圆内接四边形内切圆的有关性质
圆的有关概念和性质总结
圆的有关概念和性质知识考点：1、理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系；2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念；3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。
圆的形成性描述：在一个平面内，线段OA绕它固定的O一端旋转一周，另一端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径。
以点O为圆心的圆记作“”1.圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径4、同圆或等圆的半径相等5、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线6、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线7、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线8、不在通一条直线上的三点确定一个圆垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等圆心角定义：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
24.1.1圆的有关概念(教案)
5.在总结回顾环节，学生对本节课的知识点掌握得较好，但仍有一些疑问。这说明我在教学中可能还存在一些不足，需要进一步优化教学方法，提高教学效果。
2.强化学生的逻辑思维和推理能力，通过分析圆与直线、圆与圆之间的位置关系，提升解决问题的策略和方法；
3.培养学生的数学运算能力，熟练掌握圆的周长和面积计算公式，并能应用于解决实际问题；
4.培养学生的数据分析观念，通过对圆的相关实例和练习的探讨，让学生学会从数学角度分析、提炼和解决问题；
5.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论和分享，提高学生团队协作和表达自己观点的能力。
5.圆的内接四边形、圆的内切四边形及其性质。
本节课我们将结合教材内容，通过实例和练习，使学生对圆的概念有更深入的理解，并提高他们在实际应用中解决问题的能力。
二、核心素养目标
24.1.1圆的有关概念：
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过探究圆的基本概念，使学生能够理解和运用圆的相关性质，形成对圆的准确认知；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三、教学难点与重点
圆的切线的判定与性质
【知识点查漏】1、圆内接四边形性质2、内心与外心分别是什么？3、直接三角形内切圆半径推导 r=2cb a -+ 4、直线与圆关系及对应性质 【重点内容补缺】一、切线长于弦切角 （一）、切线长定理1.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
如图中，切线长AC=AB ∠OAB=∠OAC2.切线长定理推论：圆的外切四边形的两组对边的和相等例1．如图所示，过半径为5cm 的⊙O 外一点P 引⊙O 的切线PA 、PB ，连结PO 交⊙O 于点M ，过M 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于点E 、D ，如果OP=13cm ，求PED ∆的周长．例2、已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径．求证：AC ∥OP ．例3．如图所示，已知过⊙O 的直径AB 的两端及AB 上任一点E 作⊙O 的三条切线AD 、BC 和CD ，它们分别交于D 、C 两点．求证：BC AD ∙为定值．·APEM DBO·ADO E（二）、弦切角1. 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
3. 两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
例1 填空题：（1）如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，DC 的延长线交AB 于A 点，∠A=20，则∠DBE= （2）如图，经过⊙O 上的点A 的切线和弦BC 的延长线相交于点P ，若∠CAP=40°，∠ACP=100°，则∠BAC=（3）如图，已知直线BC 切⊙O 于点C ，PD 为⊙O 的直径，BP 的延长线与CD 的延长线交于点A ，∠A=28°，∠B=26°，∠PDC=例2．如图所示，ABC ∆内接于⊙O ，AE 是∠BAC 的角平分线，交BC 于E ，过A 作⊙O 的切线，交BC 的延长线于点D ．求证：AD=DE例3. 如图所示，ABC ∆内接于⊙O ，AB=AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，BD ∥AC 、BD 相交于点E ．求证：ACD ABE ∆≅∆反馈练习1．如图所示，在ABC Rt ∆中，∠BAC=︒90，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．求证：DE=21AC ．· A CP B 例1（2）题 · A B D C 例1（1）题E A D C B P ·例1（3）题 · · A C E D B O · ABD C O EMN · AO E2 如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，AGB :AMB=1:2，AP=6，试求AB 、OA 、OP 、OC 、PG 的长度。
圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系
【2020中考数学专项复习】：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：(1)离相等，即外心不一定在三角形内部(1)(2)OABAC心在三角形内部3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述． (1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P 在⊙O 外，连接PO 交⊙O 于A ，延长PO 交⊙O 于B ，则在点P 与⊙O 上各点连接的线段中，PB 最长，PA 最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P 为⊙O 内一点，直径过点P ，交⊙O 于A 、B 两点，则PB 最长、PA 最短． 2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I 是△ABC 的内心，则∠BIC=90°+A ∠21．(2)如图所示，E 是△ABC 的两外角平分线的交点，A BEC ∠21-°90=∠．(3)如图所示，E 是△ABC 内角与外角的平分线的交点，∠E=A ∠21．(4) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为切点，则∠DOE ＝180°－∠A ．(5)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，A DFE ∠21-°90=∠．(5) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，P 为DE 上一点，则A DPE ∠21+=°90=∠．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O 中，半径OA ＝4，弦BC 经过半径OA 的中点P ，∠OPC ＝60°，求弦BC 的长．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，AD BC =，连接AC ． (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ． 【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中． 举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定3．已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，BD⊥半径AO于D．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝45，求⊙O的半径．【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．已知：如图所示，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为1，且AC＝CE，求MO的长．【总结升华】有关切线的判定，主要有两种类型，若题目已经给出了直线与圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法(此题就如此)；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法，简称“作垂直证半径”．举一反三：【变式】如图所示，△ABC中，AB＝C，BC＝a，CA＝b，面积为S．⊙O是△ABC的内切圆，求内切圆半径r．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且21-3=OF，求证△DCE≌△OCB．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．6．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，则∠CMP的大小是否变化？【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度．举一反三：【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是EA的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是 （ ）A.相交B.外切C.外离D.内含2．如图，AB 为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD ，如果∠BOC=70°，那么∠A 的度数为 （ ）A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3．已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于 （ ）A.30°B.60°C.45°D.50°第2题 第3题 第4题 第5题4．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点,则线段OM 长的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 25．如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为 （ ）A.B.C.D.6. 如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（）A． B． C．D．二、填空题7．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为 .8．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于 .9．如图所示，已知⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为________．第8题第9题第10 题10．如图所示，在边长为3 cm的正方形中，与相外切，且分别与边相切，分别与边相切，则圆心距= cm．11．如图所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A的度数是 .12．在圆的内接等腰三角形ABC（三角形ABC三个顶点均在圆周上）中，圆心到底边BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，则腰AB的长为 .AB34354345ABCD1O2O1O,DA DC 2O,BA BC12O O,EB EC O,B C,A D O三、解答题13．如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，32==DO DC DP DB ． （1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos∠BCA 的值．14．如图所示，点A 、B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A 、⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r ＝1+t(t ≥0)．(1)试写出点A 、B 之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；(2)问点A 出发后多少秒两圆相切?15. 如图所示，半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC:CA ＝4:3，点P 在AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．(1)当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；(2)当点P 运动到AB 的中点时，求CQ 的长；(3)当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值，并求此时CQ 的长．16. 如图1至图4中，两平行线AB 、CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB ，CD 之间（包括AB ，CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α= 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 ．探究一在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N 到CD 的距离是 ．探究二将如图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围． （参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）343434。
九年级数学专题复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系
总复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角． 要点进阶：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性． 3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点进阶：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点进阶：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点进阶：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点进阶：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点进阶：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点进阶：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点进阶：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P在⊙O外，连接PO交⊙O于A，延长PO交⊙O于B，则在点P与⊙O上各点连接的线段中，PB最长，PA最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P为⊙O内一点，直径过点P，交⊙O于A、B两点，则PB最长、PA最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I是△ABC的内心，则∠BIC1902A =+∠°．(2)如图所示，E是△ABC的两外角平分线的交点，1902BEC A ∠=-∠°．(3)如图所示，E是△ABC内角与外角的平分线的交点，12E A ∠=∠．(4)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，1902DFE A ∠=-∠°．(6)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P为DE上一点，则1902 DPE A ∠=+∠°．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用例1．已知：如图所示，⊙O中，半径OA＝4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC＝60°，求弦BC的长．例2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，AD BC =，连接AC ． (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定例3．已知：如图所示，△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥半径AO 于D ．(1)求证：∠C ＝∠ABD ；(2)若BD ＝4.8，sinC ＝45，求⊙O 的半径．类型二、圆的切线判定与性质的应用例4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB 的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求线段BE的长．举一反三：【变式】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用例5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且312OF-=，求证△DCE≌△OCB．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．例6．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，那么∠CMP的大小是否变化？请直接写出你的结论．举一反三：A的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是E(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中，，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A．5 B．6 C．7 D．152．如图，AB为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（）A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（）A.30°B.60°C.45°D.50°第2题第3题第4题第5题4．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为（）A. 5B. 4C. 3D. 25．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A. 14B. 15C. 32D. 236. 如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为0AB 上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为（ ）A ．34B ．35 C ．43D ．45二、填空题7．已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则线段AB 长度的最小值为 .8．如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．O B⊥AD，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 .9．如图所示，已知⊙O 中，直径MN ＝10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM ＝45°，则AB 的长为________．第8题 第9题 第10 题10．如图所示，在边长为3 cm 的正方形ABCD 中，1O 与2O 相外切，且1O 分别与,DA DC 边相切，2O 分别与,BA BC 边相切，则圆心距12O O = cm ．11．如图所示，,EB EC 是O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A 的度数是 .12．如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是的中点，CE⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE 、CB 于点P 、Q ，连接AC ，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P 是∠ACQ 的外心，其中正确结论是 （只需填写序号）．三、解答题13．如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DC 2DP DO 3==．（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线； （2）求cos∠BCA 的值．14．如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r ＝1+t(t≥0)．(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；(2)问点A出发后多少秒两圆相切?15.已知⊙O的直径AB=10，弦BC=6，点D在⊙O上（与点C在AB两侧），过D作⊙O的切线PD．（1）如图①，PD与AB的延长线交于点P，连接PC，若PC与⊙O相切，求弦AD的长；（2）如图②，若PD∥AB，①求证：CD平分∠ACB；②求弦AD的长．16. 如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α=度时，点P到CD的距离最小，最小值为．探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=度，此时点N到CD的距离是．探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=34，cos41°=34，tan37°=34．）。
圆的性质和定理
【圆的平面几何性质和定理】[圆的基本性质与定理]1定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
(圆的确定）2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形[有关圆周角和圆心角的性质和定理]1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半3圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形[园内接四边形的性质与定理]1定理圆的内接四边形的对角互补2定理并且任何一个外角都等于它的内对角3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆[有关切线的性质和定理]1切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心[与圆有关的比例线段]1相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项2 割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等3切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项4切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角[圆的其他性质定理]1弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等2①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r3圆的外切四边形的两组对边的和相等[圆与圆]1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上2①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)3定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形（有关外接圆和内切圆的性质和定理）5定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
第2课 圆心角与圆周角、圆内接四边形=2021年人教版新九年级数学上册 第二十四章 圆
C ．圆心角与圆周角、圆内接四边形学生/课程 年级 学科 数学授课教师日期时段核心内容圆心角与圆周角、圆内接四边形课型一对一/一对N教学目标 1．理解并掌握圆心角、弦、弧之间的关系，能够运用他们的关系分析解决相关的几何问题 2．理解并掌握圆周角的概念以及圆周角定理和推论．并熟练运用解决实际问题。
重、难点1、圆心角与圆周角关系的转换，以及圆周角的推论的运用。
课首沟通1．学校的上课进度如何？你在学习这些内容的过程中都遇到什么问题？ 2．上次的作业给我看看，完成了没有？还有不会的题吗？知识导图课首小测1.[单选题] 如图，已知点A （0，1），B （0，﹣1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴于点C 和点D ，则DC 的长为（ ）A ．2B ．4D ．22.[单选题] 已知⊙O的直径AB=10cm ，弦CD=8cm ，AB⊥CD，那么圆心O 到CD 的距离是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 3.如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为4.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=5.⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm6.如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O的半径．导学一：圆心角知识点讲解1：弧、弦、圆心角1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角2.定理：（1）在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2）在同圆或者等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
（3）在同圆或者等圆中，相等的两条弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。
特别注意：只有圆心角与弧存在倍数关系。
与弦不存在倍数关系。
例1. [单选题] 在下图中，下列各角是圆心角的是（）A．∠ODC B．∠OCD C．∠AOB D．∠BDC例2. 指出下列哪些是∠AOB所对应的弦和弧？例3. 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A/OB/的位置你能发现哪些等量关系？为什么？完成下面的填空题。
圆的有关概念及性质PPT课件
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
高中-圆的有关概念和性质
高中数学-圆第一节圆的有关概念和性质一【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。
（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360 ，BP等于正多边形的边长的一半。
平面几何的圆与圆内接四边形
平面几何的圆与圆内接四边形圆与圆内接四边形是平面几何中重要的几何形状之一。
它由一个内切于圆的四边形组成，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍圆与圆内接四边形的定义、性质和相关定理。
一、定义圆与圆内接四边形是指一个四边形，其四个顶点都位于圆上，且四条边都切到圆的某一个点处。
这个四边形中的相邻两边之间的角度是直角。
二、性质1. 四边形的对边互相平行：在圆内接四边形中，对边之间互相平行。
因为两个对边都是切线，切线与半径之间的夹角是直角，所以两条对边之间也是直角。
2. 对角线相等：圆内接四边形的对角线互相相等。
这是因为圆的直径是最长的，而圆内接四边形的对角线分别是相邻顶点到圆心的半径，所以对角线相等。
3. 对角线互相垂直：圆内接四边形的对角线互相垂直。
这是因为两条对角线分别是相邻顶点到圆心的半径，而圆的半径垂直于切线，所以对角线互相垂直。
三、相关定理1. 矩形的特殊情况：当圆内接四边形的两对对边互相平行，而且对角线相等时，这个四边形是一个矩形。
2. 正方形的特殊情况：当圆内接四边形的两对对边互相平行，对角线相等，并且四个角都是直角时，这个四边形是一个正方形。
3. 拉格朗日定理：设a、b、c、d为圆内接四边形的四边的长度，p 为半周长，则满足拉格朗日定理：a² + c² = b² + d² = p²/2.四、例题解析例题1：已知圆O的半径为r，P、Q、R、S分别为圆上的四个点，作PQ与RS的连线。
证明：PQRS是一个圆内接四边形。
解析：首先，根据定义可知P、Q、R、S都位于圆O上，然后我们需要证明相邻两边之间的角度是直角。
根据圆的性质可知，半径与切线之间的夹角是直角，所以角PQS和角PRS都是直角。
因此，PQRS 是一个圆内接四边形。
例题2：已知圆O的半径为r，P、Q、R、S分别为圆上的四个点，且PR与QS互相平行。
证明：PQRS是一个矩形。
解析：根据题目已知可知PR与QS互相平行。
圆内接四边形对角互补证明方法
圆内接四边形对角互补证明方法1.引言1.1 概述概述圆内接四边形对角互补是一个经典的几何问题。
在数学的研究中，我们经常遇到探讨几何形状与其特性之间的关系。
本文将介绍圆内接四边形对角互补这一问题，并提出一种证明方法。
圆内接四边形是指有一个圆完全内切于四边形的四边形。
而对角互补是指四边形的对角线相互垂直。
所以，圆内接四边形对角互补指的是四边形的对角线相互垂直，并且该四边形内切于一个圆。
本文将首先介绍圆内接四边形的性质和特点，然后给出一个简洁明了的证明方法，以证明对角互补的成立。
接着，我们将进一步探讨该结论的意义和应用。
了解圆内接四边形对角互补的证明方法有助于我们理解几何问题的本质，并提高我们解决几何问题的能力。
通过本文的阐述，读者将能够掌握圆内接四边形对角互补的证明思路和方法，从而加深对几何学的理解。
在接下来的正文部分，我们将详细讨论圆内接四边形对角互补的证明过程，并展示相关的例子和图形，以便更好地理解该结论的推导过程。
最后，我们将总结我们的研究成果，并对结果进行验证。
同时，我们还将探讨这一结论的意义和具体应用领域，以展示几何学在实际问题中的重要性。
本文的目的是通过论述圆内接四边形对角互补的证明方法，增进读者对几何学的理解，培养解决几何问题的思维能力，并拓宽几何学的应用领域。
接下来，我们将开始正文部分，详细展开对这一问题的讨论。
文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和结构进行说明和概述。
以下是根据大纲进行编写的文章1.2文章结构部分的内容：第一部分：引言在引言部分，我们将简要概述本篇文章的背景和研究对象，并说明我们的研究目的和意义。
第二部分：正文正文将按照以下三个要点来展开对圆内接四边形对角互补的证明方法进行详细阐述。
2.1 第一个要点在这一部分，我们将介绍圆内接四边形的定义和性质，说明对角线的特征以及对角互补的概念。
我们将给出基本的证明方法和步骤，并附上几个具体的例子来帮助读者理解和应用。
2.2 第二个要点本部分将进一步阐述圆内接四边形对角互补的证明方法。
圆内接四边形四点共圆的模型判定
圆内接四边形是数学中的一个重要概念。
在本文中，我们将讨论圆内接四边形的模型判定问题，包括如何判定一个四边形是否能够内接一个圆，以及如何构建一个圆内接四边形的模型。
一、圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的情况。
这个圆被称为四边形的内切圆，圆心被称为四边形的内切圆心。
二、圆内接四边形的性质1.圆内接四边形的对角线相互垂直。
2.圆内接四边形的对角线相互平分。
3.圆内接四边形的对角线交点为内切圆心。
三、圆内接四边形的模型判定问题圆内接四边形的模型判定问题是指给定一个四边形，判断该四边形是否能够内接一个圆的问题。
下面我们将介绍两种方法来解决这个问题：1.使用四边形的对角线长度判断对于一个四边形，如果它的对角线相等，那么它一定是一个圆内接四边形。
这是因为对角线相等是圆内接四边形的充分必要条件。
我们可以通过计算四边形的对角线长度来判断它是否能够内接一个圆。
2.使用四边形的内角判断另一种方法是通过计算四边形的内角来判断它是否能够内接一个圆。
具体来说，如果一个四边形的内角都是直角，那么它一定是一个圆内接四边形。
因为直角四边形一定能够内接一个圆。
我们可以通过计算四边形的内角来判断它是否能够内接一个圆。
四、构建圆内接四边形的模型除了判定一个四边形是否能够内接一个圆外，我们还可以构建一个给定半径的内接圆的圆内接四边形模型。
下面是构建这个模型的步骤：1.已知圆的半径我们已知内接圆的半径r。
2.确定圆心位置我们可以确定内切圆心在坐标系中的位置。
3.确定四边形的顶点我们可以通过内切圆心和半径确定四边形的顶点位置。
4.连接四边形的顶点我们连接四个顶点，就得到了一个圆内接四边形。
通过上述步骤，我们可以构建一个给定半径的内接圆的圆内接四边形模型。
五、结论在本文中，我们讨论了圆内接四边形的模型判定问题，包括圆内接四边形的定义、性质，以及判定一个四边形是否能够内接一个圆的方法。
我们还介绍了如何构建一个给定半径的内接圆的圆内接四边形模型。
圆的内接四边形与四点共圆教学设计与反思
圆的内接四边形与四点共圆教学设计与反思
E 教师点拨问题解答思路
例1、
例2、 例3、 例4、
例题1、在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK 。
求证：∠DMA ＝∠CKB 。
（教师引导分析，学生完成证明）
课堂练习2正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989CM 2 , P 为
正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14。
则PB=__________。
（教师引导分析，学生完成证明）
分析：连接OA ，OB.易知O ，P ，A ，B 。
四点共圆，则有∠APB=∠AOB=90°。
故
PA 2+PB 2=AB 2=1989。
由于
PA:PB=5:14，可求PB 。
答案是PB
=42㎝。
通过教师讲授，学生倾听方式认识新知识。
通过教师指导运用合情推理与演绎推理认知新事物，构建新知识。
通过定理的应用，进一。
九年级数学圆周角及圆内接四边形
初三数学圆周角及圆内接四边形知识精讲一. 本周教学内容： 圆周角及圆内接四边形［学习目标］ 1. 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角必须具备两个特征：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都和圆相交，二者缺一不可。
2. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
定理的证明要分类，因为一条弧所对的圆心角唯一，而它所对的圆周角却有无数个，这无数个圆周角与圆心位置有三种：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角外部。
3. 圆内角角的顶点在圆内的角叫圆内角。
圆内角的度数等于它所对弧与它对顶角所对弧的度数之和的一半。
如下图圆内角∠3的度数为∠1＋∠2，∠1的度数是AB的一半，∠2的度数是CD ⋂的一半。
4. 圆外角角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角，叫圆外角。
圆外角的度数等于它所截两条弧度数之差的一半。
如下图，圆外角∠3的度数为∠2－∠1，∠2的度数是AB ⋂的一半，∠1的度数是CD ⋂的一半。
5. 四边形的外角，四边形的对角四边形一边延长线与相邻一边组成的角叫四边形的外角。
四边形中不相邻的两个角互称为对角。
所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。
6. 圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
例1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝_________。
解：∵∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55°又∠BAD＋∠BCD＝180°∴∠BCD＝180°－55°＝125°例2. 已知：如图，∠APC＝∠BPC＝60°，则∠BAC＝__________。
解：∵∠APC＝∠BPC＝60°∴∠APB＝120°，BC＝AC∵四边形APBC内接于⊙O∴∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形∴∠BCA＝60°，故填60°点拨：本题较综合，考察：①相等的圆周角所对弦相等，②圆内接四边形对角互补，③一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
初中数学第六册教案：圆内接四边形与圆的内切,有何联系？
初中数学第六册教案：圆内接四边形与圆的内切，有何联系？？作为初中数学教育中核心的一个内容，圆内接四边形与圆的内切在学生的学习中占据了重要的地位。
圆内接四边形与圆的内切是初中数学中比较有难度的内容之一，需要学生具有良好的数学基础、逻辑思维和推理能力才能很好的掌握。
本文将会从多个方向对初中数学第六册教案：圆内接四边形与圆的内切这个难点进行全面的学习和理解，从而切实提高学生的数学素养和成绩。
1、圆内接四边形圆内接四边形是指在同一圆内的四个顶点所在的四边形，即圆内接四边形。
同一圆内的四边形，使得其四个顶点都在同一个圆上，可以看做是圆的关系中的一个子集。
在初中数学中，学习圆内接四边形涉及到初中数学的一些基础概念，例如：圆、直线、角度、四边形等。
通过学习，学生能够掌握圆内接四边形的性质及其应用。
圆内接四边形的性质如下：性质一：圆的直径AB是圆内接四边形ABCD的对角线，即：AC=BD=2r。
性质二：圆内接四边形的两组对角线互相垂直，即：∠A和∠C是互相补角，∠B和∠D是互相补角。
性质三：圆内接四边形的对边互相平行，即：AB∥CD，AD∥BC。
性质四：圆内接四边形的对边相等，即：AB=CD，AD=BC。
2、圆的内切圆的内切是指在同一直线上的一条切线和这个圆的关系。
圆是一种典型的几何图形，在初中数学中，对圆的内切的学习是比较有价值的。
通过学习圆的内切，学生能够更加深入和全面的了解圆的内部结构和相关的性质。
圆的内切的性质如下：性质一：切线与半径的垂线相互垂直。
性质二：切点是所作直线距离圆心最近的点。
当然，在实际应用中，圆的内切还具有更广泛的应用。
例如：建筑设计中，通过圆的内切点可以确定墙面的正确位置，以及汽车轮胎的设计等。
3、圆内接四边形与圆的内切的联系在初中数学教育中，学生需要深入理解和掌握圆内接四边形和圆的内切的相关知识，并将两者进行发散性的学习和探究，这是初中数学教育中的一个难点。
下面我们将对圆内接四边形和圆的内切的联系进行进一步的探究。
中考预测：三角形的外接圆、内切圆和圆的内接四边形
【知识要点】1．三角形的外接圆（1）过三角形三顶点的圆，叫做三角形的外接圆。
三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
三角形的外心到三顶点的距离相等。
（2）锐角三角形的外心在三角形的内部；钝角三角形的外心在三角形的外部；直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径2cr =（c 为斜边）。
2．角形的内切圆（1）与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点。
内心到三角形三边的距离相等。
（2）直角三角形内切圆半径2a b c r ++=，任意三角形内切圆半径2Sr a b c=++。
3．圆的内接四边形（1）如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
（2）定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
【例题解析】例1 如图1，ABC V 的三边长为a 、b 、c ，面积为S ，内切圆⊙I 的半径为r ，⊙I 与三边切于D 、E 、F 。
求证：2Sr a b c=++。
C图1求证：（1）IE=EC ，（2）IE 2=ED ·EA 。
例3 如图3，AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，AD 于三角形的外接圆交于点D ，∠BAC=40o ，求∠BCD 及CD 的度数。
例4 如图4，四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 在CD 的延长线上，且AP ∥BD ，求证：PD ·BC=AB ·AD 。
图2︵图3图4一、选择题1、下列命题中，正确的有 （ ）① 圆内接平行四边形是矩形 ② 圆内接菱形是正方形 ③ 圆内接梯形是等腰梯形 ④ 圆内接矩形是正方形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、在圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C=3：5：6，那么∠D=（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．120°3、如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r ，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（ ） A．C D ．2p4、正三角形的外接圆与它的内切圆的半径之比是（ ）A． B C ．2:1 D ．3:1 5、如图5，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=110°，则∠BCD=（ ） A ．125° B ．110° C ．55° D ．70°6、如图6，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC=60°，则∠ABC=（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．90°7、如图7，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AD 上，则∠BPC 为（ ） A ．35° B ．40° C ．45° D ．50°8、如图8，MNPQ Y 中，过点Q 、M 的圆与PQ 、MN 分别相交于点E 、F ，下列结论中正确的有（ ）。
圆的切线长定理及圆内切四边形
三角形内切圆的圆心叫做三角形的 内心 这个三角形叫做圆的外切三角形 A D I B ┐ E F 三角形的内心就是三角形的三个内角角 平分线的交点 三角形的内心到三角形的三边的距离 相等
C
例2、已知,△ABC 中,BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它的 内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、 E、F,求AF、BD和CE的长。
A
D. A
.F
.
E
B
C
B
C
问题：如图△ABC，要求画△ABC的内 切圆，如何画？ 已知：△ABC 求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：1、作∠B、∠C的平分线BM、 CN，交点为I 2、过点I作ID⊥BC，垂足为D N 3、以I为圆心，ID为半径作⊙I ⊙I就是所求的圆
A
M I D C
B
与三角形各边都相切的圆
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A
∴∠OAP=∠OBP=90° ∵OA=OB，OP=OP
O
·
1 2
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
P
∴PA=PB ∠1 =∠2
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线 的夹角。
符号表示
A
O
·
1 2
B
PA = PB PA、PB分别切⊙O于A、B
（4）写出图中相等的圆弧 （5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP， △AOB （6）若PA=4、PD=2，求半径OA
A O
C D B
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
反思：在解决有关圆 的切线长的问题时， 往往需要我们构建基 本图形。 O
圆内接四边形的特点
圆内接四边形的特点圆内接四边形是指一个四边形中的四个顶点恰好在一个圆的圆周上，圆的内切四边形有许多独特的性质和特点。
首先，圆内接四边形的对角线相互垂直。
设四边形的顶点分别为A、B、C、D，圆心为O。
根据性质可知，OA=OC，OB=OD。
由这两个等式得出AO=OC和BO=OD。
根据圆的性质可知，AO=BO，CO=DO。
因此，AO=BO=OC=DO，因此四条边都相等，四边形是等边的。
对于任意一个圆内切四边形，它的对角线交于四边形的垂直哈密顿中心，这也是在圆内接四边形中的一个独特性质。
其次，圆内接四边形的两组对边和相互平行。
由于四边形的对边与同一个圆相切，所以可以得到相应角平等。
与边AB相对的是角C，与边BC相对的是角D，与边CD相对的是角A，与边DA相对的是角B。
从而可以得到AB与CD平行，BC与DA平行。
这也就意味着在圆内接四边形中，相对的两组边都是平行的。
这个特点在数学和几何学中也被广泛应用。
第三，圆内接四边形的对边和之和相等。
设圆内接四边形的两组对边分别为AB和CD，BC和DA，对边AB和对边CD的长度分别为a和c，对边BC和对边DA的长度分别为b和d。
根据波利亚量子不等式，可以得到a+c>=b+d。
而由于四边形是圆的内接四边形，所以a+b+c+d=2r，其中r为圆的半径。
根据上述两个式子可以得到a+c=b+d=2r/2=r。
所以，圆内接四边形的对边和之和等于半径的一半，这是圆内接四边形的另一个独特性质。
最后，圆内接四边形的面积可以通过两种方法求出。
第一种方法是利用四边形的对角线和的一半乘以圆的半径。
设四边形的对角线的和为p，圆的半径为r，根据上述性质可以得到p=4r，所以四边形的面积为(p/2) * r = 2r * r = 2r²。
第二种方法是利用四边形的边长求解，设四边形的边长分别为a、b、c、d，根据波利亚量子不等式可以得到a+b+c+d>=2√(ac+bd)，而对于圆内接四边形来说，a+b+c+d=2r，并且ac+bd=4r²，所以面积为2√(4r²)=4r。
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边 形 ”．
当 Ａ、，、‘，、Ｃ 四
ｃ（
，２、，３、厶，那 么 四边 Ｄ 形 ＩｉＩ２１３１４是 否 为 矩
点共线 时 ，可知点 Ａ与
．
重 合 ，点 Ｃ 与 ５重 ．
合 ，如 图 ４，如 此 时
形 呢 ？
．
．
由 ，，是 ＡＡＢＣ
的内心 ，可得
图 ５
ＡＢ ：ＡＤ ， ＢＣ ＝ ＣＤ ，
２０１８年第 ２期
数学 教 学
２—２３
圆 内接 四边 形 内切 圆的 有关 性质
杨 希 （上海交大附 中嘉定分校 ，上海 ２０１８２１）
是 四边形 ＡＢＣＤ外接 圆 的一 条直 径 ，由垂 径定
１ 问题 如 图 ｌ，设 ＡＢＣＤ是
理得 ＳＴ＆ＢＤ．即得 命题 １ 延长射线 Ａ，、ｃ，分 别交 圆 ＡＢＣＤ
ＢＤ．由命题 ２和命题 ３得 ，四边 形 ＡＢＣＤ有 内
＝ ９０。 ＋ １ Ｌ ＢＣＡ
．
由 ，４是 ＡＡＢＤ 的内心 ，可得 ＬＡＩ４Ｂ ＝ｌ８０。一 １（ＬＢＡＤ ＋ＬＡＢＤ）
９０。 ＋ １ Ｌ ＢＤＡ
＝ ．
切 圆． 再证必 要性 ，即 由 “四边形 ＡＢＣＤ是 某 圆
的外切 Байду номын сангаас边形 ”推 出“Ａ，，，．，，ｃ四点共线或者 共 圆”．
圆内接 四边 形 ，，和 分 别是 ＡＡＢＤ和 ＡＣＢＤ的
于点 ．ｓ、 ，则 ＳＴ是 圆 ＡＢＣＤ 的直 径 ，且 ＳＴ上
ＢＤ．
内 心．求 证 ： 四 边 形 Ｄ
’
ＡＢＣＤ是 某 圆 的外 切 四 ．
边形 的充 要 条件 是 ：Ａ、
过 ＡＡＢＤ与 ＡＣＢＤ的内心 ，与 －，分别作各
的性质是
命题 ３ 四边形 ＡＢＣＤ有 内切 圆的充要条
件是 ＡＢ ＋ＣＤ ＝ＡＤ ＋８ｃ（证 明略 ）．
２一．
数．学 款 学
２０１８年第 ２期
３．２ 原 问 题 的证 明
边 形 ， 且 ＡＡＢＣ、
先证充分性 ，即由“Ａ、，、．，、ｃ四点共 线或 ＡＢＣＤ、ＡＣＤＡ、ＡＤＡＢ
共 圆”推 出 “四 边 形 ＡＢＣＤ 是 某 圆 的外 切 四 的 内 心 分 别 为 ，１、
于 是 ＡＢ ＋ＣＤ ＝ＢＣ＋
Ａ，１Ｂ ＝ １８０。一 １（ 鲋 ｃ＋ＬＡＢＣ）
ＡＤ．由命题 ３知 ，四边 形 ＡＢＣＤ有 内切圆．
当 Ａ、，、Ｊ、Ｃ 四
Ａ（
图 ４
点 共 圆时 ，得 ⅣＴ＝ ＳＡＣ，由 ５、 、Ａ、Ｃ四
点 共 圆 ，得 ＳＡＣ ＝ ＳＴＣ，故 ⅣＴ ： ＬＳＴＣ，所 以 Ⅳ／／ＳＴ．由于 ＳＴ上ＢＤ，故有 Ⅳ Ｊ－
二
二
＝ ９０。．
Ｊｓ、 、 、Ｃ四点 共 圆 ，得 ｓ ＝ ＬＳＡＣ，故 ⅣＴ＝ ／ＳＡＣ，得 Ａ、，、－，、Ｃ四点共 圆． 综上所述 ，即 四边形 ＡＢＣＤ外 切于 圆 的充
同理 ， ，２，３＝９０。，／－１ｄｄ４＝９０。，故 四 边形 ，。，２，３厶为矩形．
于是 ，可得到下面的性质．
Ａ
两 个三 角形 的 内心 ，和 －，与 四边 形 ＡＢＣＤ外
图 ３
接 圆中 的线段 及 相 关 弦 的 特 殊 位 置 关 系 ，进
而 寻 求 “四 边 形 ＡＢＣＤ 是 某 圆 的 外 切 四 边
由于 ＡＰ ＝ ＡＱ， Ｑ ＝Ｂ ，ＢＴ１＝ ＢＶ，
形 ”与 “Ａ，，，－，，Ｃ四点 共 线 或 共 圆 ”之 间 的 ＣＵ ＝ＣＶ，ＤＵ ＝ＤＴ１，Ｄ ＝ＤＰ，故
要条件是 Ａ，，，．，，Ｃ四点共线或共 圆．
性质 １：若 四边形 ＡＢＣＤ为圆内接 四边形 ，
注 ：在 本问题 中 ，当 Ａ，，，．，，Ｃ四点共 圆 ＡＡＢＣ、ＡＢＣＤ、△ 、△ＤＡＢ的内心分别为
时 ，四边形 ＡＢＣＤ有 内切 圆，内切 圆的 圆心 为 ，１、，２、，３、，４，则 四边形 ，，，２，３，４为矩形．
联 系 ，原 问 题 包 含 充 分 性 和 必 要 性 两 个 命题 ． ３ 证 明
３．１ 准 备 工 作 我们先根据本 问题 的信息 ，梳 理 出几个 命
题 ，以备证 明之需要．
＝Ｂ 一曰 ＝ ＢＶ一曰Ｑ ＝ （ｓｖ＋ＣＶ）一（ Ｑ ＋ＡＱ）＋ＡＱ —ＣＶ ＝ＢＣ—ＡＢ ＋（ＡＰ ＋ＤＰ）一（ＣＵ＋ＤＵ）
当 与 ＳＴ重合 时 ，点 Ａ与 重合 ，点 ｃ与 Ｓ重合 ，故 Ａ，，，＇，，Ｃ四点共线．
当 ／／ＳＴ时 ，有 ⅣＴ＝ ＬＳＴＣ；又 因为
Ｌｉｄ１，２＝ ＬＡＩｌ Ｃ — ＬＡＩｌ厶 一 ｌ，２
１
＝９０。４－÷ ＬＡＢＣ一／＿Ａ８Ｉ￣一 ｃ８１２
１
１
＝ ９０。４－÷ＬＡＢＣ一÷（ＬＡＢＤ ４－ ＣＢＤ）
又 因为 ＬＢＣＡ ＝ ＬＢＤＡ，所 以 ＬＡＩ１Ｂ ＝ ＬＡＩ４Ｂ．故 Ａ、Ｂ、，ｌ、，４四点共 圆．
同理 、Ｃ、，２、，。四点共 圆．从而有
因为 四边 形 ＡＢＣＤ是某 圆 的外 切 四边形 ， 由命题 ３和命 题 ２得 Ⅳ 上 ＢＤ．又 因为 ＳＴ 上 ＢＤ，故 与 ＳＴ重合 ，或 玎／／ＳＴ．
＋ ＤＵ — ＤＰ
＝ ＢＣ —ＡＢ ＋ＡＤ — ＣＤ ＋ Ｄ — Ｄ
＝ （ＢＣ＋ＡＤ）一（ＡＳ＋ｃｏ）一 ，
即 ２Ｔ１ ＝ （ＢＣ＋ＡＤ）一（ＡＢ ＋ｃＤ）．
墓 ＩＪ ＳＴ ２Ｓ ＡＴＢＣ Ｄ。 ／ Ｂ 长分别交四边形
／／Ｉ＼ ＼
的外接圆于点 、 ，连
＼ ＼
结 、 ，如图 ．
’
边 的垂线段 ，如 图 ３所示．
，、．，、Ｃ 四 点 共 线 或
图 １
Ｃ
共 圆．
（选 自 ２０１６年 上 海市 中学 生业 余 数 学 学
校探究 性课题 ）
Ｄ
２ 分 析
问题 涉及 四边 形 的外 接 圆和 内切 圆 的性
质 ，我们 可 以利 用 三 角 形 内心 的 性 质 ，探 索
Ｄ ＝＝＿ Ｈ—
因为 当且仅 当 Ⅳ 上 ＢＤ时 ， 、 两 点重 合 ，即 ＝０，所 以得
命 题 ２ Ⅳ 上 ＢＤ 的 充 要 条 件 是 ＡＢ ＋
因为 Ｉ 和 Ｊ分别是
＼ ／ ／ ＣＤ ＝ＢＣ ＋ Ｄ．
ＡＡＢＤ 和 Ａ ＣＢＤ 的 内
．
还有一个 比较熟 悉 的 ，关 于 四边形 内切 圆