错、遗漏、信息是否挖尽. 】 条件用尽， 争取条件用尽，可以说，条件不挖尽，题目基本解不出来、解不完整，结论求严. 做结论时，力求表述准确、条理，来不得半点马虎.】以上口诀按解题步骤分为三步，一是“审题、构思”，二是“动笔求解”，三是“检验、作答”.口诀适合高中数学的大小题型，只不过小题全过程在草稿上进行而已.众所周知，要很好地解答数学题，考出好成绩，绝非一朝一夕之功，即便自己有了“口诀”，也是如此.因此还要补充四句：速度齐天， 要靠锻炼. 沉着冷静， 高分出现.兴化市高中数学青年教师解题复赛试卷(考试时间：120分钟 满分：160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在各题的相应的横线上．1．若13(,1),ln ,2ln ,ln x e a x b x c x -∈===，则c b a ,,按从小到大的顺序排列 为 ．2.如图，一个水轮的半径为6米，水轮圆心O 距离水面3米，水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间，则点P 距离水面的高度y （米）(当点P 在水面上时，y 记为正值；当点P 在水面下时，y 记为负值)关于为时间t （秒）的函数表达式为 ．3．函数2()32(0,1)x x f x a a a a =+->≠ 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 ．4．已知线段AD ∥α，且AD 与平面α的距离为4，点B 是平面α上的动点，且满足5AB =，若10AD =，则线段BD 长度的取值范围为 ．6．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：13 722 32 425 9 1 7 2523 3 33 9 43 275 11 29仿此，若3m 的“分裂”中最小的数是211，则m 的值为 ．学校 姓名 考试号 .…………………装…………………………………………订…………………………………………线…………………………………………………8．设()g x 是定义在R 上．以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 ．9．25个大学生排成5行5列，现从中任选出3人去3个不同的工厂参加社会实践活动，要求这3人来自不同行也不同列，则不同的选派方案数为 ．（用数字作答）5．如图，已知(1,0)A -、(1,0)B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴上两定点，,C D 分别为椭圆的短轴和长轴的端点，P 是线段CD 上的动点，若AP BP ⋅ 的最大值与最小值分别为3、15-，则椭圆方程为 ．7．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB ∆的面积的最大值 ．10．在直角ABC ∆中，两条直角边分别为a b 、，斜边和斜边上的高分别为c h 、，则c ha b++的取值范围是 ．11．方程42100x x c -+=的四个实数根按由小到大的顺序排列恰好组成等差数列，则此数列的公差为 ．12．已知函数()x f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下4个判断：①ABC ∆一定是钝角三角形； ②ABC ∆不可能是等腰三角形； ③ABC ∆可能是等腰三角形； ④ABC ∆可能是直角三角形． 则其中正确判断的序号是 ．（写出所有正确判断的序号） 13．设1212,()x x x x <是2210a x bx ++=的两实根；3434,()x x x x <是方程012=++bx ax 的两实根．若4213x x x x <<<，则实数a 的取值范围是 ． 14．设实数a 使得不等式2|2||32|x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件的a所组成的集合是 ．15．（本小题满分14分）如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ．该曲线段是函数2πsin()3y A x ω=+()0,0A ω>>， x ∈[－4，0]时的图象，且图象的最高点为B （－1，2）；赛道CD ，且CD // EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 DE ．（1）求ω的值和DOE ∠的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE 上，且POE θ∠=，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．16．（本小题满分14分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF 的方程是200(540)xy x =≤≤，设点M 的坐标为(,)s t ，记z s t =⋅．（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度） （1）求z 的取值范围；（2）试写出三角形观光平台MGK 面积MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值．…………………装…………………………………………订…………………………………………线…………………………………………………17．（本小题满分14分）（1）将圆224x y +=上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．大家知道，圆222x y a +=上任意一点P 对直径AB 所张成的角为直角．即若P 与过圆心的弦AB 的两端点A 、B 连线PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ⋅为定值1-．（2）那么上述结论在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中的形式是什么？请证明你的结论．学校 姓名 考试号 .…………………装…………………………………………订…………………………………………线…………………………………………………18．（本小题满分16分）已知在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D 中，P 为棱1CC 的中点，Q 为正方形11ABB A 的中心，点,M N 分别在直线AD 和11A B 上．（1）若,M N 分别为棱AD ，11A B 的中点，求直线MN 与PQ 所成角的余弦值；（2）若直线MN 与直线PQ 垂直相交，求此时线段MN 的长；（3）在（2）的条件下，求直线PQ 与MN 所确定的平面与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分16分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+的定义域为[2,](2)t t ->-．（1）若函数()f x 在区间[2,]t -上为单调函数，求t 的取值范围； （2） 讨论关于x 的方程2()2(1)(2)3xf x t t e '=->-解的个数．20．（本小题满分16分）已知公差d 为正数的等差数列{}n a 和公比为q （1q >）的等比数列{}n b ．（1）若10a >，且11n n n na b a b ++≤对一切*n N ∈恒成立，求证：11d a q a ≤-； （2）若d >1，集合{}{}{}345345,,,,1,2,3,4,5a a a b b b ⋃=，求使不等式128n p n nna b p a b ++++≤成立的自然数n 恰有4个的正整数p 的值．…………………装…………………………………………订…………………………………………线…………………………………………………。