2017届高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.13 定积分与微积分基本定理课件
2017届高考数学一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用2-12
a
|f(x)|dx.( √ ) (3)若bf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方．( × )
a
第十九页，编辑于星期六：一点 二十一分。
2．[教材改编]求曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积，其中列式正确的是( )
A．S＝1(x2－x)dx 0
5．Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，A 是由直线 x＝1，y＝0 和曲线 y＝x41所围成的曲边三角形的平面区 域，若向平面区域 Ω 内随机投一点 M，则点 M 落在区域 A 内的概率为____5____．
考点多维探究
第十五页，编辑于星期六：一点 二十一分。
考点 2 利用定积分求平面图形的面积 回扣教材 1.定积分的几何意义 (1)当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分 bf(x)dx 的几何意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(图①中
山东高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第13讲定积分与微积分基本定理理课件
_____f_(x_)_d_x_______叫做被积式．
(2)其定义体现求定积分的四个步骤：
①__分__割____；②__近__似__代__替____；③__取__和____；④__取__极__限____.
(3)定积分的几何意义：
f(x) f(x)≥0
bf(x)dx 的几何意义
a
表示由直线___x_＝__a____，___x_＝__b____，y＝0 及曲 线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
S△BOC－S1＝2－2(x－1x)dx＝2－(x22－ln x)21 1
＝12＋ln 2，故选 D．
角度2 已知曲线围成的图形的面积求参数
例 3 (2019·广州模拟)曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积 为43，则 k＝___2___.
[解析] 由yy＝ ＝xkx2， 得xy＝＝00， 或xy＝ ＝kk， 2， 则曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k>0)所围 成的曲边梯形的面积为k(kx－x2)dx＝(2kx2－13x3)k0 ＝k23－13k3＝43，即 k3＝8，所以 k＝2.
考点一 定积分的运算——自主练透
例 1 (1)计算：
①3
(3x2－2x＋1)dx＝___2_4____；
－1
②0
(cosx＋ex)dx＝___1_－__e1_π ___；
－π
③若 f(x)＝ 3＋2x－x2，则3f(x)dx 为___π___. 1
x2，x∈[0，1]，
4
(2)设 f(x)＝1x，x∈1，e]
分的概率等于__1_2___.
[解析] 依题意知点 D 的坐标为(1,4)，所以矩形 ABCD 的面积 S ＝1×4＝4，阴影部分的面积 S 阴影＝4－2x2dx＝4－13x312 ＝4－73＝53，根
2017届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用课件
2 B. ,1 3
2 D. 3 ,1
3x 2 0 【解析】 ： 当且仅当 x 2 2 0
2 即 x 3 时函数有意义， x 1
故选 C. 【答案】 ： C
2.（2013· 惠州三调)某学校开展研究性学习活动，一组同学获 得了下面的一组实验数据：
4.函数的表示法: 解析法 、 图象法 、列表法 .
5.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别
用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段
函数虽由几个部分组成,但它表示的是 一个 函数.
1.函数 y=lg(3x－2)+ 2 - 2 x 的定义域是
(
)
2 A. ,1 3
导数及导数的运 2.能根据导数定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的导数.
1 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 x. 法则求简单函数的导数
x
算
导数的应用
1.了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单 调区间. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会 用导数求函数的极大值、 极小值；会求给定区间上函数的最大值、最小值. 3.会利用导数解决某些实际问题.
x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律 ，其中最接近的一个是（ A.y＝2x－2 C.y＝log2 x )
1 B.y＝ 2
x
1 2 D.y＝2 （x －1)
【解析】直线是均匀的，故选项A不是；
知识点
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.12定积分与微积分基本定理课件理
t
(3t2＋1)dt，物体
B
在
t
秒内运动的路程为t
10tdt，所以t
(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－
0
0
0
5t2) ＝t3＋t－5t2＝5⇒(t－5)(t2＋1)＝0，即 t＝5.故选 C. (2)变力 F(x)＝x2＋1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x＝1 运动到 x＝10 所做的功为
W＝ F(x)dx＝
的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：
m)是( )
A．1＋25ln 5
B．8＋25ln
11 3
C．4＋25ln 5
D．4＋50ln 2
第二十八页，共30页。
解析：由 v(t)＝7－3t＋12＋5 t＝0， 可得 t＝4t＝－83舍去， 因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s， 此期间行驶的距离为 04v(t)dt＝047－3t＋12＋5 tdt
解析：由分段函数的定义及定积分运算性质，
得1
f(x)dx＝0
－12xdx＋1x2dx.故选
D.
-1
-1
0
答案：D
第十页，共30页。
3．给出以下命题： ①若bf(x)dx＞0，则 f(x)＞0；
a
② |sinx|dx＝4；
③应用微积分基本定理，有21xdx＝F(2)－F(1)，则 F(x)＝ln x； 1
a
第七页，共30页。
「应用提示研一研」 1．定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定 积分的值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时， 定积分的值为零． 2．函数 f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有
2017届高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用第12节定积分与微积分基本定理课件理新人教版
[变式 3] 若母题中“y＝x2”改为“y＝m”，且由曲线 y＝ 8 x与 y 轴及直线 y＝m(m＞0)围成的图形的面积为 ，则 m 3 的值为________．
解析 ： S ＝
m2
(m －
0
2 3 2 x )dx ＝ mx－ x 3
m2
0
2 3 ＝m － m 3
第十二节
定积分与微积分基本定理
a，b
f(x)
x
f(x)dx
b k∫a f(x)dx b ∫a ∫b f1(x)dx± a f2(x)dx；
b ∫c f(x)dx
F(b)－F(a)
b F(x)|a
2 1．若∫T x 0 dx＝9，则常数 T 的值为________．
1 3 T 2 解析：∵∫0 x dx＝ T ＝9，T＞0，∴T＝3. 3 答案：3
?
?
天上的星星数不清。
Байду номын сангаас
漫天飞舞的雪花数不清。
桃花从树上飘落下来。
落叶从树上飘落下来。
雪花从天空中飘落下来。
我会读：
雨点儿从云彩里飘落下来。
小松鼠从树上跳下来。 亮亮从屋里跑出来。
我会说：
太阳从东方 小草从土里 。 。
半空中，大雨点儿问小雨点儿： “你要到哪里去？” 小雨点儿回答：“我要去有花 有草的地方。你呢？” 大雨点儿说：“我要去没有花 没有草的地方。”
2．(教材习题改编)计算：
(1)
2
(3x＋sin x)dx＝________.
0
2 2 x (2)∫1 e － dx＝________________. x
3π2 答案：(1) ＋1 8
2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十二节 定积分的概念与微积分基本定理课件 理
f(x)dx=0.
(
)
2.求曲线 y=x3 与 y=x 所围成图形的面积可由下面哪个表达式求 解 ( ) 1 1 A.S= 0 (x-x3)dx B.S=2 0 (x-x3)dx C.S=
1 -1
(x-x )dx D.S=2
3
1 0
(y-3 y)dy
2.B 【解析】作出 y=x,y=x3 两个函数的图象,易知其所围成的面 积可由 B 项表示式求解.
【变式训练】
求由曲线 y=x2 和直线 y=x 和 y=2x 围成的图形的面积. 【解析】如图所示,所求的面积 S=S△AOC+S1,其中 S1 是线段 AC,BC 和抛物 线段 AB 围成的区域的面积. ������ = ������ 2 , ������ = ������ 2 , 由 和 ������ = ������ ������ = 2������, 分别解出 O,A,B 三点的横坐标分别是 0,1,2, 故所求的面积 1 2 S= 0 (2������ − ������ )d������ + 1 (2x-x2)dx
典例 2 (2015· 天冿高考) 曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图 形的面积为 . 1 【解题思路】由定积分的几何意义可得 S= 0 (������ − ������2)d������ =
1 2 1 3 ������ - 3 ������ 2
1 0
【参考答案】
1 6
= 6.
1
求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤 (1)画草图 ; (2)求曲线的交点确定积分上、下限 ; (3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的 ; (4)写出定积分并计算,用微积分基本定理公式计算. 注意:被积函数较复杂或积分区间不易确定时可通过转换积分变 量进行简化计算.
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.13 定积分与微积分基本定理课件.ppt
②S＝－bf(x)dx； a
③S＝cf(x)dx－bf(x)dx；
a
c
b[f(x)－g(x)]dx
④S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝□8 __a____________。
a
a
(2)匀变速运动的路程公式
作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间
区间[a，b]上的定积分，即 S＝bv(t)dt。 a
第二章 函数、导数及其应用
1
第十三节 定积分与微积分基本定理
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
2
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的 考纲
概念。 导学
2.了解微积分基本定理的含义。
3
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
4
1．定积分 (1)定积分的相关概念
9
1 个定理——微积分基本定理 利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积 分互为逆运算。
2 条结论——定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时， 定积分的值为零。 (2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程。
π2 (sinx－cosx)dx π
4
22
＝(sinx＋cosx)
π4 0
⇔y1≥－0x，－12≥0， y2＝1－x－12
⇔yy≥ 2＝01，－x－12
y≥0， ⇔x－12＋y2＝1，
由图形可知：1 0
－x2＋2xdx＝π4。
高三数学一轮总结复习目录
高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
2017年高考数学人教版理科一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用 12 定积分与微积分基本定理
m
2
－x2－2x
dx＝
π 4
，即在区间[－2，m]上该函数图象应为
1 4
的圆，
于是得m＝－1。故选A。
(2)由于函数y＝sinx在区间 －π2，π2 上是一个奇函数，图象关于原 点成中心对称，在x轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值
为面积的代数和，等于0，即
2
sinxdx＝0。
2
第二十一页，编辑于星期六：二点 四十六分。
a
叫牛顿 莱布尼茨公式。
第十三页，编辑于星期六：二点 四十六分。
5．定积分与曲线梯形面积的关系
(1)
(2)
(3)
(4)
设阴影部分的面积为S。
(1)S＝bf(x)dx。 a －bf(x)dx
(2)S＝⑫____a____。
((34))SS＝＝⑬bf_(x_ac)_fd(_xx_－)_d_x_－bg。(xcb)fd(xx)＝dxb[f(x)－g(x)]dx。
第二十七页，编辑于星期六：二点 四十六分。
考点三 定积分在物理中的应用
【典例3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而
刹车，以速度v(t)＝7－3t＋
25 1＋t
(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停
止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( C )
A．1＋25ln5 B．8＋25ln131
第十五页，编辑于星期六：二点 四十六分。
考点一 定积分的计算
【典例1】(1)若f(x)＝x2＋21f(x)dx， 0
则1f(x)dx＝( B ) 0
A．－1 B．－13
1 C.3 (2)10
D．1 1－x2＋12xdx＝__π_＋_4__1__。
2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 热点专题突破一 函数与导数的综合问题课件 理
1 -1)- x(x2-3a)→+∞, 3
(3)由(2)知,当 a=1 时,g(x)>f(x)对 x>0 恒成立, 即 ex>1+ln(x+1). 令
1 1 x= , 则e10 10 x
> 1 + ln 1.1 ≈ 1.0953 >
1095 . 1000
由(2)知,当 a=-1 时,g(x)>f(x)对 x<0 恒成立,
D 正确.
考点 2 利用导数研究函数的零点与方程的根的问 题
试题一般是以含参数的三次式,分式,指数式、对数式及三角式结 构的函数零点或方程根的形式出现,是每年高考命题高频热点, 常有以下两种考查形式 :(1)确定函数的零点、图象的交点及方程 根的个数问题 ;(2)应用函数的零点、图象的交点及方程根的存在 问题来求参数值或范围.
π 3π , 2 2 1 2 ������ 2
1
1
+ 1 cos ������, 又因为������′(−������) =
3π ,2π 2
1 (-������ )2 2
+ 1 cos(−������) = 时, ������′(������) > 0, 当������ ∈
������′(������), 所以导函数为偶函数, 排除选项 A, B; 当������ ∈ 时, ������′(������) < 0, 当������ ∈ 确. 【参考答案】 C
������+������ 对称,则函数 2
y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是
(
)
A.①④
B.②④
C.②③
D.③④
D 【解析】 因为函数 y=f(x)的导函数在区间(a,b)的图象关于直线 x= 那么导函数要么图象无增减性, 要么是在直线������ = 由图得在������处切线斜率最小, 在������处切线斜率最大, 故导函数在(������, ������)
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.13定积分与微积分基本定理课件新人教B版
1.
1
e|x|dx
的值为(
C
)
-1
A．2
B．2e
C．2e－2
D．2e＋2
解析：1
e|x|dx＝0
e－xdx＋1exdx＝－e－x|0－1＋ex|01＝[－e0－
-1
-1
0
(－e)]＋(e－e0)＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选 C.
2.已知 a＝π2sin2xcos2xdx，则 a＝ 2 . 0
第二章
函数、导数及其应用
第十三节 定积分与微积分基本定理
最新考纲
考情分析
1.了解定积分的实际 1.定积分的计算、利用定积分求平面图
背景，了解定积分的 形的面积是高考命题的内容之一．
基本思想，了解定积 2．常与解析几何、函数、概率等相结合
分的概念．
命题．
2．了解微积分基本 3．题型以选择题、填空题为主，属中低
所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：
5
(20－4t)dt＝(20t－2t2)|05＝50(m)．
0
即汽车从开始刹车到停止，共走了 50 m.
方法技巧 1.求曲边图形的面积的四个步骤 1根据题意画出图形； 2借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下 限； 3把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； 4计算定积分，写出答案. 求解时，注意要把定积分与利用定积分计算图形面积区别开：定积 分是一个数值极限值，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面 积在一般意义上总为正.
1．计算：3 3＋2x－x2dx＝ π . 1
解析：由定积分的几何意义知，
3
3＋2x－x2dx 表示圆(x－1)2＋y2＝4 和 x＝1，x＝3，y＝
(全国版)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12 定积分的概念与微积分基本
A.2ln 2
B.2-ln 2
C.4-ln 2
D.4-2ln 2
【解析】选D.如图，
封闭图形的面积为
=4-2ln 2.
4 2[x 1 x 2]d x(1 2x2 x 2 lnx )|4 2
【加固训练】
1.(2016·衡水模拟)在平面直角坐标系中,记抛物线
y=x-x2与x轴所围成的平面区域为M,该抛物线与直线
答 (案1 :11 ) 0 (1 2 2 2 ) (1 1 2 1 ) 1 .
22
2
4【.解(2析01】5·1 0 石(表家1 示庄x 2 四模 分1 2 拟x 之) )d x 一10( 单11 0 位x1 2 圆x 2 的12d xx 面) dx积1 0 =1 2 ，_x _d _x ， __.
第十二节 定积分的概念与微积分基本定理、
定积分的简单应用
【知识梳理】 1.定积分的概念、几何意义和性质 (1)定积分的定义及相关概念： ①定义：一般地，如果函数f(x)在区间［a，b］上连 续，用分点a=x0<x1<…＜xi-1<xi<…＜xn=b，将区间 ［a，b］等分成n个小区间，在每个小区间[xi-1，xi]
f(x)在[a,b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去 上有正有负 位于x轴下方的曲边梯形的面积
(3)定积分的性质：
① abkfxdx =_k__ab_f__x_d_x_(k为常数).
②
=_________________.
③__a b[_f1__x___f2 =x]dx a bf1xd xa bf2xd x
y=kx(k＞0)所围成的平面区域为A,向区域M内随机抛掷
一点P,若点P落在区域A内的概率为 则k的值为( )
全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.12定积分的概念与微积分基本定理定积分的简
定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·长沙模拟)定积分(3x+e x)dx的值为( )A.e+1B.eC.e-D.e+【解析】选D.(3x+e x)dx ==+e-1=+e.2.(2016·石家庄模拟)直线y=x+4与曲线y=x2-x+1所围成的封闭图形的面积为( )A. B. C. D.【解析】选C.因为x+4=x2-x+1的解为x=-1或x=3,所以封闭图形的面积为S=[x+4-(x2-x+1)]dx=(-x2+2x+3)dx==.【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和.3.(2016·太原模拟)定积分|x2-2x|dx= ( )A.5B.6C.7D.8【解析】选D.|x2-2x|=|x2-2x|dx=(x2-2x)dx+(-x2+2x)dx=+=8.【加固训练】若f(x)=则f(x)dx= ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.f(x)dx=(x3+sinx)dx+2dx=0+2x=2.4.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则f(x)dx等于( )A.0B.4C.8D.16【解题提示】利用偶函数的图象关于y轴对称,f(x)dx对应的几何区域关于y轴对称,其可表示为2f(x)dx.【解析】选D.原式=f(x)dx+f(x)dx,因为原函数为偶函数,即在y轴两侧的图象对称.所以对应的面积相等,即f(x)dx=2f(x)dx=8×2=16.5.若S1=x2dx,S2=dx,S3=e x dx,则S1,S2,S3的大小关系为( )A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1D.S3<S2<S1【解析】选B.S1=x2dx=x321=×23-=,S2=dx=lnx21=ln2,S3=e x dx=e x21=e2-e=e(e-1),ln 2<lne=1,且<2.5<e(e-1),所以ln2<<e(e-1),即S2<S1<S3.6.(2016·湛江模拟)若dx=3+ln2(a>1),则a的值为( )A.2B.3C.4D.6【解析】选A.因为dx=(x2+lnx)=a2+lna-1-0=3+ln2,所以a=2.7.一物体受到与它运动方向相反的力:F(x)=e x+x的作用,则它从x=0运动到x=1时F(x)所做的功等于( )A.+B.-C.-+D.--【解析】选D.由题意知W=-dx=-=--.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2016·泉州模拟)已知正方形ABCD,点M是DC的中点,由=m+n确定m,n的值,计算定积分sinxdx= .【解析】如图,=m+n=-+,sinxdx=-cosx=1.答案:19.曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为.【解析】画出草图,如图所示.解方程组及得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).答案:【一题多解】解答本题还有如下解法:若选积分变量为y,则三个函数分别为x=y2,x=2-y,x=-3y.因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以S=[(2-y)-(-3y)]dy+[(2-y)-y2]dy=(2+2y)dy+(2-y-y2)dy=(2y+y2)+=-(-2+1)+2--=.答案:【加固训练】已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),B,C(1,0),函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为.【解析】y=f(x)的图象如图所示.可求得y=f(x)=所以x·f(x)=所以所求面积为S=10x2dx+dx=x3+=×+-(-×+5×)=.答案:10.若m>1,则f(m)=dx的最小值为.【解析】f(m)=dx==m+-5≥4-5=-1,当且仅当m=2时等号成立.答案:-1【加固训练】已知f(a)=(2ax2-a2x)dx,则f(a)的最大值为.【解析】f(a)=(2ax2-a2x)dx=(ax3-x2)=-a2+a=-(a-)2+,所以当a=时f(a)取得最大值.答案:(20分钟40分)1.(5分)若f(x)=则f(2014)= ( )A. B. C. D.【解析】选C.f(2014)=f(2014-5×402)=f(4)=f(4-5)=f(-1)=2-1+cos3tdt.因为cos3tdt=sin3t==,所以f(2014)=2-1+=.2.(5分)(2016·郑州模拟)由曲线xy=1,直线y=x,x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为( )A. B.C.+ln 3D.4-ln 3【解析】选C.如图由xy=1得y=.由得x D=1,所以曲边四边形的面积为xdx+dx=x2+lnx=+ln3.3.(5分)设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为.【解析】f(x)dx=(ax2+c)dx==a+c=f(x0)=a+c,所以=,x0=±.又因为0≤x0≤1,所以x0=.答案:4.(12分)已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,f(x)dx=-2.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.由f(-1)=2,f′(0)=0,得即所以f(x)=ax2+2-a.又f(x)dx=(ax2+2-a)dx==2-a=-2.所以a=6,从而f(x)=6x2-4.(2)因为f(x)=6x2-4,x∈[-1,1].所以当x=0时,f(x)min=-4;当x=±1时,f(x)max=2.5.(13分)如图所示,求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(0,-3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.【解析】由题意,知抛物线y=-x2+4x-3在点A处的切线斜率是k1=y′|x=0=4,在点B处的切线斜率是k2=y′|x=3=-2.因此,抛物线过点A的切线方程为y=4x-3,过点B的切线方程为y=-2x+6.设两切线相交于点M,由消去y,得x=,即点M的横坐标为.在区间上,直线y=4x-3在曲线y=-x2+4x-3的上方;在区间上,直线y=-2x+6在曲线y=-x2+4x-3的上方.因此,所求的图形的面积是S=[(4x-3)-(-x2+4x-3)]dx+[(-2x+6)-(-x2+4x-3)]dx=x2dx+(x2-6x+9)dx=+=.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.12 定
2．12 定积分与微积分基本定理[知识梳理]1．定积分的概念2．定积分的几何意义3．定积分的性质4．微积分基本定理5．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S.6．定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．[诊断自测]1．概念思辨(1)在区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边b|f(x)|d x.( )梯形的面积S＝⎠⎛ab f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下(2)若⎠⎛a方．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．教材衍化答案 D(2)(选修A2－2P67T7)直线y＝3x与曲线y＝x2围成图形的面积为( )A.272 B ．9 C.92 D.274答案 C解析 由已知，联立直线与曲线方程得到⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝9，则围成图形的面积为⎠⎛03(3x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3|3＝32×3×3－13×3×3×3 ＝16×3×3×3＝92.故选C. 3．小题热身答案 B答案 D题型1 定积分的计算典例1 (2017·广州质检)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8被积函数中含有绝对值，可表示为分段函数后再求积分．答案 D解析 ∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2|20＝8.故选D.典例2求和的积分，可转化为求积分的和．答案 23典例3本题应用转化法．答案π2方法技巧求定积分的常用方法1．微积分基本定理法：其一般步骤为：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的和、差、积或商．(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值．(5)计算原始定积分的值．2．用定积分的几何意义求：将待求定积分转化为一个易求平面图形的面积，进而求值．如典例3.3．用定积分的基本性质求：对绝对值函数，分段函数，可利用定积分的基本性质将积分区间分解为若干部分求解．冲关针对训练1．(2014·江西高考)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A ．－1 B ．－13 C.13 D ．1答案 B解析 令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛1(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx |10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 2．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B题型2 利用定积分求平面图形的面积角度1 求平面图形的面积典例 (2017·葫芦岛模拟)如图所示，正弦曲线y ＝sin x ，余弦曲线y ＝cos x 与两直线x ＝0，x ＝π所围成的阴影部分的面积为( )A．1 B. 2 C．2 D．2 2本题采用割补转化法．答案 D角度2 已知曲边梯形面积求参数典例(2017·北京东城区检测)如图，已知点A⎝⎛⎭⎪⎫0，14，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等，则x0＝________.本题应用方程思想．答案6 4角度3 与其他知识的交汇命题典例(2014·辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．本题应用数形结合思想方法．答案 23方法技巧1．利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和． (4)计算定积分，求出平面图形的面积．2．知图形的面积求参数．求解此类题的突破口是画图，一般是先画出它的草图，然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．见角度2典例．3．与概率相交汇问题．解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算．见角度3典例．冲关针对训练1．(2018·河北衡水中学三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是( )A.92 B.423＋76C.76D.2＋1答案 B2．(2018·洛阳统考)若⎠⎛0n |x －5|d x ＝25，则(2x －1)n的二项展开式中x 2的系数为________．答案 180①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C答案 A3．(2017·和平区期末)物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 C4．(2017·江西联考)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.答案 1＋π4解析 ⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4.又∵⎠⎛012x d x ＝x 210＝1，∴⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝1＋π4.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·凉山州模拟)⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝( )A ．e 2B.e 2＋12 C.e 2－12 D.e 2＋32答案 B解析 ⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x |e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋0＝e 2＋12，故选B.答案 C3．(2017·抚州期中)曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A.34B.52 C ．4－2ln 2 D ．2ln 2－12 答案 D解析 画图得三个交点分别为(1,0)，(1,2)，(2,1)，故曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －12x 2＋x |21＝2ln 2－2＋2＋12－1＝2ln 2－12，故选D.4．(2018·南昌一模)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析 由题意可知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.故选A.5．(2017·郑州质检)已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝⎠⎛0416－x 2d x ，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为( ) A ．π2 B ．4π2 C ．8π2 D ．16π2答案 D解析 因为a 6＋a 8＝⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×42＝4π，所以a 8(a 4＋2a 6＋a 8)＝a 8a 4＋2a 6a 8＋a 28＝a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝16π2，故选D.6．(2017·河南模拟)已知1sin φ＋1cos φ＝22，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则⎠⎛－1tan φ(x 2－2x )d x ＝( )A.13 B ．－13 C.23 D ．－23 答案 C7．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中常数项是( )A ．－160B ．160C ．－20D ．20 答案 A解析 依题意得，a ＝－cos x|π＝－(cos π－cos0)＝2，⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r6·(2x )6－r·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6·26－r ·(－1)r ·x 3－r.令3－r ＝0，得r ＝3.因此⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为C 36·23·(－1)3＝－160，故选A. 8．如图，设抛物线y ＝－x 2＋1的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ，则点P 落在△AOB 内的概率是( )A.56B.45C.34D.23 答案 C解析 因为第一象限内抛物线与坐标轴所围区域的面积为⎠⎛01(－x 2＋1)d x ＝(－13x 3＋x )|10＝23，△AOB 的面积为S ＝12×1×1＝12，所以P 点落在△AOB 内的概率为1223＝34.故选C.9．(2018·枣庄模拟)一辆汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝2＋sin t (t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s (单位：km)是( )A ．3－cos1B ．3＋cos1C ．1＋cos1D ．1－cos1答案 A解析 由v (t )＝2＋sin t >0，故这辆车行驶的路程s ＝⎠⎛01v (t )d t ＝⎠⎛01(2＋sin t )d t ＝(2t－cos t )10＝(2－cos1)－(－cos0)＝3－cos1，故选A.10．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A ．1 B.π4 C.223D ．22－2 答案 D二、填空题答案212．(2017·南开区二模)由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为________． 答案 1313．(2017·金版原创)若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________．答案 －1解析 f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x|m1＝m ＋4m－5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．14．(2017·山西大学附中模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．答案 23－2π3三、解答题15．(2017·阳东县校级月考)如图，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l .(1)求切线l 的方程；(2)求切线l ，x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面积S . 解 (1)f ′(x )＝424x －8＝1x －2，∴切线l 的斜率k ＝f ′(6)＝12，∴切线l 的方程为y －4＝12(x －6)，即x －2y ＋2＝0.(2)令f (x )＝0得x ＝2，把y ＝0代入x －2y ＋2＝0得x ＝－2， ∴封闭图形的面积16.(2017·信阳调研)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t .即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.。
2017届高三数学一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用 第12节
a
a
④若 f(x)是偶函数，则-af(x)dx＝20f(x)dx.
⑤微积分基本定理中 F(x)是唯一的．
其中真命题的个数是( )
A．0
B．2
C．3
D．5
第十二页，编辑于星期六：点 五十九分。
[解析] ①正确．定积分与被积函数、积分上限和积分下 限有关，与积分变量用什么字母表示无关．
②错误．不一定是，要结合具体图形来定． ③错误．也有可能是在 x 轴上方部分的面积小于在 x 轴下 方部分的面积．
[发散 3] 若本例变为：求曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积．
第二十九页，编辑于星期六：点 五十九分。
[解] 由yy＝＝2－x，x 得交点 A(1,1)．
y＝2－x， 由y＝－13x 得交点 B(3，－1)． 故所求面积
第三十页，编辑于星期六：点 五十九分。
S＝10 x＋13xdx＋132－x＋13xdx ＝23＋16＋43＝163.
xdx＋12(－x＋2)dx＝23x32 |10＋2x－x22|21＝76.
第二十七页，编辑于星期六：点 五十九分。
[发散 2] 若本例中“y＝x－2”改为“y＝m”，且由曲线 f(x)＝ x与 y 轴及直线 y＝m(m＞0)围成的图形的面积为83，则 m 的值为________．
[答案] 2
第二十八页，编辑于星期六：点 五十九分。
[答案]
22 3
第二十二页，编辑于星期六：点 五十九分。
1
3．计算－1
1－x2dx＝________.
[解析] 根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线 y
＝ 1－x2和直线 x＝－1，x＝1 所围成图形的面积，显然是半个
2017届高三数学人教版A版数学高考一轮复习课件：第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理
A．9π
B．3π
9－x2，直线 x＝0，x＝3，y
9 C.4π
9 D.2π
＝0 围成的封闭图形的面积，
3
故 0
9－x2dx＝π·432＝94π，故
选 C.
第十三页，编辑于星期六：一点 十五分。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
考点一 题组训练
试题
解析
π
2．(2016·临沂模拟)若 2 (sin 0
x＋acos x)dx＝2，则实数 a 等
典题悟法 演练冲关
利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功 问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速 度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好 积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基 本定理计算即得所求．
第二十一页，编辑于星期六：一点 十五分。
考点三
典题悟法 演练冲关
试题
解析
2 ． 一 物 体 在 力 F(x) ＝
0－1
＋ ex 01
＝－
12－1＋(e－1)＝e－12.
第二十五页，编辑于星期六：一点 十五分。
课时 跟踪检测
本课内容结束
第二十六页，编辑于星期六：一点 十五分。
(3)abf(x)dx＝__ac_f(_x_)_d_x_＋___cbf_(_x_)d__x__(其中 a<c<b)．
第三页，编辑于星期六：一点 十五分。
知识点一 知识点一 知识点二
2．定积分的几何意义 (1)当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分abf(x)dx 的几何 意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的 曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．
第二十四页，编辑于星期六：一点 十五分。
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D．4＋50ln2
10 0≤x≤2， (2)一物体在力 F(x)＝3x＋4 x＞2 (单位：N)的作用下沿与力 F(x)相同的
方向运动了 4 米，力 F(x)做功为( )
A．44 J
B．46 J
C．48 J
D．50 J
解析：(1)由 v(t)＝7－3t＋12＋5 t＝0，可得 t＝4t＝－83舍去，因此汽车从刹车到停
＝sinπ3－sin－π3
＝ 23－－ 23＝ 3。 (2)令 y＝－1 得到 A(－2，－1)，B(－1，－1)，C(1，－1)，D(2，－1)。设围成的面
积为 S，
因为 y 轴两边的阴影部分关于 y 轴对称，
所以 S＝20
(2
－y－
－y)dy＝43。
-1
答案：(1)D
③□6 __ab_f(_x_)_d_x___＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a＜c＜b)。
a
c
2．微积分基本定理
如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dx＝□7 a
__F_(b_)_－__F_(_a_) ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式。
分区间，函数 f(x)叫做被积函数，□2 ___x___叫做积分变量，□3 _f_(_x_)d_x_____叫做被积
式。
(2)定积分的性质
①bkf(x)dx＝□4 _k__ab_f_(x_)_d_x__(k 为常数)；
②aab[f1(x)±f2(x)]dx＝□5 __ab_f1_(_x_)d_x_±__ab_f2_(_x_)d_x_；
(2)1
9π (3) 4
考点二
利用定积分求平面图形的面积
【例 2】 (1)已知二次函数 y＝f(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面
积为( )
2π
4
A. 5
B.3
3
π
C.2
D.2
(2)由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )
10 A. 3
B．4
16 C. 3
1 个定理——微积分基本定理
利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积 分互为逆运算。
2 条结论——定积分应用的两条常用结论
(1)当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时， 定积分的值为零。
解析：由已知得 S＝a 0
xdx＝23x
3 2
|a0＝23a
3 2
＝a2，所以
a
1 2
＝23，所以
a＝49。
答案：49
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
考点一
定积分的计算
【例 1】 计算下列积分
(1)122x2－x1dx；(2)
π 2 0
sin2x2dx；
解析：(1)122x2－1xdx＝23x3－lnx|21＝134－ln2。
－21x2＋2x|40
＝23×8－12×16＋2×4＝136。
(3)由y＝41， y＝x2
⇒x＝12或 x＝－12(舍)，
答案：(1)B (2)C (3)D
►名师点拨 利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略 (1)知图形求面积。首先，依据函数的图象求出解析式；其次，确立被积函数；最 后，利用定积分求面积。 (2)知函数解析式求面积。解决此类问题应分四步：①画图；②确定积分上、下限， 即求出曲线的交点坐标；③确定被积函数；④由定积分求出面积。 (3)知图形的面积求参数。求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图； 确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关 于参数的方程，从而可求出参数的值。
(2)作出曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积。
由yy＝ ＝x－x，2 得交点 A(4,2)。
因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
4[ x－(x－2)]dx＝4( x－x＋2)dx
0
0
＝32x
2 3
(2)
π 2
sin2x2dx；
0
解析：(2)
π 2 0
sin2x2dx＝2π
0
1－2cosxdx＝12(x－sinx)
π2 0
＝π－4 2。
(3) 0 (cosx＋ex)dx； -π
解析：(3) 0 (cosx＋ex)dx＝(sinx＋ex)|0－π＝1－e－π。 -π
答案：(1)C (2)B
►名师点拨 利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题 利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直 线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式， 再利用微积分基本定理计算即得所求。
通关特训 3 一物体做变速直线运动，其 v(t)图象如图所示，则该物体在12 s～6 s 间的运动路程为__________。
(cosx－sinx)dx＋
π2 (sinx－cosx)dx π
4
＝(sinx＋cosx)
π4 0
＋(－cosx－sinx)
π2 π4
(2)∵(asinx－cosx)′＝sinx＋acosx，
＝ 2－1＋(－1＋ 2)＝2 2－2。
∴2π
0
(sinx＋acosx)dx＝(asinx－cosx)
c
8 __a____________。
a
a
(2)匀变速运动的路程公式
作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间
区间[a，b]上的定积分，即 S＝bv(t)dt。 a
第二章 函数、导数及其应用
第十三节 定积分与微积分基本定理
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的 考纲
概念。 导学
2.了解微积分基本定理的含义。
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
1．定积分 (1)定积分的相关概念
在bf(x)dx 中，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间□1 __[_a，__b_]____叫做积 a
(4)1 －x2＋2xdx； 0
解析：(4)y＝ －x2＋2x＝ 1－x－12
⇔y1≥－0x，－12≥0， y2＝1－x－12
y≥0， ⇔y2＝1－x－12
⇔yx≥－01，2＋y2＝1，
由图形可知：1 0
－x2＋2xdx＝π4。
(5)
1
3．定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面 积。这要结合具体图形来定：
①
②
③
④
设阴影部分面积为 S。
①S＝bf(x)dx； a
②S＝－bf(x)dx； a
③S＝cf(x)dx－bf(x)dx；
a
4 (2)3
考点三
定积分物理意义的应用
【例 3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度
v(t)＝7－3t＋12＋5 t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止。在此期间汽车继续行
驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln5
B．8＋25ln131
C．4＋25ln5
－a
通关特训 1
(1)
π 2
1－sin2xdx＝__________。
0
(2)若2π (sinx＋acosx)dx＝2，则实数 a＝__________。
0
(3)3 9－x2dx＝__________。
0
解析：(1)
π 2
1－sin2xdx
0
＝2π
0
|sinx－cosx|dx＝π 04
(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程。
4 条性质——定积分的性质
(1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行；
(4)f(x)在区间[－a，a]上连续，若 f(x)为偶函数，则－aaf(x)dx＝20af(x)dx；若 f(x) 为奇函数，则 af(x)dx＝0。
(xcosx－5sinx＋2)dx。
-1
解析：(5)由 y＝xcosx－5sinx 为奇函数，得
1
(xcosx－5sinx＋2)dx＝1
(xcosx－5sinx)dx＋1
2dx＝2x|1－1＝4。
-1
-1
-1
►名师点拨 定积分的求法 (1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数 的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数。 (2)根据积分的几何意义可利用面积求积分。 (3)若 y＝f(x)为奇函数，则a f(x)dx＝0。
通关特训 2 (1)由直线 x＝－π3，x＝π3，y＝0 与曲线 y＝cosx 所围成的封闭图形
的面积为( )
1 A.2
B．1
3 C. 2
D. 3
(2)如图，由两条曲线 y＝－x2,4y＝－x2 及直线 y＝－1 所围成的图形的面积为
__________。
解析：(1)封闭图形的面积为：
－π3 π3cosxdx＝sinxπ3－π3
－a
1.241xdx 等于( A．－2ln2 C．－ln2
)
B．2ln2 D．ln2
解析：241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2。 答案：D